（应用数学专业论文）基于时间序列的广东省高等教育规模分析及预测.pdf

基于时间序列的广东省高等教育规模分析及预测 专业： 姓名： 指导教师： 应用数学 胡菲 姚正安教授 摘要 处在改革开放战略前沿的广东，却由于多方面的原因高等教育的发展相对缓 慢，经济与高等教育的发展非均衡而且由于受到全球金融危机的影响，广东省 以出口为主的劳动密集型企业出现经营困难，对高校毕业生的吸纳能力减弱，高 校毕业生面临前所未有的就业挑战因此，对广东省高等教育适度规模的研究是 有必要的本文主要目的是针对国家教育部重大项目“高校本科专业设置预测系 统 中的人才合理供给预测子问题进行研究，建立适用性较强的、针对广东省人 才供给方面的模型，分析现状、预测未来，希望能为广东省高等教育重新定位提 供指导 时间序列模型是用于高等教育规模预测中比较先进的模型之一本文就是基 于时间序列分析理论，采用高校在校学生数代表高等教育规模来进行研究从经 济、社会等角度，分析了广东省高等教育规模的现状，并对其进行了数量预测首 先，针对广东省高校在校学生数的自身规律，利用1 9 7 8 2 0 0 8 年的数据建立了 a r m a 模型、自回归模型和条件异方差模型，同时对各模型的预测结果进行比较， 结合各自的优点得到最为合理的预测模型且应用于未来十年的预测其次，为了 达到对广东省高等教育规模的宏观把握，寻找影响高等教育规模变化的实质因 素，本文在对影响因素的定性分析基础上，采用相关性分析法选取了相关的变量 作为候选影响因素指标，并采用a d f 检验( 单位根检验) 和e g 检验，证实了广 东省高等教育规模与广东省的适龄人口数、人均地区生产总值、恩格尔系数、第 三产业占地区生产总值的比重等因素确实存在长期均衡关系然后，建立e c m 模 型( 误差修正模型) ，实现用数据的动态非均衡来逼近长期均衡过程通过协整 回归方程中的系数来分析这四个因素的重要性，通过e c m 模型分析四个因素的波 动对目标变量的波动影响程度最后，比较两种关系下广东省高校在校学生数的 预测值，指出广东省高等教育规模所存在的问题 本文得到较为满意的预测结果，为人才供给预测提供一定的依据但由于所 涉指标与数据十分庞大，采集难度较高，导致本文所用数据较少，因而只能对短 期预测提供一定的指导，对中长期预测有待进一步地验证 关键词：a r m a 模型、自回归模型、条件异方差模型、协整理论、误差修正模型 a n a l y s i sa n d f o r e c a s to ft h es c a l eo f h i g h e r e d u c a t i o ni ng u a n g d o n gp r o v i n c eb a s e do n t i m es e r i e s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s n a m e ：h u f e i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry a o a b s t r a c t i ng u a n g d o n gp r o v i n c ew h i c hi sa tt h ef o r e f r o n to fr e f o r ma n do p e n i n gu p s t r a t e g y , h i g h e re d u c a t i o nd e v e l o p e dr e l a t i v e l ys l o wd u et ov a r i o u sr e a $ o l l s e c o n o m i c a n dh i g h e re d u c a t i o nd e v e l o p m e n tw a su n b a l a n c e d m o r e o v e r , a f f e c t e db yt h eg l o b a l f i n a n c i a lc r i s i s ，l a b o ri n t e n s i v e e n t e r p r i s e s i n g u a n g d o n gp r o v i n c ee n c o u n t e r e d d i f f i c u l t i e si nt h e i rm a n a g e m e n ta n da b s o r b e dl e s sg r a d u a t e s g r a d u a t e sa r ef a c i n gt h e u n p r e c e d e n t e de m p l o y m e n tc h a l l e n g e t h e r e f o r e ，i ti sh i g h l yn e c e s s a r yt os t u d yo n t h ea p p r o p r i a t es c a l eo fh i g h e re d u c a t i o ni ng u a n g d o n gp r o v i n c