（应用数学专业论文）时间周期hamiltonjacobi方程解的长时间渐近性态.pdf

、 f f j | i f i i | f f i f f f | i i j l i i | f l j f | l i i f i l | f y 18 2 8 3 4 6 时间周期h a m i l t o n j a c o b i 方程解的长时间渐近性态 答辩委 本 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致澍的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：王超签字r 期；驯。年5 月1 5e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络 向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 王趣 签字同期：工o i o 年芎月l5 r 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址； 导师签字：前天 签字同期：矽o 年 月乡日 电话： 邮编： 时间周期h a m i l t o n - j a c o b i 方程解的长时间渐近性态 摘要 本文利用动力学的方法研究了全空间r n 中时间周期h a m i l t o n - j a c o b i 方程 的粘性解的长时间渐近性态 前言部分介绍了本文的基本假设，h a m i l t o n - j a c o b i 方程解的长时间渐近性 态的研究内容以及最新的研究动态和成果 第一章主要介绍几点预备知识，给出了文中需要的几个基本定理 第二章主要研究了时间周期h a m i l t o n j a c o b i 方程的基本性质首先给出了 时间周期h a m i l t o n - j a c o b i 方程粘性解的存在性定理，然后构造了方程的一个周 期解，并证明了周期解的极值曲线的存在性 第三章主要研究时间周期h a m i l t o n j a c o b i 方程解的收敛性的问题首先给 出了当n _ o 。时，u ( z ，t + n ) 的三个收敛性判据，接着证明了一个解收敛到周期 解的定理，最后得到了两个周期渐近解的表达式 关键词：h a m i l t o n j a c o b i 方程；渐近解：弱k a m 理论；时间周期粘性 解：a u b r y 集 l o n gt i m eb e h e q u a t i o n s i nt h i sp a p e rw es t u d yt h el o n gt i m eb e h a v i o ro fv i s c o s i t ys o l u t i o n so ft i m e p e r i o d i ch a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n si nt h ew h o l es p a c er nb a s e do nd y n a m i c a l m e t h o d s i nt h ep r e f a c ew ei n t r o d u c et h eb a s i ca s s u m p t i o n s ，t h ec o n t e n to fl o n gt i m e b e h a v i o ro fs o l u t i o n so ft i m ep e r i o d i ch a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s ，a n dt h en e w e s t r e s u l t s i nc h a p t e r1w ei n t r o d u c es o m ep r e l i m i n a r yo b s e r v a t i o n sa n ds o m eb a s i c t h e o r e m s i nc h a p t e r2w es t u d yt h ep r o p e r t i e so ft i m ep e r i o d i ch a m i l t o n - j a c o b ie q u a - t i o n s w eg i v et h ee x i s