（通信与信息系统专业论文）光波导器件仿真中低数值色散方法的研究.pdf

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b p mf i n i t ee l e m e n t b p m m o l m r t d p m l m o m t l m m e t h o do fl i n e 有限元光束传播法 直线法 m u l t i r e s o l u t i o nt i m e d o m a i n 时域多分辨分析 p e r f e c tl ym a t c h e dl a y e r m e t h o do fm o m e n t s t r a n s m i s s i o nl i n em a t r i x 理想匹配层 矩量法 传输线法 中文摘要 平面光波导器件在光通信中占有重要的地位，光波导器件的计算机仿真日益 重要。光波导的计算机辅助设计( c a d ) 已经成为当前的一个热门研究方向。 计算机辅助设计必须基于某一种光波导的数值计算方法。目前多用的是光束传输 法( b p m ) 、时域有限差分法( 册) 等，但是两种方法都存在着一定的制约 条件。本文着眼于减小传统f d t d 方法中的数值色散，研究了具有低色散特性 的高阶时域有限差分法与时域多分辨分析( m r t d ) 两种方法。 传统f d t d 方法对m a x w e l l 方程组中的空间微分和时间微分都采用具有二 阶近似精度的中心差分法来近似。高阶f d t d 实际上就是用高阶中心差分法来 近似m a x w e l l 方程中对空间和时间的微分。本文仅研究对空间微分采用高阶中心 差分法近似，而对时间微分上仍然采用与传统f d t d 方法相同的二阶中心差分 近似。本文详细讨论了高阶f d t d 方法中关联系数的求解方法，实现了高阶f d t d 方法的完全匹配层( p m l ) 吸收边界条件，并分析了其稳定性条件。本文还从迭 代公式、完全匹配层吸收边界以及稳定性条件等方面，将高阶f d t d 方法与传 统f d t d 方法进行了比较。 基于小波分析思想的时域多分辨分析方法同样具有低数值色散特性，本文详 细介绍了仅用尺度函数进行电磁场分量展开的时域多分辨分析方法( s m p t d ) 的 基本原理，实现了适用于m r t d 方法中的各项异性完全匹配层( a p m l ) 吸收边 界条件，并分析了该方法的稳定性条件。 无论是传统f d t d 方法、高阶f d t d 还是m r t d 方法，数值色散特性都是 一个非常重要的因素。所以本文重点研究了传统f d t d 方法、m r t d 以及高阶 f d t d 的数值色散特性，并着重从空间步长、稳定因子以及传播方向三个方面比 较了三者的数值色散特性。从结果可以看出，高阶f d t d 方法与m r t d 方法的 数值色散明显小于传统的f d t d 方法；在相同条件下，高阶f d t d 方法优于与 之具有相同数目展开项个数的m r t d 方法。 为了验证高阶f d t d 方法以及基于d a u b e c h i e s 尺度函数的m r t d 方法在光 波导器件仿真中的有效性和准确性，将这两种方法应用在平面介质带定向耦合器 的仿真中，对仿真得到的耦合长度和解析方法得到的耦合长度进行比较。结果表 山东太学硕士学位论文 明，由于m r t d 方法和高阶f d t d 方法的数值色散较小，它们在保证仿真准确 性的要求下，都可以采用比传统f d t d 方法更大的网格尺寸，从而大大节约计 算时间和计算机资源，提高计算效率。由此可见m r t d 以及高阶f d t d 算法在 电大尺寸光器件仿真和分析中有重要的应用价值。 在本论文中，贯穿三个方面的比较，一方面是高阶f d l d 方法以及m r t d 方法与传统f d t d 方法之间的比较：一方面是高阶f d t d 方法和与之具有相同 数目展开项个数的m r t d 方法之间的比较：第三方面是高阶f d t d 方法中，具 有不同近似精度的方法之间的比较，m r t d 中基于不同消失矩阶数的方法之间的 比较。通过这三方面的比较，详细地研究了传统f d t d 方法、高阶f d t d 方法 以及m r t d 方法的相弱点和不同点；总结了这三种方法的特点以及相互之闯的 关系。这对传统f d t d 、m r t d 以及高阶f d t d 方法的研究和应用具有一定的指 导意义。 关键词：高阶时域有限差分法( 高阶f d t d ) ；时域多分辨分析( m r i d ) ： 数 值色散：完全匹配层( p m l ) 。 