（计算数学专业论文）多置信水平worstcase条件风险模型及其应用.pdf

摘要 多目标决策与投资组合决策是决策分析中的重要课题，广泛应用于经济、金融、工 程等领域本文基于多目标理论与w o r s t c a s e 条件风险建立了资产组合优化模型，在随 机变量服从离散界约束分布和混合分布的情况下分别分析了模型的特性和计算方法，并 将研究成果应用于电力资产分配中风险和利润的优化相关问题其主要内容如下： 第一章绪论部分介绍了本文选题背景、风险度量理论及发展状况、多目标决策的 基本理论以及随机规划下的多目标最小风险解和本文的创新之处 第二章介绍了c o n d i t i o n a lv a l u e a t 。r i s k ( c v 抿) 的定义、性质及其应用，并建立 了基于c v a r 的利润一风险模型进一步，引入w o r s t c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ( w c v 抿) ，介绍了其定义、性质及w c v a r 下的利润风险模型 第三章基于多目标决策理论和离散界约束下建立了多置信水平下最小化w c v a r 组 合优化模型，并运用多目标处理技术和对偶理论将复杂的m i n m a x 多目标优化模型转化 为简单的单目标线性规划问题以发电商电能分配为应用背景，运用蒙特卡洛模拟对所 建立模型进行了仿真测试 第四章在混合分布和w c v a r 利润一风险模型下基于多置信水平建立了三个风险一利 润鲁棒组合优化模型，并在损失函数为线性的假设下将其化简为单目标线性规划问题并 进行了仿真，蒙特卡洛模拟显示了模型的有效性这为发电商的投资组合和风险管理提 供了新策略 第五章总结本文的研究工作和介绍下一步研究方向 关键词：条件风险( c v a r ) ；w o r s t - c a s e 条件风险( w c v a r ) ；多目标决策；离散界约束 分布；混合分布；资产组合优化；电能分配 a b s t r a c t m u l t i o b j e c t i v ed e c i s i o nm a k i n g ( m o d m ) a n dp o r t f o l i oa n a l y s i sa r ei m p o r t a n ti s s u e si n d e c i s i o nm a k i n ga n a l y s i s t h e ya r ew i d e l yu s e di ne c o n o m i c s ，f i n a n c e ，e n g i n e e r i n ga n do t h e r f i e l d s b a s e do nt h ec o n c e p to ft h em o d ma n dw o r s t - c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ( w c v a r ) ，w ep r e s e n ts e v e r a lr o b u s tp o r t f o l i om o d e l s f u r t h e r m o r e ，t h ec h a r a c t e r i s t i ca n d c a l c u l a t i o no ft h e s en e wm o d e l sa r ei n v e s t i g a t e d t h ep r i m a r yc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ep r o p o s er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，i n t r o d u c et h e d e v e l o p m e n ts i t u a t i o no f r i s km e a s u r e m e n ta n dm o d m ，d e s c r i b el a g r a n g i a nd u a l i t yt h e o r ya n dm i n i m i z e dr i s k p r o b l e mb a s e do n t h em u l t i p l eo b j e c t i v e so fs t o c h a s t i cp r o g r a m m i n g ，p u tf o r w a r dt h e i n n o v a t i o no ft h i sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，w em a k eab r i e fi n s t r u c t i o nt ot h ec v a r ( c o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ) a n dw c v a r ( w o r s t c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e a t - r i s k ) ，e s t a b l i s hs e v e r a lr i s k - r e t u r nm o d e l s u n d e rt h ec o n s t r a i n t so fc 沥厅a n dw c v a r 。 c h a p t e rt h r e ei s o n eo ft h et w om a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r f i r s t l y ，c o n s i d e r i n g w o r s t - c a s ec o n d i t i o n a lv a l u ea tr i s k ( w c v a r ) a sam e a s u r eo fm a r k e tr i s kw eb u i l da o p t i m i z a t i o nm o d e lo fm u l t i - c o n f i d e n c el e v e l sm i n i m i z a t i o nw c v a r s e c o n d l y , u n d e rt h e a s s u m p t i o no fb o xd i s c r e t e d i s t r i b u t i o no fr a n d o mv a r i a b l e s ，w et r a n s f e rt h ec o m p l e x o p t i m i z a t i o nm o d e lt ot r a d i t i o n a ls i n g l e - t a r g e tl i n e a rp r o g r a m m i n gb yu s i n gm u l t i - o b j e c t i v e d e c i s i o n a n d d u a l i t y t h e o r y t h i r d l y , i nt h e b a c k g r o u n d o f p o w e r a l l o c a t i o no f s u p p l i e r si np o w e rm a r k e t s ，w ea d o p tm o n t e - c a r l o s i m u l a t i o n st ot e s t t h em o d e la n dt h ea p p r o a c h c h a p t e rf o u ri s a n o t h e rm a i nc o n t e n ti nt h i s p a p e r w ei n t r o d u c e st h em i x t u r e d i s t r i b u t i o n ，p r e s e n tt h r e er i s k r e t u r nr o b u s tp o r t f o l i om o d e l sb a s e do nt h em u l t i c o n f i d e n c e l e v e l s ，r e d u c et h et h r e ec o m p l e xm o d e l sw i t ht h el i n e a rl o s sf u n c t i o n a n dt e s tt h ev a l i d i t yo f t h e s em o d e l s b yu s i n g m o n t e - c a r l os i m u l a t i o ni nt h e b a c k g r o u n d o f p o w e r a l l o c a t i o no fs u p p l i e r si n p o w e rm a r k e t s c h a p t e rf i v ei st h es u m m a r yo ft h i sp a p e r w em a k et h ef i n