（应用数学专业论文）周期系统的稳定性分析.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：垂盘区鱼日期：丝! ：圭：兰2 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：于柬o i 氨 日期：兰竺：垒1 2日期：# 殳1 7 导师签名：潼电厶 日期卫? 文f 、2 护 摘要 在控制璁论和应用中，稳定性理论起着主导作用，本文摄基于李雅谱诺夫 第二方法讨论平衡点的稳定性。从发展过糕看，对予瓣不变系缝，稳定性的判别 方法已相当丰富。利用l a s a l l e 不变引理，李雅谱诺夫函数沿糟轨道的导数可以 减弱为半正迩。最近的研究工作汪推广到用半正定的函数来判别稳定性。但是进 一步推广到时变系统时遇到很大豳难，嚣前仍然无法解决。本文的工作怒将时不 变系统中用半正定的攀雅谱诺夫龋数判定稳定性的想法推广刘周期时变系统上 去。 本文依据周期时变系统关于半流解的有界轨邋的极限集性质和某种不变 毪，来研究萁平囊熹豹稳定彝澎避稳定戆翊嚣。在掰给藜蘩剐方法中，麓半正定 李雅谱诺夫嘲数替代邋常要求的正定函数，并要求该半正定函数沿着系统轨道或 软遴上豹墓瘸裁点残戆毅篷不增，获瑟获霉馨一系列燕子稳定愁豹判羁方法。 本文主簇分为三个部分： 第一部分为弓l 言。在这一潍分中，蓥先燕述闷熬数硬究鹜景，秀叙述本文 的几个主要结果。 第二部分为周期酎变系统螅l - a s a l l e 不变原理。 第三部分为文章的主要结祭，并绘出详细证明。 关键谲：渐近稳定，正不交集，转移舞子，一敬吸弓 s t a b i l i t yt h e o r yp l a y s 蛆i m p o r t a m r o l ei nn 惦c 0 t m n h c o r ya n di t sa p p l i c a t i o n n es t a b i l i t yo fe q u i l i b r i 哪i ss t u d i e di nt h i sp a p e f b 弱e do nl y a p l l l l o vs e c o n dm e t h o d 砷ec r i t e r i o n so fs t a b i l i t yf o rt i l n e - i n v a r i 蛐ts y s t 锄s a r cv e r yf i c hi n 山ep a s t d c v e l o p m t t 1 l a l l k st ol a s a l l ei n v a r i a n c ep 血c i p l e ，t h ed e f i v a t i v eo fal y 印u n 0 v f u n c t i o n ，w h i c hi sp o s m v ed e f i n i t e ，a l o n gt h et r a j c c t o r i e s o ft h es y s t e m sc a i lb e r e d u c e di n t ot h en e g a t i v es e m i - d e f i n i t e 觚吼t h en e g a t i v ed c f i l l i t e t h e1 a t e s tr e s e a r c h s h o w st h a tt h e 口o s i t i v es e m i d e f i l l i t ef i l n c t i o nc o u l db ee m p l o y e dt 0e x 柚i n et h e s t a b i l i t yo fe q u i l i b f i u m b u tw h e nt l l es 锄ei d e ai s 印p l i e di n t ot h et i l l l e v 缸y i n g s y s t e m s ，w eh a v em u c ht r o l i b l et od os o 1 1 l i sp r o b l e ms t i l lr c m a i l i so p 明s of a ln i s p a p e re x t e n d st h ei d e at ot l l ep e r i o d i ct i m e - v a r y i n gs y s t