（电路与系统专业论文）脑电消噪的独立分量分析方法及其应用研究.pdf

搁蛰 矽4 6 6 4 6 2 摘要 阳囟电( e e g ) i p 蕴涵着丰富的生理、心理及病s q t f d - 息，胁i 电信号的分析及处理 无论是在临床上对一些脑疾病的诊断和治疗，还足在认知科学研究领域都足i 分 重要的。 脑电信号中通常混叠有不同种类的伪迹成分( 如：日艮电、心电、肌电、工频 干扰等) ，它们来自一些，j 二理源及噪声源的影响。这些噪声的存在给脑电的i i 俪床 应用和分析研究带来了很大困难。舍弃被噪声污染的脑电记录无疑会造成数据的 大量丢失，而且在临床 - , t l l - 足难以接受的。如何从被采集的原始腑r f ：! l p 获取反 映大脑活动和状念的有用信息是脑咆分析中一个比较棘手的问题。长期以米，研 究者们已经提出了很多脑l 乜消噪的方法( 人多集t 扣在时频域) 。但遗憾的是情况， ： 未得到明显的改善。4 - 近年来随着独立分量分析( i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s 简称i c a ) 以i f 占号 处理界引起的广泛关注，该技术也被迅速应用到生物医学信号处理领域。作为一 种新的多元统计处理方法，i c a 是伴随着传统的宜源分离( b l i n ds o u r c es e p a r a t i o n 简称b s s ) f u 3 题而不断发展起来的。本论文在分析i c a 理论及其算法的基础上， 提出将其应用到脑电中多种伪迹的分离及去除，并取得了比较理想的实验结果。 事实表明，i c a 方法普遍适用于脑电信号中各种噪声的消除，这种普遍性足对传 统处理手段的重要突破。此外，i c a 这种空间滤波器不受信号频谱混迭的限制， 消噪的同时能对有用信号的细节成分做到很好的保留，很大程度上弥补了时频域 方法的不足。 关键词：脑电，伪迹去除；独立分量分析；盲源分离i 神经网络i 信息论； 本文i ：作得剑丁安徽省门然科学基金( 0 0 - 1 3 2 1 4 ) 的资助； 一垒! ! ! ! 垒! ! a b s t r a c t d i f f e r e n tb i o m e d i c a ls i g n a l sd e r i v ef r o md i f f e r e n ts o u r c e s ，t h es o u r c e so f e e g ， e c ga n de o ga r er e s p e c t i v e l yb r a i n ，h e a r ta n de y e s p r e s e n t l y , t h eb r a i ns c i e n c e r e s e a r c hs h o w st h a tm u l t i c h a n n e le e gd a t ac o l l e c t e df r o mv a r i o u ss c a l pe l e c t r o d e s 1 5 l a c e da c c o r d i n gt o ac e r t a i nc r i t e r i o nc o n t a i n sr i c hp h y s i o l o g i c a lp h e n o m e n aa n d m u c hm o r e d y n a m i ci n f o r m a t i o n t h e o r ko f e e gs o u r c es e g r e g a t i o n ，i d e n t i f i c a t i o n ， a n d1 0 c a l i z a t i o na r e v e r yi m p o r t a n t a n dd i f f i c u l ti nb r a i ns c i e n c e r e s e a r c ha n d c o g n i t i o ns c i e n c er e s e a r c h m o r e o v e r ，i nc l i n i c ，t h ee e gi n t e r p r e t a t i o na n da n a l y s i si s v e r ye s s e n t i a l t o d i a g n o s i sa n dt r e a t m e n to f s o m eb r a i nd i s e a s e s h o w e v e r , t h ee l e c t r o d e so n s c a l pa r e n e a rl o c a t e d ，s ot h ee e g s i g n a l sc o l l e c t e df r o mt h e ma r eh i g h l yc o r r e l a t e d e e g s i g n a l so f e a c hc h a n n e lc o n