e t h ep u r p o s eo ft h i s p a p e ri st or e s e a r c ht h es u b p r o b l e mo fp r o j e c t p r o f e s s i o n a ls e t t i n gf o r e c a s t i n g s y s t e mo fh i g he d u c a t i o nm a j o r ”s u p p o r t e db yt h em i n i s t r yo fe d u c a t i o n h o p i n gt o p r o v i d es o m eg u i d a n c ef o rt h er e o r i e n t a t i o no fh i g h e re d u c a t i o ni ng u a n g d o n g p r o v i n c e ，t h i sp a p e ra n a l y z e st h es i t u a t i o n ，e s t a b l i s h e st h em o d e l st h a to fb e t t e r a p p l i c a b i l i t ya n df o r e c a s t s t i m es e r i e sm o d e li so n eo ft h ea d v a n c e dm o d e l st h a tu s e dt op r e d i c tt h es c a l eo f h i g h e re d u c a t i o n b a s e do nt i m es e r i e st h e o r y , t h i sp a p e rs t u d i e st h es c a l eo fh i g h e r e d u c a t i o nr e p r e s e n t e di nt h en u m b e ro fs t u d e n t sr e g i s t e r e d f r o mt h ee c o n o m i ca n d s o c i a lp o i n to fv i e w , i tm a k e st h ea n a l y s i sa n df o r e c a s to nt h es c a l eo fh i g h e r e d u c a t i o ni ng u a n g d o n gp r o v i n c e f i r s to fa l l ，b ya n a l y z i n gt h eo w nr u l e so ft h e n u m b e ro fs t u d e n t se n r o l l e df r o m19 7 8t o2 0 0 8 ，t h i sp a p e rs e t su pa u t o r e g r e s s i v e m o v i n ga v e r a g e ( a r m a ) m o d e l t h e a u t o r e g r e s s i v e ( a r ) m o d e l a n dt h e a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ( a r c h ) m o d e lw h i l et h ef o r e c a s to f e a c hm o d e la r ec o m p a r e da n dt h ea d v a n t a g e so fe a c hm o d e la r ec o m b i n e dt og e tt h e i i i m o s tr e a s o n a b l ef o r e c a s tm o d e lu s e di nt h en e x td e c a d ep r e d i c t i o n s e c o n d l y , i no r d e r t of i n dt h er e a li m p a c to ff a c t o r s ，o nt h eb a s i so ft h ed e t e r m i n i s t i ca n a l y s i so nt h e i n f l u e n t i a lf a c t o r si nt h es c a l eo fh i g h e re d u c a t i o n , t h i st h e s i sp r o v et h ec o - i n t e g r a t i o n r e l a t i o n s h i pa m o n gt h e mi nt h e o r yb yu s i n gt h ec o i n t e g r a t i o nt h e o r y ，a d o p t i n g a d f - t e s t ( u n i