（概率论与数理统计专业论文）竞争失效模型的贝叶斯分析.pdf

m a s t e rd i s s e r t a t i o no f 始a r2 01 0 l i l ll liui i l li i ii iilil y 17 4 3 5 8 5 u n i v e r s i t yi d ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：51 0 7 0 6 0 5 0 21 b a y e s i a na n a l y s i sf o rt h ec o mp e t in g d e p a r t m e n t m a j o r r i s km o d e i s c h o o lo ff i n a n c ea n ds t a t i s t i c s p r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s r e s e a r c hd i r e c t i o n r e l i a b i l i t ys t a t i s t i c s s u p e r v i s o r a u t h o r d a t e p r o f e s s o rt a n gy i n c a i y u ey i j i e a p r i l ，2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文竞争失效模型的贝叶斯分析，是在华东师 范大学攻读啪博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意。 作者签名：丕缎么之 日 期：型! ! 宰 华东师范大学学位论文著作权使用声明 竞争失效模型的贝叶斯分析系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指 导下完成的硕朝博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所 有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和 相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许 学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加 入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇 编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文木， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 作者签名：乏观 日期：巫扛五扛 翩签名：醚逝导师签名：i 毯坳 日期： “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位论文( 需 附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述部门审定的学位 论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 。 岳呋婕硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 张日权教授华东师范大学主席 程依明副教授华东师范大学 曾林蕊副教授华东师范大学 目录 摘要 a b s t r a c t ( 英文摘要) 目录 第一章引言 1 1 竞争失效模型 1 2 加速寿命试验 1 2 1 加速寿命试验的参数模型 1 2 2 竞争失效产品的加速寿命试验 1 3b a y e s 统计分析 1 3 1b a y e s 公式 1 3 2 先验分布的选择 第二章恒加试验场合下w e i b u l l 竞争失效模型的b a y e s 分析 2 1 w e i b u l l 分布 2 2 试验安排与基本假定 2 3 未知参数的b a y e s 估计 2 3 1 似然函数及模型参数的确定 2 3 2 先验分布的选择 2 3 3 基于g i b b s 抽样的b a y e s 估计 2 4 定时截尾的情形 2 5 数值模拟 第三章恒加试验场合下p o l y w e i b u l l 竞争失效模型的b a y e s 分析 53 1p o l y - w e i b u l l 分布 3 2 似然函数 3 3 添加辅助变量的g i b b s 抽样 3 4 数值模拟 一i v - 一 l 1 2 3 4 5 5 6 8 8 9 加 加 n 挖 场 玷 加 加 殂 勉 孙 目录 第四章恒加试验场合下三参数w e i b u l l 分布竞争失效模型的b a y e s 分析 2 6 4 1 三参数w e i b u l l 