t a i ng r e a ti n f o r m a t i o na b o u tb r a i na c t i v i t y , b u ta r eo f t e n c o n t a m i n a t e dw i t ha r t i f a c t sa n dn o i s e ，f o ri n s t a n c e ，e o g ，e c g ，e m g ，a n d1 i n en o i s e i t p o s e s a c h a l l e n g e t or e s e a r c h e r so ft h i sf i e l dw h ot r yt oe x t r a c tt h eu s e f u l i n f o r m a t i o nr e f l e c t i n gb r a i ns t a t ef r o me e gr e c o r d i n g s r e c e n te f f o r t st os o u r c e s i d e n t i f i c a t i o na n da r t i f a c t s s e g r e g a t i o nh a v ef o c u s e dm o s t l yo np e r f o r m i n gs p a t i a l s e g r e g a t i o na n dl o c a l i z a t i o no f s o u r c ea c t i v i t y i n d e p e n d e n tc o m p o n e n t a n a l y s i s ( i c a ) i so n eo f t h e s em e t h o d s a san e wa r r a yp r o c e s s i n gt e c l m i q u e ，i c ai sa ne f f e c t i v em e a n st or e s o l v et h e b s s p r o b l e m i na r t i f a c t sr e m o r a lo f e e g d a t a c o n s i d e r i n gt h ef a c tt h a ta r t i f a c t sa n d e e g a c t i v i t yh a v er e s p e c t i v ei n d e p e n d e n ts o u r c e s ，w eu s ei c at e c h n i q u et op e r f o r m t h et a s k b a s e do nt h ee x p o u n da n da n a l y s i so fi c at h e o r ya n da l g o r i t h m ，w ea p p l y 1 c at ot h er e m o v a lo fd i f f e r e n tk i n d so fa r t i f a c t sf r o me e gr e c o r d i n g s ，a n dt h e e x p e r i m e n t s r e s u l t ss h o wt h a ti ti sa p r o m i s i n gm e t h o d c o m p a r e d w i t ht h et r a d i t i o n a l m e t h o d so fa r t i f a c t se l i m i n a t i o n ，i c a ，ak i n do f s p a t i a lf i l t e r , d o e sn o t b er e s t r i c t e db y t h ec a s eo f s p e c t r u mo v e r l a p p i n g ，a n d h a v ea g o o dr e s e r v a t i o no f u s e f u ld e t a i ls i g n a l s i na d d i t i o n ，t h ei n v e r s ew e ；g h tm a t r i xo f1 c ac a nb eu s e dt or e f l e c tt h et o p o g r a p h i c s t r u c t u r eo fd i f f e r e n t i n d e p e n d e n t s o u r c e so fe e g ，a n dt h e r e f o r eh a v e g r e a t p h y s i o l o g i c a ls i g n i f i c a n c e k e yw o r d s ：e e g ，a r t i f a c t sr e m o v a l ，i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ， b l i n ds o u r c es e p a r a t i o n ，n e u r a ln e t w o r k s ，i n f o r m a t i o nt h e o r y t h i sr e s e a r c hi ss p o n s o r e db yt h en a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fa n h u ip r o v i n c e ( 0 0 4 3 2 i4 ) 1 1 第一章绪论 第一章绪论弟一早三= 酉了匕 1 1 前言 、脑 乜( e e g ) 儿2 1 是人脑神经元突触厉电位的综合结果，足人脑l u 活动产生的电场经容秘 导体传导后在头皮上的电位分布。多导脑【u 信号”“1 是从头皮上按照一定标准放簧的多个i 乜 极处同步采集所得。现代脑科学研究表明，多导脑电信号蕴藏多种生理现象，且能反j 映更多 的动态信息。在生物医学信号处理领域，我们所记录的某一l u 生理信号中通常包含着其他i u 生理信号成分。如脑电信号中往往含有心电、眼动伪迹、肌l u 信号以及其他干扰溅 所产_ ：的 干扰信号j 。”，这给脑电分析以及脑电蚓的临床应用带米了很人的幽难。冈此如何从脑电t ， 提取有j j 的信息是1 f 常只有挑战性，且义根有学术价值、实j j 价值的研究课题。对腩, l x q , 再 种源信号的分离、识别、定位是脑科学以及认知科学中的重点利难点。 1 2 脑电消噪的传统方法 白2 0 t i ：纪2 0 年代末脑电的具有划时代意义的发展以米，脑电作为一种l f 侵入式的疗 法在临床上以及在神经生理学研究领域得剑了广泛的应川。遗憾的是，经过了研究者们、r 个 多1 f = 纪的努力，脑电中的各种噪卢的存在仍然凼扰着脑【b 的分忻及麻j h 。人们已积累了人啦 脑电信息处理与提取方面的经验，提山了一系列脑电信息处理的理论和方法，但很少有突破 性进腱。 总的看米，传统的脑电消噪方法人多还是集中在信0 的时、频域分析上。血l 胀t l xf 一 扰的玄除中，比较典型的是所谓的模扳法f 2 】o 该方法所利j j 的足柑天处理技术，这也是信号 处理最基本的手段之一。由下眼电信号臼身的1 f 平稳性，获得一个稳定的模板往往比较幽难， 使得该方法效果并不明显。义如住心电伪迹的去除中，考虑刨心i 乜信号表现为短时瞬忐j l ， ：7 l j ， 故小波变换7 i 是比较适川的方法。小波变换的时频局部性特点使得它在短时瞬变的检测r t j 有很人优势，但是它仍然无法克服频谱混迭带米的消噪- i m 7 7 k i 问题。至丁l 。频千扰f 1 j 占除 1 6 1 8 i ，传统的方法是设计一5 0 h z ( 或6 0 i i z ) 1 5 f i 波滤波器，以滤除5 0 h z 的i 频干扰。然m ，l ， 频于扰往往还包含丰富的谐波分培以及冈l u 能质域小稳定而造成的其他噪卢干扰。如果信， 频谱! oi 频千扰信号的频谱有混蒋，! l ! | j j 5 ；1 波滤波器住滤除i 频干扰的同时也会造成 j ，j ：f 二i j 的损火。 第一章绪论 除此之外- 作为一种常见的多导信号分解技术，主分蛙分析( p c a ) 过上也经常做成川剑 脑电中的一些噪声的u 上除处理中( 例如眼电伪迹的去除) 。但该方法一般难以取得比较理想的 效果，土要是冈为p c a 是一种基丁_ 二阶统计特性的处理方法，所以经p c a 分解后的信号之 间无法达到高阶统计意义上互不相芙。也止是这个原冈使得它无法彻底得把噪卢从脑i u 信吁 中分离开米。 1 3 独立分量分析 独立分鼙分析”。”是9 0 年代中期兴起的一项新的信号分解技术，基本思路是从多维观测 信号中提取统计独立的成分。甲- 在上个t 日= 纪8 0 年代初期，法国+ 学者j h e m u l t l l c j u t t e n 等人 9 1 【1 0 i 就首次提山t i c a 分析的基本概念。直剑9 0 年代中期，随着p c o m o n ，a j b e l l ，t j s c j n o w s k i ”】，s a m a r i ”i l l j f c a r d o s o “1 等务国学者的经舆文献的发表，才掀起t c a 在国 际信号处理界的研究热潮。随后的一些年轻学者，如t wl e e ”l f ”1 和a h y v a r i n e n i ”i i ”1 管人 对i c a 算法的实现作出了很人的贡献，使得该技术进一步走向实际虑h j 领域。 该技术现已往生物医学、模式识别、雷达信号处理等众多领域引起极人的关注。尤其 在生物医学信号处理中，鉴丁脑电信号的一些特点，使得i c a 技术的实川价值得刨了充分 的体现。对丁脑电信号消噪【。8 1 这一传统课题而青，考虑到多导脑电信号通常米白些卡 i 且 独立成分的迭加，义由。