（原子与分子物理专业论文）冷和超冷温度下碱金属原子（7li6li23na）弹性碰撞特性研究.pdf

第一章绪论 激光冷却原予的概念最早始予= 十擞纪六、七十年代。1 9 7 5 年， a n s c h 和s c h a w l o w 【l l l 以及w 浊e l a n d 和d e h m e l t 【1 2 1 各自独立地提出了激光冷却气体原子的建议，其物理思想是建 立在光与原子相互作髑的基础上豹，光与原予通过相互作用发生动爨交换以形成阻尼力， 从丽控制原子外部的自由度和降低原予的运动速度。1979年，baly赫n等人在na原子束 debglie波长(胛聊)上实现了激光减速(13】，1986年，chu【1q等首先实现了原子的激光囚禁。 近年来，原予的激光冷却与因禁已成为光与服子相互作用中的热门方向，吸弓l了不少物理 光机所的王毒竹小纠拍】也分别实现了cs和na原予豹激光囚禁。 所谓激光冷却，即用激光使原子减速。激光减速或冷却中性蹶予是利用原予在激光场 中的受力现象。原予所受的力有鼯种：散射力(囊发辐射力)和偶极力(梯度力)。原子 束中的原予基本上是作定向运动的，所以原予束最便于观察激光减速现象。为了使原予减 实现减速。激光频率国蛾，是为了克服d o 弹l 娃频移，以满足国= ( 1 一c ) = 一如 (11) 其中，p是原子运动的速度。 原子束冷却的方法不可能得到速度为零的原予，这是由于横向加热效应所致。若要进 与原子的吸收线宽相比拟，dopplcr颓移补偿授术已无必要。进一步冷却原子气体的方法 是“光学粘胶”，利用三对光柬交汇于空间，共同照射原予，原予就如同在光子胶水中运 动一样处处受到阻力。1985年，bell实验室的chu【17】小缀实现了第一个na原予的“光学 粘胶”。德们首先用120搠形c掰2的激光束把na原予东减速到20州s，然后用每柬约为 10m矽c珊2的六束激光因禁原予，得到的囚禁原子密度为106册3，因禁时间约为o1s。 可锝到原子的速度分布，从而估算孤子粘胶的温度。他们得到豹温度为240竺譬肚(相应的 蔽禁。现在，磁光阱( t o p ) 已成为囚禁中性原予最普遍的方法。为进步冷却气体原予，需用“蒸发冷却”新技术。这种恩想首先由 e s s l 9 8 6 年在冷 却蠢旋檄化氢原子时提出1 1 9 】。主要原理楚基于多粒予的平衡系统中其能量分布为玻尔茨曼 形式，粒子之间经弹性碰撞交换动能达到热平衡。当粒子能量高于所囚禁的势辨时，该粒 3 第一章绪论 子将脱离势阱并同时带走能量。所剩余豹粒子将露藉由弹性碰攘重新分配能量，从而达到 掰的热平衡。其总能量困逸出豹粒子带走部分能量薅减少，因两新的热平衡温度将降低。 蒸发冷却的效率与冷原予间鼹弹性碰撞截藤玎、原予密度撑、及原予温度r 成正比。瞧有 当冷原子之间的弹性碰撞对闻远短于磁阱中藤予的寿命时，原子闯通过蒸发高能量粒子方 可在短时阀内达到新的热平衡。这要求在进彳亍蒸发冷却时原予之间必须有很大的弹性磁撞 截面。 弧撼黔剐联e 掬o0 装 l l 襄 毽装 l 嚣器 p 蝉i 辩。0 eo 纛v o n l i 臻羹越 ，a f 托m o e 骛 熏m 每 。l ，| 日# 疆摊扩 _ tj ? 、 2 _ 姻蕊涵l # 。 矗 e 鞋i 霸e 鑫掰女 i i 。j 酚溺藩蛩溺运- 卿岱紫嗲。i _ i j 每零 i 。l f 娶奄l a $ 孽藉_ - o i _ n 稚醣l 张豁：| = ? 。嚣￥基蔷o # l 程 il 图1 2 钠原子的d eb r o g l i e 波长与温度的关系曲线土的各种物理现象“ 在实验上常用豹射频蒸发冷却，被约束在磁隆中的一团原子云，外加频率为 k 的射 频信号让其离能分布的尾巴，即原子中最热的那一部分不断地跑搏，射频信号就像一把“解 削刀”，不断遗将扩散到磁阱边沿的高速原予“切摔”，从雨使殿下来豹低速原予靠相互弹 性碰攮重新“热化”，又被片片地切断，最后可在磁阱中央留下冷却豹密度较高的冷原 子云圃。在这过程中缓慢地降下来，相当于温度不断的下降。在1 9 9 5 年，美国科学家 4 第一章绻论 a d e f s o n 【1 1 成功地把r b 原予冷却翔1 7 0 旅，观察到原予密度在此时( 相当予v = 4 2 3 膨陇) 有一个尖锐的峰，约有2 0 0 0 多个原予处在( 零动量的) 单个量予态上，原子的数密度约 为2 6 l o ”c 掰4 ，即表示发生了玻色爱因斯爆凝聚( b e c ) 。 1 3 玻色爱因斯坦凝聚和费米闯并气体 组成物质的粒子可分为玻色予和费米予两种基本类型，玻色子的自旋为壳的整数倍， 满足玻色一爱因斯坦统计；而费米予豹自旋为壳豹半整数倍，满足费米一狄拉克统诗。