t e n c er e s u l to fv i s c o s i t ys o l u t i o n s ，a n dc o n s t r u c ta p e r i o d i c s o l u t i o no ft h ee q u a t i o n t h e nw ep r o v et h ee x i s t e n c eo fe x t r e m a lc u r v e so ft h e p e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e r3w ed i s c u s st h ep r o b l e m sa b o u tt h ec o n v e r g e n c eo ft h es o l u t i o n s f i r s tw eg i v et h r e ec o n v e r g e n c ec r i t e r i ao fu ( x ，t + 孔) w h e nt h ei n t e g e r 佗g o e st o i n f i n i t y w bp r o v ea t h e o r e mo ft h ev i s c o s i t ys o l u t i o n sc o n v e r g e st ot h ep e r i o d i c s o l u t i o n sa n do b t a i nt w or e p r e s e n t a t i o nf o r m u l a sf o rt h ep e r i o d i ca s y m p t o t i c s o l u t i o n s k e y w o r d s ：h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s ，a s y m p t o t i cs o l u t i o n s ，w e a k k a m t h e o r y t i m ep e r i o d i cv i s c o s i t ys o l u t i o n s ，a u b r ys e t 前言 第1 章预备知识 第2 章 2 1 2 2 2 3 第3 章 3 1 3 2 3 3 目录 时间周期h a m i l t o n j a c o b i 方程的性质 时间周期h a m i l t o n - j a u c o b i 方程c a u c h y i ；7 翘i 解的存在性 时间周期渐近解的构造 周期解的极值曲线的存在性 x 1 1 1 1 5 5 9 1 1 周期h a m i l t o n - j a c o b i 方程的解的收敛性1 5 l i m n 。u ( x ，t + n ) 的收敛性判据 1 5 渐近解的一个收敛性定理。2 3 时间周期h a m i l t o n j a c o b i 方程渐近解的表达式2 5 参考文献 致谢 攻读硕士学位期间完成的文章 简历 2 9 3 3 3 5 3 7 j - - 月u吾 h a m i l t o n - j a c o b i 方程来源于变分法，是一类重要的一阶非线性偏微分方程， 它在经典力学，几何光学，最优控制，微分对策等方面都有着广泛的应用我们 通常对h a m i l t o n - j a c o b i 方程的全局解感兴趣，一种常见的经典的寻求解的方法 是特征线法，但由于激波的产生使得这种方法有很大的局限性2 0 世纪8 0 年代， m g c r a n d a l l 和p l l i o n s 在研究中引入了粘性解的概念，它是一种基于最大值 原理的偏微分方程广义解，具有良好的适定性，对研究h a m i l t o n - j a c o b i 方程有很 大帮助 文中所提到的h a m i l t o n j a c o b i 方程的解( 上解，下解) 均为粘性解意义下的 粘性解的知识我们可以参考f 1 ，3 ，1 0 ，1 1 ，1 2 这里我们只给出粘性解的 定义对于方程f ( x ，u ( z ) ，d u ( x ) ) = 0 ，z q ，令u c ( a ，r ) 如果对所有 的妒c 1 ( q ) 且让一妒在y q 处达到最大值( 最小值) ，都有 f ( y ，让( y ) ，d 妒( y ) ) 0 ( f ( y ，札( 可) ，d 