c m s 1 nv i c w0 ft h ep r o p e n i e s0 fl i m i ts c ta n ds o m e 曲a r i a n c eo f t h eb o u n d e do t b i t s f o rt h es o l u t i o no fs 锄i n o wi nt l l ep e i i o d i ct i i n e - v 缸y i n gs y s t 锄s ，t h i sp a p c rs t i l d i e s v 盯i o u sp f o b l e m so fs t a b i l i t y 趾da s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o rs y s t c m s i nt h ep r e s e n t c d c r i t e r i o n s ，w eu s eap o s i t i v es e m i - d e f i n i t ef i l n c t i o na sal y a p u n o vf i l n c t i o nj n s t e a do f p o s m ed e f i n i t eo n ef o fe x 锄i n i n gt l i es t a b i l i t yo ft h cg i v e s y s t e m s s u c haf i l i i c t i o n i sr e q u i r e do n l yt ob en o n i n c r e a s e da l o n gt h et r a j e c t o r i e so r t ob en o n 。i n c r e 勰e do n a p a n i c u l a rs e q u e n c ea l 衄gt h et r a j c c t o r i e so ft h c 舀v c ns y s t e i i l t 1 l j sp 印e ri so r g a l l i z e di nm a i n l yt h r e ep a n s ： t h e f i r s tp a n i sa n i n t i o d u c t i o n h t h i s p a r t ，w e f i r s td e 丽b e t h e b a c k g r o u n do f t h es t u d i e dp r o b l e ma n dt h e nt h em a i nr e s u l t sa r ep r c s e n t e di t h i sp a r t 7 n l es e c o n dp a r ti st oe s t a b l i s hl h e1 一a s a u ei n v a r i a n tp r i n c i p l ef o rt h ep e r i o d i c t i m e - v a t y i n gs y s t e m s t h el a s to n ei st h ed e t a i l e da n dr i g o r o u sp t o o fo f 也em a i nr e s u l t s k e yw o r d s ：a s y m p t o t i cs t a b i l i t y p o s i t i v e l yi n v a r i a n ts e t ，t r a n s l a t i o no p e r a t i o n s ， u n i f o h na t t r a c t i o n 2 第一节研究背景 第一章引言 稳定性理论是微分方程的一个重要分支，也是现代系统与控制学科的一个重 要的基本概念，它在控制、信息和系统中的广泛应用，深刻地改变了稳定性理论 研究的面貌，所以无论是在研究问题的提法上，还是在解决问题的方法上都对稳 定性理论是一种突破，这种突破使得稳定性理论的研究和发展都远非早期传统稳 定性理论部分所能够比拟的。 早期传统稳定性理论的研究是从时不变系统开始，通过构造正定的李雅谱诺 夫函数y ，获得平衡点的稳定性质( 【1 卜【6 】) ，在理论上，上述问题一般是可逆的， 即具有相应稳定性的系统存在李雅谱诺夫函数，但是如何寻找该函数没有一般的 方法。