分布2 6 4 2 试验的基本假定及似然函数2 6 4 3 基于g i b b s 抽样的b a y e s 估计2 7 第五章步加试验场合下w e i b u l l 竞争失效模型的b a y e s 分析 3 0 5 1 试验安排与基本假定3 0 5 2 似然函数3 2 5 3 基于g i b b s 抽样的b a y e s 估计3 2 结论 3 4 参考文献 致谢 3 5 3 7 插图目录 2 1 2 2 2 _ 3 2 4 2 5 孓1 孓2 譬3 孓4 3 - 5 插图目录 w e i b u l l 分布的密度函数曲线及失效率曲线9 a = o ，b = o 时口l ，入l ，l n ( u 1 ) 的迭代诊断图1 7 a = o 1 2 ，b = 3 6 0 0 时0 1 ，a 1 ，l n ( 札1 ) 的迭代诊断图1 8 a = o ，b = o 时如，入2 ，l n ( u 2 ) 的迭代诊断图1 8 a = o 2 5 ，b = l s 0 0 时0 2 ，a 2 ，l n ( u 2 ) 的迭代诊断图1 9 b i - w b i b u l l 分布的生存函数曲线及失效率曲线：r i 1 = 7 5 0 ，7 7 i 2 = 3 0 0 0 ； 一( p l ，0 2 ) = ( 0 2 ，2 ) ，( p 1 ，0 2 ) = ( 0 8 ，2 ) ，一( p 1 ，如) = ( 0 5 ，0 5 ) ， 一一一( 口1 ，0 2 ) = ( 1 5 ，1 5 ) 2 1 a = o ，b = o 时p 1 ，入1 ，l n ( u 1 ) 的迭代诊断图2 4 a = o ，b = o 时如，入2 ，l n ( u 2 ) 的迭代诊断图2 4 a = o 1 2 ，b = 3 6 0 时p l ，入1 ，l n ( u 1 ) 的迭代诊断图2 5 a = o 1 2 ，b = 3 6 0 时p 2 ，入2 ，l n ( u 2 ) 的迭代诊断图2 5 表格目录 表格目录 2 - 1 各应力水平下的样本量及截尾数 2 2 特征寿命及加速因子 2 - 3 模拟试验数据 2 4 后验样本均值 3 _ 1 模拟试验数据 3 - 2 后验样本均值 1 5 1 6 1 6 1 7 2 3 2 3 中文摘要 摘要 竞争失效模型是可靠性统计中的一种常用模型。对于诸多大型产品而言，由于其 内部结构及其外界工作环境的复杂性，引起产品失效的物理、化学原因往往有多种， 任何一种原因的发生均会导致产品的最终失效。尽管竞争失效产品的加速寿命试验早 已被n e l s o n 提出，但之后并没有引起统计学家和工程技术人员的充分重视，以至于这一 问题的研究发展得较为缓慢。统计推断方法的选择，失效机理间的相依性对于推断的 影响，屏蔽数据的处理等问题至今仍在不断探索之中，有待进一步深入。 本文针对含有多个失效机理的竞争失效模型，运m b a y e s 方法进行统计推断，并通 过g i b b s 抽样、自适应抽样等方法具体实现。由于b a y e s 方法能够将产品的先验信息， 尤其是产品在正常应力水平下的先验信息融入到推断中，从而弥补了传统极大似然估 计方法无法综合产品在正常应力水平下的先验信息这一缺陷，对于推断结果的准确性 以及推断过程的有效性都有着极大的帮助。同时，各种统计计算方法的合理运用也可 将后验分布的产生化繁为简。 对于产品的寿命分布，本文选择在可靠性统计中运用最为广泛的w e i b u l l 分布作 为起始，对于恒加试验场合下的w e i b u l l 竞争失效模型进行b a y e s 推断，并在此基础 上将研究推广至三参数w e i b u l l 分布以及p o l y - w e i b u l l 分布。此外，步加试验场合下 的w e i b u l l 竞争失效模型也被列入研究范畴之中。 关键词：竞争失效，b a y e s 分析，w e i b u l l 分布，g i b b s 抽样，自适应抽样 英文摘要 a b s t r a c t t h ec o m p e t i n gr i s km o d e li sc o m m o n l yu s e di nt h er e l i a b i l i t ya n a l y s i s d u et o t h es o p h i s t i c a t e di n t e r n a ls t r u c t u r ea n de x t e r n a lw o r k i n gc i r c u m s t a n c e ，m a n yk i n d so f p r o d u c tm a yc o n s i s to fs e r v a lp h y s i c a lo rc h e m i c a lc a u s e 8o ff a i l u r e e a c ho ft h e s ec a u s e s i sp o s s i b l et or e s u l ti nt h ef i n a lf