（应用数学专业论文）duffingvan+der+pol系统的复杂动态.pdf

摘要 本文应用分支理论，二阶平均方法，m e l n i k o v 方法和混沌理论，研 究带五次回复力、一个外力和一个激励项的d u f f i n g - v a nd e rp o l 系统的 复杂动态 应用m e l n i k o v 方法给出了在周期扰动下系统产生 昆沌的准则，应 用二阶平均方法和m e l n i k o v 方法给出了在u = n o j l + 叱扎= 1 ，2 ，4 ，6 的 拟周期扰动下平均系统产生混沌的准则，数值模拟验证了理论分析的 正确性，而用平均方法不能给出在u = n 0 3 。+ e n = 3 ，5 ，7 1 5 的拟周 期扰动下产生混沌的准则，但数值模拟显示了原系统出现混沌同时， 运用数值模拟，包括同宿和异宿分支曲面、分支图、最大l y a p u n o v 指 数图、相图、p o i n c a r d 映射图等来验证这些理论结果，并发现了许多新 的动态：从周期一1 ，周期2 轨道的周期倍分支通向混沌，交替出现的周 期倍分支和逆周期倍分支通向混沌，带有周期窗口和不变环的混沌区 域，带不变环的大片区域，小尺度( “s m a l ld e g r e e ：l 0 ，一0 ) 的混沌区 域，混沌的突然出现和消失，内部危机多次突然发生等复杂动态 本文研究的这类d u f f i n g - v a nd e rp o l 系统，所得到的动态行为将丰 富非线性动力系统的内容，对其他学科，例如光学，物理学的研究也有 一定的应用价值 全文共分三章 第一章是关于二阶平均方法、m e l n i k o v 方法与混沌理论的预备知 识，简单的介绍连续动力系统的二阶平均理论和m e l n i k o v 方法 第二章简单介绍了d u f f i n g 系统，v a nd e rp o l 系统以及d u f f i n g - v a n d e rp o l 系统的一些历史背景知识 第三章应用二阶平均方法和m e l n i k o v 方法研究了具一个外力和一 个激励项的d u f f i n g - v a nd e rp o l 系统，给出了周期扰动下系统产生混沌 的准则，在u = 删，+ e ，n = 1 ，2 ，4 ，6 的拟周期扰动下平均系统产生混 沌的准则，而在u = 删。+ e ，仃= 3 ，5 ，7 1 5 拟周期扰动下没有给出平 均系统产生混沌的条件，但是数值模拟显示原系统出现混沌运用数 值模拟，验证理论分析结果，并且找到新的复杂动态 关键词：m e l n i k o v 方法，二次平均方法，周期扰动，拟周期扰动，混 沌 i i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h ec o m p l e xd y n a m i c so ft h ed u f f i n g - v a nd e r p o ls y s t e mw i t he x t e r n a la n dp a r a m e t r i ce x c i t a t i o n s b ya p p l y i n gm e l n i k o v m e t h o d ，t h et h r e s h o l dv a l u e so fe x i s t e n c eo fc h a o t i cm o t i o na r eo b t a i n e da n - d e rt h ep e r i o d i cp e r t u r b a t i o n b ya p p l y i n gt h es e c o n d - o r d e ra v e r a g i n gm e t h o d a n dm e l n i k o vm e t h o d ，w ep r o v et h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o si na v e r a g e d s y s t e mu n d e rq u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o ru = 删l + e ，佗= 1 ，2 ，4 ，6 ，a n d c a n n o tp r o v et h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o si ns e c o n d - o r d e ra v e r a g e ds y s - t e r nu n d e rq u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o r 叫= 似1 + e ，n = 3 ，5 ，7 1 5 ，w h e r e vi si r r a t i o n a lt