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有理样条函数及其应用 摘要 有理样条插值是多项式样条插值的一种自然推广，由于它在曲线曲面造型 等方面的应用背景，所以一直受到人们的关注，研究成果颇丰本文首先对一 元有理样条的理论和构造方法进行扼要综述，重点讨论包含两个参数的分段有 理三次样条函数的保单调性，保凸性和误差分析，并在此基础上构造了基于函 数值的有理三次样条函数，并且通过数值实例阐明了这种构造的可行性然后， 利用它们构造了一种加权有理三次插值样条函数，并讨论了这种样条的区域控 制和逼近性质。 其次，本文介绍了二元有理样条函数的基本定理及几类特殊剖分下的二元 有理样条问题。 最后，本文介绍了带一个参数的有理三次样条在曲线和曲面的造型中的应 用，这个参数的选择使曲线和曲面具有全局和局部可调性。 关键词：有理插值有理三次样条保单调保凸约束插值二元样条 r a t i o n a ls p l i n ef u n c t i o na n di t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t i n t e r p o l a t i o no fr a t i o n a ls p l i n ei s an a t u r a le x t e n s i o no fp o l y n o m i a ls p l i n e o w i n g t ot h ep r a c t i c a lb a c k g r o u n do fm o d e l i n gb yc u r v c sa n ds u r f a c e s ，i th a sb e e n w i d e l yf o c u s e db yp e o p l e t h er e s e a r c hi nt h i sf i e l di sv e r yp r o d u c t i v e f i r s t l y , t h i s p a p e rb r i e f l ys u m m a r i z e st h e o r ya n ds t r u c t u r a lm e a n so fo r ev a r i a b l er a t i o n a ls p l i n e i n t e r p o l a t i o n ，e s p e c i a l l yd i s c u s s e s t h e m o n o t o n i c i t yp r e s e r v i n g ，c o n v e x i t y p r e s e r v i n ga n de r r o ra n a l y s i so fp i e c e w i s er a t i o n a lc u b i cs p l i n ef u n c t i o ni n v o l v i n g t w ot e n s i o np a r a m e t e r s a n do nt h eb a s i so fi t ，t h i sp a p e rc o n s t r u c t sr a t i o n a lc u b i c s p l i n e f u n c t i o nb a s e d0 1 1f u n c t i o n v a l u e sa n de l a b o r a t e st h ec o n s t r u c t i o n s f e a s i b i l i t yt h r o u g hn u m e r i c a le x a m p l e t h e nt h ep a p e rc o n s t r u c t sw e i g h t e dr a t i o n a l c u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o na n dd i s c u s s e sr e g i o nc o n t r o la n da p p r o x i m a t i o n p r o p e r t i e sb yu s i n gt h ea b o v e - m e n t i o n e dr a t i o n a lc u b i cs p l i n ef u n c t i o n i n v o l v i n g t w ot e n s i o np a r a m e t e r s s e c o n d l y , t h i sp a p e ri n t r o d u c e ss o m eb a s i ct h e o r i e sa n dp r o b l e m so nk