a i l u r e a l t h o u g ht h ei d e ao ft h ea c c e l e r a t e dl i f et e s to n t h ec o m p e t i n gr i s kp r o d u c tw e r er a i s e db yn e l s o nl o n gt i m ea g o ，i tw a sn o tv a l u e db y t h es t a t i s t i c i a n sa n dt h ee n g i n e e r sa tf i r s t ，t h u sh i n d e r i n gt h ed e v e l o p m e n to ft h er e s e a r c h o nt h i si s s u e t i l ln o wd a y s ，p r o b l e m sl i k et h es e l e c t i o no ft h es t a t i s t i c a lm e t h o d ，t h e i n f l u e n c eo ft h ei n t e r - d e p e n d e n c ew i t h i nd i f f e r e n tc a u s e so ff a i l u r ea n dt h em a n i p u l a t i o n o ft h em a s kd a t aa r es t i l ln o tc o m p l e t e l ys o l v e da n dn e e df u r t h e rd i s c u s s i o n b a s e do ng i b b ss a m p l i n g ，a d a p t i v e r e j e c t i o ns a m p l i n ga n dm e t r o p o l i sm e t h o d ， b a y e s i a na n a l y s i sf o rt h ec o m p e t i n gr i s km o d e lw i t hm u l t i p l ec a u s e so ff a i l u r e i sd i s 。 c u s s e di nt h i sp a p e r s i n c et h eb a y e s i a nm e t h o di sa b l et oi n v o l v et h ep r i o ri n f o r m a t i o n o ft h ep r o d u c t ，e s p e c i a l l yt h a ti nt h en o r m a lc o n d i t i o n ，i tc a nh e l pt oi m p r o v et h ea c c u - r a c yo ft h er e s u l ta n dt h ee f f i c i e n c yo ft h ep r o c e s si nt h ei n f e r e n c e ，w h i c hm a k e su pf o r t h ew e a k n e s so ft h et r a d i t i o n a lm a x i m u ml i k e l i h o o dm e t h o d m e a n w h i l e ，v a r i o u ss k i l l s o fs t a t i s t i c a lc a l c u l a t i o nc a na l s oh e l pt os i m p l i f yt h ew a yo fg e n e r a t i n gt h ep o s t e r i o r d i s t r i b u t i o ni ft h e ya r ep r o p e r l yu t i l i z e d a tt h eb e g i n n i n go ft h i sp a p e r ，w e i b u l ld i s t r i b u t i o n ，w h i c hi sm o s tw i d e l yu s e di n t h er e l i a b i l i t ys t a t i s t i c s ，i ss e l e c t e da st h el i f ed i s t r i b u t i o n a n db a y e s i a ni n f e r e n c eo nt h e w e i b u l lc o m p e t i n gr i s km o d e li sc o n d u c t e du n d e rt h ec o n s t a n ts t r e s sa c c e l e r a t e dl i f tt e s t o