（应用数学专业论文）sugeno测度空间上的不确定规划.pdf

摘要 摘要 不确定规划是处理各种不确定环境下的优化问题的理论工具，它主要是建立在概 率、可能性、可信性测度空间上的，目前尚未涉及s u g e n o 测度空间上的情况。由于s u g e n o 测度空间是一类比概率空问更广的重要的有代表性的非可加测度空间，因此，如何建立 s u g e n o 测度空间上的不确定规划显然是一项很有意义的工作本文讨论了s u g e n o 测度 空间上的不确定规划。进一步给出了s u g e n o 测度的一些性质，讨论了s u g e n o 测度空间 上的g 。随机变量及其数字特征和大数定律；给出了s u g e n o 测度空间上g x 随机变量的乐 观值，悲观值，凸规划等定义和性质，建立了s u g e n o 测度空间上的s u g e n o 期望值模型 和s u g e n o 机会约束规划，把不确定规划中的两项基本类型从本质上推广到了s u g e n o 测 度空间上。 关键词s u g e n o 测度空间：g 随机变量；s u g e n o 期望值模型；s u g e n o 机会约束规划 a b s t r a c t a bs t r a c t u n c e r t a i np r o g r a m m i n gi sat h e o r e t i c a lt o o lt oh a n d l eo p t i m i z a t i o np r o b l e m su n d e r u n c e r t a i ne n v i r o n m e n t s t h er e s e a r c hi nt h i sf i e l di sm a i n l yb a s e do nt h ep r o b a b i l i t ys p a c e ， t h ep o s s i b i l i t ys p a c ea n dt h ec r e d i t a b i l i t ys p a c e ，a n db yn o w , h a sn o ti n v o l v e dt h eu n c e r t a i n p r o g r a m m i n go nt h es u g e n om e a s u r es p a c e s i n c et h es u g e n om e a s u r es p a c ei si m p o r t a n t ， r e p r e s e n t a t i v e ，a n dm o r ee x t e n s i v et h a nt h ep r o b a b i l i t ys p a c e ，i ti sm e a n i n g f u lt oe s t a b l i s ht h e u n c e r t a i np r o g r a m m i n go nt h i ss p a c e t h i sp a p e rd i s c u s s e st h eu n c e r t a i np r o g r a m m i n go n s u g e n om e a s u r es p a c e m o r es p e c i f i c a l l y , t h i st h e s i sp r e s e n t st h ep a r t i a lp r o p e r t i e so fs u g e n o m e a s u r ef i r s t l y , a n dt h e nt h e g r a n d o mv a r i a b l e ，i t sn u m e r a lc h a r a c t e r i s t i ca n dt h el a w so f l a r g en u m b e r sa r ed i s c u s s e db a s e do nt h es u g e n om e a s u r es p a c e f