（基础数学专业论文）量子环面上无限维李代数的结构.pdf

摘要 扩张仿射李代数( 简写为e a l a ) 是一类重要的李代数，它包含了我们熟知的 有限型和仿射型k a c m o o d y 代数这类李代数最初由文 h k t 】的作者引进研究， 并被称为拟单李代数随后，文【b g k 】的作者对单边情形拟单李代数进行了详细 研究在文 a a b g p 】中，作者引进半格的概念，并对扩张仿射根系进行了分类， 同时也给出了扩张仿射李代数的具体实现和仿射k a c - m o o d y 代数不同的是，扩 张仿射李代数的坐标代数不但可以是多变量罗朗多项式环，还可以是某些特殊的交 错代数，若当代数以及量子环面代数 量子环面代数作为罗朗多项式代数的非交换化的推广，已被很多学者进行了研 究，如 p ， k p s ， m c p 等从量子环面c 口和它的导子代数d e r ( c g ) 出发，可以 构造很多重要的李代数例如，在文 b g k 】中，作者运用量子环面和d e r ( c 。) 的一 个由部分特殊导子组成的子代数实现了a 型的扩张仿射李代数本文从两个变量 的量子环面c 口出发，讨论了c 。的斜导子李代数以及斜导子李代数的一类扩张得 到的无限维李代数的结构性质 设r 2 是二维欧氏空间，z 2 是r 2 中的一个格由映射，：z 2xz 2 _ c 。，f ( a ，b ) = q a 2 b - - d 埘，a = ( a l ，a 2 ) ，b = ( b 1 ，b 2 ) z 2 ，确定的z 2 的子加群r a g ( ) = a z 2i ( a ，b ) = 1 ，v b z 2 ) 称为，的根基设q c ，c 口：= c “z 手1 ，z 手1 是结 1 ，t 一1 、 合于矩阵l x 1 的二秩量子环面，它是含单位元1 的结合代数c 。的导子 g l 代数d e r ( c 口) 的一个子代数 召= s p a n c z a ( a 2 d l a i d 2 ) ，( 0 ，0 ) a r a d ( f ) os p a n c a d z ，r z 2 ，r 隹r a d ( f ) 称为c q 的斜导子李代数，其中也= 兢杀，i = 1 ，2 是c q 的度导子当口= 1 和 口不是单位根时，侈分别同构于v i r a s o r o - - l i k e 代数和v i r a s o r o - l i k e 代数的g 类似 代数作李代数的半直积l ( q ) = 8oc 。，其中c 口是l ( q ) 的理想这个李代数可 以看成是一阶h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数的二阶推广记l ( q ) = 陋( g ) ，l ( q ) 】，我们有 l ( q ) = l ( q ) oc ，其中c 是l ( q ) 的中心本文主要讨论了当q 1 是p 次本原单 位根时，李代数l ( q ) 的自同构群，导子代数，泛覆盖以及李代数召的l e i b n i z 中 心扩张和不变对称双线性型具体内容组织如下： 在第一章中，我们首先确定了李代数l ( q ) 的自同构群，并由此得到l ( q ) 的自 同构群主要结论是： a u t l ( q ) 笔【士1 ) k ( ( g l 2 ( z ) k ( c + 3 z p 2 ) kc l ) i i i 该结果推广了【x l t ， z h t 的结果 在第二章，我们计算了l ( q ) 到它的伴随模的导子，结论为：d e r ( l ( q ) ) = i n n d e r ( l ( q ) ) oo u t d e r ( l ( q ) ) ，其中d i m co u t d e r ( l ( q ) ) = 5 在第三章，我们给出了l ( q ) 的泛覆盖己( g ) ，它是由l ( q ) 的四个线性无关的c 值2 上循环确定的四维覆盖中心扩张 在第四章中，我们计算了斜导子李代数8 关于平凡模c 的l e i b n i z 二上同调群 h l 2 ( 召，c ) ，发现该群与召的二上同调群相同，具体结论为日l 2 ( 召，c ) = c 尻+ c 仍 接着证明了召的所有不变对称双线性型组成的向量空间s ( s ，c ) 是一维的，运用这 个结果和文【h p l 的一个推论，我们又直接推出日l 2 ( 召，c ) = h 2 ( 召，c ) 关键词：量子环面，斜导子李代数，自同构群，覆盖，l e i b n i z2 - 上循环，不 变对称双线性型 i v a b s t r a c t t h ee x t e n d e da f f i n el i ea l g e b r a s ( e a l af o rs h o r t ) a r ea ni m p o r t a n tc l a s so fl i e a l g e b r a sw h i c hi n c l u d e st h ew e l l k n o w nk a c - m o o d yl i ea l