o 0 1 ，b u tc a ns h o wt h eo c c u r r e n c eo fc h a o si no r i g i n a ls y s t e m b yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n n u m e r i c a ls i m u l a t i o n si n c l u d i n gh e t e r o c t i n i ca n dh o - m o c l i n i cb i f u r c a t i o ns u r f a c e s ，b i f u r c a t i o nd i a g r a m s ，l y a p u n o ve x p o n e n t ，p h a s e p o r t r a i t sa n dp o i n c a r dm a p ，n o to 山s h o w t h ec o n s i s t e n c ew i t ht h et h e o r e t i - c a la n a l y s i sb u ta l s oe x h i b i ts o m en e wc o m p l e xd y n a n l i c s ：t h ep e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o nf r o mp e r i o d - 1 ，a n dp e r i o d - 2o r b i tl e a d i n gc h a o s ，a n dt h ei n t e r l e a v - i n gp e r i o d - d o u b t i n gb i f u r c a t i o na n dt h ei n t e r l e a v i n gr e v e r s ep e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o nl e a d i n gt oc h a o s ，t h ec h a o t i cr e g i o n sw i t hp e r i o d i cw i n d o wa n di n - v a r i a n tt o m s ，a n dt h el a r g er e g i o no fi n v a r i a n tt o r u s ，a n dt h e s m a l ld e g r e e ” ( l 0 ，一0 ) o fc h a o t i cr e g i o n s ，a n dt h eo n s e to fc h a o s ，a n dt h ei n t e r i o rc r i s i s o c c u r r i n gm o r et h a no n e t h ei n v e s t i g a t i o nf o rt h ed u f f i n g - v a nd e rp o ls y s t e m ，w h i c hh a s h td o n e m u c hy e t ，i so ff u n d a m e n t a la n de v e np r a c t i c a li n t e r e s t a n dt h ed y n a i i l i c a lb e - h a v i o r so ft h e s es y s t e m sw i l le n r i c ht h ec o n t e n to fn o n l i n e a rd y l l a n l i c a ls y s t e m s a n dw i l lb eu s e f u li no t h e rs u b j e c t ss u c ha so p t i c s ，p h y s i c s t h ep a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1i st h ep r e p a r a t i o nk n o w l - e d g e ab r i e fr e v i e wo fs e c o n d - o r d e ra v e r a g i n gm e t h o d s ，m e l n i k o vt h e o r ya n d c h a o st h e o r yf o rc o n t i n u a ld y n a m i c a ls y s t e mi sp r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n dh i s t o r i e so fd u f f i n g ， i i i v a nd e rp o