4 a b s t r a c t t h ep l a n a ro p t i c a lw a v e g n i d ed e v i c e sh a v ep l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei no p t i c a l c o m m u n i c a t i o na n ds i m u l a t i n gt h eo p t i c a ld e v i c e sb e c o m e sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n t n o w t h ec o m p u t e r - a i d e dd e s i g n ( c a d ) o fo p t i c a ld e v i c e si sb a s e do nac e r t a i n n u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o da n dh a sb e e nah o tr e s e a r c ht o p i cr e c e n t l y t h e r ea r em a n y m e t h o d si nn u m e r i c a lc o m p u t i n go p t i c a lw a v e g u i d e ，i nw h i c ht h eb e a mp r o p a g a t i o n m e t h o d ( b p m ) a n dt h ef i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( f d t d ) m e t h o da r ep o p u l a r m e t h o d su s e di nc a do ft h eo p f i c a iw a v e g n i d e h o w e v e r ，b o t hb p ma n df d t da r e r e s t r i c t e dw i t h i nl i m i t s i no r d e rt oi m p r o v et h ee f f i c i e n c yo ft h ec o n v e n t i o n a lf d t d m e t h o d ，h i g h e ro r d e rf d t dm e t h o da n dm u l t i r e s o l u t i o nt i m ed o m a i nm e t h o d ( m r t d ) a r ed i s c u s s e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ec o n v e n t i o n a lf d t df o r m u l a sa r co n l y 淅t l lt h es e c o n d o r d e r ( 2 ，2 ) a c c u r a c y b o t hi nt i m ea n ds p a c ed o m a i n w h i l eh i g h e ro r d e rf d t df o r m u l a sa r e 、i mh i g h e r o r d e ri nt i m ea n ds p a c ed o m a i n i nt h i sd i s s e r t a t i o no n l ys e c o n do r d e ri nt i m ed o m a i n a n dh i g h e ro r d e ri ns p a c ed o m a i nf d t dm e t h o di ss t u d i e d t h ec o n n e c tc o e f f i c i e n t s o ft h eh i g h e ro r d e rf d t dm e t h o d s ，t h ep e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r s ( p m l ) a n dt h e c o n d i t i o n so fs t a b i l i t ya r ed i s c u s s e di n d e t a i l h i g h e ro r d e rf d t dm e t h o da r e c o m p a r e dw i t hc o n v e n t i o n a lf d t dm e t h o di nt h o s er e s p e c t ss u c ha so v e r l a pf o r m u l a s p m l s ，s t a b i l i t yc o n d i t i o n sa n ds oo n t h em r t dm e t h o db a s e do nt h es