玻色 子和费米子截然不同的统计性质是物质世界多样化的一个根本原因。就中性原予而言，由 于电子的个数和质予的个数相固，放而若原子包含的中子数为偶数，该原子为玻色予；反 之，蒜原予包含的中子数为奇数，该原予为费米予。 在量子力学中，质量为m 的粒子可用特征波长为五。= 2 万a 2 棚f 的波包撼述，五铅称 热德布罗意波长。在高温或低密度下，热德布罗意波长j 常短，相邻粒子闻的波包不产生 叠加，气体的性质服从b o l 啪a l l l l 分布。然面，当气体被冷却至越来越低的温度时，五。变 得越来越长。当燕德布罗意波长可与粒子之阈的平均距离相比拟时，相邻粒子问的波包开 始产生叠加，最子效应交得显著，将遵从新的统计分布( 见图1 3 ) 。当气体的密度大于量 子浓度时，称为箍并气体 r m 如r 、班 蚀2 l 赢j 辫艘绺 嶷；釜凄 ( 1 2 ) f a ， h ， 圈1 3 ( a ) 玻色子可以处在同一个单粒子态上，从碗能形成玻色一爱匪斯坦凝聚体：( b ) 在任 何单粒予态上最多只能有一个费米予，对于理想费米气体，在零温极限下，不同内部态的 费米予紧密地一层层摊布至费米能囊点0 处的单粒子态。 此时，气体中原子的平均距离与热德布罗意波长正好相等：即= 。因此气体原 5 第一章绻论 子就成为不可分辨的全同粒子，需要用量子统计处理。相应的筒并温度用密度表示，有 ：攀 ( 1 3 ) 1 姚一；- “ l 3 ， f h k b 理想玻色气体在湿度低予玻色爱因斯坦温度 = 等( 淼 2 3 4 ， 时发生玻色一爱因斯壤凝聚。自从1 9 9 5 年发现气体玻色一爱因斯坦凝聚体( b e c ) 以来，成 聚丰硕的碜 究工作大爨涌现。蓠先获得气体状态8 e c 的e c o m e l l ，w k e t t e r l e 和c w i e m a n 获得了2 0 0 1 年的诺贝尔物理奖。德判尚质量的玻色一爱因斯超凝聚体( 即滠度很低、密度 很高、原予数很多、寿命很长的畦c ) ，其中关键参量都跟蒸发冷却的过程有关，其中磁阱 参量( 如形状、梯度、偏振场的大小等) 、射频场豹变化速率均与磁撞有着密切髓关系，丽 碰撞最终直接影响蒸发冷却的效率。 迄今为止，国际上已有4 0 余个实验室采用各种冷却、因禁与操控技术实现了八种元素 的原予b e c ，瑟具有正散射长度( 口 o ) 碱金t 嚣琢子( 2 3 f l ，8 7 晨6 ) 豹b e c ；其有受散射长 度( d o ) 碱金满原子( 7 d 、4 1 k 、”置6 、”，) 的b e c ；蠡旋极化1 日原子、豫稳态4 乒治原 予和具有2 个价电子的砀稀土原子的b 嚣c 以及出费米原孑形成的6 乩和4 0 墨分子b e c 。 超冷费米气体的研究也在此基础上蓬勃发展，并展示了丰富的物理蠹涵。从发展趋势 来看，一方殛超冷简并费米气体将和磁场f e s h b a c h 共振、光缔合、光晶格等量子操控手段 更紧密地结合起来研究英量子相变、超流性质等深层次的物理问题。另一方西超冷简并费 米气体的研究将继续深化和原予分子物理、凝聚态物理、光物理等学科豹结合。比如超冷 筒并费米气体的进一步研究将有助于人们解决固态物理甚至核物理中的一些没有最终解 决的强关联闯题，如离温超导的物理机锖l 。 在三维谐振势中的费米能级为 环= 向【6 r ( 1 5 ) 式中国= ( q 国，嚷) 驴是平均频率，为阱中总粒子数。基于费米能量乓，定义了费米温度 弓= 睇这一重要物理量，当温度低于费米温度( 丁 巧) 时，气体进入简并区域。如 囚禁在捕获势( 国= 1 3 3 王酝) 中蠢1 0 6 个6 口原予，费米滠度瓦“1 2 肿。 和理想玻色气体不同，当原子温度低于疋时，无相互作用的理想气体没有展现明显的 相交。然丽，如愿予阅存在吸引相互侔用，由于温度低于临界温度露酣库伯对的形成，镩 6 第一章绪论 条搔馕和外推方法构建全程势能曲线的程序和翔n u m e r o v 法精确求解教射相移帮散射长度 等相关散射数据的程序。从露对锂原予在低瀑和趣低温下灼弹性散射特性进行更为精确的 诗算，得到更好的碰撞数据，如s 波散射长度，有效力程，基态碰撞波函数，教射截面等。 1 9 9 5 年k e t 【c f l e 小维在钠( 2 3 靓r ) 原予蒸气中实现了b e c 后，从实验和理论上对钠 驭子冷碰撞特性的研究亦弓l 起了极大的兴趣。本论文中我们用含一个可调参数的勰柝的原 子阆相互作用势米研究处在完全自旋极化的2 3 ( 1 原予的教射特性，德至4 了令人满意的结 果。这种尝试将可用于定量的研究许多原予闯栩互作用势并不精确的原予的碰撞特性。 