tr o o tt e s t ) a n de gt e s t a n dt h e n , e s t a b l i s he c mm o d e l ( e r r o r s c o r r e c t i o n m o d e l ) t o a c h i e v et h e p r o c e s st h a t t h e d y n a m i cn o n - e q u i l i b r i u m a p p r o x i m a t e sl o n g - r u ne q u i l i b r i u m b yt h ec o e f f i c i e n to fc o i n t e g r a t i o nr e g r e s s i o n e q u a t i o n , a n a l y z et h ei m p o r t a n c eo ff o u rf a c t o r s t h r o u g ht h ee c mm o d e la n a l y z e t h ei n f l u e n c ei nv o l a t i l i t yo ff o u rf a c t o r so nt h et a r g e tf l u c t u a t i o n s f i n a l l y , c o m p a r i n g t h ep r e d i c t i v ev a l u e ，t h ee x i s t i n gp r o b l e m si nt h es c a l eo fh i g he d u c a t i o ni sp u t f o r w a r d t h i st h e s i sa c h i e v e sr a t h e rs a t i s f i e dp r e d i c t i o nr e s u k sa n dp r o v i d e se v i d e n c ef o r t h et a l e n ts u p p l yp r e d i c t i o n b u ta st h el a r g ei n d i c a t o r sa n dd i f f i c u l tc o l l e c t i o n , l e s s d a t au s e di n t h i sp a p e r , w h i c hc a np r o v i d es o m eg u i d a n c ef o rs h o r t t e r mf o r e c a s t w h i l et h ep r a c t i c a b i l i t yo fm e d i u ma n dl o n gt e r mf o r e c a s tw i l ln e e dt ob ev e r i f i e d k e y w o r d s ：a r m am o d e l ；a u t o r e g r e s s i v em o d e l ； a r c hm o d e l ；c o i n t e g r a t i o nt h e o r y ；e c mm o d e l i v 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引 用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担 学位论文作者签名：却拜 日期：劫p 年月勰日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定 机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢 利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室 被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论 学位论文作者签名：新诱导师签名： 日期：加阵歹月翻日日期：矽年r 月二拥 中山大学硕士学位论文 1 1 课题背景 第一章绪论 “九五”以来，广东省高等教育快速发展广东省自1 9 9 9 年以来，高等教育 一直保持着稳定快速发展的态势综观这几年的发展状况，广东高等教育近几年 规模扩张很快，通过了内涵和外延相结合的方式增加高校数，扩大各高校的办学 规模，学校数、招生数以及专任教师数等方面有惊人的增长，各高校的在校生人 数都有大幅度提高n 1 广东省高校在校生人数从2 0 0 2 年的4 6 7 8 万人，增加到 2 0 0 8 年的1 2 1 6 3 9 万人，增长了1 6 0 但随着高校的扩招出现了一个不容忽视的问题高校毕业生结构性就业 难：一方面是用人单位招不到合适的人，另一方面是大批的高校毕业生因专业与 市场脱节而落实不了就业单位，形成了现在的结构性就业难高校在人才培养上 存在供给与市场人才需求结构不匹配、专业化教育和社会适应性存在矛盾、学科 