美国著名数学家l a s a l l e 所创立的不变原理( 【7 卜【9 】) ，在理论上沟通了李雅 谱诺夫直接方法与极限集之间的内在联系，成功地将矿负定的要求减弱为半负 定，并被广泛应用于许多领域的研究。以后的研究大致从两个方面继续发展，一 方面，由于控制系统中，无论受控系统是否时不变，其跟踪问题本质上是时变的， 因此必须研究时变系统的稳定性。从数学本身来看，能否将l a s a l l e 不变原理的 结果推广到时变系统也是个很自然的问题。遗憾的是，将极限集概念直接推广到 时变系统遇到本质性的困难，直到最近，此问题的研究才有了某些突破 ( 【1 0 】，【1 3 】) 。另一方面，由于各类判定稳定性的方法中所要求的李雅谱诺夫函数 矿，它只需存在即可，因此如何扩大李雅谱诺夫函数的范围成为一个有意义的研 究方向。上世纪末期，文献【1 4 】【1 5 】成功地利用l a s a l l e 不变原理将正定李雅谱诺 夫函数用半正定的来替代，从而将可供选择的李雅谱诺夫函数的范围大大扩大。 同样，在将此结果推广到一般时变系统上去的时候遇到了极大的麻烦，因为在一 般时变系统中的一极限集就不一定具有类似于时不变系统那样的不变性( 【1 6 ， p 1 9 4 】) 。考虑到周期系统是特殊的时变系统，周期运动在物理和科技领域中占有 十分重要的地位，并且许多文献都对周期时变系统的稳定性作了相当程度的研 究( 【1 7 卜【2 0 】) ，本文将“用半正定李雅谱诺夫豳数判定时不变系统稳定性的结果” 推广到周期时变系统上去。 从稳定性理论与应用的发展来看，首先由俄国数学力学家l y a p u n o v 院士于 1 8 9 2 年提出的稳定性理论，奠定了运动稳定性的基础。他考虑如下的一般系统 x = ，( f ，石)( a ) 其中x 一z “，x ：，) ，= c d f ( 五，2 ，) c ( ，r ”，r 4 ) ， 且，o ，0 ) 一o 。如果存在正定函数y ( f ，x ) ，它沿着系统轨道的导数y ( f ，z ) 为半 负定，则( ) 的平衡点稳定( 【1 7 ，】) 。 由李雅谱诺夫第二方法的思想所演化出来的各种方法已被成功地应用到许 多方面，很多学者对于这个定理进行了深入细致的研究和推广( 【2 1 】一【2 3 】) 。 当( ) 是时不变系统时，应用l 丑s a l l e 不变引理，有如下结果： l a s a l l e 引理( 【1 2 】【2 4 】) ：设qcd 是( ) 的一个正不变紧集，设矿：d r 连续可微，在q 内满足y ) s0 ，设e 是q 内所有点的集合，满足y 0 ) * 0 ， m 是e 内的最大正不变集，那么当f m 时，始于q 内的每个解都趋于m 。 b a r b a s h i n 定理( 【7 】【1 6 】【1 7 】) ：设矿：d _ r 是连续可微的正定函数，且 y ) s o ，除平凡解外，没有其他解恒在s 一扛d l y ) = o 内，那么平衡 点是渐近稳定的。 设y ：r 一_ 尺为连续半正定函数，且有y ，；当， ) s o ，设 0 e 一协i y ( x ) = 0 ) ，z 为e 中的最大正向不变集。若自治系统z = ，o ) 的零平 衡状态在z 上条件全局渐近稳定，则平衡点是稳定的( 【2 5 卜【2 7 】) 。 如果平衡点是m 。一渐近稳定，则它是稳定的；而平衡点是m 一渐近稳定 的充要条件为它是渐近稳定的( 【1 5 】【2 8 】) 。 4 由此可见，关于时不变系统稳定性闯题的研究已相当深入。 当( ) 是周期时变系统时，b s a l l e 引理不再成立，从而有关周期时变系统 稳定性的理论远没有自治系统稳定性理论那样成熟，它有如下结果： 知诚f f 定理( 【1 7 】【2 9 】) ：设y ( f ，x ) 是正定的周期函数，沿着系统的导数 y 0 ，f ) o ，若m 。 o ，工) i 矿，x ) 。0 中不翕非零的整条歪半轨，则平衡点 是一致渐近稳定的。 第二节本文的主要工作 本文将用半芷定的周期函数y o ，x ) 判定周期时变系统的稳定性，建立了一 系列判别周期时变系统稳定性的定理。 本文的主要工作是： 定理3 1 若存在原点的邻域c u 及透数矿c ( 彤，尺) ，使得 ( 1 ) y ( x ) 苫o ，v x 矽，y ( o ) 一0 ； ( 2 ) y 口亭) s y 口言) ，v 亭- r ，v 意； ( 3 ) 原点是肘。