（计算数学专业论文）若干组合序列的矩阵研究.pdf

摘要 本文试图在经典组合序列与矩阵技术之间的联系上做些工作。具体内容如下： 1 研究了二项式系数( ：! ) 、；希i ( “訾“) 、( 肄i ) 、满足条件t = a n - ，* 一- + n 。吐e 的序列。及它们所组成的矩阵及性质得到了一些有价值的组合恒等式。 2 研究了l a b 数z ( n ，k ) = ( n j 市n - - 靠1i 及由它所组成的矩阵l n ，建立了l a b 矩阵与 p a s c a l 矩阵、s t i r l i n g 矩阵间的联系，得到了l a b 矩阵的乘积分解与幂和形式。 3 不少学者研究了形如( ；) 妒州( z ) 所组成的矩阵及性质，其中妒。( z ) 有扩，z 小等 形式。本文研究了更一般的矩阵k 吲= ( 啦j ) 【p 叫( z ) ) 。，其中f ( n ，女) 胁( z ) 分别满足： 球，娜渤训蜘，( i - j ) ，州蚪加k 壹= o g ) 洲咖一( v ) 实际上，( 。) 就是二项式型多项式。得到的结果更具一般性。 4 f i b o n a c c i 序列更是由于其历史悠久，应用广泛而引人如胜。本文研究了二次线 性递推序列( 或称双变量f i b o n a c c i 序列) ： r + 1 ( 口， ，2 ) = a f ( a ， ，f ) + 只一( ， ，2 ) n j 考察了几种特殊情形，得到了一些相关组合恒等式。 构造了一个广义的t r i b o n a c c i 矩阵：一；ivo ，i 研究了三次线性递推序列： ：oo r + l = z r4 - g r l + 2 r 一2 ，= 0 ，n = 1 ，t 2 = z 通过二次线性递推序列的几种特殊情况和建立三次线性递推序列与f i b o n a c c i 数 的联系，得到了一些组合恒等式及关于f i b o n a c c i 数的有趣表达式。 关键词：二项式系数；l a b 数；s t i r l i n g 数；f i b o n a c c i 序列；p a s c a l 矩阵；s t i f l i n g 短阵；l a h 矩阵；二项式型多项式 a b s t a c t w ei n t e n dt oi n v e s t i g a t et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ec l a s s i c a lc o m b i n a t o r i a l s e q i l e , i l e e s a n dt h e i rm a t r i c e si nt h i sp a p e r ，t h e ya r el i s t e da sf o l l o w s ： 1 t h eb i n o m i a lc 。e t f i c i e i l t , s ( ：) ，端鬲( 。? ) ，( ：i ) ”ds e q n “、a n , k t t h a t o d 。女= a n _ 1 ，t i + a n - l ，女a r es t u d i e d t h ec o r r e s p o n d i n gm a t r i c e sa n dt h e i rp r o p e r t i e s a r ei n v e s t i g a t e d s o m ev a l u a b l ec o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e sa r ed e r i v e d 2l a hn u m b e r l ( n ，) = k 止( k - 型1 ) ! a n di t sm a t r i x 厶i s s t u d i e d t h er e l a t i o n sa i y l o l i g l a hm a t r i c e s ，p a s c a lm a t r i c e sa n ds t i r l i n gm a t r i c e sa r eo b t a i n e dt h ef a e t o r i z a t i o n s a n dp o w e rs u mf o r mo nl a hm a t r i c e sa r eg i v e n 3 - t h ei n a t r i c e sw i t he l e m e n t s g 灿一x ) a n dt h e i rp r o p e r t i e s h a v eb e e ns t u d i e d c