（应用数学专业论文）（21）维可积海森堡铁磁链方程的延拓结构.pdf

摘要 本文首先用延拓结构理论分析( 2 + i ) 维海森堡铁磁链( h f ) 模型之后进一 步讨论可积的( 2 + 1 ) 维m ( 修正的) h f 模型，首先用延拓结构理论对该模型进行 分析，并通过赋予在闵氏空间中运动的空间曲线新的空间变量y ，得到( 2 + 1 ) 维 非线性薛定谔方程以及成对的( 2 + i ) 维可积方程 关键词：( 2 + i ) 维h f 模型，( 2 + 1 ) 维m h f 模型，延拓结构，几何等价性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ei n t e g r a b l e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lh e s i s e n h e r g f e r r o m a g n e t ( h f ) m o d e lb yu s i n gt h ep r o l o n g a t i o ns t r u c t r u et h e o r y t h e n w e c o n s i d e rt h ei n t e g r a b l e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lm ( m o d i f i e d ) h fm o d e l ，a n dg i v et h e c o r r e s o n d i n gg e o m e t r i c a le q u i v a l e n tc o u n t e r p a r t s ，s u c ha st h ef 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o na n dt h ec o u p l e d ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a li n t e g r a b l e e q u a t i o n s 7 t h r o u g ht h em o t i o no fm i n k o w s k is p a c ec u r v e se n d o w e dw i t ha na d d i - t o i o n a ls p a t i a lv a r i a b l e k e yw o r d s ：( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lh fm o d e l ，( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lm h fm o d e l ， p r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e ，g e o m e t r i c a le q u i v a l e n t 2 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名； 日期：加易年6 月f 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解 密后适用本规定 学位论文作者签名 日期：加6 年厶月，胡 1 引言 w a h l q u i s t 和e s t a b r o o kf 1 】的延拓结构理论是研究( 1 + 1 ) 维可积系统的有 力工具以此理论为基础。文献【2 ，3 】研究了( 1 + 1 ) 维可积m ( 修正的) h f 模型， 并利用欧氏空间及闵氏空间中的运动曲线理论讨论了这类方程的几何等价性问 题，比如与非线性薛定谔方程n l s + 的几何等价性以及n a k a y a m a 4 1 得到的成 对的可积方程组m o r r i s 【5 】成功地将w a h l q u i s t 及e s t a b r o o k 的延拓结构理论 发展到高维空间，但很少有人讨论这种理论在( 2 + 1 ) 维可积系统中的应用 海森堡铁磁链( h f ) 模型是一个重要的可积系统。对于研究它的( 2 + 1 ) 维形 式人们付出了很多努力【7 ，8 于是很自然的产生了个问题延拓结构方法是 否可用于研究( 2 + 1 ) 维m h f 模型这篇文章将对此给予肯定的答案，注意到 在( 2 + 1 ) 维空间中可积i - i f 模型的l a x 表示中的谱参量依赖于时间变量和空间 变量，因此在这篇文章中将考虑m o r r i s 的延拓结构理论中的一般情形，并将它 应用到( 2 + 1 ) 维可积m h f 模型的研究中去 第二章介绍了延拓结构方法，第二章第一节以k d v 方程为例介绍了w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 1 发展的( 1 + 1 ) 维延拓结构方法，第二章第二节介绍了m o r r i s 【5 】 发展的( 2 + i ) 维延拓结构 第三章第一节用延拓结构方法讨论( 2 + 1 ) 维h f 模型 s t 三曼：急妄笺 q ) i = 一s - ( s x s y ) ” 发现了该模型的l a x 表示 言三鞍鍪小蝌m 酬。