一渐近稳定，则周期对变系统( 2 1 ) 的平衡点是一致稳定的。 定理3 2 若存在原点的邻域c 【，及函数矿c ( 矿，r ) ，使得 ( 1 ) y 0 ) o ，慨，矿( 0 ) = o ； ( 2 ) y ( r 亭) s 矿( r “亭) ，v 亭，v 七； ( 3 ) 原点是膨一渐近稳定，则周期时变系统( 2 1 ) 的平衡点是致渐近稳定的。 定理3 3 若存在原点的邻域彤c ，及函数y c 1 僻缈，r ) ，使得 v ( f ，x ) r 彬满足： ( 1 ) y ( f ，x ) 一矿0 + ，x ) ； ( 2 ) 矿o ，x ) 妒( x ) ，y o ，0 ) - o ，其中妒( x ) o ，v x 形： ( 3 ) 矿o ，x ) b ) s o ； ( 4 ) 原点是m 。一渐近稳定，其中m 。= 协形：y ( o ，x ) = o ，则周期时变系统 ( 2 1 ) 的平衡点是一致稳定的。 定理3 4 若存在原点的邻域缈c u 及函数y c 1 僻，r ) ，使得 v ( f ，x ) 尺形满足： ( 1 ) y ( f ，x ) z y ( f + ，z ) ： ( 2 ) y o ，x ) 苫妒( x ) ，y o ，o ) 一o ，其中妒0 ) 苫0 ，v x 彤； ( 3 ) 矿( f ，x ) i ( 2 1 ) s o ； ( 4 ) 原点是m 一渐近稳定，其中m 是m 的最大正不变子集，而 m = 缸缈：矿( 0 ，x ) = y ( o ，戤) ) ， 则周期时变系统( 2 1 ) 的平衡点是一致渐近稳定的。 6 第二章嗣期时变系统的l a s a ll e 不变原理 本义港虑周期时变系统 x 2 ，( t ，并) ( 2 1 ) 箕孛，8 ，x ) 满足：，( f ，x ) ；，馥+ 国，x ) ，掰 o ，v0 ，x ) 盂秽( 其中 u 尺“魑原点的一个邻域) ；，( f ，0 ) 一o ，v t r 。 假是：对v 亭，髑簸时变系统( 2 1 ) 的解雄；f ，妻) 在f 害上努在疑唯 一。 下文中用表示自然数集，用z 表水艇数集。 在绘滋本文豹主要缭暴之兹，先明磷足个定义： 定义：1 称r ：u u ，孝一聪一x 扣+ 掰；f ，亭) 为转移算予，短然算 子r 只与初始状态亭的选择有关，而与初始时刻f 的选择凭关，并且容易验证t 具有如下澎群性质： ( 1 ) r 。孝一考； ( 2 ) r ( r 。毒) 罱r “亭，馓，z z ； ( 3 ) 魄z ，亭关于亭涟续。 满憩上述性质的转移簿子r 定义了一条过亭u 的毕流r ：u u ， 耻，宇) 一7 。亭。于是过亭，的转移算子丁的半流解为： 舅：一移，露一2 孝，聱舅辑) 一z 。孝。 半流解的正半轨记为：) ，+ ) = 缸：丁芋= x ，七 ； 相应的正极限集为： + 露) * 冬：差蓼j ，c ，满足露j 一( 歹一) ，傻当歹一懿，窍 7 f o 喜一茗 。 类似可定义半流解的负半轨 ，一 ) 和负极限熊三。 ) 。 定义2 2 集合scr “称为关于半流解是难不变的，如果对每个荸联s 和 走，f 耋有定义，弗麓，亭s 。 类酝霹定义集会s 笑予半滚簿豹受不变缝辩不变整。 类戗于时不变系统，容易证骧关于半流解的肖癸轨道觞极限集性质： 性质2 。l 若y + ) 有界，则r 瞎) 是非空的，紧致的关于半流解的不变集， 且当七一* 时，t 亭一 ) 。 证羽：( 1 ) 证明 ) 非空： 嚣为y + g 毒器，疑戳鸯蒙点定理知，f g ) 蒋空。 ( 2 ) 证明f ) 为紧蘩： 坳f ) ，则存在 七； 满足：当f 一对，t o o 且丁亭一y 。 蔚f 宇关于t 一致肖羿，所以极限) ，也有界，即 ) 有界。 没 罗；c r 拶) ，基当f 一。辩，y ；一夕粼对每一i ，都存在 ， 满足：当歹一瓣时，露# 一* 置f 知宇一y ；。 下面构造一特殊序列p ；) ：对上述序列恤， ，取r ： 七。：，使得 i i r 乜宇一y ：i l ”一) ，嵯，v f n ：。 取九= m a x ，l 。，l ： ，则当b 厅时，有0 r 亭一y l i o ，及 七。 满足：当f 一时，七。一。口且 船f 仃亭，r ) ) 占。，而 丁亭 有界，于是存在收敛子列丁一j ，当f 一 时，且戈f ) 。 另一方面，d 衙 ，r ) ) 芑s 。，矛盾。 所以当七一。时，r 亭一r ) 。