u r t h e r m o r e ，t h i st h e s i s g i v e st h ed e f i n i t i o n so fo p t i m i s t i ca n dp e s s i m i s t i cv a l u eo fg xr a n d o mv a r i a b l e ，a n dc o n v e x s u g e n op r o g r a m m i n gr e s p e c t i v e l y , a n dt h e i rp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e dc o r r e s p o n d i n g l y f i n a l l y b o t hs u g e n oe x p e c t e dv a l u em o d e l sa n ds u g e n oc h a n c e c o n s t r a i n e dp r o g r a m m i n ga r eb u i l t ， a n dt h i ss h o w st h a tt w ob a s i ct y p e so fu n c e r t a i np r o g r a m m i n ga r eg e n e r a l i z e df r o m p r o b a b i l i t ys p a c et os u g e n om e a s u r es p a c ei ne s s e n c e k e y w o r d ss u g e n om e a s u r e ；g r a n d o mv a r i a b l e ；s u g e n o e x p e c t e dv a l u em o d e l s ；s u g e n o c h a n c e c o n s t r a i n e dp r o g r a m m i n g 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学 或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：盗垫日期：j 堑l 年量月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密曰。 ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名：毯必 导师签名：通必 日期：且年月卫日 日期：圣蔓l 年j l 月卫日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 不确定规划理论的诞生及研究现状 在决策科学、管理科学、信息科学、系统科学及可靠性技术等各种决策系统中都存 在着客观的或人为的不确定性。这些不确定性表现形式是多种多样的，如随机性、模糊 性、粗糙性、模糊随机性以及其它多重不确定性等【lj 。要想在决策过程中合理有效地处 理各种不确定性信息，做出更加符合实际的决策，研究和建立各种相应的不确定性数学 规划理论已是学术界所面临的重要课题。2 0 世纪5 0 年代，人们利用概率研究用于处理 随机信息的不确定性数学规划，即随机规划【2 训；2 0 世纪7 0 年代，z a d e h 5 】提出了可能 性测度的概念，许多学者如d u b o i s 和p r a d e 6 , 7 对其发展起了重要作用；在此基础上l i u i s 给出了完善的研究模糊性的公理体系，称之为可信性理论，并在此基础上建立了模糊期 望值模型【9 】，模糊机会约束规划 1 0 12 1 ，模糊相关机会规划，而且提出了随机模糊规划 1 4 - 16 ，模糊随机规划盼1 9 ，给出了随机规划、模糊规划、粗糙规划以及模糊粗糙规划建 模与求解的统一原理。从而初步建立了较系统的不确定规划。不确定规划是处理各种不 确定环境下的优化问题的理论工具，不确定规划理论已经被应用到诸多领域，例如：水 库调度、生产过程、存储系统、资金预算、网络优化、车辆调度、设备选址等等。 