r 脑电采集过程中的容积导电往人脑组织内儿乎是瞬时的，这使得 i c a 技术可以有效地对脑电记录中的多种噪卢信号进行分离及去除，而不影响有心信号成 分，缀人程度上克服了时频域方法的“去除不彻底”的缺点。值得一提的是，i c a 中解混矩 阵的逆可以川米反映独立源的空间分布模式，具有重要的生理意义。实验结果表明，i c a 仡 脑电信号的生理干扰消除中贝有很人的潜力，井可能成为脑l h 增强及脑电特征提取的有力l 咒“。 1 4 本文的研究内容 实验中的数据有三个来源：一、h j 丁心i 乜伪迹七除的数据来白美国麻省理i 学院提供 的m i t b i h 数据库。其中箨导生理信号的采集均是同步进 ? 的，单导实测睡眠脑l 也的参考 导联为c 4 a 1 ，采样频率2 5 0 h z 。该数据库近年来虑h j 比较广泛，也受剑我国的生物医1 学i 稗界的重视；_ 二、川丁- 消除l ：频干扰的数据米白美国科罗拉多人学提供的思维脑l u 数据，k 7 导，数据k 度为6 秒，采样频率2 5 0 h z 。这七导记录中含有人培的i ：频f 扰( 荚的i 频为 第一章绪论 6 0 h z ) 。三、川丁眼电伪迹消除的脑电数据由本实验室一台高质蛙的脑山仪精心采集所得， 电极放置符合国际标准的1 0 2 0 导系统，共采集了1 6 导脑l u 数据，其中含宵人封的眼l u - 扰成分，采样频率2 0 0 h z 。 本文在较全面地阐述1 c a 理论及相关知识的基础上，总结行分析了近年来i c a 领域里 几个具有代表性的算法，对其中的某些算法进行了系统的性能分析，给山了定姑的分析结粜。 将不同理论背景f 的算法从信息论的观点加以统一，进一步揭示了i c a 算法的实质所住。 将i c a 算法应_ l 到脑电信号的噪卢消除中。实验说明了i c a 是如何将多导脑l u 中伪迹 成分隔离剑某一个独立分精里，然后雨_ l i 】“有川分耸返f 同到头皮电极”的方法来消除伪迹：r 扰。对于一些特殊情况，我们还可以巧妙地利_ l f ji c a 的特点而使问题得以解决。如住i 。频 干扰的去除中，我们_ l j 构造观测数据的方法克服了缺乏l ：频参考源带来的凼雉。当然这些 处理技巧都必须以i c a 的基本原理为 u 发点。实验还初步揭示了脑电独立分越的空间模式 所蕴涵的生理意义。将i c a 方法的处理结果与传统方法进行了比较，显示出了i c a 在脑电 消噪处理中的强人优势和应刚满力。 本论文的内容分为5 章： 第1 章是绪论部分，主要介绍有关的背景知识和本文的研究 j i 容。 第2 章讨论了i c a 的基本理论，了 ：且介2 “了围绕着该理论的相芙知识。 第3 章分析了儿种i c a 的不同算法，对算法的性能进行了实验研究。 第4 章为实验部分，利州i c a 技术对各种噪卢进行有效的玉除，) f 进行分析、总结。 第5 章对i c a 在该领域的应h j 进行了总结与展望。 第二章i c a 的堆奉原理及相关知识 第二章io a 的基本原理及相关知识 2 1 引言 i c a 这种新的多维信号处理方法，主要h 】丁揭示和提取多维统计信号中的_ ；f 住成分，是 在具有较长研究历史的盲源分离问题( b s s ) i ”1 中浮现山的新的信号分析技术。与传统的多维 信号分析方法截然不同的是经i c a 处理得刮的符个分馘不仅去除了相关性，还煺相，i ：统 计独立的t 并且是非高斯分布的信号。i c a 在许多方面对传统方法晌重要突破使得其越来越 成为信号处理中一个极具潜力的分析f ：具。 本章将从相互关联的多个方面对i c a 进行较为详细的介绑，人体可分为两个部分。第 一部分从第二节第六节重点阐述i c a 的基本概念。第二1 t 简要介圣f 对多维数据进行描述的 一般概念；第二。h 同顾了经典的主分越分析( p c a ) ，目的是为了白然过渡剑i c a ：第四1 y 则 重点阐述随机变量中统计独立的概念及其与1 c a 的关系：第芤1 ，则结合人们熟知的盲源分 离问题给山i c a 的基本模型和定义；第六节给山高阶统计培的基本知识，弗简要说明高阶 统计最住i c a 中的应埘。七八两捧是第二二部分，简单同顾了与i c a 算法密切相关的信息论、 神经网络这两个学科领域的相关应川知识。盛后对本章进行小结。 2 2 多维统计数据的线性变换 在科学研究的众多应j l f j 领域，一个簿遍存在的问题是如何从采集豹数据中获墩信息。随 着科技的高速发展，人量数据的测量及存贮已经不再成为问题，但是获取数据本身显然是4 ； 够的。提取产生这些数据的系统本身的信息才是根本e 1 的所在。在诸如数据分析、信吁处理、 神经网络等麻_ l j 领域，找到对多维数据的一个恰当的描述”1 是经常会遇剑的问题。为了使 问题尽可能的简单化以及考虑剑计算的复杂性，最好使得这科一描述是一个对原数据的线性变 换，网为这会对各种形式的后继分析带来极人的方便，如：数据压缩、特征提墩、模识剧、 可视化等。 在多维信弓处理中，为了便丁研究，通常把采集得剑的数据( 如多导脑电数掘， 一纠是 克风的录音等) 看成多维随机变每( 或称随机欠馘) 的一系列样本值，以便r 将随机久舒的数值 统计方法”1 1 2 0 1 应_ l 到原数据。