i n d so f s p e c i a lp a r t i t i o no fb i v a r i a t er a t i o n a ls p l i n ef u n c t i o n f i n a l l y ，a na p p l i c a t i o no nt h er a t i o n a lc u b i cs p l i n ei n v o l v i n go n ep a r a m e t e ri n t h em o d e l i n go fc u r v e sa n ds u r f a c e si si n t r o d u c e di nt h ep a p e r , a n dt h et e n s i o n p a r a m e t e rm a k et h ec u r v e sa n ds u r f a c e sh a v eg l o b a ia n di o c a lt e n s i o np r o p e r t i e s k e yw o r d s ：r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，r a t i o n a lc u b i cs p l i n e ，m o n o t o n i c i t yp r e s e r v i n g ， c o n v e x i t yp r e s e r v i n g ，c o n s t r a i n e di n t e r p o l a t i o n ，b i v a r i a t es p l i n e 图2 1 图2 2 图2 3 图2 4 图3 1 图3 2 图3 3 图4 1 图4 2 图4 3 图4 4 图4 5 图4 6 图4 7 插图清单 r = 1 3 ，t = 1 4 时的有理样条7 r = l ，t = 2 时的有理样条7 普通的三次样条8 f ( 曲被约束于两折线之间1 3 对区域d 的一种剖分1 6 对多边形区域的三角剖分1 8 区域的圆环剖分1 9 有理样条的图形2 5 有理b e r n s t e i n - b 6 z i e l 法表示2 5 交差缩减性质2 6 整体和局部可调性质 2 7 带全局参数的插值型曲线 2 8 带局部参数的插值型曲线 2 8 带区间参数的插值型曲面 3 0 表格清单 表2 1 等距节点数据表6 表2 2g ( 力，置o ) ，( x ) 及g o ) 在插值区间1 0 ，2 上的值1 3 表2 3 定理2 1 7 中对应于r j = 1 ，= 2 和某些丑的q 的数值1 5 独创性声明 本人声明所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金匿王些太堂 或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所徽的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：覆扫赋字魄叩年# 月穸日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金墼王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘允许论文被查阅和借阅本人授 权金壁些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 蔓p j 1 ) 签字日期：”7 年6 月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师躲扣物 签字日期：。7 年6 月尸日 电话： 邮编： 致谢 这里我首先感谢我的导师朱功勤教授，在三年的研究生学习期间，朱老师 严谨的治学态度和对学术的精益求精深深地影响着我，他以敏锐的洞察力和丰 富的治学经验，在许多问题上给我及时的指导。朱老师渊博的知识，对学术孜 孜不倦的追求和谦逊的为人都是我学习的榜样从开始到完成本论文，朱老师 都给了我无私的指导。 同时我还感谢三年来给予我指导的檀结庆教授，苏化明教授，邬弘毅教授， 黄有度教授，朱晓临教授，唐烁教授，林京教授等，是他们无私的帮助和指导使 我在学业上不断进步。在三年学习期问，我有幸与程荣，周金明，梁艳，徐红 霞，朱磊，陈远宁，程永福，王乐乐等同学在一起学习和讨论，正是与他们的 合作与讨论使我得到很大的启发和动力 最后深深感谢我的家人，正是他们多年来的无私奉献使我能够在学业上不 断进取。 黄日朋 2 0 0 7 年4 月 第一章绪论 1 1 研究背景 样条插值是曲线曲面设计的有力工具，它广泛用于曲线曲面的形状控制中 当给定插值数据点组 ( 而，所) ，i = l ，2 ，两，在许多实际应用( 如c a d c a m ，数据分 析，数值逼近等) 中，常常要求所构造的插值函数除了满足一定的光滑性条件外， 还必须能够反映被插值的数据点组的整体几何性质，如我们通常希望由单调( 凸) 的数据产生的插值函数也是单调( 凸) 的。