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概率论与数理统计练习册（2007年版）华中师范大学汉口分校概率论与数理统计练习册 第一章 随机事件及其概率习题1-1随机事件1、选择题（1）设为三个事件，则“中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ ）A B C D （2）设三个元件的寿命分别为，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过”可表示为（ ）A B C D .2、用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A表示“点数之和大于10”。；A。（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示“射击次数不超过5次”。；A。3、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1） A，B，C都发生：；（2） A，B，C都不发生：；（3） A发生，B与C不发生：；（4） A，B，C中至少有一个发生：；（5） A，B，C中至少有两个发生：；（6） A，B，C中不多于两个发生：。4、设某工人连续生产了4个零件，表示他生产的第个零件是正品（），试用表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）没有一个是次品；（4）恰好有三个是次品；（5）至少有三个不是次品。习题1-2随机事件的概率1、填空题（1）已知，则，。（2）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为 。（3）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为 。2、选择题（1）如果与互不相容，则（ ）A B C D （2）事件与互相对立的充要条件是（ ） A B C D （3）设、是任意两事件，则。A ； B ；C ； D 。（4）如果，则（ ）A 与不相容 B 与不相容C D （5）设，则（ ）A B C D 3、袋内放有2个伍分，3个贰分，5个壹分的钱币，任取其中5个，求其金额总数超过壹角的概率。4、向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1。只要炸中一个另外两个必然爆炸，求军火库发生爆炸的概率。5、两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1和2，求有一艘轮船停靠泊位时需要等待一段时间的概率。习题1-3条件概率1、选择题：（1）设A，B为两个互逆事件，且，则。（A）；（B）；（C）；（D）。（2）已知，则。（A）；（B）；（C）；（D）。2、已知，求。3、口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一球，取后不放回，求第三次才取到红球的概率。4、 已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱任取3件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率。5、 一箱产品，A，B两厂生产分别个占60，40，其次品率分别为1，2。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？6、某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率习题1-4独立性1、选择题：（1）设，则下列结论正确的是。（A）；（B）；（C）事件与事件相互独立；（D）事件与事件B互逆。（2）设，则。（A）事件与互不相容；（B）事件与互逆；（C）事件与不相互独立；（D）事件与相互独立。（3）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q，则该零件加工的成品率为（ ） （A） （B） （C） （D）2、已知，。（1）若事件与互不相容，求；（2）若事件与相互独立，求；3、对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别为0.4，0.5，0.7。求在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率。4、甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7。目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率。17概率论与数理统计练习册 第二章 一维随机变量及其分布习题2-1 随机变量及其分布函数习题2-2 离散型随机变量1 填空题(1) 设随机变量X的分布律为: ，试确定。(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，以X表示任意取出的5个产品中的次品数，则X的分布律为 。(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是，以X表示射击的次数，则X的分布律为 。2. 设随机变量的分布律为:X 0 1 2 3 求X的分布函数F(x), 及,。3 将一颗骰子抛掷两次，以X1表示两次所的点数之和，以X2表示两次中得到的小的点数，试分别求X1，X2的分布律。4 设一批产品共100只，其中有10只次品，从中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只数，分别求出在不放回抽样和有放回抽样两种情形下X的分布律。5 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？6 某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是0.6. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策. 求作出正确决策的概率。习题2-3连续型随机变量1. 设随机变量X的分布函数为, 试求：（1）系数A；（2）X的密度函数；（3）2. 设随机变量X的概率密度为 试求：(1)系数A; (2)X的分布函数; (3)3. 