（一般力学与力学基础专业论文）液晶的建模、数值计算及应用.pdf

摘要 液晶作为一种新型光电材料和超高强度纤维复合材料，在工业上有这巨大的 发展前景。但由于液晶本身结构的错综复杂性，和液晶研究的多学科交叉性，使 液晶研究不论在理论还是在应用上都处于方兴未艾阶段。本文主要从力学和物理 的观点来分别研究单组分液晶的畸变和新型混合物液晶材料的相变问题。 第一部分介绍两种液晶模型，得到液晶自由能的一般表达式，再利用微极液 晶模型，导出在磁场作用下旋转椭球体液晶微团的自由能表达式；考虑在液晶垂 直锚定、水平加磁场的f r e e d e r i c k s z 转变问题，给出旋转椭球体液晶微团的临 界磁场、指向矢角度与磁场强度关系以及角度在空间分布的解析解，然后通过数 值计算给出界面与磁场综合效应，通过两种模型比较得出( 就本问题而言) l - e 指向矢模型是e r i n g e n 微极模型的一种特例；液晶微团椭圆度即分散度对 f r e e d e r i c k s z 问题有一定影响。 第二部分是对新型的液晶和高分子聚合物液晶材料( p d l c 、h p d l c 、p s c o f ) 制备中的相分离问题的数值模拟。首先采用考虑聚合反应的一维扩散模型，对 p s c o f 制备中的相分离过程作数值模拟。由于面临的是带有单组分守恒约束条件 的非线性方程系统，提出一种改进的差分格式和边界处理办法，能保证数值模拟 的收敛，由此给出液晶与聚合物的时间演化图，与实验结果定性一致：本文的模 拟结果表明制备时间随r ( 反映光照强度或反应速率的材料系数) 改变呈现幂函数 规律：在研究制备时间随组分配比由。1 l r 。的变化规律时，发现液晶的光吸收率l 对其影响甚大。 其次是采用考虑指向矢效应t d g l 方程模拟液晶聚合物相变问题，并使用 c d s 方法进行数值计算，给出在考虑指向矢效应与不考虑指向矢效应时液晶随时 间的演化图，指出指向矢对相分离过程的延缓作用，同时给出指向矢随时间的演 化图。 最后对h 二p d l c 采用一维扩散模型模拟其制备过程，并使用f o u r i e r 展开，在 低阶近似下对扩散方程数值求解。得出适当增强光照能够解决制备过程中产生的 二次干扰项问题。 通过以上数值模拟结果分析，进一步理解液晶的材料性质，在理论上提出最 优的制各实验条件，使之最终能快速应用到工业上。 关键词：液晶，微极模型，f r e e d e r i c k s z 转变，元胞动力系统，h - p d l c ，p s c o f ， 相分离 a b s t r a c t l nt h el a s ts e v e r a i y e a r s l i q u i dc r y s t a l s h a v eg e n e r a t e d s i g n i f i c a n t i n t e r e s ta m o n gs c i e n t i s t sb e c a u s e ，a sn e wp h o t o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n dh i g h s t r e n g t hc o m p l e xm a t e r i a l s ，i tc o u l db eu s e di nm a n yf i e l d s b u td u et ot h e i r c o m p l i c a t e dm i c r o s t r u c t u r e sa n da ni n t e r d i s c i p l i n a r yp r o j e c t ，t h ei n v e s t i g a t i o n o ni i q u i d c r y s t a l s i si u s ti nt h ea s c e n d a n fo nb o t ha c a d e m i cr e s e a r c ha n d i n d u s t r i a ia p p l i c a t i o n i nt h ep r e s e n ta r t i c l e w ee x p l o r e ds y n t h e t i c a l l yt h e w a y s t oi n v e s t i g a t et h em e c h a n i c a ia n dr h e o l o g i c a lp r o p e r t i e so fl i q u i dc r y s t a l sa n d o t h e rm u l t i p l e xm a t e r i a l s f i r s tt w om e c h a n i c a im o d e l sf o r l i q u i dc r y s t a l sa r ep r e s e n t e da n dt h e g e n e r a le x p r e s s i o n o ff r e e e n e r g y i s b r o