（应用数学专业论文）债券期权定价的近似方法.pdf

东北大学硕士学位论文 摘要 债券期权定价的近似方法 摘要 股票期权于1 9 7 3 年首次在有组织的交易所内进行交易，从此，期权市场发展 十分迅猛。 期权交易的发展引起了众多学者的极大关注。b l a c k 博士和s c h o l e s 教授首先 给出了计算欧式看涨期权的一个定价模型，m e r t o n 教授和其他学者加以推广和完 善。这个模型和各种推广被广泛应用于股票期权定价、股票指数期权定价、货币 期权定价等等。1 9 9 7 年度的诺贝尔经济学奖授予s c h o l e s 教授和m e r t o n 教授，以 表彰他们在期权定价理论方面做出的杰出贡献。 然而，对于美式期权的价格，并不存在解析公式，也就无法求得精确解。因 此，发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义。目前比较成熟 的数值方法有三类：蒙特卡罗方法，有限差分方法，二叉树方法。 本文首先介绍了一些和期权定价理论相关的基本内容，然后对常用的期权定 价的二叉树模型进行了分析。尽管原有的二叉树模型在大多数情况下可以得到比 较令人满意的结果，但在某种情况下会产生负的概率，使得模型失去意义，不能 求解。文中借助随机误差矫正的思想，重新构造二叉树模型，新的模型永远不会 产生负的概率且具有很高的计算精度，而且我们采用新的二叉树模型对债券期权 价格问题进行了求解，通过数值例子验证了新方法的有效性。 关键词债券期权定价，b l a c k s c h o l e s 模型，二叉树模型，参数构造 i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r c t t h e a p p r o x i m a t e m e t h o d sf o r b o n d o p t i o np r i c i n g a b s t r a c t o p t i o n so ns t o c k sw e r ef i r s t t r a d e di no r g a n i z e de x c h a n g ei n1 9 7 3 s i n c et h e n ， t h e r eh a sb e e nad r a m a t i cg r o w t hi no p t i o nm a r k e t s t h ed e v e l o p m e n to fo p t i o n t r a d i n g a r o u s e dc o n s i d e r a b l ei n t e r e s t a m o n gt h e a c a d e m i cc o m m u n i t y d o c t o rb l a c ka n dp r o f e s s o rs c h o l e sf i r s tg a v ea no p t i o np r i c e f o r m u l at oc a l c u l a t ee u r o p e a nc a l lo p t i o n p r o f e s s o rm e r t o na n do t h e rs c h o l a r se x t e n d a n dc o m p l e t ei t t h i sm o d e la n di t sv a r i o u se x t e n s i o n sh a v eb e e nw i d e l yu s e dt op r i c e s t o c ko p t i o n s ，s t o c ki n d e xo p t i o n s ，c u r r e n c yo p t i o n se t c t h en o b e lp r i c ei nf i n a n c eo f 1 9 9 7w a sg i v e nt op r o f e s s o rs c h o l e sa n dp r o f e s s o rm e r t o nf o rt h e i rd i s t i n c tw o r ki n o p t i o np r i c i n gt h e o r y h o w e v e r , t h e r e a r e n ta n a l y t i c a lf o r m u l a sf o ra m e r i c a no p t i o n s s ow ec a n n o tg e t e x a c ts o l u t i o n s h e n c e i ti sv e r yi m p o r t a n tt od e v e l o pav a r i e t yo fn u m e r i c a la n a l y s i s m e t h o d st ov a l u ea m e r i c a no p t i o n s n o wt h