用多项式或三次样条，保单调( 保凸) 的要求仅在特殊的情况下才能满足，但也容易产生不期望的震荡。 有理样条函数是多项式样条的一种自然推广，它同有理函数样，可以较 好的逼近有极点的函数。另外，在c a d c a e 中会经常遇到二次曲线弧和二次 曲面表示的形状，这些形状在设计时必须明确无误的给出其数学表达式，在制 造时才能保证其有较高的精度，传统的方法无法达到这一要求。v e r s p r i l l e 和 p i e g l 等人研究了有理b 样条方法l i “，为建立n u r b s 方法提供了理论依据。 由此可见，将多项式样条的理论推广到有理样条很有必要，但由于有理样 条空间的复杂性，关于它的研究成果不像多项式样条理论那样成熟，有许多问 题诸如有理样条的形状控制，区域逼近性质，多元有理样条的结构等许多问题 尚未完全解决。 1 2 相关成果和本文的工作 有理样条插值问题最早是由r s e h a b a c k 提出，但r s c h a b a c k 考虑此问题 时涉及到非线性方程组的求解，实现起来比较困难。王仁宏在著作 1 中研究了 几类特殊形式的有理样条插值，并讨论了它的解析性质。檀结庆在文 2 中给出 了多元情况下类似的结果。 近年来，从c a d c a e 中许多实际课题出发，有理样条，特别是三次有理 样条的研究成果颁丰。文献 3 、4 对c 2 有理保形插值进行了研究具有一定的 代表性。但是文 3 、4 中c 2 有理保形插酋的参数必须通过求解非线性方程组得 到，而且只适用于整体凸( 或凹) 和单调的数据点集。文【5 】中的c 2 有理保形插 值适用于点集 ( 薯，z ) i x l x 1 。，2 0 ) ，但其保形参数的存在性是基于极限手法 得到的，其算法只能通过反复迭代来判断其参数是否满足保形条件，但在每一 次迭代过程中要求解一线性方程组，计算量较大。文 6 研究了带一个参数的具 有局部插值性质的样条，即有理样条函数在子区间 ，x 。 上的表达式是通过有 理基函数的线性组合给出的，而这些有理基函数可以通过相邻的几个节点处给 定的信息构造出来。文 7 通过在插值数据点之间加入样条节点，以提供足够的 自由度来保证保形问题解的存在性，这些方法的缺点是插值函数的修改不能以 局部方式交换进行，同时对插值点的位置附加了额外条件以保证保形插值问题 的可解性，然而，这些过强的条件限制了插值方法的应用。文 8 】受文 7 的启 发，通过定义四个函数来构造带一个权因子的有理三次( 3 2 ) 型样条，并给出了 对凸数据存在有理三次保凸插值函数的充要条件，如果给定节点处精确的导数 值，可以获得o ( h 2 ) 的收敛速度。文 9 中给出的分段有理三次插值函数，在满 足保形性和c 2 连续后，插值节点处的一阶导数值可以在一定范围内选取，从而 可以调整插值曲线的形状文n o 中给出了含两个参数的c 2 分段有理三次样条 插值的方法，但需要预先通过确定插值函数在节点处的一阶导数值来获得c 2 连 续性的，且作为控制插值曲线形状的参数在满足c 2 连续性条件后已经没有自由 选择的余地了 本文研究了带两个形状参数，的有理三次样条插值，它在子区间 而，薯+ 。 上的表达式是通过有理基函数的线性组合给出，而这些有理基函数可以通过相 邻的几个节点处给定的信息构造出来。我们通过选择适当的形状参数使所构造 的c 2 一分段三次( 3 i ) 型有理样条具有保单调，保凸性。进而，本文给出了所构 造的有理样条函数的误差分析。最后，我们给出具体数值实例验证了这种构造 的可行性。 有理样条的区域控制和逼近性质也有许多丰富的成果，如文 1 1 、1 2 中利 用加权有理插值考虑了将插值曲线约束于给定的折线、二次曲线上( 下) 或之间 的问题，并给出了问题可解的充分必要条件，由于权系数可以在一定范围内自 由变换，使问题处理起来方便灵活。 多元有理样条尚有许多问题未解决，文献 i 、2 、1 3 中介绍了几类特殊剖 分下的二元有理样条表现形式。 本文最后介绍有理样条在曲线曲面造型上的应用，带一个参数的有理样条 使得曲线和曲面具有全局和局部可调性。详见 2 9 、3 0 。 2 第二章一元有理样条函数方法 有理样条是多项式样条的一种自然推广，但是关于它的一些研究成果不像 多项式样条那样完美，下面我们重点介绍一元有理样条的表现形式和插值方法 以及分段有理三次样条保单调、保凸分析。 2 1 有理样条函数的定义及表现形式 设有理分式函数r ( x ) = p ( x ) q ( x ) ，其中p ( x ) 只，q ( x ) q 分别是x 的次数 不超过r 和f 的多项式，所有r ( x ) 的集合记为墨，。 