基于预测的邮轮定价策略.doc

摘要近年来乘坐邮轮旅游的人越来越多，邮轮公司的发展也非常迅速。如何通过合理的定价吸引更多的旅游者，从而为邮轮公司创造更多的收益，这也是众多邮轮公司需要探讨和解决的问题。在问题一中，我们通过利用已知数据进行多项式拟合、灰色预测和时间序列的手段，预测出了表2中的各航次每周实际预订人数非完全累积数据。得到结果见附件的sheet2；同样，利用多项式拟合的方法我们解决了问题二:预测每次航行各周预订舱位的价格。在第三问中，我们先通过时间序列中的二次指数平滑法完善了表四中的每航次每周意愿预定人数以及以此预测出公司每周给的预定平均价格，结果见表格。问题四中，为了得到游轮每次航行的最大预期售票收益模型，我们先构建了相应的每周预期销售票数量函数，和每航次预期售票收益函数，通过函数的求最值，解得第八次航行的最大预期售票收益为：579899元；第五问是由实际生活中的经验提出的关于实际上座未满的加价升舱。我们通过设计相应的升级折扣来确保高等级的仓位能全部满，这样就能使得预期收益最大。通过建立线性规划模型我们得到各航次的最佳的升级价格。关键词： 多项式拟合 ，灰色预测，时间序列 非线性规划问题重述已知某邮轮公司拥有一艘1200个舱位的邮轮，舱位分为三种，250个头等舱位，450个二等舱位，500个三等舱位。该邮轮每周往返一次，同一航次相邻两周之间价格浮动比不超过20%。现给出10次航行的实际预订总人数、各航次每周实际预订人数非完全累积表、每次航行预订舱位价格表、各舱位每航次每周预订平均价格表及意愿预订人数表、每次航行升舱后最终舱位人数分配表（详见附件中表sheet1- sheet5），邀请你们为公司设计定价方案，需解决以下问题：1.预测每次航行各周预订舱位的人数，完善各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2。（至少采用三种预测方法进行预测，并分析结果。）2.预测每次航行各周预订舱位的价格，完善每次航行预订舱位价格表sheet3。3.依据附件中表sheet4给出的每周预订价格区间以及每周意愿预订人数，预测出公司每周给出的预订平均价格。4.依据附件中表sheet1-sheet4，建立邮轮每次航行的最大预期售票收益模型，并计算第8次航行的预期售票收益。5.在头等、二等舱位未满的情况下，游客登船后，可进行升舱（即原订二等舱游客可通过适当的加价升到头等舱，三等舱游客也可通过适当的加价升到头等舱、二等舱）。请建立游客升舱意愿模型，为公司制定升舱方案使其预期售票收益最大。问题分析对于问题一，由于至少需要三种方法进行预测这里我们通过多项式数据拟合、时间序列模型、灰色预测这三种手段进行预测。利用多项式拟合先根据已知的数据拟合出大致的趋势和解析式，代入时间t进行求解预测；建立相应灰微分方程和直线趋势预测。对于问题二，由于前4期的1-14周数据全部给出，后面6期未知数据不断增多，我们仍然采用第一问中的多项式拟合进行数据的预测。第三问由于两部分数据均有缺失，我们先通过时间序列模型将每行每次预定人数预测并补全，由于还需要预测公司给的平均预定价格，我们还需要通过已知数据建立预定人数和给定平均价格的关系。这可以通过回归分析作出相应函数，在得到对应的预测的公司给的预定平均价格。第四问需要建立轮每次航行的最大预期售票收益模型，而收益是由销售量和销售价格决定，因此需要先确定销售量（实际会预定船票的人）和对应的销售价格。由此确定出最后的预期售票收益，再通过求函数的求最值得到最大预期收票模型，以此解决第八航次的最大预期收益。问题五在头等舱，二等舱未满的情况下允许通过加钱的方式进行仓位升级，我们需假设出三种仓位的实际预定人数，并设出相应的升级折扣，通过线性规划来确定受益最大的升级折扣。模型假设1. 假设所有数据均无误；2. 每种仓位每周预定价格在价格区间内服从平均分布；3. 当平均价格为上限时，有意愿购买人数就是实际人数；符号说明一次指数平滑值二次指数平滑值初始预定人数航次拟合的函数，用于预测一次移动平均数二次移动平均数平滑系数平滑系数加权系数第t周的价格区间上界第t周的价格区间的下界第t周的实际定价在定价下的乘客购票概率第t周有意向购买人数第t周实际购买人数第t周的收益升舱人数百分比a升舱所需加价R目标利润函数模型建立与求解问题一：方法1：多项式拟合由于sheet2中的十次数据中，前四次的全部数据已知，我们可以通过前四次的数据进行拟合，进而预测后6次的数据。可先根据前四次的数据散点图，判断整体趋势再设计合理的拟合函数。这里这里先做变换，以第一次的数据作图得到：曲线趋势近似指数曲线，.