9 鐾一囊囊霪 螫薹鋈鋈萋二薹薹囊羹羹霎。零囊；羹蓁蠹薹妻譬遥强鬟噶氆罐笃薹醌 犁黟烈鬻偶翼 碰i 憨2 i 蓁鍪羹l ! 嚣l 鬟鬻 巍秀! 姜关i 。篙擘嘞萄型二至至丞凌哂埋謦咧琵疡馕嘉乳觐勤豁豁：臻霪瑟莛謦疆譬 蛸弱t 瞵拜醛蠢摧霾丽罨一霾唔琢j 烈磐型邳五菇4 | 鋈l 至薹攀雾甏需唱塞曼摹薹三熏装 堑翁簇静莆质i 列蠢嚣蓉警鼎掣一型肴籍望押露诧箱对一茎曼暗i 髯蘩煎雾豫她攀； j j 霉霆，萋；蕊弼鬟磊鐾萎薹羞? 一_ 鲁薹薹萼五? 一墓妻冀? ? 一j 曩雪置曩鬈 ： 誊塞囊琴；二i i i 雾；囊霪董篓一咭皇霪囊蒸蔷矽锶复i 豸煮蜒看鬻争搿靴， 引熊蒿壕寺鹄罐漭警：圭祭蓓管毳篙j 巍警d 颈竖薄骒荐蒡酬瓣鎏誊芝露驾哺。列 堑釜凰矧饿蔼瘳哩皑馒哥甚巨群蛩器醢嚣型皤翼；扩逸糟掳 翳强函张销鼢糖冀驵摊拯 研理再蒯雾蹦刘刚彗蚴i 娶墓薹薹蔓妻雩t 委冀簦主圭量霪蔷i 妻襄饕i ， 羹：瑟j 髫参斧 髦鋈哩蘧增植谩霉慧霄蕊伪赏需；勰斡如到滔鞣雾霾。萨鳓蓬嶷剿彭星霸高冀坠癣氆墨i 一 型爱毛髫争j 强痿薹囊筲程羚鸶； x 第二章低能弹性散射理论 毁( f ) e 如+ 碑) 譬 ( 2 9 ) 2 1 4 波恩近似 完全研究数射闷题需要解三维薛定谔方程，而这相当麻烦。闲此用波恩近 叛可以对势 的散射特性遴行估计计算，这种近似仅求解作用势y ( f ) 的一阶教射振幅。在方程( 2 6 ) 中，用势矿( 尹) 的零除波函数8 “7 去代替精确的未知波函数睃( 矿) 。散射振幅变为 m 耐) = 一番严驴啊( 一) ， ( 2 1 0 ) 显然波恩近似对当，很小时作用势为无穷大的硬球势不适用。 2 。2 分波法和径向薛定谔方程 2 2 1 数射态和相移 当褶互作用势是球对称时，矿( 尹) = y p ) ，散射振睡仅和革位矢露和( c 。s 护= 菏- ) 的 夹角秽有关，掰以，( 颤再，) ；，( 露，秽) e 若入射波沿正z 辘方向，以君和丘的共同本征矢 为基矢展开入射和散射波函数，三为相对角动量 魄( 产) ：妻壹写m ( 疗，) 生$ 堕 ( 2 1 1 ) 其中妒是绕z 轴的方位角，驴( 移，) 使球谐爆数e 入射波函数是本征傻为。的丘的本征态，萨的展开与z 绕轴豹方位角无关 = o ) 扎去姜( 2 ) 毋( c 砌) ( ( 一1 y “e 曲矿) ，渤l ( 2 1 2 ) 其中，曩( c o s 口) 是勒让德多项式。因此入射平蘸波楚入射波骂( c o s 日) e 。步和出射波 鼻( c o s 口) e “步的爨加a 散射态波函数峨( f ) 近似为入射波函数和出射波瞬数厂( 丸秽) e “步之和 雌( f 卜去喜( 型+ 1 ) 卑( c o s 秽) ( ( 一l y “e 。铲) ， ，6 3 ) 其中系数e 2 啦的模等于l ，也即相移西为实数。 2 2 。2 一维径淘薛定谔蠢程 1 2 第二章低能弹性散射理论 研究散射问题归结于求出散射相移嚣，把( 2 1 1 ) 式代入( 2 4 ) 式( 略去= o ) ，并 假定在r = o 处啦，( r ) 步是正则的， l 寻到方程 甜4 “+ 卜掣一孕h 小。 由( 2 1 3 ) 式，。“r ) 的解存如下近似形式 “叫o ) 。( 一1 ) “18 一“+ 8 2 碡e 一“ 对r 6 此时，散射振幅和数射截面为 m ，口) = 去薹( 2 川) ( 一1 ) 霉( c o s 口) 盯( j j ) = q ( j i ) 其中q 取) 为分波散射振幅 毋( 惫) = 等( 2 ) 甜碑) 2 2 3 形状共振 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 i 8 ) 这种共振源于粒子间有效相互作用势( 分子势+ 离心势) 所形成的势阱形状结构，如 圈2 2 所示，因此称为形状共振。当势垒离岛阕值时，势阱内有可自存在一准束缚态，准 束缚态的波函数在势辨中的振幅较大，面在经避势垒时其振幅指数下降，到达势阱外对其 振幅已经很小。当入射能量由小到大丽经过和准束缚态能相等时，势阱肉的波函数将显著 增大，其在阱内将增加一个波腹，表现在相移上，即在准束缚态能量附近肖一约等于疗的 跃变，形成形状共振。 v 口k 。 图2 2 准束缚态和离心势垒 1 3 第二章低髓弹性散射理论 散射相移谚( 后) 依赖于粒子间豹入射碰撞能量，当能量e 合适时 西“( 聍+ l 2 ) 乃，n = o ，l ，2 ， ( 2 1 9 ) 此时s 撖2 谚* l ，分波对截磋的贡献达到极大筐，散射截面将出现共振峰。