（计算数学专业论文）基于ito过程的二叉树期权定价模型及局部线性预测法.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 “金融数学、金融工程和金融管理( 项目编号7 9 7 9 0 1 3 0 ) ”是国家自然科学基金委 员会确立的我国九五期间的重大研究项目，期权定价理论则是目前金融工程、金 融数学研究的前沿和热点问题。二叉树数值方法在期权定价的问题上应用尤其广 泛凡是无法以封闭解评价的期权几乎都可以用二叉树评价法来求解，此外，它还 可以用在奇异选择权的评价。 我们在研究中发现，经典的c r r 二叉树模型的上升因子和下跌因子的选取 总让人感觉是有巧合的成分，并且它们的选取对于不同标的物价格模型没有比较 有效的操作程序，本文在第三章尝试将n 0 过程离散化得到新的二叉树模型，提出 了上升因子和下跌因子的选取的有效操作方法，然后利用c m g 定理进行测度变 换，揭示了它与c r r 二叉树模型之间的联系。同时我们证明了由n o 过程离散出 二叉树模型的欧式期权的极限形式正是b s 期权定价公式。最后，给出了离散化 i t o 过程这一思想方法的推广。 然而，在实际市场交易中，b s 公式并不能总是很好的解释期权的交易价格。 但b s 公式的定价也不是相差的很离谱，不少研究发现对于平均期权交易值来说 b s 公式还是有较好解释力的。因此，完全抛弃有三十多年历史的b s 公式也是不 明智的。为此，在四章中我们视b s 公式在期权定价中为主要部分，而剩下部分 是因b s 公式的基本假设与市场实际情况偏离而作的修正或补充，并对这一部分 进行线性预测。另外完全类似，对于美式期权，我们先利用基于n o 过程的二叉树 方法给出美式期权的定价，然后将其计算值与实际值的偏离进行线性预测。 在第五章中，对于实际市场交易值，利用第三章的数值方法进行期权定价和 利用第四章的局部线性预测法进行修正。 关键词：二叉树，i t o 过程，c m g 定理，局部线性预测 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t “f i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ，f i n a n c i a le n g i n e e r i n ga n df i n a n c i a lm a n a g i n g ( n o 7 9 7 9 0 1 3 0 ) ”i so n eo f t h ei m p o r t a n ti t e m sd u r i n gt h en i n t hf i v e - y e a r - p l a ni nc h i n a , a n do p t i o np r i c i n gi sb e i n gs t u d i e dh e a r t i l yi nt h i si t e m b i n o m i a lt r e ei sw i d e l yu s e di n o p t i o np r i c i n g , a n di tc a nb eu s e dt os o l v ea l m o s ta l lt h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e m sw h i c h h a v en oc l o s e ds o l u t i o na n di ta l s op a nb eu s e dt oe x o t i co p t i o n s i nt h er e s e a r c h ，w ef i n dt h a tt h e r ei ss o m ec o i n c i d e n c ei nt h ew a yo fc h o o s i n gt h e c r rb i n o m i a l su pf a c t o ra n dd o w nf a c t o ra n dt h e r ei sn oe f f e c t i v ep r o g r a mi nt h e d i f f e r e n tu n d e r l y i n ga s s e tm o d e l i nc h a p t e rt h r e e , w et r yt od i s p e r s ei t op r o c e s sa n dg e t an e wb i n