a r e f l d l yb ym a n ym a t h e m a t i c i a n s ，w h e r e 妒”( z ) a r ez ”，z “| 1a n do t h e rs p e c i a lf o r m s r e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r ，t h em a t r i c e sl n = ( 1 ( i ，j ) 蛾一j ( z ) ) “nw i t hm o r eg e l l e l 氇1 e l e m e n t sa r ei n v e s t i g a t e d ，w h e r ef ( n ，k ) a n d 妒，lx ) s a t i s f yt h ef o l l o w i n gr e s p e c t i v e l y ： l ( i ，) ? ( ，j ) ：f ( 蜘) f ：一a 总一j 洲咖) = 喜( 批洲”) k = 0 “ i nf a c t ，妒n ( z ) i st h ep o l y n o m i a lo fb i n o m i a l t y p et h e r e f o r e ，t h er e s u l t sw eo b t a i n e d a r em o r e g e n e r a l 4 f i b o n a c c is e q u e n c e sa r eo fl o n gh i s t o r ya n dt h e i ra p p l i c a t i o n sa p p e a ri n m a n y f i e l d s t h ef o l l o w i n gb i v a r i a t ef i b o n a c c is e q l i e n c e s ( p o l y l l o m i a l s ) b ) 铲a r es t u d i e d ： r + l ( o ，a ，f ) = a f n ( a ， ，f ) + a 只川( ( ) = ，a ，f ) 。f s o m e s p e c i a lc a s e so ft w o o r d e rl i n e a rr e c u r r e n c e sa r ei n v e s t i g a t e da n dr e l a t e dt o n i b i n a t o r i a li d e n t i t i e sa r eg i v e n a s e n e r a - i z e d1 、r ，b 。n a c c ；- n a t r ；x a = ( ii ；) i s c o n s t r u c t e d t h eq _ y i b o n a c c i s e q u e n c e s r ) d e f i n e db y ：r + 1 = z 瓦+ 死一l + 。瓦一2 ，t o = 0 ，丑= 1 ，t 2 = 。a r e s t u d i e db yt h et r i b o n a c c im a t r i x ar e l a t i o nb e t w e e nt h i r d - o r d e rl i n e a rr e c u r r e n c ea n d f i b o n a c c in u m b e r si sb u i l t ，a n d8 0 l l l ei n t e r e s t i n ge x p r e s s i o n so i lf i b o n a c c in u m b e r sa r e k e y w o r d s ：b i n o m i a lc o e f f i c i e n t ；l a bn u m t ) e r is t i r l i n gn u m b e r ；f i b o n a c c i s e q u e n c e ；p a s c a lm a t r i x ；s t i r l i n gm a t r i x ；l a hm a t r i x ；p o l y n o m i a lo fb i n o m i a lt y p e 一 墨! 