定义2 1 f 1 3 设为区间【a , b 】的一个剖分 a ：口= x o 而 x n - i = 6 ， ( 2 1 ) 如果定义在区间【a , b 】上的实函数r ( 石) 满足如下条件： ( 1 ) 在每个子区间p ，x ，+ 。】u = o 1 ，n - i ) 上，足( 力如； ( 2 ) 在整个区间【a , b 】上，r ( x ) c 口，乩 则称r ( x ) 为区间陋，6 】上关于剖分的( ，) 型k 阶有理样条函数，所有( r ，) 型k 阶 有理样条函数的集合记为鹳，毛，称为有理样条节点。 由定义可以知道有理样条在每个子区间肛，工，+ 】u = o ，l ，以一1 ) 上都是一 个有理分式函数，因此它不能像多项式样条那样直接用递推方法给出它的表达 式。我们可以给出有理分式函数r ( x ) 的一种表示形式，然后利用它来推导出一 般有理样条的表示。 我们不加证明地给出下面有理样条的表现定理，详细证明可以参考文献 1 。 定理2 1 设【珥6 】，且q ( 粕) o ，则b j 中任意函数r ( x ) 2 丢裔均可以表 示为( k s r - 1 ) 鼬) 李掣h ) + ”舞， ( 2 2 ) 其中f ( x ) 为次数s m a x ( r ，k + o 一( 七十1 ) 的多项式。 定理2 。2趟；中的任意有理样条函数均可以表示成为 肿器+ 霎茄法” ( 2 。， 其中，m ， ) 耳+ ，。完全由只( x ) ，q ，( 工) 和r ( r ) 在j ，处的前k 阶导数值所完全决 定。 定理2 3若定义在区间k ，b 】上的实函数r ( 砷可表示成( 2 3 ) 的形式，当 m j ( x ) p “一i 时，贝0 r ( x ) 置芝。 定理2 4 给定区间【口6 】上的剖分及样条函数蠹嵩+ 善m ( 功。一而) ， 其中，异( 力e 只( 曲，q e q f ( 力，去等是既约的，m ( 力p + ，州，则可以构造形如 ( 2 3 ) 的实函数矗( 工) ，使得r ( x ) 鹳( ) 2 2 c 2 - 分段有理三次保形样条插值 前面我们介绍了有理样条函数的基本概念及其表现形式，下面我们将主要 研究带两个形状参数，的有理三次样条插值，它在子区间 而，k 。 上的表达式 是通过有理基函数的线性组合给出，而这些有理基函数可以通过相邻的几个节 点处给定的信息构造出来。我们通过选择适当的形状参数使所构造的c ：一分段 三次( 3 1 ) 型有理样条具有保单调，保凸性进而，给出了所构造的有理样条的 误差分析。最后，我们给出具体数值实例 2 2 1 有理三次样条函数的构造 设厂( 力在区间 珥6 上有定义，令 a ：a = 而 x 2 o ，巨k ，回= ( 1 一目) + 口。 由仍，( ，= l ，2 ，3 ，4 的线性组合构成的有理样条函数r ( 工) ，工阮，+ ，】，即 r ( 工) = 矗l 仍。l ( 口) + z 识2 ( 口) + 丘l 仍j ( 曰) + 丘2 仍4 ( 口) ( 2 4 ) 可以直接验证所构造的样条满足插值条件： 置( 薯) = ，局( 玉+ ) = 丘，。( 2 5 ) 且为c 连续，有理基函数许，够) ，= l ，2 ，3 ，4 满足文献 1 33 中提出的端点关系。 2 2 2 保形性分析 ( a ) 保单调性 对于给定的数据组 ( 而，z ) 三d ，我们记= ( 丘。一z ) ，曩，i = 1 ，2 ，埘一1 特 别有a o = 2 a 一一2 ，。= 2 - a ，2 ，= ，= ，“。不失一般性，我们令m ) 是区 问【a ，b 】上的单调递增函数。即 石石s z ，或。0( 2 6 ) 4 欲使置是单调递增函数，当且仅当碍o ( d 0 。 通过对( 2 4 ) 简单的求导运算，整理后得： 耳”o ) = “( 1 一+ 4 0 ( i 一印2 + c a 2 ( 1 - 刃+ 口矿 q n ，o ) j 2 ( 2 7 ) 其中 把2 等等；骂= 2 r - 2 a + 峭一彳掣咄t 等挚 c = z # + 4 ，再，一乎瞥一2 - r ，锴；口= 乎紫 易知( 2 7 ) 式分母恒为正，因此我们只需考虑其分子，而分子的第一、四项 系数恒为正，故只需羁，c ，2 0 即可推h 4 群1 ( 力o 。由马，q 2 0 我们可以得到 铣嚣 ( 2 8 ) 因此我们有如下的定理； 定理2 5 对于给定的单调递增数据组 ( 而，z ) ) 乙，如果( 2 8 ) 式成立，则 存在个包含两个形状参数i ，的保单调有理( 3 1 ) 型样条插值函数 r ( x ) c 1 【m 纠满足插值条件( 2 5 ) 。 ( b )保凸性 如果假定厂为严格的凸函数，即 a l 2 ou - - l 以推出 c 瓮划精一糕， 眨 由d 2 。o 可得 t 糕t 锭一嚣， 亿 因此我们有如下定理： 定理2 6 对于给定的严格凸的数据组 “，z ) 二，如果( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 三式 同时成立，则存在一个包含两个形状参数，f 。