这里我们以第一次的头等舱数据进行拟合，得到下图：由此我们得到第一次头等舱的预定数量的拟合十次多项式：结果分析：如图所示拟合效果还较为理想，残差模仅为28.16。我们由此认为该函数可以进行预测。下面对表二中的数据进行多项式拟合，结果如下：头等舱：头等舱航次拟合函数5678910二等舱：二等舱航次拟合多项式函数5678910三等舱：三等舱航次拟合函数5678910通过代入数据到拟合多项式函数中，我们求解得到：航次头等舱二等舱三等舱第五航次1453381088第六航次241419485286425/515第七航次137474441145/460183/470第八航次178367400198422434217477465235/493第九航次169330426196393451225459468254/474/467第十航次119251382169336418233438525313560/（红色字体表示与测试超过理论最大值,划线部分由于超过理论值，舍去。）这里可以看到多项式拟合对第十次航行的预测效果较差，不建议采用这组数据。方法二：时间序列模型由方法一中的图可知，时间序列近似是现行的增加，考虑到简单平移移动的滞后性，我们采用趋势移动平均法来进行预测。我们假设时间序列从某时刻开始具有线性趋势，这在图中恩能够大致看出。由此我们可以设出直线趋势预测模型：其中t为当前星期数，m为由t致预测期的星期数，是平滑系数。我们引入如下概念：1. 一次移动的平均数：2. 二次移动平均：如下推导，取，得到：利用一次移动平均数化简，可以得到：由此可算出平滑系数。从而确定预测函数。预测结果如下：航次头等舱二等舱三等舱第五航次218424516第六航次223417509247435/第七航次235468468283/513/第八航次157357403183399448207444479232486520第九航次129326455155377510176428/200479/221/第十航次102310382130375415151436466177500503199/224/由上表的结果显示，预测效果仍然无法令人满意。方法三：灰色预测方法在建立模型前首先进行级比检验，这里仍然以第五次的头等舱的数据为例，首先列出参考数据列首先进行级比检验，发现对于，均能满足该要求，所以下面建立灰色预测模型：首先将参考数据列做一次累加的到：其中，建立均值数列：，由此建立灰微分方程：相应白化方程：，记,，有最小二乘法求得使达到最小的，于是求得方程的解：，而且有，求解的到航次头等舱二等舱三等舱第五航次218423514第六航次229412514265423/第七航次260/476/第八航次168368428209428/260/第九航次141345452183424518234/第十航次121344388177462437251/507/显然，灰色预测效果很不好，可能是由于有的地方已知数据量太少而预测数据过多造成，几乎不能达到预测效果。问题二：这里所知十个航次的三中仓位十四周的部分预定价格，这里我们仿照问题一的法一，利用多项式拟合。我们设出多项式函数：来进行拟合，通过已知数据拟合得出系数，再对未知的进行预测。这里我们为了保证拟合的良好效果并且符合数据的变化趋势，我们采用三次多项式进行拟合。所求得的结果如下表：头等舱：航次多项式表达式5678910二等舱：5678910三等舱：5678910通过上面三个表中所得的各个航次不同仓位的价格拟合函数，可以求得sheet3中空格处的预定价格，结果下表：航次头等舱二等舱三等舱第五航次16281053746第六航次1580122680314381175711第七航次165112539011547119882414251129714第八航次17121191914153510278341296809715989529550第九航次1720129295716011157910144697082712527297021016413538第十航次179611679731701963939155666186713532697491085/577747/343（红色字体为预测的不在价格区间的价格。）问题三：由于sheet4中，每航次每周预定平均价格和每航次每周意愿订购人数的数据均有缺失，我们先要补全每航次每周意愿订购人数。为了补全数据我们采用时间序列模型进行预测。由于一次指数平滑法再出现直线趋势时的滞后缺点，我们选用二次指数平滑法进行建模预测。为时间序列，为加权系数，其中有一次平滑公式：，由此建立预测模型： 在趋势类似直线时，我们有直线趋势模型：由此进行预测。