g e b r a so ff i n i t ea n da f f i n e t y p e t h e s ek i n d so fl i ea l g e b r a sw e r ef i r s ti n t r o d u c e di nt h ep a p e r h - k t ，a n d c a l l e dt h eq u a s i s i m p l el i ea l g e b r a s i n b g k ，t h ea u t h o r ss t u d i e dt h eq u a s i s i m p l e l i ea l g e b r a so fs i m p l yl a c e dc a s e s i nt h eb o o k 从b g p ，t h ea u t h o r su s e dt h ec o n - c e p to fas e m i l a t t i c et oc l a s s i f yt h ee x t e n d e da f f m er o o ts y s t e m s a n dt h e yp r o v i d e d c o n c r e t er e a l i z a t i o no fe a l a sa sw e l l d i f f e r e n tf r o mt h ea f f m ek a c - m o o d yl i ea l g e b r a s ，t h ec o o r d i n a t ea l g e b r a so fe a l a sn o to n l yc a nb et h el a u r e n tp o l y n o m i a l a l g e b r a so fm u l t i p l ev a r i a b l e s ，b u ta l s oc a nb ea l t e r n a t i v ea l g e b r a s ，j o r d a na l g e b r a s a n dt h eq u a n t u mt o r u s t h eq u a n t u mt o r u s ，w h i c ha r et h en o n c o m m u t a t i v eg e n e r a l i z a t i o no ft h el a u - r e n tp o l y n o m i a lr i n g s ，h a v eb e e ns t u d i e db ym a n yr e s e a r c h e r s ，s u c ha s p ， k p s ， m c p f r o mt h eq u a n t u mt o r u sc 2a n di t sd e r i v a t i o na l g e b r ad e r ( c g ) ，o n ec a nc o n s t r u c t m a n yi m p o r t a n tl i ea l g e b r a s f o ri n s t a n c e ，t h ea u t h o r si n b g k r e a f i z e dt h e e a l a so ft y p ea b yu s i n gt h eq u a n t u mt o r u sa l o n gw i t hl i es u b a l g e b r a so fd e r ( c 口) i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yd i s c u s st h es t r u c t u r ep r o p e r t i e so fs o m ei n f i n i t ed i m e n s i o n a l l i ea l g e b r a s ，w h i c ha r et h ee x t e n s i o no ft h es k e wd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a sa r i s i n gf r o m t h eq u a n t u mt o r u si nt w ov a r i a b l e s 。l e tr 2b et h e2 - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e z 2i sal a t t i c ei n 酞2 l e tf ： z 2 z 2 _ c + b et h em a pd e f i n e db yf ( a ，b ) = q a 2 h - a l b 2 ，w h e r ea = ( a 1 ，a 2 ) ，b = ( b l ，b 2 ) z 2 t h ea d d i t i v es u b g r o u pr a d ( f ) = a z 2f ( a ，b ) = 1 ，v b z 2 ) i s c a l l e dt h er a d i c a lo ff l e tq c + ，a n dc 口：= c g z 1 ，z 手1 】b et h eq u a n t u mt o r u s 。