这样做虽然儿乎完全忽略了信号的时间特性，但赴i ；j _ t ：2 j 3 ”， 能地利川其统计特性。在一些场合f ，这种做法能在缀人f ! 度一f 二弥补山州频域方法的“瞅。n 4 一丝三兰! 竺! 竺苎竺堡些竺堡兰丝兰 带来的不足。在本文中，这些随机久苗都假设成连续取值的，而不火一般胜，似改其一 r 的 所有分培部是零均值的，即有：e 工 = 石。 对多维信号在时刻t 的采样x ( f ) = ，( f ) ，x ：( f ) ，x ，( ，) 7 ，= 1 ，2 ，一，t 可符作是m 维随机变鼙的某一观测样本欠域，其中x i ( f ) ，i = 1 , 2 ，m 为再个分培。按照某种准则埘 其施加一线性变换，记为f ( r ”一r ”1 j ，( f ) = ，( x ( f ) )( 21 ) j ，( f ) = 眇。( f ) ，y ：( f ) ，y 。( f ) 7 为变换的结果。假设这里的f 是一线性变换，丁足确 y ( t ) 中的每个分鲑都是原数据所有分量的线性组合 肿) = w o x ( f ) ，其中i = 1 ，n ，j = 1 , - - m ( 2 2 ) 对应每个”( f ) 的一组系数，j = 1 ，m 称为一个基向 _ 。( 2 2 ) 可简单的写作矩阵形式 y = w x ( 23 ) 故多维数据的线性变换简单地说就是按照一定的准则寻找一系列的加权系数0 ，纰成 线性变换矩阵w 中的各个基向最( w 的行向埴) ，而这个基向鼙的联合就是一个新的嫩标 系。将原数据在这样一个坐标系上展开，得到的各个分鞋便足变换的结果。要求变换历的数 据y 住最人程度上体现原数据间隐含的实质结构，并且y 的各个分域能够尽可能地代表产+ 生原数据的系统本身的物理机制。基1 ：多维随机变甜统计分析的框架，变换矩阵w 的寻找 方法通常是建立一个体现输出结果y 的统计特性的目标函数g ( j ，) 。而这种统计特性冈弗法 中基本准则的不同而不同，可能是一、二阶的，如相关系数、协方差等：也有可能是商阶的 如互信息、1 ：高斯性等。 常见的线性变换技术主要有土分域分析、奇异值分解( s v d ) 、投影追越( p r o j e c t i o np u r s u i t ) 笛2 l 儿2 ”。以上方法都属丁信号分析的经典范畴，其分析方法仅限丁二阶统计特性。确切地 说这些方法是建立往协方差矩阵的基础上。 i c a 则是对上述传统方法的突破，是一种新的线性变换技术。为了便r 原理f 1 j 说1 1 j j 以历除特州中明均假设变换前后数据维数相等：m = n 。住实际，、v 川中，当观测信i ，个数 。；。：! ! 三至! ! ! 竺兰堡些竺塑叁型堡 m 人丁源信号个数n 时，总可以通过降维的方法使得m = n ，所以这种似没不火一般性。 2 3 主分量分析 2 3 1 主分量分析的基本概念 粗略的说，所有的线性变换都是寻找这样的w 矩阵，只是w 输出y 的目标函数的1 i 同 使得不同的方法分别得到不同的变换矩阵。土分龄分析足种上【：交变换，在多变_ l i ：数据分析 中是一个流行的l ：具，这种处理方法可由多个角度米定义。r 面从儿何的角度，结合能培最 人准则对这种传统的线性变换方法进行一个简单的叙述： 对丁多维数据，简记为x = 。1 ，x 7 ，按照某一方向w 7 进行映射，w 是维 欠域： y 1 = w l 工 ( 2 a ) 原则是使m 能龄最人，由1 ：y 。也是零均值，所以只需满足方筹e y 。2 最人。这个y ，就 称作第一个主分培。然后再在与前一个久量w 7 止交的所有欠精中寻找一个w ：7 ，同样使 得映射后的y 2 = w2 7 x 能鼙最人。这里显然有w 1 7 w2 = 0 。这样便找剑了第一：个土分鲢 y ：。同样的过程不断重复f 玄，前提是 ( 1 ) 该方向与前面所有方向都止交( 或称乖直) 。 ( 2 ) 映射后的数据方差( 即能量) 为最人。 由丁+ 每次映射的各个方向相互难直，结果得到一组互不相天的分域：e y y ，) = 0 ，f j 。 图2 1 所示是二维情况fp c a 算法的两个主分培方向。其中第一个方向显然指向信弓 能龄最人的方向，得到第一个主分量。第一二个方向与第一个方向艰直，得剑第二个士分埘。 主分毓分析主要州丁信号压缩和编码，是一种最小均方误筹( l m s ) 意义f 的最优变换 【2 ”。也就是说，变换后的信号能馘主要集中住前儿个主分精中，而由这少数儿个土分域张 成的f 空间去照构原信号，逼近效果从最小均方误筹意义r 足最优的。凡体分析如r ： 【 1 前面叙述可知，所有这些映射欠龄作为基向蹴，便卡；! j 成：l = 分埘分析对应的变换：阵 w = 【w l ，w2 ，wd ，w 】7 - 其中前儿个基向始w 1 ，w2 ，w d 对心能j t l + 置吁地似n 0 6 第二帝1 c a 的捧奉麒理发相关知识 儿个土分垃的映射方向，现将余f 的基向培置零，得到w = w ，w ：，w 。，0 ，o j 7 ，利 川w7 萍i f i 号进行近似恢复，得剑x = ( w ) 7 w x 。