浙师大第十四届初等数学竞赛试题及参考答案.pdf

浙江师范大学第十四届初等数学竞赛试题 一 选择题 本题40分 每小题4分 1 设A 2 4 B 霾 ax 4臼o 若B A 则实数a的取值范围为 A 1 2 B 1 2 c 0 3 o o 3 2 D ABC内接千单位圆 三个内角A B C的平分线延长后分别交此圆千Al Bl Cl A B C AA1 cos BB1 cos cc1 cos 则 2 2 2 的值为 sin A sin B sin C A 2B 4C 6D 8 3 如图 在正方体ABCD A心C1趴中 P是侧面BB心C内 一 动 点 若 P到直线BC 与直线C心的距离相等 则动点 P的轨迹所 在的曲线是 A直线B 圆C双曲线D 抛物线A B 4 设f x 是 一 个函数 使得对所有整数x和 y 都有八x y J x f y 6xy l 和 f x J x 则八 3 等于 D I Al l 1 f 叶p 1 l lc A 26B 27C 52D 53 5 直线y kx 2交抛物线y2 8x千A B两点 若AB 中 点的横坐标为2 则ABI A 3高B 2而C 3D 2 6 一 个袋子中有3个红球 3个白球 和6个黑球 从袋子中任取8个球 有 种不同 的结果 A 10B 11C 12D 13 7公差为4的正项 等差数列忨 中 G3与2的算术平均值 等于S3与2的几何平均值 其中S3 表示数列前3项的和 则a10的值为 A 37B 38C 39D 40 8 设0点在MBC内部 且OA 20B 30C O 则MBC的面积与MOC的面积的 比为 3 A 2B C 3D 23 9 顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形 A 是底面圆周上的点 B 是底面圆内的点 0为底面圆的圆心 AB l OB 垂足为B OH lPB 垂足为H 且PA 4 C为PA的中 点 则当三棱锥O HPC的体 积最大时 OB的长是 3 A 3 2 森 3 c 森 3 2 1 10 椭圆的长轴长为6 左顶点在圆 x 3 2 y 2 2 4 上 左准线为y轴 则该椭圆的 离心率e的取值范围是 廿 3 4 3 8 A l 1 2 1 4 Ri l 3 4 1 4 c o 1 二 填空题 本题20分 每小题4分 11实数a b c满足 a b c 上勹卫 则 a b c 1 1 1 a b c 2 a b Sc b c Sa c a Sb 的值为 12 若对一切0E R 复数z a cos0 2a sin0 i的模不超过2 则实数a的取值范 围为 13设数列 a 的前n项和S满足 S a n l n 1 2 3 则通项a 咖 1 14在平面直角坐标系xOy中 给定两点M 1 2 和N l 4 点P在x轴上移动 当乙MPN 取最大值时 点P的横坐标为 15一次函数J x ax b的图像经过点 10 13 它与x轴的交点为 p O 与y轴的交点 为 o q 其中p是质数 q是正整数 则满足条件的所有一次函数为 三 解答题 本题40分 16 MBC中 三条高ha hb he成等差数列 三中线平方m 求角B m m 也成等差数列 X y 17 酰日双曲线C l a O b O 的离心率为2 过点P O m m 0 斜率为1 矿 b2 的直线l交双曲线C千A B两点 且AP 3PB OA OB 3 1 求双曲线方程 2 设Q为双曲线C右支上动点 F为双曲线C的右焦点 在x轴负半轴上是否存在定 点M使得LQFM 2LQMF 若存在 求出点M的坐标 若不存在 请说明理由 2 浙江师范大学第十四届初等数学竞赛试题解答 一 选择题 1 10 DADAB DBCDA 解析l 8 由奔驰定理知 S S S s t ABC MOC t AOC t AOB 1 2 3 所以 3 s t AOC 9 易得AB 1 平面 POB 又OHc平面POB 所以AB上OH 又OH上PB OH上平面P AB则OH上PC又oc上PC所 以PC l平面OHC 易知 其中 1 1 OH 2 HC2 OC2 4 则S HC OH HC 2 0H勹 1 当HC OH 2 时 HOC 2 4 1 取等 所以VP OHC S HOC PC 一 2 3 3 由P0 2五 易算OB 2 6 3 0 B 10 2a 6 则a 3 a 2 左准线到左顶点的距 离为 QE 1 5 C 9 9 解得CE 8 4 则 C 3 3 e E a 8 4 二 填空题 9 11 解析l 此题有误 取特殊值a b l c 4 则右侧分母为 O 无意义 若取a b 1 c 1 9 则可求得结果为 5 12 亨 司 解析 lzl2 a cos 0 2 2a sin 0 2 Sa2 2a cos 0 2 sin 0 1 Sa2 2污asin 0 中 1 4恒成立 3 5a2 2污a l 4 霾 2污a l 4 解得 污 a 污 s s 1 1 13 an zn n n l 解析l 令n 1 解得S1 a1 0 当n 2时 an Sn S n 1 n 1 an Sn 25n S n 1 1 1 2 1 n n l n l n n l n l n 2 伈 士 s n 1 叶 n 2 Sn 士 卢 岛叶 卢 s 1 1 n n l 2旷 an Sn S n 1 士 卢 庄声 合 了 n 2 1 又a1 0也适合上式 an 1 zn n n 1 14 1 解析l 要使乙MPN最大 则M P N三点确定的圆与x轴相切 3 4 X 如图所示 当M P N三点确定的圆与x轴相切时 任取x轴上异千P的一点P P N与圆 交千Q 则有乙MP N 乙MQN 乙MPN 直线MN的中垂线方程为y 3 X 设圆心 x 3 X 则有13 x I Cx 1 2 1 X 2 解得x 1或 7 舍去 15 f x 23 X或 13x 143 4 解析l 由三点共线得二土 兰卫 10 p 10 则有pq 10q 13p p是质数 叭q 设q kp k EN 则有K沪 10kp 13p kp 10k 13 k p 10 13 k 1 p 23 q 23或k 13 p 11 q 143 一次函数解析式为f x 23 X或 13x 143 三 解答题 16 解析 由题可知 r2九 九 he 利用等面积和中线公式可知 12叫 叫 m 匡 昙 b a c ll中 a 2 c2 b2 2 b2 c 2 a2 2伈 a2 b 2 r 2 1 1 十一 兀 化简可得 i b a c 所以MBC为等边三角形 故B Ila b 3 17 解析 Cl 设A x Y B x心 则有1 x 3x2 0 X凸 Y Y2 3 x 2 2 由题可知 c 2a b J切 从而C 上 1 矿3a 2 I x 2 y2Ix 飞 m 联立方程五了五了 1 消去y知2x2 2mx 旷 3a 2 0 则有 旷 3a 2 lly x m ll江 2 从而3 x凸 Y Y2 2x凸 m x x2 旷 代入韦达定理知旷 3a 2 3 将x 3x2代入韦达定理并消去X2知 m2 6a 2 从而a 2 1 即C