（应用数学专业论文）耦合混沌系统广义同步研究.pdf

原创性声明 川 r r f l 川l i t i t 川川i tt l l f f y 18 3 3 2 3 8 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立进行研究所取得的 成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的科研成果 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 学位论文作者 知 华丰色 日期 力 p 年 月2 日 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品 知识产权归属郑州大学 根据郑 州大学有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部 或部分编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或者其他复制手段保存论文和汇编 本学位论文 本人离校后发表 使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果 时 第一署名单位仍然为郑州大学 保密论文在解密后应遵守此规定 学位论文作者 洳j 华车色日期 砷年 月2 口日 摘要 耦合混沌系统的动力学与同步是非线性动力学研究中的一个基础的问题 在国家自然 科学基金 编号 1 0 7 0 2 0 6 5 的资助下 本论文研究了耦合混沌系统的广义同步问题 首先 在广义同步流形存在的基础上 把广义同步流形的存在性转化为偏微分方程组解的存在性 问题 因此就可以利用近似幂级数展开的方法来求得同步流形 进而研究同步流形的吸引 性即同步的稳定性 我们以完全替代的l o r e n z 系统以及单向线性耦合的l o r e n z r 5 s s l e r 系统为例 求出其同步流形 并用w i n p p 与m a t h e m a t i c 6 0 画其同步流形图进行对比 说 明了该方法的有效性 其次 讨论了单向 双向线性耦合的l o r e n z r s s s l e r 系统的动力 学行为 发现单向线性耦合的l o r e n z r s s s l e r 系统可以出现非混沌态 耦合还可以极大 的增大混沌区域 双向线性耦合的l o r e n z r 5 s s l e r 系统出现了余维2 分岔 这表明了 即使简单的线性耦合 都可以极大地改变混沌系统的动力学性质 使其动力学更为复杂 关键词 广义同步 耦合混沌系统 分岔 a b s t r a c t d y n a m i c so fc o u p l e dc h a o t i cs y s t e m sa n ds y n c h r o n i z a t i o ni sab a s i cp r o b l e mi nt h e s t u d yo fn o n l i n e a rd y n a m i c s s u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n au n d e rg r a n tn o 1 0 7 0 2 0 6 5 t h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e dc h a o t i cs y s t e m sa r ec o n s i d e r e di nt h i sd i s s e r t a t i o n f i r s t l y b a s e do nt h ee x i s t e n c eo ft h eg e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d t h ee x i s t e n c eo ft h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l dc a n b et r a n s f o r m e di n t ot h ee x i s t e n c eo fas o l u t i o no ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h u s w ec a ne m p l o yt h ea p p r o x i m a t ep o w e rs e r i e se x p a n s i o nm e t h o dt of i n dt h es y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d a n dt h e nt h ea t t r a c t i v e n e s so ft h es y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l dc a nb ec o n s i d e r e d t h a ti s t h es t a b i l i t yo ft h es y n c h r o n i z a t i o no ft h ec o u p l e dd y n a