的保凸有理( 3 1 ) 型样条插值函数 胄( 力ec 1 【口，加满足插值条件( 2 5 ) 如果给定的数据组 “，z ) ，我们可以计算出。， 的值，然后根据 ( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 式确定，的值。 2 2 3 c - 有理样条插值条件 对于给定的数据组 ，z ) ，足( n 工k ，t 。】由( 2 4 ) 式构造。要使 r ( x ) c 2 4 ，6 】，当且仅当对于每一个子区间哺，。】有碍2 ( + ) = 聊“+ 。) ，而 酽( 驴 珥精+ 奶糕+ 奶糕批 ( 2 1 3 ) 硝瑙+ ，等等瑰- 瓮鬻+ 舍老泡+ ( 2 1 4 ) 联立( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 式可得 佩- c 瓮等一鲁老陬c 瓮等一等等， 亿 因此，我们有如下的结论： 定理2 7 对于给定的数据组 “，z ) = d ，蜀( x ) ，工【葺，而+ 。】由( 2 4 ) 式构造， 如果( 2 。1 5 ) 式成立，则显o ) c 2 k 6 】。 2 2 4 误差分析 下厩给出r ( 耳) 的误差估计。 定理2 8 设f ( x ) c 2 【。，b 】，r ( x ) 由( 2 4 ) 式确定的有理三次样条，则有 i 厂一只忙扣妒0 ( 2 + 1 0 m n + 3 z - 5 m ) ( 2 1 6 ) 其中 膨= 雹豸鲁，= 降堕，而= m a xhhi 。f m - i 。，f 厂一r 8 = 恐瑟i j “习一r ( 捌。 l 童g 。p 一弗i 7 p ” o 如西 ” 、i 该定理的证明完全类似于文献 1 3 中的证明。具体可以参考文献 1 3 。 2 2 5 数值实例分析 例l 参考文献 9 给定的数据如下表： 表2 1 等距节点数据表 f ( x ) 5 52 53 71 o 0o 82 86 88 o7 o 4 o x12 3 4 5678 9l ol l 我们根据( 2 8 ) ，( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 5 ) 式可以确定，的值。我们取 r = 1 3 ，t = 1 4 结合( 2 5 ) 式作成下面的图2 1 ，同文献 9 中的方法所作的图像相 比，利用本文所介绍的方法所作的图像更光滑。 6 本方法中，的值是根据被插点的函数值和区间间隔决定的，避免了文献 1 0 中需要预先确定节点处的导数值碡才能定，的值的缺点同时，根据 ( 2 8 ) ，( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 5 ) 式确定不同的，值可以局部修改图形以满足实 际需要。 如果我们取r = l ，则只有t 一个参数起作用，t 无论取何值，都无法获得光 滑的曲线。图2 2 是r = l ，t = 3 时的图像 当r = t 时，我们所构造的样条就是普通的三次样条，文献 3 1 中有详细的 说明。图2 3 是r = t 时按照文献 3 1 所作的图像，显然本文所介绍的方法更能 反映数据点的几何特点。 图2 1r = 1 3 ，t = 1 4 时的有理样条 7 图2 3 普通的三次样条 2 3加权有理样条的区域控制 文献 1 0 与文献 1 5 分别给出了分母为线性的有理三次样条插值和仅基于 函数值的有理三次插值样条，文献 1 6 中利用它们构造了一种加权有理三次插 值样条。 2 3 1 加权有理三次样条的构造1 1 0 1 5 , 1 6 1 给定数据 ，z ，吐) f = l ，2 ，刀 ，其中z ，吐分别是被插函数f ( x ) 在节点x ， 上的函数值和导数值，：d = 五 x 2 0 ，f = l ，2 ，一。 容易计算得到r ( 薯) = z ，r o ( 而) = 4 ，i = l ，2 ，撑，称这种插值是分母为线性的 有理三次样条插值。文章 1 0 中给出了三次样条保单调和保凸以及c 2 连续的条 件，具体内容可以参看文献 1 0 ，这里不再赘述。 记，；( ，+ 一，) ，岛，基于函数值的有理三次插值样条定义如下： s ( x ) = 只( 口) 吼( 口) ，n ( 回= ，( 1 一d 3 + 4 o o - o ) 2 + e 。口2 ( 1 一口) + 丘i 口3 ( 2 1 8 ) 其中 4 ；= ( + ) ，+ 丘。，研= ( + 2 t , ) 丘。一m 。