u g h tf o r w a r d w ed i s c u s st h e s y n t h e t i ce f f e c to ft h ew a l l sa n dm a g n e t i c f i e l dt ot h el i q u i dc r y s t a l so fe l l i p s o i d m o l e c u l e b y m e a n so ft h e m i c r o p o l a rl i q u i dc r y s t a im o d e l a p p l y i n g p e r p e n d i c u l a rb o u n d a r y c o n d i t i o n s t h em a i nr e s u l t sa r e g e t t i n g t h e e x p r e s s i o no ff r e ee n e r g yf o rl i q u i dc r y s t a l so fe l l i p s o i dm o l e c u l e ，o b t a i n i n gt h e a n a l y t i c s r e s o l u t i o no fc r i t i c a i m a g n e t i c f i e l da n d a n g l e o fo r i e n t a t i o n n u m e r i c a ic a l c u l a t i o ni sd o n e t h er e l a t i o n so ft w om o d e l sa r eo b t a i n e d w h i c h r e v e a l st h a tt h el em o d e l i sa s p e c i a ic a s eo fe m o d e l i nt h i sc a s e d i s p e r s eo f l c g r o u pi n f i u e n c e st h ef r e e d e d c k s z t r a n s i t i o n s e c o n dt h em e c h a n i c a lm o d e l sf o r p h a s e s e p a r a t i o np r o c e s s i n p r o d u c i n gm u l t i p l e xm a t e r i a l si se s t a b l i s h e d c a l c u l a t i o n sa n ds i m u l a t i o n sa r e a l s od o n e ao n e d i m e n s i o n a im o d e ic o n s i d e r i n gp o l y m e r i cr e a c t i o ni su s e dt o s i m u l a t et h e p h a s e s e p a r a t i o np r o c e s s i n p r o d u c i n g p h a s e s e p a r a t e d c o m p o s i t ef m sf p s c o f ) d u et on o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c so ft h ee q u a t i o n s y s t e ma n dt h ec o n s e r v a t i o no fo n ec o m p o n e n t ，a ni m p r o v e dd i f f e r e n c e s c h e m ea n das p e c i a ib o u n d a r yc o n d i t i o na r ei n t r o d u c e dt oa s s u r e dt h e c o n v e r g e n c eo ft h en u m e r i c a is i m u l a t i o n t h u st h ee v o l u t i o no fl c p o l y m e r r a t i oi nt h em i x t u r ei sp r e s e n t e d t h i sc o i n c i d e sw i t ht h er e s u l to fe x p e r i m e n t t h e d e p e n d e n c eo ft h ep r o d u c i n gt i m eo nr i ss t u d l e d ，w h e r err e f l e c t st h e i n t e n s i o no ft h ei i l u m i n a t i o na n dt h er a t eo ft h ep o l y m e r i z