m i c a ls y s t e m s t h e s y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d so fs o m ec o u p l e dd y n a m i c a ls y s t e m s s u c ha s t h ec o m p l e t e l yr e p l a c e dl o r e n zs y s t e m sa n dt h eu n i d i r e c t i o n a ll i n e a r l yc o u p l e dl o r e n z r s s s l e rs y s t e m a r ec a l c u l a t e d t h ef i g q l r e so ft h es y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d sa r ed r a w nb yw i n p pa n dc o r n p a r e dr e s p e c t i v e l yw i t ht h ef i g u r e sd r a w nb ym a t h e m a t i c6 0 s h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h i s a p p r o a c h t h e nt h eu n i d i r e c t i o n a l b i d i r e c t i o n a ll i n e a r l yc o u p l e dl o r e n z r s s s l e rs y s t e m a r ed i s c u s s e d i ti sf o u n dt h a tn o n c h a o t i cb e h a v i o r sa p p e a r si nt h eu n i d i r e c t i o n a ll i n e a r l y c o u p l e dl o r e n z r s s s l e rs y s t e m c o u p l i n gc a ng r e a t l yi n c r e a s et h ec h a o t i cr e g i o n t h e c o d i m e n s i o n2b i f u r c a t i o ni sf o u n di nt h eb i d i r e c t i o n a ll i n e a r l yc o u p l e dl o r e n z r s s s l e r s y s t e m t h i ss h o w st h a te v e ns i m p l el i n e a rc o u p l i n g c a nd r a m a t i c a l l yc h a n g et h ed y n a m i c s o ft h ec h a o t i cs y s t e m s m a k et h ed y n a m i c sm o r ec o m p l e x t i o n k e yw o r d s t h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n t h ec o u p l e dc h a o t i cs y s t e m s b i f u r c a 目录 引言 1 第一章预备知识 1 1基本概念 4 1 2同步流形满足的偏微分方程 4 1 3混沌理论 6 1 4分岔理论 9 第二章求广义同步流形 2 1临界情况下的广义同步 1 2 2 2非临界情况下的广义同步 1 5 第三章耦合混沌系统的动力学行为 3 1单向线性耦合的混沌系统 2 l 3 2双向线性耦合的混沌系统 2 3 第四章结论 参考文献 2 9 个人简历 3 1 致谢 3 2 引言 同步 l 是非线性动力系统中一种非常普遍的现象 1 7 世纪 惠更斯对悬挂在墙上的 两个钟摆的研究 悬挂在同一个柱子上 掀起了物理学家对动力系统中同步现象的研究热 潮 这时研究的是周期系统的同步 同步表明两个运动的物体 通过介质进行或强或弱的 耦合 可以使两个系统的运动状态趋于一致 在过去的十几年里 在人们对耦合 昆沌系统 的深入研究下 发现了许多不同的同步形式 其中包括完全同步 相同步 广义同步 滞后 同步 部分同步 间歇滞后同步等等 而广义同步f 是完全同步的一个推广 是指响应系 统的状态变量与驱动系统的状态变量之间有一个泛函关系 因此 研究混沌系统的广义同 步 3 j 4 j 问题具有较深远的理论意义和应用价值 系统之间的同步现象已经引起了人们越 来越多的关注 近年来 混沌同步的应用领域从物理学迅速扩展到了生物学 化学 医学 电子学 以及信息科学和保密通信等领域 然而 就目前来说 除了完全同步以外 对其他 类型同步的研究还缺乏理论结果和可操作的办法 尤其对于动力学性质最为复杂的广义同 步 理论结果更是少之又少 加上在保密通讯 生物科学 化学反应 社会科学以及其它领 域的广泛应用 目前 同步问题已经成为非线性科学中最感兴趣的课题之一 混沌 5 c 6 是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动 