设连续型随机变量，（1）求；（2）确定常数C使.4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度 ， 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？5. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程有实根的概率.习题2-4 随机变量的函数的分布1设随机变量X的分布律为X-2-1011/61/31/61/3 试求：(1)，(2)的分布律。2设随机变量XU(0,1), 求:的密度函数。3设随机变量XN (0,1), 求:的密度函数。4设随机变量X的密度函数为 求的概率密度。概率论与数理统计练习册 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 二维随机变量1一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件.现从中随机抽取一件，记 求随机变量的联合分布律.2 带中装有标号为1，2，2的3个球，从中任取一个并且不放回，用 分别表示第一、第二次取到球上的号码数. 求的联合分布律.3设随机变量的概率密度为求（1）常数；（2）的分布函数；（3）习题3-2 边缘分布1 完成下列表格YX0.10.20.40.20.212随机变量在1，2，3，4四个整数中等可能的取值，另一随机变量在1中等可能的取值，试求的联合分布律和边缘分布律.3二维随机变量的概率密度为求的边缘概率密度.4二维随机变量在以原点为圆心，为半径的圆上服从均匀分布，试求的联合概率密度和边缘概率密度.习题3-3 条件分布 习题3-4 随机变量的独立性1二维随机变量的联合分布律为 0100.30.210.40.1试求在的条件下的条件分布律.2随机变量的联合概率密度为（1）求条件概率密度；(2）说明与的独立性.3. 设随机变量与相互独立，试完成下表： Y 1/81/81/614设和是两个相互独立的随机变量，在（0,1）内服从均匀分布，的概率密度为（1） 求与的联合概率密度；（2） 设关于的二次方程为 ，求此方程有实根的概率.习题3-5 两个随机变量的函数的分布1设的联合分布律为：X 01200.250.10.310.150.150.05求：（1）的分布律； （2）的分布律.2设随机变量的概率密度为试求的概率密度.3. 设随机变量服从参数为1的指数分布，记，试求的联合分布律和边缘分布律，并判断它们的独立性.概率论与数理统计练习册 第四章 随机变量的数字特征习题41 数学期望1设的分布列为：-1 0 1 2 求（1）；（2）；（3）.2设二维随机向量的联合分布列为 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 求,.3把4个球随机地放入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求。4设连续型随机变量的概率密度为 其中，又已知，求，的值.5设服从在上的均匀分布，其中为轴，轴及直线所围成的区域，求（1）; （2） ;（3）. 6某工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，其概率密度为:工厂规定，出售的设备在售出一年之内可以调换，若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。习题42 方差1、 填空题（1）已知，则 （2）设，且与相互独立，则 （3）设的概率密度为，则 （4）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1U0，6，X2N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X12X2+3X3，则D（Y）= 2、选择题（1）对于任意两个随机变量和，若，则 A） B）C）和独立 D）和不独立（2）设X，且，则= A）1， B）2， C）3， D）03、一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3， 假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差。4、设两个随机变量，相互独立，且都服从均值为0，方差为的正态分布，求随机变量的方差。5、设的概率密度为, 求，。6、在每次试验中，事件发生的概率为0.5，利用契比雪夫不等式估计：在1000试验中，事件发生的次数X在400600之间的概率。习题43 协方差与相关系数习题44 矩 协方差矩阵1、选择题和填空题（1）设与的相关系数，则 A. 与相互独立。 B. 与不一定相关。 C. 与必不相关。 D. 与必相关。（2）设随机变量与的期望和方差存在，且，则下列说法哪个是不正确的 。 A. B. ， C. 与不相关， D. 与独立；（3）设，则 2、已知随机变量与都服从二项分布B(20，0.1)，并且与的相关系数=0.5，试求的方差及与的协方差。3、设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=求： 常数k. 及。4、假设随机变量服从参数的指数分布，随机变量 求（1）的联合分布； （2），。 5、设随机变量在区间上服从均匀分布，求的阶原点矩和三阶中心矩。6、已知随机变量与的相关系数为.（1）求随机变量的数学期望和方差 ；（2）求随机变量与的相关系数.23概率论与数理统计练习册 第五章 大数定律及中心极限定理习题51 大数定律 习题52 中心极限定理1、设随机变量X的分布率如下：X0.3 0.6p0.2 0.8试求：。2、利用中心极限定理确定当投掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4到0.6之间的概率不小于90%。3、由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% 为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率4、一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元, 1.2元, 1.5元各值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5，若售出300只蛋糕，（1）求收入至少为400元的概率；（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。