电力系统潮流的计算机算法.doc

第四章 电力系统潮流的计算机算法主要内容提示运用计算机进行电力系统的潮流计算时，一般要通过以下几个步骤：建立数学模型；确定解算方法；制订框图；编制程序；上机运算。本章着重讨论前两步，但也涉及原理框图以加深对计算过程的理解。4-1电力网络的数学模型描述电力系统的数学模型有：节点电压方程、回路电流方程、割集电压方程。涉及节点导纳矩阵、节点阻抗矩阵的形成与修改，变压器的非标准变比，多级电压电力网的等值电路。目前运用计算机进行电力系统潮流分布计算，引用节点电压方程的较普遍，这里限于篇幅，也仅讨论节点电压方程及有关问题。一、节点电压方程在电工原理课程中，已导出了运用节点导纳矩阵的节点电压方程IB=YBUB （4-1）上式中，IB是节点注入电流的列向量，可理解为某个节点的电源电流与负荷电流之总和，并规定流入网络的电流为正。UB是节点电压的列向量。网络中有接地支路时，节点电压通常指各节点的对地电压，这是因为通常一般是以大地作为参考节点的；网络中没有接地支路时，各节点电压可指各该节点与某一个被选定参考节点之间的电压差。是节点导纳矩阵，它的阶数等于网络的独立节点数。对于一个有个独立节点网络，YB为阶的方阵，其对角元素称为自导纳，以表示（、），非对角元素称为互导纳，以 表示（、，、，）。于是节点电压方程展开为： （4-2） 对于个节点的网络，有个独立节点，1个参考节点，可把它看成一个抽象的无源网，如图4-1所示。图4-1中，个独立节点中包括电源节点、负荷节点、中间联络节点等。若把各个节点引出来，对于电源节点，注入网络为正电流（+I），对于负荷节点，注入网络为负电流（-I），对于联络节点，流入的电流等于流出的电流，所以总和电流为零（I=0）。+I （电源节点）I （负荷节点）I=0 （联络节点）1i2n0图4-1 等值无源网络下面以三个节点网络为例，说明YB各元素的物理意义：对于图4-2（a）所示的网络，若将电源用等值电流源表示，负荷用等值导纳表示，网络参数均以导纳表示，其等值电路如（b）图，节点电压方程的形式为：12y12y13y23y10y20y303I1I2(b)3(a)12U1=1213y12y23y10y20y30(c)（a）简化接线图（b）等值电路图（c）自、互导纳的确定图4-2 三节点网络图可见，当网络结构确定后，网络参数是一定的，节点导纳矩阵YB也是一定的，YB反映了网络的结构及性质。设把1节点加单位电压，其它节点（2、3节点）强迫接地，、被短路掉，其等值电路如（c）图所示。这时的节点电压方程为：于是有：，。因此，在物理意义上，可看成是在1节点加单位电压源，其它节点（2、3节点）强迫接地时，经节点1注入网络的电流。可看成是在1节点加单位电压源，其它节点（2、3节点）强迫接地时，经节点2注入网络的电流。可看成是在1节点加单位电压源，其它节点（2、3节点）强迫接地时，经节点3注入网络的电流。同理，其它元素的物理意义也就不难理解。通过以上讨论，可将YB的性质归纳如下：自、互导纳的物理意义自导纳在数值上相当于在节点施加单位电压，而其它节点全部接地时，经节点注入网络的电流。因此，它的定义为 (4-3)按如上定义，自导纳在数值上等于与该节点I直接连接的所有支路导纳的总和。如。互导纳在数值上相当于在节点施加单位电压，而其它节点全部接地时，经节点注入网络的电流。因此，它的定义为 （44）按如上定义，互导纳在数值上等于连接节点、支路导纳的负值，即。如。节点导纳矩阵YB为对称方阵。YB为阶时，以主对角线元素为对称轴，上三角元素与下三角元素对应相等。节点导纳矩阵YB为稀疏矩阵。也就是导纳矩阵中有零元素，所以不为满阵。因为网络中不是所有节点都相连，有些节点与节点之间无直接联系。那么其对应的互导纳则为零。一般，网络越大，节点数越多，YB的零元素越多，稀疏性越好。节点导纳矩阵YB具有对角优势。