主煎堇 一1 0 前言 经典组合序列一直是组合学界的热门课题之一，它们既老又新，既易又难说它们 老，是因为它们已经具有相当长的历史，如二项式系数、f i b o n a c d 数、l a b 数、c a t a l a n 数、s t i r l i n g 数、e u l e r i a n 数、b e r n o t f l l i 数、b e l l 数、e u l e r 数等，很久以来就有不少人 对它们进行了研究，证明它们在组合数学中起着非常重要的基础性作用，许多离散数 学问题都与它们具有密切的联系；说它们新，是因为这些序列至今还吸引着不少数学 工作者的浓厚兴趣，对它们的研究特别是应用研究从未间断过，因为一个新的有趣的 结果必将激起新的研究热情说它们易，就是它们往往看起来表面上是那么简单，那 么诱人，所以有不少数学爱好者加入了研究者的行列；说它们难，是因为其研究的历 史太久，研究者很多，所以要想在这方面有所刨新，有所突破，有所作为的话，并不 是容易的事情对组合序列的研究方法有许多，常用的有递推法、归纳法、发生函数 法、反演技术以及矩阵法等。g o u l d s o l 和r i o r d a n 【9 5 在他们各自的组合恒等式专 著中，有许多组合恒等式，若能把他们表示成矩阵形式，然后通过矩阵变换，又可得 到或证明组合恒等式，所以本课题的研究就更有意义 本课题主要用矩阵方法来研究几个经典的组合序列，如l a b 数、s t i f l i n g 数，二项 式系数、f i b o n a c c i 数等以及它们的某些推广形式我们知道，两个矩阵a = ( ) m 。，与 b = ( 6 柳) ，。按矩阵普通乘法；a 日= a = ) 。，有。“= a “b k j ，此等式与a 日= g 是相互等价的，这说明在恒等式与矩阵乘法间可以架起一道很有利用价值的桥梁和纽 带虽然人们在研究组合序列时，自觉不自觉地应用到了矩阵方法，但目前还没发现 有关于这方面的系统论述 二项式系数( ：) 是组合序列的基础，所以很早就出现了由它组成的p a s c a l 三角形 p = ( ( ；) ) ，即无穷p a s c a l 矩阵 1 9 7 7 年，p , r v e i n 在”数学分析及应用”杂志 1 1 4 上提出了无穷p a s c a l 函数矩阵 尸例= ( ( 。1 - 1 ，i - j ) 1 9 8 4 年，j g k e m e n y 在”组合论”杂志上用矩阵导数m ，= 8 m m 。q ( s 是一个移位 矩阵算子) 方法研究了一般无穷矩阵的组合学价值，提出寻找和证明组合恒等式的一 个办法f 6 4 】。 !盘垒墨圭查堂壁堡圭! 羞丝全生型塑堑堕翌墨 1 9 8 6 年p r v e i n 对p 捌以及相关多项式( 如l a g u e r r e ，h e r m i t e ，b e r n o u l l i ，e u l e r i a n 多项 式等) 用矩阵导数的方法，对矩阵及印作了较深入的研究 1 1 5 ，其中国是一个只有次 对角线上的元素为1 ，2 ，3 ，其余元素均为o 的无穷方阵 n + 1 阶p c a l 矩阵( 也称杨辉三角形) r 通常定义为，( r ) ： g ) 当“- i 兰o 。 【0否则 b r a w e t 分别于1 9 9 0 年，1 9 9 2 年【1 7 1 ，根据递推关系研究了p a s c a l 矩阵p n 及逆 矩阵，并进行了乘积分解，得到如= r 璎，其中q 。称为对称p a s c a l 矩阵t( q 。) d = ( ，) ( ，= 0 ，1 ，2 ，n ) 由乘积分解，得到了几个组合恒等式与幂矩阵璐 1 9 9 1 年，1 9 9 3 年，l w s h a p r i o 及p p e a r t 等人引入并利用r i o r d a n 矩阵d = 0 任) ，( $ ) ) 来研究组合恒等式，其中口仕) ，( 。) 为多项式，d 的元索奶为9 ( x ) j ( x ) 的的系数 1 0 1 ， 8 9 i 。证明了在r i o r d a n 群中的任何一个p a o r d a n 矩阵r 都可以分解为一个p a s c a l 矩 阵p ，c a t a l a n 矩阵d 与f i b o n a c d 矩阵r 的乘积- r = p 凹。其中n 阶p i b o n a c c i 矩阵 f 。定义为；( r 。) ： 最一j + l 若一j + 1 o ，其中晶为f i b 。n a c d 数 【0 否则 1 9 9 3 年g ，s c a l l 等人 2 2 1 研究了矩阵元素带函数即( ；二：) 一- j 以及( ；) z 州的有限 p 。a l 矩阵r 蚍r 陆，棚情形及相关问题即( r 吲) “： g 二：) 一一苎：；得到对任 l0否则 意实数，v 有 p 竹陋+ 引= r m p n 阻】 1 0 年左右的时间，仅仅在”线性代数及应用”上就发表了1 0 多篇相关文章。 