如今计算机基本上是优化问题求解的主要媒介，优化问题的求解规模离不开计算机 的运行速度，但是随着计算机技术的日益完善及发展，优化问题的重点将着重于数学模 型的建立和求解上。我们需要提出更加丰富的建模思想和更广阔的理论，建立优化问题 的数学模型，设计模型求解的现代算法，并扩大应用范围。不确定规划理论的建立和发 展正是当前这一方面的国际研究潮流的具体体现。作为不确定环境中的优化理论，不确 定规划是一个新型而充满活力的研究领域，其中有许多值得探讨和深入研究的问题。 1 2 s u g e n o 测度空间上不确定规划理论的提出及意义 在本世纪5 0 年代中期，出现了随机规划，这使得许多实际问题获得更好解决。在这 河北大学理学硕士学位论文 几年不确定规划也获得了新的发展，出现了粗糙规划、模糊规划、模糊随机规划、随机 模糊规划。但是它仍有些不完善之处，如：随机规划的基础是建立在概率( 一类特殊 的测度，也可称概率测度) 空间上，概率是一个满足可加性( 可列可加性) 的非负集函 数，但在现实生活中，概率测度中的可加性条件却往往得不到满足，以至于使我们的研 究对象大大减少，并使得理论的应用范围受到限制，从而影响了它的推广能力2 0 】；此外 这几年兴起的不确定规划理论主要是建立在可信性空间上，可信性空间中的可信性测度 虽然是非可加的但它的自对偶性和模糊可加性则是相当强的条件。 1 9 7 4 年，日本学者s u g e n o 2 1 1 在他的博士论文中首次提出了另一类非可加的集函数 即s u g e n o 测度，它是概率测度的重要推广。可以针对参数的调整使得符合更多的函数， 是非常有代表性的适应性非常强的一类非可加测度口2 1 。它已成功的应用于许多领域 【2 2 - 2 4 】 o 因此，讨论并建立s u g e n o 测度空间上的不确定规划是很自然和非常重要的，我们 将建立s u g e n o 测度空间上的不确定规划，这样可以把两种理论进行有效的结合。在相 对较弱的条件下和更广阔的空间里，研究不确定规划，不仅是一个崭新的课题，也将拥 有更好的应用前景。 1 3 本文的主要内容 本文研究了s u g e n o 测度空间上的不确定规划理论的两个基本类：s u g e n o 期望值模 型和s u g e n o 机会约束规划。把不确定规划理论推广到了s u g e n o 测度空间上。拓展了不 确定规划理论的理论和应用范围。主要内容和组织如下： 1 ) 第二章是预备知识，进一步讨论了s u g e n o 测度的一些性质，给出了s u g e n o 测 度空间上的g 。随机变量及其分布函数以及g 。随机变量的数学期望和方差的定 义和性质，并证明了强大数定律； 2 ) 第三章给出了s u g e n o 测度空间上随机变量的乐观值，悲观值，凸规划等定义 和性质，建立了s u g e n o 测度空间上的s u g e n o 期望值模型和s u g e n o 机会约束规 划，把不确定规划中的两项基本类型在本质上推广到了s u g e n o 测度空间上，并 通过s u g e n o 模拟提出混合智能算法并进行了简单的模型求解。 2 第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1s u g e n o 测度的定义及性质 定义1 2 2 1 设x 是一非空集合， 是由x 的子集组成的非空类，p 是定义在 上的 非负实值集函数。称“满足九一律( 在上) 当且仅当存在九( 一磊杀，o 。) u ( 。) 使得下 式成立： “( e u f ) = p ( e ) + p ( f ) + 九g t ( e ) p ( f ) 其中e ，f ，euf ，且er 、f = 巾； 称“满足有限九一律( 在 上) 当且仅当存在上述九使得下式成立： “( = 妻 冉c ，+ 九- 肛! e j ，卜，) ，九。， 肛( e j ) ， 九= 0 ， 其中 e 1 ，e 2 ，e 。) 