YB的行列内所有元素都有大小区别，但各行对角线上的元素总是大于非对角线上的元素，即（）。二、节点导纳矩阵的形成运用计算机进行电力系统计算时，在建立数学模型的过程中，需要首先形成节点导纳矩阵，一般，对多电压级网络要把全网的参数归算到同一电压等级后，才能形成节点导纳矩阵。在实际运行中，有些变压器的变比要发生变化（如调分接头时），这样，由于变比的变化，就需要重新归算那些与该变压器变比有关的参数，因此导纳矩阵修改的工作量将很大。为减小这个工作量，使导纳矩阵在变比变化时只是局部元素发生变化，解决的办法是引用“理想变压器”。如图4-3（a）所示，变压器一个变比为k的变压器，用两个变压器与之相当，一个为额定变比的变压器，一个为理想变比的变压器，即理想变压器，如图（b）所示。变比之间的关系为： (45)其中 实际变比； 额定变比（标准变比）； 理想变比（非标准变比）。所谓理想变压器是指以理想铁磁材料制作的具有理想磁化特性的变压器。它没有损耗，没有漏磁，不需激磁电流，仅对电压、电流起变换作用，因此变压器上的损耗全部归于额定变比的变压器承担。经引用理想变压器后，若将段的参数、归算至段，则需经两个变压器的变比折算，即在额定变比下折算一次，再经理想变比折算一次。这也相当于一次性把、按实际变比折算至次侧，懂得了这个道理，就可以绘制（c）图。（c）图中略去了变压器的励磁支路，、是按额定变比折算至次侧的值。由于（c）图中12段内有理想变压器存在，也就是在等值电路中仍有磁的联系，为把磁的联系转换成电的联系的等值电路，这里处理的方法是：、不需再经理想变比的折算，当变比变化时，看作不变，变，让与变压器的阻抗ZT去中合。于是，就可把（c）图中12段等效成（d）图所示的型等值电路，然而整个等值电路均为电的联系。(a)(b)(c)(d)1：k*y10y20y12121：kZ1 ZTZ12Y 2Y 2Y 2Y 21：k*(a) 原始多电压级网络(b) 引入理想变压器时(c) 接入理想变压器后(d) 变压器以导纳表示时图4-3 具有理想变压器的等值网络1：kN图4-3（d）中12段型等值电路的等值参数、可由两端口网络的等效条件求得：由图4-3（c）有 (A)理想变压器原边输入的功率和副边输出的分别为： 由于理想变压器无损耗，所以让，若不考虑变压器之间相位关系，因而有 (B)联立(A) 、(B)两式，解得 与下列节点电压方程比较 于是可得 （46）由此可见，采用理想变压器的好处在于不论变压器的变比怎样变化，次侧按额定变比折算到次侧的参数、不用再变。当变压器变比变化时，只看成是理想变比在变化，与有关的参数（、）在变化。也即导纳矩阵的局部元素发生变化。这样就大大减小了修改导纳矩阵的计算工作量。2、用直接形成法形成节点导纳矩阵YB根据自、互导纳的定义直接求取节点导纳矩阵的方法称为节点导纳矩阵的直接形成法，直接形成法应遵循的原则如下：节点导纳矩阵是方阵，其阶数等于网络中除参考节点外的所有节点数。节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非对角元非零元素的个数等于与该行相对应节点所连接的不接地的支路数。节点导纳矩阵的对角元等于各该节点所连接的支路导纳之总和。节点导纳矩阵的非对角元等于连接节点、支路导纳的负值。节点导纳矩阵是对称阵，以对角元为轴，上三角元和下三有元对应相等，因此，一般只求上三角或下三角的元素。网络中的变压器，可采用“理想变压器”，用型等值电路代替。按上述直接形成法，可对前面三个节点的网络图42直接形成33阶的节点导纳矩阵。YB=三、节点导纳矩阵的修改节点导纳矩阵是关于网络参数对节点电压和节点电流的导纳特性的描述，它取决于构成网络中各支路的电气参数和它们最终的连接方式。在电力网运行中，网络结构改变时，网络参数就改变，因此节点导纳矩阵就要随之而变。