其中w x 为所选择的i 甫d 个一 ：分情。 重构信号的均方误差为e l l x x 旷 。可j ! 当噪卢的能酣o ：煺搬强时，也t i j d ( 下d 个l j 分 1 _ ；= 之列，利朋= 1 三分最分析就可以达到七噪的口的。网此p c aa 法也曾庸川丁脑i 小r i 毡伪迹 的太除。通过实验我们发现，当限f b 分越的幅度相对较小时效果足比较明辊的。此外，p c a 还是图像特征提取的常圳l ：具。 当选择d 个土分昔老重构原信号时，由丁- 原信号的维数n d ，所以从信号维数的f j 度米讲p c a 起到了对信号降维的作川。在很多情况f ，有效的降维会使得在最人程度保持 原信号中所蕴涵的信息的情况f 人人降低运算复杂度。譬如住圳神经网络进行思维脑l u 分类 时，输入的特征向量的维数可能比较高，川p c a 对其进行预处理可以减少样本的维数，从 而简化了网络结构，提高了运算速度。另外，当观测信号的协方筹矩昨出现奇异时，利 p c a 对观测信号进行降维问题便可得剑解决。 图2 1 以二维情况r 两个主分蛄的l 映l , j 方向 2 3 2 奇异值分解算法 p c a 只涉及二阶统计量，算法原理比较简单。f 面给出基于奇异值分解的算法，该锋 法首先由k a m lu n c n l 2 4 幡】，l o e v e 提山，所以义常被称作k l 变换。 对丁给定的x = i x l i 一，x 7 ，定义其协方筹矩阵r ，= e x x 7 ，并使得： r 。= u i x , u 7 ( 25 ) 为r ，的奇异值分解，这里的u 叫u i ，u2 ，u 7 ，i ；l | 1 f 由丛阳h u ，分别足特“l 他五，x g j ；, 7 7 第二章i c a 的坫奉燎理技栩关董n 识 _ = = = j 口= = = = = ；= = = = = = = = = = = = # = = = 一= 的特征向姑。 = d i a g ( 2 ，a ：，“) 是由所有特祉值组成的对f f j 阵。 可以证明：当旯 a 2 丑d 时，u 的基向 硅便是如e 所述的符个映射 方向。弗且有：如果前d 个分量能懿，土导地位，则h j 它们恢复原信号的最小均方误筹为 。= e i l xx ，1 1 2 ：兰( 2 5 ) 除此之外，p c a 还可以由基丁，h c b b 准则的无监督学习神经网络米实现，住本章最后 话将给出简要介皇f 。 2 4 统计独立 经p c a 方法得到的符个分最是互不相关的，换句话说，p c a 去除了信号间的二阶冗余 信息。即便是经过了p c a 方法处理，各分鼙之间仍有可能存住着高阶统计意义上的冗余信 息。统计独立【2 6 1 是i c a 中的一个核心概念，也是i c a 模型的一个最基本的假设。冈为统计 独立要求商阶统计不相关，所以是一个更加苛刻的条什。止冈为此，i c a 方法成为p c a 的 一个推j “。卜面由随机事件的独立性引入随机变肇的独立性。 2 4 1 随机事件的独立性 在概率论中，攻4 ，b 是某一随机试验事什空间中的两个书r l 二，如果满足 p ( 4 b ) = p ( 爿) p ( b ) ! i l l 称a ，b 是相互独立的枣什。 并注意到条什概率密度p ( 曰i 爿) 的表达式 呻) = 酱 ( 27 ) ( 2 8 ) p ( b i a ) 表示在事什一已经发生的情况f 事件b 发生的概率。不难看出，如果a ，b 棚 独立且p ( a 1 0 则有： p ( b i 爿) = p ( b ) 8 ( 2 9 ) 。；三兰! ! ! 塑兰当堡些垒塑茎竺堡 ( 2 9 ) 式是描述爿，占相互独立的另一种方式。对该式的一个卣观解释足：啊什a 的发，1 甜t 事什b 发生的概率不提供任何额外的信息。 2 4 2 统计独立的随机变量 随机事什的独立性概念可以很窬易地引出随机变培的悄况。仍以_ 二维为例，殴。，地 迮续璎随机变埴，其相互独立的定义为： 厶( x ，y ) = f ( x ) l ( y )( 21 0 ) 该式左边为( 墨y ) 的联合概率密度，右边分别为两个变 i - 的边缘概率密度。可见，独立使得 多变元的联合函数分解成单变元函数因子乘积的形式，这给计算多维随机变茸的联合概率密 度函数带来了方便。类似地，两个随机变量相互独立意味着其中一个变颦的取值对另个变 增的取值不提供任何信息。( 2 1 0 ) 式的定义可以白然扩展剑任意n 维变姑，只不过等式右边 变成项边缘概率密度的乘积。 由定x k ( z 1 0 ) 还可以得山统计独立的一个很重要的性质。对任意给定的两个函数g 和 施，很容易让明总有f 式成立： e g ，( x ) g 。( 五) = e g ，( j ) ) e g ，( x ) ) 这里如果我们令g l ( x ) = x ，9 2 ( y ) = y ，则( 2 1 1 ) 式变成 e 叫 - e x e y ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 变鲑z y 的协方差等丁零，印它们不相关。