c a l i n ga n dw a v e l e tf u n c t i o n sd i s p l a y e dg o o d d i s p e r s i o np e r f o r m a n c e t h ee x p a n s i o no ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d si nt e r m so f s c a l i n gf u n c t i o n sl e a d st ot h es - m r t ds c h e m e t h ea n i s o t r o p i cp e r f e c t l ym a t c h e d l a y e r ( a p m l ) a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o nf o rm r t d m e t h o db a s e do nd a u b e c h i e s c o m p a c t l ys u p p o r t e ds c a l i n gf u n c t i o n si si m p l e m e n t e di nt h ed e s s e r t a t i o n n u m e r i c a ld i s p e r s i o ni sa l li m p o r t a n tf a c t o ri nm a n yn u m e r i c a la n a l y t i cm e t h o d s o ft h ee l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m si n c l u d i n gc o n v e n t i o n a lf d t dm e t h o d ，h i g h e ro r d e r f d t dm e t h o da n dm r t dm e t h o d t h en u m e r i c a ld i s p e r s i o np r o p e r t i e so fh i g h e r o r d e rf d t da n dm r t dm e t h o da r ei n v e s t i g a t e da n dc o m p a r e dw i t ht h o s eo ft h e 山东大学硕士学位论文 c o n v e n t i o n a lf d t d i ti sf o u n dt h a th i g h e ro r d e rf d t dm e t h o da n dm r t dm e t h o d s c o u l dg i v eh i g h e ra c c u r a c y , a n dt h en u m e r i c a ld i s p e r s i o no f h i g h - o r d e rf d t dm e t h o d o u t r e r f o r m st h a to ft h em r t ds c h e m ew i t l lt h es a m en u m b e ro ft h ee x p e n d p o l y n o m i a l i no r d e rt ot e s t i f yt h ep r e c i s i o na n dt h ev a l i d i t yo ft h eh i g h e ro r d e rf d t da n d m r t dm e t h o d si ns i m u l a t i n gt h eo p t i c a lw a v e g u i d ed e v i c e s ，t h e p a r a l l e l s l a b d i r e c t i o n a lc o u p l e ri ss i m u l a t e du s i n gt h e s et w om e t h o d s b yc o m p a r i s o no f n u m e r i c a l r e s u l t sa n da n a l y t i c a ls o l u t i o n s ，i ti sf o u n dt h a th i g h e ro r d e rf d t da n dm r t d m e t h o d sc o u l du s e b i g g e r c e l l s i z et h a nc o n v e n t i o n a lf d t dm e t h o dw h i l e m a i n t a i n i n gt h es o l u t i