一个确定性理论描述 的系统 其行为却表现为不确定性一不可重复 不可预测 这就是混沌现象 进一步研究 表明 混沌是非线性动力系统的固有特性 是非线性系统普遍存在的现象 因此 研究非 线性系统的广义同步以及如何实现非线性控制 川石 是非常重要的 一个随时间确定性变 化或具有微弱随机性的变化系统 称为动力系统 它的状态可由一个或几个变量确定 而 一些动力系统中 两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致 恰如从长 序列中随机选取的两个状态那样 这种系统被称为敏感地依赖于初始条件 而对初始条件 的敏感的依赖性也可作为一个混沌的定义 在现实生活和实际工程技术问题中 混沌是无 处不在的 一般地 如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为 就可以称这个真实物理系统是混沌的 混沌不是偶然的 个别的事件 而是普遍存在于宇 宙间各种各样的宏观及微观系统的 万事万物 莫不混沌 混沌也不是独立存在的科学 它与其它各门科学互相促进 互相依靠 由此派生出许多交叉学科 如混沌气象学 混沌 经济学等 混沌学不仅极具研究价值 而且有现实应用价值 能直接或间接创造财富 1 混沌理论是 f q 新兴的数学分支 是近代非常引人注目的研究热点之一 有人曾预言 混沌理论对科学思想的影响最终将可与相对论和量子力学相媲美 简单地说 混沌是非线 性动力系统中出现的无规则的运动 混沌理论所研究的是非线性动力学混沌 目的是要揭 示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律 以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规 律 从2 0 世纪6 0 年代开始 混沌科学得到了飞速发展 美国气象学家洛伦兹在这方面取 得了很大的成功 1 9 6 3 年 洛伦兹在 大气科学 杂志上发表了 确定性的非周期流 一 文 指出在气候不能精确重演与长期天气预报无能为力之间必然存在着一种联系 这就是 非周期性与不可预见性之间的联系 他还认为一串事件可能有一个临界点 在这一点上 小的变化可以放大为大的变化 而混沌的意思就是这些点无处不在 这些研究清楚地描述 了 对初始条件的敏感性 这一混沌的基本性态 这就是著名的蝴蝶效应 到了2 0 世纪9 0 年代 混沌科学与其他科学相互渗透 无论是在生物学 生理学 心理学 数学 物理学 化学 电子学 信息科学 还是天文学 气象学 经济学等领域 混沌都得到了广泛的应 用 混沌在现代科学技术中起着十分重要的作用 正如混沌科学的倡导者之一 美国海军 部官员施勒辛格所说 2 0 世纪科学将永远铭记三件事 那就是相对论 量子力学与混沌 对于某些完全确定的非线性系统 当系统的某一参数 连续变化到某个临界值时 系 统的全局性性态 定性性质 拓扑性质等 会发生突然变化 这种突然变化的现象称为分 岔现象 u 称为参数的分岔值或分枝值 分岔现象是一种有重要意义的非线性现象 它不 仅是数学现象 在自然界中也有种种表现 早期 除了数学理论的研究外 通过数字计算 机进行的数值实验是研究非线性微分方程中的分岔现象的主要手段 2 0 世纪8 0 年代前后 关于分岔的真正的实验观测也在迅速增加 分岔现象的研究引起了众多领域的科学家的兴 趣 理论和实验的结果都表明 分岔现象是出现在许多学科中的普遍物理现象 早在1 9 世 纪 雅可比 庞加莱等人就已引进 分岔 这一术语 迄今已出现了许多关于分岔理论的 著作 其中除大量的数学文献外 在弹性结构 流体力学 天体物理学 化学反应 非线性 振动m 生物发育 基本粒子理论等领域中有关分岔现象的文献数量也很多 在系统与 控制理论 上u 中 分岔理论可以用来探讨非线性系统中分岔现象的产生和消失 分岔性失 稳的出现和控制以及分岔性失稳系统的调节和控制等问题 分岔理论也为数学生态学提供 了有用的工具 2 0 世纪7 0 年代后期关于分岔现象的研究结果表明 连续发生的分岔现象 往往是出现混沌现象的先兆 混沌现象是比分岔更为复杂的一类非线性现象 它不是简单 2 的无序和混乱状态 而是没有明显的周期和对称 却具备丰富的内部层次的有序状态 分 岔理论对许多实际系统的研究有重要意义 从数学角度来说 分岔理论主要研究非线性方 程 微分方程积分方程 差分方程等 中的参数对解的定性性质的影响 其中 参数与解的 稳定性 周期性 平衡位置等基本性质的关系是研究的重点 早在1 8 8 5 年 庞加莱就提出 了一套平面动力学系统的平衡状态与参数的关系的理论 他研究了参数通过分岔值时系统 轨线的拓扑结构的变化状况 建立了相应的判别准则 2 0 世纪5 0 年代 苏联学者安德罗诺 夫推广了庞加莱的结果 并在非线性振动理论中加以应用 后来 又有人研究高维欧几里 德空间或巴拿赫空间中的分岔理论 但结果还不多 本文结构如下 第一章 介绍与混沌 分岔 广义同步有关的基础知识 第二章 利用 近似幂级数展开的方法来求近似广义同步流形 第一小节 对于满足中心流形定理的系统 直接利用中心流形定理的局部存在性求得近似广义同步流形 第 j 节 对于一些已知实 现了同步 但不满足中心流形定理的系统 仍然可以利用幂级数展开的方法来其近似广义 同步流形 并且给出一些例子 分别用w i n p p 和m a t h e m a t i c 6 