1 9 9 7 年，1 9 9 8 年，2 0 0 3 年，张之正、王天明【1 1 9 ，1 2 0 ，1 2 1 等研究了矩阵元素形如 ( ；) $ 。j f 嘶及( ”i ) 2 ”。，时州等形式的p a s c a l 矩阵及其性质 1 9 9 9 年，b a y a t ，t e i m o o f i 研究了【1 1 研究了矩阵元素为t( i ) g ( 。1 ) 1 1 的p a s c a l 矩阵 r ，。矧，其中利 ： 缸。+ 柚忙+ _ 一”柚苎” o ，得到 l 1看n = 0 r 陋+ 引= r ， 矧r ，x m ，r ， 嘲= 箭矿n 。 鼽矩蚴= 伊0 卜矗砷”十籍n 。川啪油轳类无符号 s t i f l i n g 数。 蔓! 主煎主 3 2 0 0 0 年，他们又研究了【1 2 p a s c a l 移位矩阵p n ， 陆，圳及相关性质矩阵p n ，女肠，鲥定 妫( 砒如a = f 嘴籍往。得到 r ， 如，v 】r 。 阻，q 1 = r ， 陆+ # “，o 显然，它们比前一类p a s c a l 矩阵更为广泛 2 0 0 0 年，赵熙强，王天明【1 2 3 利用指数族研究二项式型多项式的p a s c a l 函数矩阵 的代数性质。 2 0 0 1 年，l a c e t o ，d t r i g i t e 用数值方法与微分方程【l 】通过矩阵丑( 其中n 阶矩阵 日只有次对角线上的元素分别为l ，2 ，n l ，其余元素均为0 ) 研究了p a s c a l 矩阵 s t 扛l i n g 数是以j a m es t i r l i n g ( 1 6 9 2 - 1 7 7 0 ) 的名字命名的，这些数有两种形式，通常称为 第一类和第二类s t i r l i n g 数p r ，v e i n 在1 9 8 6 年 1 1 5 对由s t i r l i n g 数组成的无穷s t i f l i n g 矩阵也进行了讨论，但真正对其研究应该是g s 。c h e o n 和j s k i m 在2 0 0 1 年 3 2 】和2 0 0 2 年【3 3 】发表在“线性代数及应用”上的两篇文章，他们把s 廿d i n g 矩阵与p a s c a l 矩阵以 及v a n d e r m o n d e 矩阵、b e r n o u l l i 多项式、e a l e r l a n 数等较好地联系了起来他们用了两 个知识点( 突破口) ： s ( i + i j + 1 ，= 骞g ) s m n 扩= 塞e s 砷g ) 写成矩阵表达形式，然后建立起v a n d e z m o n d e 矩阵、s t i r l i n g 矩阵、p a s c a l 矩阵的联系。 因而顺利得到了两类s t i r l i a g 矩阵的乘积分解，得到了不少漂亮组合恒等式，可以说这 是一篇高质量的论文 2 0 0 2 年，g y l e e 等 7 4 】引入了三个矩阵k = ( k ) 。一= c m q ) 。0 。= ( 蜘) 。x 。 幻= g 二：) 一g 二；) 一( ；二；) ；m ”= s 8 ，j ) - s g - i , j ) - s ( i - 。, j ) e “= s ( t ，j ) 一s ( i j + t ) 一s ( t ，j + z ) 得到 r = r n 五n ，j = r n “，8 n = 日n r ” 其中r ，8 。，晶，r 。分别为p a s c a l 矩阵、第一类、第二类s t i l l i n g 矩阵、f i b o n a c c i 矩阵 s t i r l i n g 矩阵& 和晶的矩阵元素( 当i 兰) ( 8 。) 玎= a ( ，) ，( & ) 莳= s ( i ，j ) 8 ( n ，) ，s ( k ) 分别为第一类、二类s t t r l i a g 数其意义在于通过引入新的矩阵，架起了s t i f l i n g 矩阵与 f i b o n a c c i 矩阵之间的桥梁，也就建立了二项式系数，f i b o n a c c i 数，s t i r r n g 数间个很 ! 盘堡理三叁学博士论文：若干组合序列的矩阵研究 好的联系这个问题的再深入研完及推广应该是本文作者今后的工作之一。 其实，还有其它中国学者这方面的工作也不错，相关中文文献请参考 1 2 6 ，1 2 7 ，1 2 8 ， 1 3 1 ，1 3 3 等 2 0 0 3 年， c k i m b e r l i n g 6 5 】讨论了初项为1 的整数序列在卷积意义下组成的群( 即 a p p e l l 群) ，及主对角线上元素全为1 的下三角矩阵在矩阵乘积意义下组成的群。研究 了相关子群中的矩阵与序列的乘积问题。 