口 在性质2 1 的基础上，完全类似于时不变系统中l a s a l l e 不变原理的证明， 有如下的性质2 2 ( 见【1 5 】) ： 性质2 2设scr “是紧集，童 ) 是过点亭s 的半流解，使得 ，+ ) c5 。若存在y ：s r 连续，使得对任意七，都有 y 仃亭) s y 仃“1 亭) 。令m 一缸s ：觋s ；y ( 致) = 矿( x ) ) ，m + 是m 中关 于半流解的最大正不变子集，则舅( 七) 一m + ( 七一o o ) 。 9 证明：由于y 是紧集s 上的连续函数，故矿在s 上搿界。又 ￥蠹锈矿p 毒) s y g 。亭) ，舔y ( 舅转) ) s y ( 鬈承一1 ) ) ， 所以妞矿 ”存在，设为口。 露j ，+ g ) c s ，虽s 愚尺8 中的紧集，予是r s ) c s 砌s r 谚) ，鼹i 存猩 豇； 满足：当i 一对，七，一o 。且z 亭一p 。 所以y ) 一 卿y 口亭) 一盯t 即在r ) 上- y ( x ) - 球。 又f 冀 为关予半滚瓣为不交豹，予燕勘f 拶) ，骞印r 簿) 及 矿( p ) 。y 鼢) = 口，所以 ) c 肼。c m 。口 定义2 3 设y 是包食原点的闭的关予半流解的正不变集，则 1 ) 琢煮称为y 一稳定：v 锈l 蚕o ，v 孝瓯n y ，都有y + g ) c 露。； ( 2 ) 原点称为y 一渐近稳愆：】，一稳定，鼠a 6 。 o ，使对v 亭y n 口，有 l i m r 皇；o 。 # 记彳r 一嵇i 避z 亭= o ，亭y ) ，易知力r 为溺集。 定义2 4 ( 1 ) 平衡点是吸引的，若v f 。o ，v o ，j 盯瓯) o ， 呈r ， 。，毛) g ，兰l 菇。l | 口搴。) ， 麓f 。z 秘，f 。，魏) 辩，有 0 x ( f ，f 。，戈。) 0 o ，使得在( 曰。 0 ) ) n 肘。内不存在任何半流解的整条负半轨，其中 只= 缸月“：i i x0 ，7 ) ，则周期时变系统( 2 1 ) 的平衡点是一致稳定的。 证明： 由第二章的性质2 3 知，周期时变系统的稳定与一致稳定等价，所以 证明： 由第二章的性质2 3 知，周期时变系统的稳定与一致稳定等价，所以 只需证明稳定剐司。 倘若平衡点不稳定，则存在菜嚣o o ，我们总能找到 ) c 嚣。，满足 脚0 羲0 一o ，并且对每甄， 兢，七赣 不是总位于曰。内。 抉句话说，对每一敷，郝襻谯一个憋数子集殿。，使得v 老鬈。，r 点盛口。 羧囊。是琏孛最， 、的纛数，攘缮魏联s 。，其巾s 。一毒霁4 ：l 工i g 。 n 记y 。一r 羲s 。，鞭兔s 岛蔻繁懿+ 弼激存在 y 。 懿毅敛子鞠- 为方镬起 燕，镪记灸 罗。 e 记墼y 。y ，剃y 慰s 。 注意妥岁。；f 靠羲一茹转+ 囊。掰；f ，织露嚣，势显墅基= o ，国撰鑫擘连续毪 躲，警摊一对，毒。一+ e 我翻霹敬充分夺，使褥嚣。c 鸯。 设箩是避y 鲍半流瓣。缓谖r ”( 罗) 器。n 膨。，并豆y 一( 箩) 皤。 首先，证明，1 ( 罗) c 嚣。 倘若否，则存在暾熬数f ，使得r yi l 。 选取肛 o ，使o 芦妄( i l r y 一葶。) 。 由于半流解f 2 砻荧于初值亭遴续，故存柱芷实数声t 芦妇) o ；使当 i l _ ) ，一z i f e ，渤麓p 。 予是v 难p ，蘩蠢 i i r y 。0 芑8 r y8 0 z y 一丁y 。0 0 z y0 一 2 十f 。一 。 这意昧着l 小2 茧| 嚣。，魄p ；僵楚o 蠹。+ 露露。，这与露。静最，l 、往矛潘。 故y ( 罗) c 露。，显然) ，一( 罗) 岱 o r 因此y ( 罗) c 曰。 o 。 其次，证明) ，一( 罗) c m 。，即证y o “( 夕) ) - o 。 设m 凳任意受整数，剩存客嚣使褥露。+ 瓒疑o 。于是囊条馋1 ) 秘( 2 ) 可知： 0 y p k 鼠) s 矿( 鼓) 。 崮矿静连续魏以及爱或= o 胃知： o 赋y f “y ) z 矿留“嫩z 美) 一熙矿仃”) 赎y ( 羲) ；o 所以y ( r ”y ) = o ，即矿 一( 罗) ) 一0 。 藏，勋c ( 毽。 璐) q 掰。c 蛾、 谚) q 掰。这与雩l 瑾3 2 中赘条黪( 3 ) 矛】| 蓦， 于是平衡点致稳定。口 弓| 理3 0 若存在簸轰懿邻域形c 秽及丞数y e 形，炎) ，镬褥 ( 1 ) y ( x ) o ，v x i 矿，y ( 0 ) 一0 ； ( 2 ) 矿g 。