fr a n kt w 0a s s 。c i a t e dt 。t h em a t r i xf 1 g = 11 i ti s a na s s 。c i a t i v ea l g e b r aw i t h l q o u n i t y t h es u b a l g e b r ao fd e r ( c q ) b = s p a n c z a ( a 2 d l a a d 2 ) ，( 0 ，0 ) a r a d ( ) os p a n c a d x 。，r z 2 ，r 隹r a d ( f ) i sc a l l e dt h es k e wd e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao v e rc 口，w h e r ed i ，i = l ，2a r et h ed e g r e e d e r i v a t i o n s i fq =1 o rqi sn o tar o o to fu n i t y , t h e n 召i si s o m o r p h i ct ot h e v i r a s o r o - l i k ea l g e b r ao rt h eq - a n a l o go ft h ev i r a s o r o - l i k ea l g e b r ar e s p e c t i v e l y l e t l ( q ) = 召oc 口，t h es e m i d i r e c tp r o d u c to ft h el i ea l g e b r a s 召a n dc g ，w h e r ec g i sa ni d e a lo fl ( g ) t h i sl i ea l g e b r ac a nb ev i e w e da sag e n e r a l i z a t i o no ft h e v r a n k - o n eh e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r a d e n o t el ( q ) = l 己( g ) ，三( g ) ，t h e nw eh a v e l ( q ) = l ( q ) oc ，w h e r eci st h ec e n t e ro f 三( 口) i nt h i st h e s i s ，if i r s td e t e r m i n et h e a u t o m o r p h i s mg r o u p ，t h ed e r i v a t i o na l g e b r a ，t h ec o v e r i n go ft h el i ea l g e b r a 二( g ) ， w h e r eq 1i sa p - t hp r i m i t i v er o o to fu n i t y n e x t ，ic o m p u t et h el e i b n i zs e c o n d c o h o m o l o g yg r o u pa sw e l la st h ei n v a r i a n ts y m m e t r i cb i l i n e a rf o r mo fb t h em a i n c o n t e n t sa x ea r r a n g e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ed e t e r m i n et h ea u t o m o r p h i s mg r o u po f 三( g ) ，w eg e tt h a t a u t l ( q ) 笺【4 - 1 ) k ( ( g l 2 ( z ) k ( c + 3 z p 2 ) kc l ) a sac o r o l l a r y ，w eo b t a i nt h ea u t o m o r p h i s mg r o u po f ( 口) t h e s er e s u l t sg e n e r a l i z e t h o s eo b t a i n e di n x l t a n d z h t 】 i nc h a p t e rt w o ，w ec o m p u t et h ed e r i v a t i o n sf r o ml ( q ) t oi t sa d j o i n tm o d u l e 三( 口) t h er e s u