e r ea r et h r e ek i n d so fm a t u r en u m e r i c a l m e t h o d s ：t h e ya r em o n t ec a r l om e t h o d s ，f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d sa n db i n o m i a lt r e e m e t h o d s i nt h i st h e s i s ，w ef i r s ti n t r o d u c es o m ec o n c e p t sr e l a t e dt ot h eo p t i o np r i c i n gt h e o r y , a n dt h e n a n a l y z e t h ed e f e c t si nt h eu s u a lb i n o m i a lt r e em o d e lo fo p t i o n p r i c i n g a l t h o u g hi nm o s ts i t u a t i o n st h eo r i g i n a lb i n o m i a lt r e em e t h o d sm a yg i v eh ss a t i s l y i n g r e s u l t s ，s o m e t i m e st h i sp a r a m e t e rm o d e l c a nn o tb eu s e d ，b e c a u s ei tc a n y i e l dn e g a t i v e p r o b a b i l i t y l i g h t e db y t h et h o u g h to fs t o c h a s t i ce r r o rc o r r e c t i n gm e t h o d ，an e w t y p eo f b i n o m i a lt r e e p a r a m e t e rm o d e li s c o n s t r u c t e d t h en e wm o d e lc a na v o i dn e g a t i v e p r o b a b i l i t ya n dp o s s e s s e sv e r yh i g ha c c u r a c y , a n dw e r i s ei tf o rt h eb o u n d o p t i o np r i c i n g t h er e s u l t so fn u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h ee f f e c t i v c h e s so ft h en e wm o d e l k e y w o r d s b o n d o p t i o np r i c i n g ，b l a c k s c h o l e sm o d e l ，b i n o m m t r e em o d e l p a r a m e t e rc o n s t r u c t i n g i i i 声明 本人声明所呈交的学位论文及其研究工作是由本人在导师指导下 独立完成的。论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得其它 学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意，在完成论文时所利用的一 切资料均已在参考文献中列出。 本人签名： 鼓萍 日 期：2 口。；冬，j 日q 东北大学硕士学位论文主要符号表 期权的价格 资产的当前价格 在r 时刻资产的价格 资产价格的波动率 资产价格的预期收益率 期权的执行价格 期权的到期时间 期权的现在时间 无风险利率 红利收益率 欧式看涨期权的价格 ( 1 ) 欧式看跌期权的价格( 2 ) 在- - - x 树模型中向上运动的概率 美式看涨期权的价格 美式看跌期权的价格 标准正态随机变量 标准f 态分布中变量小于x 的累计概率 变量的期望值 在二二叉树模型中a t 时间内标的变量在风险中性世界中的增长率 在二叉树模型中价格下跌的比率 在二叉树模型中价格上升的比率 遵循维纳过程的变量 证券组合的价值 债券的当前价格 一i v 矿 s s 盯 e 丁 ， r g c p c p 占 叭 研 口d j 玎b 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 第一章期权定价的基本理论 衍生证券是一种金融工具，其价值依附于它的更基本的变量。例如，债券期权 就是一种衍生证券萁价值依赖于债券的价值。在金融领域中衍生证券变得越来越 重要，丽期权又是最重要的金融衍生工具之一。自1 9 7 3 年在美国首次进行期权交 易以来，期权市场的发展十分迅猛。