为求出各周的模拟值，我们取这里我们通过选取第四航次的数据进行验证，发现加权系数选用0.2时，预测结果与实际数据最接近。下面均选用，具体运算结果如下：得到对应的每航次每周意愿预定人数。补全每航次每周意向预定人数的数据。得到如图：头等舱二等舱三等舱同样方法，我们能预测出公司的定价。结果如下所示;头等舱二等舱三等舱。问题四：预期售票收益是由每航次各个周意向预定人数和和相应的周预定价格所决定。这两篇我们设游轮的每种仓位的最大仓位数为，游轮票的销售时间为T周，预售船票的实际需求量为，实际的总收益为，t表示具体的销售期内的某一周，是在该周内定的预售票的价格，表示第t周的价格区间的上界，表示第t周的价格区间的下界，是顾客真正购买预定售票的概率，表示在该定价下真正会购买预售票的概率。表示该周内有意向购买预售的人数。由于在sheet4中，有假设：每种仓位每周预定价格在价格区间内服从平均分布，且当平均价格为上限时，有意愿购买人数为实际人数。由此我们可以确定出。由此可得到第t周的实际需量：由此得到第t周的总收益：，每次航行的总收益为E：利用次模型，可解得第八次航行的最大预期收益为：579899元。问题五：在头等、二等舱位未满的情况下，为了使得邮轮公司的利益得以扩大，邮轮公司可原来价格上适当地加价，刺激游客升舱。然而如果只是补差价来进行升舱，那么没人愿意升舱，因为是相同的价格，不如当初就预定更好的舱位。如果增加价格为0。那么几乎所有人都愿意升舱。我们假设每舱升舱人数占该舱现有人数百分比与加价呈负线性关系，那么由以及，（为差价）可以得到关系式：即记三等舱升二等舱、头等舱，和二等舱升头等舱需要的加价分别问，那么由上面的分析可知相应舱的升舱人数占本舱中人数百分比百分比为.记每周某一航次的头等舱，二等舱，三等舱价格为,现有人数为于是可得增加利润的目标函数相应的约束条件为Lingo求解，得：第一航次三升二加价205第六航次三升二加价208三升一加价870三升一加价896二升一加价494二升一加价509第二航次三升二加价220第七航次三升二加价204三升一加价931三升一加价885二升一加价507二升一加价505第三航次三升二加价208第八航次三升二加价213三升一加价910三升一加价875二升一加价497二升一加价502第四航次三升二加价220第九航次三升二加价215三升一加价926三升一加价909二升一加价491二升一加价497第五航次三升二加价199第十航次三升二加价206三升一加价950三升一加价867二升一加价558二升一加价487模型优缺点优点：1.通过理想化的假设，使得模型简洁。2. 模型具有一般性，通过修改参数即可套用到别的模型的预测。缺点：1. 由于采取理想化的假设，建立的简单模型，求解中会有与实际数据的偏差。参考文献：1 姜启源 数学模型 北京，高等教育出版社2韩中庚 数学建模方法及其应用 北京，高等教育出版社3司守奎 数学建模算法及应用 北京，国防工业出版社附件： 灰色预测MATLAB代码：format long n=length(X0);sigma=X0(1:n-1)./X0(2:n);range=minmax(sigma);X1=cumsum(X0); for i=1:n-1B(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1);B(i,2)=1;Y(i)=X0(i+1);endu=(B*B)(-1)*B*Y;a=u(1,1);b=u(2,1);d=b/a;c=X0(1)-d;X2(1)=X0(1);X(1)=X0(1);for i=1:n-1X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;X(i+1)=X2(i+1)-X2(i);endfor i=(n+1):(n+k)X2(i)=c*exp(-a*(i-1)+d;X(i)=X2(i)-X2(i-1);endfor i=1:nerror1(i)=X(i)-X0(i);error2(i)=abs(error1(i)/X0(i);endC=std(error1)/std(X0);rho=1-(1-0.5*a)/(1+0.5*a)*sigma;时间序列：（1）load renshu.txtyt=renshu;n=length(yt);alpha=0.3;st1(1)=yt(1);st2(1)=yt(1);for i=2:n st1(i)=alpha*yt(i)+(1-alpha)*st1(i-1); st2(i)=alpha*st1(