a t i o n t h e r ei st h e p o w e r - f u n c t i o ni a wi n t h et w oq u a n t i t i e s t h ed e p e n d e n c eo ft h ep r o d u c i n g t i m eo nt h ei n r i a lr a t i oo fm i x t u r e ( 由o 1 l f0 ) i sa l s oo b t a i n e d t h ea b o v e d e p e n d e n c ei sv e r yc o m p l e xa n ds e n s i t i v et olf t h et e l a t i v ea b s o r p t i o nl e n g t h o f i i g h t j nl c ) 。 ac o u p l e dt i m e d e p e n d e d g i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o nf o r c o m p o s i t i o n a l p a r a m e t e ra n do r i e n t a t i o n a io r d e rp a r a m e t e rw a si n t r o d u c e di n t os i m u l a t i n g t h ep h a s e s e p a r a t i o np r o c e s si np r o d u c i n gp o l y m e r - d i s p e r s e dl i q u i dc r y s t a l s ( p d l c ) w eu s ec e l id y n a m i c a ls y s t e m ( c d s ) n u m e r i c a la l g o n t h m s t om a k e c a l c u l a t i o n s t h u st h ee v o l u t i o no fl cr a t i oi nt h em i x t u r ei sp r e s e n t e d b o t h c o u p l e do r i e n t a t i o n a io r d e rp a r a m e t e ri nc o m p o s i t i o n a ip a r a m e t e ra n d w i t h o u t o r i e n t a t i o n a io r d e r p a r a m e t e r t h e i n f l u e n c eo fo r i e n t a t i o n a i o r d e r i n g o n m i x t u r ei sd i s c u s s e d t h ee v o l u t i o no fo r i e n t a t i o n a io r d e ri nt h em i x t u r ei sa l s o p r e s e n t e d h o l o g r a p h i cp o l y m e rd i s p e r s e dl i q u i dc r y s t a l ( h p d l c ) f i i m c a nb e m a n u f a c t u r e d u s i n gh o l o g r a p h i ct e c h n i c i no r d e rt o d e s c r i b et h e g r a t i n g f o r m a t i o np r o c e s s ，t h ed i f f u s i o ne q u a t i o no fo n ed i m e n s i o nd i f f u s i o nm o d e li s s o l v e di nt h el o w - o r d e rh a r m o n i c a p p r o x i m a t i o n s o m en o n l i n e a r i t y i n n u m e r i c a is i m u l a t i o na l s ob ed e s c r i b e di nt h i sar t i c l e t h ec o m p r e h e n s i o no ft h el dp r o p e r t yi sa d v a n c e d t h ew o r kh a s d e v e l o p e dt h es t u d yo fl i q u i dc r y s t a l t h ee x c e l l e n te x p e r i m e n t a lc o n d i t i o ni s p u tf o r w a r d ，w h i c h c a