是中的集合构成的任意有限不交类，且这些集合的并也在中； 称“满足6 一九律( 在 上) 当且仅当存在上述九使得下式成立： “( =抛叶c e i ) 斗， u ( e j ) ， 九= 0 ， 其中 e n ) 是中集合构成的任意不交序列，且这些集合的并也在中。特别地，当九= 0 时，九一律、有限九一律、g 一九律分别对应的是可加性、有限可加性和a 一可加性。 定义2 2 2 1 设f 是x 上的子集组成的6 代数。称为f 上的s u g e n o 测度，当且仅 当“满足g 一九律且“( x ) = l ，简记为g x 测度。 定义3 【2 0 1 三元组( x ，f ，g 。) 称为s u g e n o 测度空间，简记为g x 空间。 注l 从上述定义易知，g 。具有很强的“适应性”，只要选择适当的参数九，它就能 河北大学理掌坝士学位论又 ! ! ! ! ! ! 皇! ! ! ! ! 皇e 毫皇皇皇窟皇皇詈鼍量皇暑! 皇2 , it n ! 葛! ! 皇! ! ! ! 皇皇罡曼鼍! ! e 目! ! s 毫! 皇! ! ! ! ! e ! ! ! ! ! ! 皇! ! ! ! ! ! 鼍 近似代表相当广泛的一些非可加测度，且g 。在九= 0 时就是概率( 概率测度) 。本文以下 的讨论均在g 。空间上进行，此空间上九( - 1 ，) 。 性质1 t 2 2 1 如果“是f 上的s u g e n o 测度，则i t 是单调的。 性质2 ( x ，f ，g 。) 是s u g e n o 测度空间，( e 。) cf ，e 。上彩，g 。( e ， 0 0 ，则 l i m ，g ( e 。) = 0 。 n - 性质3 ( x ，f ，g 。) 是s u g e n o 测度空间，( e 。) c f ，e n 、le f ，g 。( e 。) 。o ，则 l i mg 。( e n ) = g 。( e ) l l - - i o a 性质4 ( x ，f ，g 。) 是s u g e n o 测度空间， e 。) cf ，e 。个e f ，则 l i m 。g 。( e n ) = g 。( e ) 。 n _ 性质5 ( x ，f ，g 。) 是s u g e n o 测度空间，其中 e n ) 是f 中的集合构成的任意有限不 交序列，则下面不等式成立 g 。姬e i 妇圳墨 定理1 2 2 1 如果g x 是f 上的s u g e n o 测度，则对任意e 尸和f f ，有： ( 1 ) ( e w f ，= 嫂型爷等筹攀； c 2 ，g 。c e f ，= 里 睾号器； 躯，= 等鑫。 定义4 2 2 1 设a ( o ，o o 】，函数0 ： 0 ，a - - - 0 ，o 。】称为t 一函数，当且仅当0 是连续的， 且严格单调递增，0 ( 0 ) = 0 ，且当a 是有限的时候0 。1 ( ) ) = 囝或者当a 是无限的时候 0 卅( o 。) ) = p ) 。 定理2 t 2 2 1 对于任意一个g x ，总可以找到一个t 一函数，使得集函数e 。g 九成为一个 概率测度p ，目此t 一函数为： 4 阻! 塑，九0 ， o ( x ) = l n ( 1 + 九) x e o ，1 】。 x ，九= 0 ， 显然g 。：e 。一- 。p ，这里。一- ( x ) ：旦掣。 定理3 设p 为一概率测度，。t ( y ) ：j 鼍鲁 害，九。，y o ，l 】 【y ，九= 0 则0 t 一。p 为一s u g e n o 测度。 证明：若九：0 ，定理成立。 若九。，。t 1 ( y ) = ! ! 弓拿二_ ! 对全空间x 有o t - i op ( x ) = 。t - 1 ( 1 ) = 旦号 兰= 1 。 设( e i ) 是f 中一列互不相交序列，则 。t 。p ( 亟e i ) = 。t 1 喜p ( e j ) = 妻i ( + 九) 喜p ( e i ) 一，j ， 且妻 尊 ，+ 。t 。p ( e i ) 一t ， = 料n 毕 _ 1 ) = 壮训啦- 1 = 扣惦啦) 一， 。 2 2 s u g e n o 测度空间上g 。随机变量的数字特征及大数定律 本节主要讨论s u g e n o 钡j j 度空间上g x 随机变量及其分布函数以及g x 随机变量的期望 和方差等概念和性质，并给出大数定律。 