l ti sd e r ( l ( q ) ) = i n n d e r ( l ( q ) ) oo u t d e r ( l ( q ) ) ，w h e r eo u t d e r ( l ( q ) ) i so f5 一d i m e n s i o n a l i nc h a p t e rt h r e e ，w eg i v et h eu n i v e r s a lc o v e r i n gl ( q ) o fl ( q ) b y s h o w i n gt h a tt h e c o v e r i n gc e n t r a le x t e n s i o nl ( q ) i sd e t e r m i n e db yf o u rl i n e a r l yi n d e p e n d e n t2 - c o c y c l e s o fl ( q ) w i t hv a l u e si nc i nc h a p t e rf o u r ，w es t u d yt h el e i b n i zs e c o n dc o h o m o l o g yg r o u ph l 2 ( 召，c ) o f t h es k e wd e r i v a i o nl i ea l g e b r a 召a n df i n dt h a ti ti se q u a lt ot h es e c o n dc o h o m o l o g y g r o u po f8 m o r e o v e r w es h o wt h a tt h ev e c t o rs p a c ec o n s i s t i n go ft h ei n v a r i a n t s y m m e t r i cb i h n e a xf o r m so f8i so n ed i m e n s i o n a l a sac o r o l l a r y , w eo b t a i nt h a t h l 2 ( b ，c ) = 日2 ( 召，c ) b ya p p l y i n gar e s u l ti n h p l k e yw o r d s ：q u a n t u mt o r u s ，s k e wd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a ，a u t o m o r p h i s m g r o u p ，c o v e r i n g ，l e i b n i z2 - c o c y c l e ，i n v a r i a n ts y m m e t r i cb i l i n e a rf o r m v i 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究 成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果， 均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产 生的权利和责任。 责任人( 签名) ：曹波 如。彦年占月7 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打) 作者签名：曾；良 日期：埘年月，7 日 导师签名夕汐p 乡日期：加挥f 月日 量子环面上无限维李代数的结构 序言 1 代数起源于数的加减乘除和求整数次方幂的计算艺术十九世纪以前，代数被认为 是求解代数方程的学问自从法国天才数学家e g a l o i s ( 1 8 1 1 1 8 3 2 ) 给出判别方程根 式- i n 的充要条件并提出群的概念后，代数的研究对象便发生了根本性的变革 李群和李代数的结构和表示理论是个重要的数学领域，其产生和发展至今已有一 百多年的历史它们与许多不同的数学分支，数学物理分支都有密切的联系以及广泛应 用总体来说，李群这个概念是建立在代数，拓扑和分析的基础上的，它是群，拓扑空间 和流形三个概念的有机结合体李代数是研究李群的局部性质的重要的代数工具，它是 变换李群在单位元的切向量场所组成一种非交换非结合代数，目前李代数已经发展成为 代数的个独立的，具有吸引力的研究分支 事实上，李代数这种代数结构最初是由挪威数学家s l i e ( 1 8 4 2 - 1 8 9 9 ) 在研究连续 变换群的过程中提出来的，其最初的想法是希望发展套微分方程的g a l o i s 理论李代 数的理论可以说是连续变换群的李理论的产物s l i e 在以他的名字命名的李群理论 上的重要贡献在于，他引进了“无穷小变换”的概念，并由此得到种无穷小群的代数结 构这种代数结构即我们现在所说的李代数在李代数经典理论方面贡献卓越的学者还 包括w k i l l i n g ，e c a x t a n 和h w e y l 等人具体说来，有限维复单李代数( 李群) 的结 