例如，网络中某电力线路、变压器的投入或切除，该支路的参数要发生变化，但由于改变一个支路的参数，只影响该支路两端节点自导纳和两节点之间的互导纳，因此可不必重新形成与新的运行状况相对应的节点导纳矩阵，只需将原有的矩阵作一下修改。几种典型的修改方法如下：从原有网络引出一支路，同时增加一节点，如图4-4（a）。设为原有网络中的节点，为新增加的节点，新增加支路导纳为。则因新增一节点，节点导纳矩阵将增加一阶。新增的对角元，；新增的非对角元，；原有矩阵中的对角元将增加 ，。在原有网络的节点、之间增加一支路，如图4-4（b）。这时由于仅增加支路不增加节点，节点导纳矩阵阶数不变，但与节点、有关的元素应作一下修改，其增量为：，在原有网络的节点，之间切除一支路，如图4-4（c）。切除一导纳为的支路，相当于增加一导纳为的支路，从而与节点、有关的元素应作如下修改：，原有网络的节点、之间的导纳由改变为如图4-4（d）。这种情况相当于切除一导纳为的支路，并增加一导纳为的新支路。从而与节点、有关的元素应作如下修改：，ijjjjiiiyijyij-yij-yijyij(a)(b)(c)(d)图4-4 电力网络接线变更示意图图 4-5 修正变压器变比时型等值电路k*-k*k*ijk*ijk*1yTk*k*1k*yT1k*k2*yT1yTk*2k*yTk*yTk*(a)(b)(a)示意图；(b)等值电路原有网络节点、之间变压器的变比由改变为如图4-5（a）所示。这种情况相当于在、节点之间并联一个变比为的变压器，再并联一个变比为的变压器，即相当于修改变压器。修改前，、节点之间的自导纳和互导纳为修改后，引用“理想变压器”的型等值电路，变压器变比由改变为时，原网中与节点、有关的元素应作如下修改：，4-2电力系统潮流分布的计算方法这里潮流分布的计算方法包括高斯塞德尔法、牛顿拉夫逊法和分解法。描述电力系统的数学模型是非线性的，解非线性方程最有效的方法是牛顿拉夫逊法或由它派生出来的分解法。但用牛顿拉夫逊法解题时，其初始值要求严格，否则不收敛。因此通常人们把牛顿拉夫逊法和高斯塞德尔法结合起来使用，即先用高斯塞德尔法进行几次迭代，迭代后的值作为牛拉拉夫逊法的初始值。一、功率方程和高斯塞德尔法潮流计算功率方程y10U1 (a)y12y20(b)图 4-6 两节点系统 （a）系统图 （b）等值电路 SG1 SG2 SL1 SL2 U2 SG2SL2=S2 SG1SL1=S1 描述电力系统的数学模型可由节点电压方程得到： 其展开式为或 （47）如图4-6所示的两节点系统有 称此式为两母线系统的功率方程，又叫潮流方程。式（47）通常称为功率方程，而且随节点电压相量表示形式的不同，可以得到不同形式的功率方程。若节点电压以直角坐标表示，且导纳，代入式（47）功率方程，并将功率的实部和虚部分开，即有 （48）若节点电压以极坐标表示，且导纳，代入式（47）功率方程，并将功率的实部和虚部分开，即有 （49）由上可知，如果把功率方程分为有功功率方程和无功功率方程，则每个节点有两个功率方程，其中有4个变量，包括节点注入有功、无功功率及节点电压的值和相位角。如节点i的变量为、。实际电力系统的等值电路中节点数较多，对于有n个节点网络，其潮流方程有2n个，变量数为4n个。根据电力系统的实际运行情况，一般每个节点4个变量中总有两个已知、两个未知。按各个节点所已知变量的不同，把节点分为三类，即PQ节点、PV节点和平衡节点（s节点）。PQ节点已知节点注入有功功率、无功功率；未知节点电压的值和相位角。PV节点已知节点注入有功功率和电压值；末知节点注入无功功率和电压相位角。平衡节点已知节点电压的值Us和相位角s；未知节点注入功率Ps、Qs。设有n个(n=1、2、 m1、 )节点的网络，其中有m1个节点，1个平衡节点，-个节点。一般网络中，PQ节点占大部分，平衡节点1个，PV节点占少部分（或有或无）。建立复杂电力系统的数学模型，不仅根据确定解算方法的不同有所不同，而且还可根据网络中节点类型的不同而不同。