“， 显然 s ( 五) = ，s 0 ) ( ) = 加权方法是一种重要的数学方法，基于给定插值函数中增加新的参数的想 8 法，对如上构造的分母为线性的有理三次插值样条和基于函数值的有理三次插 值样条应用加权方法，构造一类加权有理三次插值样条如下： 胄( d = 丑r ( j ) + ( 1 一五) s ( 工) = f ( 护) 研( 口) ， ( 2 1 9 ) 此处， 只( = ( 1 一d 3 z + 口( 1 一毋2 k + 矿( 1 一力形+ 巩丘l 研( d = ( 1 一研+ 巩 且 巧= ( 和+ + ) z + ( 1 一五) 丘i + 础h d , 彤= ( ，；+ 2 ) 矗i o 一丑) 岛厶一以鸟碣。 这里, r e r ，i = l ，2 ，r l 。则由( 2 1 9 ) 式定义的r + ( x ) 是c 1 连续的有理三次插值 样条，称作分母为线性的加权有理三次插值样条。 2 3 2 将插值曲线约束与两给定折线之问的问题胆拽嘲 设f ( x ) 是被插函数，令f ( x ) 是f ( x ) 在善【口，b 】上的由( 2 1 9 ) 式定义的加权 有理三次插值函数，给定数据 “，z ，吐) ，f = 1 , 2 ，玎 ，满足 爪葺) ( 或固g ( 薯) ，i = l ，2 ，拖 如果对所有的x e 陋，b 】均有f o ) ( 或9 9 o ) ，则称f o ) 为被约束与f o ) 之上 ( 下) 的加权有理插值函数，g ( x ) 被称为约束曲线。 我们约定剖分为等距的，将加权有理插值作为约束插值，容易得到下面约 束插值条件的定理。 定理2 9 给定数据 ( ，吐，西) i = i ，2 ，r ，且，z 。则由( 2 1 9 ) 式定 义的加权有理样条曲线r ( z ) 在【口，b 】上位于g ( x ) 之下的充分条件是，参数c ，和 权系数五r 满足如下不等式： 以( z 一丘。+ 4 ) + ( z + 丘i 一西一g 二i ) + “一彰) o ( 2 2 0 ) 以( 丘2 一丘l 一吩4 + i ) + ( 3 厶一厶：一西一威。) + ( 丘1 一豉。) 0 ( 2 2 1 ) 证明：由( 2 1 9 ) 式容易得到。在工阮，五+ 】上， 醇o ，于是有，r + = p q g ，等价于毋( 口) 一岔( p ) z ( 印o 。 令u ( 毋= 彳( 秽) 一岔( 彩西猡) 。于是 u ( 臼) = 0 - o ) 3 z + 0 0 - o ) 2 k + 护2 ( 1 一口) 形+ 口3 丘l 一 ( 2 2 2 ) 【( 1 一口) + 吼1 “l 一口) 西+ 6 嘧二) - 0 又 9 【( 1 一力+ 吼】“l 一回西+ 6 1 9 0 ) = ( 1 一刃2 薪+ 俄l 一刃( 威+ 赢。) + 口_ g - ， = ( 1 一咿橱+ 印一力2 ( 赢i + t , g t + + 橱) + 矿( 1 一坝或i + 糠+ r s g 二。) + 矿五。 故式( 2 2 2 ) 变成 ( 回= ( 1 一刃3 u 一西) + 口( 1 一力2 4 + 口2 ( 1 - o ) b , + 巩0 0 一g 二i ) o 这里 4 = 巧一( g 乙+ 西+ 薪) = 弛u 一丘。+ 岛珥) + “+ 丘。一g ：i 一薪) + 一西) 丑= 形一( 矗i + z + g 乙) = 弛( 丘2 一丘。一 矗。) + ( 3 以一无2 一g ：i 一西) + 魄。一赢。) 又( z 一薪) s o ，( 矗。一或) s 0 如果4 o ，骂0 ，则有( 力o 对所有的工阮，x e + 。】均成立。 类似于定理2 9 的证明，对于“下约束”的情况，设g ( 功是下约束曲线， 其为【m b 】上定义的线性函数或以为，x 2 ，为分点的分段线性函数，可以有下 述充分条件定理。 定理2 1 0 给定数据f “，z ，4 ，q ) ，= l ，2 ，哪，且z 芝q ，则由( 2 1 9 ) 式 定义的加权有理样条曲线f ( x ) 在【a , b 】上位于g ( 力之上的充分条件是，参数， 和权系数五露满足如下不等式： 以( z 一丘+ 晦4 ) + “+ 厶l 一研一g 二。) + 一研) o( 2 2 3 ) 以( 丘2 一丘广 珥+ ) + ( 3 丘一丘2 一q g 二1 ) + ( 丘一g 二1 ) 0 ( 2 2 4 ) 由定理( 2 1 9 ) ，( 2 1 0 ) 可得下面“上下同时约束”的定理。 定理2 1 1 给定数据 ( ，z ，吐，西，q ) ，i = 1 ，2 o * - 9 拧 ，且g ? ，s g - ，则由 ( 2 1 9 ) 式定义的加权有理样条曲线r o ) 在【a , b 】上位于g ( x ) 之下且位于g + ( x ) 之上的充分条件是，参数，和权系数五r 同时满足不等式组( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) ， ( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 由( 2 1 9 ) 式定义的加权有理样条曲线r ( 工) 在【口，6 】上位于g + ( x ) z t ，或位 于g ( x ) 之上，或两者之间的充分条件有定理2 i o 一2 1 2 给出，满足约束条件的 有理插值函数的存在性取决于对应不等式的可解性，下面定理描述了这种存在 性。 