专业建设被动适应经济和社会发展变化等问题自2 0 0 8 年受到金融危机的影响， 广东省沿海企业特别是以出口为主的密集型中小企业出现经营困难，部分企业停 产关闭，社会对高校毕业生的吸纳能力势必减弱，高校毕业生面临前所未有的就 业挑战与此同时，据人力资源和社会保障部统计，2 0 0 9 年将有6 1 0 万应届高校 毕业生需安排就业，加上历年没有就业的人员，超过7 0 0 万毕业生需要解决就业 问题，其中本科生占了很大部分，是最庞大的就业群体，且毕业人数年年上升 如何根据市场经济发展需求进行学科专业设置调整，实现供需平衡，已成为 摆在高校面前的现实问题这个问题必须引起我们的高度重视，如不能加以妥善 地引导与解决，它最终会影响高等教育的健康发展，甚至社会的稳定为此，国 家就需要建立高校专业设置预测系统，通过对人才供求关系变化的预测，为大学 专业设置与调整提供信息咨询和决策指导，避免高校专业设置与调整的盲目 性这也有利于实现招生、培养与就业相互协调，保证高校专业设置与社会需求、 市场需求在结构上、数量上和质量上拟合“前移化 ，进而解决目前我国专业设 置中存在的盲目性、滞后性等问题，实现人才供给与需求保持动态适应的长效机 制 中山大学硕士学位论文 本文所研究的广东省高等教育规模预测问题是国家教育部、财政部重大项目 “高校本科专业设置预测系统”中的子问题它是目前高校专业设置调整工作中 的一项重要预测工作改革开放以来，广东领改革开放和国家优惠经济政策之先， 以及在市场经济发展较早的推动下，经济得到快速增长，但在高等教育方面，由 于众所周知的历史及政治原因，建国以来一直处在战略前沿的广东，对高等教育 并没有给予相应的倾斜，高等教育的发展相对缓慢，从而在某种程度上导致了经 济与高等教育的非均衡发展格局圆研究广东省高等教育规模，是对广东省人才 供给进行预测，这对促进该省产业结构的调整和升级是必要的 1 2 高等教育规模研究现状 目前，大部分的高等教育规模预测都集中于全国范围，具有宏观指导作用、 规范化、制度化、社会化的区域高等教育规模预测，尚未普遍启动 高等教育规模综合反映了人才供给规模的发展状况，其形成是一个非常复杂 的过程，影响因素很多，因此，其预测几乎要牵涉到宏观体系中的所有指标，且 涉及到的数据体系具有一定的特性，这也给高等教育规模预测建模带来了一定的 难度，使得高等教育规模预测预测成为一个研究难题，引起很多专家和学者的关 注，也取得了这方面的很多研究成果 ， 综合而言，国内外学者对高等教育规模的建模预测的主要方法有： ( 1 ) 回归分析法 高等教育规模受到多方面因素的影响，这类模型是在定性分析的基础上，确 定几个主要的影响因素作为解释变量，如人口数、g d p 、教育经费及当前高等教 育政策取向等，以高等教育规模量为目标变量，建立多元回归方程 】，= 3 0 + 展五+ + 风以+ a ，其中】，为高等教育规模，五，五，以为解释变量， j “为随机扰动删 这类模型，比较容易理解、方便解释，但其缺点有如下三方面：一是影响因 素的确定具有很强的主观性，很可能自变量和因变量的实际因果关系不明显，也 有可能造成相关因素的遗漏或挑选了次要因素，而造成预测结果的不精确；二是 这类模型目标变量的预测值的计算是基于解释变量的预测值可以获得的前提下 的，因而误差可能较大；三是这类模型要求历史数据比较多，有一定的局限性 2 中山大学硕士学位论文 ( 2 ) 趋势外推法 用历年的高等教育招生或在校生规模的绝对数或相对数，根据时间趋势进行 外推趋势外推法有两个假设条件：一是假设决定过去发展因素同样也决定着未 来发展的趋势；二是假设预测对象的发展变化是渐变式而不是突变式 该方法的缺点是仅限于教育系统本身的过去、现状、问题进行研究，缺乏社 会、经济的联系，即没有对影响高等教育规模增长的一些本质的因素进行分析， 显得不够全面嘲 ( 3 ) 指数平滑法 大多数随机事件一般都是近期的结果对现在影响会大些，远期的结果对现在 的影响会小些为了更好地反映这种影响作用，我们将考虑到时间间隔对事件发 展的影响，各期的权重随时间间隔的增大呈指数衰减，这是指数平滑法的基本思 想 指数平滑法是以前期的实际值和前期的预测值为基础，经过修匀处理后得到 本期的预测值，这样能很好地消除时间序列的偶然性变动计算公式如下： 母d = a v t + ( 1 一口) 础， 其中，母d 为第r 期的一次指数平滑值；形为第，期的观测值；a 为平滑系数 ( 0 口1 ) ；铿：为第f 一1 期的指数平滑值m 1 ( 4 ) 学生流法 学生流法认为学龄儿童从进入幼儿园n d , 学、初中，再进入高中阶段乃至升 入大学都是一个相对固定的流程只要有充分的统计数据( 如各年级的在校学生 数、辍学率、升学率等) ，再对学龄人口、升学率和辍学率做出较科学的预测， 就可用学生流的方法推出各级学校的招生人数 但由于高等教育构成比较复杂，一般可根据各类高等学校的构成情况，建立 不同的学生流模型进行预算，然而需要注意的是，与义务教育不同的是高等教育 招生数与高中毕业生数不存在直接对应关系故在实际规划中，学生流模型多用 于初等及普通中等教育的预测招生数一般能过趋势外推法预测招生增长率后推 算得出，从而趋势外推法的缺陷也相应地表现在学生流模型中睁1 