o na c c u r a c y , s ot h e yc o u l ds a v ec o n s i d e r a b l ec o m p u t e r r e s o u r c e s t h e s em e t h o d sc o u l db eu s e di nt h ec a da n dt h ea n a l y s i so fa r b i t r a r y p l a n a ro p t i c a lw a v e g u i d es t r u c t u r e s t h e r ea l et h r e ea s p e c t sc o m p a r i s o n st h r o u g h o u tt h i sd i s s e r t a t i o n a tf i r s t ，h i g h e r o r d e rf d t dm e t h o da n dm r t dm e t h o da r ec o m p a r e dw i t hc o n v e n t i o n a lf d t d m e t h o d s e c o n d l y , t h eh i g h e ro r d e rf d t dm e t h o di sc o m p a r e dw i t ht h em r t d m e t h o dw i t ht h es a r n en u m b e ro f t h ee x p e n dp o l y n o m i a l a tl a s t , f d t dm e t h o d s 、m t l l d i f f e r e n ta c c u r a c ya n dm r t dm e t h o d sb a s e do nd i f f e r e n tv a n i s h i n gm o m e n ta r e c o m p a r e d t h r o u g ht h e s ec o m p a r i s o n s ，t h ed i f f e r e n c e sa n dt h er e l a t i o n s h i p sa m o n g t h ec o n v e n t i o n a lf d t dm e t h o d ，t h eh i g h e ro r d e rf d t dm e t h o da n dt h em r t d m e t h o da r cc l a r i f i e da n dc o n c l u d e d t h i si so fg r e a tb e n e f i t st ot h es t u d ya n d a p p l i c a t i o no f t h o s em e t h o d s k e y w o r d s ：f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( h i g h e ro r d e rf d t d ) ；m u l t i r e s o l u t i o n t i m ed o m m nm e t h o d0 v i r t d ) ；n u m e r i c a ld i s p e r s i o n ；p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ( p m l ) 第一章引言 1 1 光波导器件c a d 的中的数值计算方法 光波导器件在现代光通信、光网络和光信息处理系统中起着举足轻重的作 用，由于器件的微观性和复杂性，使光波导器件设计者面临很大的设计困难，计 算机辅助设计为设计者提供了最佳的设计平台。 随着光波导器件设计的日益复杂化以及非均匀、非线形、各项异性、损耗材 料在光电子器件中的应用，用解析法精确求解m a x w e l l 方程组在此类器件中的解 已经变得极为困难，因此用数值方法对m a x w e l l 方程组进行精确求解就变得势在 必行。人们希望利用数值计算方法来设计光波导器件以及分析光波导器件的性 能。这就需要通用性好、精度高运算速度快的数值计算方法来支持。随着计算机 技术的飞速发展，数值计算方法的日趋完善，这成为光波导的计算机辅助设计发 展的基础。 目前已经有很多计算光波导中电磁场问题的数值方法。6 0 年代未出现了用 数值方法来分析集成光波导，之后又出现了多种数值分析方法，主要有：直线法 ( m e t h o do f l i n e 。m o l ) 、模匹配( m o d e m a t c h i n gm e t h o d ) 2 1 、耦合模理论 ( c o u p l e m o d et h e o r y ) 3 1 、光束传输法( b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d 。