（环境科学专业论文）小尺度水平柱体在水波与内波场中的受力模拟.pdf

a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h eb u s i n e s so ft h ep o r t sa n dt h ee x t r a c t i o no fo f f s h o r eo i la r e d e v e l o p i n gf a s t t h eo f f s h o r es t r u c t u r en e e d st os t a n dt h ef o r c e so fw i n d ，w a v e ， c u r r e n ta n ds oo n t h ef o r c eo fw a t e rw a v ei st h ek e yf a c t o rt ob ec o n s i d e r e d f u r t h e r m o r e ，u n d e r w a t e rf a c i l i t i e sa r cd a m a g e ds e r i o u s l y ；e s p e c i a l l yt h eb r e a ko ft h e s u b m a r i n eo i lp i p e l i n e sw h i c hc a u s et h el e a k i n go fo i la n d b r i n gg r e a tp o l l u t i o nt ot h e m a r i n ee n v i r o n m e n t t h e r e f o r e ，t h es t u d yo fw a v ef o r c ea c t i n go no f f s h o r es t r u c t u r e s h a sq u i t ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n db r o a dp r o s p e c t s t h et w o d i m e n s i o n a l w a v et a n ka n dt h ef o r c eo ft h es u r f a c e a n di n t e r n a l w a v eo nt h es l e n d e rs t r u c t u r ea r e s t u d i e da n dt h er e s u l t sa r eo u t l i n e da sf o l l o w i n g ： ( 1 ) ：t h ea i r - w a t e ri n t e r f a c ei st r a c k e db yv o fm e t h o d t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n s o fn u m e r i c a lm o d e l sa r ec o n t i n u i t ye q u a t i o na n dn se q u a t i o n t h eb o u n d a r y o fe n t r a n c ei sb u i l tb yw a v e - m a k i n gm a c h i n eo fb o a r d - p u s h i n gt om a k e w a v e s a na r t i f i c i a ld a m p i n gl a y e ri sp r e s e n t e dt oa b s o r bt h er e f l e c t i o nw a v e t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n sa r ed i s c r e t eb yt h em e t h o do ff i n i t ev o l u m e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r e s e n tw a v et a n l ( w o r k sw e lli nm a k i n ga n d e l i m i n a t i n gw a v e b yc o m p a r i n gt h ec o m p u t i n gr e s u l tw i t ht h e o r e t i c a lr e s u l t ， t h eg o o dp e r f o r m a n c eo fw a v et a n ki sv a l i d a t e d ； ( 2 ) ：b a s e do nt h er e s u l to ft h es i m u l a t i o nw a v ef i e l d ，t h em o r i s o ne q u a t i o ni s a p p l i e dt oc o m p u t et h ew a v ef o r c eo fh o r i z o n t a ls l e n d e rc y l i n d e r i ti sf o u n d t h a tt h ef o r c eo fs t r u c t u r ei ss i m i l a rt ot h ev e l o c i t yi ns u r f a c e w a v ef i e l d i ti s p r o v e dt h a tt h ec o n v e c t i v ea c c e l e r a t i o ni sm u c hs m a l lc o m p a r i n gt ot h el o c a l a c c e l e r a t i o n ； ( 3 ) ：t h et w o - d i m e n s i o n a lw a v et a n ko fs u r f a c e a n di n t e r n a l - w a v ei sb u i l t t h e m o r i s o ne q u a t i o ni sa p p l i e dt oc o m p u t et h ef o