nb eat h e o r e t i ci n s t r u c t i o no f p r o d u c i n gm u l t i p l e x m a t e r i a l s k e y w o r d ：l c ，t h em i c r o p o l a rl cm o d e l ，f r e e d e r i c k s zt r a n s i t i o n ，c d s ，h = p d l c p s c o f , d h a s e _ t r a n s i t i o n 致谢 首先，我要由衷地感谢我的导师陆章基教授，感谢陆老师在学术上孜孜不 倦的教诲和生活上无微不至的关怀，正是得益于导师的言传身教，使我不但在学 习专业知识上能不断克服自身的知识水平与能力的不足，而且在生活中懂得了更 多为人处世的道理。我将谨记陆老师博大的胸怀，严谨的治学之道以及宽厚的待 人态度。 感谢光科学系徐克畴教授和数学系陈文斌老师在参加讨论班时给予我的许 多热情帮助和指导。 感谢实验室孙张风、刘丈娟同学，在与他们的交往之中我获益匪浅，在几 年来的学习与生活中我曼得到他们的很多帮助。 感谢所有帮助过我的师长、同学和朋友，为我在复旦留下了难以忘怀的美好 回忆。 感谢我的父母和家人对我的殷切期望和全力支持。 复旦大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1背 景【1 4 】 液晶的发现虽然已经有一百多年历史，但在未找到实际用途之前，不受重视， 只停留在少数科学家的一些探索性研究。随着液晶材料在物体热图像方面的应 用，激发了人们进一步探索。而液晶的动态散射现象使液晶在显示器件方面显示 出光明的前景，特别是现在液晶显示器的普及以及新型的聚合物液晶的出现，都 促进人们对液晶进行广泛深入的研究。今天，液晶作为物理、化学、力学、生物 学、电子学等多学科交叉的一门边缘学科正成为一个十分活跃的研究领域，对当 代科学技术的发展日益显示出重要作用。 1 1 1 液晶介绍 在不同的温度和压强条件下，物体只可以处于三种不同状态：固态、液态、 气态，这是人们非常熟悉的现象。但有些物体并不是只有这三种状态，它们在从 液态变为固态时会经历一种新的状态或者说新相，这些相的力学性质和对称性介 于液体与晶体之间，因此，这些新相常被称作液晶( l i q u i dc r y s t a l ) 或中间相 ( m e s o m o r p h i cp h a s e ) 。 液晶是由奥地利植物学家埃尼采儿( f r e i n it z e r ) 在1 8 8 8 年发现的。他把 胆汁醇苯酸酯( 已h 5 c o ：c 。，t t 。) 晶体加热到1 4 5 5 ( 该物熔点) 会成为混浊的液 体，继续加热到1 7 8 5 ，混浊的液体会突然变成清亮的液体。埃尼采儿把他的 发现告知德国物理学家雷曼( 0 l e h m a n n ) ，经过系统研究，雷曼发现许多化合物 都可以出现中介相。由于这些物质的机械性能与各向同性液体相似，但是它们的 光学性质却与晶体相似，是各向异性的。因此，这种中介相被称为液晶相。那些 可以出现液晶相的物质就被笼统的称为液晶。 液晶的这种特性可以从微观上来分析。我们知道构成固体的分子或原子在晶 体中具有规则排列的特征，形成晶体点阵。整块晶体可有晶体点阵沿空间三个不 同方向重复堆积而成。因此组成晶体的分子或原子具有严格的空间有序，晶体显 示出各向异性。而液体中分子间距比分子尺寸大，分子作用力不明显，分子排列 不固定，是没有规则的。因此液体显示出各向同性，而且不能承受剪切力。 但当组成物质的分子具有其他形状时，则随着温度、密度变化或者二者同时 变化，物质可能会显示出多姿多彩的结构与状态。如果构成物体的分子的几何形 状具有明显的各向异性，如长棒状、盘状，那除去分子位置外，分子的形状，相 互之间的排列方向也会强烈地影响分子之间的作用，改变物质的物理特性。如对 这样的固态物质加热，当达到一定温度时，分子的位置有序或取向有序之一就必 然开始破坏。如果一种物质首先失去位置有序形成液体，但保留着取向有序，直 到更高的温度才迸一步破坏取向有序而形成具有各向同性的液体。这种物质在位 置有序破坏进入液态时，由于分子的排列取向还存在着规律性，因此它的物理性 质仍然是各向异性的。这也就是所谓的液晶。 复旦大学硕士学位论文 在液晶中个小的局域范围内，分子都倾向于沿同一方向排列：在较大范围 内分子的排列取向可以不同的。由于液晶相是处于固相和各向同性液相之间，具 有各向异性的液相，因此液晶相又称中间相，而液晶也被称为中间物。 1 1 2 液晶的分类 随着人们对液晶的逐渐了解，发现液晶物质基本上都是有机化合物，现有的 有机化合物中每2 0 0 中就有一种液晶相。按照液晶的基本组成单元性质来看，有 棒形、盘形和碗形；从结构来看，有简单的有机分子，高分子聚合物，以及有简 单的有机分子在其他媒介( 一般是溶剂) 中形成的复合结构。 常规的分类有两种：一是从成分和出现液晶相的物理条件来看，液晶可以分 为热致液晶和溶致液晶两大类。把某些有机物加热融解，由于加热破坏结晶晶格 而形成的液晶称为热致液晶。