0 1 ( 4 ) 灰色预测法 灰色系统理论是通过对信息的提取、筛选、生成去把握、认识未知信息， 中山大学硕士学位论文 进而实现对灰色系统的确切描述和有效控制，社会、经济、农业、生态等本征性 灰色系统的分析、建模、预测、决策和控制是灰色系统的主要研究任务；灰色预 测是一般是基于g m ( 1 ，1 ) 进行的预测选取在校生的数量为主因素建立灰色模型， 对今后教育事业的发展作出预测n 卜1 3 1 该模型的缺点是需要随时将每一个新得到数据置于原始序列中，同时及时地 去掉旧信息，并且在现实的系统中，高等教育规模还受到国家宏观政策、投入的 教育经费等诸多随机因素的影响，这些随机因素除了信息不完全确知外，往往兼 具有模型性 综上所述，我们可以看到国内外学者在高等教育规模预测在理论和预测方法 上己经做出了很多的研究，也取得了一定的成果，但是由于高等教育规模影响因 素很多，其预测牵涉到的数据体系具有一定的特性，这也给高等教育规模预测建 模带来了一定的难度这其中主要的困难是因素选择多数都是沿着经济发展决 定人才供给的思路，以经济增长的有关数据作为预测基础，以高等教育规模量作 为预测量，进行预测模型设计具有代表性的是目前美国劳动经济学界用于评价 个人接受高等教育的两个代表性收益指标是年收益率、大学毕业生工资升水率 ( c o l l e g ew a g ep r e m i u m ) 这种方法在发达经济时代较为适用，但广东省的高 等教育开始进入大众化阶段，其中的很多其他影响因素也同样制约广东省高等教 育规模的发展我们可以看到，在中国随着人民的生活水平的快速提高，人们的 生育观念逐渐改变，在计划生育政策后时代，适龄人口数的变化对高等教育规模 的影响越来越大，因而，在预测的过程中，不容忽视适龄人口数这一因素的影响 本文将在前人研究的基础上，采取多种预测理论和预测方法建立预测模型， 对广东省高等教育规模进行预测，得到多个预测值，且对这些预测结果进行判断、 对比研究，改进现有的预测方法，同时进行预测值的修正然后分析广东省高等 教育的主要影响因素，根据分析结果找出现在的广东省高等教育规模的缺陷 1 3 本文的研究思路和组织结构 高等教育规模预测是一个复杂的问题，与之相关的各种因素数据存在高度的 非线性与不精确性是造成这问题的主要原因时间序列分析提供了一套具有科学 依据的动态数据处理方法，通过对模型的分析和研究，可了解数据的内在结构和 4 中山大学硕士学位论文 复杂性，从而达到预测其发展趋势并进行必要的控制的目的因此，本文针对广 东省高等教育规模的历史数据建立时间序列预测模型 本文用高校在校学生数代表高等教育规模，研究思路如下： 第一，自身规律的研究对广东省高校在校学生数的时间序列，建立三种 预测模型：a r m a 模型、自回归模型、条件异方差模型，并通过测试集来检验比 较三者的优劣，再预测未来十年的广东省高校在校学生数； 第二，影响因素的研究先定性地从经济发展状况、居民生活水平、人口 环境三个宏观层面选取其中的主要因素进行分析，再由相关性分析选取相关的变 量作为协整关系的指标，分析它们之间是否存在长期均衡关系； 第三，利用历史数据，以主要影响因素为目标值，运用时间序列模型对其 进行预测，将值代入推导出来的协整回归方程计算广东省高校在校学生数的另一 个预测值； 第四，分析比较两种关系下广东省高校在校学生数的预测值，指出现阶段 广东省高等教育规模所存在的问题 组织结构如下： 第一章介绍了本文的课题背景及高等教育规模预测的研究现状； 第二章介绍了时间序列的相关理论； 第三章利用广东省高校在校学生数自身的规律，建立a r m a 模型、自回归模 型及条件异方差模型，比较这三种模型的优劣，并预测其在未来十年内的值； 第四章对广东省高校在校学生数的诸多影响因素进行分析，提取其中主要的 因素作协整回归方程和e c m 模型，从方程的系数及与第三章的预测结果进行对比 分析得到广东省高等教育规模存在的问题； 第五章是进行了本文工作的总结和展望 中山大学硕士学位论文 第二章预备知识 时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间先后的顺序排 列，然后分析它自身的统计规律及随时间的变化趋势，外推得到预测的目标取值 该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助 信息1 4 刊 2 1a r m a 模型概述 a r m a 模型是一类较常用的随机时序模型，由博克斯( b o x ) 、詹金斯( j e n k i n s ) 创立它是一种精度较高的短期时序预测方法，其基本思想是：某些时间序列是 依赖于时间的一族随机变量，构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性，但整 个序列的变化却有一定的规律性，可以用对应的数学模型近似描述通过对该数 学模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征，得到到最小方差 意义下的预测值 a r m a 模型有三种基本模型：自回归( a r ：a u t o r e g r e s s i v e ) 