， 毗， i 矗= 一a 矗+ 警：l m & 吼+ ( s t h 以捧， 卜 其中吼，i = 1 ，2 ，3 ，是p a u l i 矩阵，且谱参数a 满足非线性方程 a # = v ，a 。= 0 ，( 1 0 3 ) 蔓苎堕堇查兰堡主兰堡垒壅：( ! 1 2 丝亘璺塑壅堡壁堕壁立堡塑堑塑堕塑 衽弟= 草弟一节用姓殆绢稠万凿分析【2 + 1 ) 堆曰j 积m h f 模型 意三i 佟s 蒜s 嚣 q 叭， iu ；=o ( 。叉s y ) 卜叫 第3 2 1 节讨论了s o s = 一1 的情形，利用延拓结构理论得到了在该情形下( 2 + 1 ) 维可积m h f 模型的l a x 表示 三二暑娶e 1 箍川s 泓坞 n 吣， 【已= 一a 白一a：1 u & 几+ ( s 灵t ) l 瓦】， ” 其中气为s u ( 1 ，1 ) 李代数的生成元第3 2 2 节讨论了s o s = + 1 的情形，利用 延拓结构理论得到了在这种情形下( 2 + 1 ) 维可积m h f 模型的l a x 表示 三二喾道3 赫郴心 嘶) 【6 = 一a 毛一a t _ l 阻韪瓦+ ( s 灵t ) 矗 ” 第四章用空间曲线理论来讨论( 2 + 1 ) 维m h f 模型在第一节介绍了空间 曲线分别在欧氏和闶氏空间中的运动方程f 2 】第二节中首先考虑s os = 一1 的 情形，利用空间曲线理论，发现了( 1 0 4 ) 与著名的( 2 + 1 ) 维n l s 一几何等价 玩一+ 肋= o ，怠= 扫北 进而得到( 1 0 4 ) 的l a x 表示 i 吒= u 圣，圣t = y 圣+ a 屯， 其中 u = ( 嬲鹭，。) ，y = ( 嚣梦) ( 1 0 7 ) ( 1 0 8 ) ( 1 0 9 ) 且谱参数a 满足( 1 0 3 ) 之后考虑sos = + l 的情形，分另令旋量与法矢量和 从法矢量重合，得到了与( 1 0 4 ) 几何等价的n l s 一令s = b ，得到( 1 0 4 ) 几 何等价于 套二芝；嚣冀0 叭。， 【也一妒h + 庐= ， ” 其中 儡= 一岛( 妒) ( 1 0 1 1 】 第2 章延拓结构方法 相应的l a x 表示为 其中 i 圣z = u 垂， 垂t = y 西+ i a 垂( 1 0 1 2 ) v = ( 缆) ，y = ( - 1 2 聊声, i 。v i ) 叭s ， 且谱参数a 满足( 1 0 3 ) 令s = n ，得到( 1 0 4 ) 几何等价于 j r 也+ 币。+ 西= o ， i 也一。一折= 0 ， 其中 = 一岛( 西移) 相应的l a x 表示由( 1 0 1 2 ) 给出，此时u 和y 分别表为 v = ( 篙以二笳) ， 且谱参数a 满足( 1 0 3 ) ( 1 0 1 4 ) ( 1 0 1 5 ) y = ( 孙二搿) n 叫e ， 3 2 延拓结构方法 延拓结构方法是研究可积系统的重要方法，在这一章分别对( 1 + 1 ) 维 的延拓结构方法【1 ，1 3 】和( 2 + 1 ) 维的延拓结构方法 5 】进行介绍 2 1 ( 1 + 1 ) 维的延拓结构方法 对于微分流形m 和m 形式理想i ，所谓外延拓，是指m 上的礼一1 形式 p 。系数取值于m 上的可微函数，并满足 d p c 矿( m ) a p + ，( 2 1 1 ) 其中扩( m ) 为m 上1 一形式1 9 7 5 年，w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 把外延拓的概 念，运用到k d v 方程 1 】他们把k d v 方程表现为一组等价的外微分形式的闭 理想，为了寻求与原始的微分方程相关联的势和膺势，又将这个闭理想延拓下 面来考虑k d v 方程的延拓结构法，设有k d v 方程为 啦+ u x x = + 1 2 讹b = 0 ， ( 2 1 2 ) 令：z = “。，p = z x = “。于是( 2 1 2 ) 可写成一阶方程 啦+ m + 1 2 u z = 0 ( 2 1 3 ) 对5 维流形m ( x ，t ，2 ，p ) ，切空间的对偶空间t + ( m ) 的基为 出，d t ，d u ，d x ，d p 在m 的2 维子流形z ，t ，u ( x ，t ) ，z ( z ，t ) ，p ( x ，t ) 上引入2 一形式组 ro l = d u d t z d x ad 亡， 口2 。