0 画图进行对比 说明我们 所用方法的有效性 第三章 研究耦合混沌系统的动力学行为 讨论了单向 双向线性耦合 的l o r e n z r s s s l e r 系统 发现单向线性耦合的l o t e n z r s s s l e r 系统可以出现非混沌 态 耦合还可以极大的增大混沌区域 在双向线性耦合的l o r e n z r s s s l e r 系统中发生了 余维2 分岔 出现了平衡点 周期解 环面解等动力学行为 最后给出了总结和讨论 3 第一章预备知识 1 1 基本概念 考虑如下系统 八巩 1 1 1 雪 t 9 y i p z y l 1 其中 厂 彤 r ng r 一 都是连续的向量函数 弘 z y 是一个耦合函数 这里令 z t u t 分别是驱动系统和响应系统的解 定义1 1 l 广义同步 我们说上面的耦合系统关于向量映射咖而言是广义同步的 如 果存在一个耦合函数p z y 和映射咖 上p 一胛 使得系统的解满足 l i m t 0 0 i l y t 一 z t 0 0 1 2 注 这里映射砂是任意连续可微的函数 进而我们研究的广义同步就有更加广泛的意义 2 皂义 2 1 1 2 广义同步流形 已知两个动力系统x 和y 如果存在流形 s z 可 z 咖 矽 1 3 它至少包含一个吸引子 则称x 和y 为广义同步化 为广义同步化函数 s 为广义同步 流形 1 2 同步流形满足的偏微分方程 下面讨论单 j 耦合系统之间的广义同步 我们考虑如下耦合系统 耋 三5 二p z y c 1 4 其中g r f 形一r 是向量场 驱动系统和响应系统之间的耦合是通过向量 场札 z y 来实现的 其中札 z y 是依赖于p 的 当 忙o 时 响应系统的演化不依赖于 驱动系统 我们假定上述系统存在广义同步流形 也就是说有关系表达式y 咖 z 分别对上面的式子两端求导得 雪 a y 危px 耖 g z p z 可 1 5 整理即得到 z d x x 5 c d x o x f x d x x f x g 咖 z 九p z 可 1 6 1 7 j羔 三 耋奏 羔 三 耋 羔 三 蒸三二 三 三二 二 二 8 l 他 罄 价 等 胁 甏 引 赢 一砧 警2 喜菩 乞罄 玩 i b 一 1 9 5 展开式即 鲁 蓦 蠢 差 0 n 瓦c 9 i z l 十 n i 等 0 2 2 象 恐甏 o 鬻 n 垒o z 性z o 孔甓等 6 1 鲁 n 碧 瓦o u l 刍象 口勃筹 面o u 2 n n 瓦0 9 u 2 如辫 罄 喙罄 6 2 1 1 0 警 如筹 南差 券 如筹 蟊差 罄 o 知 r 罄 口知n 曼 9 1 x 垃2 o 兔 7 v 爱等 6 其中口 f b i 都是各自变量的函数 1 2 2c a u c h y k o w a l e w s k a j a 定理 如果我们考虑的方程组 1 1 0 中所有系数n j b i 在点t o z l o z n o u 1 咖l o 让 好 的某邻域内是解析的 且所有函数苁 i 1 n 在原点0 的邻域内也是 解析的 则拟线性偏微分方程组在原点0 的某邻域内存在唯一的解析解 c a u c h y k o w a l e w s k a j a 定理只断言解析解的局部存在唯一性 它既不能保证整体解 的存在性 也不能排除存在非解析解的可能性 由此定理的证明可以看出 若方程右端及 c a u c h y 数据是各自变量的解析函数 则在初始超平面t t o 上任意点的邻域内都存在一 个解析解 由唯一眭可知 在它们的公共区域内任意两个这种解是相同的 所以 可以把 这些解黏合在一起 得到超平面t t o 上的一个邻域内的解析解 从而 我们可以利用拟线性偏微分方程组的解析解的存在性来得到广义同步流形的存 在性与唯 性 1 3 混沌理论 混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动 一个确定性理论描述的系 统 其行为却表现为不确定性一不可重复 不可预测 这就是混沌现象 进一步研究表明 混沌是非线性动力系统的固有特性 是非线性系统普遍存在的现象 牛顿确定性理论能够 处理的多为线性系统 而线性系统大多是由非线性系统简化来的 因此 在现实生活和实 际工程技术问题中 混沌是无处不在的 一般地 如果一个接近实际而没有内在随机性的 6 模型仍然具有貌似随机的行为 就可以称这个真实物理系统是混沌的 混沌理论是一门新兴的数学分支 是近代非常引人注目的研究热点之一 有人曾预言 混沌理论对科学思想的影响最终将可与相对论和量子力学相媲美 简单地说 混沌是非线 性动力系统中出现的无规则的运动 混沌理论所研究的是非线性动力学混沌 目的是要揭 示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律 以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规 律 从数学上讲 对于确定的初始值 由动力系统就可以推知该系统长期的行为甚至追溯 其过去的形态 2 剀2 3 1 3 d e v a n e y 的混沌定义 在拓扑意义下 混沌定义 d e v a n e y 为 设y 是一个度量空间 映射 v y 如果满足下面三个条件 便称f 在v 上是混 沌的 1 对初始敏感依赖 j6 0 对v s 0 和比 v 在x 的邻域内存在y 和自然数1 3 使得d z 可 0 满足 