高斯塞德尔法潮流计算 由结点电压方程：解得： （410）用高斯塞德尔法进行潮流计算就是反复利用式（410），迭代求出各节点的电压，然后再计算各节点的功率以及各支路上的功率。高斯塞德尔法潮流计算的步骤：对节点有：1)设1节点为平衡节点，2)设其它各节点电压初值、3)据这些初始电压和以及将式（410）展开迭代求各节点电压。展开的一般式为 （411）反复利用（411）式，求出各点电压。对节点有： 设第个节点为节点，利用下式求节点无功： （412）求得后，再将其代入下式（413）将修正为ijyijyi0yj0SijSji图 4-7 线路上流通的功率当迭代收敛后，可计算平衡结点的功率 （414）进而求出各线路上的流动功率和功率损耗如图4-7中： （415）【例41】 有一电力系统接线图如图例4-1所示。等值电路的阻抗和对地导纳标么值均标于图中。已知：节点为PQ节点，各节点注入功率为、；节点为PV节点，其注入有功功率；电压幅值；节点为平衡节点，电压，试用高斯塞德尔法求出第一次迭代后的各节点电压的幅值与相位角。4235例4-1图11.051.051j0.033.7+j1.30.04+j0.250.1+j0.35j0.25j0.250.08+j0.30j0.015j0.25j0.2511.6+j0.8P4=5U4=1.05U5=1.055=02+j1解 形成节点导纳矩阵 导纳矩阵： 求第一次迭代后的各节点电压设电压初值为、取，计算PV结点电压取，以计算PV结点无功功率（调节无功功率）二、牛顿拉夫逊法潮流计算在直角坐标系下，描述电力系统的方程为： 节点用式（416）、（417），节点用式（416）、（418）。式（416）含个方程，式（417）含个方程，式（418）含个方程。将以上三式按台劳公式展开并略去高次项，整理得修正方程，缩写形式为： 其中雅可比矩阵各元素：在极坐标系下，描述电力系统的方程为： （419） （420） 节点用式（419）、（420），节点用式（419）。式（419）含个方程，式（420）含个方程。将以上两式按台劳公式展开，略去高次项后，整理得修正方程，其缩写形式为：其中 牛顿拉夫逊法潮流计算的基本步骤：（以直角坐标为例） 输入原始数据和信息； 形成节点导纳矩阵； 送电压初始值； 求功率的不平衡量、，校验是否收敛按求初值、的公式 计算雅可比矩阵的各元素（、）注意当时，对角元，。其中的、是节点注入（或流出）的电流的实部和虚部，可由下式求得： 解修正方程求 求节点电压新值 输 数 据形 成 送初值k0k+1=k求不平衡量求MaxMax打 印求雅可比矩阵解修正方程求求平衡点功率支路功率求电压新值1234567810否是图48 牛顿拉夫逊法框图 迭代次数为， 判断是否收敛，。 重复迭代第、步直至满足第步的条件； 求平衡节点的功率和节点的及各支路的功率，为常用的牛顿拉夫逊法框图如图4-8 所示。三、分解法潮流计算所谓分解法就是利用牛顿拉夫逊法修正方程的极坐标形式，考虑了电力系统的一些个性（如网络参数远大于，远大于，而且电压相位角很小，认为近似为零。再考虑节点注入的有功功率与节点电压相位角关系密切P，节点注入的无功功率与节点电压幅值关系密切QU），得出的一种简化方法。因此，将牛顿拉夫逊法极坐标形式的修正方程可作进一步简化：第一步简化（分块去耦）否是k+1=k输 数 据节点优化对B三角分解形成第一因子表用不接地支路形成导纳矩阵对B三角分解形成第二因子表向导纳矩追加接地支路给初值求修正解方程求求潮流Max图49 PQ分解法框图k0由 得： 第二步简化（对称化）得： 第三步简化（加速化）得： 即注意 与并不相同： 阶数不同为阶，包括节点、节点，除平衡节点外。为阶，包括节点，除节点、平衡节点外。 元素的取舍内容不同中的元素不严格是导纳矩阵的虚部，因为去掉了那些与有功功率和角度关系不密切的量。形成时不考虑线路接地电容支路及变压器非标准变比变化后的对地支路。