由此可见，统计独立包涵着不相灭，而不棚关 只是独立的微弱形式。但是在后面我们将看到，_ l jp c a 进行去相关作为i c a 的预处理过科 可以人人减少i c a 的运算耸。 2 5 1 1 0 a 和盲源分离 2 510 a 模型及定义 盲源分离问题( b s s ) 足信号处理中一个传统而义极具挑战性的课题。肓源分离址指仪从 观测的池合信号( 通常是多个传感器的输出) 中恢复独立的游信号，这里的“阿”址 r ：1 源 信号烛不可观测的；2 ? 昆合系统足鼍千先求知的。各科学研究剐i ：“戍川中， h 多删洲信【j f i | ； 9 第一二章i c a 的捧奉原理及相天知珏l 可以假没成是不可见的源信号的混合。所谓的“鸡尼洒会”问题”i ( c o c k t a i lp a r t vp r o b l e m l 就是一个典) 诅的例子，见圈( 22 ) 所示，简单米说就是当似多人( 作为不同的f i ；哿源) 同时n ：一 个房间里说话时，声音信号由一组麦兜风记录f 米，这样每个麦克风记录的信号匙所订人声 音的一个混合，也就是我们所说的观测信号。接f 来的问题是：如似只从这卦【观测信号r | 】提 取每个说话者的卢音信号，即源信号。由丁输入输出两端的连接权值是术知的，所以属丁自 源分离的范畴。根据图( 2 2 ) 可以石山，如果这些连接权值是已知的，或者说混合系统烛已知 的，则上面的问题就蜕化成简单的求逆过程，也即求混合矩阵的逆矩眸。但是在更多的情况 f ，我们无法获取有关混合系统的先验知识，这就要求我们从观测信号米推断这个混合矩阵， 实现盲源分离。显然，盲源分离更具有实川价值。 i c a 技术止是为了解决亩源分离问题而不断发展起米的，并成为阵列信号处理和数据分 析中的有力f ：贝。将1 c a 席川在盲源分离中，能够从混台信号f f j 重现不可观测的源信号成 分，所利j j 的仅仅是假设源信号统计独立这样一个容易满足的先验条件。与传统的一阶方法 f 如p c a 等) 相比，i c a 不仅可以去除各分苗之间的一、一二阶相天性，同时还具有发拥= f ：七 除数据问的高阶相关信息的能力，使得输出分域相且独立。当前，i c a 在诸如语音j = ! 别、通 信、生物医学信号处理等很多领域都得到极人的重视，县有相当广阔的麻h 前景4 “”1 ”1 ”1 。 s p e a k e r1 s p e a k e r n 源信号 2 5 2ic a 的线性模型 m i c r o p h o n e1 m i c r o p h o n e2 m i c r o p h o n en 脱测信号 图2 2 “鸡尾洒会”问题框刚 现在从盲源分离的角度给山i c a 的线性模型及其定义。假设存庄n 个独立的源信呼 表示成信号欠鼙的形式，s ( f ) = i s ( f ) ，s ：( f ) ，s n ( f ) 】7 ，j ! z 意味着7 ，r 式成： p ( s ) = 兀p 。( s 。) ( 2 1 3 ) 以及n 个观测信号x q ) = i x l ( 皖z 2 ( f ) ，( f ) 】7 ，t = l ，2 ，t 。这些脱测信号地1 源信 号混合而成，h 混合是线性瞬时的，意味着对每个酣1 刻，部f 写成矩阵一向擐形式 _ ( ，) = 3 ) i = 1 ，n x ( f ) = a 5 ( f ) ( 21 4 ) ( 2 1 5 ) 其中a 是由混合系数组成的混合矩阵。对照( 2 1 4 ) 可见，矩阵a 的每个行向埴中的n 个元 素作为n 个源信号的加权系数对源信号进行混合，得到对应的个观测信号。但住有些时 候我们更加芙一1 5 , a 的列向姑。设a 。是a 的剁向螭，( 2 1 5 ) 的模型可以写成： 簟( f ) = a 。暑( f ) ( 2 1 6 ) 冈此观测信号义可理解为矩阵a 的列向鼙的一个线性混合，而对应的权重止是并个独0 源 信号。a ，之所以被荚注是网为它可以反腴独立源j ，( ，) 的空间模式。例如在多导腑【u 的 c a 分析中，a 的列向龄能够近似反映“脑电源信号”在人脑c - 的人概何置，闪此具有干 i 当丰 寓的生理意义”8 】1 2 。 经过a 线性混合后的观测信号x ( f ) 的徉个分域将才i 弭烛独立的，即 p ( x ) 兀p 。( _ ) ( 2 1 7 ) 如图2 3 所示，所i 日i c a 方法就足找剑一个线性变换w ，称之为解魁邛礼将它施加刊观 测信号x ( t ) ，使得再输山信号尽可能的相且独立。这里的w 从信号处理的伯度而u 称之为 空问滤波器，如果从神经网络的角度就是输入输山间的连接权值。当w 通过某种优化钟法 ，( ，) = w x ( t ) = w a s ( t ) ( 2 18 ) 第一章i c a 的缺奉原理发棚天土识 图2 3i c a 问题的基本枢幽 这时输山y ( t ) 是源信号s ( t ) 的一个估计。y ( t ) 的每个分请部是由观测信号线陛 f 合而成 组合的系数是解溉阵w 中对虑的行向耸的符个元素。