d z ad t p d x a d t ，( 2 1 4 ) lo l 3 = 一d u a 如+ d p d + 1 2 u z d x a d t ， 第2 章延拓结构方法 其中，d 代表外导数，a 代表外积( 2 1 4 ) 前2 项对应于引入新变元的项称为 线性学项，后一项对应于原始方程的项称为动力学项，由直接计算可得 怯 = 如 0 2 ， = 如a q 3 ，( 2 1 5 ) = 一1 2 d x a ( z a l + u c r 2 ) ， 因此。 a 。，n 2 ，啦) 在流形m 上构成闭理想，截到流形s 2 = 珏 ，t ) ，2 ( z ，t ) ，p ( x ，t ) ) 上时，2 一形式( 2 1 4 ) 为零这时外形式导数k d v 方程对于给定的5 维可微流形 m 以及啦和如i 所生成的闭理想，存在附加的延拓变量矿0 = 1 ，2 ，m ) ， y ) 在原始流形m ( x ，t ，u ，2 ，曲的每一点张出一个m 维流形，延拓出一个m + 5 维 纤维丛于是可在纤维丛中生成扩大的理想，7 的生成元不仅包括嘶，还包 括由于延拓变量y 而引入的i t t 个1 一形式咄，这些此称为外延拓形式，对于外 延拓变量y ，有p f a f f 形式u k “徭2d y 七- 4 - f 七( 嚣，t ，u ，z ，p ，y i ) d x + g 七( z ，t ，t ，2 ，p ，矿) d t ， ( 2 1 6 ) 它们必须满足闭理想条件 d 峨= 矗啦+ 硫 蛾， ( 2 1 7 ) 其中，”：为1 一形式由( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 可得p 和g 的一阶偏导数微分方 程组这个方程组一般为非线性的因为其中含有对易子项 莩( 雾叩筹) 出懈 ( 2 1 8 ) 若庐和g 2 仅依赖于y ，这样的y 。决定一个通常的守恒律此时称y 为势 ( p o t e n t i a l ) 若p 和伊依赖于其中延拓变量0 k ) ，此时称y 2 为膺势 我们定义对易子： 【f ig 】if g 0 一g 只k ( 2 1 9 ) 由( 2 1 7 ) 并消去矗，可得如下酌p 扣，2 ，p ，y ) ，g 2 ( u ，z ，p ，1 ) 满足的偏微分 方程 = 0 ，砖= 0 ，砖+ g 0 = 0 ， z 磷o + p g 乞一1 2 u z g k , p + 酽只j 一f g 乞t 5 ( 2 1 ，1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 堕塑堕堇查兰堡主兰垡堡壅! ! 1 2 壅受篓塑壅堡璧堕壁立墨塑堡堑塑塑 由方程组( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 1 ) 的可积条件，容易求出p ，g 的表达式 f k g 七 2 x ；+ 2 牡x + 3 铲x ， 一2 ( 一p + 6 u 2 ) 霹+ 3 ( 矿一8 u 3 2 姊) 磁+ 8 对+ 8 u 霹+ 4 u 2 罐+ 4 z 磷 ( 2 1 1 2 ) 将( 2 1 1 2 ) 式中给出的f ，g 脚的形式代入( 2 1 1 1 ) ，可得一系列对易子关系 r x - ，x 3 】= m ，x 3 】_ - ，五】_ 隅， = 0 ， x 1 ，x 2 】= 一曲，阢，x r 】_ 蕊， x 2 ，x 7 】_ 凰， ( 2 1 1 3 ) l 【x l ，托】+ 阢，弛 - 0 ，p 岛，弼】+ 【x 1 ，x 6 + x r = 0 ， 令这个开放的代数结构闭合为个有限维的l i e 代数，并利用j a c o b i 恒等式， 我们可得到进一步的关系式，引进新的生成元x s ，弱 恐，置】- 一弱，- ，强 _ 弱 我们要求 8 玛= c m ( 2 1 1 5 ) 其中，为常数要求( 2 1 1 3 ) 中1 至8 生成元为线性无关利用j a c o b i 恒等 式可得 = o ( m 7 ，8 ) ，c 7 = 一c 8 ea ， 其中，a 为任意常数最后我们得到由( x l ，凰) 组成的封闭l i e 代数 = 一x 7 ，i x 2 ，托 _ 一弱n ， = 一a x 5 ， = 弱，阢，弱 _ x 6 ，陬，蕊 _ 弱n ， = 一弱 ，p b ，五】_ 一弱，( 2 1 1 7 ) = 一恐一a 凰， = x 5 ， x 4 ，赫 = 一a 弱，阢，x 7 】= 五， = 一x 9 ，阢，托 _ 玛，凰ia ( 局一x s ) 不难得到这个代数的8 维关系式，之后可以写出8 个p f a f f 形式的明显表达式 就能得到k d v 方程的孤立子解，b a c k l u n d 变换以及相应的散射反演问题 6 托赫恐拖坼西噩 噩噩墨墨恐噩恐 第2 章延拓结构方法 2 2 ( 2 + 1 ) 维的延拓结构方法 上一节介绍的是( 1 + 1 ) 维方程的延拓结构方法，方程是关于空间变量x 和 时间变量t 这一节介绍关于空间变量x , y 和时间变量t 的( 2 + 1 ) 维方程的延拓 结构方法【5 】首先将( 2 + 1 ) 维的方程写为( 1 + i ) 维的形式，即令方程中的量关 于空间变量y 的导数为0 ，然后用和上一节同样的方法写出该( 1 + 1 ) 维方程的 线性学项( 啦，i = 1 ，k ) 和动力学项( ，j = k + 1 ，n ) ，引入一形式n 4 n 口= d 护+ f a ( s ，t ，w ，乱，z ，g ) 4 d z 十g 4 ( s ，t ，w ，t ，。