o m i a lm o d e lw h i c hh a sav a l i dw a yi nc h o o s i n gu pf a c t o ra n dd o w nf a c t o r a f t e rt h a t , w eu s ec m - gt h e o r e mt oc h a n g et h em e a s n r ea n di ts h o wt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ec r rb i n o m i a lt r e ea n dt h en e wo n e i nt h em e a n t i m ew ep r o v et h a tt h e d i s p e r s e di t op r o c e s sb i n o m i a lt r e e sl i m i ti st h eb sf o r m u l ai nt h ee u r o p e a no p t i o n f i n a l l y , w eg i v et h ee x t e n s i o no f t h ew a y a n ds i g h ti nd i s p e r s i n gi t op r o c e s s h o w e v e r , i np r a c t i c a l ，t h ee r l o rb e t w e e nr e a lt r a d ep r i c ea n dp r i c ep r e d i c t e db yt h e b sf o r m u l ai sn o tu n a c c e p t a b l e , a l t h o u g hi tc a n tb ei g n o r e d i t su n w i s et oa b a n d o nt h e b sf o r m u l aw h i c hh a st h r e ed e c a d e sh i s t o r yd u r i n gw h i c hm a n yr e s e a r c h e sh a v e c l a r i f i e dt h a ti th a sag da b i l i t yi ne x p l a i n i n ga v e r a g eo p t i o np r i c i n g t h u s ，i nc h a p t e r f o u r ，w et a k et h eb sf o r m u l aa sm a i nf a c t o ri no p t i o np r i c i n g m e a n w h i l e ，w ea d da n c a vf a c t o rt oc o m p e n s a t ea n dc o r r e c tt h ee r r o r , a n dl i n e a rp r e d i c tt h ef a c t o r sv a l u e s i m i l a r l mf o ra m e r i c a no p t i o n , w el i n e a rp r e d i e tt h ee r r o rb e t w e e nt h ec a l c u l a t i o n v a l u e sa n d p r a c t i c a ld a t aa f t e rg e ti t sp r i c eb yb i n o m i a lt r e eb a s e d o ni t op r o c e s s i nc h a p t e rf i v e , w ee x a m i n ea b o v em e t h o d su s i n gp r a c t i c a lm a r k e tt r a d i n gd a t ab y u s i n gt h en u m e r i c a lm e t h o d si nc h a p t e rt h r e et op n c eo p t i o n , a n dl o c a ll i n e a rp r e d i c t i o n m e t h o d si nc h a p t e rf o u rt oc o r r e c ti t k e y w o r d s ：b i n o m i a lt r e e ，i t op r o c e s s ，c m - gt h e o r e m , l o c a ll i n e a rp r e d i c t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谓搪q 地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重庞太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一1 同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：关釜角签字日期：2 移7 年加驴乒日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重麽太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重废太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( x ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者签名：关多备 导师签名： 签字日期：? 鲫7 年p 钼。乒日 签字日期： 重庆大学硕士学位论文l 绪论 l 绪论 1 1 现代金融理论的历史成果 现代金融理论是指在金融经济学之中大量运用数学工具来研究金融风险的防 范与控制、资本市场的运营、资本资产的结构和衍生证券的定价等理论。所谓金 融数学，指的是以概率统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心应用 于金融方面的数学理论。现代金融理论是伴随着金融市场的发展不断成熟起来的， 金融市场产品可以分为两大类【1 3 。1 4 1 ，一类是有“标的”证券：股票、债券、商品、 外币；另一类是它们的“衍生证券”，是关于某种标的证券在未来的支付或转移的未 定权益。证券的起源是从中世纪后期意大利的威尼斯、热那亚等城市发行军事公 债开始的。二战之后，由于经济的迅猛发展，要求金融市场不断完善，以防范、 控制和化解金融风险，从而使各种金融衍生品层出不穷。于是，如何解决金融衍 生品的定价以及证券投资的决策问题也成为了人们竞相研究的课题。m a r k o w i t z 的 投资组合理论以及b l a c k s c h o l e s 期权定价公式的提出使现代金融理论进入到了新 的发展阶段。在近几十年之中，现代金融理论的另一项值得注意的进展是金融市 场均衡模型的出现，这和期权定价理论一同成为全世界金融学者共同关注的目标。 而金融数学则是支撑这种发展的主要墓石，可以说现代金融理论的每一步发展都 与金融数学的应用密切相关。近十几年，现代金融理论有了突飞猛进的发展，这 也从客观上大大促进了金融数学的发展。 在现代金融理论中，各种各样的经济金融的数学模型占据着重要的地位。其 中，至今仍有重大影响的有：有效市场理论，投资组合理论，资本结构理论，资 本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论等等。 1 1 1 有效市场理论 虽然在经济学研究中平行发展着“理性预期”理论，其中含有类似有效市场的思 想( 二者严格说是有区别的) ，但金融市场具有有别于其他商品和服务市场的特征。 有效市场理论是由r o b e r t s 和f a m a 提出来的【”。简单地说，“有效市场”的真正含 义是市场能够迅速准确地反映所有信息。 具体地讲，有效市场假设有以下三种形式： 弱式：市场价格中包含过去价格纪录中的全部信息。 半强式：市场价格中不但包含过去价格纪录中的全部信息，而且包含了全部 其它有关的公开信息。 强式：市场价格中不但包含了全部有关的价格信息，而且包含所有专家对企 业和经济进行分析后所提供的信息。 重庆大学硕士学位论文1 绪论 有效市场理论蕴涵着如下金融市场的特性： 市场的无记忆性。因为当前价格包含了全部过去价格的信息，因此过去的 记忆对未来价格的预测是无帮助的，价格的变动是纯粹的随机游走。 市场价格的可信赖性。金融市场中的套利活动是瞬时的，由此产生的供需 变化会使市场达到新的均衡，从而无法持续获得超过市场平均水平的收益，收益 的大小只与所承担的风险有关。 证券组合多样化分散风险。通过证券组合的分散化来消除非系统风险，从 而市场指数能很好地描述市场的总体行为，利率的期限结构也能很好地反映市场 对未来的估计。 