l e o n a r d of i b o n a c c i 在1 2 0 2 年引入了f i b o n a c c i 数，数学家们发现了许多有趣的结 果。e d o u a r dl u c a s ( 汉诺塔的制作者) 在1 9 世纪后半期广泛研究了它们( 也是他普及了 f i b o n a c c i 数这一名称k 可称历史悠久 1 8 4 3 年，b i n e t 就找到了特征根【1 6 由a = 学，卢= 举表示的f i b o n a c c i 数r ： 匹告三詈竺( 实际上，它是由e u l e r 在1 7 6 5 年就发现了，只是他本人把它忘了( 4 6 ) 。 t h ef i b o n a c iq u a r t e r l y 杂志已经办了几十年，专门发表有关f i b o n a c c i 数与l u c a s 数 有关研究文章。近年来，对二阶( 或双变量) f i b o n a c c i 序列：f n = p f n t + g 最。及推广 研究比较深入( 见 1 3 ，2 7 ，3 8 ，4 7 ，5 7 ，6 2 ，8 1 ，1 2 2 ，1 2 4 等文献) ，在此不赘述。 本文研究了更广泛的、满足下面递推关系的序列： 以及两个特殊的序列 f n + l ( d ，a ，j ) = a y ( a ，a ，1 ) + r l ( a ，a ，f ) 。掣 d 。+ l = 2 d “+ ( 七一1 ) d n 一2 ，a 。+ l = 6 a 。一a 。一l 不过，从矩阵的角度，值得一提的是，2 0 0 2 年，g yl e e 研究了f i b o n a c c i 矩阵h 和对称f i b o n a c c i 矩阵的乘积分解及其特征值问题【7 5 】。 三次线性递推序列 r ) 是指满足；r + 3 = p f + 2 + g 凡+ l + r 最，对p 忍r 的不同取 值及给定不同初值f 。，f l ，f 2 的情形及相关问题研究还不多 1 9 9 9 年，f t h o w a r d 【5 6 】给出了特殊情形，即t r i b o n a c c i 序列：靠+ 3 = 矗+ 2 + 矗+ l + 矗，霸= 0 ，矸= 噩= 1 ，和广义l u c a s 晶：矗+ 3 = 晶+ 2 + 岛+ 1 十s n ，岛= 3 ，霸= 1 ，正= 3 用 线性递推关系的特征方程的根( 特征根) 给出了，晶的表达式 2 0 0 1 年，m e l l a 4 0 研究了有理数整环上的三次线性递推关系，根据特征根的不同 情况探讨了特征根表示及t r i b o n a c c i 环问题。 1 8 3 8 年，e c a t a l a n 写了一篇文章 2 4 】提出了后来以他的名字命名的c a t a l a n 数。1 9 7 6 蒸! 主 煎一主 5 年，l w s h a p i r o 在“离散数学”杂志上提出丁由c a t a l a n 数组成的c a t a l a n 矩阵e 1 0 0 ， w j r e p l e t t 在1 9 7 9 年【4 3 】也对c a t a l a n 矩阵进行了研究，c a t a l a n 数的研究经常出现在 研究其它组合序列之中 b e l l 数晶通常用来对n 元集的划分进行计数1 9 9 9 年，m a i g e r 计算出n + 1 阶 h a n k e l 及相关矩阵f 3 ：磊= ( 马州) ( 。+ 1 ) 。( 1 ) ( t ，j = o ，1 ，2 ，n ) ，反= ( 且+ 抖i ) ( 。+ 1 ) 。1 ) ( ，j = 0 ，l ，2 ， ) 的行列式如t d e t - 4 = 如蛙k = 翟o ( 女! ) e u l e r 三角形由e u l e r 【4 5 】提出有关e u l e r i a n 数请参考文献 5 8 ，1 0 9 ，1 1 0 b r u a l d i ，r y s e r 1 删，柳柏濂都曾经著有组合矩阵论的专著 1 2 9 ，主要针对区组 设计与图论相关问题而言 !盘查墨三盘堂蓬煎圭! 羞丝全壁型塑堑堕堑塞 一 符号约定 1 a q 表示矩阵a 第t 第列的元素 2 降阶乘0 k = z 忙一1 ) 和一n + 1 ) 3 升阶乘 。= z 扛+ 1 ) p + n 1 ) 4 第一类无符号s t i f l i n g 数。，妫 5 第二类s t i f l i n g 数s ( n ，自) 6 ”n 阶单位矩阵厶 7 定理、定义、引理、推论的编号方法为：定理2 3 表示第二章第三个定理，其余 类推。 8 公式编号方式为：如( 2 3 4 ) 表示第2 章第3 节第4 个公式，其余类推 9 闻表示取整函数，如【竿】= 1 蔓! 