构和分类定理由k i l l i n g ，c a f t a n 等人在1 8 8 8 - 1 9 0 0 年期间完成，其结论是：在同构意义 下，有限维复单李代数只有k ，x = a ，b ，c ，d 四个无穷序列和五个例外单李代数随 后，c a r t a n 还研究了复单李代数的表示和分类问题，他证明了；有限维复半单李代数的 不可约表示是有限维的当且仅当它是以支配整权为最高权的最高权表示另外，希尔伯 特的学生h w e y l 也研究了复单李代数的表示并得到了著名的完全可约性定理和不可 约表示的特征标公式上世纪四十年代中期，c c h e v a l l e y 和段学复证明了个基本定 理：复数域上的线性李群的李代数是线性李代数；反之，复数域匕任一线性李代数一定 也是某个线性李群的李代数这个定理指出了线陛李群与线性李代数的之间的关系，这 也就是我们通常所理解的矩阵李代数对应矩阵李群1 9 4 8 年， c h e v a l l e y 在它的一 篇论文中给出了c a r t a n 的关于高权表示定理的个统一的代数证明此外，他还证明 了对于任何秩n 的有限维复单李代数g ，定存在3 佗个生成元龟， ，h i ，1 i n ( c h e v a l l e y 生成元) ，满足如下关系陬，b = 0 ，f e i ，办 = 如h i ，【h i ，勺】= a i j e j ，【h i ，乃】= - a i i 5 ，15i ，j n ；( a g l e i ) 1 叼勺= ( a d 五) 1 一叼乃= 0 ，1 i j 几，其中 a = ( a j ) n n 是g 的c a r t a n 矩阵 1 9 6 6 年，j p s e r r e 证明了这组关系就是有限 维复单李代数的定义关系，即我们通常所说的s e r r e 关系正是由于这些重要的概念和 思想方法，为不久后k a c - m o o d y 代数的出现提供了基本框架 2 厦门大学理学博士学位论文 李代数的研究进入到个新的阶段是从v g k a u c 和r v m o o d y 对有限维复 李代数进行无限维推广的工作而开始的1 9 6 8 年，k a u c 和m o o d y 在前人工作的基础 上，分别独立地引进并研究了类新的无限维李代数( f k l ，i m 0 1 ， m 0 2 1 ) ，这类李代数 现在被统称为k a c - m o o d y 代数，他们的很多研究工作现已被整理成专著( 【k 2 】，【m o p 】) k a u c 和m o o d y 的基本想法是去掉c a r t a n 矩阵所有主子式为正这条件，即从广义 c a r t a n 矩阵a = ( a i j ) n n 和它的个实现( b ，h v ) 出发来定义个辅助李代数 百( a ) ，它由b ，e t ， ，1 t n 生成，并且满足下列关系： h 1 ，h 2 = 0 ，h 1 ，h 2 i ) ； e t ，力】= 如q y ，q y n v ， h ，e j 】= ( q t ，九) 勺，陋，办】= 一( q ，h ) h ，1 i ，j n ，h b 令t 是与交换子代数b 交平凡的极大理想，商代数g ( a ) = 百( a ) t 称为对应于 广义c a r t a n 矩阵a 的k - m o o d y 代数k a c - m o o d y 代数分为三类；有限型， 不定型和仿射型有限型k a c - m o o d y 代数即我们通常所说的有限维单李代数不定型 的情形比较复杂，没有具体的实现方法，所以至今分类工作没有完全解决对于仿射型 k a c m o o d y 代数，其中又包括非扭和扭两种，前种可以通过有限维单李代数的元 l o o p 代数的泛中心扩张来实现，而后者可以看成前者的不动点子代数这类李代数有 着和有限维代数相平行的结构理论，如仿射根系，仿射w e y l 群等特别的，对于可对 称化的k a u c - m o o d y 代数g ( a ) ，还可引进对称不变双线性型和广义c a s i m i r 算子这两 个重要的研究工具 关于k a c - m o o d y 代数，已有很多的研究结果例如，k a c 给出了g ( a ) 上可积高权 模的特征标公式，并导出它在可对称化仿射k a c m o o d y 代数e 维表示的特殊形式， 即w e y l s 分母公式运用k a c 特征标公式不但可以判断某些表示的不可约性，还能得 到关于仿射k a u c - m o o d y 代数的一系列恒等式，这些等式揭示了无穷和与无穷乘积的关 系，同时也进步证实了m a c d o n a l d 的结果( f m a c ) 1 9 7 8 年，l e p o w s k y 和w i l s o n 利 用无穷多个变量的微分算子构造出了最简单的仿射李代数a ；u 的基本表示的主实现并 由此证明了著名的r o g e r s r 锄a n u j a n 恒等式( 见【l e 、硼) 1 9 8 1 年，他们又和k a l c 及 k a z h d