市场是有效还是无效，是强式有效还是弱式有效，不是非此即彼的问题，而 是一个程度的问题。对于金融市场，有效市场理论引入了随机过程，建立数学模 型，用以研究信息与金融风险的关系。有效市场最简单的数学描述为： ，：墨堂划查蚴一1 ( t o )( 1 j 1 ) 月( o ) 其中，表示某种资产的预期收益率，x ( 表示在现在时刻( 0 时刻) 可获得的信息 集，e 表示期望算子，e ( r ( f ) i 工( o ) ) 表示在。时刻对该资产价格的条件期望，r ( 0 ) 为该资产的当前价格。 和“理性预期”一样，有效市场假设一直是理论界激烈争论的问题之一，8 0 年代 初，g r o s s m a n 和s t i g l i t z 对有效率市场理论的逻辑基础提出了疑义。他们认为【加1 ：首 先，市场的有效率性是投机和套利的产物，而投机和套利都是有成本的活动；其 次，若市场每时每刻都是有效率的，则不存在套利机会，且投机活动也是无利可 图的。在金融世界中，一项无法得到回报的活动是无法进行下去的。而一旦停止 了投机和套利活动，市场又无法持续有效。因此，可以肯定地说，市场并非是持 续有效的。投机和套利活动使得市场变得更有效率，而且人们又不断地进行着各 种各样的金融创新来使得市场更有效率。随着金融市场的发展演化，市场的效率 会越来越高，而这一发展过程很可能是无止境的。 1 1 2 资本结构理论 由于这一理论是m o d i g l i a n i 和m i l l e r 于1 9 5 6 年提出来的，所以人们习惯将该 理论称为v i m 定理。其假设条件如下：公司的投资政策和金融政策是相互独立的， 银行利率等于债券利率，个人借贷和企业借贷是可充分替代的，没有企业和个人 所得税及破产风险，企业和投资者具有同等的投资机会、边际成本和机会成本， 资本市场充分有效运行。在上述假设条件之下，m m 定理第一命题 4 0 l 为： 在m m 条件下，企业价值与其资本结构无关。 m m 定理第二命题为： 2 重庆大学硕士学位论文i 绪论 有负债公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本 加上风险补偿，风险补偿的比例因子为负债权益比。 风险补偿是指公司权益资本成本减去无风险利率。而公司的权益资本成本等 于加权平均资本成本( w a c c ) ：w a c c = 熹+ r ，羔，d 和e 分别为企业负债 u tlu t b 和权益价值，c 为权益资本的预期收益率。 现以一个公司在本期末要将全部资产变现为例，来说明这一理论。令x 代表资 产的随机变现值，并假定该公司有未清偿的债务，总额为p ，公司余下的资产值 归股票的持有者所有，他们在债券持有者之后拥有公司余下的债权。到期末时， 如果工 p ，股票持有者就会得到x 一尸；如果工 x ，持有人才会选择执行期权。若 x ， 则该期权则不会被执行，这样持有人就会损失了购买期权时所付的期权费。令c 、 尸分别代表欧式看涨期权和看跌期权的价格。相应地，令c 和p 分别代表美式看涨 期权和看跌期权的价格。图2 1 代表了欧式看涨和看跌期权的损益状况。 1 0 重庆大学硕士学位论文 2c o x , r o s s r u b i n s t e i n 二叉树期权定价模型 损益 l z 坼7 看涨期权多头 | 矿 损益 损益 l j 。 | 7 看跌期权多头 x 奄 看涨期权空头看跌期权空头 图2 1 欧式期权的损益( 未考虑交易成本) f i g u r e 2 1g a i n so f e u r o p e a no p t i o n ( n e g l e c t i n gc o s t so f t r a d e ) 2 2b l a c k s c h o l e s 期权定价模型 2 2 1b l a c k - s c h o l e s 公式简介 期权价格实际上是一种风险价格，影响它的因素众多，包括标的物当前价格 及其波动率、期权执行价格、期权的期限以及无风险利率等等。长期以来，人们 一直在摸索着在兼顾各种因素的情况下正确评价资产风险的有效方法，也获得过 许多有意义的结果，但仍在困扰着金融学者的最大难题在于，当标的物的价格不 断波动时，金融衍生品的风险应如何评估? 其价值又是多少? 正是在这种背景之下， 美国斯坦福大学教授m y r o n s c h o l c s 和芝加哥大学教授f i s c h e r b l a c k 共同在1 9 7 3 年5 月号的政治经济学杂志上刊登了具有划时代意义的期权定价和公司债 务一文，从而在真正意义上涉及到了期权定价这个前人未曾触及的问题。