换句话说，y ( t ) 的缚个分齄趋山wt 对戍的行向耸滤波的结果，故w 的行向姑义常被称为i c a 的空间滤波器。 见( 21 8 ) 式的z i 边，令p = w a ，则p 可以川米衡谊i c a 算法的分离性能，叫做性能矩 阵。显然当p = i ( i 为单俄矩阵) 时，估计的性能是一个最理想的情况，y t ) = s ( t ) 。但是 从盲源分离的观点看，y ( t ) 中的符个分培与s ( f ) 相比存在次序的不同以及对麻分培幅度相 筹个常数项都是可以容许的。这称为i c a 问题的不确定性，事实上造成这种4 i 确定性的 原田止是【天i 为没有关丁- 独立源的先验知识【3 0 | 。这时p 可以不再是单位阵，而只需j l 有这 样的性质：每行、每列有且仅有个。1 l ! 零元素。根据矩阵理论，p 总可以按f 式进行分解： p = w a = r s ( 2 1 9 ) 式中，r 是一个置换矩阵，s 是一个对角阵，这两个她阵就定义了性能矩阵p 。根据p 的 性质，不难得出这样的结论：如果s ( t ) 各个分鼙统计独立，则p s ( t ) 的各个分最仍然棚且独 立。这一性质同时也问接说明了i c a 的输山结果具有次序和幅度的不确定性。闪此从 一 方面可以说，如果w 是一个解混阵，! l ! i l 对p 进行门一化孙重新排序后，一定可以得剑一个 单位矩阵。 以上从亩源分离角度给出了i c a 的模型，还可以从多维信号线性描述的观点闸述i c a 模型。对丁给定的 维观测信号( f ) = x ( f ) ，x 2 ( f ) ，j ( f ) 】7 ，i c a 的目标灶寻找个新 的坐标系( w l ，w 2 ，w 。) ，再将x ( t ) 住这个坐标系1 2 1 琏) t ： 2 f 2 2 0 ) 镍二章i c a 的抹奉原理肢 h 爻乱l 谚 以至丁输f u 分颦y 1 ( f ) ，y 2 ( f ) ，y ( t ) 足相互统计独立的。这两十t 对i c a 问题的表述叫以1 ； 十分严密地被认为是等价的。 除了源信号相互独立这一基本假没外，住上述i c a 饪删的分析中还存住一些其它的限 制条件，它们也是保i 止模型得以确立的前提。主要有v i 面) l 条： 1 庄源信号函( ，) ，j ：( ，) ，j 。( ，) 中至多只有一个是：态分布的。 2 观测信号数日要人丁- 或笛丁源信号的数日。 3矩阵a 是列满秩的。 4 观测信号不含噪卢或只能是加性低噪卢。 2 5 3i c a 中的“球化” 由2 41 y 统计独立的概念告诉我们不相芙足独立的必要条什，而不是一个充分条1 ，| ：。对 1 ：独立的源信号s ( f ) = s ，( f ) ，s 2 ( f ) ，s 。( f ) 】7 ，各分鼙必然是不相关的，所以彳 e s f 5 ，) = e s 。 e 扣， _ o ，当f ( 2 2 1 ) 另外住i c a 输山结果中，被提取山分譬的幅度具有不确定性，分析式( 21 6 ) 可知，某1 分啭 s i 乘上一个系数所产生的作川，只需让对席的列向蟥a ，除以一个相同的数就可抵消。为丁 简单起见，一个很亡】然的想法就是对幅度进行l i 定，所以不妨假设独立源的能墩是门一的， e s 。2 = 1 i = 1 , 2 ，n ( 2 2 2 ) 上面两式同时成立等价丁源信号s ( t ) 的协方差矩阵是单位阵 c o v ( s 、= i ( 2 2 3 ) 满足式( 2 、2 3 ) 条件的多维源信号称作是空间白色的”1 ，或简称白色的。 对任意的多维信号施加一个线性变换，使其变为向色柏这样一个处理过样j 航为n 化，域 球化。对应的变换矩阵成为臼化矩阵。令w ；是对观测信号x ( t ) 的f 化矩阵，则 z ( f ) = w ，x ( f ) 是球化后的信号火域，于是有c o v ( z ) ：i 。再将( 2 1 5 ) 式代入上式，弗令w l a = x ( 2 ，2 4 1 船一章i c a 的艰奉j 景理发十天知识 z ( o = w 1 舡( ，) = 五s ( f )( 2 2 5 ) 由1 ：线性变换x 连接的是两个向色随机欠耸z ( f ) 平s ( ，) ，uj 以搿出x定足一个i 交 变换。如果把上式中的z ( o 看作新的观测信号，琊么可以说，n 化使原来的 皑仑l e 阵a 简 化成个新的j l 交矩阵x 。汪明也是简单的 e z z7 ) = e 盈s7 x 7 - x e s s 7 ) x7 = 五x 7 = i ( 22 6 ) 其实止交变换相当丁对多维久戢所在的坐标系进行一个旋转。f 剧以一维为例术说叫这个旋 转过程。 ( a ) 图2 a 一：维l a p l a c e 分布数据f 自r i 化处理 幽2 4 ( a ) 足两个独立源信号的敞点图，且边缘分布都桶rl a p l a c e 分布；( b ) 足( a ) 经过线 性混合屙的信号的敞点幽；削( c ) 是对( b ) 进行门化处理后的信号的敞点吲。可虬( c ) j ( a ) j l 芹 一个旋转过料。换句话说，如果把门化后的( c ) 石作新的观测信号，!