厂 z ny 仍 如果一映射具有稠轨道 则它显然是拓扑传递的 3 f 的周期点集在v 中稠密 对初值的敏感依赖性 意味着无论x 和y 离得多近 在f 的作用下两者的距离都可能 分开较大的距离 并且在每个x 的附近 都可以找到离它很近而在f 的作用下终于分道扬 镳的点y 拓扑传递性意味着任一点的邻域在f 的作用下将 便撒 整个度量空间v 这说明f 不可能细分或不可能分解为两个在f 下不相互影响的子系统 周期点集的稠密性 表明系统具有很强的确定性和规律性 绝非混成一片 形似混乱 而实则有序 1 3 1 1 4 j 混沌的判定 1 功率谱 7 功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一 主要研究信号在频域中的各种特征 目 的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号 功率谱的概念是针对功率有 限信号的 能量有限信号可用能量谱分析 所表现的是单位频带内信号功率随频率的变 换情况 混沌的特征是谱中出现 噪声背景 和宽锋 它是研究系统从分岔走向混沌的重要方 法 考虑到实际计算中 数据只能取有限个 谱也总以有限分辨度表示出来 从物理实验 和数值计算的角度看 一个周期十分长的解和一个混沌解是难于区分的 这也正是功率谱 研究的主要弊端 2 l y a p u n o v 指数 确定混沌区后 需要进一步对吸引子进行刻划 功率谱分析仍然有用 但更重要的是 计算李亚普诺夫指数 对初始条件的敏感依赖性是确定性系统混沌的关键特性 这意味着 在相空间中相互靠近的两条轨线 随着时问的推移 它们将指数性的运动开 1 y a p u n o v 指 数就是定量的描述这一现象的量 l y a p u n o v 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标 它表征了系统在相空间 中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率 对于系统是否存在动力学混沌 可以从最大l y a p u n o v 指数是否大于零非常直观的判断出来 一个正的l r a p u n o v 指数 意味着在系统相 空间中 无论初始两条轨线的间距多么小 其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加 以致达到无法预测 这就是混沌现象 正的李雅普诺夫指数是混沌运动的特征量 而对于 如何计算高维系统的李雅普诺夫指数 迄今还是一个活跃的尚未完全解决的重要研究课 题 系统维数越高计算就越难 通常都是利用数值模拟方法来获得李雅普诺夫指数 计算 量很大 3 庞加莱截面 在相空间中适当 要有利于观察系统的运动特征和变化 如截面不能与轨线相切 更 不能包含轨线 选取一截面 在此截面上某一对共轭变量取固定值 称此截面为p o i n c a r e 截面 相空间的连续轨迹与p o i n c a r e 截面的交点成为截点 通过观察p o i n c a r e 截面上截 点的情况可以判断是否发生混沌 当p o i n c a r e 截面上有且只有一个不动点或少数离散点 时 运动是周期的 当p o i n c a r e 截面上是一封闭曲线时 运动是准周期的 当p o i n c a r e 截 面上是一些成片的具有分形结构的密集点时 运动便是混沌 8 1 3 2 14 通向混沌的道路 了解如何通向混沌是很有意义的 有时候我们需要人为地制造混沌 如保密通讯 但 一些时候 我们又不允许系统出现混沌 这都要求我们对通向混沌的道路了如指掌 目前 公认的通向混沌的道路有三条 1 从倍周期分岔通向混沌 这是被研究的最深入的第一条通向混沌的道路 在一定的参数p 范围内 当肛不断 改变时 不动点逐渐跃变 分岔现象不断出现 周期点增加 以后p 点的间隔越来越小 最后在p 处出现无穷多的周期点 并转变为混沌状态 2 通过阵发性通向混沌的切分岔道路 陈发性混沌是指系统在相当长时间内处于几乎周期状态 但是随着系统的参数接近转 变点 会在规整的周期运动过程中不时突然迸发出一阵阵随机的 不规则的运动片段 而 且变得越来越频繁 最后系统进入完全混沌态 故称为阵发混沌 3 准周期通向混沌的道路 在有些情形下 极限环型振荡态失稳以后先形成具有两种不可约频率的准周期运动状 态 二维环面 这种准周期状态继而失稳以后又形成具有三个不可约频率的准周期运动 状态 三维环面 而这种具有三个准周期运动状态失稳可以直接达到混沌状态 1 4 分岔理论 定义4 曲 拓扑等价 动力系统x 和y 是拓扑等价的 如果存在同胚映射h 形 r 把第一个系统的 轨道映射为第二个系统的轨道 就称这两个系统是拓扑等价的 对于含参数的系统 当参数变动并经过某些临界值时 系统的定性性态 例如平衡状 态或周期运动的数目和稳定性等 会发生突然变化 这种变化称为分岔 b i f u r c a t i o n 分 岔是一类常见的重要的非线性现象 并与其它非线性现象 如混沌 突变 分形等 密切 相关 因此 在非线性科学中分岔研究占有重要地位 分岔理论研究非线性微分动力系统由于参数的改变而引起的解的不稳定性 从而导致 解的数目的变化行为 分岔现象的研究起源于1 8 世纪以来对弹性力学 天体力学 流体 9 力学和非线性振动中的失稳问题 然而 长期以来分岔现象的研究是分散在各个具体应用 领域中进行 