nt h i sf o u n d a t i o n ，t h r e e - p a r a m e t e rw e i b u l ld i s t r i b u t i o n ，p o l y w e i l b u l ld i s t r i b u t i o n ，a s w e l la st h es t e ps t r e s sc o n d i t i o na r ea l s oi n c l u d e di nt h er e s e a r c h k e yw o r d s ： c o m p e t i n gr i s k ，b a y e s i a na n a l y s i s ，w e i b u l l ，g i b b sr a m p l i n g ，a r s v 1 一 第一章引言 第一章引言帚一早ji 百 在竞争失效模型的加速寿命试验中，合理地利用产品有关工程经验及其他先验 信息是十分重要的。因此b a y e s 统计推断方法已被广泛运用于各类竞争失效模型的 分析之中，其重点在于确定先验分布，且找到便捷有效的方法对后验分布进行计 算。b e r g e r 和s u n ( 1 9 9 3 ) 对单应力下的p o l y - w e b u l l 竞争失效模型进行了基于g i b b s 抽样 的b a y e s 分析，且引入了自适应抽样等新方法完成了最终的数值模拟，估计结果也较为 精准。张志华在加速寿命试验及其统计分析( 2 0 0 2 ) 中引入了种新的b a y e s 推断方 法，综合产品在正常应力水平下的先验信息，对恒加试验场合下的指数竞争失效模型 进行了讨论，并在平方损失函数下计算了未知参数的b a y e s 估计。汤银才( 2 0 0 9 ) 针对三 参数w e i b u l l 分布，分别利用l a p l a c e 近似积分以及g i b b s 抽样方法对模型中的未知参数 进行了b a y e s 估计。 本文针对含有多个失效机理的竞争失效模型，运用b a y e s 推断方法进行统计推断， 并通过g i b b s 抽样、自适应抽样等方法具体实现。由于b a y e s 方法能够将产品的先验信 息，尤其是产品在正常应力水平下的先验信息融入到推断中，从而弥补了传统极大似 然估计方法无法综合产品在正常应力水平下的先验信息这一缺陷，对于推断结果的 准确性以及推断过程的有效性都有着极大的帮助。同时，合理的统计计算方法也可 将后验分布的产生化繁为简。对于产品的寿命分布，本文选择在可靠性统计中运用 最为广泛的w 西b u l l 分布作为起始，对定数恒加试验场合下的w 西b u l l 竞争失效模型进 行b a y e s 推断，并在此基础上将研究推广至三参数w e i b u l l 分布以及p o l y w e i b u l l 分布， 最后对步加试验场合下的w e i b u l l 竞争失效模型进行了研究。 下面简单介绍一下竞争失效模型的加速寿命试验以及b a y e s 分析的相关理论背景。 1 1 竞争失效模型 竞争失效模型是可靠性统计中的一种常用模型。在可靠性理论中，失效被定义为 产品丧失其应有的功能。对于诸多大型产品而言，由于其内部结构及其外界工作环境 的复杂性，引起产品失效的物理、化学原因往往有许多种，假使任何一种原因的发生 均会导致产品的最终失效，则称此产品为竞争失效产品。而导致该产品失效的原因则 称为失效机理。例如在白炽灯的加速寿命试验中，导致白炽灯失效的原因有：温度过 高，电流或电压超标，人为因素等等，其中任何一种原因均为该产品的失效机理。 在寿命试验中，设产品具有m 个失效机理( m 1 ) ，若其中任何一个失效机理 均会导致产品失效，则称此产品为具有m 个竞争失效机理的产品。若随机变量x 表示 1 1 2 加速寿命试验 第i 个失效机理的发生时间，则此产品的寿命为 t = m i n ( x a ，恐，) ，j = 1 ，2 ，m 这也相当于m 个失效机理是串联组成的。设产品的可靠度函数为s ( t ) ，则 s ( t ) = p ( t t ) = p ( x 1 t ，墨 t ， 亡) ， 其中分布函数f ( z ) = 1 一s ( ) 。 在许多实际问题中，通常假定各失效机理的发生时间x 1 ，局，是相互独立 的，并设k 的分布函数为e ( t ) ，则产品的可靠度函数亦可表示为 刚= np ( x ) = i is i ( t ) ， t = 1t = 1 其中鼠( t ) = 1 一只( ) 。 对于竞争失效产品而言，若第i 个失效机理的失效率为入t ( ) ，则产品的的失效 率a ( ) 满足 荆= 冲) t = 1 上式通常被称为竞争失效产品的加法原则。 1 2 加速寿命试验 寿命试验是对产品的可靠性进行评估的一种常用方法。通常指：从一批产品中随 机抽取一定数量的产品组成一个样本，将此样本放在使用环境，即正常应力水平下进 行寿命试验，观测每个样品的失效时间，最后用统计推断方法对这些试验数据进行分 析，得出该产品的各种可靠性指标。