b p m ) n - 6 、 时域有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ，f d t d ) 【7 】、有效折射率法 ( e f f e c t i v ei n d e xm e t h o d e l m ) 8 1 1 9 1 等。b p m 是处理光波在介质中传输的重要方 法之一，其基本思想是在给定初始场的前提下，一步一步地计算出各个传播截面 上的场。因其算法简单、计算速度快、准确性高，通用性好而为人们所关注，是 目前光波导器件研究与设计领域最流行的方法，也是最适合开发通用光波导器件 c a d 软件的方法【1 0 】。 1 1 1 光束传输法 最先的b p m 是以快速傅里叶变换( f a s t f o u r i e rt r a n s f o r m ，f f t ) 【4 l 为数学 手段实现的，所以可称为f f t - b p m 。f f t - b p m 源于标量波方程，因此只能得到 标量场( 即只处理一个极化分量) ，不能分辨出场的不同极化( t e 模或t i v l 模) 山东大学硬士学位论文 以及场之间的耦合。f f t o b p m 所采用的网格是等间隔的。所以在处理劈形、弯 曲波导时，不是很适合。但f f t - b p m 比较简单，特别在处理平面波导时，精度 足够，速度也比较快。f f t - b p m 已经被用于分析光栅、非均匀介质，还可被用 于分析二阶非线性波导。f f t - b p m 由于在处理复杂波导时，效率低、精度差， 因此，这方面应用现在很少，还在研究之中。 由于f f t - b p m 存在以上这些缺点，为了解决这些问题，1 9 8 9 年，y e v i c kd 等人提出了一种新方法一一有限差分光束传输法( f i n i t ed i f f e r e n c e b p m ， f d b p m ) d 2 1 。f d b p m 的简要过程为：将波导横截面分成很多网格，在每一个 网格内的场分量采用差分方程来表示，然后加入边界条件，就可得到整个横截面 的场分布：重复前面的步骤，最后可得到整个波导中的场分布。这种方法已被成 功的应用于分析y 型波导及s 型弯蓝波导中的光波传输；f d b p m 还被用于分 析条形波导、三维弯曲波导、二阶非线性效应以及有源器件。 1 9 9 0 年k o e h e t 将有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e ) 【1 3 】用于表示横向 场，从而提出了一种新的b p m 方法有限元光束传输法( f i n i t ee l e m e n t - b f m ， f e b p m ) f 1 4 l 。f e b p m 的计算过程为：波导横截面被分成很多三角形( 元) ，在 每一个元内的场用多项式来表达，然后加入不同元之间场的连续条件就可得到 整个横截面的场分布。现在，f e b p m 己被广泛应用于各种集成光学器件，如不 同波导间的连接及激光器与波导之间的耦合，光场在y 型波导中的传播，劈形 波导中的极化问题以及非线性效应的分析等方面。 1 1 2 时域有限差分法 b p m 法计算简单、速度快，但它采用了菲涅耳( f r e s n e ) 近似，忽略了由于 光波导轴向的不均匀性而引起的反射波，而这些反射波在那些作为反射器的光波 导器件中是不能被省略的。近些年来，直接对m a x w e l l 方程组求解的f d t d 法 已被应用于光波导器件的仿真和分析中。 1 9 6 6 年k s y e e 首先提出了一种电磁场数值计算的新方法一时域有限差分 法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f d t d ) l t l 方法。对电磁场e 、h 分量在空问 和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个e ( 或h ) 分量周围都有四个h ( 或 e ) 分量环绕，应用这种离散方式将古时间变量的m a x w e l l 旋度方程转化为一组 山东大学硕士学位论文 差分方程，并在时间轴上逐步推进地求出整个空间的电磁场。y e e 提出的这种抽 样方式后来被称之为y e e 单元f d t d 方法，这是求解m a x w e l l 方程的直接时域 方法。在计算中将空间某一采样点的电场( 或磁场) 与周围的网格点的磁场( 或 电场) 直接联系起来，且介质参数已经赋予空间中的某一个单元，因此这一种方 法能处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射等问题f 。5 】。