设e _ 毛 时，4 ( 七) 哼刀2 ，c o t 4 ( 后) 一o ，在露* 墨邻域做稳y l o r 展开 c o 蛹= c o t 点l 。；耳一c ( 点一母) + o f ( e 一辱) 2 1 ( 2 2 0 ) 、_ j 。4 在共振峰附近散射振幅 球) 。丽杀2 妻嗣芒丽 r 2 ( 2 2 1 ) 一嘲 素l ( 嚣一啪+ 等l 式中已定义散射共振宽度 兰；：；鲫。辱= 叼= 一詈c 2 2 z ) 注意如果c o t 艿交化非常快刚共振宽度f 将非常小。由散射振幅可褥到在共振时的分波 散射截面为 q = 等勰 旷可亩葛菏赢 驯 此都b i i 如w i 辨嚣公式。 2 。2 4 全同粒子 若诱碰撞粒子可分辨，如隧2 - 3 ，购其相应的散射振幅分别为，( _ i ，秽) 和，( 七，万一口) ； 然丽，对全同粒子，必须考虑( 反) 对称源理，矿( i ，弓) = f 伊( 蔓，1 ) ，占= + l ( 一1 ) ，对应予极 化的坡色子( 费米子) ，由 y ( ，眨) = 口如峨( ，) ( 2 2 4 ) 其中惑= ( 再+ 巧) 2 帮尹= 亏一乏，有睃p ) = 占( 一尹) 。( 反) 对称散射态可近似写为 嘴) 笋+ 坐等笋型譬 g z s ， 微分散射截面 纂= 秽) + s m 尹利2 ( 2 2 6 ) 第二章低能弹性散射理论 注意览时护的取值范潮为【o ，衫2 】。 应月球谐函数的宇称( 一l y 可以得到：对极化玻色子仅偶数分波对散射截面有贡献；极 化费米予仅奇数分波对散射截面有贡献。所以，全嗣的玻包予和费米子的总散射截面分别 为 玎( j ) = 等驴巾n 2 巧( 女) 盯( _ j ) ：警( 2 川) s 址：4 ( j ) ，裔 ( 对玻色子) ( 对费米子) 图2 3 不可区分粒子的两种不弼散射进程导致相同的结果 2 3 冷原予的散射 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 2 3 1s 波弹性教射 在超冷原子碰撞中，分波法极大的简化了对问题的分析。因为在碰撞能量极低的情 况下，仅有几个分波对散射振幅在贡献。如在低能极限下只有最低轨道角动量分波一s 一 波对散射振幅有贡献。设一对原子之闾的相互作用势作用范围为，原予闯相对动繁为 p ，和散射相关的最大轨道角动量可由下式近似绘文 z = p = 矗五扭 ( 2 2 9 ) 动量p 用d e b 甜i e 波长表示。因角动基是景予优的，f = 脯，为整数，有 z ：鱼l( 2 3 0 ) 相互作用势的势程范围一般为1 0 a ，丙一般碱金属原予在l _ j 温度下五l m 。 因此，在超冷澄度下仅考虑f - o 的分波。 若仅考虑s 波散射，方程( 2 1 6 ) 简化为： 邢，臼) 掣 ( 2 3 1 ) 第二章低能弹性散射理论 七一。聪t a n ( 磊) mj j 。因此，在低能极限下，散射长度可定义为 瞎：一竺掣 ( 2 3 6 ) 呻o 在低能极限下，方程( 2 3 1 ) 变为 i 璐，：嗽些薹盟叫 ( 2 3 7 ) 女呻o 。女叶o 、 此时总截面 盯 4 刀口2 ( 2 t 3 8 ) 注意前一节硬球势的例子中有磊= 一般，即教射长度等于硬球的半径艘。由方程( 2 3 8 ) 亦可得到总截匠仃= 4 乃震2 。 下面给出散射长发疗筒单豹物理解释。在低能极限下，渐进波函数的形式为 s i n ( 鼢+ 磊) = s i n ( 打) + 岛c o s ( 知) 妒p 一球) 。因而，散射长度口是渐进波函数魄。( ，) 与r 轴 的交点。豳2 5 ( a ) 和( b ) 中分别对应一毅弓l 势阱和一排斥势阱，波函数“( ，) 及其渐进形式如 图所示，注意对于吸引势阱散射长度a 为负，舔排斥势阱疗为正。 圈2 5 低能极限下吸引平方势辨( a ) 和羲 斥平方势阱( b ) 对廉的波函数“( ，) 。渐进波函数和 “( r ) = o 轴的交点鄄为散射长度 2 3 3 低能散射的有效程理论 s 一波相移菇可以以七为级数展开 | c o t 磊( 露) = 一吉+ 吉吒n o ( 舻) 1 7 第二章低能弹性散射理论 这就是著名的有效程展开式。式中a 为s 一波散射长度，为霸效力程。 把式( 2 3 9 ) 代入到( 2 3 2 ) 式，并保鼷至七2 ，有 4 刀口2 扣确 另外，有效力程匕还能用分波方程( 2 1 4 ) 的零能解表示。 惫= 0 时的解，归一化后为 嘶) = 篙 若p x 第三章原子间相互作用势 v ( l ，r ) 、， o 图3 1 教骧予分子有效势能曲线 篡篡掣 熹 s ，叱) 删卅2 i 去jr 赢 ，= 叮砌= 一( y + 主 4 ， 第三章藤予间相互作用势 其中，“”对应于自旋单熏态x 1 ：( s = 蕞+ 是= o ) ，“+ 对应电子自旋三羲态43 ： ( s 茹1 ) 。 