妒( ) ) o ) 则乱被称为f l u 】= o 在q 上的粘性下解( 上解) 若u 既是方程的粘性下解又是粘性 上解，则它是方程的粘性解 对粘性解的长时间渐近性态的研究是研究h a m i l t o n - j a c o b i 方程解的一个重 要方向，它与h a m i l t o n 动力学，物理学如燃烧传播，介质中的前面波，均匀化问 题都有着密切联系，最近吸引了很多数学家的兴趣在2 0 0 6 年的世界数学家大会 上，闩本数学家h i t o s h ii s h i i 就这一问题作y 4 5 分钟的报告，引起了数学工作者们 更大的关注，所以这是十分值得我们研究的课题r o q u e j o f f r e 3 6 将时间周期的 情形视为现在这一领域一个重要的公开问题，因此对非自治h a m i l t o n j a c o b i 方 程渐近性态的研究更加必要 本文将考虑下面时间周期h a m i l t o n - j a c o b i 方程的c a u c h y 问题( 0 1 ) ： j 让t + h ( t ，z ，d u ) = 0( z ，t ) 乏n ( 0 ，o o ) ， lu ( ，0 ) = u o z r n 其h a m i l t o n 区l 数h ( t ，z ，p ) 满足下列假设： ( a 1 ) h ( t ，z ，p ) c ( r r n r n ) ； b i 方程解的长时间渐近性态 p ) 关于p 是严格凸的； l i mi n f h ( t ，z ，p ) l ( t ，x ) rx b ( o ，月) ，p r n b ( 0 ，r ) ) = o 。； ( a 4 ) h ( t ，z ，p ) 关于t 是以丁为周期的，不失一般性我们假设t = 1 ，且p h ( t + 1 ，z ，p ) = h ( t ，z ，p ) 以上条件弱于m a t h e r 2 9 z p 的经典假设，并且日的l e g e n d r e 变换l ( t ，z ， ) = m a x p r ( p v h ( t ，z ，p ) ) 同样满足( a 1 ) - ( a 4 ) 本文还需要i s h i i 2 3 1 中的一个对h a m i l t o n 算子的限制条件： ( a 5 ) 对任意r 0 ，存在【o ，o 。) 上的连续函数c g r ，u 冗( o ) = 0 ，并且对于所有 的z b ( o ，兄) ，t ，s 【0 ，1 】，p r n ，及o t 1 ，如果h ( t ，z ，p ) s 口，就有 h ( s , x , p ) 一h ( t , x , p ) u r ( a i t s 1 2 + 三) 本文将研究c a u c h y 问题( o 1 ) 的解的长时问渐近性态，也就是希望存在一个 连续函数 ( z ，t ) = ( z ，t ) 一她，使得 熙i i u ( z ，t ) 一u ( z ，) l | = 0 在r n 的紧子集上一致成立， ( o 2 ) 其中a r ，u ( z ，t ) 足c a u c h y l ；习题的粘性解，咖( z ，) 是方程毗+ h ( t ，z ，d u ) = 0 关 于t 以1 为周期的解 对于自治h a m i l t o n - j a c o b i 方程解的长时间渐近性态的研究始于k r u 丢k o v 2 6 ， l i o n s 2 7 和b a r l e s 2 1 对于只含p 的h a m i l t o n 算子的研究近年来这一问题受到了 更多关注，即通过对圩和u o 作一定假设，使得当t _ o o 时，c a u c h y l - 题的解孔满足 t l ( z ，t ) 一( v ( z ) 一西) _ 0 在q 上一致成立 ( 0 3 ) 这里( ，c ) c ( n ) xr 是加性特征值问题( 我们可以参考l i o n s ，p a p a n i c o l a u ， v a r a d h a n 2 s ) 日0 ，d v ( x ) ) = c 在q 上的解c 被称作h a m i l t o n 算子的临界值，定义为 c = i n f a l h ( x ，d v ) = n 存在一个下解) 时间周期h a m i l t o n j a c o b i 方襁解的长时间渐近性态 当上述状态空间q 为紧流形 n 时( 或关于z 是周期的，z r n ) ，n a m a