模型、移动平 均( m a ：m o v i n ga v e r a g e ) 模型以及自回归平均( a i 姒：a u t o r e g r e s s i v em o v i n g a v e r a g e ) 模型 2 1 1 三种基本模型 1 、自回归模型a r ( p ) 设时间序列 置，t = o ，1 ， ，五与其自身前一个或几个时刻的观测值 五- ，x t - 2 , 有关或有依赖性在一定条件下，可以用类似于线性回归的随机差分 方程 五= 馈置一l + 仍五一2 + + 五一p + q ( 2 1 1 ) 来描述，式( 2 1 1 ) 称为p 阶自回归模型，记作a r ( p ) 其中实数p 为自回归模型 阶数，实数9 ，( 1 p ) 称为自回归模型系数，f , t 为零均值的白噪声序列 不失一般性，在式( 2 1 1 ) 中我们假定五序列均值为o 若瓯= j l f o ，则令 z = 五一j l l ，可将z 写成式( 2 1 1 ) 的形式无特别说明，以下公式中的序列都 7 中山大学硕士学位论文 存在0 均值假定 为方便起见，引见延迟算子概念令 b x t = 五十b 2 墨= b ( 甄) = 五- 2 一般有五= 置一七 - 1 ，2 ，3 ，) ，称曰为一步延迟算子，矿为七步延迟算子 于是，式( 2 1 1 ) 可以改写为 ( b ) 墨= b t ， 其中， o ( b ) = l - ( p l b - 呻 蝴) 模型具有平稳解的充要条件是的( b ) 根都全在单位圆外，即 ( 曰) = 0 的根大于1 2 、移动平均模型m a ( q ) 由随机过程分析知，利用白噪声的特性，对于任一相关随机序列时序，总可 用一个互相独立的正态白噪声序列经线性滤波作用而得到： 鹭= 岛一q b l 一巳岛1 ( 2 1 2 ) 式( 2 1 2 ) 称为q 阶移动平均模型，记做m a ( q ) 显然，凡是满足模型的时序总是 平稳的而不用管巳( 1 g ) 的值如何 引入后移算子b ，有 z = o ( b ) s ， 其中， o ( b ) = 1 - o i b - 0 2 8 2 o q b 9 通常希望a r 过程与m a 过程能相互表出，即过程可逆因此要求滞后多项式 o ( b ) 的根都在单位圆外称式岛= o 1 ( b ) 置为式( 2 1 2 ) 的逆转形式，它等 价于无穷阶的a r 过程 类似地，式( 2 1 1 ) 满足平稳条件时，称式z = - 1 ( b ) s ，为a r ( p ) 模型的 传递形式，它等价于无穷阶的m a 过程 3 、自回归滑动平均模型a r m a ( p ，q ) 零均值随机序列的一般数学描述为 五铣五一l 一一z 一，= q o , e ，- l 一一巳q 中 ( 2 1 3 ) 中山大学硕士学位论文 其中，仍( 1 f p ) 和日，( 1 q ) 为实参数，s t 是满足条件的白噪声 方程( 2 1 3 ) 称为p 阶自回归一q 阶滑动平均模型显然，a r m a ( p ，q ) 模型是a r ( p ) 和m a ( q ) 的混合模型 式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 都是( 2 1 3 ) 的特殊情况，即对于a r m a ( p ，q ) 模型， 若阶数q = 0 ，则是自回归模型a r ( p ) ；若阶数p = 0 ，则成为移动平均模型m a ( q ) 引入后移算子b ，式( 2 1 3 ) 可表示为 ( b ) 墨= o ( 台) 岛， ( 2 1 4 ) 其中，中( b ) = 1 一仍b 一仍召2 一a p p b p ，o ( b ) = 1 一q b 一岛b 2 - 0 9 8 9 ，并假定 ( b ) 与o ( 刀) 无公因式 a r m a ( p ，q ) 过程的平稳条件是滞后多项式( 曰) 的根在单位圆外，可逆条件 是0 ( 8 1 的根在单位圆外 2 1 2 随机时间序列的特性分析 时间序列分析是一种描述动态数据特性的理论和方法，其突出的特点是方便 应用，该理论不同于用多维概率分布来描述动态数据的随机过程理论随机过程 有时也称为大样本理论，因为多维概率分布是建立在无限样本数据的统计基础上 的时间序y j j 贝j j 是从有限的样本数据中拟合具有一定精度的时间序列模型，因此， 时间序列分析又可称为小样本理论应当指出，在建立时间序列模型之前，首先 应该研究对象的性质，以判断它是否满足建模的条件如果不符合建立a r m a 模型 的条件，应考虑对原序列做适当调整，进而分析是否能够用a r m a 模型进行建模， 以确保建立时间序列模型的可靠性和置信度，并满足一定的精度要求 1 、自相关和偏相关 运用a r m a 模型研究时间序列，最重要的是研究自相关和偏相关系数 构成时间序列的每个序列值五，z 中，墨_ 之间的简单相关关系称为自相 关自相关程度由自相关系数纯度量，表示时间序列中相隔七期的观测值之间的 相关程度与简单相关系数一样，自相关系数p k 的取值范围是【_ l ，1 】，并且i 风i 越 接近1 ，自相关程度越高 偏自相关是指对于时间序列五，在给定五掣五巾，五小。