同时 f d t d 的随时间推进可以方便地给出电磁场的时间演化过程，在计算机可以用伪 色彩的方式显示，这种电磁场可视化的结果清楚地显示了物理过程，便于分析和 设计。 f d t d 方法是求解m a x w e l l 方程的直接时域方法，经过三十多年的发展，已 经成为一种成熟的数值方法，应用也越来越广泛。f d t d 除了具有直接时域计算、 适用性广泛的特点外，还有许多优点：能够节约存储空间和时间、适合并行计算、 计算程序通用、简单直观容易掌握等。因此，f d t d 得到了广泛的应用，到现在 为止，它几乎用到了电磁场中的各个方面。首先在电磁兼容问题中有广泛的应用， 由于f d t d 的直接时域计算的特点，因而对电磁脉冲的仿真特别适用，并在这 方面已经取得了很多重要的成果”6 1 。另外，时域有限差分已用于天线的辐射f 1 7 1 ， 它不但用来计算天线辐射的方向性，也可以计算天线中各种重要的辐射参量。最 近f d t d 已经在微波电路和光路时域分析中【1 8 1 1 。9 】，随着通信和雷达技术的发展， 高速和宽带器件显得越来越重要。f d t d 不仅分柝了均匀的传输结构，而且分析 各种非均匀，非线形等特性。 但是f d t d 方法在规模较大的电磁系统进行仿真分析时，由于数值色散的 影响，需要数目庞大的y e e 氏单元。这导致了f d t d 算法运行耗时长，计算机 内存需求大，严重制约了f d t d 方法的应用。人们为了克服这个困难，提出了 许多改进方法，其中重要的有高阶f d t d 方法与m r t d 方法。 d e v e z e 等人提出了四阶精度的f d t d 2 0 1 ，在时间上的微分采用了具有二阶近 似精度的中心差分法，而在空间上的微分却采用具有四阶近似精度的中心差分 法。在文献 2 1 中讨论了这种方法的实用性，同时指出主要的问题是它的不稳定 性和边界条件的处理上。在文献 2 2 中提出了一种简单的高阶方法，然后讨论了 这种方法的数值色散和稳定特性。与传统的f d t d 方法相比，这种方法降低了数 值色散，提高了稳定性。这就意味着对于同样尺寸的仿真系统，高阶f d t d 方法 山东大学硕j ：学位论义 r,t 可以采用较大的计算网格尺寸，从而使所需计算网格数目减少，这样就节省了计 算资源。接着文献 2 3 中讨论了使用于高阶f d l d 方法的吸收边界条件从而使 高阶时域有限差分真正适用于实际的微波或光系统的仿真中。 近十年来，人们把小波分析用于计算电磁学，主要目的是在保证准确性的前 提下，减小对计算机资源的占用，提高计算效率，其次是利用小波函数特有的消 失矩、紧支集、正则性等性质，解决电磁场数值计算中的一些特殊问题。起初人 们把m a x w e l l 旋度方程用小波函数和尺度函数展开，再采用g a l e r k i n 方法离散化， 得到基于多分辨分析的时域迭代公式( m u l t i r e s o l u t i o nt i m e - d o m a i n ，m r t d ) 。 1 9 9 6 年，m k r u m p h o l z 首先采用三次样条b a t t l e l e m a r i e 尺度函数和小波函数推 导出新的时域迭代公式【2 4 】，t e m m a n o u i t 等分析了其数值色散关系和稳定性条件 1 2 5 1 ；随后k g o v e r d h o n a m 推导出了基于h a r r 小波函数的时域多分辨分析i2 6 】： y w c h e o n g 等推导出基于d a u b e c h i e s 紧支集小波函数的时域多分辨分析【2 7 】； t e m m a n o u i l 研究了理想匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，p m l ) 并用于基于 b a t t l e l e m a r i e 尺度函数和小波函数的m r t d 公式的情况1 2 8 】：m f u j i i 等研究了基 于d a u b e e h i e s 尺度函数的m r t d 公式的数值色散特性1 2 9 1 ，这些公式已经用于计 算和分析二维和三维波导、微带线以及电大尺寸的光波导器件闯题中，取得了良 好的效果。 1 2 本文的研究内容与主要贡献 本文在前人工作的基础上，研究了具有低数值色散特性的高阶f d t d 与时 域多分辨分析，并对这两种方法进行了比较。具体来说，有以下几个方面： 首先，详细地研究了具有高阶近似精度的f d t d ，包括迭代公式、关联系数 的计算、p m l 吸收条件以及稳定性等，并与传统的f d t d 方法在上述几个方面 进行了比较。 其次，对基于各种小波函数的时域多分辨分析方法进行了系统的研究，推导 了适用于m r t d 方法的a p m l 吸收边界条件，并将其应用到了光波导器件的仿 真中，取得到了较好的结果。这一成果已在光电子激光v 0 1 1 5 n o 22 0 0 4 中发表。 