h - r o q u e j o f f r e 3 4 和b a x l e s - s o u g a n i d i s 5 】采用t p d e 方法，f a t h i 1 5 ，r o q u e j o f f r e 3 4 ， d a v i n i s i c o n o l f i 1 3 采用了动力学的方法，他们得到了类似的收敛性结果 f a t h i 的方法基于弱k a m 理论，可以参考f a t h i 1 4 ，1 6 和f a t h i s i c o n o l f i 1 8 最 近几年，这一问题通常在无界区域r n 上讨论，主要文献有b a r l e s - r o q u e j o f f r e 4 ， i s h i i 2 4 和i c h i h a r a - i s h i i 1 9 ，2 1 其它最新的进展可以参见i c h i h a r a - i s h i i 2 0 ，m i t a k e 3 1 ，3 2 ，3 3 由于非自治h a m i l t i o n 系统沿着极值曲线能量不再是守恒的，上述自治 情形下的结果并不能简单地推广到时间周期h a m i l t o n - j a c o b i 方程中b a r l e s - s o u g a n i d i s 6 和f a t h i m a t h e r 1 7 】中的反例告诉在我们时间周期情形下，渐近解 的最小正周期有可能会比1 大目前，只有在圆上的时间周期h a m i l t o n - j a c o b i 方 程解的渐近性问题由文献b e r n a r d r o q u e j o f f r e 8 】和r o q u e j o f f r e 3 5 解决而当空 间维数n 大于1 时，这仍然是一个公开问题 本文将在r n 空间上讨论这一公开问题由于周期h a m i l t o n 系统在离散迭 代下是保守的，我们首先将研究l i m n u ，t + 佗) ，这个极限可以看作是时间 以离散子列的方式趋于无穷，它的研究在b o s t a n n a m a h 9 和m i t a k e 3 3 1 中有一一1 些结果受【2 1 】的启发，本文使用了如极值曲线，解的表示公式和a u b r y 集等以 弱k a m 理论为工具的动力学方法 由m a s s a r t 2 9 ，在一定条件下方程毗+ h ( t ，z ，d u ) = o 存在c 1 临界下解文 中还需假设 ( a 6 ) 对( z ，t ) 舯【0 ，。) ，方程u t + 日( 亡，z ，d u ) = o 存在两个c 1 下解讥( z ，t ) 和妒1 ( z ，) 对任意r 0 ，4 0 ( z ，t ) 和矽1 ( z ，t ) 在b ( o ，r ) 【0 ，o o ) 上是有界的，并满足对任 意【0 ，o 。) ， 。1 i m ( 讥( z ，t ) 一妒1 ( z ，) ) = o o i x l + 最后定义r n 和舯【0 ，o 。) 上的函数空间圣。和o 分别为 圣。2 【，c ( 驯r i n f ( ，一4 0 ) 一) ， 皿。2 【夕c ( r n 【0 ，o 。) ) lr i n f ( 9 4 0 ) 一o o 并假设 ( a 7 ) u 0 西o 第1 章预备知识 这一章我们将介绍文中需要的一些基本知识 命题1 1对任意冗 0 ，存在常数如 0 7 2 c r 0 ，使得对于所有 的( 亡，z ，) 【0 ，o o 】xb ( o ，r ) xb ( o ，如) ，l c t ，z ，) 证明： 由l 关于t 的周期性，令l ( x ，) = m & x 0 0 和 0 ，使得 l ( t ，z ，) l ( x ，f ) c r 对所有的( t ，z ，) 【0 ，o 。) xb ( 0 ，r ) xb ( o ，靠) 口 我们用a c ( a ，6 】，r n ) 表示所有绝对连续函数，y ：【a ，6 】_ r n 的全体对z r n 及t 0 ，c ( x ，) 表示所有满足- y ( t ) = z 的，y a c ( 0 ，】，r n ) 的曲线全体 命题1 2 令q 是r 叫p 的开子集，w ( x ，t ) c 1 ( 舻x 0 ，o 。) ) 且对所有的t 0 ，o o ) 满足w t + h ( t ，z ，d w ) f ( x ，芒) j 其中f c ( n x 【0 ，o 。) ) 令，y a c ( a ，6 】，r n ) ， a ，b r 且0 a b 假设一y ( 【o ，6 】) cq ，则 ，6，6 加( 一y ( 6 ) ，b ) 一叫( 7 ( 口) ，口) l ( s ，一y ( s ) ，( s ) ) d s + ，( 一y ( s ) ，s ) d s - ，口- ，o 证明：注意到叫t + h ( t ，z ，d w ) f ( x ，t ) 对所有t 【0 ，) 和z q 成立，我 们有 叫( 6 ，7 ( 6 ) ) 一w ( a ，7 ( 口) ) = 一o 。