主三塑盎塑苤垒墼垄堑堕1 1 二项式相关系数及矩阵 1 6 5 4 年，b l a s ep a s c a l ( 1 6 2 3 - 1 6 6 2 ) 写了篇关于二项式系数有影响的论文【8 8 ，自此， 对( ：) 及各种推广形式的研究吸引了不少数学工作者，因其在组合数学中的基础性作 用而倍受关注本章主要讨论了几个特殊的二项式系数所组成的矩阵及相关应用。 1 1 二项式系数g 二：) 及矩阵 设a 是任意数，n 是正整数，j 是非负整数，( m ) 廿表示矩阵m 中第i 行与第j 列元素，n + 1 阶矩阵“，a 分别定义为： 例 玩= ( “) 日：i ! ：- - j ) l “ 若“i j 0 否则 村= ：翥狻刚 100 ( ：) 16 ( ：)( 。；1 ) 1 ( ；)( 。i 1 )( 。f 2 ) ( ：) ( 。i 1 ) ( 4 a 定理1 1 设n 是正整数，m 是非负整数，则 a = 10 11 1l 11 ll c a + 1 ，= f 篇一。茎二i ，。 母 0 0 o l o o 0 1 l o 0 1 1 l o 0 0 0 l 、j 3 o 0 o 1 一l 口 !盘堡望三盘堂竖堡主! 薹丝全生型塑堑堕堕塞 耶 f ，1 oo o j ( 喘1 ) 1o0 l + 1 = i ( 喘2 ) ( 喘1 ) lo i ( “1 ) l j!； 。 i i ( 喘n ) ( ”螺一1 ) ( 4 絮一2 ) l 证明对m 施行数学归纳法 当m = 0 ，1 时显然成立 设对m 一1 时，( 1 1 1 ) 成立，下面考察m 的情形 因为( i j ) c “k = ” ，“= 壹、m - 。l 一+ ，i h“) = p 弋叫) = j 、，、， 由数学归纳法原理知，( 1 1 1 ) 对任何自然数m 成立口 引理1 1 设a 是任意数，则 卜k n - 一k ( 。，；4 - 1 ) ( 1 m ) 证明对n 用数学归纳法 当n = 1 时，很明显 设对n 时，( 1 1 2 ) 成立下面考察n + 1 的情形并根据归纳假设有： n 一妻一 ak 0 = g 8 4 - 。) + 萎1 0 = o t 。) + 塞( 似3 ) = g ：。) + ( 。一，) = a + 1 ) 由数学归纳法原理知，( 1 1 2 ) 对所有正整数n 成立 口 定理1 2 设a 是任意数，m 是非负整数，则 巩 叫a ”= “陋+ 州( 1 1 3 ) 证明因为 c ，= 杰( ：二：) = 、a + ；一l ，- ) 哦陋+ l 】) a 所以 巩陋】a = 陋+ l 】 蔓! 主三垄查塑差垒墼垦堑坠 ? 此为递推关系故 般地，有 巩m a 2 = ( m a ) a = 陋+ 1 m = i 盘+ 2 “【口】a ”= “陋+ 叫口 由定理1 1 和定理1 2 得如下推论 推论1 1 对任意数8 有 塞( 瑚c + = c + 。1 + 一1 。- ”) 实际上，( 1 1 4 ) 也是v a , , u d e z m o n d e 卷积公式之一 文中关于( ：二：) 还有下列组合恒等式 毫( 黧) ( 口二：) = 熹。2 ”( a 麦0 = 南2 nn 飘- 1 c n 2 一鳓 r k 2 2 k + 1 1 、( q 二：) = 丽2 a + 1 。2 “心n ) 砉( 2 ( 瑚妒0 塞( 。盘。) ( = 龋。“( 口麦”) ( 1 14 ) v a n d e r m o n d e 卷积是因为他在1 7 0 0 年稍晚的时候写了一篇重要论文i n s ，其实，早在 1 3 0 3 年，我国c h us h t h - c h i c , h 就知道了它 1 2 关于二项式系数a 。( a ，卢) 设。，卢为任意数，定义【9 5 】 厶t 国= 石昧e ? 0 1 0 大连理工大学博- j ：- 论文t 若干组合序列的矩阵研究 由 9 5 ( p l t - 一- 7 z ) 知： 撕螺舻薹( 沙( 刚肺舢) ( 1 2 1 ) ( 1 2 ，1 ) 式说明，a 。( 卢) 是关于第个变量的二项式型多项式f 彻 构造n - i - 1 阶矩阵r b 翻如下： c r 恤，卢，“= 0 g a i j 口，卢喜孟兰i 。i否则 引理1 2 口，口，7 为任意数，则对于n + 1 阶矩阵r b ，剜有 只；陋+ 冈= r 口，纠r h ，剜( 1 2 2 ) 证明当f j 时， ( 只t 妇，用只t h ，捌) 舒= 吾g ) a t - t ，口) ( ；) a t 一，n ，口) = g ) 毫( i j ) a i - k ( 卢) a t j n ，芦) = g ) 且 叫( 口十仉卢) = 限陋+ 7 ，用) 玎 当 j 时均为0 此结论得证 n 设矩阵尬。