然后，重点研究了高阶f d t d 方法以及基于d a u b e c h i e s 尺度函数的m r t d 方法的数值色散特性，验证了这两种方法的数值色散的确比传统的f d t d 方法 的数值色散要小的很多。本文还从空间步长、传播焦度以及时间稳定因子三方面 对高阶f d t d 以及与之具有相同数目的展开项的m r t d 方法的数值色散特性进 行了比较，分析了两种方法在数值色散特性方面体现出的差异。 最后，为了验证这两种方法在光波导器件计算机辅助设计中的有效性与准确 性，本文对平面介质带定向耦合器进行了仿真，通过比较实验得到的耦合长度与 解析方法得到的耦合长度，分析了高阶f d t d 方法与m r t d 方法的计算精度， 仿真效率等方面的特性。这一成果已被光子学报、光电子激光录用。 1 3 论文结构 本论文共六章，结构框图如下图所示 图1 1 论文结构框图 论文第二章研究了具有高阶近似精度的高阶f d t d 的迭代公式，吸收边界 条件、稳定性条件等。 山东人学碗i 学位论文 论文第三章讨论了时域多分辨分析方法的起源和发展，分析了迭代公式，推 出了适用于m r t d 方法的a p m l 吸收边界条件，并分析了m r t d 的稳定性条件。 第四章从数值色散方程出发，详细的研究了m r t d 方法和高阶f d t d 方法 的数值色散特性。 第五章通过实例比较和分析了m r t d 方法与高阶f d t d 方法的性能，并与 传统的f d t d 方法进行了比较，得到了最后的结论。 第二章高阶时域有限差分法 2 1 高阶时域有限差分法的发展 1 9 9 6 年，k ，s y e e 首先提出了时域有限差分法( f d t d ) 【7 1 的基本思想，并 应用于二维电磁散射问题。这种方法把时域m a x w e l l 旋度方程在y e e 网格上对时 间和空间微分用中心差分近似，并作为初值问题计算电磁问题的时域数值解。尽 管f d t d 方法简单、高效，但是这种方法提出后没有立即引起重视，主要是由 于当时没有高性能的计算机。随着计算机性能的不断提高，电磁界对这种方法的 兴趣慢慢增加。与传统的在频域上求解的方法相比，f d t d 有许多优点：它可以 获得整个模拟区域内任何位置、任何时间的瞬态电磁场分布，而且，借助于f o u r i e r 变换，可以得到所模拟电磁问题的频带特性，在计算的过程中不涉及矩阵的求逆， 同矩量法相比，所需的计算机内存、计算时间等方面的开销要小；f d t d 计算时， 电( 磁) 场计算只涉及前半个时间步环绕自身的磁( 电) 场和自身前一个时间步 的场值，特别适用于并行计算。 数值色散是时域差分算法研究的一个重要问题。数值色散使y e e 网格中数值 波的相速不同于光速c ，事实上它是随模式的波长、在网格中的传播方向以及网 格尺寸变化的。f d t d 会产生一些现实时空世界中没有的非物理现象，例如波的 相速是各项异性的，单一脉冲波的变宽和抖动，以及多路散射波的不精确抵消、 伪折射等。为了了解f d t d 建模的机理及其精度，数值色散是一个必须考虑的因 素，尤其对电大尺寸结构。数值色散随着网格尺寸的增大而增加，为此，f d t d 通常取每个波长至少1 0 个网格，以便限制数值色散误差。这样一来，当物体电尺 寸加大时，需要大量的网格，增加了内存和计算时间的损耗。对于这一困难，人 们提出了一些改进方法：通过微条媒质的介电常数占和磁导率仃，使数值色散在 某些方向上的传播无色散得到最优色散的基本y e e 算法；采用高阶f d t d ，如 d e v e z e 等人提出了四阶精度的f d t d 方法l z o j 。 传统的f d t d 方法在时间和空间上的微分都是采用具有二阶近似精度的中 心差分法。然而，数值色散成为制约传统f d t d 发展的一个重要因素。因为只有 采用很小的计算网格，数值色散引起的误差才能被忽略；而对电大尺寸的系统进 行仿真和分析时，所需仿真网格数目庞大，因此对计算机资源要求极高。c a s t i l l o 山东大学硪t 学位论文 和o m i e k 在文献 3 1 中将最早用于流体动力学数值模拟中的通量校正传输 ( f l u x - c o r r e c tt r a n s p o r t ，f c t ) 方法应用于f d t d 方法高精度计算宽带瞬态值的模 拟中。f c t 其目标是最大限度地利用高阶中心差分格式计算所得的通量值而又不 至于产生过冲现象。在这篇文章中，时间上仍然采用了具有二阶近似精度的中心 差分法，而在空间上却采用具有四阶近似精度的中心差分法，并且证明了这种方 法所需的计算机资源较少，因此f c t 有限差分法是一种有效的数值计算方法。之 后又有一些类似的方法被提出 3 2 - 3 4 ，证明可以提高计算精度。特别是在文 献 2 1 中讨论了这种方法的实用性，同时指出主要的问题是它的不稳定性和边界 条件的处理上。在文献 2 2 中提出了一种简单的高阶方法，然后讨论了这种方法 的数值色散和稳定特性。