几十年来人们一直广泛地将这种方式用于谷 物、资本等实物和股票、利率等金融资产的交易当中，为自己的交易活动避免风 险或投机获利。 本章将对期权定价的基本概念、理论作一些介绍，它们是以后各章中所涉及 到的概念和模型的基础。 1 1 期权的定义 在投资领域内，期权f o p t i o n ) 是双方当事人的一种合约形式，根据合约，一方 赋予另一方在特定的时间或这个时间之前，以一个特定的价格购买或出售一定数 量的某种特定资产的权利，但并不承担必须购买或出售的义务。接受这种权利并 做出决策的一方叫期权的购买方，也称多头方，他必须为获得该种权利而支付费 用，这笔费用叫期权的权利金( p r e m i u m ) ；出售期权的一方叫期权的卖方，也称空 头方，他得到期权买方支付的费用，因此要对期权买方的决策承担责任。 合约中的特定时闻叫做期权的到期1 j ( e x p i r a t i o nd a t e ) ，特定的价格叫做期权 的执行价格( e x e r c i s ep r i c e ) ，它是与当时市场的现行价格相对应的。进行买或卖的 某种资产又称标的资产或标的物m n d e r l y i n g a s s e t ) 。 1 2 期权的要素 ( 1 ) 有效期限 期权的有效期限是指在期权合约签订生效至期权合约到期这一段时间，是期 权交易的重要内容。在这段时间内，期权的购买者在市场价格有利时，根据不同 的期衩种类，有权在到期日或在此之前的某一天，要求行使所赋予的购买或出售 某一标的资产的权利，而期权的出售者必须履行从购买者手中购买或出售某一标 的资产的义务。如果期权的购买者在期权合约规定的到期日之前没有行使期权， 那么该期权台约不再有效，期权的购买者在期权合约规定的到期同之后，不再捌 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 有合约赋予的权利，期权出售者也相应地解除了履约的义务。 ( 2 ) 标的资产的种类、数量 期权合约中对标的资产的种类、数量有明确的规定，期权交易的标的资产品 种很多，按其性质不同可分为实物性商品期权和金融性商品期权。 实物性商品期权包括粮食、原油、金属等。金融性商品期权包括货币、利率、 证券、股票指数等金融工具。期权的标的资产既可以是上述商品的现货，也可以 是期货合约。 ( 3 ) 执行价格 期权的执行价格又称履约价格或敲定价格，是事先确定的标的资产的交易价 格。执行价格的高低主要受两个因素的影响：一是市场价格的走势；二是期权有 效期限的长短。如果市场价格上涨，看涨期权执行价格应比市场价格略高，反之， 如果市场价格下跌，看跌期权执行价格应比市场价格略低。 ( 4 ) 权利金 权利金又称期权价格( o p t i o np r i c e ) ，它是期权购买或出售的价格。是期权的购 买者在购买期权时，为获得权利而向卖方支付的费用。它是期权合约中的唯一变 量，其大小取决于期权合约的性质、到期月份及执行价格等各种因素。 1 3 期权的分类 期权的分类标准有许多种。按不同的标准可以将期权分为以下几类： ( 1 ) 欧式期权与美式期权 按照期权行使的时间不同，期权可分为欧式期权f e u r o p e a no p t i o n ) 与美式期权 ( a m e r i c a no p t i o n ) 。欧式期权规定购买者只能在期权合约到期日才。能选择行使期权 所赋予的买进或卖出的权利，美式期权则允许期权购买者在期权合约有效期内任 何一个交易日选择行使权利。由于美式期权不像欧式期权那样把行使权利的时间 限定在到期同，从而具有比欧式期权更大的灵活性。美式期权购买者可以选择一 个最有利的时机行使其权利，而欧式期权的情况就不同了，即使合约有效期内出 现过很有利的价格水平，欧式期权的购买者也不能提前行使其权利，而必须等到 到期日，可是等到到期日时，有利的价格水平可能不那么有利了，甚至消失或变 得不利。显然，对于期权购买者而言，美式期权更为有利，反过来，美式期权的 出售者面临的风险要高于欧式期权的出售者。正因如此，美式期权的权利金比欧 式期权的高，这是美式期权出售者承受高风险的一种补偿。虽然如此，欧式期权 这种方式并不妨碍期权合约的流动性，例如，买入买进期权者可以在适当时机将 l 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 手中的期权合约在市场上卖出。 ( 2 ) 看涨期权、看跌期权、双向期权 根据期权购买者所拥有权利性质的不同，期权交易可分为看涨期权、看跌期 权和双向期权等。 看涨期权( c a l lo p t i o n ) 又称买进期权、多头期权。看涨期权赋予期权购买 者在未来某一时日或某一日期之前按期权合约的执行价格买进某种规定数量的标 的资产的权利，而不是义务。通常情况下，只有当标的资产价格上升或者人们预 期该种标的资产价格将要上涨，而且上涨的幅度要足够大，以至于能够补偿其购 买看涨期权权利金后还有盈余时，才会行使其购买的权利。( 看涨期权的购买者既 可以当价格有利时行使购买权利，也可以在市场上将其看涨期权卖掉，从中赚得 买卖期权时所支付和得到的权利金的差额。) 