寿命试验的类型很多，且分类方式各有不同。若 按样品的失效情况划分，则可将寿命试验分为完全寿命试验和截尾寿命试验。完全寿 命试验要求试验样品全部失效时才结束试验，此类试验可以得到完整的试验数据，统 计推断结果也极为可靠。然而，它常常需要较长的试验时间。截尾寿命试验则仅要求 试验样品中有部分失效便可停止试验，此类试验可以缩短试验时间并及时的对产品进 行可靠性评估，因此是人们较为常用的寿命试验方法。 随着科技的不断进步，可靠性高且寿命较长的产品越来越多，在使用环境条件下 2 第一章引言 对这些产品进行截尾寿命试验已无法适应实际需要。因为这不仅耗费巨额的费用，且 超长的试验时间也会使试验失去原有的意义。为了解决这个难题，人们又想到了另一 种能够有效缩短试验时间的寿命试验方法，即加速寿命试验。加速寿命试验是指，在 超出使用环境条件的应力水平下对样品进行寿命试验。在此类试验中，人们通常会选 择一些比正常使用环境恶劣的应力水平( 称为加速应力水平) ，并在这些应力水平下 进行寿命试验，从而达到加速产品失效，缩短试验时间的目的。在获得失效数据后， 可运用加速寿命试验模型对产品在正常应力水平下的各种可靠性特征进行统计推断。 加速寿命试验主要有三种类型，即恒定应力加速寿命试验( 简称恒加试验) 、步进应 力加速寿命试验( 简称步加试验) 和序进应力加速寿命试验( 简称序加试验) ，它们 各有优缺点，可按实际情况加以应用。 1 2 1 加速寿命试验的参数模型 加速寿命试验模型( 亦称加速方程) 是利用加速寿命试验信息外推产品在正常应 力水平下的各种可靠性特征的关键。在加速寿命试验中，若产品在各应力水平下的寿 命分布形式已知，即f ( i s ) f ( 1 e ) ，口o 。对产品所施加的应力只会影响到母体参 数p 以及与9 相关的可靠性指标。此时，加速模型便可用参数p 与应力之间的函数关系 来描述，即 口= 皿( s ，a ，b ，) ， 其中皿( - ) 是已知函数，s 为所施应力，a ，b ，是待估常数。下面简单介绍几种常用的 加速寿命模型。 1 a r r h e n i u s 模型 温度是加速寿命试验中常见的应力之一。1 8 8 0 年a r r h e n i u s 在总结大量试验数据的 基础上，提出了著名的a r r e n i u s 模型，即 口地x p ( 嘉) ， 其中p 为母体参数，a 为常数，e 为激活能，k c j b o l t z m a n n 常数，s 为绝对温度。 2 逆幂律模型 电应力是加速寿命试验中常见的非热应力，逆幂律模型要求母体参数p 与应力s 满 足 p = 刍 1 2 加速寿命试验 其中a b 为常数，s 为电应力( 电压，电流等等) 。 3 单应力e y r i n g 模型 在加速应力为温度时，常常还使用e y r i n g 模型作为加速方程，即 p = e 印( 昙) ， 其e p a ，b 为待定常数。当绝对温度的变化范围较小时，e y r i n g 模型就近似 为a r r h e n i u s 模型。 为了便于对加速方程中的待估常数进行统计推断，可对上述各加速模型作对数变 换，使之变为线性模型。对于a r r h e n i u 模型和逆幂律模型，其线性化形式通常可表示为 i np = a + b y ( s ) ， 其中a 6 为待估常数，妒( s ) 为应力s 的已知函数。当s 为绝对温度时，v ( s ) = l s ；而 当s 为电压时，妒( s ) = i ns 。 上述3 个加速模型均适用于单应力加速寿命试验。若有多个加速应力同时作用，则 可考虑广义e y r i n g 模型或者广义a r r h e n i u s 模型作为加速模型。需要注意的是，本章介 绍的所有加速模型仅对应力的某一范围有效，超出这一范围就不再适用，其原因在于 产品的失效机理可能已经发生了改变。 1 2 2 竞争失效产品的加速寿命试验 对于高可靠性，长寿命的竞争失效产品，加速寿命试验无疑时评估其可靠性的一 个值得推荐的方法。在竞争失效产品的加速寿命试验中，应力水平& 下的试验数据通 常由样品寿命与导致样品失效的原因祖成，即 ( 屯1 ，g 1 ) ，( t i 2 ，g 2 ) ，( t i n ，g “) 上式中，t “( t = 1 ，n ) 表示第z 个样品的失效时间，而g z 可取 1 ，2 ，m 中的 任一整数，它表示引起第f 个样品失效的原因编号。 尽管竞争失效产品的加速寿命试验早已被n e l s o n 提出，但之后并没有引起统计学家 和工程技术人员的充分重视，以至于这一问题的研究至今仍处于相对初级的阶段。统 计推断方法的选择、失效机理间的相依性以及应力水平的增加对于推断的影响、屏蔽 数据的处理等问题至今仍在不断探索之中，有待进一步深入。 4 一 第一章引言 1 3b a y e s 统计分析 b a y e s 学派是统计学中的两大学派之一，由于其在统计推断的基本理论和方法上 与经典频率学派存在很大的差异，因此曾经广受质疑。