这篇文章中仍然主要是讨论了时间上采用二阶精度的中 心差分近似，而在空间上采用具有四阶近似精度的中心差分法，b 口f d t d ( 2 ，4 ) 。 与传统f d t d 方法相比，这种方法降低了数值色散，提高了稳定性。这就意味着 对于同样尺寸的仿真系统，高阶f d t d 方法可以采用较大的计算网格尺寸，从而 使所需计算网格数目减少，这样就节省了计算资源。接着文献 2 3 中讨论了适用 于高阶f d t d 方法的吸收边界条件，从而使高阶时域有限差分真正适用于实际的 微波或光系统的仿真中。 2 2 高阶中心差分法 在介绍高阶f d t d 的基本原理之前，我们先对利用中心差分法来求解数值 微分进行讨论。在数值分析中，求解微分通常利用前项差分、后项差分以及中心 差分等方法。在使用相同的项数情况下，中心差分的精度要比前项差分和后项差 分高一个数量级。在f d t d 中，就是利用中心差分法来代替m a x w e l l 方程组中 在时间和空间上对电场和磁场分量的求微分。 中心差分法求导是建立在泰勒级数展开的基础上，若函数f ( x ) 在点x o 的某 一领域内具有直到( n + 1 ) 阶导数，则在该邻域内f ( x ) 的n 阶泰勒公式为 似) = f ( x o ) ( 圳h ) + 掣( h ) 2 + + 掣( h 舭) ( 2 1 ) 其中驰) = 锶，称为拉格朗同余吼 以上函数展开式称为泰勒级数。利用上面( 2 1 ) 式可以得到以下泰勒级数 m j 1 舻m m 士瓣m ，+ 拔) 2 等m ， 。， + 壶c 圭) 3 导似，+ 去c 毛) 4 导m ，+ 壶c 三硝善m 卜 若要求近似计算具有二5 j r 近似精厦的彰。a x ，口 利用一股的中心差分法，只 考虑( 2 2 ) 式，并且等式的右边只近似到两项，即写为 m + 圭) - ，小i 1 ) 鲁m ) + ( 2 5 ) f ( x - 圭) - m ) 小j 1 ) 昙m ) ( 2 6 ) ( 2 5 ) 式减去( 2 6 ) 式可得 昙似) = i f ( z + 一扣一抄 ( 2 ，) 这就是传统f d t d 中用来计算数值微分的近似公式，从上式可以看出传统 f d t d 在数值计算微分时具有二阶近似精度。我们这里所说的高阶f d t d 实际上 就是指具有高阶近似精度。为了得到四阶近似精度的妒缸，现利用( 2 2 ) 式 和( 2 3 ) 式，并且等式的右边只近似到四项，即写为 m 圭) = m ) + ( + 三) 昙m ) + 面1 ( j 1 ) 2 两a 2m ) + 酉1 ( j 1 ) 3 导m ) + ( 2 8 ) m 川卅c 昙m ，+ 击c 导似，+ 刍c 等m f q 、 聃 兰舻知啭 砰 似 鸥旦酽砖瓤托 脚 雌扩一埘扣枣 似 卜似 竺硝 ，妒 知州 酽 似 哇旦硝 0 烈硝 b e 争一i 训 厶：似 雌矿一扩 妒 ：幺：。j - 引 似 由( 2 8 ) 式和( 2 9 ) 式可得 m + 抄似一= 昙m ) + 委( 抄导体) + 0 ， 汜 他+ 肛扣瑚昙弛，+ 量c 导似m ， 泣 为了计算o i l & ，必须利用( 2 1 0 ) 式和( 2 1 1 ) 式将含0 3 f l o x 3 的项消去，不 难发现( 2 ，l o ) 式两边同乘以2 7 在减去( 2 1 i ) 式可得， 昙，( x ) = 署( ， + j 1 ) 一，o 一三，) 一击( 厂。+ 吾卜， 一吾) + 。( n ( 2 1 2 ) 因此用上式具有四阶近似精度的中心差分法代替传统f d t d 方法中空间上 的微分，时间上的微分然采用二阶的中心差分法近似，可以得到f d t d ( 2 ，4 ) 公式。 不难将f ( x ) 的具有2 m 阶近似精度的一阶导数公式归纳为 厂( x ) “石1 ，m 毛- i 口( f ) ，( 工+ “i 1 ) ( 2 1 3 ) 由式( 2 7 ) 可知，传统f d t d 方法中的系数为甙0 ) = 1 1 2 ；由式( 2 1 2 ) 可知， f d t d ( 2 ，4 ) 方法的系数口u ) 分别为口( 0 ) = 9 8 ，口( 1 ) = - 1 2 4 。 求解f d t d ( 2 ，2 哟( 膨为正整数) 方法的系数与上述求解f d t d ( 2 ，4 ) 公式的系 数是类似的。若求解f d t d ( 2 ，6 ) ，可以利用( 2 2 ) 式一( 2 4 ) 式，并且等式的 右边只近似到六项，然后通过待定系数法将含有a f & 3 ，0 5 f l o x 5 的项消去， 最后得到f d t d ( 2 ，6 ) 的系数口( ，) ( 1 = o ，1 ，2 ) 。n ( o ) = 7 5 6 4 ，d ( 1 ) = 一2 5 3 8 4 ，口( 2 ) = 3 6 4 0 。 文献【3 5 】中将具有2 m 高阶近似精度的中心差分法的系数进行了归纳，得到 以下公式