，y ) d t ， ( 2 2 1 ) 使 舻，啦，t = 1 ，) 构成闭理想对应于原来的( 2 + 1 ) 维方程。线性学项改 写为 哦：啦a d y ，i = 1 ，k ( 2 2 2 ) 动力学项改写为 奶= a d y + 岛，j = k + 1 ，m( 2 2 3 ) 其中角为一组3 一形式，考虑下列2 一形式 mm 妒= 妒a d y + 霹7 d x a d t + ( 鬈如+ 霹出) a d c ， ( 2 2 4 ) 1 = 11 = l 其中a ，b 为m m 矩阵要求q 与西，i = 1 ，构成闭理想，即满足 ( 2 2 5 ) 可得h = g a f b ，以及 ，肛屈= ( d g a d f 日) 刳4 a d x a d y ( 2 2 6 ) = + 1 将妒限制到解流形，即舻= 0 ，可得到原( 2 + 1 ) 维方程的l a x 对 e t = 一f 一a 岛 已= 一g 一b 白 即由相容性条件巳t = 缸可得到原( 2 + 1 ) 维方程 7 ( 2 + 2 7 ) ( 2 2 ，8 ) t q 碍 m 忸 +一dp 。脚 i l p q d 3 ( 2 + 1 ) 维可积海森堡( h f ) 模型 在这一章中，我们将用延拓结构方法给出( 2 + 1 ) 维h f 模型的l a x 表 示，并在第二节用延拓结构方法分析( 2 + 1 ) 维m h f 模型 3 1 ( 2 + 1 ) 维可积h f 模型的延拓结构 可积海森堡铁磁链( i - i f ) 模型定义如下 s t = s s z $ ( 3 1 1 ) 其中下脚标代表偏微分，s = ( s i ，s 2 ，岛) 是一个旋量且铲= 1 ，x 代表外积， 它的( 2 - - 1 ) 维形式的可积性有深远的意义，一个一般的( 2 + 1 ) 维可积h f 模烈【8 8 意三 再s ( s x s y + s y u s x ( 3 r 1 2 ) i = 一s ( s 。s y ) 一 下面用延拓结构方法分析这个方程，首先考虑( 3 1 2 ) 中s t = 0 的情形，也即 ( 2 + 0 ) 维的情形令w = s ，t = s ，且设s ，t ，w ，t 为新的互相独立的变量， 我们可以定义下列2 - 形式 = d a d x 一瓦d y a 出， = d a d y 一职出a d y ， = ( w t ) 。d x a d y + e 如d 正ad y + & d u a d y + u 仉，o 出， f 3 1 3 1 = d u a d y + s ( w t ) d x a d y ， = d v a ad y + d 职a d x ， = ( t w ) 如a d y + d l a d y ， 其中a = 1 ，2 ，3 ，易验证它们构成了一个闭理想j = 啦，i = 1 ，1 4 ，令这些 2 一形式为0 ，( 3 1 3 ) 导出( 3 1 2 ) ( 此时& = 0 ) 为了能建立个延拓结构。引 8 。m 加州m 口口q a 血o ，i_l_l-iijllilli【 笪! 童! ! 1 2 丝亘璺塑壅堡! 型1 2 夔型 入l 一形式q 以扩展上述闭理想j ，q 定义如下 q = d + f ( s ，t ，w ，钍，z ，) f d x + g ( s ，t ，w ，。，可) d y ，( 3 1 4 ) 其中p 为延拓变量，要求 锄( a = 1 1 4 ) ，构成新的闭理想，即满足微分 关系 1 4 “ d o t k 9 “铖+ 苗 j 。_ 一1 j 对( 3 1 4 ) 式两边求全微分可得 b 1 j = l ( 3 1 5 ) 耐= p 筹d 出”筹峨 如 丽o f k d 如”筹如 出 筹旬 如坩筹峨 咖”筹d 死 咖 器d 敝 句 + p 箬如 西+ 矿面o g k d z 却+ f 2 磁。 咖+ 驴t 嘶， ( 3 1 固 由( 3 1 3 ) 我们可以得到 = a o + 乃d y a 出， = + 3 + w _ 口, d x a d y = o l o s ( w t ) 如a d y = a d + 1 0 一d l a d y ， = 一( s q 。+ 6 ) 。+ s ( w t ) 】。d z ad y 一( t - w ) d x a d y + s ：口1 4 + u ( s w ) 。