5 河北大学理学硕士学位论文 2 2 1 g 。随机变量的定义及其分布函数 定义5 2 0 1 假设芎是从g x 掷- 3 ( x ，f ，g 。) 到实直线吼上的函数，对任意给定的实数x ， 若p 悻 ) x ef ，则称专是一个g x 随机变量。 特别地，当九= 0 时，g 。退化为概率测度，此时g 。随机变量退化为随机变量。 定义6 2 0 1 如果毛是g 。随机变量，则其s u g e n o 分布函数定义为： f 甑( x ) = g x 恁x ) ，v x r ， 其中r 表示实数集。 定义7 口0 1 设毛是g 。随机变量，f 甄( x ) 为亏的s u g e n o 分布函数。如果存在非负函数 。( x ) ，使对于任意实数x ，有f 。( x ) = f s 。( t ) d t ，则称。为趺随机变量毛的s u g e n 。 密度函数。 定义8 设( 专。，芎：，毛。) 是s u g e n o 测度空间( x ，f ，g 。) 上的g 九随机向量，如果对于 任意实数玛，毪代， f 飘( 玛，毪，、) = g 。 ，i 乏。( ) 玛，鼍：( ) 毪，薯。( ) k ) ， 则称f 。( 玛，毪，k ) 为g 。随机向量( 芎。，专：，毛。) 的联合s u g e n o 分布函数。 定义9 设( 芎。，号：，芎。) 是s u g e n o 测度空间( x ，f ，g 。) 上的g 。随机向量， f 。( 玛，迄代) 为( 毛。，鼍：，量。) 的联合s u g e n o 分布函数。如果对于任意实数k ，毪，k ， 存在非负函数毛。，有 f 。( 玛，毪，k ) = 伫伫伫。( y i ，y 2 ，y n ) d y f l y 2 d y n ， 则称毛。为g 、随机向量( 毛，鼍：，鼍。) 的联合s u g e n o 密度函数。 定义1 0 口0 1 设毛。，毛2 ，毛。是g 、随机变量，如果对r 上的b o r e lb l ，岛，b n ，有 g x 瑶触，i = 1 ，2 ，n ) 嘶1 i 珥o t g x ( “b i ) 珍 其中 6 弟2 覃予贞备知识 ，、f i n ( 1 + l x ) ，九o 0 t ( x ) = i n ( 1 + 九) 一一 【 x ，九= 0 ， 则称号。，专：，毛。为相互独立的g 。随机变量。 定理4 如果芎。，毛：，毛。为相互独立的g 。随机变量，且：r r 为实值函数， i = l ，2 ，n 。那么与 ，) ，( 毛：) ，e ( 毛。) 是相互独立g 。随机变量。 证明：对r 上的任何b o r e l 集厶b , ，岛，b n ，由于毛。，芎：，毛。为相互独立的g 。随机 变量，则 g 。 f i ( 专，) e ，eg ：) b 2 ，f ：l 。) b n ) = g 。氆。f - , ( b ) ，毛：一( b 2 ) ，鼍。1 ( b n ) ) 嘶1 密。t g xg “- l ( e ) ) = 。彳1 兀。tg 。( ( 毛i ) e ) 。 li = l j 黼t ( y ) _ j 粼扣。 【 x ，九= o 。 因此g 。) ，( 毛：) ，( 芎。) 为相互独立的g 。随机向量。 例1 若g ，随机变量的s u g e n o 密度函数由下面给出 f g 。( x ) = 妻 i n ( 1 训。训击i ：e 监z 口zd t 毒1 譬 。 1一( x - _ t a ) 2 而其s u g e n o 分布函数为 f g 、( x ) =扣祜岸小_ 。 九= 0 。：一d 警 一 7 击 河北大学理学硕士学位论文 则称毛具有s u g e n o 正态分布，记为毛一s n ( i t ，g2 ，九) 。 若瓢随机变量毛的s u g e n o 密度函数由下面给出 。( x ) = 而其s u g e n o 分布函数为 水m h m 澎山t 1 去斗。 f 乳。x ，：f 妻 c + 九，孝e d 一) ，九。 【击e a t ， 瑚。 则称毛具有s u g e n o 标准正态分布，记为毛一s n ( 0 ，1 ，九) 。 