la n dd u f f i n g - v a nd e rp o ls y s t e m s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yd u f f i n g - v a nd e r p o ls y s t e mw i t he x t e r n a la n dp a r a - m e t r i ce x c i t a t i o n sb yu s i n gs e c o n d o r d e ra v e r a g i n gm e t h o d sa n dm e l n i k o vm e t h - o d s t h et h r e s h o l dv a l u e so fe x i s t e n c eo fc h a o t i cm o t i o na r eo b t a i n e du n d e rt h e p e r i o d i cp e r t u r b a t i o n ，a n dt h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o s i na v e r a g e ds y s t e m u n d e rq u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o ru = n o ) 1 + e 王，珏= 1 ，2 ，4 ，6 ，a n dc a n n o t p r o v et h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o si ns e c o n d - o r d e ra v e r a g e ds y s t e mu n - d e rq u a s i p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o ru = n o j l + e ，n = 3 ，5 ，7 1 5 ，w h e r e 王，i s i r r a t i o n a lt ou 1 ，b u tc a l ls h o wt h eo c c u r r e n c eo fc h a o si no r i g i n a ls y s t e mb y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sn o to n l ys h o wt h ec o n s i s t e n c e w i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i sb u ta l s oe x h i b i ts o m en e wc o m p l e xd y n a m i c s k e y w o r d s ： m e l n i k o vm e t h o d s ，a v e r a g i n gm e t h o d s ，p e r i o d i cp e r t u r b a t i o n ， q u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o n ，c h a o s i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：援计兹汐粹6 月7 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书 2 不保密面 ( 请在以上相应方框内打q 、丹) 作者签名：参钟嚷 导师签名：前j 像 5 9 日期：9 缉钿知 瞒h 刚手户 d u f f i n g - v a nd e rp o l 系统的复杂动态 1 预备知识 动力系统是描述动态行为随时间和参数的演化而变化的系统近 四十年非线性动力系统理论有了很大的发展，并且广泛地应用于物理、 化学、数学、生物、医学、经济以及各种工程学科目前动力系统理论 中分支理论和混沌理论已成为活跃的研究领域并且其中有许多挑战 性的问题需要我们去研究 下面给出动力系统的一般性概念：考虑口中的常微分方程( 组) 其中，z = ( z 。