a lc o n c l u s i o no ft h i sp a p e r a n dp u t sf o r w a r dt h ed i r e c t i o no ff u r t h e rs t u d y i n g k e yw o r d s ：c o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ( c v a r ) ；w o r s t c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ( w c v a r ) ；m u l t i - o b j e c t i v e d e c i s i o n - m a k i n g ( m o d m ) ； b o xd i s c r e t e d i s t r i b u t i o n ；m i x t u r ed i s t r i b u t i o n ；r o b u s tp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n ；g e n e r a t i o n a s s e ta l l o c a t i o n u 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期：乙d 哞r 月纠e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时 授权中国科学技术信息研究所将本论文收录到中国学位论文全文数据库，并 通过网络向社会公众提供信息服务。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：日期：z 9 口年r 月叫日 翩躲荡砰 吼刎眸寸肭日 l 1 1 本文的选题背景 第一章绪论 2 0 世纪8 0 年代以来世界范围的电力工业体制改革，打破了其传统的垂直结构及一体 化运营，导致了电力工业的市场化 电力市场已发展为典型的竞争和风险市场，市场交易已经发展为日前市场、合约市 场、期货市场、远期合约市场等并存的多市场交易模式，市场参与者需要采用有效的风 险规避途径一方面，电能的不可储存性、能源价格、运输成本等不确定因素，使得随 机变量分布为非完全信息情况；另一方面，电力市场是一个安全稳定要求很高的市场， 运营中必须考虑最坏情况下系统和市场的稳定运行对于发电商而言，不仅要合理分配 多个市场下( 如现货市场、双边合约市场等) 的交易份额，还需要同时在多个场景( 如 火电、水电、风力发电等) 下分配发电量 本文以发电商的电能分配问题为应用背景，根据w o r s t c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ( w c v 抿) 风险度量指标，建立了多置信水平下的w c v a r 优化模型对发电商电能分 配问题采用多置信水平的w c v a r 方法，充分结合了电力市场的特征和市场运营的要求， 能解决发电商在多市场多场景分配发电量的组合优化问题 1 2 风险度量方法 风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险如何度量组 合投资的风险与收益和如何权衡这两项指标进行资产分配是市场投资者面临的问题现 代资产组合理论的主要就是针对化解投资风险的可能性而提出的1 9 5 2 年，美国经济 学家马柯维茨发表了证券组合投资一文瞄。，提出了均值方差模型，开创了现代资 产组合理论的先河马柯维茨从对利润和风险的定量出发，系统地研究了投资组合的特 性，并以证券投资为应用背景，从数学上解释了投资者的规避风险行为，并提出了投资 组合的优化方法该理论依据以下几个假设： ( 1 ) 投资者在考虑投资选择时，其依据是某一时间段的资产收益的概率分布 ( 2 ) 投资者是根据资产的期望收益率估测资产组合的风险 ( 3 ) 投资者的决定仅仅是依据资产的风险和收益 ( 4 ) 在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上， 投资者希望风险最小 根据以上假设，马柯维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理 论，建立了资产优化配置的均值一方差模型： m i n t r 2 ( 名) = x , x je o v ( r , ，o ) “而= l ，x i 0 其中名为组合收益，= 鼍l ，： 为第f 只股票的收益，薯、_ 为第f 只证券与第 只证券的投资比例，仃2 ( ) 为组合投资方差( 组合总风险) ，c o v ( r l f ，厂，) 为两只证券之 间的协方差。