例2 若瓢随机变量号的s u g e n o 密度函数由下面给出 f0 ， x 0 若九。，乞x x 2 妻 ( + 九) 1 - e n ( + 九) e 卜k ，x 。 礼= 髓兰三三。 而其s u g e n o 分布函数为 若九。f 瓢x 2 t 妻0 ( + 九) 卜e 岫 f ， 一 ， x r ) d r 一g 。( 鼍r ) d r + 九fg 、( 亏r ) g 。 r ) d r a 定理证毕。 性质6 2 0 1 设专，1 是两个相互独立的g 。随机变量，c ，d 是常数，则有 e g 。( c 号+ d q ) = c e 敬( 薯) + d e 凯( r 1 ) 。 定理6 口0 1 设号，1 1 是两个相互独立的g 。随机变量，则有e 。 t 1 ) a e 。( 善) e 。n ) ， 其中，a 0 为一个常数。特别地，当九= 0 时，e 。代”) = e 凯( 芎) e 取n ) 。 推论2 叼设乏。，薯：，号。是相互独立的g 。随机变量，则有e 甑( 兀毛；) a n 一兀e 。( 专；) 。 定义1 2 口0 1 设鼍是一个g x 随机变量，若e 瓢( 旺一e 瓢g ) 】2 ) 存在，则称 e 。 睡一e 鲰恁) 】2 ) 为毛的方差，记为d 。恁) 。 性质7 设芎是个g 。随机变量，有d & g ) = e 。g2 ) 一e 瓢恁) ，则d 鲰 ) e 瓢恁2 ) 。 9 河北大学理学硕士学位论文 性质8 【2 0 】设鼍是一个g x 随机变量，a ，b 是常数，则有d 乳( 魑+ b ) = a 2 d s 。心) 。 性质9 【2 0 】设鼍，t 1 是两个独立的g x 随机变量，则有d 取g + t 1 ) d 飘g ) + d 瓢n ) 。 2 2 3 大数定律 定义1 3 设芎，毛i ( i = 1 ，2 ，) 是s u g e n o 测度空间( x ，f ，g 。) 上的g 、随机变量，如果 v 0 ，有! i mg x 艉。一毛f2 ) = o ，则称g 。) 依s u g e l 3 _ 0 测度收敛于随机变量芎记为 ! 。i m 。p 。= 芎( g x ) 或毛。j q 毛。 定义1 4 设芎，毛i ( i = i ，2 ，) 是s u g e n o 测度空间( x ，f ，g x ) 上的g 。随机变量，如果 存在集合a f ，g x ( a ) = 0 ，使当x 时，有! 受专。 ) = 薯 ) ，则称瑶。) 几乎必然收敛于 毛，或称瑶。) 以s u g e n 。测度为1 地收敛于芎。记为：骢毛。= 毛( g 。一a s ) 或号。驰：坚一号。 定义1 5 设毛是g 。随机变量，当毯 0 ，有 言警斗a o 引理1 设号。，芎：，毛。是相互独立的g 。随机变量，聪。有限且i c ， k = 1 ，2 ，n ， 则对于每个 0 ， 歌m a 。x l s t - e s k ) 了1 + 1 九1 宝k = l ：。 证明：为了简单起见，不失一般性，我们假定号。( k = 1 ，2 ，n ，) 都已经中心化， 于是所求证的不等式中鹾。= 0 ( k = 1 ，2 ，n ) ，条件中的乓。i c 换为阵。i 2 c 。 第2 章预备知识 价 令 a = 州， b l = a 一，一a - - ( i s ，i , - - , i s l ，i s 。l o ，g 。 nu ( 一啦) = 0 。 l k = 1n = kj 3 ) v 0 ，! 驰心卜啦) ) = 0 0 引理3 设号，毛：，乏。是相互独立的g 。随机变量，它们具有有限的s u g e n o 期望和方 河北大学理学硕士学位论文 i 差，且军争 o 。， 则曼二坠妊兰o 。 n 证明：令亏t = 昔，k = l ，2 ，n ，则芎。仍是相互独立的g 。随机变量，则 n ” 一o “o 7 、o s l i ，= 言詈= 拯k = l 。= 鲁l l f = e n s n ，故只需证明s n - e s n 一。 v f | s n + t 一e s n + 。f 芝) = 0 ( 警j s n + 。一e s m l ) 是一非减序列的并，由此并利用引 理1 ，得 g x ? j s 。+ 。e s 。+ 。