，z 2 ，z n ) r 形是n 维向量，表示系统的状态，而右端 函数，：舻_ 形是伊向量场，r 1 ，它由系统所遵循的一些规律决 定对于任意的黝p ，方程( 1 1 ) 以x ( o ) = 黝为初值的解( 亡，z o ) 在 包含t = 0 的某区间上存在如果f ( x ) 满足适当条件，则解矽( 亡，知) 可 以对于一切t r 存在且满足 ( i ) ( 0 ，z ) = z ，v z p ( i i ) ( s + t ，z ) = 咖( 5 ，咖 ，。) ) ，v s ，t r ，z 月， ( i i i ) ( 亡，z ) 对于( t ，z ) 连续 我们把满足上述条件( i ) ( i i ) ( i i i ) 的映射咖：r p 一留称为舻中 的动力系统 1 1 m e l n i k o v 方法 m e l n i k o v 方法是一种扰动方法，最初由m e l n i k o v ( 3 0 ) 于1 9 6 3 年提 出，后来经h o l m e s ( 6 ) ，w i g g i n s ( 4 s ，4 9 ) 等人的补充和推广，用来证明 一类时间周期向量场中p o i n c a r d 映射的稳定流形和不稳定流形横截同 宿点的存在性，从而导致s m a l e 意义下的混沌 而s u b h a r m o n i c - m e l n i k o v 方法用来判定同一系统中次谐波解分支 轨道的存在性近十年来，m e l n i k o v 方法得到了很大的发展，取得了 硕士学位论文 许多成果这些成果包括由建立高阶m e l n i k o v 方法来处理超次谐波分 支轨道；用m e l n i k o v 方法来研究多自由度的m e l n i k o v 系统的动力学行 为；把m e l n i k o v 函数方法和平均方法结合起来，可以处理一些特殊系 统的动力学性质 1 同宿轨道的m e l n i k o v 函数 考虑系统： 亳= 厂( z ) 十e g ( x ，t ) ，( 1 1 1 ) 其中z = ( u ，移) ? 砰，( z ) = ( ( z ) ，厶( z ) ) r ，g ( x ，t ) = ( g x ( z ，亡) ，9 2 ( z ，亡) ) t 是 充分光滑的函数( 伊，r 2 ) ，且在有界集上有界9 ( x ，t ) 是t 的周期函 数，周期为t 对方程( 1 1 1 ) 做如下假设： 皿当e = 0 时，方程( 1 1 1 ) 为h a m i l t o n 系统，其h a m i l t o n 函数为 h ( u ，口) ，也就是此时我们有 。 也= ( 钍，口) = 删锄， ( 1 1 1 2 ) ii p = 厶( 乱，秽) = 一o h o , 凰当g = 0 时，方程( 1 1 1 ) ，也就是方程( 1 1 2 ) 存在一个双曲鞍 点1 9 0 ，以及一条连接1 9 0 的同宿轨道g o ( 亡) = ( u 0 ( 亡) ，v 0 ( 亡) ) 方程( 1 1 1 ) 的等价扭扩系统为 专2 m ) + e g ( z , e ) ， ( 1 1 3 ) 口= 1 ， 其中，( z ，口) r 2 s l ，s = s 1 s 1 s 1 ，s 1 代表周长为t 的圆下 面先以f 1 来说明m e l n i k o v 函数方法取相空间横截面 t o = ( z ，0 ) 1 0 = t o ( o ，t 】) c 芹s 1 对于方程( 1 1 3 ) 产生的扭扩流，定义p o i n c a r d 映射 p , o ( q ( 亡，t o ) ) = i i ( 驻( 亡o + t , t o ) ，p ( t ) ) = q ( t o + t , t o ) ， 其中，啦( ，t o ) 为方程( 1 1 3 ) 的解，n 表示投影到第一因子的映射 一 - d u f f i n g - v a nd e rp o l 系统的复杂动态 显然方程( 1 1 3 ) 的周期t 解就相当于p o i n c a r d 映射砖的不动点， 方程( 1 1 3 ) 的周期m t 解就相当于p o i n c a r d 映射磴的周期m 点自 然就想到，把方程( 1 1 3 ) 的动态的讨论化为对低一维的p o i n c a r 百映射 碴的讨论，如果能找到p o i n c a r d 映射地：幻一幻存在横截同宿点， 就能判定系统具有s m a l e 变换意义下的的混沌为此，我们首先要讨 论砖的鞍点的存在性，并且给出该鞍点的稳定流形和不稳定流形的 有关性质 性质1 1 1 ( 【6 】) 在上述假定下，对于充分小的e ，方程( 1 1 3 ) 有唯一 的双曲周期轨道理( 亡) = r ( t ) + o ( ) ，即p o i n c a r d 映射砖存在唯一的双 曲鞍点砖= 9 0 + 0 ( ) 性质1 1 2 ( 6 ) ( i ) 对于充分小的s ，方程( 1 1 3 ) 的周期轨道埋( 芒) = 一( t ) + d ( e ) 与未扰动的周期轨道一( 舌) 有同样的稳定性 ( i i ) 方程( 1 1 3 ) 的双曲周期轨道埋的局部稳定流形w j s 烈，0 ( 亡) ) 和 局部不稳定流形w i 烈tk 0 ( t ) ) 是伊接近于= 0 时未扰动系统( 1 1 2 ) 的 周期轨道一( 亡) 的局部稳定流形w 8 ( r o ( 亡) ) 和局部不稳定流形ur o ( 亡) ) ( i i i ) 初始点在。o 上且位于w 8 ( 埋( 亡) ) ，v 俨( 埋( t ) ) 上的轨道q g t ，t o ) ， 酵( 亡，t o ) 可展成下列的展开式，并且在所表示的时间间隔上一致有效： 。 ( 亡，t o ) = q o ( t t o ) + e q ：( t ，t o ) + o ( s 2 ) ，t t o ，+ o 。) 和 酵( t ，t o ) = q o ( t t o ) + e q ：( 亡，t o ) + d ( 矿) ，t ( - - 0 0 ，t o 】) 由性质1 1 1 和性质1 1 2 ，得到w 8 ( 埋( 亡) ) 和w u ( 碟( 亡) ) 之间的距离函数 为 d ( t o 冲型盟谎揣堕逖州a 由此可定义同宿轨道的m e l n i k o v 函数为 m ( t o ) = ，( 9 0 一t o ) ) ag ( q o 一t o ) ，t ) d t ( 1 1 4 ) 综合上述，得到下面的m e l n i k o v 定理： 定理1 1 3 ( 6 1 ) 对于系统( 1 1 3 ) ，假定( 凰) 一( 凰) 成立，如果m ( t o ) 具 硕士学位论文 有不依赖于s 的简单零点，则对充分小的s ，就能保证幻上的稳定 流形w 8 ) 和不稳定流形乜) 横截相交，则方程( 1 1 3 ) 有s m a l e 意义下的混沌 2 异宿轨道的m e l n i k o v 函数 设方程( 1 1 3 ) 满足玩如果还满足 z 方程( 1 1 2 ) 存在两个或两个以上的双曲鞍点a ，i = 1 ，2 ，k ， 以及一条连接a ，a + ，的异宿轨道爵( t ) = ( 硼( t ) ， ? ( t ) ) ，且这些异宿轨道 形成一个异宿环 那么对这k 条异宿轨道建立k 个相应的m e l n i k o v 函数，如前可以 定义异宿轨道的m e l n i k o v 函数为 m ( t i ) = ，( 鳄 一岛) ) ag ( q ? ( t 一) ，亡) 出， ( 1 1 5 ) ，一 其中i = 1 ，2 ，k 则有如下定理： 定理1 1 4 ( 【5 1 】) 对于系统( 1 1 3 ) ，假定日1 ，毋成立如果m ( t i ) 具有不 依赖于e 的简单零点，则对充分小的g ，就能保证w u 皖) ( 或8 饿：) ) 和w 8 雠t o + 1 e ) ( 或w u 。，) ) 横截相交，即存在横截异宿点如果对每一 个i ，m ( t ；) 都存在简单零点，则对充分小的，可保证p o i n c a r d 映射磴 存在n 一横截环，从而使得砖具有s m a l e 马蹄变换意义下的混沌 3 次谐波轨道的m e l n i k o v 函数 对于系统( 1 1 3 ) ，假定日1 一凰成立，且有 凰令r 0 = 9 0 ( t ) l t r ) u 伽，在r o 内部充满了一族以o t 为参数的 轨道矿( 亡) ，q ( 一1 ，o ) 凰令h n = h ( q n ( 舌) ) ，死为口a 的周期，死为h a 的可微函数，且在 f 0 内满足d t q d h q o ( 或( d t a d h 口 o ) 或者 皿，弼成立，且 弼令r o = 0 朝( 亡) 批兄) u0 鼽) ，在r o 内部充满了一族以o z 为 参数的轨道旷( 亡) ，o t ( 一1 ，o ) 以及日4 成立 一4 一 d u f f i n g - v a nd e rp o l 系统的复杂动态 那么次谐波的m e l n i k o v 函数为 r n t m m 加( t o ) = a ( 亡)q ( ) ，+ ()o f ( qag ( q t t o ) d r 1 16 于是有如下定理： 定理1 1 5 ( 【6 】) 如果m 仇竹( 如) 具有不依赖于e 的简单零点，则对充分 小的s ，系统( 1 1 3 ) 存在周期为m t 的次谐波解，相当于p o i n c a r d 映射 够存在周期m 的不动点如果n = 1 ，结论仍然成立 1 2 平均方法 平均方法是研究周期轨分支的一种方法，最早由k r y l o v 和b o g o l i - u b o v 给出，它对于弱非线性问题或者是线性振子的小扰动问题的周 期轨分支的研究是特别有用的在一定的条件下，动力系统的一些性 质可由平均方程的性质而获得 考虑微分方程 圣= e ，( z ，c u t ，w t ) + 2 9 ( x ，c u t ，w t ) ，z = ( “，u ) t r 2 ，0 s 1 ，( 1 2 1 ) 其中，( z ，7 ，口) 和9 ( z ，下，口) 是伊，3 ，在有界集上有界，且关于r ，口是 以t 为周期的周期函数系统( 1 2 1 ) 包含一个快时间t 和一个慢时间 e 当= 0 时，方程( 1 2 1 ) 成为 亳= s ，( z ，t ) + 2 9 ( x ，t ) ，z = ( t 正，口) t r 2 ，0 0 1 b m a r o t t o 意义下的混沌定义( 【2 8 】) 假设f ：舻一弘为一可微映射令d f ( x ) 表示f 在点x 的 j a c o b i 矩阵，i d f ( x ) l 表示d f ( x ) 的行列式，耳( x ) 表示以x 为中心， 以r 为半径的闭球设f 在研( z ) 上可微称z 是f 在研( z ) 中的 扩张的不动点，如果f ( z ) = z ，任取x b r ( z ) 有d f ( x ) 的所有特征 值的模大于1 设z 是f 在b r ( z ) 中的扩张的不动点，称z 是f 的 s n a p - b a c kr e p e l l e r ，如果存在一个点) c o 耳( z ) ，使得x o z ，对某个正 整数m ( 1 ) 有f m ( z o ) = z ，并且i d f m ( 弱) j 0 定义2 如果f 有一个s n a p - b a c kr e p e l l e r ，那么f 是混沌的也就是说， ( 1 ) 存在某个正整数，使得对每一个正整数p n ，f 有周期p 的点； ( 2 ) 存在一个 s c r a m b l e d 集，即f 有一个不含周期点的不可数集s 满 足： ( a ) f s 】cs ， ( b ) 任取x ，y s ，x y ，有 l i ms u pl f 七( x ) 一f k ( y ) i 0 ， 七 ( e ) 任取x s ，及f 的任意周期点y ，有 l i m s u pi f 七( x ) 一f 后( y ) i o ； k - - * o o s 一 d u f f i n g - v a nd e rp o l 系统的复杂动态 ( 3 ) 存在一个不可数子集岛cs ，任取x ，y s o ，有 l i m i n fl f ( x ) 一f 矗( y ) i = 0 r - - - 聿o o c d e v a n e y 意义下混沌的定义( 【2 】) 设x 是一个度量空间，dcx 先给出拓扑传递和对初值具有敏 感依赖性的两个定义称，：j _ j 是拓扑传递的，如果对任意的开集 阢vcj ，总存在k 0 使得，七( 汐) nv 称，：，一j 对初始条件具 有敏感依赖性，如果存在6 0 使得对任意的z j 和z 的任一邻域 ，总存在y n 和n 0 满足l 广( z ) 一尸( 秒) l 6 定义3 设x 是一个度量空间称连续映射，：x x 在x 上是混沌 的，如果 ( 1 ) ，是拓扑传递的， ( 2 ) ，的周期点在x 中是稠密的， ( 3 ) ，对初始条件具有敏感依赖性 d p t o u h e y 意义下混沌的定义( 4 3 1 ) 定义4 设x 是一个度量空间称连续映射f ：x _ x 在x 上是混沌 的，如果任取x 的两个非空开集妙和y ，总存在一个周期点p u 和 一个非负整数k 使得，七p ) v ，也就是说x 的任意一对非空开子集 都包含同一个周期点的一部分轨道 e w i g g i n s 意义下的混沌( 1 4 9 ) 考虑郧上的c r ( r 1 ) 自治向量场或影射 宕= ，( z )( 1 3 1 ) 或 z 卜9 ( 。)( 1 3 2 ) 设妒( t ，z ) ，t 0 是由( 1 3 1 ) 生成的流，ac 舻是妒( 乞z ) ( 9 ( z ) ) 下的一 个紧致不变集称妒( ，z ) ( 9 ( z ) ) 对a 上的初始条件具有敏感依赖性，如 果存在e 0 使得对任意的z a 和z 的任意邻域u ，总有y u 和 一9 一 硕士学位论文 t o ( n 0 ) 满足i 妒( 亡，z ) 一妒( t ，可) i e ( 妒( z ) 一旷( 耖) i ) 称一个闭的不 变集a 是拓扑传递的，如果对任意开集阢vca 有 存在t r 使得妒( 亡，u ) nv 咖( 存在n z 使得矿( u ) nv 咖) 定义5 称a 是混沌的，如果 ( 1 ) 妒( 亡，z ) ( g ( z ) ) 对a 上的初始条件具有敏感依赖性， ( 2 ) 妒( 亡，z ) ( 夕( z ) ) 在a 上是拓扑传递的 2 通向混沌的道路 a 倍周期分叉道路( 【2 9 ，3 6 ，4 2 ) 当参数6 在某一范围内时系统有一个周期为t 的稳定的周期轨， 随着参数的变化，当6 = 6 ，时，发生了倍周期分叉，原来稳定的周期 轨失去了稳定性，产生了新的周期为2 t 的稳定的周期轨随着参数 的变化，当6 = 如，k = 2 ，3 ，o o 时，出现了无穷序列的倍周期分叉， 产生周期为2 知t 的稳定的周期解，当此周期解失去稳定性时，出现了 新的周期为2 知+ ，t 的稳定的周期解随着倍周期分叉的进一步发生， 当6 = 如时，系统陷入混沌状态 b 喘息混沌道路( 2 9 ，3 6 】) 当参数6 小于一个临界过渡值西时吸引子是一个周期轨，当6 稍 大于西时，在很长时间内轨道呈现出是周期的而且非常接近6 0 ，一0 ) 的混沌区域，混沌的突然出现和消失，内部c r i s i s 多次突然发生 本章结构如下：第二节中给出系统( 3 1 。