热致各向异性的液晶物质，既能由固相加热也能从 液相冷却而得到，称此为相变。液晶物质的相变有两种情况，一种称为互变相变 型即陌习! ，赢11 ，丽赢习 当温度为t 1 和t 2 时，相变都可逆地发生。另一种称为单变相变型，即 在这种相变中，只有液体冷却时才能形成液晶相。把某种有机物放在一定的溶剂 中，由于溶剂破坏结晶晶格而形成的液晶称为溶致液晶，它是由于溶液浓度发生 变化而出现的液晶相，最常见的有肥皂水等。目前用于显示的液晶材料基本上都 是热致液晶，而生物系统中则存在大量溶致液晶。当然这种热致液晶和溶致液晶 的区分也不能绝对化，有一些具有一定浓度的溶液只是在一定温度范围内才能显 示液晶相，这种特例就难以简单地按照上面所说的那样归类了。 另一种是从分子排列有序性来看。特别是相对于由棒形分子形成的热致液 晶，其可分为三大类：向列相( n e m a t i cp h a s e ) 、胆甾相( c h o l e s t e r i cp h a s e ) 、 近晶相( s m e c t i cp h a s e ) 。 向列相液晶在显微镜观测时，普遍地看到有线状的条纹，又称为“丝状相”。 它的分子重心没有长程有序，但它的分子取向存在一定的短程有序性，而且分子 的长轴两极没有正负之分，分子长轴在空间的位置是任意的。由于它的分子长轴 倾向平行于以公共方向排列，各个分子容易顺长轴方向自由移动，因此向列相液 晶粘度较小，它的粘滞系数只是水的数倍。而向列相液晶分子长轴在空间的位置 是任意的，可以用很小的外力来控制，对外界作用相当敏感，因而应用比较广泛。 目前液晶显示器，例如扭曲向列相液晶显示器、超扭曲向列相液晶显示器等所用 的液晶材料均属向列相液晶材料。 胆甾相液晶是向列相液晶的一种畸变形式，从局域来看，胆甾相与向列相非 常类似，分子重心没有长程有序，分子取向存在一定的短程有序性。但不同的胆 相液晶不同层的分子长轴方向稍有变化，沿层的法线方向排列成螺旋结构。所 以这种液晶又被称为“扭曲丝状相”或“螺旋状相”。当不同的分子长轴排列沿 复日- 大学硕士学位论文 螺旋方向经历3 6 0 。的变化后，又回到初始取向，这个周期性的层间距离称为胆 甾相液晶的螺距。一般螺距长度接近可见光波长，可产生光波的b r a g g 反射，有 很好的光学特性。而螺距又易受外界因素影响，特别对温度很敏感，可用来测量 表面温度。 一般把不属于向列相和胆甾相的热致液晶相都归为近晶相，目前知道最少 1 0 种不同的近晶相，近晶a 相近晶j 相。又由于这些相分子排列成层，因 而也叫“层列相”。层与层之间距离一定，分子重心位置在层内无序，可自由移 动，从而有流动性，但粘滞系数很大。分子不能在上下层之间移动，它具有高度 有序性，经常在较低温度出现。可通过局部加热等方法来改变近晶相的结构和分 子排列，从而局部改变其光学性能效果，可用来显示和光学储存。其中一种近晶 c 相，又称铁电液晶，它用于显示时，响应时间远小于向列相液晶显示，有很好 的发展前景。 综上所述，液晶大致可分为向列相、胆甾相、近晶相三大类，各类液晶具有 不同的结构和性质。由于热致液晶的特殊稳定的温度范围在室温以上，只有这类 液晶才能作为显示器件的材料。而液晶分子排列不像晶体结构那么牢固，易受电 场、磁场、温度、应力以及吸附物质等外部刺激影响，因而容易使各种光学性质 发生变化。液晶这种作用力微弱的分子排列，正是液晶能广泛应用的关键。 1 2 液晶模型 由于组成液晶的基本单元形态各异，如何建立一个合理有效的力学模型来模 拟计算液晶的各种物理、力学特性就成为研究液晶的首要问题吼从1 9 0 7 1 9 0 9 年，b o s e 利用统计物理观点试图推出一个液晶的理论模型，以及2 0 年代 o s e e n 6 1 ，5 0 年代后期的f r a n k 7 1 ，直到最近的l e s l i e l 8 9 1 、e r i c k s e n l l 0 1 1 、e r i n g e n 【1 2 - 1 7 j 都尝试建立个有效的液晶模型，使其能在理论上的至完善，能合理解释液晶性 质。现在常用的是连续体理论下的模型的两个分支：以l e s l i e 、e r i c k s e n 为代表 的l e 指向矢模型；以e r i n g e n 为代表的微极模型。并对此两种模型之间的关 系进行里一些初步的探讨1 1 5 _ w 。 1 2 。1 l e 指向矢模型 液晶一般都由大量、近乎刚性的分子构成，在某一方向上微团的线度要比其 余两个方向上的线度大许多( 例丝状) 或小许多( 例碗状、盘状) 。盘型微团应 用的较少。因此般认为液晶微团是长棒状，而在一定温度的范围内，或在一定 的浓度范围内，这些微团趋于沿微团长轴方向互相平行地排列。l e 指向矢模型 就是基于长棒状液晶微团考虑，在宏观上把液晶当作连续体来处理，并引入一个 光滑变化的矢量场n ( 称为指向矢，是一个单位矢量，即n n = 1 ) ，来描述液晶 微团的排列状态，进而讨论液晶的各种各向异性的物理特性。 液晶的连续体理论有o s e e n - - f r a n k 完成“指向矢弹性力学”和l e s l i e e r i c k s e n 的各向异性流体力学。