定理2 1 2 对于任意满足q 0 和权系数五r + ，使得由( 2 1 9 ) 式定义的加权有理 样条曲线f o ) 在【a , b 】上界于直线段g ( z ) 与g ( 石) 之间。 在证明定理2 1 2 之前，首先给出如下引理。 引理1对于任意实数a 0 ，b 0 和c r ，不等式组 rc x + a 0 ， t c x + b 0 1 0 一定有正解善 下面是定理2 1 2 的证明。 证明：当茸心，+ 】时，不妨令缶：三l ，于是，不等式组( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) ， 吒 ( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 可以被改写成 五“。- a 一吩碣) + ( - 一一厶+ 西+ 矗i ) + 丘( 啊+ 薪) 0 a ( z 一五。+ 珥) + “+ 石。一q g 厶) + 当“一q ) o 弼h 0 2 + 丘i + h a l , + i ) + 石( _ 3 几+ 丘2 + z + 最1 ) + ( _ “+ 或i ) o ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 比魄2 一丘。- h , 4 + ) + 缶( 飒一如一q 一瓯。) + 诋一瓯) o ( 2 2 8 ) 有引理1 可知，显然存在 o ，使得对任意满足0 0 ，再由引理1 ，一定存在厶 0 使得式( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 成立。因此 一定存在 0 使得( 2 2 5 ) 一( 2 2 8 ) 都成立。记 五= m a x “，五，五， 取任意0 名 0 ，使 得式( 2 2 5 ) 一( 2 2 8 ) 均成立。 2 3 3 将插值曲线约束于两给定的抛物线之间的问题 1 1 , 1 2 , 1 5 , 1 q 设f ( t ) 是被插函数，令岳( x ) 是f ( t ) 在【口，b 】上由( 2 1 9 ) 式定义的加权有理样 条插值函数。g ( x ) 是【口，b 】上定义的二次函数或以毛，x 2 ，为分点的分段二次 函数，上( 下) 约束插值的定义同第一部分所给，则有 定理2 1 3 给出数据 ( 薯，珥，0 ，g ”) ，i = l ，2 ，刀 ，且g ，。此处， g ：= g ( 而) g 二= g - o ，。) ，彰”= g t ( ) - 则有( 2 1 9 ) 式定义的加权有理样条曲线r ( 叫在“，+ 。】上位于二次曲线段g ( 功 之下的充分条件是参数，和权系数a r 满足如下不等式组： 以“一丘l + 吩z ) + u + 丘。一2 9 ：一西”曩) + ( z 一西) s 0 ( 2 2 9 ) 以( 丘2 一丘l + h a + 1 ) + ( 3 丘。一丘：- 2 9 ；一”) + ( j 0 一以) o ( 2 3 0 ) 证明：完全类似于定理2 9 的证明。只需注意到，当x 阮，+ i 】时， 西( x ) = ( 1 一护) 2 西+ 口( 1 一d ( 2 西+ 岔o 羁) + 口2 9 二l ， 即可完成本定理的证明。 类似地，对于g ( x ) 为“下约束”二次曲线的情况，有如下充分条件定理。 定理2 1 4 给出数据 ( 毛，z ，吐，g ? ，g ”) f = l ，2 ，1 ) ，且z 矿 则有( 2 1 9 ) 式定义的加权有理样条曲线( x ) 在【葺，x l + 。】上位于二次曲线段g ( 功 之上的充分条件是参数，f ，和权系数l 震满足如下不等式组： 钯( z 一丘。+ 吩码) + ( ，+ 丘l 一2 西一q “ ) + 一g ? ) 乏o ( 2 3 1 ) 枷以2 一厶+ 岛碣+ 1 ) + ( 3 厶一丘：一2 研一甜”) + ( 丸一i ) o ( 2 3 2 ) 由定理2 1 3 ，2 1 4 可得如下。上下同约束”条件的定理。 定理2 1 5 给出数据 ( 而，z ，珥，薪，”。q ，钟”) ，i = l ，2 ，厅 ，且g ：sz 西， 则有( 2 1 9 ) 式定义的加权有理样条曲线f ( 力在【x j ，k 。】上被约束与二次曲线段 g 。( x ) 之上和g 0 ) 之下的充分条件是参数，；，和权系数a e r 同时满足不等式组 ( 2 2 9 ) 一( 2 3 2 ) 。 完全类似定理2 1 2 的证明，对于插值曲线矗( x ) 约束于二次曲线 g ( x ) 和g ( x ) ，有如下定理： 定理2 1 6 对于任意满足q o 和权系数名r + ，使得由( 2 1 9 ) 式定义的加权有理样条曲线 胄( 石) 在 a , b 】上界于二次曲线g ( 与g ( 功之间。 