， ( 1 2 ) r 且usu 在( qx o ) ) u ( a q 【0 ，t ) ) 上成立，则在q 【0 ，t ) 上也有u u 成立 证明：任给a 0 ，令w a ( x ，t ) = 矽1 ( z ，) + a ，( x ，) r n 0 ，t ) 由日的 凸性，函数西( z ，t ) ：= m i n ( u ( x ，) ，w a ( x ，t ) ) 是方程毗+ 日( ，z ，d u ) = o 在r n 【o ，丁) 上的粘性下解由假设( 1 2 ) ，存在常数r o 使得西( z ，t ) 口( z ，亡) 对所有 的( z ，t ) ( q b ( 0 ，r ) ) 0 ，? ) 成立令q r ：= qni n t b ( 0 ，r + 1 ) 满足当( 茁，t ) a q r 【0 ，t ) 时，西( z ，亡) u ( z ，) 这样当x q r 时，面( z ，0 ) 乱( z ，0 ) 口( z ，o ) 由条件( a 5 ) ，我们可以用西关于变量的下卷积这样l i p s c h i t z 连续的下解来逼 近西( 见【2 4 】) 应用引理1 4 ，面( z ，t ) u ( z ，) 对所有的( z ，) q r 【0 ，t ) 成立，由此面( z ，) 冬 u ( z ，) ，( z ，亡) q 【0 ，t ) 令a o o ，我们得到在q 【0 ，t ) 上u u “ 口 引理1 6 令t 0 ，c o 及r 0 ，7ea c ( 0 ，卅，r n ) 满足对所有的t 【0 ，卅， l ( t ，y ( t ) ，( t ) ) d t c 且，y ( ) b ( 0 ，冗) ，0 则对任给的 0 ，存在依赖于e ，t ，c ，r 和日的常数尥 0 ，使得对所有的可测 集bc 【0 ，列， l ( t ) l d t + 尥i b l ， jb 其中i b i 表示bcr 的l e b e s g u e i 贝l j 度 这个引理的证明可以参考 2 4 ，l e m m a6 4 】 3 第2 章时间周期h a m i l t o n j a c o b i 方程的性质 由于关于时间周期h a m i l t o n - j a c o b i 方程的结果并不多，如i s ，9 ，2 5 ，2 9 ，3 5 】 本章的主要内容就足将一些自治情形下的结果结果推广到时间周期h a m i l t o n j a c o b i 方程中，给出一些时间周期h a m i l t o n - j a c o b i 方程的性质 2 1 时间周期h a m i l t o n - j a c o b i 方程c a u c h y 问题解的存在性 首先我们将给出一个c a u c h y 问题( 0 1 ) 解的存在性定理 假设( a 1 ) 一( a 7 ) 成立，贝u c a u c h y 问题( o 1 ) 存在唯一的粘性解u c ( r nx 【0 ，t ) ) ，满足u 皿。对任意t ( 0 ，。) 成立并且函数u 可以表示为 ，t t l ( z ，t ) = i n f l ( s ，7 ( s ) ，( s ) ) d s + 咖( 7 ( o ) ) h f c ( z ，t ) ( z ，t ) r x ( o ，。o ) ，0 类似【2 4 】，对于7 c ( x ，) ，如果函数shl ( 8 ，7 ( s ) ，( s ) ) 在【o ，】上不可积，可以 令片l ( s ，y ( s ) ，y ( s ) ) d s = o o ，这样公式中的积分总是有意义的 命题2 1 1 ( 动态规划原则) 对t 0 ，s 0 和z r n ，我们有 ，8 u ( x ，s + t ) = i n f l ( 7 + t ，7 ( 7 ) ，( 丁) ) d 7 - + u ( 7 ( o ) ，t ) 1 7 c ( x ，s ) j 0 这个命题的证明我们可以参考i s ，1 0 ，2 4 1 引理2 1 2 对所有的( z ，t ) r n ( o ，o o ) ，仳( z ，t ) u o ( x ) + tm a x o 0 ，存在模数m r 使得 u ( z ，t ) 咖( z ) 一m n ( t )( z ，t ) b ( o ，r ) ( 0 ，o 。) 