上式表明，在限制条件下求解而证券收益率使组合风险盯2 ( ) 最小，可通 过对目标函数拉格朗日求导得出其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益， 通过上式可确定投资者在每个投资项目( 如股票) 上的投资比例( 项目资金分配) ，使 其总投资风险最小 马柯维茨的投资组合理论不仅揭示了组合资产风险的决定因素而且更为重要的是 还揭示了“资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这一重要结论，即资产( 单 个资产和组合资产) 由其风险大小来定价，单个资产价格由其方差或标准差来决定，组 合资产价格由其协方差来决定均值一方差模型是建立在以收益率的方差度量风险的基 础上的，而方差衡量的是资产的收益率相对于期望值的偏离程度，它将收益率高于和低 于期望值都看作是潜在的风险而实际中，投资者并不把收益率高于期望值的可能情况 视为不利的结果。均值一方差模型中没有投资者对风险好恶的指标，因而投资者无法根 据自己对风险的好恶程度来使自己的组合达到最优此外，马可维茨的模型所依附的资 产组合理论依赖于一系列假设，其中最主要的假设“收益率服从正态分布常常难以满 足 1 9 9 3 年，g 3 0 集团在研究衍生品种基础上发表了衍生产品的实践和规则的报 告，提出了度量市场风险的v a r ( v a l u e a t r i s k ) 模型w 。，稍后由j p m o r g a n 推出了 计算v a r 的风险控制模型v a r 称为“风险价值 或“在险价值 ，其基本含义是指 在在正常的市场波动和给定的置信水平下，某一资产组合在未来特定时问内的最大可能 损失，数学表达式为： 2 p r o b ( a p v a r ) = 1 一 其中为置信度，为a p 资产组合在持有期f 内的损失 v a r 度量模型建立在概率论与数理统计的基础之上，是一种既能处理非线性问题又 能概括证券组合市场风险的工具它解决了传统风险定量化工具对于非线性金融衍生工 具适用性差、难以概括证券组合的市场风险等缺点：v a r 统一了风险计量标准，使不同 行业的人在探讨市场风险时有共同的语言；v a r 可以事前计算风险，突破了以往事后衡 量风险的管理方法；v a r 不仅能计算单个金融工具的风险，还能计算由多个金融工具组 成的投资组合风险，这是传统金融风险管理所不能做到的 正是由于其诸多优点，v a r 广泛应用于金融机构的风险控制、业绩评估、估算风险 性资本等方面，投资组合提供了一个统一的风险度量框架，并成为当今国际上主流的金 融风险度量方法之一 研究结果和实践经验都表明，单纯的v a r 方法存在着缺陷 ( 1 ) 作为风险度量方法，v a r 在计算上有多种方法( 如方差一协方差方法、历史模 拟方法、蒙特卡洛模拟方法) ，但各种方法计算结果相差很大 ( 2 ) v a r 不满足次可加性，因而不是一致性风险度量；基于v a r 进行组合优化是， 其局部最优解不一定是全局最优解，求解非常困难 ( 3 ) v a r 值表示的是一定置信度内的最大损失，但并不能绝对排除高于v a r 值的 损失发生的可能性。例如假设一天的9 9 5 置信度下的v a r = 2 0 0 0 万美元，仍会有o 5 的可能性会使损失超过2 0 0 0 万美元。这种情况一旦发生，给投资者带来的后果就是 灾难性的 ( 4 ) 运用v a r 进行风险度量是需要有足够的历史数据，如果数据库整体上不能满足 风险计量的数据要求，则很难得到正确的结论 针对v a r 的缺陷，r o e k a f e l l e r 和u r y a s e v 于1 9 9 9 首次提出了条件风险( c o n d i t i o n a l v a l u e a t r i s k ：c v a r h 。) 概念r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v 描述了c v a r 风险度量概念、讨 论了其性质、计算方法，建立了基于c v a r 的资产组合优化模型，并且给出了损失函数 为一般分布时的c v a r 的定义c v a r 是指损失超过v a r 的条件均值，也称为平均超额 损失或平均短缺，它代表了超额损失的平均水平，反映了损失超过v a r 临界值时可能遭 受的平均潜在损失的大小自r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v 开创c v a r 风险度量先河之后， r f l u n g 从定义，性质及计算方面对v a r 和c v a r 进行了比较分析旧。