25概率论与数理统计练习册 第六章 样本及抽样分布习题6 样本及抽样分布1、填空题： （1）设是来自总体的样本，则样本分布律为 ；（2）设为总体的一个样本，且服从分布，则 ；（3）设为总体的一个样本，则 ；（4）设随机变量,则Y服从 分布。 2、设某种电灯泡的寿命服从指数分布，求来自这一总体的简单随机样本的联合概率密度。3、设，是来自正态总体 的样本。试求样本方差的数学期望及方差。4、设总体，总体，从总体中抽取容量为10的样本，其样本方差计为；从总体中抽取容量为8的样本，其样本方差记为，求下列概率：（1）； （2）5、从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02，求总体的标准差。27概率论与数理统计练习册 第七章 参数估计习题7-1 点估计 习题7-2 估计量的评选标准1、选择题（1）设是取自总体的一个简单样本，则的矩估计是 （A）（B）（C）（D）（2）设为总体的一个随机样本，为 的无偏估计，C （A）/ （B）/ （C） 1/ （D） /（3）设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为 （A） （B） （C） （D）（4）在3）题条件下，的无偏估计量是 （A） （B） （C） （D）2、设总体X具有分布律 ： X123其中为未知参数，已知取得了样本值 试求的矩估计值和极大似然估计值。3、设总体的概率密度为 是来自总体的样本，求分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。4、设总体服从正态分布，是从此总体中抽取的一个样本试验证下面三个估计量： （1） （2） （3）都是的无偏估计，并指出哪一个估计量最有效习题 7-3 区间估计 习题 7-4 正态总体参数的区间估计1、设有一组来自正态总体的样本观测值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512， 已知，求的置信区间（设置信度为0.95）； 未知，求的置信区间（设置信度为0.95）2、某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：）：42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7求：抗弯强度标准差的置信度为0.90的置信区间。3、某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别以两条流水线上抽取样本： 及算出，假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为（1）设两总体方差，求置信水平为的置信区间；（2）求/的置信水平为的置信区间。 习题 7-5 非正态总体参数的区间估计举例 习题 7-6单侧置信区间1、假定每次试验时，事件A发生的概率未知。若在60次独立试验中，A发生15次。求概率的置信度为0.95的置信区间。2、从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验， 直至轮胎磨损到破坏为止，测得它们的行驶路程（）如下：41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800设汽车轮胎行驶路程服从正态分布，求：（1） 的置信水平为95%的单侧置信下限；（2） 的置信水平为95%的单侧置信上限。31概率论与数理统计练习册 第八章 假设检验习题8 假设检验1、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55，0.1082).现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55()？2、有一批枪弹，出厂时测得枪弹射出枪口的初速度服从(单位:).在储存较长时间后取出9发进行测试，得样本值:914、920、910、934、953、945、912、924、940. 假设储存后的枪弹射出枪口的初速度仍服从正态分布，可否认为储存后的枪弹射出枪口的初速度已经显著降低(取)?3、从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取容量分别为9与8的样本进行测试，且测得含锌量的样本均值与样本方差如下，东支:；西支: .假定东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，那么东、西两支矿脉的含锌量有无显著差异(取)？4、某批导线的电阻(单位:)，从中随机地抽取9根，测得其样本标准差.可否认为这批导线电阻的标准差仍为(取)？5、测得两批电子元件样品的电阻()：I批0.1400.1380.1430.1420.1440.137II批0.1350.1400.1420.1360.1380.140设这两批元件的电阻总体分别服从，且两样本相互独立。试问这两批电子元件电阻的方差是否一样？33概率论与数理统计练习册 参考答案参考答案习题111、 D,D.2、 （1）；（2）；3、 （1） ； （2） ； （3） （或）；（4）； （5） （或）；（6） 4、 （1）；（2）（或）；（3）；（4）；（5）习题121、（1）0.6，0.4，0.6，0.2，0，0.4； （2）99/392； （3）0.7772、（1）C；（2）C；（3）A；（4）C （5）B3、0.5； 4、0.225 ； 5、0.121习题131、（1）C；（2）ABCD2、0.33、0.0894、0.25； 5、乙厂； 6、（1）0.4；（2）0.4856习题141、（1）C；（2）D（3）C2、（1）0.3；（2）3、0.36； 4、0.458习题2-1, 2-21、(1) 1 ； (2) ；(3) ；2、 ； ；3、（1）X123456789101112pk1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36（2）X2123456pk11/309/367/365/363/361/364、(1)； (2)5、(1)0.0333 (2)0.259 ； 6、5. 0.71习题2-31、(1) 1； (2), （3）； 2、.(1) (2) (3) 3、（1）0.5328；0.6977；（2）3 ； 4、； 5、 . 习题2-41、Y-5-3-11Z014p1/61/31/61/3p1/62/31/62、 ； 3、 ；4、习题3-11、 0100.10.110.802、 12101/321/31/33、(1)； (2)； （3）3/5习题3-21、 0.10