a n 合作把匕述工作推广并得到所有单边情形的仿射李代数以及由它们的有限阶 图自同构确定的不动点扭子代数的主表示( 见【k k l w ) 1 9 8 0 年，n e n k e l 和k a c 合作 ( 见i f n ) 构造出单边情形仿射李代数的基本表示的齐次表示的实现这些表示都用到 了一种叫做“顶点算子”的数学物理工具，这个工具之前已被物理学家们运用于弦论和 共形场理论的研究中正是由于仿射李代数的表示理论研究的需要以及顶点算子在理论 物理中应用，后来人们又对种新的代数结构，即顶点算子代数( v o a ) 进行了大量的 研究，关于顶点算子代数，相关的文献和专著有 d g ， d l ， d l m “d n 】， f l m ， l e e 】等 等 对k a c - m o o d y 代数进行推广的学者有英国数学家，菲尔兹奖得主r e b o r c h e r d s 量子环面上无限维李代数的结构3 1 9 8 8 年，b o r c h e r d s ( b o ) 在证明关于大魔群表示的c o n w a y - n o r t o n 猜想时引进了一 类无穷维李代数，现在被人们称为b o r c h e r d s 李代数这类李代数结构和表示的些 结果也和k a c m o o d y 代数某些结论相似，但是它也包含些特别的例子，如m o n s t e r 李代数随后不久，很多学者又从另个角度来推广k a y - m o o d y 代数他们的想法是 将广义c a r t a n 矩阵( 简称g c m ) 换成广义i n t e r s e c t i o n 矩阵( 简称g i m ) ，来定义 个李代数g i m ( a ) 关于这类李代数的研究结果，已有的文献有 s ，i b m ， b e z 等 近二十年来，仿射李代数推广的成功例子还有扩张仿射李代数( 简称e a l a s ) ，并 取得了丰富的研究成果1 9 9 0 年，h o e g h - k r o h n 和t o r r e s a n i 受到量子规范场理论研 究工作的启发，引进了一类李代数，当时被称为拟单李代数这类代数满足的性质有四 个，它们分别是：具有有限维的c a r t a n 子代数；容许个非退化对称不变双线性型；具 有离散根系以及非迷向根的根空间是a d 幂零的这类李代数不但包括有限型和仿射 型k a c - m o o d y 代数，还包含了很多重要的李代数，例如t o r o i d a l 李代数，t k k 李代 数等e a l a s 吸引了很多学者对它进行研究例如，在文献 b g k 中，b e r m a n 等学 者研究了以量子环面为坐标代数的椭圆拟单李代数的结构和实现问题，其结论指出：对 每个a 型( 2 3 ) ，零度为的扩张仿射李代数，在其核是中心闭的意义下，都有 唯一的量子环面c 口以及相应的斜导子李代数与之对应随后，1 9 9 7 年，b e r m a n 和 郜云等人又对e a l a s 的根系进行了分类并给出了e a l a s 的般构造( a a b g p ) ， 结果表明，e a l a s 的坐标代数不但可以是多变量的罗朗多项式代数，还可以是某些 特殊的交错代数、j o r d a n 代数和量子环面代数1 9 9 9 年，谭绍滨给出a 1 型t o r o i d a l 李代数的主表示( i t l ) ，同年，他还构造了以j o r d a n 环面为坐标代数的t k k 代数的 类顶点表示( t 2 】) 另外， c o 硐给出了a 1 型t o r o i d a l 李代数的两种自由场实现 近年来js e r a o ，姜翠波，孟道冀等人研究了b 型和r 型t o r o i d a l 李代数的类 顶点算子表示，并且解决了t o r o i d a l 李代数e 可积模的分类问题，该问题归结为坐标 代数匕全导子李代数的可积模的分类 由于量子环面c 口，其全导子李代数d e r ( c 口) 和它的某些子代数在e a l a s 的研 究中起着重要的作用，有很多学者从不同角度对这些代数进行了研究( 见 m c p ， p ， e l i ， l i t 2 ， k p s ， z ， z z 等) 例如，r a o 研究了d 维交换环面a 上的全导子李代 数d e r a 的l a r s s o n 模的结构，并讨论了这类模的不可约性2 0 0 4 年，林卫强和谭绍 滨研究了量子环面c 口上全导子李代数d e r ( c 口) 上的l a r s s o n 模的完全可约性，其结 果包含了r a o ( e 1 ) 的结论最近，连海峰等人又用文 e l i ， l i t 2 的方法，讨论了不可 分解g l d ( c ) 模y 在l a r s s o n 函子f 口下的像模的分解性质，其结论指出：f n ( y ) 是 几乎u n i s e r i a ld e r a 模另外，r a o 还考虑了d 维交换环面a 的全形李代数a d e r a 的权空间有限维不可约表示的部分分类问题 4 