d x ad y 将上式带入( 3 1 ，6 ) 可得 ( 3 1 7 ) p 筹陋。+ 咒咖 d 叫”筹识 出”丽o f k 【o r a + 1 0 - - 识 彬警砒 如 等却 如”面c 8 g k + 3 + 如 捌 彬器溅 由甜酉o g k _ s ( w t ) 出 矧 筹 一( s o 。+ 6 ) 。+ s ( w t ) 】。d x a d y 一最( t w ) 出a d y + s a c q 4 + u ( s w ) 。如 d y + 驴百o g k 如 西 f g j 。f 如 咖 + f q a d x + g q a d y 9 妇咖匆岫如 ，l_l_i-(1lil_i 堕塑堑蔓查堂塑主兰垡丝塞! ! ! ! 壅亘堡塑查堡堡堕壁立矍塑篓堑篁塑 对照( 3 1 5 ) 的要求，得到下述关于p 及g 的偏微分方程 篆= 喾_ 0 i 丽o g k 扎 ( 3 1 8 ) 犯 抛 a 睨 一筹冗+ 面o g k 睨一瓦o g k s t ( _ wx t ) + ( 壁0 t a 一丽o f k ) i 【r , s ( w t ) 。 刮t - w ) + u ( s w ) 。) - 嘲k 筹+ 警_ o ( 3 1 9 ) 其中 删= 喜等一喜g 等1皇1ol=l4 由( 3 1 8 ) 可设 其中五，i = 1 ，2 ，3 仅依赖于延拓变量驴。且与s u ( 2 ) l i e 代数有相同的对易关 系，啦，机，c ，i = 1 ，2 为常量，a ，p ，p 与变量z ，”有关，将上式带入( 3 1 9 ) 可得 即 b l = 5 2 = c 2 = 口1 = p = p = 0 ，c 1 = n 2 = 1 ， ( 3 1 1 2 ) 3 f = a s 五， l = 1 砉& 五+ 娄1 陬歌墨，嚣一o b u 。， g = u & 五+ ( s t ) t 墨，嘉= o ( 3 1 1 3 ) i = lt = ” 现在讨论( 2 + 1 ) 维h f 模型( 3 1 2 ) ，定义如下3 - 形式 q o g a + 3 q 蕾+ 8 8 i o q 口+ 1 0 口1 4 d a d x a d t 一瓦d y a 如ad t 、 d r a d y d t 如 d y a 出 ( w t ) 口d x a d y a 出+ a 6 c s b d t c ad y 出 ：囊产乞黧 出+ u 职d 2 d y 出 (31，14)add 如 y ， 峥1 ，1 4 j 如a d y a d t + s ( w t ) d x a d y a d t ， 识a d y a d t + d 昵a 如 d t ， ( t w ) d x ad y ad t + & 识a d y 出， 穗 蕊臣忡 塑i 童( ! ! ! 丝旦墨塑查堡i 里旦燮型 其中o = 1 ，2 ，3 ，易验证它们构成一个闭理想令这些3 - 形式为0 ，可得到 ( 3 1 2 ) ，根据m o r r i s 5 1 的延拓结构理论，我们可以引入如下2 一形式 钟= 阱 d t + 磷p d x a d y + ( 剪出+ 骘由) 掣， ( 3 1 1 5 ) 注意到这里考虑的是一般延拓的情况，因此，认为矩阵a ，b 仅依赖于变量( z ，口，t ) 且缈如( 3 1 4 ) 的定义a 依赖于变量( 。，y ，t ) ，且由于引入新变量t ，此时 0 要求缈满足 1 4n d 渺= g “凰+ 学 锘， ( 3 1 1 6 ) i j 又将( 3 1 1 5 ) 两边全微分再利用( 3 1 1 4 ) 可得 顽k 面o f a l 酣l d y a d x ad t + 筹矾 出 出+ 蕞( 嘶。+ 峨a d y a + 筹也 如 出+ f 等曲 如 出+ f 筹时比出 咖 删 + f 籍d 矾 由a d t + 筹旧。垮( wx t ) 如 咖 捌+ 器 一( s a 。+ b ) 。+ ( s ( 一d s ) ) 。a d x a d y + s ( w t ) i a d xa d y a d t + r 丘1 4 一s a ( t w ) 如a d y ad t + u ( s w ) 。d x a d y a 出) + ! 筹如 由 出一暇q d x a d y a d t + f 。( 一q 如+ b 蜓 如 匆) + g f ( 二囝ad y a d f d z a d r ) + d 日a d x d + 日d 善 d x a d y + a 壳a 出一f a i g d x a d y a d t a t b d x 旬 蜓+ 县q ad y + f 县f d x a d y a d t + b t a d x a d y a 西，( 3 1 1 7 ) 将上式与( 3 ，1 1 6 ) 比较。导出( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 且得到矩阵h 满足以下关系 h = g a f b + a 。