如果看涨期权不像购买者所预期得那 样上涨，反而下跌，看涨期权的购买者也有两种选择：其一，让期权自动作废， 损失其购买时支付的全部权利金；其二，将看涨期权合约削价出售( 这时的买者 是那些对市场仍抱有希望的投资者) ，以弥补部分权利金损失。 看跌期权( p u to p t i o n ) 又称卖出期权、空头期权，与看涨期权是相对应的。 看跌期权赋予购买者在未来某时日或某一日期之前按期权合约的执行价格卖出 某种规定数量的标的资产的权利，而不需要承担义务。只有当标的资产价格下跌 或者预期下跌时，人们才会有兴趣购买看跌期权。在期权合约有效期内，只有当 市场价格跌到一定程度，行使权利可以弥补购买期权的支出而有盈余时，才会行 使看跌期权，或当价格下跌，看跌期权的权利金上升时，直接卖掉期权合约。必 须注意的是在期权交易中，看涨期权与看跌期权之间，并不存在买卖对应关系， 就每一个看涨期权来说，都有一个买方、个卖方；同样，每个看跌期权，也都 有一个买方和一个卖方，也就是说，每一个期权形式都有一个买方和一个卖方， 而这两个期权之间并不是买卖关系。 双向期权( d o u b l eo p t i o n ) ，又称套作期权、对敲。双向期权是指期权购买者 在同一时间内既买进看涨期权，又买进看跌期权的期权交易形式。在市场价格剧 烈波动而人们对市场价格变动方向难以预测时，人们为了避免损失、降低风险， 可以选择购买双向期权。在市场价格剧烈波动时，如果人们只购买单个看涨期权 或看跌期权，万一行情朝着相反的方向变动，购买者就会遭受一定的损失，如果 购买双向期权，无论行情朝哪个方向变动，购买者都不会遭受太大的损失，甚至 有机会获利。如果购买的是美式期权，在期权合约有效期内，行情有涨有跌，购 买者可以根据有利的行情交替行使两个期权，即在行情上涨时行使看涨期权或卖 3 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 出看涨期权，当行情下跌时，行使看跌期权或卖出看跌期权，则可获取较大收益。 ( 3 ) 场内交易期权与场外交易期权 按其交易地点划分，期权交易可分为场内交易和场外交易期权。 所谓场内交易期权是指在有组织的交易所或外汇交易中心等固定场所进行的 期权交易。而在上述固定场所以外的，以电话形式进行的期权交易叫做场外期权 交易，场外期权交易又叫柜台期权交易。 所有场内期权交易都有以下几个共同特征：一是公开叫价制，公开叫价促进 了市场流动性的加强和交易业务的发展，由于采取集中交易方式及采取公开叫价 制，增强了期权交易价格的透明度，使得少数人对期权的价格操纵或垄断受到了 限制。二是交易业务标准化，所有交易所对期权合约的期限、执行价格、履约程 序、权利金都实行标准化。三是实行清算公司制，期权清算公司是每笔期权交易 的中间人，是所有买方的卖方和所有卖方的买方，清算公司运用电脑清算每笔期 权合约易，同时还为每笔挂牌期权合约担保，即如果有某个期权卖者不履行合约， 清算公司有责任代其履约。 同场内期权交易相比，场外期权交易有几个明显的差别：首先，场外期权交 易对期权到期同、执行价格、履约程序、权利金等都没有一个标准化要求，由期 权买卖双方协商解决，一般来说，场内交易合约的金额都很大，而场外交易既可 以做大额交易，也可以进行零星买卖。再次，场外交易市场是个电话市场，可以 提供昼夜2 4 小时服务，交易者可以根据不同的时间，在不同的金融中心进行交易， 避免因时差不同价格变动而蒙受损失。同场内期权交易相比，场外期权交易的最 大特点是灵活。 场内交易与场内交易不断相互竞争，其结果使得双方不断地进行改进，例如， 场内交易采取延长交易时间，增加合约的合约价值以满足对大额合约需求，而场 外交易则采取标准化的措施。不管是场内期权交易，还是场外期权交易，都有各 自的优点，相互竞争，形成了相互促进，共同发展的局面，对双方的发展都非常 有利。 ( 4 ) 实值期权、平值期权、虚值期权 根据期权执行价格与市场价格的关系，期权交易可分为实值期权、平值期权、 虚值期权( i n t h e - m o n e y ，a t t h e m o n e y ，o u t o f - t h e m o n e v ) 。 实值期权是指如果期权立即履约，买方具有正的现金流。 平值期权是指如果期权立即履约，买方的现金流为零。 虚值期权是指如果期权立即履约，买方具有负的现金流。 4 一 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 在实际交易中，实值期权较为少见，常见的是虚值期权或平值期权。 实值期权、平值期权、虚值期权与看涨、看跌期权的关系见表1 1 表1 1 实值期权、平值期权、虚值期权与看涨、看跌期权的对应关系 t a b l e1 1t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ni nt h em o n e y , a tt h em o n e y , o u to ft h em o n e y o p t i o na n dc a l l ，p u to p t i o n 看涨期权看跌期权 l实值期权市场价格 执行价格市场价格 执行价格 l平值期权市场价格= 执行价格市场价格= 执行价格 1虚值期权市场价格( 执行价格市场价格，执行价格 1 4 期权的类、属、种 在任何给定的时间，对于任何给定的资产，可能有不同的期权合约同时在交 易。