的条件下，五与 9 中山大学硕士学位论文 置。之间的条件相关关系其相关程度用偏自相关系数度量纵，有- 1 p a 1 m a ( q ) 序列的自相关函数为 p k = j 爷赭邝脚； 亿1 5 ， = 1 + 钾+ 彰+ + 钙 ” ( 2 5 ) 【o ，k q 就是说成在k q 以后全部是0 ，这种性质称为自相关函数的截尾性这个特 点对于利用样本自相关函数识别移动平均过程的阶数q 非常重要m a ( q ) 序列的 偏自相关函数随着滞后期k 的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0 ，这种 特性称为偏自相关函数的拖尾性 a r ( p ) 序列的偏自相关函数满足 p 皓：j 竹 1 钮 ( 2 1 6 ) 触2 + l j 1 ， 其中， 谚= 骺并卸；嘭= n o j 伽, l i 称为( 残差) 自回归模型( a u t o r e g r e s s i v em o d e l ) 实践中，对趋势效应的拟合常用如下形式： 1 自变量为时间的幂函数， j r l = q + b l t + + 9 k p + t 2 自变量为历史观察值 薯小而书，t 一。) ， 霉= 风+ 展薯一l + + 成五一i + q 第二种方式和差分方式的原理雷同 2 2 2d w 检验 d w 检验是由j d u r b i n 和g s w a s t o n 于1 9 5 0 年在考虑多元回归模型的残差独 立性时提出的一个自相关检验统计量我们把它借鉴过来进行时间序列残差自相 关性检验 原假设：残差序列不存在1 阶自相关性，即 h o ：e ( g ，岛1 ) = o 等价于风：p = 0 ； 备选假设：残差序列存在1 阶自相关性，即 1 6 中山大学硕士学位论文 q ：e ( q ，8 t 1 ) 0 等价于局：p 0 构造d w 检验统计量： h厂打一、蚪 ( q 一6 t - 1 ) 2i s 蠢。l 一2 毛q 。 d w ：蔓l 一：蔓兰上l 上生一； d w 兰= 2 ( 1 一p ) 其中，p 为相关系数因为一1 p 1 ，所以0 d w 4 当0 p l 时，序列正相关，且p 一1 时，d w 一0 ；p 寸0 时，d w 专2 根据这个性质，可以确定两个临界值吮，如( o 吮，办2 ) ，当d w 吃时，序列 显著相关；当d w 如时，序列显著不相关；当吮d w 元时，现有数据还无 法做出肯定判断，需要更多的信息支持 当- i o , r f o ，a ，0 ； 条件2 ：参数有界 艺氇+ 艺t 1 中山大学硕士学位论文 结合残差的自相关性，可以构造的模型称为a r ( m ) 一g a r c h ( p ，q ) 模型： 薯= f ( t ，薯一l ，五一2 ，) + 坼； 坼= 风+ 郎 岛= 曩q ； 7 j i ：+ p 吃h t - ，+ 羔l 吐， 式中，厂( f ，誓- l ，誓- 2 ) 为 薯 的a u t o r e g r e s s i v e 模型，a t n ( o ，1 ) 2 3 多元时间序列分析 很多序列的变化规律都会受到其他序列的影响，这就涉及到多元时间序列 但是从技术上来讲，要求输入序列和研究序列都是平稳的显然响应序列和输入 序列均平稳的要求是非常苛刻的，这严重限制了多元时间序列分析的运用和发展 直到1 9 8 7 年e n g l e 和g r a n g e r 提出了协整( c o i n t e g r a t i o n ) 的概念 在协整的理论下，并不要求响应序列和输入序列自身平稳，只要求它们的回 归残差序列平稳这个概念的提出极大地促进了多元时间序列的发展，它实际上 是将多元回归和时间序列分析有机地结合在了一起，有效地提高了预测的精度 2 3 i 平稳多元序列建模 1 9 7 6 年，c o x 和j e n k i n s 采用带输入变量的a r i m a 模型，为平稳多兀序列建 模该模型的构造思想是：假设响应序列 咒 和输入变量序列( 即自变量序列) h ) ， 恐， ， 均平稳，首先构建响应序列和输入变量序列的回归模型： + 圭湍b i = 1 ”岛 只= u + 罴喘稚托 v j o ， 式中，( b ) 为第f 个输入变量的自回归系数多项式，o ，( b ) 为第f 个输入变量的 移动平均系数多项式，为第f 个输入变量的延迟阶数，矗 为回归残差序列 因为 以 和 x l , ， 吒，) ， ) 均平稳，平稳序列的线性组合仍然是平稳的， 所以残差序列为平稳序列使用a r m a 模型继续提取残差序列 s f ) 中的相关信息 最终得到的模型形为： 1 9 中山大学硕士学位论文 卜；榴 缇3 1 ， 卜器q “ 模型( 2 3 1 ) 被称为动态回归模型，记为a r i m a x 式中，( 刀) 为残差序列自回 归系数多项式， ( b ) 为残差序列移动平均系数多项式，口，为零均值白噪声序列 如果残差序列的平稳性条件不满足的话，我们就不能构造a r i m a x 模型，因 为这时很容易产生“虚假回归 的问题 2 3 2 单位根检验法 由于“虚假回归”问题的存在，所以我们进行动态回归模型拟合时，必须先 