一展+ a , b 一鼠a ，( 3 1 1 8 ) 瞰殛 一石o 。g 。 s d s ) a d x a 却+ d 日 如 咖一五如 西 班 一a e g d x ad y a d t + 鼠f d x ad y ad t = 0 ，( 3 1 1 9 ) 1 1 蔓塑塑苎查堂翌主堂垡堡塞!i ! 1 2 壅亘塑塑壅堡璧堕壁立墨盟壅塑堕塑 将( 3 1 。1 8 ) 带入上式得到 一面o g ( s d s ) 出 由+ a d g 如 由+ g 以 如 白一日d f 如 妇 一f d b a 出a d y + d 也a d x a d y d 玩a 如a d y d ( a b ) a d x a 咖 + d ( 且4 ) a d x a 曲一兄d x ad y ac l t a t g d x a 咖ad t + b t f d x a 西a d t = 0 ， ( 3 1 2 0 ) 注意到上式各项中只有a d g a 如ad y 的展开项有含d 矗a 缸a d y 的项，因此 可以推出a = 0 则上式可改写为 一篆( s d s ) 如 由一b d f 如 咖- f d b a 如 白 d 风a d x a d y 一五如a a y a d t + b t f d 石a 咖a 出= 0 ，( 3 1 2 1 ) 将微分方程( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) 的解( 3 1 1 3 ) 带入上式，得到 d & a d x a d y 一 v s a x , , d x a d y d t a b x a d s a ad z a d y b a t 五出a 如a d y f b , d t a 如a 曲一d b a 如a 由 + 丑t f 咖a 却 斑= 0 ， ( 3 1 ，2 2 ) 解得 b2i ， 以及 a t = a a ，a $ = 0 将( 3 1 1 6 ) 限制到解流形上，即令钟= 0 ( 3 1 2 3 ) ( 3 ，1 2 4 ) 0 = q a 出+ 彤出a 咖+ ( 剪如+ 剪曲) a d 一 2 磷 疵+ f 出 d t + 饿西ad t + 日出a d v + a d z + b 匆a 。( 毛+ 联+ b 靠) d 9 a g t + ( 矗+ f + a & ) d x , i t + ( 日+ a 岛一b 岛) d 童 d y 整理得 ，矗= 一击g f 一击矗 i 矗= 一足一a 6 ， ( 3 1 2 5 ) 兰! 皇i ! 1 2 堕亘璺塑查堡( 坚塑堡型 于是可以得到( 2 + 1 ) 维可积的h f 方程( 3 1 2 ) 的l a x 表示t f 岛= 一f i x , ；一 。= 萼：。& 矾f ， 矗= 一击岛一吉g l 置：一；。 ( 3 1 ，2 6 ) 【= 一a 岛+ 警：l u & 以+ ( s t ) 吼 ， 其中吼， = 1 ，2 ，3 ，为p a u l i 矩阵，即口1 = ( 2o ) ，观= ( 9 一) ，印= ( 10 1 ) 且谱参数a 满足非线性方程( 3 1 2 4 ) 。可验证由相容性条件白= 缸，方程( 3 1 2 6 ) 导出可积的h f 方程( 3 1 2 ) 3 2 ( 2 + 1 ) 维可积m h f 模型的延拓结构 在闵氏空间中( 1 + 1 ) 维h f 模型表示为s t = s 叉s 。，其中s = ( ，岛，岛) 且s 2 - s 。si 踯+ 研一霹= 4 - 1 满足霹 0 ，最表示伪叉乘，即满足运算 式s 爱s 。= ( s 2 s m 一风s 南，s 3 & ；。一s l s ，一s l s 2 。+ s 2 s 1 。) ，下面就分 别对s 。s = - 1 和so s = + 1 两种情况进行讨论 3 2 1so s = - 1 的情形 d i n g 1 0 给出了与( 2 + 1 ) 维n l s 一规范等价的( 2 + 1 ) 维m h f 模型 。s 。t 三黑s ：未s ”y c 。z ， 【u t = so ( 。更) 、。1 7 其中s o s = 研+ 岛一霹= 一1 和上一节的做法一样，先考虑( 2 + 0 ) 维情形， 令w = s 。，t = s ，s ，t ，w 和牡为新的独立变量，定义下列2 一形式 ra 。= d s o a d x 一疋d y 如， la 州= d ad y w , , d x a d y ， i 6 4 6= ( w 灵t ) 。d x ae l y + 屯k & d 疋 曲 + & d u a d y + u w , d x ，( 3 2 2 ) i a l o = d u a d y s o ( w 灵t ) 出a d y ， ia o + 1 0 = d t ad y + d w o d x ， la 1 4= ( to w ) d z ad y + s o d t a d y ， 其中a = 1 ，2 ，3 ，可验证这些2 - 形式满足条件 d 血= 南 西，( 3 2 3 ) j 1 3 堕塑塑整垄堂堡主兰垡堡茎! l ! ! ! 