当两个原予之间的鞭离r 时，为b o a r 半径，原予闻静电相互作用可用多极展开 描述 y ( r ) = 争+ 争+ 争一 ( 3 9 ) 式中第一项为库仑势，对于中性原子该项为零：第二项表示电偶极相互作用，r 的商除项 代表离阶相互作用。对碱金属服子，在一阶微扰理论下所有这些项为零，因为偶极距、四 偶极距算符豹对角矩阵元为零。所以要求助于二阶微扰理论采求解基态原予相互作用 势，此时势霹展开为 ( ，) 一警一每 o ) 系数g 、c 8 和c 1 。为 q 。云吃( 1 ，1 ) c 8 = 芸瓯( 1 ，2 ) + 芸瓯( 2 ，1 ) ( 3 1 1 ) c 1 。= 善瓯( 1 ，3 ) + 等瓯( 3 ，1 ) + 荨氏( 2 ，2 )冗 露托 其中 g 厶( 毛，) = f 咙( f 国域( f ) d 缈 ( 3 。1 2 ) 上式中( 蛔) 为原予a 在虚频洒时的动态极化率。 当两个中性綦态原子靠近其电子波函数开始有重叠时，由于电子波函数反对称的要求 出现交换项日。= 屹( 1 2 + 2 夏夏) ，当r 较大雕，电子波函数叠加成指数级衰减。s 赫m o v 和c i b i s o v l 4 明已经推导出了长程交换相互作用势的解析表达式 ( r ) = q r 枷。e 删2 ( 3 1 3 ) 荚中，一口2 2 是原子价电予的束缚能，c 0 是原子的长程价泡予波涵数的依赖予a 招一化 参数，表征交换相互作用的强度。交换相互作用是一种纯粹的量予效应，过渡到经典力学 极6 良情形时( 如自旋一样的) 全部消失。 2 7 第三章原子阕相互作用势 图3 2 三分予貉能雌线( r k r ) 两个中性原予闯的主要相互作月l 势是v hd ew i a l s 势和交换势。根据其自旋相关性， v 姐d e w 试s 势的大小是单萋态爿1 ： ( s = & 十是= o ) 和三重态口3 ： ( s = o ) 势之 和的平均；交换势的大小是自旋单重态并1 ：势和自旋三熏态d 3 ：势之差的一半。 = 妻( t ；。( r ) + k 。，( r ) ) ( 3 “) 吃= 委( ( ，) 一k ；。( r ) ) ( 3 - 1 5 ) 3 27 “原予间相互话用势 在单重态势中，当两个驭予接近时它们鲍j # 配对电子自旋反平行( 蜃= 墨+ 是= o ) 。 考虑态的波函数对称狂，此时电子的自旋波函数是反对称的，这要求空闻波丞数须是对称 的。这种情况下，电子可以遴入两核之间的区域，电子与核之阔的静电吸引产生较深的势 阱：丽在三霆态情况下，两个电予的自旋方向是平彳亍的( s = 1 ) ，巍旋波函数是对称的， 此时空间波函数必须是反对称的，从丽使电子极少能在两核之间停鼹，相互作用势相对的 较弱。 3 2 1 自旋单重态x 1 ：势能曲线 2 8 第三章原子闻相互作翔势 z e m k e 和s l 、v a l i e y 对两个镪原子之间的相互作用势作过详细的研究辨“，我们这里主 要用他们的方法来构建更为精确的作用势。b 甜a k a t 【4 2 】构建了孤子问距离从3 4 嘞至1 2 3 9 之 间的龛旋单重态爿：势能曲线( 数据中有两个印尉错误，文献表4 中，恐( p = 2 5 ) 对疲 的数据是4 8 9 0 8 6 0 ，藤非4 4 9 0 8 6 0 ；鹄= 3 1 ) 对应的数据跫5 6 8 0 8 9 6 ，丽非5 5 8 0 8 9 6 ) 殚3 1 。 因为在经典转折点左边不可能得至i 实验r k r 数据，所以我们采用3 个a bi n j t i o 数据点来延 长b a r a k a t 的数据：在发= 2 7 5 口。和3 o 龟我们采用k o n o w a l o w 的a bi m t i o 势能数据f 钏； 震= 3 。2 5 嘞我们采用s c h m i d t m i i l k 计算得到的a bi 斑t i o 势能数据4 5 1 在原予之间距离矗 2 7 5 口。时，我们采用解析的指数函数形式 矿( r ) = 爿e x p ( 一艄) ( 3 1 6 ) 其中参数a 和b 由立方样条拟合势矿( 晨) 的数据点求出。 当原予之闼相距较远时，单熏态的长程相互作用势可解析表示为、d ew 斌s 势和交 换相互作用势 吒( r ) = p ) 一屹o ) ( 3 1 7 ) 其中p ( 文) 和似) 的形式如上。我们采用更为精确的g 系数p 卿和交换势的参数h 7 1 q = 1 3 9 4 6 0 c 8 = 8 3 5 1 5 c l 。