而随着现代数理统计的不断发 展，b a y e s 统计分析以其无可比拟的优势越来越受到认同且被应用于诸多领域。在可靠 性分析中，b a y e s 方法也是解决问题的重要手段。 1 3 1b a y e s 公式 b a y e s 定理有三种形式： 1 - b a y e s 公式的事件形式：设事件a ，a 2 ，a k 为互不相容事件，他们的和包含 k 事件为b ，即bcua t ，则有 = l p ( a i i b ) = 芝曩p 三- ( a i o 五p 万( b 石丽i a i ) ，t = l ，2 ，七 2 b a y e s 公式的离散分布形式：设x ，y 为随机变量，其中为离散的，其分布列 为p ( x = ) = p x ( x t ) ，i = 1 ，2 ，。当x = x i 时，y 对x 的条件密度函数或分布列 为p y i x ( 可k ) ，则x 对y 的条件分布列p x i y ( x i i ! ，) 可表示为( 当y = 可) p x i y ( x d y ) = p x ( x i ) p y i x ( y l x , ) 。 p x ( z j ) p r l x ( y l x j ) j = l 3 b a y e s 公式的连续分布形式：设随机变量x ，y 的联合密度函数为p ( x ，y ) = p x ( x ) p y i x ( y l z ) ，其中p x ( z ) 为x 的边际密度函数，p y i x ( 可i z ) 为当x = z 时y 对x 的条 件密度函数，于是x 对y 的条件密度函数p x t y ( z i 可) 可表示为( 当y = 可) p 刑( z i y ) = z p 面x ( x 而) p y 面l x ( v 孤l x ) 面 设随机变量x 的分布依赖于参数目，则在经典统计分析中将其密度函数记 为p ( z ；p ) 或p o ( x ) 。但在b a 昨s 统计分析中，它被看做条件密度，记为p ( x l o ) 。这也 体现b a y e s 统计学派最基本的观点：未知参数口应被视为一个随机变量，且可用某一 概率分布7 r ( 8 ) 来描述它。这个概率分布包含了在抽样进行之前有关p 的先验信息，通常 称为先验分布。 5 1 3b a y e s 统计分析 设z = ( z ，z 2 ，z 。) 为来自总体p ( x l o ) 的- - 个简单随机样本，其联合密度函数为 三( = p ( x l o ) = p ( x 柳 t = l 它综合了总体信息和样本信息，通常称为似然函数。样本与参数p 的联合分布为 p ( x ，p ) = 7 r ( 目) p ( z i p ) 它综合了先验信息、总体信息和样本信息。为了对口做出推断，亦可将上式作如下分解 ( o l x ) 能被 布形式可 验等关于 对未知参 ，因此上 信息，则 方法确定 先验分布 第一章引言 先验分布的选取主要有三种方式： 1 使用b a y e s 假设确定先验分布 b a y e s 假设表述为：参数口的无信息先验分布7 r ( e ) 应在p 的取值范围e 内是“均 匀”分布，用数学公式表示为p ( e ) = c ，0 e ，或p ( 0 ) o ( 1 ，口e ，其中c 为常数，e 可 为无限区间。 若p 仅在有限区间【a ，6 】上取值，且无法确定9 在其中哪一个小区间上取值的可能性 较大，则使用b a y e s 假设是合理的。若e 为无限区间，则需注意参数p 在总体分布中的 统计含义。若p 是分布的位置参数，且无偏无爱，则使用贝叶斯假设也是合理的。 2 使用j e f f r e y 原则确定无信息先验 j e f f r e y 原则有两个部分：一是对无信息先验分布有一合理的要求；另一部分是给出 一个具体的方法去求得符合要求的先验分布。现设按照同一准则决定的p 的先验分布 为p ( 0 ) ，而p = 9 ( 口) 的先验分布为p ( p ) ，它们应满足关系 p ( o ) = p ( g ( o ) ) 1 9 7 ( p ) | j e f f r e y ( 1 9 6 1 ) 利用变换群和h a r r 测度，得到了满足上式要求的先验分布p ( 口) ：口的无 信息先验分布应以f i s h e r 信息阵，( p ) 的行列式的平方根为核，即 p ( 0 ) o ci i ( o ) l m ， 其中0 , - i 以是向量。 3 共轭先验 设x l ，x 2 ，z n 为来自总体p ( z l o ) 的样本， 如果后验分 布p ( o l z l ，x 2 ，z 。) 与p ( 口) 是同一类型的，即它们的核有相同的形式，则将先 验分布p ( p ) 称为口的共轭先验分布。共轭先验分布不仅计算相对方便，而且能让后验分 布中的一些参数得到很好的解释。 概括来说，贝叶斯统计中先验分布的选取应以合理性作为首要原则，计算的简便 程度则放在第二位。在不具有先验信息时，可采) 羽b a y e s 假设或根据j e f f r e y 原则采用无 信息先验分布。 