经验证明，这样有利于收敛，中元素的为0，可以克服之比大于1不收敛的缺陷。的元素是由导纳矩阵的虚部构成，的元素中去掉了那些对无功功率及电压幅值影响较小的因素，如线路的电阻。分解法潮流计算的基本步骤如图4-9所示。本章基本要求一、 掌握电力网络的数学模型了解计算机计算时的一般步骤。掌握节点电压方程的意义和特点，充分理解并掌握节点导纳矩阵的性质和各元素的物理意义。建立节点电压方程的关键是形成其系数矩阵节点导纳矩阵。形成节点导纳矩阵的最简捷的方法是根据自导纳、互导纳的定义直接求取。这里要充分注意节点导纳矩阵的几点性质，如对称性、稀疏性，对角元占优等。利用这些性质，一方面可大大简化计算，另外还可检验所形成的节点导纳矩阵的正误。充分理解并掌握变压器非标准变比的概念及其处理方法，熟练掌握多电压级网络等值电路的作法。要特别注意理想变压器的数学模型，即其形等值电路的求法。问题的关键是将一个实际变比的变压器用它的阻抗串联一个无损耗的理想变压器来代替（忽略变压器的励磁回路），这样可以利用理想变压器输入、输出功率相等这一特点，并计及阻抗上的电流、电压关系，导出实际变压器两端节点的电流、电压关系，从而作出其形等值电路。熟练掌握形成和修改节点导纳矩阵的方法。二、功率方程和高斯塞德尔法潮流计算充分理解并掌握潮流计算的功率方程，变量分类和节点分类，明确平衡节点在潮流计算中的意义。功率方程是进行潮流计算的各种方法的基础，因此，必须首先掌握功率方程，功率方程是节点电压的非线性方程，解非线性方程最常用的方法就是迭代法。在电力系统潮流计算中，表征各节点运行状态的参数是该点电压相量及复功率，每个节点都 有四个表征节点运行状态的变量，、。根据电力系统实际运行条件，按给定变量的不同，一般将系统中的节点分为节点，节点和平衡节点三种类型。平衡节点亦称缓冲节点或摇摆节点，它在潮流计算中是必不可少的。其作用有二，一是令该点电压相角为零度，相当于在计算中以该点电压相量作为参考轴，二是由于该点待求量为有功功率及无功功率，相当于该点承担了整个系统的功率平衡。了解高斯塞德尔法潮流计算的基本原理，迭代方程，迭代过程及原理框图，要注意通过原理框图来理解潮流计算过程。三、掌握牛顿拉夫逊法潮流计算的方法理解并掌握牛顿拉夫逊法解非线性方程组的基本原理。牛顿拉夫逊法的实质是一种逐步线性化的方法，其要点是在每次迭代时形成并求解修正方程式。然后用求得的节点电压修正量求出节点电压的新值。牛顿拉夫逊法是数学中解非线性方程组的典型方法，其特点是收敛性好。在应用牛顿拉夫逊法解决电力系统潮流计算问题时，采用节点编号优化和稀疏矩阵处理技术等编程技巧以后，其计算速度和计算机内存占有量等方面均有很大改善。理解并掌握以直角坐标和极坐标形式表示的牛顿拉夫逊法潮流计算的修正方程式及其雅可比矩阵各元素的意义和特点。修正方程的系数矩阵雅可比矩阵是牛顿拉夫逊法潮流计算的关键，雅可比矩阵有以下特点，一是雅可比矩阵各元素都是节点电压的函数，它们的数值将在迭代过程中不断地变化。二是将雅可比矩阵适当分块以后，分块雅可比矩阵和节点导纳矩阵将有相同的结构，这在求 解修正方程式时是有利的。三是雅可比矩阵的元素或子块都不具有对称性。可自行编制电力系统潮流计算的计算机程序上机计算，这样可对使用计算机计算潮流分布的全过程有一个全面而深刻的理解。习题四41 按定义形成如图4-1所示网络的节点导纳矩阵（各支路电抗的标么值已给出）。3-j20j0.5-j20j0.2j0.2j0.4124习题4-1图 42 如图4-2所示各支路参数为标么值，试写出该电路的节点导纳矩阵。Z24=j0.1Z23=j0.2Z35=j0.4Z12=j0.4Z13=j0.25y20=j0.2y10=j0.24235习题4-2图1习题4-3图ZT1:k*1ZTk :1*4ZTk :1*3ZT1:k*243 已知理想变压器的变比k*及阻抗，试分析图4