时间周期h a m i l t o n j a c o b i 方程解的长时间渐近性态 证明：任给r 0 ，选出c o 和j d r 使得对所有( z ，亡) b ( o ，r ) x ( 0 ，o o ) ， 砂1 ( z ，t ) + c u o ( z ) + 1 并且对所有( z ，t ) ( r “b ( o ，p ) ) ( 0 ，o o ) ，妒1 ( z ，t ) + c 咖 ) + 1 任给( 0 ，1 ) ，选择函数u 。c 1 ( 酞“) 使得l u 。( z ) 一咖( z ) i 对于所 有z r n 都成立 对所有( z ，t ) r nx ( 0 ，o o ) ，我们令 妒；( z ，t ) = m i n 妒i ( x ，t ) + c ，魄( z ) ) ， 注意到对所有的( z ，t ) b ( o ，r ) ( 0 ，o o ) ，九( z ，t ) = ( z ) 且对所有的( z ，t ) ( r “b ( o ，j 口) ) x ( 0 ，o o ) ，欢( z ，t ) = 妒1 ( z ，t ) + c 接下来选出一个g o 使 得让t + 日( 亡，z ，d 以( z ，) ) g ，( z ，t ) b ( 0 ，p ) 【0 ，o o ) 这样对几乎处处的( z ，t ) r nx ( 0 ，o o ) ，都有毗+ h ( t ，z ，d 晚 ，亡) ) g 固定任意x ，t ) r n ( 0 ，o o ) ，选出曲线，y c ( x ，) 使得 ，t t 正( z ，亡) + l ( s ，y ( s ) ， ( s ) ) d s + t 正o ( 一y ( o ) ) ，0 由命题1 2 ，我们得到 t 正( z ，t ) + e 以( 7 ( ) ，t ) 一九( ，y ( o ) ，0 ) 一g + 咖( 7 ( o ) ) 。( z ，t ) 一g t u 。( ，y ( o ) ) + ( 7 ( o ) ) ， 由此得出u ( z ，) u o ( x ) - c t - 2 e 对所有( z ，亡) b ( o ，r ) x ( 0 ，o 。) 成立由g 对e 的 依赖性记它为g 。，令r n n ( t ) = i n f 2 e + g 。忙( 0 ，1 ) ) ，t 0 于是我们找到一个 模数m r 使得对所有( z ，t ) b ( o ，r ) x ( 0 ，o o ) ，乱( z ，t ) 咖 ) 一m r ( t ) 口 引理2 1 4 对所有的( z ，t ) px ( 0 ，o o ) ，存在常数c o o 使得 t t ( x ，t ) 讥( z ，t ) 一岛 证明：选择常数c o o 使得对所有的( z ，t ) r n x ( 0 ，o 。) ，咖扛) ( z ，t ) 一 c o 固定任意( z ，t ) r nx ( 0 ，) ，对任给的e 0 ，存在曲线7 c ( x ，) 使得 札( 叫) + z t 砸，y ( “讯) ) d s + u o ( 们) ) 时问周期h a m i l t o n j a c o b i 方程解的i 乏时间渐近性态 由命题1 2 ，我们有 u ( x ，t ) + e 讥( 7 ( ) ，t ) 一o o ( - y ( o ) ，0 ) + u o ( 7 ( o ) ) 讥( z ，t ) 一岛 所以得到结论u ( z ，t ) ( z ，t ) 一c o 口 定理2 1 5 函数乱在p ( 0 ，c o ) 上连续，并且是方程札t + 日( ，z ，d u ) = 0 的 粘性解 证明： 由引理2 1 2 和引理2 1 3 ，u ( z ，) 是r nx ( 0 ，o 。) 上的局部有界函数 由i s h i i 2 2 或【2 4 中的p e r r o n 方法，u 的上包络u + 和乱的下包络u 。分别是方程u t + - ( t ，z ，d u ) = 0 的粘性下解和粘性上解又u ( z ，) 在t = 0 处是连续的，我们 有扎+ ( z ，0 ) = u 。