1 ) 的未扰动系统的不动点 和相图第三节，应用m e l n i k o v 方法得到在周期扰动下由同宿和异宿 分支产生混沌的存在性条件第四节，应用二阶平均方法和m e l n i k o v 方法得到拟周期扰动下平均系统的混沌的存在条件第五节利用数值 模拟，验证了理论分析结果，并且发现了很多新的动态 3 2 未扰动系统的不动点和相图 系统( 3 1 1 ) 的未扰动系统为； ；三二瑶z p z 3 一q z 。 c 3 2 1 ， 系统( 3 2 1 ) 的不动点( z ，0 ) 满足方程 一磊一p z 2 一q = 0 ( 3 2 2 ) 由系统( 3 2 2 ) 根的分析和系统( 3 2 1 ) 的不动点稳定性，可得到如下的 结论 引理l1 ) a = p 2 4 a w 3 0 时为中心，当瑶 o ，设z l ，2 = 士、_ 二：堕簪，z 3 ，4 = 士- v 一卢一 2 卢a 型 ( 1 ) 当荫 0 ， 0 时，系统( 3 2 ，1 ) 有 三个不动点：s ( o ，0 ) 为鞍点，c 1 ( z 1 ，0 ) 和q ( z z ，0 ) 为中心； ( 2 ) 当瑶 0 ，q 0 ，q 0 ，p 0 或( i i ) 胡 0 是充分小，则横截异宿轨道存在， 系统( 3 3 1 ) 可能产生混沌 在第五节中，将给出分支曲面( 3 3 3 ) 和( 3 3 6 ) 的数值模拟 3 4 拟周期扰动的混沌 本节考虑系统( 3 1 1 ) 在拟周期扰动下的混沌行为假定u 。和u 不是有理数关系，此时，因为找不到p o i n c a r d 截面，因而不能应用m e i = n i k o v 方法因此，利用二阶平均方法，将此系统简化为周期扰动下的 h a m i l t o n i a n 系统那么，应用m e l n i k o v 方法得到平均系统的混沌存在 的条件 ( 一) 平均系统 为了应用平均方法，系统( 3 1 1 ) 可写为 岔+ 瑶z = e 【一声z 3 一a z 5 + 厂c o s ( 叫1 t ) 一碚尾c o s ( 亡) 翻一d p ( x 2 1 ) 圣 ( 3 4 1 ) 其中歹= ，e 2 多= p ，e 零= p ，e 及= 岛和e 压= q 假设u = 删l + e ，与u 。不是有理关系令丁= e 以，对方程( 3 4 1 ) ， 应用v a nd e rp o l 变换 ( ：) = c o s i t ) ，二妻i ：j ) ( 三) c 3 4 2 ， 并应用二阶平均方法及时间变换t 一云t ，对于= 1 ，n = 2 ，礼= 3 ( 5 ，7 1 5 ) ，n = 4 和n = 6 ，得到方程( 3 4 1 ) 的平均方程如下： 一2 0 ( 1 ) 对于n = 1 也= ( 让，u ) + 由( 9 1 ( 让，移) + 2 5 6 口4 - 1 2 + 3 8 4 罐屠us i n ( 2 v o t ) ) 一3 8 4 诺庞uc o s ( 2 的亡) ) = ( “，t ，) + e ( h l ( u ，秒) + h n ( u ，口) + h i 2 ( u ，移) s i n ( 2 v o t ) + h l s ( u ，v ) c o s ( 2 峋亡) ) 谚= 厶( 牡，钞) + 南( 9 2 ( u ，钉) 一2 5 6 嘲御 一3 8 钆3 厮vs i n ( 2 v o t ) 一 = 厶( 钍，v ) + e ( h 2 ( u ，秒) + + h 1 6 ( u ，t ，) c o s ( 2 峋亡) ) ( 2 ) 对于n = 2 3 8 螂御uc o s ( 2 v o t ) ) h 1 4 ( u ，口) + h 1 5 ( u ，秒) s i n ( 2 v o t ) ( 3 4 3 ) 也= ( 乱，钉) + 西妇 9 1 ( t ，u ) + 4 8 椰2 7 6 8 瑶u 屡钍s i n ( r o t ) 一7 6 8 2 1 2 - l ! 秽c o s ( 峋芒) + 1 8 0 u 3 厦丘u ( + 6 u 2 v 2 + 5 v 4 ) s i n ( r o t ) ) + 2 4 0 w 3 夙厣仳( u 2 + 3 v 2 ) s i n ( to t ) 一3 8 乱启厦q 让s i n ( 峋亡) 一1 9 2 w 0 2 届l f s i n ( v o t ) 一1 8 0 瑶厉丘秒( 3 4 + 2 v 2 让2 一) c o s ( 峋亡) 一4 8 0 w 3 厉声u 3c o s ( v o t ) + 3 s c 4 3 1 mc o s ( o t ) 移o ( u ，口) + e ( h l ( u ，移) + h 2 1 ( u ，口) + h 2 2 ( u ，u ) s i n ( r o t ) + h 2 3c o s ( 峋亡) ) 厶( 札，u ) + 而钿 夕1 ( 乱，移) 一4 8 v w 护2 + 7 6 8 2 w 1 2 - 1 1 v s i i l ( 峋t ) + 7