b l a c k 和s c h o l e s 在有效市场和股票价格对数正态分布的假设之下，运用连续交易保值策 略推导出了基于无红利支付股票的任何衍生证券价格所满足的偏微分方程，并运 用该方程推导出了股票的欧式看涨期权和看跌期权的定价公式，称为b l a e k - s c h o l e s 公式，简称b s 公式。这个定价公式为以后的衍生产品定价问题起到了奠基的作 用。 b s 模型的基本假设如下1 4 0 l ： 证券市场弱型有效。 允许卖空衍生证券。 无交易成本。 重庆大学硕士学位论文2c o x ，r o s s ，r u b i n s t e i n 二叉树期权定价模型 标的股票在衍生证券有效期内无红利支付。 不存在任何无风险套利机会。 证券交易是连续的。 无风险利率，为常数，并对所有到期日均相同。 标的股票价格s 服从i t o 过程： d s = p s d t + c r s d z ( t )( 2 2 ) 其中仃为股票价格波动率，是漂移率为股价的预期收益率。如为w i e n e r 过 程： d z = 6 4 a t 占一n ( 0 ，1 )( 2 3 ) 有了以上假设，b l a c k 和s c h o l e s 指出，欧式看涨期权c ( s ，n 公式【1 2 , 4 0 1 ： ( k = s n ( 4 ) 一j 匆叶1 ( 也)( 2 4 ) 其中c k 表示由b - s 公式得到的期权价格，( 功表示标准正态分布的分布函数， 忡) 。去e 专砂 ( 2 5 ) 面：攀一和厅臁示当前股票惴石为敲定懦。表 示无风险收益率。 2 2 2b l a c k - s c h o l c s 随机微分方程 股票期权的价格是其标的股票价格和时间的函数，我们可更一般地认为任何一 种衍生证券的价格，都是它们标的物的价格和时间的函数，即有f = f ( s ，f ) 。此处 的s 暂代表任何标的物的价格。 i t o 引理【3 1 】：若s 的走势服从n o 过程： d s = i t s d t + a s d z ( t ) 则s 和t 的函数f ( s ，t ) 有如下关系： 矽= c 善i i s + 鲁+ j 1 争防+ 善砒 现在用人= 黑份标的物股票( 股票价格是s ) 的多头( 即买入) 和无风险证券的 空头( 卖出) 来复制一份期权f ( s ，f ) 。无风险证券的空头价值记为l ，为了使复制在 全过程中成立，必须始终动态地保持住以下关系： f ：翌s l 经过一段微小的时间垃，两边的价值变化为： 址：一厂+ 堕a s 重庆大学硕士学位论文 2c o x 。r o s s ，r u b i n s m i n 二叉树期权定价模型 蛔过程刻画了丛，而i t o 引理刻画了鲈，将前述关系代入，得到： 址_ ( _ 善一警相2 ，血 这里随机项z 不再出现，这意味着一份期权的空头和人份股票的多头能实现风 险的完全对冲，而a 的大小是动态地调整变化的。所以右边这两者的组合与之等 值的无风险证券是完全等价的。即二者组合的收益率应当等于无风险收益率o ， 有： 竽：血 l 即有： 等：弘 f 。 令缸斗0 并在上述关系式里展开和，就得到b l a c k s c h o l e s 随机微分方 程： 鲁舻望a s + 三2 拥2 祟a s = 。厂氆 j i ” 对于到期时刻为r ，执行价格为工的欧式看涨期权c ( s ，t ) 而言，可规定其边 界条件： c ( s ，d = m a x ( s x ，0 ) 2 3c r r 欧式期权定价模型 c r r 二叉树模型吲比较直观，容易理解，不仅能为欧式期权提供解析解，而 且也是美式期权定价的一种数值方法。 2 3 1 单期与多期的离散模型 假设标的资产没有红利且市场满足以下条件：包括市场无摩擦( 无交易成本， 无买卖差价，无抵押，无卖空限制，无税收) ；不存在违约风险；市场是完全竞争的； 不存在套利的机会；无风险利率是给定的常数等。 首先考虑单期定价的情况。即t = 1 ，当前时刻为0 。一份欧式买权的标的股票 现在的市场价格为s ，其未来价格只有两种可能值：上涨至心或者下跌至 豳( o d “) 。如图l 所示：u 是上升乘子，d 是下降乘子。且有d e q u ，这 是无套利条件。也是保证在套期保值过程中解的存在性的条件。直观地可以看出， 无论是d “ e r ( 这时，无风险利率总比股票的风险回报率高) 还是e r d o ，贝j j ( 2 1 0 ) 式变成： c = p ( 1 - p ) ”7 巾d 一7 s - x ) + p 一俨 。