掌) s 矿翠“亭) ，v 亭以搬； ( 3 ) 存在零毽使褥农( 晚 o ) n 膨蠹不存在任键半流瓣的整条受拳轨，则周 期时变系统( 2 1 ) 的平衡点是一致渐近稳定的。 涯明： 囊弓l 理3 1 露，掰。c 掰，放吏弓l 理3 。2 懿，乎簿点是一致稳定戆， 即v 0 ，存在6 0 ，使得从曰。内出发的解都饿于b 。内。 往诞平衡煮一致狻弓| 。 而对周期系统而言，由第二章的性质2 3 知，平衡点吸引等价于一致吸引， 麟激最霉谖骥啜零l 即霹。反迁； 1 4 倘若否，则存在亭丑。，使得! 姆x ( f ；f ，宇) o ，从而r g ) 一 o ) 。设 ) ，f ) ，且y 0 。由r ) 的不变性知，) ，一( 罗) cr ) cb 。 o ( 不妨设 0 o 健褥对镁意的( q ，。】，存在序列 敷 c y 和 七。 c ，满足当雅一+ 时，七。一+ ，使得 ( 1 ) 渤慨| | 昌o ( 2 ) 嫩z 鼓一耋，黔睁# ； ( 3 ) ) ，一 ) c 。 吣) n 1 ，。 证鞠：若原点不怒y 一稳窥的，刘襻在。 好， c y n ， 瓣i i 量l 卜o ，避。 c ，使锶r k ( 鼓) i i s 。，髓r k ( 量) y ，怕毫a 令y 一r k ( ) ，v 以，因s 。n y 为紧集，故 y 。 必存在收敛予列，为 方便起霓，不娆镄记为移。 ，莠设芦。一参& q y ，露显当摊一。孵，囊。一。 引理3 2 中已证过，y 一 ) cd 0 ) 。下面只需证明 ， ) cy 即可。 设z 毯，1 鞲) ，刘存在意o ，使得舻辖) = z 。 依据解对韧值的连续依赖性得，当n 一时，l i r ( _ y ) 一t 。( 宇) h o 。 而r 。( y 。) = r 口k ( 鼠) ) 一丁。“4 ( ) ，最存在充分大的n ，使露+ 七 0 ，根据 y 关于半流解的正不变性得z 。( ) ，。) y 又y 为闭集，所以z = r f g ) y ，郎) ，。挥) c y 。 蔺辩注意翔上述维论对所有占( o ，嚣。】酃成立。口 雩| 壤3 7 设y 怒瘸蘩辩交系统( 2 。1 ) 豹霜煞关于拳流磐豹歪不变集，粼原熹怒 y 一溪邋稳定瓣充要祭 孛是存在6 玟搜褥 v 孝( 织 o ) q y ，( 暖 璐) n y 中不会遮拿的拳淡鳄鲍负半辘y 一拶) 。 证明：若存在职，使得对任慧的亭( 眈辨) n l ，( 恁 0 ) n y 中不食 过毒的半流解的负半轨) ，一晖) ，则由引域3 6 知，原点是y 一稳定的，即： v o ，a 踞 0 ，v 掌曰。n y ，) ，+ ) c b 。a 取8 6 ，使v 暑曰。n y ，则有r ) 的闭包c 曰。c 曰6 ，故( z ) 为 郓空紧集，且 ) c 占。殿r ) c y ，所以 ) o ) c ( 曰。 o ) ) n y 。 于是由题懑知，f g ) 0 ) 不含任何半流解的负半轨。 又扩何) 关于半流解为不交的，于慧r g ) = ，从黹知道艨点是y 一渐近 稳定的。 另方面，若原点是y 一渐近稳定的，则可取肛o ，使得丑。c 4 。 用反证法来证明。 假设存在甄y ，使褥过羲的半流瓣羲的爱半鞔，一曦) c ( 嚣。 鳓) n y ， 获疆f 瓴) 菇y 中j 空豹美予半溅解是不变熬紧集，氯互- 瓴) c 嚣。c4 。 瑟黻黟惫一缄) ，有j 篁y 的拳滚群罗羲正辍羧蘩互+ ( 罗) = 曝，露f 曦) 关 i 7 予举流解为不变紧集，赦+ ( 梦) c 五绒) ，所戳o 麟z 佩) ，这与原点是y 一渐 邋稳定稿矛瓣，簸褥结论成囊。口 麸 | 霉雩l 疆3 。2 ，3 1 3 ，3 。4 ，3 t 5 叉爵逡一步撰述菇： 定灌3 。l 装存在巍点熬邻域矽c 杉及螽数矿c ( 渺，固，使褥 ( 1 ) y ( x ) 织戡彩，y * o ； ( 2 ) 矿g 亭) 蒜矿g 扣1 孝) ，v 亭；以嘏纛； ( 3 ) 嚣纛是掰。一渗透稳定，剿瘸麓粒交繁绫( 2 。1 ) 懿警鬻患蹩一致稳定翡。 定灌3 盘若存在疑点的邻域渺c 秽及函数矿c ( 矽，寅) ，使褥 ( 1 ) y ) 芑锈魄形，；， = 8 ； 国矿秽孝) s 矿p 轴勤，v 亭矽，v 鬻c ； 辩骤点是材一渐近稳定，剐周期时交系统( 2 1 ) 的平衡点跫一致渐避稳定的。 