厦门大学理学博士学位论文 下面介绍与本文研究工作联系较密切的一j 堂工作我们知道，v i r a s o r o 代数是无 穷维李代数的个重要例子，它是w i t t 代数d e r ( c t 士1 】) 的泛中心扩张由于v i r a - s o r o 代数在仿射李代数和理论物理中都有重要的运用背景，所以有很多学者研究了这 个代数的结构和表示并得到了丰富的结果( 见 k r ，【m 1 ， m a p ， k a 】，【k a p 】等) 作为 v i r a s o r o 代数二阶推广形式，v i r a s o r o - l i k e 代数可以看成是二个变量的交换环面的斜 导子全体组成的李代数，即形如x m y n ( 凡z 杀一m 可罴) ，( m ，几) z 2 的一阶微分算子 全体1 9 9 4 年，e k i r k m a n 等人又研究了v i r a s o r o - l i k e 代数的口类似代数的 性质，发现这个代数与v i r a s o r o - l i k e 代数的性质相似，并且它的关于伴随模的上同 调群和关于平凡模的二上同调群都是二维的在前人工作的基础匕，很多学者又研究了 v i r a s o r o 代数的其它多种推广形式，如高秩v i r a s o r o 代数，广义v i r a s o r o 代数，超 v i r a s o r o 代数等( p a z 】， s u z ) 维环面c t 士1 的全形李代数是c t 土1 上的一阶微 分算子全体组成的李代数， 【a c k p 研究了该代数与丛上的参模空间的表示和二上同 调群，指出c t “ d e r ( c t 士1 】) 的泛中心扩张是三维的，这个扩张后的代数被称为扭 h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数文 b i 研究了扭h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数上中心作用为 零的类不可约表示文f s h j 确定了扭h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数的导子代数和自同 构群 s h s 又给出了该代数上的权空间有限的不可约模的个刻画性质关于广义 h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数也有叫些学者作了研充为了推广单变量情形的h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数，文献 x l t 的作者从v i r a s o r o - l i k e 代数出发将其与两个变量的交换环 面作半直积得到个新的李代数，称为二阶形式的h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数，并研究 了这个代数的自同构群，导子和中心扩张随后，文 z h t 的作者研究了这个代数的 口类似的变形，即由v i r a s o r o - l i k e 代数的q 类似和量子环面c “z “，可士1 作半直积得 到的类李代数，其中，参数g 不是单位根个自然的问题是，当参数q 是单位根 时，通过量子环面c 口陋士1 ，y 土1 的斜导子李代数d e r 舭删( c q k 士1 ，y + a 】) 和c 口i x 士1 ，! ，土1 】 作半直积得到的类李代数是否与 x l t ， z h w 有相似的结论? 这正是本文主要回答 的问题 本文共分四章来叙述，主要内容组织如下：在第一章中，我们首先引进所要讨论的 秩二量子环面c 口陋士1 ，y 士1 】上的类李代数l ( g ) ，其中参数g 是本原单位根，然后运 用文献f x l t 的些方法确定了l ( q ) 的自同构群，这个结果即将发表在c o m m u n i c a t i o n si na l g e b r a ( 2 0 0 8 ) 。在第二章，我f f 丁继续计算了l ( q ) 的关于伴随模的上同调 群，结论是d i m c 日1 ( l ( 口) ，l ( g ) ) = 5 在第三章，讨论了l ( q ) 关于维平月模c 的 二上同调群，结论是d i m eh 2 ( l ( g ) ，c ) = 4 ，即证明了l ( q ) 有四维的覆盖中心扩张， 这两章的结果已经投稿到( ( 数学学报中文版在第四章，我们继续研究了斜导子李代 数b ：= d e r s k e ，v ( c 口k 士1 ，可士1 】) 两个结构性质，即召的l e i b n i z 中心扩张和它的对称 量子环面上无限维李代数的结构 5 不变双线性型，这一章的结论是召的l e i b m z 中心扩张和召的电d 扩张相等，并且召 有维的不变双线性型，该部分的结果即将发表在厦大学报自然科学版以上工作 都是在导师谭绍滨教授的指导下独立完成 符号说明：下面是本文中所出现的一j 些符号 同构 整数环 复数域 单位圆周 指数映射 