4 。 ( 2 1 1 ) = s t y c ：p 。( 1 一p ) ”五f 。d “。f 一，“卜屉一t “【c ? p 7 ( 1 - p ) 4 7 j j = a j = a 记p t _ u p e 一，“，由( 2 1 1 ) 可得到二叉树模型的定价公式【3 】= c = s b ( a ；n ，p 一x e 一“口0 ；栉，p ) ；( 2 1 2 ) 其中b ( a ；n ，p s = z c ：p 7 ( 1 - p ) ”7 d 4 叫p 一“，b ( a ；n ，p ) = p 砸一p ) ”。 2 3 2 逼近b s 公式 设，是股价s 在到期日t 时随机向上运动的次数，记：s - s t = s u d ”7 ，从 而：1 1 1 詈= ，l i l “+ 加一j ) l n d = ，l i l 号+ 刀i n d ，j 可以看作胛期独立服从两点分布随 机变量。 e ( 1 1 1 = e ( j ) i n d 蜘l n d ( 2 1 3 ) v a r ( h 詈) = v a r ( j x l n d ) 2 ( 2 1 4 ) 由于有珂次向上运动的可能，设每次向上运动的概率为g ，则： e ( _ ，) = n q( 2 1 5 ) 当订= 1 时，v a t ( j ) = 哼( 1 一鼋) 2 + ( 1 一日) ( o 一口) 2 = q ( 1 一口) ，又每期的运动都独立， 对于胛期有：v a r ( j ) = n q o 一口) ( 2 1 6 ) 从( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 我们可以得到并定义： 觚姐( b 钏( 9 1 n 詈+ h a d ) ( 2 扩胙州h = n q ( 1 - q ) o n e ) 2 ( 2 1 8 ) t 【o ，刀为一个固定的时间段，行为 o ，明的分割。在胛0 0 时，由其实际意义知 ( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 其极限存在，因此设： 疗( g l n 号+ l n d ) - - ) , u t ，( n - - c o ) ( 2 1 9 ) n q ( 1 - q ) ( 1 n u ) 2 寸盯2 t ，呻o o ) ( 2 2 0 ) 重庆大学硕士学位论文 2c o x ，r o s s ，r u b i n s t e i n 二叉树期权定价模型 若取：= p 4 扭。d = e - o - , 面，易知，对任意的玎有： p 珂= u t 且毋2 n = ( o r 2 一2 f ) 丁- - - h 盯2 t ，( 甩0 0 ) 由于t o ，明被分割为一期且每期独立同分布：收益率为i n u 的概率为p ，收益 率为i n d 的概率为l p 。从而，若偏态系数： 地坚丛掣掣幽专0 ( n - - ho o ) ( 2 2 1 ) 仃、，n 则可以利用中心极限定理得到： i n 笠一砌 p 卓产二二z 斗( z ) 专) ，其中( z ) 是标准正态分布函数。 ( 2 2 2 ) 盯、，n 下面证明( 2 2 1 ) 成立【3 8 】： 由( 2 1 7 ) 知p ：( g 】1 l 兰+ i n d ) ，并注意到f ：三则： 口玎 ( 1 n u 一丘) 3 ：( i n “一q l n u l n d ) 3 a = n q ) ( 1 n u ) 3 “， ! = g ) 3 ( s a 3 a t 2 ) ( i n d p ) 3 = - q 3 【8 盯3 乒】，彦3 磊= n q ( 1 一g ) ( 2 盯石) 2 = 4 q ( 1 一g ) 口2 ；，故 垡! 垫竺二壁z q 挈! ! 垫垡二生：垡! ! = 垡z ! ! ：篁! 二! ! 二垡2 窆! ! ：篁! 矿石 4 卅忑t ， ：堕【( 1 - g ) 2 _ q 2 j o ( n - o o ) 即( 2 2 1 ) 成立。舟 比较公式b s 公式( 2 4 ) 和c r r 模型定价公式( 2 1 2 ) 可知， b s 公式就是要证明： 1 1 1 导+ ( ，+ 譬) 丁 一+ i ，+ 定理【3 1 ：曰( 口；疗，p _ ( 幂与, 1 7 一+ 1 i l 曼+ ( ，一生) r v 、 1 7 b ( a ；n ，p ) 一( 尘 f l _ ) ，疗j 佃 用c r r 模型逼近 f 2 2 4 ) 2 4c r r 美式期权定价模型 与欧式期权相比，美式期权没有解析解，因此一般认为美式期权定价要复杂 1 6 重庆大学硕士学位论文2c o x ，r o s s 。