分岔理论的研究不仅揭示了系统的各种运动状态之间的相互联系和转化 而 且与混沌密切相关 因此成为非线性动力学的重要组成部分 定义5 1 5 余维数 余维数是指参数空间数 即 决定分岔的最小独立参数的个数 定义6 1 6 分岔 对于含参数的系统 文 f x l 其中x 俨为状态变量 r m 为分岔参数 当参数p 连续的变动时 若系统 1 1 1 的 相轨迹的拓扑结构在p o 处发生定性变化 则称系统 1 1 1 在p i l o 处出现分岔 t o 称为临界值或分岔值 x 肋 称为分岔点 在参数p 的空间尼穗中 由分岔值构成的集合 称为分岔集 在 x p 的空间伊 中 平衡点和极限环随参数p 变化的图形称为分 岔图 分岔包括静态分岔和动态分岔两种类型 如果只研究平衡点个数和稳定性随参数的变 化 则称为静态分岔 叉形分岔 鞍结分岔 跨临界分叉是非双曲平衡点静态分岔的基本形 式 而动态分岔是指静态分岔以外的分岔现象 闭轨迹的个数和稳定性的定性变化属于动 态分岔 在一些应用问题中 有时只需要研究平衡点和闭轨迹附近相轨迹的变化 即系统在平 衡点或闭轨迹的某个邻域中存在分岔 这类分岔问题称为局部分岔 如果需要考虑相空间 中大范围的分岔性态 则称为全局分岔 考虑单参数平面系统 圣 尸 z 耖 p 雪 q z 耖 p 1 1 2 不失一般性 设零点o o 0 对p 0 邻域内的任意参数p 值均为平衡点 对z 和y 进行 适当的非奇异线性变换后 坐标仍然用z 和y 表示 系统 1 1 2 可以重新写为 隹蕊僦二麓0 埘 其中 z y ucr 2 p jcr 函数 厂和g 为z 和y 的不低子2 次的项 具有四阶连 1 0 续偏导数 且满足 f o 0 p g o 0 p 0 p z 在零点 0 0 处线性近似系统有复共轭特征值n t 土i p t 当p 0 时有 q 0 0 p o u 0 相应于出现一对纯虚根的分岔称为h o p f 分岔 1 7 1 1 l 1 1 4 1 1 5 第二章求广义同步流形 2 1 临界情况下的广义同步 2 1 1 1 8 引理 由中心流形理论 考虑方程 三然黧 仁 其中 z r n y 舻 a b 分别是n n m m 阶常数矩阵 且a 的特征值均具有 零实部 b 的特征值均具有负实部 f g 分别是彤 m j y 的映射 且满足 三 兰 三兰 三三 三 三兰 c 2 2 由中心流形定理 我们考虑的系统存在n 维中心流形y z 且满足 o o d h o 0 对上式求导得 雪 d h x b 2 3 再由原系统的方程得 b h x g x z d h x a x f x 九 z 2 4 从而对于一些简单的系统 我们就可以通过求解此偏微分方程来得到中心流形 即广 义同步的表达式 2 1 2 1 8 局部存在定理 设a 的特征值均具有零实部 b 的特征值均具有负实部 f g 分别是二阶连续可微的 函数 且满足 三 兰 三三 三三 三 兰 三兰 c 2 5 1 2 1 3 例2 考虑系统 x l2 一z 2 z 2 x l x 2 y 2 哲1 一y 2 y 谚 一a 1 x 2 b 1 y l z 1 2 x 2 x l 一2 x y l x 1 2 1 1 2 z 一2 x 2 x 1 y 2 一x 2 晓 y y 可 谚 x 2 y l 其中b l 3 a l 0 1 z 1 x 2 y 2 对应矩阵 a f i l0 1 i oooj y 1 对应矩阵 b 一3 a 的特征值均具有零实部 b 的特征值均具有负实部 它满足中心流形存在的条件 由中 心流形定理知y l 可以表示为z l z 2 y 2 的函数 将y l 在原点展开 设形式为 y l a 1 2 x l x 2 a 1 4 x 1 y 2 a 2 4 x 2 y 2 a l l x a 2 2 x a 4 4 可 6 1 2 4 2 1 2 2 y 2 b i l 2 z z 2 5 1 1 4 z y 2 b 2 2 1 z i z l 6 2 2 4 z 耖2 2 1 2 6 4 4 l y 2 2 x 1 b 4 a 2 y x 2 b l l l x b 2 x i b 9 4 y 3 两端分别对t 求导 再利用系统的表达式 我们利用m a t h e m a t i c 6 0 求解可以得到 a 1 2 0 0 2 3 0 7 6 9 a 1 4 0 a 2 4 0 a l l 一0 0 0 7 6 9 2 3 1 a 2 2 0 0 0 7 6 9 2 3 1 a 4 4 0 b 1 2 4 0 7 7 2 1 8 9 b 1 1 2 0 3 9 9 6 9 2 b l l 4 0 2 5 7 3 9 6 b 2 2 1 0 7 9 9 7 6 9 6 2 2 4 0 4 0 4 1 4 2 6 1 0 b 4 4 2 0 b i l l 0 7 9 9 8 9 7 b 2 2 2 一0 4 0 0 3 3 3 6 4 4 4 0 3 3 3 3 3 3 从而我们得到y l 的表达式即 y 1 0 0 2 3 0 7 6 9 x l z 2 一0 0 0 7 6 9 2 3 1 x 0 0 0 7 6 9 2 3 1 x 一0 7 7 2 1 8 9 x l z 2 y 2 0 3 9 9 6 9 2 x x 2 0 2 5 7 3 9 6 x y 2 0 7 9 9 7 6 9 x 2 x 1 2 1 3 o 4 0 4 1 4 2 x 2 2 y 2 0 7 