= 7 3 8 l l o o c ：尝o o l l 4 l 口= 4 5 5 9 8 8 = 1 2 5 9 0 2 中程砌( r 区通过减去离解能谚= 8 5 1 6 7 5 士o 1 0 硎一1 【4 8 1 并和r 小的区域帮长程数据光 滑拟合，用立方样条播值可碍到任意原予闰距离r 处的值( 震) 。通过立方样条光滑拟合 所得到的势能曲线如图3 3 所示，单重态势的势阱深达1 2 2 5 4 k ，支持4 2 个束缚态。 3 2 1 鑫旋三重态口。：势熊曲线 l i 玎t o n 小组应用微扰增强光学- 光学双共振实验光滋( p e r t u r b a t i o nf a c i l i 溉do 嬲c a l o p t i c a ld o u b l er e s o n a n c e ，简称p f o o d r ) 技术，测量到了7 弛分子三重态d 。：从y = o 到 p = 9 的振动能级渺】，得到7 三f 2 三耋态躲离解能珑= 3 3 3 6 9 o o l 聊，平衡间距为 = 4 1 7 3 a 。三重态的p f o o d r 光谱豹获取方法一般是以7 骗分子中由一个单重态和一个 2 q 第三章琢予间相互作用势 三重态相互微扰形成镌混合态为中间态，逶过箍步激发，将分予从鼙重纂态激发到所要研 究的三重态，辑通过测量来鑫该三重态的荧光光谱，从丽获得有关三重激发态的结构信惑。 o 3 m 3 r ( a u 。) 图3 3 7 三友自旋单重态x 1 ：势能曲线 在文献嘲t a b l e 3 中偬们给出了2 4 组r k r 势能数据点，这些点从。= 3 3 5 a 到 = 1 6 0 5 a 。当原予之瓣距离， 。时，我们采用6 个数据点，分别源于不间的文献， 在震= 6 。o 吼我们采用k o n o w a l o w 的如i n 三t i o 势能数据5 0 】；r = 3 2 5 和3 5 嘞我们采用 s c h m i d t - m i n k 计算得到的a bi 硪i o 势能数据辟5 1 ；2 0 0 1 年，h 窿l 5 1 1 对三重态“。：势进行 了更精确的计算，我们采用其三个数据点发= 2 o a ，2 5 a ，3 o a 。 当原子之间距离较远时，即在姒撒区外有解橱形式 y ( r ) 一景睾每+ 吃( r ) ( 3 1 1 8 ) c 6 、c 8 、c j 。等色数系数采用0 3 年最精确的计算值弹q ，交换项圪( r ) = c ：舻e 4 8 的系数采 用1 9 9 9 年z e m k e 和s t w 蘸l e y 慕予实验拟合的值m 7 1 。分别为 第三章原子阔相互作用势 t = 1 3 9 4 6 0 c 8 = 8 3 5 1 5 c l o = 7 3 8 1 l o o c 0 = 0 o l l 4 l 瑾= 4 5 5 9 8 8 矗= 1 2 5 9 0 2 构建的势能曲线麴图3 4 ，势阱深为4 8 0 k ，远低予单熏态势的势辨深，仪支持1 1 个 束缚熊级 “a u ) 3 图3 。4 7 三冬鑫旋三重态口。：势能鼗线 3 36 d 原子间楣互作用势 图3 5 显示了我们构建的精确的单重态和三熏态分子势能曲线。图中均以原子单位 为坐标( d 。“。虽然，单熏态势形成豹势阱远沈三熏态势的深许多，计算得到单重态势阱深 1 2 2 5 3 7 k ，砥三重态仅为4 8 0 2 k ，但这仍比h 原子的三熏态势阱深许多。h 原予的三熏态 势阱仅为6 k ，是已知基态原予最浅的势阱，以致其连一个束缚态都不支持。 在中短程区构建6 强单重态势能曲线所需数据帮方法与7 醍相同，唯一需要改变的是 离解能为晓= 8 5 1 6 7 0 o 1 0 硎，稍微低于7 甄的离解能。面对6 分子的三熏态势能， 我们采用文献【5 0 】中从r = 3 o 到6 。o 共7 个数据点，在中程区，采用“密”砌( r 势能曲 线h 1 1 减去离解能晓= 3 3 3 7 4 o o l c m 一1 f 4 载。 3 l 第三章原子间摺互作用势 两6 三f 原予之间长程下相互作用势的解析形式如式( 3 8 ) ，其中，“+ ”对应于三熏态势， 露“”则对应于单熏态势，文献h 6 l 和【4 3 1 分嗣给出了耪确豹数值，如下： c 6 = 1 3 8 8 3 g = 8 3 2 1 9 o c l o = 7 3 6 1 2 0 0 c ：= o 0 1 2 8 8 甜= 4 。5 5 8 艿= 1 2 5 9 豳3 5 6 三f 2 潦子单重态爿1 ：和三重态口3 ：势能曲线 3 。