7 f ) ) f u 蚓塌小7 俐 由于k = l 逃t 2 当i j 荟k t o 。，= l g xf u f j s 枞一e s n + k ，f ) ) 趋于零。 当n 寸时芝掣主。趋于零，则 o k = n + l 弧黜塌m 俐b s 。+ k - e 俐卜。蚓理2 可得 故羔二坠虻! 皇o 。 n 引理4 设a ，a ，是s u g e n o 测度空间( x ，n ，g 。) 上的随机变量序列 1 ) 若g 。( a ) o 。， 毗a 触n = lk 2 na ：0 0lj 2 ) 若善敫( a ) = ，且各a 两两互相独立，则g 。 n ua ：l 。b 1 。【：j 西j 引理5 设薯- ，鼍：，是具有有限的s u g e n o 期望a 而且具有相同s u g e n o 分布函数 w：孔 ， d 。p 州 型f 睦婚 l 一 乙一 稿型 ! ! 三：耋竺塑叁堡寡舞鼍鼍皇孽孽璺寰毒皇皇鲁一 舞寡曼! ! 皇! ! 曼鲁皇晕皇皇皇皇舞皇甍孽篁搴罩l 目2 2 一一一 f 瓢( x ) 的随机变量，令亏：雌。 ) ，k = l ，2 ，若砉g x 传i ：鼍k ) 。，并且 毛 ：一磁：躺o ，则毫t 一鹾t 曲o 。 证明：令= 去喜号。，= 去喜爱，鹾t 2 a ，k = 1 ，2 ，n 由于匠一a l ：匠一0 + 一聪。+ e 4 。一a 匠一l + l 一e 亏t l + l 聪t a i ， 1 ( 1 ) 式的右端以s u g e n o 测度为l 地成立：第一项由芝k = l g 。舀：小和引理4 ，引 理2 得到当n j 时趋于0 ；第二项由假设 ) 满足鼍：一鹾：篮：坠一o ； 第三项由下面的证明也趋于o 。因为墼鹾：= 鹾t 2a ，有 l e 毛：一a = l 告e 喜专： 一a l = 吉喜e 毛：一a l 。 则由( 1 ) 可得，当n 。时，鼍k 一比k 盟型_ o 定理8 ( 强大数定理) 设号，乏：，是相互独立而且具有相同s u g e n 0 分布的g x 随机 变量，若鹾。 o o ，则 落。一e 瞧亏t 一o o 证明：令= 专t x 悟i ：i 热 p ) 。 由假设聪。 ，即亡i ) ( 1 d f 瓯( x ) ，其中f 。( x ) 为毛t 的s u g e n o 分布函数。因此， 按r - s 积分定义得 d 毛：e ( 乏：) 。 因此， x 2 d f 。( x ) k ( i + 1 ) 2g 。( i i i + 1 ) i = o 喜粤k 砉掣k台2 一智 2 由引理3 ， 河北大学理学硕士学位论文 窆k - i 万1 ( i + 1 ) 2g 。( i - l 乓l ； i +万( i + 1 ) 2 。( ； i + k = li = 0 i + 1 ) d f 瓤( x ) 2 1 2 x | ( i f 瓢( x ) kg 。( ；悖。i ；+ ，) ) j = ( 1 + l 九1 ) g 。( i 阵。l i + 1 ) = ( 1 + 0 0 辫n e 腾k 一。 1 4 一p # j 、 一 ，ji 丸g 。础 2 = + q r 。瑚 2 、-i，i， k 芦j 、 k 化卜 九 g 。蹦 k # j 、 ，t 九 g 。m = 甑 。m = 、il， l + _ 0 5 ，九 0 ，贝0 毛i f i f ( 仅) 芎。叩 ) ； 1 9 涮北大字埋字坝士字位论又 ( 4 ) 若仅0 5 ，九 号唧 ) ) g 。矗毛唧 ) ) + g 。传 毛唧 ) ) 1 ，。 而g 。传鼍时 ) ) + g 。瑶鼍。叩 ) ) 仪+ 仪 l 。 矛盾。即芎i 时 ) 鼍。， ) 。 博况( 4 ) ：假设毛叩 ) 毛血，( a ) ，令手 ) = g 时 ) + 毛呷 ) ) 2 ， 由毛缸， ) 的定义得g 。g 亏 ) ) 仪。 由芎呷 ) 的定义得瓢 手 ) ) o c 。 则有g 。( 毛手( 仅) ) + g 。( 乏舌( a ) ) 仅+ 仅 1 。 而当九 o r ) = - i n f - r l g 。( 毛一r ) ) = t 证， ) 。 有类似的方法，可以证明( 弋) 甜 ) 2 t