按照惯例，同一标的资产的所有的看涨期权属于同一大类，所有的看跌期权 属于同一大类，同一“类”( o p t i o nc l a s s ) 中的具有同- n 期日的属于同一“属” ( o p t i o ns e r i e s ) 。在同一“属”的期权中，还可按期权的执行价格的不同分为不同 的“种”( o p t i o nc a t e g o r y ) 。 期权的类、属、种的内涵及相互关系如表1 2 表1 2 期权的类、属、种的内涵及相互关系 t a b l e1 2t h em e a n i n g so fo p t i o nc l a s s ，s e r i e s ，c a t e g o r ya n dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e m 类属种 看涨或看跌明权属丁同一标的资产 同一标的资产 到期日 相同的到期日 同一标的资产相同的 执行价格 到期日同一执行价格 1 5 期权的特点 不管期权的划分标准是否相同，期权都表现如下特点： ( 1 ) 期权交易的对象是一种权利，既买进和卖出某种标的资产的权利，但并不承 担一定要买进或卖出的义务。 一5 一 东北大学硕士学位论文第一章期权定价的基本理论 ( 2 ) 期权购买者所拥有的权利具有很强的时间性，它必须在期权合约规定的某一 同或某一日以前行使，超过规定的有效期限，期权合约自动失效，期权购买者的 权利即告失效。 ( 3 ) 购买期权具有风险有限而受益无限的特点，期权投资可以以小博大，具有杠 杆效应。期权购买者在购买期权后，在期权合约有效期内拥有以执行价格购买或 出售标的资产的权利，但并不需要承担购买或出售标的资产的义务，而期权出售 者在售出期权后，在期权合约有效期内，一旦期权购买者要求行使权利，期权出 售者必须无条件履约，而不管价格水平如何。由上面可以看出期权购买者只有权 利而不必承担义务，相反，期权出售者则必须履行义务而没有权利，这种权利与 义务的不对称性也表现在风险与收益的不对称性上。就期权购买者而言，他所承 担的最大风险是为购买期权所支付的权利金，当期权购买者在有利价格下行使期 权时，可能取得无限的收益，反过来，期权出售者可能获得的最大利润是期权权 利金，而一旦期权合约的标的资产价格发生剧烈波动而购买者行使期权，期权出 售者将不得不履行义务，从而原则上有遭受无限损失的可能性，正因为期权交易 具有这种收益与风险的不对称性，我们说期权具有杠杆效应。 1 6 期权价格的构成 期权合约要素中唯一的变量是权利金，权利金就是期权的价格。因此，期权 的定价就是对权利金的理论价值进行计算。影响权利金的因素很多，使期权定价 成为一个复杂的问题。 根据持有成本理论，期权价格要受到标的资产价格的影响。期权执行价格与 当前标的资产价格的关系常用内涵价值这个概念来分析，与未来标的资产价格的 关系用时问价值来分析。期权价格主要由内涵价值和时间价值两部分构成。 1 6 1 内涵价值 内涵价值( i n t n n s i c v a l u e ) 是期权买方立即履行合约时可获取的收益，它反映 了期权合约执行价格与标的资产的市场价格之间的关系。 对看涨期权而言，内涵价值= 标的资产市价合约执行价； 对看跌期权而言，内涵价值= 合约执行价标的资产市价。 实值期权的内涵价值) 0 ，平值期权的内涵价值= 0 ，虚值期权的内涵价值。0 。 6 东北大学硕士学位论丈 第一章期权定价的基本理论 1 6 2 时间价值 时间价值( t i m ev a l u e ) 对期权卖方来说反映了期权交易期间内的时间风险， 对期权买方来说反映了期权内涵价值在未来增值的可能性。可以这样理解，期权 买方希望随着时间的延长，标的资产价格波动可能使期权增值，因而愿意支付高 于内涵价值的权利盒，期权卖方由于要冒时i nj x l 险，也要求高于内涵价值的权利 金。 通常，期权有效期越长，期权的时间价值越大，如7 月某日某时点，对于同 一执行价格同一标的资产的买权来说，1 2 月到期的比9 月到期的权利金要高。随 着期权i 临近到期日，其时间价值逐渐变小，期权到期时，也不再具有时间价值。 1 7 期权的收益与损失 为了更好的理解期权定价，我们先讨论一下欧式看涨和看跌期权在到期日可 能发生的交易和其损益结果。 1 7 1 欧式看涨期权的收益与损失 在到期目，若s ，e ，期权的买方可立即行使期权，按执行价格买进，市场价 格卖出。如果买方不想执行期权，他可卖掉它。获得的交易利润是s 一层。在上述 两种情况中，期权的价格c 必是s e 。 如果期权价格cts e ，我们可以买一期权并立即执行它，就可以得至0 无风 险收益s e c 。因此，套利者的存在将会抬高看涨期权的价格。 