前者可解释外场引起指向矢形变等静态力学行 为，后者描述粘性流体的流动行为以及指向矢动力学。 在f r a n k 的“指向矢弹性力学”中，认为液晶的形变可以分为三类：展曲 ( s p l a y ) 、扭曲( t w i s t ) 和歪曲( b e n t ) 。液晶任何复杂的形变都是这三种基本形 复县大学硕士学位论文 变的某种组合。相应的自由能表达式为： = 委k 。( v n ) 2 + k 2 2 ( n n ) ) 2 + k 3 3 如甲如) 2 】( 1 - 1 ) 其中k ，k ：，k 。分别为展曲、扭曲和歪曲的弹性系数。这些弹性常数 k l 。( 扛1 , 2 ，3 ) 的数量级在1 0 “d y n ，其中弯曲弹性常数要比其它两者大，而扭曲弹 性常数较小。一般随着温度的增加，k 。的数值迅速减小。但是它们的比值几乎 和温度无关【“。 当考虑外加磁场时，它的磁场能为 2 v 2 = a b 2 + 0 - b ) 2 ( 1 - 2 ) 其中b 为磁感应强度，口，为与液晶磁化率有关的常数。 而l e s l i e - - e f i c k s e n 的各向异性流体力学除了液晶要求满足一般的质量守 恒，动量守恒以及能量守恒定律外，还必须满足指向矢动量守恒，即 v ，= 0 p 。，+ p 一t ，) = 0 e p v w j ( n 。) ，j g i h 。一q 。一p = 0 ( 1 - 3 ) s 、j + g 。+ g t 一酮。= 0 其中p 是密度，毋应力张量，5 指向矢应力，z 体力密度，e 内能密度g 内在指向矢体力，q 一热流量，h 热源，a 惯量常数，g 。表示指向矢体力，v 表 示速度，张量运算都使用e i n s t e i n 求和法则( 以下同) 。 1 2 2 e r i n g e n 微极模型 而e r i n g e n 提出的液晶连续体理论是基于微极连续体理论。考虑到棒状液晶 微团不一定是一维细长型的，而且聚合时有一定分散度，故把液晶微团( 基元) 视为一个小刚体，引进一个两维张量。描述液晶微团的微转动惯量。它不仅能 反映棒状基元的平均指向，而且把该基元内棒状微团成行( 有序) 程度以及邻近基 元自旋梯度效应也包括在内，甚至可描述非棒状型液晶微团基元。这样在动力学 方程中指向矢动量守恒就变成微转动惯量守恒： j h v t j 一v 自j = 0 、一4 ) 其中 ，为基元自旋张量。这样可得到静态弹性自由能表达式为： 2 v 15 ( a i + a 2 t r j ) j , 2 + a 3 j i j 2 + 0 4 + a , t r j ) a 3 + a 6 j 4 + 0 7 + 4 t r j ) a 5 ( 1 5 ) + a j 6 + a 1 0 j 7 4 复旦大学硕士学位论文 其中 = “以) 以= 由以) ，以= “以) 2 ，以= 如以以) ，以= 以n ) 2 ， j j i = 式y 八j ，= 吣y 7 、 为本体坐标和随体坐标之间转换关系。以为为的对称部分，。为反 称部分。 当考虑外加磁场时，它的磁场能为： 2 妒2 = ( c l + c 2 彬y 8 + c 3 j 9 ( 卜6 ) 其中以= b b ，山= b j b ，上面4 ( f = 1 1 0 l c , ( g = 1 3 ) 为与液晶性质有关的常数 1 3 液晶最新应用 随着对液晶的认识深化，人们发现当液晶与高分子混合在一起，可以制备出 比单种液晶更具有发展前景的光电材料。1 9 9 0 年前后，美、曰、意等国对新型电 光材料p d l c ( 高分子分散液晶) 深为关注f 2 帕7 1 ，1 9 9 7 年又出现新一代复合电光材 料p s c o f ( 相分离复合膜) 2 8 - 3 5 、h - p d l c ( 全息高分子分散液晶) 3 6 4 1 1 等，它们具有 独特优点( 微秒级快速开关、制作便易、对比率高、色彩好、视角范围大、驱动 电压低等) ，在实验研究基础上，某些产品开发巳获突破，用于新一代信息存储材 料、微秒级电光开关、彩色显示等，成为二十一世纪初的热点然而，这些新型液 晶材料是几种物质的共混物，在制备中必然涉及到液晶预聚物等( 呈溶液或熔体 状) 在相互之间在光照、温度、催化作用下复杂的相分离机制与演化过程。而研 究出这些相分离机制也成为推广这些液晶材料应用的关键。十年来，学者们几乎 专注于实验( 经验公式) 研究可喜的是有少量学者巳深入于相分离机理研究( 例 如：k o s s y r e v d 5 1 ，k y h 3 9 - 4 1 ，n w a b u n m a 3 9 川】，着手对全息光栅生长动力学建立模型 与数值模拟 1 4 本部分研究内容 本文主要从力学的观点来研究液晶以及新型混合物液晶材料的些基础性 质。对其在外界因素影响下，发生的畸变、相变问题进行数值模拟计算。 第二章主要用微极液晶模型和l e 指向矢模型来讨论液晶f r e d e r i c k s z 转变 问题，并通过数值模拟来分析两个模型的优劣和相互关系。