线性代数精华总结难记公式汇总(考试必备).pdf

- 1 - 线性代数 1. 上（下）三角形行列式的值为对角线元素的乘积。 2. 行列式与它的转置行列式相等。 3. 互换行列式的两行（列） ，行列式变号。 4. 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k 等于用数 k 乘以此行列式。 5. 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 6. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 7. 在 n 阶行列式中，把元素 aij所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做元 素 aij的余子式余子式，记作 Mij； ij ji ij MA ) 1(，叫做元素 aij的代数余子式代数余子式。 8. 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 9. 行列式某一行（列）的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 10. 数与矩阵 A 的乘积等于乘以 A 中的所有元素。 11. 矩阵 nmnssm CBA TT AA)( TTT ABAB)( 12. 对称矩阵对称矩阵：AAT 元素以主对角线为对称轴对应相等。 13. 方阵：AA n BAAB BAAB 14. 矩阵 A 的伴随矩阵伴随矩阵： 行列式A的各个元素的代数余子式 ij A所构成的矩阵 A*（横求竖写） 。 EAAAAA * 15. n 阶矩阵：AB=BA=E，B 称为 A 的逆矩阵逆矩阵；记作 1 AB。 16. 若矩阵 A 可逆A0。 17. 逆矩阵的性质： A A A * 1 ， 111 )( ABAB ， A A 1 1 ， 1 1 1 AA 18. A0 时的矩阵称为奇异矩阵奇异矩阵，否则称非奇异矩阵非奇异矩阵。可逆矩阵是非奇异矩阵。 19. 分块对角矩阵： s AAAA 21 1 1 2 1 1 1 0 0 s A A A A 20. A 的转置矩阵 AT的秩)()(ARAR T 。 21. 可逆矩阵的秩等于阶数，又称满满秩矩阵秩矩阵（非奇异矩阵） ；而奇异矩阵又称降秩矩阵降秩矩阵。 - 2 - 22. 对角矩阵 m 左乘 A 等于 A 的每一行乘以中与该行对应的对角元。 T mm T T T m T T m nmm A 22 11 2 1 2 1 23. 对角矩阵 m 右乘 A 等于 A 的每一列乘以中与该列对应的对角元。 ),(),( 2211 2 1 21nn n n aaaaaaA 24. 克拉默法则克拉默法则：如果非齐次线性方程组的系数行列式 D0，则方程组有唯一解。 25. 如果齐次线性方程组的系数行列式 D0，则齐次线性方程组只有零解。 26. 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式 D=0。 27. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式 D=0。 28. n 元齐次线性方程组0 xA nm 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩nAR)(。 29. n 元非齐次线性方程组bxA nm 有解的充分必要条件是)()()(BRbARAR。 当)()(BRAR时，方程组无解； 当nBRAR)()(时，方程组没有自由未知量，只有唯一解； 当nrBRAR)()(时，方程组有 n-r 个自由未知量，有无限多解。 30. 方程的个数小于未知量的个数有非零解。 31. 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。 32. 对 nm A 实施一次初等行变换，相当于左乘 m 阶初等矩阵；对 nm A 实施一次初等列变换， 相当于右乘 n 阶初等矩阵。 33. 可逆矩阵等于有限个初等矩阵的乘积。 34. 求BAX ，BAX 1 )()(XEBA 求BXA ， TTT BXA )()( TTT XEBA TT XX)( 35. 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是)()(bARAR，。 36. 若 nssmnm BAC ，则矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B 为系数矩 - 3 - 阵；同时，C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示，A 为系数矩阵。 37. 设矩阵 A 经初等变换变成矩阵 B，则 B 的每个行向量都是 A 的行向量组的线性组合，即 B 的行向量组能由 A 的行向量组线性表示。 38. 给 定 向 量 组 m aaaA, 21 ：， 如 果 存 在 不 全 为 零 的 数 m kkk, 21 ， 使 0 2211 mma kakak，则称向量组 A 是线性相关线性相关的。否则称线性无关。 39. 向量组线性相关向量组线性相关，就是在向量组 A 中至少有一个向量能由其余向量线性表示。 40. 向量组 m aaaA, 21 ：线性相关的充分必要条件是：mAR)(（m 为向量个数） ；向量组 线性无关的充分必要条件是：mAR)(。 41. 若向量组 m aaaA, 21 ：线性相关，则向量组 121 , mm aaaaB：也线性相关；反之， 若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。 42. 若向量 aj添上一个行分量后得向量 bj：若向量组 m aaaA, 21 ：线性无关，则向量组 m bbbB, 21 ：也线性无关。反言之，若向量组 B 线性相关，则向量组 A 也线性相关。 43. m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关。 44. 设向量组 m aaaA, 21 ：线性无关，而向量组baaaB m, , 21 ：线性相关，则向量 b 必 能由向量组 A 唯一线性表示。 45. 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。 46. 设向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则)()(ARBR。 47. 设向量组 B 是向量组 A 的部分组，若向量组 B 线性无关，且向量组 A 能由向量组 B 线 性表示，则向量组 B 是向量组 A 的一个最大无关组最大无关组。 