，n i k o l a s 、h e r c u l e s 3 和s t a v r o s 利用c v a r 对资产配置进行了分析和实证研究。：p a l m q u i s t 、u r y a s e v 和 k r o k h m a l 对以c v a r 为目标的有约束条件的投资组合模型的优化进行了探讨h 1 ， a n d e r s s o n 、r o s e n 和u r y a s e v 将c v a r 度量方法应用与信用风险中8 ，9 1 国内对c v a r 度量方法的研究始于2 0 0 2 年陈金龙、张维发表的c v 出与投资组 合优化统一模型n 伽一文文章系统介绍了c v a r 度量模型产生背景，基本概念以及 关于c v a r 的投资组合优化模型其后，刘小茂，李楚霖，王建华u u 基于c v a r 风险计 量技术，讨论了正态情形下风险资产组合的均值v a l r 有效前沿，探究了其经济含义， 并与经典的均值一方差有效前沿进行了对比研究；王壬，尚金成2 1 等以条件风险价值 为市场风险计量指标对供电公司收益一风险进行量化，建立了以收益最大化为目标的多 市场购电组合优化模型；廖菁，江辉，彭建春等n 3 1 探讨了基于v a r 和c v a r 风险度量 的发电商竞价策略；蒋敏，孟志青n 4 3 等基于多目标c v a r 模型，建立了一个多目标证券 组合投资优化模型；2 0 0 7 年，z h u 和f u k u s h i m a 基于随机变量分布信息部分已知提出了 w o r s t c 嬲e 条件风险1 引( w o r s t c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e - a t r i s k ：w c v a r ) c v a r 是一个非常重要的课题，有待我们去进一步研究 1 。3 多目标决策理论及其研究 决策分析是在系统规划、设计和制造等阶段为解决当前或未来可能发生的问题，在 若干可选的方案中选择和决定最佳方案的一种分析过程从日常生活到社会经济系统， 我们所面临的系统决策问题常常是多目标的，例如我们在研究生产过程的组织决策时， 既要考虑生产系统的产量最大，又要使产品质量高，生产成本低等这些目标之间相互 作用和矛盾，使决策过程相当复杂使决策者常常很难轻易作出决策这类具有多个目标 的决策就是多目标决策多目标决策现己广泛地应用于工艺过程、工艺设计、配方配比、 水资源利用、能源、环境、人口、教育、经济管理等领域u 1 3 。1 多目标决策理论描述 多目标决策问题有许多共同特点，其中最显著的是：目标问的不可公度性和目标间 4 的矛盾性目标间的不可公度性是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以进行比较。 目标间的矛盾性是指如果可以采用某一种方法去改进某一目标值，可能会使另一目标的 值变好或变坏由于多个目标间的矛盾性和不可公测性，因此不能简单地吧多个目标归 并为单个目标，并使用单目标决策问题的方法去求解多目标决策问题 一般来说，经典的多目标决策分为多属性决策和多目标决策两大类多属性决策考 虑如何在事先已经确定好的有限数目的备选方案中进行选择而多目标决策问题中的方 案没有事先给定，决策者需要考虑如何在有限资源的限制条件下找到一个最佳的方案 传统的多目标决策的研究仅限于在确定多目标决策问题中进行考虑，其研究最早可 追溯到1 8 世纪f r a n k l i n 在1 7 7 2 年提出了多目标问题如何协调的问题；c o u r n o t 在1 8 3 6 年从经济学角度提出了多目标问题的模型；p r e t o 在1 8 9 6 年首次从数学角度提出了多目 标最优决策问题 但实际情况表明，不确定性是决策问题中存在的普遍现象随着人们对不确定性的 认识逐渐深入，对随机多目标决策及模糊多目标决策问题的研究也逐渐展开b e l l m a t l 和z a d e h 于1 9 7 0 年将模糊集理论引入多目标决策中，提出了模糊决策分析的概念，并将 其用于解决实际决策中的不确定性问题；c h e n 于1 9 9 4 年提出一种准则值和准则权系数是 区间数的模糊多准则决策方法，之后他又提出了一种求解目标值和权系数均是模糊数的 模糊多目标决策方法，用于解决钢材的选择问题；1 9 9 9 年l i a n g 提出了一种基于理想方 案和负理想方案的模糊多准则决策方法2 0 0 0 年以来，o g r y c z a k 系统地研究了基于多重 标准的投资组合问题，对多重标准优化配置中的分配效率1 ，算法m 瑚1 和公平性2 0 3 进行 了研究，并基于c v a r 从效益最大化的角度把多重标准运用于证券投资中乜1 | 他证明了， 由于其一致度量风险性，c v a r 可以运用于多个置信水平模型中，并且得到了比单一置信 水平模型更理想的结果o g y c z a k 对c v a r 模型进行了延拓，提出了权重c v a r ( w e i g h t e d c o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ) ，通过运用多重标准和权值，允许加入不同投资者规避风险的 约束原则，使模型更加符合投资者的投资意愿 多目标决策问题是指具有多个目标函数的优化问题，是决策分析中的最重要分支之 一一般来讲，每个多目标决策问题总涉及到下列5 个基本要素： ( 1 ) 决策变量x = ( ，x 2 ，) 7 ( 2 ) 目标函数厂( x ) = ( f l ( x ) ，以( x ) ，一，厶( x ) ) 7 ，m 2 ( 3 ) 可行集解x r ”，x = 缸r ng i ( x ) o ，f = 1 ，2 ，一，p ；h r ( x ) = 0 ，厂= l ， s 2 ，g ) ( 4 ) 偏好关系在像集厂( x ) = f ( x ) ix x ) 上存在某个二元关系墨反应决策者的 偏好本文约定x 墨y 表示x 与y 有偏好关系；x y 表示x 与y 有严格偏好关系；坯k y 表示x 和y 有由锥k 确定的偏序关系 ( 5 ) 解的定义如何在已知的偏好关系墨下定义厂在x 上的最好解 由此，多目标决策问题可描述为 m i n f ( x ) = 研石，厶 。l 0 ，f = 1 ，2 ，t 9 , ( 1 2 ) s 7 i 匀= o ，r = 1 2 ，g 其中x 为1 1 维决策变量，可行域为 x = 缸彤l 盛o ，z = 1 ，z ，届红( 功= o ，= 1 2 ，g ) 通常多目标问题的绝对最优解是不存在的，当绝对最优解不存在时，就需要引入新 的“解 的概念，多目标决策中最常用的解是有效解( p a r e t o 最优解) 定义1 1 ( 有效解)设x r ，若不存在x r ，使得l ( x ) z ( x ) ( f = 1 , 2 ，一，聊) ，且 至少存在一个乇，使厶( x ) u 2 ) ； ( 1 7 ) i_，i 。 m a x p ( w lc r ( w ) r x u r ) s j x x = x r 行i 彳x 6 ，x 0 ) 其中u p u 2 ，u r 是给定的正数问题( 1 7 ) 也称为基于水平值，u 2 ，u ，的多最小风 险问题捌 对问题( 1 7 ) 来说，绝对最优解通常是不存在的。因此，考虑如何寻找最佳妥协 解，例如可以构造一个合成函数 f = f ( p ( w i c 2 ( w ) r x u 2 ) ，p ( w l c 2 ( w ) r x u 2 ) ，p ( w c r ( w ) r x - - u r ) ) 其中要求函数，( x ) 对每个分量是递增的，具体地，可取f ( x ) 为 ， ，( 功= k l f p ( w lc i ( w ) r x u i ) z i i = 1 其中屯为问题( 1 7 ) 中目标函数五的权系数，并求解 m 硝a x 善毛尸( w lq ( 们r x 嘶) 所得的最优解即为问题( 1 7 ) 的最优妥协解 首先给出假设：均值z = m j a x c ，7 x 是有界的 求解最小风险问题( 1 7 ) 的序列解法的具体步骤如下 第1 步：对个目标函数按照其重要程度进行排列，z l 比z 2 重要，z 2l i ：z 3 重要，依 次进行f 去，得到序歹0z l ，z 2 ，z ， 第2 步：求解最小风险问题 m a x p ( w q ( w ) 丁x ) ( 1 8 ) 其中u 1 为给定的常数。设以上问题的最优解为吒1 最优值为p 1 第3 步：定义新的可行域： 墨= x 尺一ixex ，e ( w lq ( w ) r x u z ) p l q ) 其中毛0 是已知常数。求最小风险问题 m a x ，p ( w lc 2 ( w ) r x u 2 ) 设解得的最优解为五，最优值为p 2 求解最小风险问题 m 。a 。