垄里墨塑查墨壁壁壁查里盟堡堑竺塑一 其中厶为一组1 一形式， 盈，i = 1 ， 0 ，可得到方程( 3 2 1 ) ( 1 l 幺g c ys = 0 ) ，1 4 构成一个闭理想令上述2 形式为 下面引入一组1 一形式 q ：d + 声2 ( s ，t ，w ，珏，霉，9 ) d + 0 。( s ，t ，w ，u ，茁，可) 。d y ， ( 3 2 4 ) 其中p 为延拓变量，要求 a 。( 。= 1 ，1 4 ) ，奶对于外微分构成新的闭理想， 因此要求满足微分关系 ( 3 2 5 ) 静：矿鋈+ e 由 d 叫 筹趣 如”磊( 嘶。“已 钳等d u a d x + 矿等曲 出”筹i i 外s + 吼枷训 彬t 静谚t j w o a d u + 驴警【& 。o - so ( w 锄如 训”筹 + & 1 4 + u ( s 灵w ) 。如 咖) + 筹出 旬一【声，。l 扩d x a d y 与( 3 2 5 ) 进行比较。可以得到 差0 - 1 = 誓扎蕞= 。d a 口y y o 解偏微分方程( 3 2 6 ) 和( 3 2 7 ) 可以得到下列解 g 1 4 ( 3 2 6 ) 娑：o ( 3 _ 2 8 ) 鲫 掰 谚 。一 + q 壮 m l l k 娩 畎 功 = w 艚 双 扩 p 一 瓢 纷一鼹护一向 q w w 鹕 堂c 蔷洲 + t 仅堂眠+ 冗 坐溉 xt一 s 。吼 +x & 。“ 墨& 。m 入 | | f 整! 皇 ! ! 1 2 堕亘墼塑壅堡! 旦旦塑型 其中积分函数置，i ；1 ，2 ，3 仅依赖于延拓变量驴，而且有s u ( 1 ，1 ) l i e 代数对易 关系与研究( 2 + 1 ) 维h f 模型时的方法相似，定义下述3 - 形式盈 ra 。= d s = a d x a d t l d y 如a d t ， i 盎。+ 3= d a d y a d t 一肌d 茁a d y d t ， ia 。+ 6= ( w 灵t ) 。d x ad 分a d t + e 。k 品d t c a d y a d t + d u a d y a d t + u w d x a d y ad t d 足a 出ad y ，( 3 2 9 ) l a l o= d u a d y a d t so ( w x t ) d x a d y a d t ， la 1 0 = 识a d y a d t + d a d x ad t ， la 1 4= ( to w ) d x ad y ad t + s0 d t a d y ad t ， 其中a = l ，2 ，3 ，可证它们构成一个闭理想引入2 _ 形式 秘= 绺a d t + 骘出 旬+ ( 鸯妇+ 骘d y ) a 蟛， ( 3 2 1 0 ) 其中a ，亩为依赖于变量( 。，y ，) 的矩阵，静为( 3 2 ，4 ) 所定义的，此时谱参数 a 依赖于变量( 。，y ，t ) 此时0 ，则 血，i = 1 ，1 4 ，q ) 构成新的闭理想， 即满足 d f i 。= 产瓯+ 谚a 印， ( 3 ，2 1 1 ) t = l j = l 将( 3 2 1 0 ) 等式两边求全微分，再利用( 3 2 9 ) 可以得到 耐= 筹阱咒由 缸人捌+ 面a p k 识 出 础+ 蒹( m + 识 啦删 + 等砒 如 出+ 等由 如 出+ 筹 a d + 3 + 睨出 西删 + f 蒹碱 由 班+ 筹 6 1 0 - so ( w 碉出 由 叫+ f 差 一( s 灵a 。+ 8 ) 。+ ( s 灵( 一d s ) ) 8 a d x d y + i s ( w 叉t ) 】。d x a d y a d t + 晶a 1 4 + s ：( to w ) 如ad y ad t + u ( s 叉w ) 。d x ad y a d t + f 豢妇 妇 出一限甸* 如 西a d t + f 2 ( f i 出+ b 妇 而) + g ( 一q a d y 一4 d a d x a d u ) + 擅ad x a d y + i ：i d f ad x d y + a 矗a d x 一丑夸如 d y ad t 一盈台如a d y + 摩q d y + 瞳户2 d x d y ad t + b , a d z ad y ad f ， f 3 2 1 2 ) 1 5 可以得到( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) 以及h 满足 疗= 0 a p 雪+ a 。