48. 设 nssmnm BAC ，则)()(ARCR，)()(BRCR。 49. 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 对于加法和数乘两种运算封闭，就 称集合 V 为向量空间向量空间。n 维向量的全体 Rn是一个向量空间。 50. 由向量组 m aaa, 21 所生成的向量空间生成的向量空间为 ,| 212211 RaaaxV mmm 51. 设有向量空间 21 VV 及，若 21 VV ，就称 21 VV 是的子空间子空间。 52. 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 r aaa, 21 且满足： - 4 - r aaa, 21 线性无关； V 中的任一向量都可由 r aaa, 21 线性表示； 那么，向量组 r aaa, 21 就称为向量空间 V 的一个基基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间维向量空间。 53. 向量组 r aaa, 21 的最大无关组就是V的一个基， 向量组 r aaa, 21 的秩就是V的维数。 54. 解空间的基称为基础解系基础解系。个数：nr，即自由未知量的个数。 55. 设 21 xx及都是非齐次方程组的解，则 21 x为对应的齐次线性方程组的解。 56. 设x是非齐次方程组的解，x是齐次方程组的解，则x仍是非齐次线性方程 组的解。 57. nny xyxyxyx 2211 ,称为向量 x 与 y 的内积内积。 58. x 与 y 都是列向量时yxyx T ,。内积性质：,yxyx 59. n 维向量向量 x 的长度的长度（或范数） ： 22 2 2 1 , n xxxxxx。当1x时，称 x 为单单 位向量位向量。 60. 施瓦茨不等式施瓦茨不等式：向量的内积满足, 2 yyxxyx。 61. 设 n 维向量 r eee, 21 是向量空间)( n RVV的一个基，如果 r eee, 21 两两正交，且都 是单位向量，则称 r eee, 21 是 V 的一个规范正交基规范正交基。 62. 施密特规范正交化过程： 正交化： 11 ab ； 1 11 21 22 , , b bb ab ab； 2 22 32 1 11 31 33 , , b bb ab b bb ab ab 1 11 1 2 22 2 1 11 1 , , r rr rrrr rr b bb ab b bb ab b bb ab ab。 单位化： 1 1 1 1 b b e ， 2 2 2 1 b b e ， r r r b b e 1 。 63. 若 n 维向量 r aaa, 21 是一组两两正交的非零向量，则 r aaa, 2 , 1 线性无关。 64. 如果 n 阶矩阵 A 满足)( 1TT AAEAA 即，则称 A 为正交矩阵正交矩阵。 65. 方阵 A 为正交矩阵地充分必要条件是 A 的列（行）向量都是单位向量，两两正交。 - 5 - 66. 设 A 是 n 阶矩阵，如果数和 n 维非零列向量 x 使关系式xAx（即0)(xEA）成 立，那么，这样的数称为方阵 A 的特征值特征值；非零向量 x 称为 A 的对应于特征值对应于特征值的特的特 征向量征向量。 67. 方阵 A 的特征方程有非零解的充分必要条件是：系数行列式0 EA。 68. 特征值性质： nnn aaa, 221121 A n 21 若是 A 的特征值，则 kk A是的特征值 69. 设 m , 21 是方阵 A 的 m 个特征值， m ppp, 21 是与之对应地特征向量。如果 m , 21 各不相等，则 m ppp, 21 线性无关。 70. 设 A，B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使BAPP 1 ，则称 B 是 A 的相似矩阵相似矩阵。 71. 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值亦相同。 72. 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 n 2 1 相似， 则 n , 21 是 A 的 n 个特征值。 73. 把方阵 A 对角化对角化：对 n 阶矩阵 A，求相似变换矩阵 P，使 APP 1 为对角矩阵。 74. n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特 征向量。 75. 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角矩阵相似。 76. 设 21, 是对称矩阵 A 的两个特征值， 21, p p是对应的特征向量。若 21 ，则 21 pp 与正 交。 77. 设 A 是 n 阶对称矩阵，是 A 的特征方程的 r 重根， 则矩阵EA的秩rnEAR)(， 从而对应特征值恰有 r 个线性无关的特征向量。 78. 设 A 是 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P，使 APP 1 ，其中是以 A 的 n 个特征值 为对角元素的对角矩阵。 79. 含有 n 个变量 n xxx, 21 的二次齐次函数，称为二次型二次型。可记作Axxf T nnnnnnnn xxaxxaxxaxaxaxaxxxf 1, 131132112 22 222 2 11121 222),( - 6 - 80. 只含平方项的二次型，称为二次型的标准型二次型的标准型（或法式） 。 22 22 2 11nny kykykf 81. 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵。 82. 任给可逆矩阵 C， 令ACCB T ， 如果 A 为对称矩阵， 则 B 亦为对称矩阵， 且)()(ARBR。 83. 任 给 二 次 型)( 1, jiij n ji jiij aaxxaf ， 总 有 正 交 变 换Pyx ， 使 f 化 为 标 准 型 22 22 2 11nny yyf，其中 n , 21 是 f 的矩阵)( ij aA的特征值。 84. 设有实二次型Axxf T ，它的秩为 r，有两个实的可逆变换Cyx 及Pzx 使 )0( 22 22 2 11 irr kykykykf及)0( 22 22 2 11 irrz zzf， 则 r kkk, 21 中 正数的个数与 r , 21 中正数的个数相等。惯性定理惯性定理 85. 设有实二次型Axxf T ，如果对于任何0x，都有)0)0(0)(fxf显然，则称 f 为正 二次型，并称对称矩阵 A 是正定的正定的；如果对于任何0x，都有0)(