r c eo fs l e n d e rh o r i z o n t a l c y l i n d e ri ns u r f a c e a n di n t e r n a l - w a v ef i e l d t h ef o r c eo fs u c hh o r i z o n t a l c y l i n d e ri sc o m p u t e du n d e rt h es i t u a t i o no fh o l m b o et y p eo c e a nsd e n s i t y d i s t r i b u t i o n i tc o n f i r m e dt h a tt h ec o n v e c t i v ea c c e l e r a t i o ni sm u c hs m a l l c o m p a r i n gt ot h el o c a la c c e l e r a t i o ni ss t i l lh o l di nt h ei n t e r a c t i o nf i e l do f s u r f a c e - a n di n t e r n a l - w a v e t h es u r f a c e w a v eh a ss t r o n gi n f l u e n c eo nt h e i n t e r n a l w a v e t h eh o r i z o n t a lw a v ef o r c ec a u s e db yt h ei n t e r n a l - w a v e i s s m a l la n do n l yi n t r o d u c i n gt h eh i g hf r e q u e n c yo s c i l l a t i o n ，w h i c hi n c r e a s e s t h ep r o b a b i l i t yo fr e s o n a n c eo ft h eh o r i z o n t a lm u l t i c y l i n d e rs t r u c t u r e t h e i n e r t i af o r c ei sm u c hl a r g e rt h a nd r a gf o r c e ； ( 4 1 ：t h em o m e n t u ms o u r c e m e t h o di sa d o p t e dt og e n e r a t ew a v ea n dt h e t w o d i m e n s i o n a lw a v et a n kw i t hw a v ea b s o r p t i o nl a y e ro nt h el i f ta n dr i g h t b o u n d a r y t h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h a to fm o r i s o nf o r m u l a f i n a l l y ， t h er e c o m m e n d a t i o nv a l u eo ft h ew a v ec o e f f i c i e n to f t h es m o o t hh o r i z o n t a l s l e n d e rc y l i n d e rw a sg i v e n k e yw o r d s ：w a v ef o r c e ，i n t e r n a lw a v e ，m o m e n t u ms o u r c e s ，m o r i s o n e q u a t i o n ，v o f m e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丞洼太堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：鹰i 多 签字日期：乙p 够年月歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞洼太堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权丞洼太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：乙d 够年 p 够 日 导师签名：乓公一 签字日期： ( ) 孑年( 月日鹰阳 天津大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 课题背景及研究意义 第一章绪论 2 l 世纪是海洋的世纪。随着社会的高速发展，各国对能源的需求与日俱增。 而辽阔的海洋为人类提供了广阔的活动空间和丰富的资源能源，特别是近岸海域 则是目前人类活动的主要场所，而这种开发利用活动也必将随着人类的需求与科 技的进步逐渐由浅海向深海、简单工况向复杂工况过渡。为了保证海上交通、海 上采油、海洋渔业等各种活动的顺利进行，人们在近岸海域或海底修建了各种海 工建筑物，如码头、海上采油平台、海底石油管线等。近岸波浪是近岸海洋环境 中最重要的动力因素之一，它威胁防波堤等近岸工程建筑物的安全与稳定，能够 引起海洋污染物的输移扩散、海岸泥沙运动、海岸变迁和近岸水体交换。因此近 岸波浪的研究，对近岸工程设计、浅海生产作业、近岸环境保护等方面都具有十 分重要的意义。尤其在当前，随着沿海地区社会经济的不断发展，人类在海岸带 地区的活动日趋频繁，沿海工程项目的数量越来越多，投资规模越来越大，工程 项目的风险性也越来越引起人们的高度关注，这些都对近岸波浪及结构物波浪荷 载等海洋环境要素的精确预测提出了更高的要求。因此提供精确、实用的近岸波 浪及波浪力计算方法，是工程界面临的重要任判1 | 。 1 2 波浪及波浪力的数值研究综述 1 2 1 波浪数值模拟概述 波浪是港口海岸工程设计中最为重要的动力因素之一，波浪向浅海传播过程 中，在海底地形、水深、障碍物和水流等各种因素的影响下，将发生浅水变形、 折射、绕射、反射、能量耗散及破碎等一系列复杂现象。尤其是近岸波浪，是引 起海洋污染物输移、海岸变迁和近岸水体交换的关键因素，直接关系到近岸工程 建筑物的安全，与海岸工程、海洋环境保护、海洋养殖和海洋旅游的建设和发展 息息相关。 