2 3 4数值例子 例2 设他) = s i n ( 等) ，x 【o 4 】，取插值节点为o o ，o 5 ，1 o ， 1 5 ，2 0 ，2 5 ，3 0 ，3 5 ，4 0 ，即等距剖分，h = 0 5 ，其在 0 ，4 上的由2 1 9 式定义 的有理样条曲线记为r ( j ) ，取上约束曲线g ( x ) 和下约束”曲线g ( x ) 分别为 g ( j ) = o 0 7 + 7 5 x , 0 s x o 5 ； 0 4 7 + 3 一x , 0 5 x 1 o ； 1 6 7 一：3 x ，i o s 工1 5 ； 2 8 7 一要x ，1 5 x 2 5 ； g + ( x ) = 0 8 7 一喜五2 5 工s 3 o ； _ 2 7 3 + ；x , 3 o x s 3 5 ； 。5 3 + ：7 工，3 5 x 4 0 ； 即g ( x ) 和g ( x ) 分别为在上述插值节点上以( t ) + j 秒( t ) 一j 为值的分段线性 插值函数，此处万= o 0 7 ，取a = 1 2 ，记q 2 詈，且取q 2 o 1 ，2 ，3 ，5 ，6 7 q 2o 3 ，江4 8 。 1 2 则插值曲线f ( 工) 被约束于折线g ( 曲和伊( x ) 之间( 这里参数肺q 2 詈的值是利 用计算机求解约束不等式组而得到的) ，图2 4 表示了插值曲线r o ) 被约束于 折线g o ) 和g + ( x ) 之间的情形 图2 ，4 r ( x ) 被约束于两折线之间 但是，对于同样的被插函数f ( x ) 和同样的两约束折线g ( x ) 和g ( x ) 却找不 到正的参数，使得由式( 2 1 7 ) 定义的有理样条曲线r ( 工) 被约束于折线 g ( 工) 和g ( x ) 之间。如果也取q = o 1 ，f = 1 1 2 ，3 ，5 ，6 ，7 ；q = 0 3 ，扛4 ，8 ，表2 给出了 g ( z ) ，尺( x ) ，r ( x ) 及g ( x ) 在插值区间上的值，可以看出，在 0 7 ，o 8 之问，r ( x ) 在约束曲线之外。 文献 1 3 中已经证明了由( 2 1 7 ) 。( 2 1 8 ) 式定义的分母为线性的带导数和 不带导数的三次有理插值函数有着良好的逼近性质，而且不论参数c ，如何选 取，最佳误差系数都是有界的，由( 2 1 9 ) 式定义的加权有理插值函数是由 ( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 式定义的分母为线性的带导数和不带导数的三次有理插值函数 的线性组合。加权有理插值在约束插值问题上表现出的优越性是否以逼近误差 的增大为代价昵? 一般来说，加权方法不会使逼近误差增大。下面我们将说明 加权有理插值对被插函数同样有着良好的逼近性质。 表2 2g ( x ) ，r ( x ) ，r q ) 及g o ) 在插值区问【o ，2 上的值 x g ( 工)只( x )r ( x )g ( x ) 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0- 0 7 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 o 1 6 2 3 40 1 5 7 0 6 0 0 7 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 5 0 0 0 o 3 1 6 9 60 3 0 6 5 0 0 0 7 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 9 0 0 0 0 4 5 9 5 80 4 4 8 0 lo 2 1 0 0 0 0 4 0 0 0 00 6 3 0 0 0 0 5 8 9 6 80 5 8 1 5 5 0 3 5 0 0 0 0 5 0 0 0 00 7 7 0 0 00 7 0 7 1 l0 7 0 7 1 l 0 4 9 0 0 0 0 6 0 0 0 00 8 3 0 0 0o ，8 l l l 60 8 0 6 8 6 0 6 3 0 0 0 0 7 0 0 0 00 8 9 0 0 00 8 9 3 6 l0 ，8 8 3 0 2 0 6 9 0 0 0 0 8 0 0 0 00 9 5 0 0 00 9 5 2 6 80 9 4 0 2 9 0 7 5 0 0 0 0 9 0 0 0 01 0 1 0 0 00 9 8 8 1 7 0 ，9 7 9 2 3 0 8 1 0 0 0 i 0 0 0 0 01 0 7 0 0 0z 0 0 01 0 0 0 0 0 0 8 7 0 0 0 1 1 0 0 0 0l0 1 0 0 0