x ，p ( w c 3 ( w ) r x - - u 3 ) 其中 = x e r 以l x ，p ( w l c ，( w ) 7 1 x - - z 2 ) - - p 2 - - 6 2 ， 乞0 为已知常数，依次进行下去，设昆，p 2 ，所一l 为前，一1 个最小风险问题的最优 值，并定义相应的区域五，五，墨一2 ，构造可行域 t - l = x r ix 鼍一2 ，p ( wlc r l ( w ) 丁x u ，一1 ) p r l 一一1 ) ， 其中一l 0 为已知常数，并求解最小风险问题 工m a ，x p ( w lc r ( w ) r xu r ) 设最优解为砭，则称砭为基于水平值m ，吃，蚱和松弛值q ，乞，一l 的多最小风险 解此时，将最优解砭称为问题( 1 7 ) 的最佳妥协解 另外，若各目标函数的排列顺序改变，则相应最佳妥协解可能会发生改变 定理1 1 如果x = ( 五，吃，) 7 是如下数学规划问题的最优解： m a x p ( w lc r ( w ) 7 x u ，) f i x b ，_ x 0 ， ( 1 9 ) s 工t j p ( w l q ( w ) r x l d i )a 一岛，f ：l ，2 ，一1 其中n 2 m a 川xp ( w l c i ( w ) r x u i ) ( i = 1 ，2 ，一1 ) ，x o2x = x e r 疗ia x _ u i 1 ) b l 一毛一1 ) ( f = l ，2 ，r - 1 ) 则称最优解x 为基于水平值“l ，u 2 ，u ，和松弛值毛，乞，的多最小风险解 1 4l a g r a n g e 对偶理论 记约束优化问题 n f m 嫡 砒j q ( 功_ o ，诧e ( 1 1 0 ) 【q ( x ) o ，i i 兵n - - i 行集 q = 纠c ： = o ，f e ；c ，( x ) 0 , i e i ) ( 1 1 1 ) 对约束优化问题( 1 1 0 ) ，记由不等式约束组成的向量函数为g ( x ) ，由等式约束组成 的向量函数为h ( x ) 对甜尺i 川，v r 吲，定义函数 l ( x ，u ，v ) = 厂( x ) 一g ( x ) 7 u 日( x ) 7 1 ， 和函数 秒( 甜，v ) = i n f l ( x , u , v ) l x r 一) 问题( 1 1 0 ) 的l a g r a n g e 对偶规划为。 册眠w ( 1 1 2 ) s j 甜j 出i ，v r i e i 约束优化问题( 1 1 0 ) 的w o l f e 对偶规划为2 m a x l ( x ，u ，v ) 【工，u ，v j iv j l ( x ，u ，y ) = 0 ， 时1u 趔i ，v 州 1尺1 ，r 其中，趟i 表示空间尺中的非负象限，如上两种对偶规划在某种意义上是一致的 对于l a g r a n g e 对偶，由于目标函数o ( u ，v ) 本身就是l a g r a n g e 函数关于x 的极小值，所 以有v ，l ( x ，u ，1 ，) = 0 将其代入到l a g r a n g e 对偶规划的约束当中，便得到w r o l f e 对偶 l a g r a n g e 对偶规划是一个极大极小问题 m 趔a x im x i n 三( x ，“，v ) v e 萨 关于极大极小问题，可参考文献【2 3 】 给出线性规划和严格凸二次规划问题的l a g r a n g e 对偶 ( 1 ) 线性规划问题 m i nc t x 姒，彳x = 6 ， l1 3 l x 0 其l a g r a n g e 函数为 l ( x ，u ，v ) = c t x u t x v t ( a x 一6 ) ( 1 - 1 4 ) 关于x 求极小，得c a 11 ，一u = 0 将其代入( 1 5 ) 得到 秒( 甜，v ) - i n f l ( x , u , v ) f x r 一) = v r b ( 1 1 5 ) 则如上线性规划问题的l a g r a n g e 对偶规划为 m a xv r b s j 彳，1 ，c n f m1 、x r g x + 季x ， 。 s 7 【彳a t x x ：勿b i ，, f i ee i 1 1 6 记彳= ( q ) iu e ，b = ( 6 j ) iu e ，将其l a g r a n g e 函数关于x r 一求极小得 x = g 一( a u g ) ( 1 1 7 ) 结合( 1 1 2 ) 并舍去常数项得到严格凸二次规划问题的l a g r a n g e 对偶规划： m 瓢一妒( 么铲伽郴材g - l “( 1 1 8 ) s 2 0 ，i i 原始规划问题和对偶规划问题的目标函数值之间有如下关系 定理1 2 ( 弱对偶定理) 设，( u o ，v o ，) 分别是原始规划问题( 1 1 0 ) 和对偶i h - j n ( 1 1 2 ) 的可 1 2 行解，则厂( 而) o ( u o ，v o ) 则由定理1 2 可知以下结论 i n f f ( x ) l g ( x ) o ，日( x ) = o ) s u p 0 ( 州) 卜尺r 昨i ) 原始规划问题的目标函数值和对偶规划问题的目标函数值之间的差称为对偶间隙 