r u b i n s t e i n 二叉树期权定价模型 的多。而二叉树美式期权定价的主要思想是：对于每一期的每一个节点都要进行 执行与不执行时的价格的比较，而期权的持有者有理由相信期权的价格就是价格 较高者。一般说来，到期日期权的价格更容易知道。因此，我们选择从后往前逐 步推出美式期权价格的方法。 由于不分红美式看涨期权不会提前执行，因此可以将不分红美式看涨期权看成 具有同样特征的欧式期权。下面来讨论美式看跌期权定价： 对于t = n 期，设每期的时间间隔均为f ，记第i 个小区间的第，个节点为( f ，) 记露，为( f ，j ) 点的期权的价值，相应( f ，j ) 点的股票价格为s u 7 d ”，因为到期时有 p = ( 工一s t ) + 故：元，= ( 石一s u d 叫) + ，j = o ，i ，疗。 1 2 1 1 ，一= o r 一 假定不提前执行，这里p = 妄+ 去( 二生一) 出，由风险中性定价： zzo r 磊，= e 一，“( p f , + l ，“+ ( 1 一p ) f , 1 a ) ，0 f n - 1 ，0 j s t ( 2 2 5 ) 与执行得到的价值相比，我们得到美式看跌期权的c r r 定价模型【1 】： a 。，= m a x ( x 一s h 。d i - j , e - r 4 u ( f 以i ，+ l + ( 1 一p ) z “，) ) 0 i n - 1 ，0 _ ，s i ( 2 2 6 ) 1 7 重庆大学硕士学位论文 3 基于过程的二叉树模型 3 基于i t o 过程的二叉树模型 在第二章中，我们看到经典的c r r 二叉树模型的上升因子和下跌因子的选 取过程是很复杂的，且总让人感觉是有巧合的成分。本章中，我们尝试将i t o 过 程离散化，从而得到基于蛔过程的二叉树模型。随后，我们利用c l m g 定理 进行测度变换，揭示了这两者之间的联系。并将离散化i t o 过程的思想利用到其 他刻画股价行为的数学模型当中，取得了很好的效果。 3 1 由i t o 过程离散出二叉树模型 股票价格的行为是一个非常复杂的非线性系统，一个主要的刻画股价行为的 数学模型是假设股价s 服从n 0 过程1 捌： 拶= 鼬+ a s d z ( t )( 3 1 ) 其中s 是t 时刻股票价格，盯为股票价格波动率，是漂移率，z ( f ) 为p - b r o w n 运动 设r 为无风险利率，由风险中性定价易知：= r ，于是( 3 1 ) 可写为： 船= r ：s d t + w s d z ( t ) ( 3 2 ) 对应于( 3 2 ) 有i t 0 公式16 1 8 】： d p 吨s 西d p + 警+ 圭水2 窘) a t 删- 筹s p d z ( t ) 取p ( s ) = i n s 代入n 0 公式得： ，r 2 d i n s = ( ，一二，_ ) a t + o d z ( t )( 3 3 ) 由( 3 3 ) 及出( f ) = 占磊知股价变动的随机微分方程为： d i n s = ( o 一) d t + a 8 4 - 磊，占一n ( 0 ，1 ) ( 3 4 ) 将( 3 4 ) 修改为：d l n s = ( 一譬) 础+ , , s j - d i ， 因此，对于较小的时间段f ，近似地有： 蛐吲，一譬) 出+ 耐厄 其中j 为( - 1 ，1 ) 的等概率两点布。 ( 3 5 ) 命题：1 l l s = ( ，一k - 2 ) a t + 甜瓦的极限形式是d i n s = ( r ，一a - - - 芋) a t + 凹石 证明：比较( 3 4 ) l = j ( 3 5 ) 可知证明8 4 - ；一础即可。 为方便起见，记艿石：= 艿以孓，并将础改写为s 石，取l f 为f 的m 等分， 即a t = m a l ta 对于每一小段a ，t ，我们假设艿为独立的随机变量，根据中心极限定 1 8 重庆大学硕士学位论文 3 基于i t o 过程的二叉树模型 理【m1 8 1 得到：艿石_ 占石。即a t j 疵就有万万寸占磊，这就证明了( 3 5 ) 的 极限形式为( 3 4 ) 。