定理3 3 若存在原点的邻域缈c u 及函数矿c 1 ( 穴矽，r ) ，使得 v o ，x ) r 形满足： ( 1 ) 矿o ，x ) 一y ( f + ，x ) ； ( 2 ) 矿，x ) 麓妒 ) ，y e ，o ) * o ，其中妒) o ，v x ； ( 3 ) 矿( f ，x ) b ) g 眠 ( 4 ) 原点是肘。一灏近稳定，其中嬲。= 缸渺：矿( o ，x ) s 吼，则周期时变系统 ( 2 1 ) 的平衡点是一致稳定的。 定理3 。4 若存在骤点的邻域c u 及函数y 匹c 1 职x 舻，r ) ，使得 v ( f ，x ) 霞矽满足： ( 1 ) 矿o ，z ) 一矿p + 埘，x ) ； 1 8 ( 2 ) 矿o ，x ) 苫妒o ) ，y ( f ，0 ) 一o ，其中驴o ) o ，v x 毯渺； ( 3 ) 矿o ，x ) | ( ：。) o ； ( 4 ) 原点是材一渐近稳定，其中m + 是m 中的关于半流解的最大正不变子集，而 醒= 形：矿o ，x ) = y ，焱) ， 则周期对变系统( 2 1 ) 的平簿煮怒一致渐近稳定豹。 1 9 第四章总结 本文主要考虑了周期时变系统的一致稳定和一致渐= i 黩稳定性问题。由周期时 变系统审美予半流解戆有界筑邋靛极限集性震具有菜摹孛不交经，故可推导出集会 艏。，膨+ 与材之润戆关系。劳锾茂可嗣睾歪定丞数潦辑究瘸麓对交系统豹稳定 性问题，得到了如下结论：如果举正定函数y 沿着系统轨道的某周期点列的取谯 不增，或沿系统轨道取值不增，并且满足某些附加条件时，可判别原点是一致稳定 和一致渐近稳定的。本文的结果将李雅谱诺失函数的适用抵围大大扩大，并将某些 自治系统的结果推广到周期时变系统上来。 本文豹工终霹敷跌薅方甏遴一步磅究，其一是考纛零文夔特攒：线毪周期辩 交系统静稳定性，并比较 蠡翩聃e | 理论所获得的关予线秣溺期时交系统稳定蛙翡 定饿结果，能否获得判别线性周期时变系统稳定性的定登结果，将是问题感兴趣和 解抉的必键。其二，如何将本文的想法推广到一般时变系统中去，仍然是个具有挑 战性的工作，有待于深入推敲。在周期时变系统中成功定义的转移算子及半流解等 数学特征，在一般时变系统中皮该如何刻画应该是解决阀蹶的关键，它还需要迸一 爹懿攒窕。 2 0 参考文献 【1 】b e l l m 孤b 。s t a b i l i t yt h e o r yo fd i 腑r c n t i a le q u a t i o n s 【m 】。m g r a w h i l l ，1 9 5 9 【2 1b u n o rt a ，m a l 【a yq m a m c h k o vt y p es t a b i l i t yf c s u l t sf o rf u n c t i o n a ld i 舭r e i l t i a l e 岬蛞鞠s 弹毯嘲j + 蕊越。强e 娜醴d 溅壤蜒，l ( 1 约8 ) ，l - 6 。 1 3 】l 五虹h m i 耗鞣巍髓l 露e l as ，溅娥严她a 。& 撕越y 鞠a l y s i s 联n 雌l i 鞋e a fs y s 姆m s i m 】m a r c e ld e l d c e r n e wy 0 f k ，1 9 8 9 【4 】韩茂安，顾圣非线性系统的理论和方法【m 】北京：科学出版社，2 0 0 1 【5 】冯伯纯，费树氓 # 线性控制系统分析与设计( 第二舨) 【m 】电子工娩出版社， 1 9 9 7 【6 】胡寿松自动控制原理( 第四版) 【m 】北京：科学出版社，2 0 0 0 【7 】h a s s a n 戤k h a l i l 著；朱义胜，蘸辉，李作洲等译非线性系统【m 】电子出版社 2 5 。 【8 】冯伯纯，张侃健非线性系统的鲁棒控制【m 】北京：科学出版社，2 0 0 3 【9 】s e p u l c h f er ，j a l l k o v i cm ，k o k o t o v i cp c o n s t n l c t i v en o n l i n e a rc o n t r o lf m 】 s 州n g e 卜v e r l a 舀1 9 9 7 。 