9 9 8 9 7 x i 一0 4 0 0 3 3 3 x 2 0 3 3 3 3 3 3 y 1 4 数值解为w i n p p 画出的图形见图2 1 我们再用m a t h e m a t i c 6 0 画图如图2 2 中的 n 然后把两种软件得到的图形进行对比见图2 2 中的 c 说明了我们利用近似幂级数展开 求同步流形的方法是有效的 丽厂 刁 0 2 7 o 7 7 y 1 舢 0 4 0 8 嚣 o i 轧j f r l f l r x l 0 4 o 上 0 剪1 越 0 4 nr 1 o 呼 一一 二二 二j l 一 j n 5 0 4 03 0 2 0 l00 l0 20 3 x 2 z 1 z 2 图2 1 口 6 c d 分别为系统 2 1 1 广义同步在平面上的投影 初值为z l o 一2 y l 0 1 z 2 o 一1 y 2 o 4 由上面的例子我们可以知道在系统满足中心流形定理的条件下 我们可以利用近似幂 级数展开的方法来求得流形的近似表达式 这种方法类似与模态分解 19 的方法 非临界情况下的广义同步 我们考虑方锦清主编的 驾驭混沌与发展高新技术 一书中 1 4 耦合混沌系统的例子 求得平衡点处的雅可比矩阵不存在零实部的特征根 这样它就不满足上面我们给出的中心 流形局部存在定理 但是我们知道此时系统实现了广义同步 因此仍然可用近似幂级数展 开的方法来试着求出近似同步流形 1 5 a 图2 2 b c 分别为m a t h e m a t i c 6 o 画出的同步流形 w i n p p 画出的轨线 两个图 形的对比 例3 考虑系统 z l 盯 y l x 1 分1 7 2 1 一y l x l z l z l l 可l 一6 z l 2 1 4 如 7 2 2 一y 2 一x l z 2 如 x l y 2 一b z 2 两个洛伦兹混沌系统 从第一个系统发射一个信号去驱动第二个系统 假定发射的信 号是第一系统的z 分量 在第二系统中z 分量用第一系统的z 分量去替代 可以称为完 全替代 此五维系统是l o r e n z 系统中用z 作为驱动信号 第一系统称为驱动系统 也称发射 系统 而第二系统称为响应系统 也称接收系统 两个系统随着时间演化它们的响应分量 最终达到相等 这个混沌同步的方法称为驱动一响应同步方法 也称完全替代法 它的特 点是 两个或多个非线性混沌系统的相应的参数和变量完全相同 在它们达到同步后相应 1 6 的信号 分量 不仅幅度大小完全相同 而且其相位大小也完全相同 为了研究系统的不 变流形 我们不妨设沈可以表示为其它变量的函数 其形式如下 y 2 2 a l x l a 2 y l n 3 z l a 4 x l y l a 5 x l z l 口6 y l z l a 7 x 2 n 8 秒 2 1 5 n a b z a l o i z 2 a l l x l z 2 a 1 2 y l z 2 0 1 3 2 1 2 2 a 1 4 霹 由流形满足的偏微分方程 用m a t h e m a t i c 6 0 求解可得 a 1 o a 2 1 a 3 o a 4 o a 5 0 0 0 6 0 7 2 3 8 a 6 0 0 2 4 2 8 9 5 a 7 0 a 8 0 a 9 0 a l o 0 a l l 0 0 0 6 0 7 2 3 8 a 1 2 0 0 2 4 2 8 9 5 a 1 3 o a 1 4 0 从而我们得到可2 的表达式即 y 22 可1 0 0 0 6 0 7 2 3 8 2 1 2 1 0 0 2 4 2 8 9 5 y l z l 2 1 6 0 0 0 6 0 7 2 3 8 x l z 2 0 0 2 4 2 8 9 5 y l z 2 由流形的近似表达式可以知道y l 与沈达到完全同步 下面我们证明z l 与名2 也是完全同 步的 令 e z 2 一z l 2 1 7 由原系统可以知道 乏 疡一z 1 一b e 2 1 8 从而 令e 0 2 1 9 2 2 0 由例子可以看出用近似幂级数展开的方法求出得的同步流形与系统达到完全同步是 对应的 我们给出了系统完全同步的相图见图2 3 1 7 秒1 卯 勿柏 如 2 0 椰5 0 z l 图2 3 o 6 分别为系统 2 1 4 y l 与y 2 z i 与z 2 实现完全同步时的相图 初值为x l 0 可1 0 z l 0 o 1 y 2 o z 2 0 0 0 1 例4 考虑系统 y l a y 2 一y 1 y 2 7 y l y 2 一y l y 3 y 3 y l y 2 一b l y 3 z l x 2 一z 3 k l y l z 2 x l a 2 x 2 k e y 2 一z 2 z 3 b 2 x 3 x l c 2 蜘一z 3 其中 盯 1 0 b l 7 2 8 a 2 0 1 5 b 2 0 2 c 2 1 0 此系统是l o r e 礼z r s s s l e r 耦合混沌系统 20 1 我们知道当 k l 0 3 k 2 0 k 3 0 时 驱动系统与响应系统之间实现广义同步 我们不妨设z z 可以表示为其它变量的函数 其形式如下 x 2 a l x l a 2 x 3 口3 可1 a 4 y 2 y l a 5 y a a l l x l x 3 a 1 2 x l y l a 1 3 x l y 2 a 1 4 x l y 3 a 2 1 x 3 y l a 2 2 x 