是除( 时) ( 。+ m = n + 1 外，其余元素均为0 的n + 1 阶矩阵，于是有 定理1 3 对正整数n 有 ( r 陋，用一厶+ 1 ) “= n ! a “( 1 2 。3 ) 其中，厶为n 阶单位矩阵 实际上，如果一个阶下三角矩阵d 的主对角线上的元素全为0 ，那么d k = o ，d t t 只有( d ) t 才有可能不为0 进而得到( 1 , 2 3 ) 根据( 1 2 2 ) 知t 对任意正整数，有 ( p n 陋，用) = j 陋口，创 再将( 1 23 ) 进行二项式展开，可得如下推论 推论1 2 设n , p 是正整数，且1s p n 一1 ，, - v 0 ，则 e 。i ，( - 1 r g ) 志肪) 列。1 ) ”一( ：) 志( 8 0 ：9 。) = n “一1 t = l 、7 、 7 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 蔓! 主三塑查塑羞垒墼垄丝蓬；【 究 耋c 叫( n ) 蒜( 如；一= 。 驴nr ( 力南( 她讹“) = 型竽幽 在这个推论中，对a ，口取一些特殊值，可得到下列瀑亮的组合恒等式 当口= 0 砉r 。甜 ( 一1 ) ”。 = ) = 矿 m 是正整数，当a = m ，口= 0 扣r ( 力( 甜 ( 一1 ) ”( ：) ( ：) = m “ 当卢= ； 静r 南( 叫 在( 1 2 1 0 ) 中令口= 卢= 1 静r ( - 1 = n ( 一1 ) ”( ：) ( ：”) = n ( 1 2 6 ) ( 1 , 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 ，2 9 ) ( 1 2 1 0 ) 此外，还可仿照【1 l 】等文中在矩阵元素( r h 用) 中加入函数z h 等作进一步的研 1 3 二项式系数及其矩阵 设z 是任意数，n 是非负整数，广义二项式系数( ；) 定义为 g ) ：= 堑等等型，g ) ：= - 对于( ：) ，有v a n d e r m o n d e 卷积公式 c 玲熹乙1 0 望一一 一盎堡堡三盎堂竖主堡圭! 董垫全生型塑堑堕堡窒 及展开式 c - 坩= n 昱- - - u ( i ) p ( 1 + 妒= ： p 、， ( 1 一圹2 ； 矿 其中， = ：二j ，；，玎= ：芸孟= ，+ 显然，p n 【0 1 = q 。 0 1 = d o = 厶“，设口l = d ，那么 风= d 伸= 0 ，1 ，n )f 1 3 3 ) 由矩阵乘法和s t i r l i n g 敷的性质，有 定理1 4 是任意数，剐 r 纠= k 妻- - - - 0 = 耋和= 嬖掣此 列， 曰。m = ! 铲扩= 妻妻( 一1 ) m 堕弘此t ( 1 删 = o= 0 = 其中8 ( n 】) 是第一类无符号$ t i r l i n g 数 定理1 5 毛口是任意数，则 r 纠r m = p n 陋十们( 1 3 6 ) 口n m 0 n 知 = 口n 扣+ 州( 1 , 3 7 ) 证明当j 时，( p n m r m ) 蟮= 砉( t ：) ( t ! j ) = ( 驾) = ( r 陋+ 口1 ) 。 ( 1 , 3 ，7 ) 的证明同上 推论1 3 对任意数甄，整数m ，有 r m = r 卜司( 1 3 启) 第l 章二项式相关系数及矩阵1 3 p n m “= r m 瑚，p n 嘲= r 陋m ”( m 0 ) 定义1 2z ，v 为任意数，n 4 - 1 阶矩阵r b ，们，0 。k 7 】分别定义为 ( r 陋川) 日： t 二) 矿叫如果，i ( 如k 蛐，： 矿叫如果兰j 10否则10否则 通过简单的计算可得 定理1 6 对任意数$ ，”，g ，整数m ，有 b 。陋，司只- 曲，z 】= 只。陆+ p ，司( 1 3 9 ) 0 。p ，2 】q n b ，z = 0 。陋+ ，司；p n 胁，们”= p n p w ，鲥；0 。扛，口】“= 口。 m z ，们 也即 r 陋，卅= r f - z ，圳；r k l 】= r m ；r 0 ，1 = 厶+ t 口。胁卅一1 = o n 一q 们；0 。陆，1 】= 0 。m ；0 。【0 ，1 】= 厶+ 1 定理1 7 对任意数。，”，设 8 。) 。o = t p ) ) 。o ；体 。o = 6 。口) 。o 是两个函数 序列，则下列两个式子等价 嘶= 塞k 如耸地加塞( ? ) ) ( 1 s 加) 或等价地叙述为下述两个式子等价 州叫，= 耋g ：妇轴，鲁坼= 塞乙：) 州训， m 。