检验各序列的平稳性在前面我们已经介绍过序列平稳性的图检验方法，由于图 检验带有很强烈的主观色彩，为了客观起见，人们开始研究各种序列平稳性统计 检验方法，其中应用最广的是单位根检验 以a r ( p ) 为例：五= 纯五- l + + 置一一+ q ，岛一n ( 0 ，吒2 ) 其特征方程为a ，一仍旯川一= o 当所有特征根都在单位圆内，即l l l ， 该序列 五) 平稳；反之，当有一个特征根等于l 时，则序列不平稳 检验方程为 v x , = p 五一l + 展v e l + + 以一l v 誓一肚l + 岛， ( 2 3 2 ) 其中，p = 卿+ 仍- i - - + 一1 ，色= 一竹+ l - 吼+ 2 一，= 1 , 2 ，p - i 在实际 操作中，式( 2 3 2 ) 中的参数p 视具体情况而定，一般选择能保证q 是白噪声的 最小的p 值 若序列 五) 平稳，则p o ；若序列 置) 不平稳，则至少存在一个单位根使 得p = 0 因此，a d f 检验可以通过对参数p 的检验等价进行： 风：p = 0 ，喝：p 0 相应的a d f 检验统计量为：f 2 葛茜，其中s ( 声) 为参数p 的样本标准差a d f 检验 中山大学硕士学位论文 法有三种类型： 第一种类型：无常数均值、无趋势的p 阶自回归过程 t2 仍薯一1 + 仍薯一2 + + 葺一p + q ，i 第二种类型：有常数均值、无趋势的p 阶自回归过程 ；2j l l + 仍薯一1 + 仍薯一2 + + 薯一，+ s t ； 第三种类型：既有常数均值，又有线性趋势的p 阶自回归过程 薯= j l l + 卢f + 吼薯一l 十仍一2 + + 咋薯一p + 岛 在进行a d f 检验时，必须注意以下两个实际问题： ( 1 ) 如果在检验回归中含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0 ，一个 简单易行的办法是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动，进而决定是否在检验时添加常数项； ( 2 ) 如果在检验回归中含线性趋势项，意味着原序列具有时间趋势同样，决 定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察如果 图形中大致显示了被检验序列的波动趋势随时间变化而变化，那么可添加时间趋 势项“1 2 3 3 协整 在现实生活中我们会发现，有些序列自身的变化虽然是非平稳的，但是序列 与序列之间却具有非常密切的长期均衡关系为了有效地衡量序列之间是否具有 长期均衡关系，e n g l e 和g r a n g e r 于1 9 8 7 年提出了协整的概念 假设自变量序列 h ， 而，) ， ) ，响应变量序列 以) ，构造回归模型 七 只= 风+ 孱，+ b = 卢+ 岛 ( 2 3 3 ) i = 1 假定回归残差序列 q ) 平稳，我们称响应序列 乃 与自变量序列 薯，) ， 而，) ， x l a 之间具有协整关系简称 m 是协整的，向量卢又称为协整向 量定义描述了 咒) 与 ) ， 吃， ， ) 非平稳向量序列之间存在长期均衡关 系 在进行协整关系分析时，必须注意以下四个实际问题： ( 1 ) 作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是不唯一的； 2 l 中山大学硕士学位论文 ( 2 ) 各个分量序列都具有相同阶数的单整序列( 单整阶数相同是协整的前 提) ： ( 3 ) 最多可能存在七一1 个线性无关的协整向量( 以的维数是： ( 4 ) 协整关系中变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成比例 建立好协整模型后，必须对其进行协整检验协整检验的目的是确定一组非 稳定序列的线性组合是否具有协整关系 这里将主要介绍e n g l e 和g r a n g e r ( 1 9 8 7 ) 提出的协整检验法，最f f e g 检验方法 这种检验法是对回归方程的残差进行单位根检验 从协整理论的方程来看，自变量和因变量之间如果存在协整关系，因变量能 被自变量的线性组合所解释，两者之间存在长期稳定的均衡关系，因变量不能被 自变量所解释的部分构成一个残差序列，这个残差序列应该是平稳的因此，检 验一组变量( 因变量与解释变量) 之间是否存在协整关系可等价于检验回归方程 的残差序列是否平稳通常地，我们采用a d f 检验来判断残差序列的平稳性，进而 可以判断因变量和解释变量之间的协整关系是否存在 假设条件：h o ：多元非平稳序列之间不存在协整关系： e ：多元非平稳序列之间存在协整关系 由于协整关系主要是通过考察回归残差的平稳性确定，所以上述假设条件等价 于： h o ：回归残差序列仅) 非平稳；- i , ：回归残差序列 q 平稳 e g 检验方法遵循两个步骤进行： 步骤一：建立响应序列与输入序列之间的回归模型： 只= p o + 卢l 五r + + 卢七+ s r ， 式中，卢。，卢，p 。是最t j 、- - 乘法估计值 步骤二：对回归残差序列进行平稳性检验，所以