非负整数集 非零复数集 矩阵m 的转置 ( 左) 真包含于( 右) 被p 整除的整数全体 交为空的集合之并 李代数g 的自同构群 李代数g 的导子代数 两个变量的量子环面c gp “，y 士1 二维欧氏空间r 2 中的秩二自由a b e l 群 李代数g 的系数在m 中的二上同调群 李代数g 的系数在m 中的l e i b m z 二上同调群 向量空间中由元素u 1 ，u 七线性张成的子空间d 柳m m 珈 一 竺z c 伊 唧阢胪磁出呐脚q彩珊蹦 6 厦门大学理学博士学位论文 第一章量子环面上斜导子李代数的自同构群 1 1 引言 确定李代数的自同构群是李代数结构理论中的个重要问题很多学者对不同类型 的李代数的自同构都进行了研究例如，g b s e l i g m a n 在文献 s e 中讨论了特征不为 2 和3 的代数闭域上的典型李代数的自同构群，其结论指出，a ，d ，岛型李代数的自同 构是由两类自同构复合而成的，其它类型的李代数只有内自同构这个结论在李代数的 教材f h i ，【m e 也有详细描述，即任复半单李代数的自同构群都是其内自同构群和图 自同构群的半直积，而在b ，c ，岛，b ，乃，g 2 的情形，只有平凡图自同构文献f c a 的 作者确定了交换环上类匕三角矩阵李代数的自同构群，并给出了几类标准自同构又 如，文 l 的作者研究了仿射k a c - m o o d y 李代数的对合自同构并分析了两类不同的对 合自同构对于其它类型的无限维李代数的自同构群，研究得比较多是w i t t 型和v i r a - 8 0 r o 型这类李代数，已有的些结果，可参见文献 d o z 2 ， j m 2 ， j m 3 ， k p s ， s u z ， c x l t ， z 2 】等等 v i r a s o r o 代数是个简单但重要无限维李代数的例子，它在仿射李代数的表示， 顶点算子代数以及理论物理，如弦论中都有着广泛的应用( g o p ) 事实上，v i r a s o r o 代数的对称性蕴含在任何具有共形不变量的二维时空理论中具体说来，v i r a s o r o 代 数v i r 是单变量l a u r e n t 多项式代数c t “1 的导子李代数，即w i t t 代数的泛电心扩 张，它有如下形式的一组基元：c ，l i = - t 件1 嘉，i z ，基元满足的李关系为： 们3 一 c ，v i r 】= 0 ， l f l ，l m = ( 礼一m ) l n + m - b 如+ m ，o 二二了i = c ，v n ，m z 工二 关于v i r a s o r o 代数和它的推广形式，如高秩v i r a s o r o 代数，超v i r a s o r o 代数等已有 很多学者进行了研究，并得到很多的研究结果( 【k r 】， m 1 ， s u z ，【p a z 】) ，其中比较著名 的个结论是o m a t h i e u 在文f m l 中证明了y 勿的不可约h a r i s h - c h a n d r a 模 只能是高权模，低权模或者中间序列模这三类另外，文【m z 的作者给出了个关于 v i r 的不可约权模的结论，即若该不可约权模存在个有限维权空间，那么它是h a r i s h c h a n d r a 模关于v i r 的自同构，通过简单计算表明v i r 只有下面两类自同构： 九：三th0 2 己i ，v i z ，cf c ，a c u ：己 h l l ，vi z ，ch c 又如，文献f s u z 】的定理2 3 得到了广义v i r a s o r o 代数的自同构群，该结果进步证 实了v i r 的自同构就是以上两类 第一章量子环面上斜导子李代数的自同枸群 7 v i r a s o r o - - l i k e 代数作为v i r a s o r o 代数的推广最早见诸于文献 b 1 ，其作者研究了 类b l o c k 型李代数v i r a s o r o - l i k e 代数可理解为平面内多项式向量场李代数文 j m 3 的作者给出了v i r a s o r o - - l i k e 代数的导子代数的自同构群1 9 9 4 年，e k i r k m a n 等人( k p s ) 研究了两个变量的量子环面( w e y l 代数的乘类似) 上的由部分导子组成 的个李代数，称之为v i r a s o r o - l i k e 代数的g 类似，并指出了这个代数和v i r a s o r o - l i k e 代数的关系姜翠波和孟道骥在 j m 2 中确定了结合代数c 。- 4 - 1 ，y 土1 的导子代数和 导子代数的自同构群文 c x l t 推广了 j m 2 ， j m 3 的结果，得到了v i r a s o r o - l i k e 代数，v i r a s o r o - l i k e 代数的q 类似以及量子环面匕斜导子李代数的自同构群 与v i r a s o r o 代数有密切关系的另个李代数是所谓的扭h e i s e n b e r g