一岛+ a t b b t a ， ( 3 2 1 3 ) 以及 一瓦o g 【s _ d s ) 如 咖+ d 直 出 咖一托如 咖 出 一a t c d x a d y a d t + 鱼户出a d y ad t = 0 ，( 3 2 1 4 ) 将( 3 2 1 3 ) 代入上式通过比较可得a = 0 ，则上式可改写为 一瓦o g 【s - d s ) 如 曲一亩d 户 如a d y - 向亩 如 句 一d 巍a d x a d y 一s ：墨如a d y a d t + 雪t p 如 d y a d t = 0 ， ( 3 2 1 5 ) 将( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) 的解( 3 2 8 ) f 和g 带入( 3 2 1 5 ) ，得到 b = j ，九= 一a ，( 3 2 1 6 ) 将( 3 2 1 0 ) 限制在解流形上，可以得到( 3 2 1 ) 的l a x 表示 f 矗= 一l x , ：。 = 一入警1s t ， 6 = 一击白一击a l x , ：。 ( 3 2 1 7 ) 【= 一 矗一a ：1 【s i n + ( s 灵t ) n 】f ， 其中矗为s u ( 1 ，1 ) 李代数的生成元，即丁1 = j 1 ( 6 生1 ) ，下2 = ( 9 一) ，下3 = ( 96 ) 可验证由相容性条件缸= 缸方程( 3 2 1 7 ) 导出可积的修正h f 方 程( 3 2 1 ) 3 2 2so s = + 1 扮情形 在so s = + 1 的情形下，( 2 + 1 ) 维可积m h f 模型的形式为 强三佟- s 麓嚣 8 z 埘 i 珏z =o ( s x 灵s y ) 一7 其中sos = 研+ 毋一霹= + 1 用与分析( 3 2 1 ) 同样的延拓结构方法分析 ( 3 2 1 8 ) ，可以得到相应的l a x 表示 f 已= 一p l 置。= 一a 。& t ， & = 一击矗一击g l 置。f ( 3 2 1 9 ) 【= 一a 毛一a 各1 u & 丁 + ( s 灵t ) i 矗】6 1 r 第4 章几何等价性 且谱参数满足 a = a a ，k = 0 ( 3 2 ，2 0 ) 4 几何等价性 在这一章中，我们将从几何的观点出发建立可积m h f 方程与n l s 一 方程之间的联系，即几何等价性 4 1 欧氏空间和闵氏空间中的曲线运动 要展开本章的研究工作，首先要简要回顾一下有关空间曲线的基本理论，下 面分别介绍在欧氏空间和闵氏空间中的曲线运动 4 1 1 欧氏空间中的曲线运动 欧氏空间e 3 通常定义为由向量 ( 。，x 2 ，x 3 ) l x l ，x 2 ，x 3 r ) 组成定义内积 x y = x l y l + x 2 y 2 + x 3 y a ，外积x x y = ( x 2 y 3 一z 3 珈，x 3 y l z l 蜘，x l y 2 - x 2 y 1 ) 在欧氏空间中，f r e n e t r s e r r e t 标架表示为 rt l= k ， n g = t b 一砒，( 4 1 1 ) lb 。= 一r n ， 这里8 表示弧长，t ，n ，b 分别表示曲线的切矢量、法矢量和从法矢量，一和7 分别表示曲线的曲率和挠率，我们引入复矢量n 和h a s i m o t o 函数妒1 2 1 n = ( n + l b ) e 删r “) 妒= ( 一 r d s ，) ， 以t ，n 和n + 为基，方程组( 4 1 1 ) 可以改写为 n s = 一妒t ， t 。= ；( 妒n + 妒+ n + ) 1 8 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 第4 章几何等价性 容易验证新的标架t ，n 和n + 满足 n n = 2 nt = n + t = n n = 0 t 和n 随时间变化的关系可表示为 n t = i r n + t t t t = 一；( 悄+ + 1 n ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) 其中r ( s ，t ) 为实数，利用相容性条件n 。c = n t 。，我们可以得到妒随时间变化 的关系 i 呶+ 啦一r e = 0( 4 1 9 ) 其中 见= i ( ，y 妒一，y + 妒+ ) ( 4 1 1 0 ) 4 1 2 闵氏空间中的曲线运动 闵氏空间m 3 定义为由三维向量 ( $ 1 ，x 2 ，z 3 ) l z l ，：e 2 ，z 3 r 组成的空间在 闵氏空间中内积定义为x o y = z l y l + 茁2 y 2 一。3 y 3 闵氏空间中两向量4 ，b 的外 积通过如下关系给出定义( a t b ) o c = d e t ( a ，b ，c ) 对任意向量g 成立下面我 们如下定义三维标架，对于两个向量构成一个非平凡的3 维标架，对于两个向量 e l 和0 2 ，满足e t o e l = 士1 且e l o e 2 = 0 ，第三个向量e 3 = e 1 灵e 2 ，