如果期权价格c ，s e ，套利者又会卖掉看涨期权，同时买入标的资产，或 者由于看涨期权的购买者认识到一c + s ec0 ，没有人愿意以价格c 买入看涨期 权，使得看涨期权的价格趋于下降。 在到期日，若sc e ，期权的买方必须选择不执行期权，否则它会有e s 的 损失，在这种情形下，该期权在到期日是无价值的。因此，在到期日看涨期权的 价格必为 c ( s ，t j = m a x ( s e ，0 ) ( 1 1 ) 如图1 1 ，我们可以看到在到期日看涨期权的价格c 为标的资产价格s 的函数。 一7 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 c o 图1 1 在到期日看涨期权的价格 f i g u r e1 1 t h ec a l lo p t i o np r i c ea te x p i r a t i o n 现在，我们再来看一下，在到期日，看涨期权的买方的损益是如何依赖于资 产的价格的。 若s ，e 期权的买方选择执行期权，此时他的收益是s e c 。 若sce ，期权的买方选择不执行期权，此时他的损失仅为期权的价格c 。 如图1 2 ，我们可以看到在到期日看涨期权的持有者的损益情况。 0 一c l o s s e 。 - 图1 2 在到期日看涨期权的收益与损失 f i g u r e1 2 t h e p a y o f fo f ac a l lo p t i o np r i c ea te x p i r a t i o n 1 7 2 欧式看跌期权的收益与损失 类似于看涨期权的讨论，我们可以得到欧式看跌期权在到期f 了可能发生的交 易和其损益结果。 一8 一 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 在到期几，若s ，e ，该期权在到期日是无价值的。 在到期日，若sc e ，期权的价格p 必是e s 。 因此，在到期日看涨期权的价格必为 p ( s ，t ) = m a x ( e s ，0 ) ( 1 2 ) 如图1 3 ，我们可以看到在到期日看跌期权的价格p 为标的资产价格s 的函数。 o 图1 3 在到期日看跌期权的价格 f i g u r e1 3 t h e p u to p t i o np r i c ea te x p i r a t i o n 如图1 4 ，我们也能看到在到期日看涨期权的持有者的损益情况。 g a i n e - p d 节 l o s s j 。 5 图1 4 在到期日看跌期权的收益与损失 f i g u r e1 4 t h e p a y o f f o fap u to p t i o np r i c ea te x p i r a t i o n 一9 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 1 8 标的资产价格的行为模式 如果某变量的价值以某种不确定的方式随时问变化，则称该变量遵循某种随 机过程( s t o c h a s t i cp r o c e s s ) 。随机过程描述了变量的概率随时间的发展变化。 马尔科夫过程( m a r k o vp r o c e s s ) 是一种特殊类型的随机过程。这个过程说明 只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演 变方式则与未来的预测不相关。 维纳过程( w i e n e r p r o c e s s e s ) 是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。 设一个小的时间间隔为出，变量x 在缸内的变化为a x ，要使盖遵循维纳过 程，a x 必须满足两个基本性质： 性质1 ：石与f 的关系满足方程a y = f其中e n ( o ，1 ) 性质2 ：对于任何两个不向时间间隔a t ，a x 的值相互独立。 性质2 隐含了工遵循马尔科夫过程。 现在我们假设在时刻r 资产的价格是s ，经过时间出后，资产价格相应的变化 为d s ，如何刻画出后资产价格的收益比掣? 通常的模型是将其分成两个部分。 6 第一部分是可预测的，预测的收益为t d t ，其中脚是单位时间内资产价格的预期收 益率。第二部分相应与外界影响的随机变化，它被表示成为一个服从正态分布的 随机样本，记为仃d z ，其中d x = g 出，盯是标的资产的波动率。 合并两个部分，得到随机微分方程： 竺：“d t 十a d x( 1 3 ) 1 d 一 东北大学硕士学位论丈 第二章b la c k s c h 0 1 e s 模型 第二章b ja c k - s c h oie s 模型 在西方市场经济较发达的国家，期权在金融市场和财务管理等领域锝到了广 泛的应用，已成为一种有效的避险工具、投机获利工具和管理工具。随着期权被 广泛而卓有成效地应用，产生了一系列的期权定价理论，其中最有影响的是1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 创建的期权定价模型，该模型一直被认为是应用经济学最成功 的模型。