( 1 ) 采用微极液晶模 型，导出在磁场作用下旋转椭球体液晶微团的自由能表达式；( 2 ) 求出在液晶垂 直锚定、水平加磁场的f r e d e r i c k s z 转变中，临界磁场、指向矢角度分布的解析 解，并通过数值计算给出界面与磁场综合效应。( 3 ) 对二种模型下作细致的数值 模拟并作对照，包括：临界磁场强度、指向矢分布、最大转角对于磁场强度的依 赖关系：( 4 ) 讨论有关的数学问题，包括用夹逼方法严格论证临界磁场强度公式， 主方程解的多值性与分叉等 其次是对新型的液晶和高分子聚合物材料( p d l c 、h p d l c 、p s c o f ) 制备 复旦大学硕士学位论文 中的相分离问题分别进行数值模拟。1 采用考虑聚合反应的一维扩散模型，对 p s c o f 制备中的相分离过程作数值模拟。由于面临的是带有单组分守恒约束条 件的非线性方程系统，本文提出一种改进的差分格式和边界处理办法，能保证数 值模拟的收敛，由此给出液晶与聚合物的时间演化图，与实验结果定性一致；本 文的模拟结果表明制备时间随r ( 反映光照强度或反应速率的材料系数) 改变呈现 幂函数规律；在研究制备时间随组分配比由o vo 的变化规律时，发现液晶的光 吸收率l 对其影响甚大。2 采用元胞动力系统( c d s ) 方法对制备p d l c 中的相 分离过程进行的数值模拟，其中分别采用不考虑指向矢效应和考虑指向矢效应， 对相分离中的指向矢作用进行一些探讨；并对模型中各系数作用进行了分析。3 最后，对h p d l c 的相分离进行数值模拟。 6 复旦大学硕士学位论文 第二章f r e d e r i c k s z 效应 本章主要研究在平行板渠道中的n e m a t i c 液晶在磁场作用下液晶指向矢发生 畸变的情况，重点考虑磁场和壁面的综合效应图1 给出一种典型情形，假定壁面 处指向矢是锚定的( 图l 中为垂直锚定) 在无外磁场时，指向矢均匀( 垂直地) 排 列若在水平方向作用磁场，当液晶产生的磁感应强度占超过某一值时开始转 动，称此磁场强度值为临界磁场强度也就是说，一旦突破它，就由均匀状态相变 为畸变状态，这就是f r e d e r i c k s z 效应 本问题早期曾用l e 液晶模型作过研究，得到积分形式的解析解及简化的近似 公式，以后e r i n g e n 把另一类有潜质的“微极液晶模型”初步用于本问题但对 这二类模型尚未见到细致的数值模拟，特别是考虑液晶微团不能简单的当作细长 棒时的转变问题。下面我们将推导出旋转椭球型液晶微团的f r e d e r i c k s z 效应 本问题( 以及相类似) 的研究有重要应用，例如可以结合实验把l e 模型中弹性自 由能中的三个弹性系数确定下来以及椭球微团的粗细对液晶的临界磁场的影响 另外也为弄清各类模型之间的联系提供素材 本章主要讨论以下问题：( 1 ) 采用微极液晶模型，导出在磁场作用下旋转椭 球体液晶微团的自由能表达式；( 2 ) 求出在液晶垂直锚定、水平加磁场的 f r e d e r i c k s z 转变中，临界磁场、指向矢角度分布的解析解，并通过数值计算给 出界面与磁场综合效应。( 3 ) 对二种模型下作细致的数值模拟并作对照，包括： 临界磁场强度、指向矢分布、最大转角对于磁场强度的依赖关系：( 4 ) 讨论有关 的数学问题，包括用夹逼方法严格论证临界磁场强度公式，主方程解的多值性与 分叉等 z z z i 、 目 ：占2 以、u “f 、 、 ，打 图2 1 平面渠道液晶在外磁场作用下指向矢发生畸变 r 下、t 之土一 占2 以 、 7 j 7 一 一l l 。 一l， 复旦大学硕士学位论文 2 1 理论推导 2 1 1 自由能表达式 当考虑液晶聚合成旋转椭球体时，则在本体坐标系下，液晶微团转动惯性张 量为： 1 = 2 o 厶 考虑在平面问题，建立如图一所示坐标系，则可得微转动惯量 _ ，= 厶慨一( 1 一五k 。玎，) ，= 州聆， ， ，则可有( 卜5 ) 和( 卜6 ) 式得： 一p = l o ( 2 + ) ，j 1 = 护护。) = 内n i 行“， j 2 = t r ( j y 。) = l o 埘n t n j j ， j ，= f ，。) 2 = _ 。聆。一去0 ，珂“”，n 。，+ n 。”，l = 即( ，以儿) = 三厶( 4 _ ，k ，一3 - 咒如。，一2 n 。拧川l 以= t r ( z 。) 2 = 一去g 儿体，+ n ，l 以= r ，b a2 ) = 一j 11 。( ( 1 + a 如。聆儿，+ 2 n 。l j ，= 护c ，以n ) = 一去( 1 一五p 。巩，”幻， 以= b b = e 垦，= 驴= i o 量一( 1 一五e ) 2j 则得到自由能表达式为： 2 i ；，= d l 培汹n j n jk ? + d 2 n j j n 。+ d 3 n t n k 4 n j n k j + d 4 n j , ，n j j + d s b 。