m ， 证明设a = ( a o ，a 1 即 ，8 。) tb = ( b o ，b l ，- 一，b n ) t ，注意到a = p 。n s 车= b = p 。卜x 】a 哪= 妾( ；：，) b 甘k 唼( ；j ) 町 此式相当于( 1 3 1 1 ) ( 1 , 3 1 0 ) 与c 1 ，3 1 1 ) 是一样的( 1 , 3 1 0 ) 式实际上是一个反演关系，下面就是它的一些应 用 例在( 5 0 m 9 ) ) 中有恒等式 耋g ) 。k = 薹( “i 。) c - + 。，”一e 一。， 上式中把”改成i 1 ，变形有 k 妻= o “= 争，5 c 斗妒 在( 1 3 1 0 ) 中令6 ，k = ”一。，口。= 妻( 一1 ) ( “i 。) ( 1 + ) 一。，则得到一个新的恒等式 l - = o 萎nn 至- - k c 叫( ”：”) c 刊“t 旷 例在( 【5 0 ，( 1 1 0 2 ) ) 中有恒等式 争以一n + a ，、。瓢t = ( 晶嗡+ 勺 砉( n 三。) 错= ( 剐。“)丕( n 三一) 鬻2r ? 州) 在( 1 3 1 1 ) 中令6 = 止l + 啦k ，“= ( 风( 2 ：帕+ “) ，有 耋( 剐。) = 甓 例在( 【5 0 】，( 1 1 0 ) ) 中有恒等式 n 萎- i ( ；) 4 = 墨n h z - - 一k 0 c z 叫“ 由( 1 3 1 0 ) 可得另一个恒等式为 塞( 了) 譬。卜n - 牛k - i , 1 ) l = 矿 例在( 50 1 ，( 1 1 1 ) ) 中有恒等式 竿h = o ，k 。k 、) 芝n - k = 砉( 号等 ( 1 3 1 2 ) ( 1 3 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) 利用( 1 3 1 0 ) 变形后可得 塞( 习蓦g 二：二0 等等= 蔫 s u ， 蔓! 主三翌当塑苤塞塾垦堑坠1 5 1 4 递推关系 o t ，j ) 及矩阵 g s c h e o n 等人在文 3 4 】中研究了满足递推关系 。f q l ，j l + 芦- 1 j = q ，j( 1 4 1 ) 的序列 哪j b o 以及矩阵 = ( n ；j ) 的结构这里a ，卢为任意实数，因为序列间的递推 关系满足个“7 ”字形状，叩0 ，称 为7 一型矩阵 显然，二项式系数( ：) 满足( 1 4 1 ) ，因而p a s c a l 矩降是a 的一种特殊情况本节的目 的是用发生函数的办法得到矩阵且的结构，证明比文 3 4 的矩阵方法更简单更有意 义的是，在我们的证明过程中，发现了一些新的组合恒等式 记。钳的发生函数为f ( - ，) ，即 由( 1 4 1 ) 碍 f ( - ，) = 吣x l ， ，j 0 a 口i l ，一l 嚣+ 卢口 一1 ，盅f = d i j 岔矿 a x e ；a l - l ，卜l $ “1 矿一1 + 卢z n l l ，一1 矿= 凸l ，一f i j _ l i d 一 l i d 1 有 a $ f ，( 文v ) 一胁啦一l ，o 。1 + 卢。，o ，口) = 匈，o 一o d ，o 一一n 0 ，一十，( 羁) 也l龟0j o 记 ，( 。) = 口i o z ，( v ) = 如，矿，m = 啦，o “= o ，1 ，2 ，) ( 1 4 2 ) i 0，0 得 地沪盟警等等地 ( 1 t 3 ) 又记n + 1 阶方阵r = ( 黝) ( 。+ 1 ) 。( 1 ) ，其中a ，j = p 一( ；) ( o j t 茎n ) n + l 阶方阵 a 。= 魄，) 1 对应的无穷矩阵记为a 其他无穷矩阵类似表示 ! 鱼一 查堡墨三叁芏堡堡圭! 董丝鱼生型塑堑堡堕塞 则 由( 1 43 ) 可以看出，矩阵a 或，( z ，) 与a 的第1 列第1 行是一一对应关系记 日( z ，可) 口z a x y 酢埘2 ；萎。彬叫( 扣一；象。舻矿 ! ，! o i j o 由( 1 _ 4 3 ) ，( 删) = 日( 叫) ( ( 1 一口z ) ( m ) + 9 ( g ) d 。) ，即 c t i , j 。2 y j = 蛳z 矿( ( 1 一触) o + 。0 1 ，一o o ) t ，j 0t j o2 0j 兰0 比较上式中一的系数的 显然，当i j 时 m i n ( t j ) 一， 吼，j = 张，l 口o j 一 十a 一j ( a k p 雠一1 ) k m 0t = 1 一， 口刈= p ，j ( 口一口口) + p i k c t o 卜 女= lk = o 百凭让明p 回一个重要的组合但辱式 引理1 3 设n ，f ，m 是非负整数，