4 含可调参数的” k 原予间相互作用势 我们用含一个可调参数砖的解析势能曲线，荚表达式为 矿( r ) = ( r ) + k 。( r ) z ( r ) ( 3 1 9 ) 式中第一项( r ) 是交换相互作用，解柝形式与式( 3 1 3 ) 相同，参数取自文献5 2 1 ，第二 项为长程、d e w i a l s 势，解析形式与式( 3 1 0 ) 耀嗣，系数为最糖理论计算的精确傻。 相应参数为 g = 1 5 2 3 c 8 = 1 1 4 0 0 0 c l o = 1 1 4 2 0 0 0 0 c ：拳o 0 1 2 3 口= 4 6 9 3 口= 1 2 2 9 3 2 第三章原子闷相互 乍用势 为了消除彤在短程处的发散，乘以截断函数正( r ) ，截断函数与用于日一日3 。势 的形式褶圊p 如， 工( 震) = o ( r 匙) + o ( 愍一只) p 7 。2 ( 3 2 0 ) 其中o ( x ) 楚单位阶跃函数 。( x ) 司 胁o ( 3 2 1 ) i o ( x ) = o x 心势对 散射相移的影响可忽略。如果所选j 乇。导致等譬= 旷( 如) i 时，程序会发出警告，需重新设 置如。因此碰撞能量越低，则心。必须选的越大。关于积分步长的选择，在势阱嚣内由 于波函数的快速变亿，步长应选择的非常小，丽在势阱外使步长加倍以减少累计误差。 我们首先计算了单重态鼬波弹性散射相移民，如图4 1 所示。在低能下s 一波弹性散射 耀移可近似的被瓯= 一勋缀好豹表示；另外磊为负僮表明碰撞波涵数与无掇互作用势存在 时的自由波函数相魄移动了+ 口豹距离，这种情况下的碰撞可被半径为d 的硬球排斥势来描 述。 温度低予l 掰后的冷原予碰撞有一个j 常暴著的碰撞特性就是仅有少数几个分波对散射 截面有贡献。由6 腩，当v _ o 时，6 变得非常大，但由予势的作用力程是有限的，所 以对散射有贡献的分波数将有限。两7 三f 原予长程下相互作用势近似为 矿( 月) 一鲁+ 掣 ( 4 1 ) 图4 2 表明由于 零分波角动量鲍存在产生了离心势垒，当碰撞能低于该分波势垒 时，除非有共振发生，则该分波对散射振幅的贡献l 常小。分波势垒存在限制了参与超冷 碰撞的分波数，势垒的高度和宽度随着角动显l 的增加而增加，见表( 4 1 ) 。 淄4 。3 为p 。弹性散射相移磊与七= 厨肛的关系图。从图中可以看出，当碰攘熊最 低予五= 1 分波产生的离心势垒( 也即_ j 非常小) 时，点为零，此时三= l 的p - 波慰散射振幅 第四章弹性碰撞特性计算结 没有贡献；随着碰撞能量的增加，该分波才开始参与散射。 l ( ( a u ) 图4 1 随后= f 历面壳变化的尊重态s 一波散射相移 卫 、_ ， 茳 r ( a 。u ) 队z 2 4 分波的有效势能曲州一n 等 # 一c o c cim|彳 筵鞠鬻潜戆蕊辩耨褴诗霹结 袭4 。27 蟊舔予肇蕊惑数赛壹妖座翻霄效办穗( 挚键：a th 。) 散瓣长度霄个德荤翡足键髂黪。程舔二露敞射攥论巾曩熊遵程瀚避氍域径两波涵数 必 漱被+ 磊一漱勰+ 菇s 勰) 4 蛰 警露峙o 髓 8 泌女霹+ 焉) 争露( r 撑) ( 隼3 ) 燕然澈避渡避数怒一条盛线，与善鹣交点为数翥枣长波群。躐憩，通过袋麟渗遴波添数 w 黻计算国瀚大小灏符号。谢的褥号淡示栩熏 擘矧势豹憨的效盘：擞魏球表示势避蹶弓l 势，薅菠豁群袋示势怒羲 嚣势。鬻嬉碡，愚攀貔羧黼下心。口 第四章弹性碰撞特性计算结 表4 + 37 三f 原子单熏态形状共振分波和共振能量能( 单位：a u ) 4 。1 27 强自旋三重态散射特性计算 纂于第三章构建的精确的自旋三熏态势能曲线，采用和( 4 1 1 ) 节相同的数值解法， 我们首走计算了s 波弹性散射相移，结果如图4 ，8 所示。与单重态明显的不同在于低能极 限下荬s - 波散射捆移为正傻! 这意味着碰撞是吸弓l 的，“有效”迪使两个碰撞原予靠近。 数值计算得至4 的散射长度和有效力程分别为之7 6 2 和5 2 4 2 。散射长度的僚与用双 光予光缔合谱测得的实验结果f 4 8 】相当一毁，这表明我们基于l 矗l t o n 的实验数据和最近的理 论计算所构建的作用势是非常精确的。我们计算所得的蠢效力程t 和d b l u m e f 删綦予g a o 的量予亏损理论j 所褥豹结果德合得相当好，具体见表4 2 。 k ( a u ) 图4 8 三重态s 一波弹性教射相移随豇= ! 洒屈的变化 =一c以罚c cl镯，v下 第四章弹性碰撞特性计算结 表4 47 三f 原子三熏态数射长度和有效力程( 单位：a u ) 零能极限下( _ j 岭0 ) 三熏态7 三f 2 的波函数和渐进波函数见图4 1 0 。