( z ，0 ) = 咖( z ) 对所有的3 7 r n 成立由引理2 1 4 ，存在常数c o 0 使得所有的( z ，t ) r nx ( 0 ，c o ) ，让( z ，t ) 讥( z ，t ) 一c o 应用命题1 5 ，我们得 到在础x 【0 ，o o ) 上u 。u ，因此u = u = u 。c ( r nx 【0 ，o 。) ) 这样，通过命题1 5 ，引理2 1 4 和定理2 1 5 ，我们已经证明了c a u c h y 问题( 0 1 ) 存 在唯一的解仳皿o 壕 引理2 1 6 对每一个r 0 ，存在常数使得让( z ，t ) 对所有( z ，t ) b ( o ，r ) x 【0 ，o o ) 成立 证明：任给屈 0 ，由命题1 3 可以找至u b ( o ，局) 【0 ，o o ) 上方程u t + 日( t ，z ，d u ) = 0 的一个周期解妒( z ，t ) ，且妒( z ，t ) 皿o 任给r 使得0 r 0 并由此找到常数p 满足r 0 ，使得m i n 妒( z ，0 ) ，妒l ( z ，0 ) + c ) + k 札o ( z ) 对所 有z b ( o ，p ) 成立令口( z ，t ) = m i n u ( z ，) ，妒1 ( z ，t ) + c + k ) ，( z ，t ) r n x 【0 ，o o ) ， 则u 是方程u t + h ( ，z ，d u ) = o 的一个粘性下解当z b ( o ，j 口) 时，u ( z ，0 ) u o ( z ) 妒( z ，0 ) + k 且当z b ( o ，r ) b ( o ，p ) 时，v ( z ，0 ) 冬妒1 ( z ，0 ) + c + k 妒( z ，0 ) + k 于是，既然( z ，t ) ：= 矽( z ，t ) + k 是方程 i t t + 日( ，z ，d u ) = o 的粘性 解，由命题1 5 我们得至l l v ( z ，t ) 妒( z ，t ) + k 对所有的( z ，t ) b ( o ，詹) x 0 ，o o ) 都 7 时问周期h a m i l t o n j a c o b i 方程解的长时间渐近性态 成立特别地，由于矽1 ( z ，t ) 十c + k 矽( z ，亡) + k ，( z ，t ) b ( o ，r ) x 0 ，o o ) ，我们 有u ( x ，t ) 妒( z ，t ) + k 对所有的( z ，t ) b ( o ，r ) 【0 ，o 。) ，因此能够推出u ( z ，) 对所有的( z ，t ) b ( 0 ，r ) 【0 ，o o ) 成立，其中- m a x b ( o ，r ) 【o ，1 1 妒( z ，t ) + k 引理2 1 7 对每一个r o 存在模数h ，使得i u ( z ，t ) 一u ( y ，s ) i k r ( 1 = 一 y i + i t s 1 ) 对所有的( z ，) ，( y ，8 ) b ( o ，r ) 【0 ，) 成立 证明：令r 0 ，固定8 0 ，由命题2 1 1 有 t 正 ，s + 亡) ：i n f 厂。l ( 7 + s ，7 ( 7 - ) ，p ) ) d 7 + u ( 一y ( o ) ，s ) 1 7 c ，t ) ) ，0 运用引理2 1 2 和引理2 1 3 ，用u ( ，s ) 代替u o 得到对每一个r 0 存在模数z 冗，使得 i 乱( z ，8 + t ) 一u ( x ，s ) l l n ( t ) ( z ，8 ) b ( o ，r ) 【0 ，o 。) ，t 0 也就是说， i u ( z ，t ) 一u ( x ，s ) i l r ( i t s i )z b ( o ，兄) ，t ，8 【0 ，o o ) 由命题1 1 ，令e 三靠 o 和a 三 o 是使得l ( t ，z ，) a 对所有( 亡，z ，) 【0 ，o o ) b ( 0 ，r ) b ( 0 ，) 成立的常数令z ，y b ( 0 ，r ) ，t 0 假设i z y i 1 。 