3 y 2 a 2 3 x 3 y 3 a 3 1 y 1 y 2 a a 2 y y y 3 a 4 1 y 2 y 3 a 6 x a 7 x a s y i a 9 蚝 a l o y 由流形满足的偏微分方程 用m a t h e m a t i c 6 0 求解可得 a l 5 1 4 9 1 3 a 2 0 2 1 7 5 1 2 a 3 o 0 0 3 9 5 9 8 9 a 4 0 0 5 6 5 4 2 8 a 5 0 1 8 2 2 1 2 2 2 a l l 1 2 4 8 4 4 a 1 2 o a 1 3 0 a 1 4 0 a 2 1 一0 0 9 6 2 5 8 5 0 2 2 一1 3 7 1 0 1 a 2 3 0 a 3 1 0 a 3 2 一0 0 0 0 2 8 7 9 2 a 4 1 0 0 0 1 9 4 2 0 9 a 6 o a 7 1 0 2 3 5 a 8 0 a 9 一0 0 0 6 0 7 2 3 8 a l o 0 或者 a l 一0 2 a 2 0 0 2 0 6 1 8 6 a 3 0 0 0 0 1 5 5 2 2 9 a 4 0 0 0 2 1 9 7 3 4 a 5 0 a l l 一0 1 a 1 2 一0 0 0 0 7 6 0 9 7 8 a 1 3 一0 0 1 0 8 7 2 9 a 1 4 0 a 2 1 一0 0 0 0 0 2 1 5 5 2 6 a 2 2 0 0 0 1 0 2 7 9 a 2 3 0 a 3 1 0 a 3 2 o 0 0 0 0 3 2 1 6 9 9 a 4 1 0 0 0 0 0 9 2 7 9 9 7 a 6 0 4 9 5 1 0 1 a 7 o 0 0 5 1 5 4 6 4 a 8 0 a 9 0 0 0 0 0 5 9 6 9 4 6 a l o 0 或者 a l 一0 3 0 2 1 2 7 a 2 0 0 3 11 4 7 a 3 0 0 0 0 2 3 4 3 6 3 a 4 0 0 0 3 3 1 9 2 7 a 5 0 a l l o 0 0 3 2 12 4 4 a 1 2 0 a 1 3 0 a 1 4 o a 2 1 一0 0 0 01 4 4 4 a 2 2 一0 0 0 0 1 3 5 9 7 7 a 2 3 o a 3 1 0 a 3 2 0 0 0 0 0 4 6 8 4 4 a 4 1 0 0 0 0 1 3 9 2 3 1 a 6 o a 7 0 0 0 0 1 6 8 1 6 5 a 8 o a 9 0 a l o 0 从而我们得到x 2 的表达式即 z 2 5 1 4 9 1 3 x l 一0 2 1 7 5 1 2 x 3 0 0 0 3 9 5 9 8 9 y l o 0 5 6 5 4 2 8 y 2 y l 1 2 4 8 4 4 x l z 3 0 0 9 6 2 5 8 5 x 3 y 1 1 3 7 1 0 1 x 3 y 2 0 0 0 0 2 8 7 9 2 y l y 3 2 2 3 o 0 0 1 9 4 2 0 9 y 2 y 3 1 0 2 3 5 x 一0 0 0 6 0 7 2 3 8 y 或者 z 2 一0 2 x l 0 0 2 0 6 1 8 6 x 3 o 0 0 0 1 5 5 2 2 9 y l 0 0 0 2 1 9 7 3 4 y 2 y x o 1 x l x 3 0 0 0 0 7 6 0 9 7 8 2 1 y 一0 0 1 0 8 7 2 9 z l y 2 0 0 0 0 0 2 1 5 5 2 6 2 3 可1 2 2 4 o 0 0 1 0 2 7 9 x 3 y 2 0 0 0 0 0 3 2 1 6 9 9 y 1 y 3 o 0 0 0 1 3 9 2 3 1 y 2 y 3 0 0 0 0 1 6 8 1 6 5 x o 0 0 0 0 5 9 6 9 4 6 y 或者 z 2 一0 3 0 2 1 2 7 x l 0 0 3 1 1 4 7 x 3 0 0 0 0 2 3 4 3 6 3 y l 0 0 0 3 3 1 9 2 7 y 2 y 1 o 0 0 3 2 1 2 4 4 x l x 3 o 0 0 0 1 4 4 4 x 3 y l 2 2 5 一0 0 0 0 1 3 5 9 7 7 x 3 y 2 0 0 0 0 0 4 6 8 4 4 y l y 3 o 0 0 0 1 3 9 2 3 1 y 2 y 3 0 0 0 0 1 6 8 1 6 5 x 1 9 我们用w i n p p 画图验证 发现了多种广义同步 这与我们求得的流形表达式是对应的 c 1 一 i z 3 一一 n 一 孕 x l 图2 4 口 6 c 分别给出了广义同步在x l x 2 x 3 平面上的几种投影 和大多数非线性系统一样 广义混沌同步系统也可能存在多个吸引子 或者存在多个 稳定同步流形 上 在广义同步的情况下 映射妒表示的是驱动系统在混沌吸引子上的x 轨迹与响应系统渐近混沌行为y 之间的泛函关系 它包含了一类不显含时间t 的连续函 数 不一定可微 一般只考虑可微情况 每个函数对应一个同步流形 因而使得广义同步 中可能存在多个同步流形 对于一般的同步系统来说 同步流形的多值性是由系统本身的非线性因素决定的 综合以上的几个例子说明 只要系统存在广义同步流形 就能用近似幂级数展开的方 法来求得同步流形的近似表达式 第三章耦合混沌系统的动力学行为 目