因为7 三重态的 散射长度为一负值，零能极限下渐进波函数形式为| j ( 赏一口) ，所以渐进波函数与x 辅的交 点在x 轴的负半轴上。 o o 娜 亡 3 r ( a u 。) 图4 9 零能极限下( _ j 。o ) 三垂态7 五之的波豳数( 实线) 和渐进波醯数( 虚线) 我们对处于三藿态势的两个7 勘原予闯弹性散魅的总散射裁面进行了计算，碰撞能量从 e = 1 o l o 。2 口肌( 相当于3 被数氦级) 到1 o l o - 4 口乩，缭槊如图4 1 0 所示。显然，当 4 l 第霸章弹性碰撞特性计算结 i o g ，o e ( a u ) 圈4 1 0 7 三之三熏态弹性散射总散射截丽 碰撞& 量e o 的分 波将陆续参与碰撞。总截面中出现两个明显的因形状共振产生的尖锐峰，计算所褥产生共 振的分波和共振能量见表4 5 。 表4 57 尉原子三重态形状共振分波和共振能量( 单位：a u ) 圈4 1 l 为发生卜波形状共振时耱移的变化，当毛州2 时，散射截箍出现一尖锐的 峰( 图4 1 2 ) 。从表4 5 可以看出我们计算得到的发生分波形状共振的分波和共振能极，与 文献实验懂相比较非常接近。 4 2 一ni僻一瞬co嚣m价ojo苓一 第翻章弹性碰撞特性计算结 k ( a 。u ) 圈4 1 l 随七= 互面壳变化的7 三f 2 三重态法一波弹性散射相移 c o l i l s i o ne n e r g y ( a 。u ) 图4 1 2 + 7 三之三重态f 一波弹性散射截面 实验中为了避免因自旋交换非弹性碰撞产生的原子损失，常选用完全封旋极化( 电子 自旋和核垂旋都极化) 原予，此时原子为全月原予，孤予闻相互作用势完全是自旋三重态 作用势。对玻色7 n 原子，完全蠡旋极化超精细态为j f = 2 ，脚= 2 ) ，因波溺数对称性豹要 求，波数为f - l ，3 ，5 的奇数分波将不存在，碰撞截面由第二章中式( 2 2 1 ) 描述。 4 3 llc价m彤c c i o 面 - l comu心西诉价)jo啦孵，_l 第四章弹性碰撞特性计算结 图4 1 3 给出了我们计算的碰撞能量在e = 1 o 1 0 9 口乩和1 0 1 0 6 订乩之间的s 和d ，波分 波散射截西。当碰撞能鼙为e a 3 2 1 0 4 盘( 相应于瀣度为r “l o 脚七) 时，s 波散射截面 趋予零，对此现象c c o h e n t a n n o l 蝎i 给岗了勰释矧，他通过计算s - 波散射相移的一阶修 正 t a n 民皓) * 一口_ j + 妻口。口2 _ i 3 ( 4 。4 ) 二 式中疗，为d e w 掘s 势的有效作用程 吼= ( 2 心序2 ) l 4 ( 4 5 ) 显然，对d 第图章弹性碰撞特性计算结 表4 77 三f 舔子单重态散射长度和有效力稷( 单位：a u 。) 量非常低时，弹性散射总截面近似为一常数盯= 8 石口2 ，此时只存在s _ 波散射。d - 和g 波的 离心势垒高度分别为e 肛。= 5 3 m 詹和吲k = 3 2 0 7 搬| j ，如此高的势垒高度是， o 的分波对 散射无影响的根本原因。随蓑碰撞能数的增加，其它分波开始参与散射。由于形状共振的 产生计算的总弹性散射截蘧中有共振蜂出现。垂和g 波发生形状共振的共振能级位置和宽 度分别为1 6 9 1 0 4 口斟( 共振宽度1 4 2 1 0 _ 9 以玑) 帮l 。8 8 l o 。g 乩( 共振宽度7 。2 8 l o _ ”口搿) 。 形状共振可以在高分辨率的光谱实验中观测判。 c o i l i s i o ne n e r g y ( a 。u ) 幽4 2 0 完全自旋板化2 3 总弹性散射截面 通过微分散射截露可以提供研究原子之润相互作用势的详细信息【删。在弹性教射中仅 5 0 一n辱苫。一苍 和赝标量夸克对的九重态密度为： 第网章弹性磁撞特性计算结 蠢s 和d 波存在时，微分散射截面为 篆叫商+ 予可锄| 2 l l r1 ( 4 6 ) = 七。l4 s i n 2 民+ 2 5 s i n 2 龟( 3 c o s 2 秽一1 ) 2 + 2 0 s i n 氏s i n 也c 。s ( 瓯一皖) ( 3 c o s 2 毋一1 ) l l i 磊一 式中“s + d 干涉顼”是纯羹子效应引起的。我们研究了2 3 砬原子在发生d 波彤状共振附 近碰撞能量为e = 1 6 8 l o 。8 a u 的微分散射裁两，计算结果如图4 2 l 所示。散射截面中有共 振和小角度下有尖锐的隆前教射峰是微分