群 我们考查i n s 的变化：对于一次变动，有h s l n s + a l n s 即： 1 n s 也就是： 1 1 1 s + ( ，一了0 - 2 ) ，+ 盯压，p = o 5 1 n s + ( r ，一妥) 血一盯石，l - p = 0 1 5 图3 1 基于l t o 过程二叉树1 f i g u r e 3 1b i n o m i a lf r e eb a s eo ni t op r o c e s s1 & 7 皿 压- 心，p ：o 5 & ( 帅伍竽豳，l p ：o 5 图3 2 基于i t o 过程二叉树2 f i g u r e 3 2b i n o m i a lt r e eb a s e0 1 1i t op r o c $ 2 其中“：p ( ，一譬珊+ 一压, d = e ( q - 一t ) 一一压，分别为上升因子和下跌因子。 3 2 测度变换c m g ( c a m e r o n m a r t i n g i r s a n o v ) 定理 这个测度变换只是将一个通常的无漂移的b r o w n 运动变为了一个带漂移的 b r o w n 运动一其他的都没有变。当然，漂移项是构成过程的随机微分形式中的一 部分。实际上对b r o w n 运动所作的测度变换能做的就是改变漂移项。我们感兴趣 的是所有的模型都可以表示成瞬时微分的形式一由一定数量的漂移运动组成。因 此，从测度p 下的随机微分到测度q 下随机微分的映射也就很自然和合情合理了。 由于行文篇幅的限制，我们不加证明地引用： c m g 定理【1 3 h 4 j ：设z ( f ) 为p b r o w n 运动。以为关于o 可料过程( 1j p r e v i s i b l ep r o c e s s ) ，并且满足有界性条件：乓e x p ( 【开衍) + ，则存在一个测 二哪 度q ，使得： 1 9 重庆大学硕士学位论文 3 基于蛔过程的二叉树模型 测度p 与测度q 等价。 箬= 酬一r 一一三r 枘 三( f ) = z ( f ) + 【r , a s y o q - b r o w n 运_ 7 9 t j c m g 定理适用于b r o w n 运动，但我们所研究的过程实际上都是带漂移的 蜀m 删运动。现在能看到b r o w n 微积分的好处了要想控制任何过程的漂移， 那么c m g 定理就是一个强有力的工具。 对于公式( 3 3 ) 取以：何一争0 ，由c l m g 定理知，存在等价测度q ，使得 o r 2 在此测度下印) = z o ) + 二。并且三( f ) 为一个直到时刻t ( 变了尺度 的) q 一棚运动，则d i n s = 口出( f ) ，我们将d l n s = 盯出( f ) 进行离散则得到： i n s o ) k 尘一胛1 1 1 d 可得：口一l = j 噶【0 ，l 】 类似于c r r 模型逼近b - s 公式的证明过程，有偏态系数： p ( 1 n “一r l + _ 0 r 2 ) 3 + ( 1 一p ) ( 1 n d 一，+ _ o - 2 ) 3 包丁了l 斗0 ( 一专) 2 1 重庆大学硕士学位论文 3 基于i t o 过程的二叉树模型 1 一b ( a ；n ，p ) = p u a 1 ) _ p 东n p o 坠- p ) 嚣焉)、，妒( 1 一p ) = ( z ) n ( z ) 为标准正态分布的分布函数。 由于p = 0 5 ，从而： h专叫一盯伍+(rfff-2)at)- - 捍 ；三! 三丝：2 堡颦：m _ 兰， 4 n p o - p ) 三2 疗 岍础得：盎：一掣s o - 2 , n p o 一，炯，固眦撑 一p ) 盯丁 3 4 基于i t o 过程的美式期权二叉树模型 与2 4 类似，我们知道不分红美式看涨期权不会提前执行，因此可以将不分红 美式看涨期权看成具有同样特征的欧式期权。 下面来讨论美式看跌期权定价，对于t = 以期，设每期的时间间隔均为址，记 第f 个小区间的第- ，个节点为以_ ，) 。记矗，为( f ，) 点的期权的价值，相应( f ，) 点的 股票价格为s u ：d ”，又因为到期时期权价值为p = ( x 曲) + ，从而： 成，= ( 石一s u 7 d ”) + ，j = 0 ，l ，1 假定不提前执行，这理p = 0 5 ，由风险中性定价： a ，= e - 7 删( 矾1 ，+ i + ( 1 一p ) f + i , j ) 0 s i 万一1 ，0 j 妄t ( 3 9 ) 与执行得到的价值相比，我们得到基于n o 过程的美式期权二叉树模型： 豇，= m a x ( x s u 7 d i - j , p 一4 ( 置+ 1 ，+ 1 +