7 第二章恒加试验场合下w e i b u l l 竞争失效 模型的b a y e s 分析 2 1w e i b u l l 分布 w e i b u l l 分布在可靠性理论中被广泛应用。大量实践证明，凡事因某一局部失效而 导致全局停止运行的元件或设备等的寿命都可看作服从w e i b u l l 分布。例如轴承的疲劳 寿命等。w e i b u l l 分布的分布函数f ( t ) 、密度函数厂( ) 和失效率函数入( ) 分别为 f c t ，= 1 一e x p 0 和r t f o 0 别称为此w b i b u l l 分布的形状参数和特征寿命。不同的形状参数 ( 固定特征寿命) 所对应的w b i b u l l 密度函数以及失效率函数曲线如图2 1 所示。可以看 出，形状参数的变化对w b i b u l l 分布有很大影响。 当0 1 时，w e i b u l l 分部的密度函数曲线呈单峰状，失效率呈上升状态，上升速度 随p 的增大而加快； 当0 3 时，w e i b u l l 分部的密度函数曲线呈单峰对称状，近似于正态分布，失效 率入( t ) 为增函数，此时相当于产品损耗失效。 w 西b u l l 分布的平均寿命与方差分别为 即h r ( 吾+ - ) ， y n r c 丁，= r 2 r ( 吾+ - ) 一r 2 ( 吉+ - ) ， 其中r ( ) 是g 锄m a 函数。 一8 一 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) 第二章桓加试验场合下w e i l m l l 竞争失效模型g , j b a s 分析 营 e 。t 矿 必 图2 - 1w e i b u l l 分布的密度函数曲线及失效率曲线 2 2 试验安排与基本假定 由于恒定应力加速试验( 简称恒加试验) 方法操作简单，且数据处理方法也相对 成熟，因此在实际中常被采用。其试验安排具体如卜： 1 确定正常应力水平岛和后个加速应力水平研，岛，鼠，这些加速应力水平一 般应满足岛 s l o 分别称为此w e i b u l l 分布的形状参数和特征寿命。 假设4 在应力水平岛，s 1 ，& 下，同一失效机理对应的形状参数保持不变，即 = = = 全易，j = 1 ，m ( 2 9 ) 假设5 在应力水平& 下，第歹失效机理的加速寿命方程为 i n7 7 i j2 勺+ 略妒( & ) i = 1 ，后；j = 1 ，仇 ( 2 1 0 ) 式l f l 勺，呜为未知参数，妒( s ) 为应力s 的已知函数，常见的a r r h e n i u s 模型和逆幂律模型 均可化为上述形式。 2 3 未知参数白, 0 b a y e s 估计 l i 2 3 1 1 以然函数及模型参数的确定 令岛( 瓯) 24 瓯叫j b = 老，则根据基本假定，应力水平& 下的似然函数为 l t 2 垂重 0 ， o 根据已有的先验信息来确定，当o ，6 均取。时，则为无信息先 1 1 2 3 未知参数b a y e s 估计 验。而形状参数易与加速因子u j 的先验分布则分别取为离散分布和无信息先验， p ( e j = 易：) = p 加 z = 1 ，2 ， 7 r ( ) o f ( 乱j ) 若用d 表示失效数据，则未知参数的联合后验分布为 m 丌( ，岛，u i l d ) 。c j = l 黔旷1 唧 r t i = 1j = 1 幻弩) ，n ， p ：= 1 ， 耍 zp m n 斟七 第二章恒加试验场合t e i l r o l l 竞争失效模型的b l 、v s 分析 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 苎! o ! ! o 苎! ! ! o ! ，_ ! ii n i n i _ i _ _ l i i _ _ _ o _ i _ _ _ _ - l _ i i _ i _ - _ i _ - - - _ o i _ i _ l - _ _ l _ l - 7 r ( u j l，巳，d ) 叩一 e x pj l( 巳t 丁 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 容易验证( 2 2 3 ) 式是对数上凸的，从而可以运用g i l k s 与w i l d ( 1 9 9 2 ) 的自适应判别抽样 法( a d a p t i v er e j e c t i o ns a m p l i n g ) 对其进行抽样，此方法可不依赖于后验分布的正则 化常数。令九( 巳) 全l n ( 7 r ( o j i ) t j ，u j ，d ) ) ，该抽样方法的具体步骤为： 1 选取初始值8 1 ，8 3 ，满足危78 1 ) 0 ( s 3 ) 。 2 计算如下各值， s = h ( s 3 ) 一 ( s - ) 一s s 九7 ( s 3 ) + s - 7 ( s ) 允7 ( s s ) 7 ( s s ) ， 钍鼍：= ( s 知+ ，) 九( s 知) - - 8 k + 1