一般情况下，更关心的是在什么条件下对偶间隙为零对于如下的凸规划问题，s l a t e r 条件可以满足对偶间隙为零 m i n 厂( 功 s j j q ( 功= o ，7 e ( 1 1 9 ) i l q ( 功o , i i 其中，目标函数厂：r 一专r 是凸函数，q ( x ) ，i e 是线性函数，q ( x ) ，i i 是凹函数 定理1 3 ( 强对偶定理) 对凸规划问题( 1 1 0 ) ，设等式约束为h ( x ) = a r - b = o ，不等式约束 为g ) 0 又设存在一点x 使得g ( x ) o ，h ( x ) = 0 ，并且矩阵a 行满秩，则 i n f f ( x ) l g ( x ) o ，h ( x ) = o ) = s u p 。o ( u ，v ) 封硝 1 5 本文的创新工作及结构安排 基于多目标决策理论和w o r s t c a s e 条件风险( w o r s t c a s e c o n d i t i o n a l v a l u e a t r i s k ：w c v a r ) 指标，本文分别建立了离散界约束分布下的多置信水平最小化风 险模型和基于混合分布的多置信水平风险利润的组合优化模型，并设计其计算方法 本文主要创新工作如下： 基于多目标决策理论和w o r s t c a s e 条件风险，建立了多置信水平最小化条件风 险组合优化模型该模型具有复杂的m i n m a x 结构，在随机变量服从离散界约 束分布和损失函数为线性的条件下，运用多目标处理技术和对偶理论转化复杂 的多目标m i n m a x 优化模型为单目标线性规划问题 在随机变量服从混合分布下，建立了三个多置信水平风险利润鲁棒优化模型， 并将复杂的双层结构多目标模型简化为便于计算的单目标线性规划问题 以发电商电力资产分配为应用背景，运用蒙特卡洛仿真分析了发电商在电力市 场的投资行为基于多置信水平建立的w o r s t c a s e 条件风险模型和利润风险模 1 3 型具有鲁棒性，计算受参数变化的影响不大新模型能够在随机变量部分分布 信息已知情况下估算出风险利润值，为投资者提供可行策略 本文的结构如下：第二章分别描述了c v a r 和w c v a r 的定义、性质及其利润风 险模型第三章引入了离散界约束分布并基于此建立了多置信水平下的最小化w c v a r 优化模型；进一步，将复杂的m i n m a x 多目标化简为单目标线性规划问题，运用蒙特 卡洛方法模拟发电商的投资行为，测试了模型的有效性第四章在混合分布和w c v a r 利润一风险模型下基于多置信水平建立了三个风险一利润鲁棒组合优化模型，并在损失 函数为线性的假设下将其化简为单目标线性规划问题并进行了仿真蒙特卡洛模拟显 示了模型的有效性第五章给出结论与展望 1 4 第二章w o r s t c a s e 条件风险度量 2 1 条件风险( c v a r ) 度量 c v a r 称为条件风险，也称为平均超额损失或平均短缺，是指损失超过v a r 的条件 均值，它代表了超额损失的平均水平，反映了损失超过v a r 临界值时可能遭受的平均潜 在损失的大小 记x z r ”为决策变量，其中z 为闭凸集随机变量y r5 的分布为p ( ) ，损 失函数为f ( x ，y ) ，并且假设e ( i f ( x ，y ) 1 ) 佃对于给定的决策变量x z f ( x ，j ，) 不 超过阀值口的概率表示为： 沙( 础) = k y p ( y ) d y ( 2 1 ) 在置信水平下，对于固定的x e z ，其v a r ( v a l u e a t r i s k ) 定义为损失超过口 的概率不大于的阀值： v a r p ( x ) = m i n a r ：妙( x ，口) 夕) ( 2 2 ) 根据文献 3 】，条件风险( c o n d i t i o n a lv a l u e - a t r i s k ) 定义为超过v a r a ( x ) 条件下 的平均损失： c 屿= 砀i 悱娜) m y 胁坳 ( 2 3 ) 2 1 1c v a r 性质及应用 c v a r 是一致性风险度量，即满足次可加性、正齐次性、单调性和传递不变性。 ( 1 ) c v a r 满足次可加性，即对任意的随机变量巧、艺，有 c w r p ( y , + 艺) c 纥( k ) + c y a ( 艺) ( 2 ) c v a r 满足正齐次性，即c v a r p ( c y ) = c c v a r p ( 功 ( 3 ) c v a r 满足单调性，即对任意的随机变量k 、k ，若k e ，则 c v a r # ( x ) o ，p ( 名x ) = 和( x ) ( 3 ) 单调性：若x y ，p (