本章对b l a c k s c h o l e s 模型进行阐述。 2 1i t o 定理 一个期权的价格是时间t 和标的资产价格s 的函数。更一般地，我们可以说任 何一种衍生证券的价格是这些衍生证券标的资产这个随机交量和时间的函数。为 了研究衍生证券，我们必须对随机变量函数的行为有所了解。在这一领域的一个 重要结论是由一个口qk i t o 的数学家在1 9 5 1 年发现的，因此称其为i t o 定理。 i t o 定理 假设变量x 遵循i t o 过程：d x = 口沁t ) d t + 6 k f ) 凹，其中d x 是一个维纳过程， 则z 和t 的函数g 遵循如下过程： d g ：f 丝口+ 丝+ 三粤6z k + 塑6 d x ( 2 1 ) i o xo t2o x 2 j缸 i y _ b 蝎：由假设变量x 遵循 t o 过程：d x = 口( x ，f 妞舶( x ，f ) 髓，g 是x 和f 的函数， 根据泰勒公式我们有 a g o g 一缸+ 塑& 十! 驾缸：+ 塑龇+ 三驾血。+ o xa t2o x 2 o x o t2a t 2 将改= 日k 净+ 6 k f 皿进行离散化处理，可表为 缸= n ( x , t ) a t + 6 r ) 甜 或简记为x = a a t + b a x ，0 x 2 = ( a a t + 6 z ) 2 ；口l 2 a t2 + 2 a b a t a x + 6 2 石2 因为麟和出是同阶无穷小，所以当a t 一0 时，a x 2 一自z a x2 。 已知心：面，则必2 ：z f 东北大学硕士学位论文第二章b l a c k s c h 0 1 e s 模型 因为s n ( o a ) ，所以e ( s ) ；0 ，d ( e ) = 1 又根据方差的定义d ( s ) = e ( s2 ) 一陋0 ) 2 所以有e b2 ) ：1 ，进而有e - 2 a t ) ：出，d ( s2 出) = 血2 d - 2 ) 即e2 f 的方差的阶数为出2 。因此，当出一0 时， 2 a t 变为非随机项且等于对出 的期望值，即当缸一0 时，a x 2 一出运用这一结果我们得到 d g ：堕出+ 塑出+ 三堡6 ：出 ：粤( a d t + 脚) + 丝出+ 一11 0z g b 2 d t 船 7 o t2 缸2 ；f 豢。+ 詈+ 三窘。2 p + i o g a d x 从上面的推导中我们可以看出，正是因为d x 和4 - d 是同阶无穷小，才在d g 的 表达式中有讲这一项。d t 在我们以后的分析中扮演着一个非常重要的角色。而对 于艘。其它形式的刻画都不能导出我们所发现的这个结果。如果d z ，) 4 - d ，那么 这个随机变量将立刻趋于零或无穷；而如果越c c 万则当出一。时，这个随机变 量将消失。 从( 1 3 ) 式我们得到 d s = k t s d t + c r s d x ( 2 2 ) 再由i t o 定理，我们可以得出s 与f 的函数g 遵循的过程为： d g = ( 詈s + 詈+ 丢窘。2 s2 卜+ 面o g 口s 橱 c z 剐 2 2 b l a c k s c h o i e s 微分方程的基本概念 b l a c k s c h o l e s 定价方法是构造种包括衍生证券头寸和标的资产头寸的无风 险汪券组合r 并设定其收益率等于无风险利率。在b l a c k s c h 0 1 e s 分析中，建立的 证券组合仅在很短的时间内保持无风险状态，而可以证明，在无套利机会条件下， 1 2 东北大学硕士学位论文第二章b 1 a c k s c h 0 1 e s 模型 该证券组合的收益必定为无风险利率。 可以建立无风险证券组合的原因是标的资产价格和衍生证券的价格都受同一 种基本的不确定性的影响：即标的资产价格变动。在任意一个短时期，看涨期权 的价格与标的资产的价格总是正相关，看跌期权的价格与标的资产的价格总是负 相关。在两种情况下，如果建立一种恰当的标的资产和衍生证券的证券组合，标 的资产头寸的盈利( 损失) 总是会与衍生证券的损失( 盈利) 相抵消，因此在短 时期末证券组合的总价值也就确定了。 推导b l a c k s c h o l e s 微分方程用到如下假设： ( 1 ) 标的资产价格遵循肌盯为常数的随机过程。 ( 2 ) 允许使用全部所得卖空衍生证券。 ( 3 ) 没有交易费用或税收。所有证券都是高度可分的。 ( 4 ) 在衍生证券的有效期内没有红利支付。 ( 5 ) 不存在无风险套利机会。 ( 6 ) 证券交易是连续的。 ( 7 ) 无风险利率r 为常数且对所有到期日都相同。 2 3b ia c k s c h o i e s 微分方程的推导 假设我们已知有只依赖于资产价格s 和时间f 的期权，它的价格为矿( s ，r ) 。由 i t o 定理知： d 矿2 ( 芸- “s + 詈+ 丢豢盯2 s 2 ) 出+ 尝盯s 栅 现在我们用一个期权和n 个标的资产构造一有价证券组合， 这个有价证券组合的值为： ( 2 4 ) 其中n 是待定的。 