首先考虑i z y i t 的情况由引理2 1 2 和引理2 1 3 ，存在一个模数z r ，使 得 i t 正( z ，t ) 一t 工o ( z ) i f r ( ) ，l u ( y ，t ) 一t 幻( y ) i f r ( ) 假设 l 咖( z ) 一蜘( ) i r ( i x y i ) ， 则我们有 l u ( z ，t ) 一u ( y ，t ) i i 咖( z ) 一t l o ( y ) i + l 乱( z ，t ) 一t l o ) l + i u ( y ，t ) 一咖( y ) i z r ( 1 z y 1 ) + 2 l n ( t ) 3 1 r ( e 一1 i z y 1 ) 下面考虑i z y i e t 的情况任给j ( 0 ，1 ) ，选择曲线7 c ( z ，t 一7 - ) 使得 牡( x , t - r ) + j z 一r ( s ，7 ( s ) ， ( s ) ) d s + t l o ( 7 ( 。) ) ， 时问周期h a m i l t o n j a c o b i 方程解的长时间渐近性态 这里7 ：= e - 1 i z y l 并且有7 m i n 1 ，t ) 定义曲线叩c ( v ，t ) 为 叩c s ，2 各2 宰，可+ 宰z ：主譬! i 暑 注意到1 7 7 ( s ) i = t - 1 l z y i = ，s 陋一r ，t 】，我们有 ，* g - - , j - 仳( 可，t ) l ( s ，7 7 ( s ) ，啼( s ) ) d s + l ( s ，叩( s ) ，而( s ) ) d s + 咖( 叩( o ) ) a 7 - + l ( s ，一y ( s ) ，( s ) ) d s + u o ( ，y ( o ) ) 0 ，函数札在b ( o ，r ) 【0 ，) 上是有界且一致连续 2 2 时间周期渐近解的构造 我们定义一个演化系统5 ( s ，t ) u o s 足一个作用在上的半群，定义为 让( z ，) = s ( 。，) u o = i n f f o tl ( s ，7 ( s ) ，( s ) ) d s + u o ( 7 ( 。) ) 1 7 c ( z ，) ) ， 这里u 是c a u c h y 问题( o 1 ) 的解并满足u ( z ，t ) 霍o 9 点的存 8 】 问题的 是方程饥+ h ( t ，z ，d u ) = o 的粘性解并且皿o ，它可以被表示为 ， ( z ，t ) = i n f l ( s ，7 ( s ) ，( s ) ) d s + ( 7 ( o ) ，o ) l ，y c ( x ，) ) ( z ，t ) 之n ( o ，o 。) ，0 证明：首先由札( z ，t ) 皿o ，存在常数m 0 ，使得 i n f u ( x ，t + n ) 一讥( z ) i ( z ，t + n ) r ，( 0 ，o o ) ) 一m 于是我们有 l i m i n f u ( x ，t - + - r t ) - - 讥( z ) i n f u ( x ，t + r t ) - - 讥( z ) i ( z ，t + n ) r n ( 0 ，o o ) ) 一m 因此我f l 得至u ( z ，t ) 皿o 由【3 】我们知道( z ，芒) 是方程u t + h ( t ，z ，d u ) = o 的上解又因为b a r r o n - j e n s o n 7 ，咖( z ，t ) 陌- i 样是方程的下解这里我们使用【8 】中的方法来证明对所有 的8 t ，, 5 0 ，t ) ( z ，8 ) = 妒( z ，) 先证明咖是一个下解，也就是说s ( s ，) 妒( z ，8 ) 咖( z ，t ) 固定( z ，t ) r n ( 0 ，o o ) ，贝l l u ( x ，t ) 是有界的所以可以选取一递增整数 列佗七，使得u ( x ，t + 咒七) 一( z ，) ，并存在一列曲线讯：p ，t 】一r n 使得 ，t u ( x ，t + 礼七) = u ( 饥( s ) ，s4 - n 七) 4 - l ( r ，饥( r ) ， k ( r ) ) d 7 j s 序列饥在一致收敛拓扑下是紧的，不失一般性假设在序列佗七下它是收敛的，记它 的极限为7 因为由定理2 1 8 函数u ( x ，t ) 对每一个r o 在b ( o ，r ) 【0 ，o o ) 上是 一致连续的，我们有 l i m i n f u ( t k ( s ) ，8 + n 七) = l i m i n f u ( 7 ( s ) ，s + 佗七) 咖( ，y ( s ) ，s ) n n 在等式两边取下极限，就有 。，t ) 妒( ，y ( s ) ，s ) + tl ( l ，y ( 7 - ) ，( 7 - ) ) d 7 s ( s ，t ) 咖