【1 0 】t i - c h u n gh e ，z h o n g - p i n gj i a n g ag e n e r a l i z a t i o no f 妇a s o v s k m l 砖a l l e t h e o r e m 岛fn 醮l i 霸髓ft i m e 吖鑫f y i 珏gs y s 重e m s ：n v 嚣f 辩豫辩瓤a 醴孳窭薹c 鲑 艟s 隧疆e e t r a n s a c t i o n so na u t o m a t i cc o n t r o l ，v 0 1 5 0 ，n o 8 ，a u g u s t2 ( 帕5 【1 1 】t i j c h u n gk e o n 也ee q u i v a l c n c cr e l a t i o n so fd e t 瞅a b i l i t y 强dp e c o n d i t i o n sw i t h a 弹l i c a t i 潍s 论皱痨i l t y 臻a | y s l s 酲| i 瑶e t v 蝌i 珏gs y s 溉l sp l 。辍o c e e d i 珏黟斌氇e a m e r i c a nc o n t f i 咂c b n f e 瞎n c e ，d e n v e r c o l o m d oj u n e4 - 6 ，2 0 0 3 l 籀曩- 硒挂n 鬈k e ，b o 卜s 髓蕊e n ag c n 嗽ls l a b 娃毋眺e f i o n 赫t 娃n e - v a r y 豫s y s 湖1 s u s i n ga m o d i 6 e dd e t e c t a b i l i t yc o n d “i o np 】皿et r 舳s a c t i o n so n 卸t o m a t i cc o n t r o l ， v o l 。钾，瀚。毛m a y2 2 【1 3 】西一e h 赫g 秘e ，d 铂c 基e i 鑫g 默嚣卜s 雌醢e 珏。a g c n e 癞i 狂v 桶鞠c e p 痰溉窭e 觳 n 叫l i n e 盯t i m e - v a r y i l l gs y s t e m s a l l di t sa p p l i c a t i o n s 【j 】i e e et r a i i s a c t i o n so n 8 _ 8 t o m a | i c 潮l 拄o l ，v 0 1 辐，n o 。1 2 d e o e m b e f2 0 0 l 。 【1 4 】l g 垂d fa l 蹦i t i n e 职o u t b i br s e m i d e f i n i l el y a p u n o vf i l n c t i 悯ss t a b i l i t y 强d s t a b i l i z a t i o n 外m a t h c 0 n 的ls j g n a l ss y s t e 傩，1 9 妫，1 吼p p 9 5 一1 0 6 1 5 】掰a p 藤y l a s 精氇磅a p 鞠嚣氢赫d 醣蚋辩a c l a 豁。戤e s 蛀璎搬i 珏v 幽_ i 毽 t w op o s i t i v es 锄i d e f i n i t ef u n c t i o n s 【j 】c o n t r o l ，o p t i m i z a t i o na n dc a l c u l u so f 确r i a l i o 髂，2 0 0 2 ，均1 & 【1 6 】h a s s a i lk k h a l i ln o n l i e 甜s y s t e m ( 掣。e d i t i o n ) 【m 】p r e 】毗eh a l l ，1 9 9 6 【1 7 】廖晓瞬稳定性的数学理论及应用【m 】t 华中师范大学出版社，1 9 8 8 【l 鞠郑大镑线性系绞溪论【艇】。溥华大学遗叛享圭，2 2 。 【1 9 】r o u c h en ，h a b e t sel a l o ym s t a b i l i t yt h e o r yb yl i a p u n o v sd i f e c tm e t h o d 【m 】 s p f i n 窘e f v e f l a g ，l 擎” 【麴】谗滋获。零微分方程稳定搜疆论【m l ，一海褥学技术出版社，1 9 6 l 。 1 2 l 】郭荫主编；程代展，冯德兴副主编控制理论导论一从基本概念到研究前沿 【醚】耩学躐叛享主，2 4 【2 2 1r i c h 村dc d l o r f ，r o b e nh b i s l l o p 著；谢红卫，邹遭* 等译现代控制理论( 第 a 敝) m 】高等教育爨版社，2 1 【