在一个小时问段内，这个有价证券组合值的变化为： d 兀= d v n d s 由上面的( 2 2 ) ，( 2 4 ) ，( 2 6 ) 我们得到满足的随机过程： d 1 7 ( o v 肼i o vt 豢积2 叫s h 詈斗s 舾 ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 东北大学硕士学位论文 第二章b l a c k s c h o i t s 模型 注意，如果我们取 a 矿 = o s 则( 2 7 ) 式中可消去删，且有 ( 2 8 ) 肌降a t1 2 尝a s 叫出 乜， l 2 7 因为上式不含有时，经过a t 后有价证券组合必定没有风险。从上面的 假设可以得出该有价证券组合的瞬时收益率一定与其它短期无风险证券收益率相 同。 这是因为如果该有价证券组合的收益率大，套利者就可以通过卖出无风险 证券，然后用收入购买该有价证券组合以获取无风险利益；相反，如果该有价证 券组合的收益率小，套利者就可以通过卖出该有价证券组合，然后用收入购买无 风险证券来获取无风险利益。所以结果应该是：d i i = r f l d t ，其中r 为无风险利率。 代入上式我们有 砌= f 坐o t + 1 2 祟a s 拥2 卜 c z i 。 j 将( 2 5 ) ，( 2 8 ) 代入上式，且两边同时除出，我们得到： 娑+ 三仃2 s ：娶+ r s 里一r 矿：0 ( 2 1 1 ) m20 s 。a s 方程( 2 。1 1 ) 就是著名的b l a c k s c h o l c s 微分方程。对应于所有可用标的变量s 定义的不同衍生证券，此方程有许多解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于 使用的边界条件。 2 4 风险中性定价 风险中性定价是衍生证券分析的一个最重要的工具。它来源于b l a c k s c h o l e s 微分方程( 2 1 1 ) 的一个关键性质。这一性质是该方程不包含任何投资者的风险偏 好影响的变量。方程( 2 1 1 ) e p 出现的变量为标的资产当前价格、时间、标的资产 价格方差和无风险利率。它们都独立于风险偏好。 如果b l a c k - s c h o l e s 微分方程中包含标的资产的预期收益“，那么它将不独立 东北大学硕士学位论丈第二章m a c k s c h o l e s 模型 与风险偏好。然而，幸运的是，在方程的推导中“恰好被削掉了。b l a c k s c h o l e s 微分方程独立于风险偏好这一事实使我们可以使用一个很巧妙的论点，如果方程 中不存在风险偏好，那么风险偏好将不会对其解产生影响。因此，在对矿进行定 价时，我们可以使用任何一种偏好，特别地，可以提出一个非常简单的假设：所 有的投资者都是风险中性的。 在一个所有投资者都是风险中性的世界里，所有证券的预期收益率皆为无风险 利率r ，因为风险中性的投资者并不需要某种补偿促使他们承担风险。而且在风险 中性的世界中，将其期望值用无风险利率贴现可获得任何现金流的现值。世界是 风险中性的假设很大程度上简化了衍生证券的分析。 我们应当认识到，风险中性的假设是一个求解b l a c k s c h o l e s 微分方程的人为 假设，获得的方程解对于所有世界都有效，而不仅仅是风险中性世界。当我们从 风险中性世界进入到风险厌恶世界时会发生两件事情：标的资产价格的期望增长 率改变了，在衍生证券任何损益中所用的贴现率也改变了。然而这两件事的效果 总是正好相互抵消。 2 5 b ia c k - s c h o l e s 定价公式 上面我们已经推导出了b l a c k s c h o l e s 微分方程，运用该方程我们可以推导出 债券欧式看涨期权和看跌期权的价值。 2 5 1 欧式看涨期权定公式 现在必须考虑期权的终值和边界条件，否则偏微分方程( 2 1 1 ) 没有唯一解。 ( 1 ) 终值条件 通过1 7 节的讨论我们知，当r ：r 时，欧式看涨期权的价值必为 c ( s ，t ) = m a x ( s e ，0 )( 2 1 2 ) ( 2 ) 边界条件 资产价格的边界条件有两种情况：即s ：0 和s 一。 j g s = 0 ，从( 2 2 ) 我们可以看出d s = 0 ，即s 永不变化，则在到期日收益为 零。因此，当s = 0 时，甚至距到期日还有很长一段时间看涨期权的价值为零。我 们有 c ( o ，t ) = 0 1 5 ( 2 1 3 ) 若s 一。，即资产价格趋于无穷，期权会被执行并且执行价格变得越来越不 重要。因此，当s m 时，期权的价值变成资产的价格，即有 c ( s ，t ) 一s ( 2 1 4 ) 当利率r 和波动率口是常数时，我们可解出欧式看涨期权问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ( 2 1 4 ) 的精确解： c ，f ) = s n ( d 。) 一e e ”( 7 。( d ：) ( 2 1 5 ) 其中b ) = 忑1 j - ；e _