b + d 6 g ；b 。) ( 2 1 ) 其中： d l = a l + ，o ( 2 4 2 + 4 3 ) + 以o a 2 ，d 2 = a 4 + i o ( 2 a 5 + 6 ) + 2 o a 5 d 3 = 一了a 4 一了a 7 一, o o + 五，z ，+ 等以+ ( 1 + 五，：地+ ( 1 + 五) 鲁+ ( 1 + 五) 每 d 4 一了a 4 一了a 7 一l ( ( 1 + a ，z 皿，+ 丢以+ ( 1 + a ，2 地+ 鲁) d ，= c + ，。“2 + 五) c ：+ c ，ld 6 = 一i 0 0 一 f ， 又因为： 复旦大学硕士学位论文 ( 膨n i n ”) 2 = k ( v n ) 】2 ”。聆。= ( v n ) 2 + n ) 2 + b 厂 。) ， _ 仇广盼v 如】2 = n x ( v ) 】2 玎。，= ( v ”) 2 则最终得到在磁场作用下旋转椭球形微团的液晶自由能表达式为： 2 妒= 心。+ 2 k 。x v 几) 2 + ( t ：+ 船，。勋( v 玎) ) 2 + ( 七3 ，+ 舭，。) ( 如v 如) 2 ，、 + 心+ z v o a b ，b 。+ 。+ 锄。如，丑，) + + 触。勋，_ 厂吃揩。) ，( 2 - 2 ) 其中：k 0 0 = a 4 + l o ( 2 a 5 + 4 6 lk o = ，0 一，； k l 1 = 2 ( a 4 - a , ) + 丢厶( 2 a 5 + a 一2 4 - a 9 ) = i i 厶( a 5 - a 8 ) ， k 2 2 = 4 l 十以+ i o ( 2 a 2 + a 3 + 2 a 5 + 彳6 ) ，k 2 2 = 厶“+ 4 ) ， 足。= 圭o 。一4 ，) + 1 。( 4 a 5 + a 6 - 4 4 4 - a i o ) ， k 3 i = 1 0 ( 2 a 5 + a 6 - 2 爿s - - a 9 + h l o l = c 1 + i o ( 2 c 2 + c 3 k = l o c 2 z d = 一i a c 3 ，z 。i = j 9 c3 式( 2 2 ) 第一行中是描述液晶形变时的弹性能，第一、二、三项分别表示 展曲、扭曲和歪曲时弹性能。第二行中前面两项为磁场能，最后一项为液晶的表 面能。液晶的表面能一般情况下，是可以不加考虑的【1 ”。对比此式与式( 1 - 1 ) 和( 1 - 2 ) ，我们可以发现，当把旋转椭球形微团的液晶作为细长棒来处理，即a = 0 时，式( 2 - 2 ) 就化为式( 1 - 1 ) 和( 1 - 2 ) 的组合。我们可以这样说：f r a n k 的指 向矢模型推导的磁场作用下液晶的自由能是e r i n g m a 微极模型推导下的一种特 例，而且可以得到两种模型系数之间的关系。 2 1 2f r e e d e r i c k s z 转变 当考虑液晶聚合成椭球体时，即矗= ，0 慨一( 1 一彳如，) ，在液晶垂直锚定、 水平加磁场的f r e e d e r i c k s z 转变。则开始指向矢疗= ( s i n 0 ，c o s o ，0 ) ，磁场 豆= p ，0 ，o ) ，没有电场时情况： 复旦大学硕士学位论文 c o s 2o + 2 s i n 2 口以一1 ) s i n o c o s 0 0 以一1 ) s i n o c o s 8 2 c o s 2 口+ s i n 2 口0 1 00 1 j 代入式( 2 - 2 ) 得到 2 y 2 + ( k ( z 1 1 。+ + 2 五x z , 。a 。) 归s i n ：2o+：目(k+,3(r+。2+k盯3a。)；c、o归s2sin ：目p 2 ( 2 3 ) + k 。+ 允z ： 1 b j z 8 + 堪，+ 瓶o t l b z 由于心+ 矾。归2 与指向矢无关，可以不加考虑。其中单位体积内液晶自由 能： g a2j 叻 ( 2 4 ) 在平衡状态下时自由能g a 应该具有最小值，应用e u l e r - l a g r a n g e 方程得： 鬈麓：sin20+(k33j+2kax)eos20：叱矽akk 3 l k s i n o c o s 0 0 慨归：s i n o c o s 0 ：0 协s ，+ 恤i l +1 2 3 3 )2 + 拓口+ 丑z d 归2 = 对上述问题的讨论最后归结为求解此方程。 1 求磁场阈值睇 酝+ 胀。) s i n 2 目+ 伍。+ 2 k ，。c o s 口p ：y + + 沁：s i i lz 曰y ：0 把这个式子从y = 0 积分到y = h ，同时注意到在y = h 处0 = 0 ( 由于壁面是强锚定) ， 而在y = 0 处由于装置的对称性口具有最大值铭，并且毋问卸，这样就有： k 扫2 = + a k l 2 ) s i l l 2 口+ ( k ，+ a 足，。c o s 2 口p 2 = 眈+ 础缸归2s i n 2 如一。+ 研“归2 s i n2 目 虹兰吐盟嬖坠塑型一。( 2 - 6 ) + a k l ) s i n 2 口+ 伍”+ a k 3 c o s 2 引 对上式进行整理，并再次从y = 0 积分到y = h ， 洒= 飘堑垡趔c o s 赫c o s 舟些地卜像， ：li 上j i z 扫jj 而c o s ( 2 0 ) 一c o s ( 2 0 c ) =