最早开始研究波浪的是l a g r a n g e ，随后有c a u c h y 和p o i s s o n 。此后，a i r y ， s t o k e s ，g e r s t n e r ，k o r t e w e y ，d e v r i e s ，r u s e l l 等都为波浪理论的发展做出了不可 磨灭的贡献。他们的研究成果作为波动力学的经典理论在实际工程中得到了大量 天津大学硕士学位论文第一章绪论 的应用，并被许多有关波浪的专著所引用和讨论【2 - - 4 。 目前，海岸工程界广泛应用的有两大类波浪数学模型，即能量平衡模型和质 量、动量守恒模型5 1 。基于能量守恒原理建立的能量平衡模型，一般用来预测海 洋深水波，它不能反映由近岸海底地形和建筑物引起的波浪绕射和反射效应。从 流体动力学的质量守恒方程和动量守恒方程出发，可建立起经典的水波理论体 系，从而建立适于计算近岸浅水波浪的质量、动量守恒模型。质量、动量守恒模 型在海岸工程中应用最为普遍，并且内容丰富，数值技巧多样。代表性的模型主 要有：缓坡方程f 6 】、b o u s s i n e s q 方程t t 、l a p l a c e 方程以及n a v i e r s t o k e s 方程【8 ，9 1 。 缓坡方程模型：e c k a r t ( 1 9 5 2 ) t l o 】首次得到了适用于浅水的缓坡方程。对水深 无限制的条件下，b e r k h o f f ( 1 9 7 2 ) 在线性理论中引入了一个表示地形缓变的参数， 并利用摄动法( p e r t u r b a t i o nm e t h o d ) 导出了一个二阶微分方程式，称之为缓坡方程 ( m i l d s l o p ee q u a t i o n ) 或b e r k h o 劝程。该方程为椭圆型，它不仅可以直接求解波 浪折射绕射问题，同时也为其他类似模型的发展提供了基础。缓坡方程又主要分 为两类：一类是r a d d e r i 提出的抛物型缓坡方程；另一类是c o p e l a n d i 坦】提出的双 曲型缓坡方程。 b o u s s i n e s q 浅水短波模型：b o u s s i n e s q 方程是在l8 7 2 年b o u s s i n e s q 假定垂 向加速度不为零而得到。目前b o u s s i n e s q 方程已广泛应用于非线性波模拟，而且 人们在改善方程的色散性方面做出了大量工作，从而将b o u s s i n e s q 方程的应用范 围向深水区拓展。 l a p l a c e 方程模型：l a p l a c e 方程是工程计算中常遇到的方程。它可直接求解 势波理论的三维l a p l a c e 方程，可以精确模拟完全非线性波浪的传播变形。但不 能描述波浪的破碎情况。求解l a p l a c e 方程的主要方法有：有限元法、有限差分 法和边界元法。 n a v i e r - s t o k e s 方程模型：n a v i e r - s t o k e s 方程是流体力学中著名的数学方程。 这种模型流场的控制方程为不可压缩粘性流体的连续性方程和n a v i e r - s t o k e s 方 程。 上述模型采用的离散化方法主要有有限差分法、有限元法和有限体积法。 有限差分法( f d m ) 是数值解法中最经典的方法。它将求解域划分为差分网格， 用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程( 控制方程) 的导数 用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。求差分方程组 的解，就是微分方程定解问题的数值近似解，是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法。差分方法的计算精度较其它的方法稍低，并且传统的矩 形网格不能较好的适应复杂的边界。近年来提出的梯形、三角形网格和边界拟 合坐标法，将会适当弥补矩形差分方法的缺憾。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 有限元法也是广泛应用的流体动力学数值计算方法。有限元法将一个连续的 求解域任意划分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数， 然后根据极值原理，将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体 的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件 的代数方程组，求解该方程组就得到了各节点上待求的函数值。有限单元法具有 任意局部加密、边界适应能力强、通用性强及精度高等优点，但是有限单元法存 在计算所需存储量大的缺点。 有限体积法( f v m ) ：又称控制体积法，其基本思路是将计算区域划分为一 系列不重复的单元( 即控制体积) ，并使每个网格节点周围有一个控制体积，以网 格节点上的因变量数值为未知数，假设其在网格节点之间的分布规律，将控制方 程对每个控制体积积分，合成一组离散方程，结合边界条件和初始条件求解。是 近年来发展非常迅速的离散化方法，特点为计算效率高。有限体积法要求因变量 的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。 这是有限体积法吸引人的优点。 本文中数值模型的基本方程为n a v i e r - s t o k e s 方程模型，离散化方法采用有限 体积法。 1 2 2 波浪力数值模拟概述 作用在近海结构上的波浪力的计算是结构设计中最基本的任务，同时也是最 困难的任务之一，是海洋工程领域研究的重点。 确定作用于海洋工程结构物上的波浪荷载，一般采取两种方、法【1 3 】。一种称为 设计波法，即用一给定周期的波浪代表一定环境条件下出现的最大波，再根据一 种恰当的波浪理论来描述波浪的响应特征，如波浪的剖面、水质点的速度和加速 度等，利用一般流体力学的方法计算波浪力。设计波法是根据理想化的规则波来 计算波浪力，它虽不能完全反映不规则波对海洋结构物的作用，但计算方法简便， 使用方便，常为海洋工程设计采用。另一种方法是随机分析方法或概率方法，它 是建立在海况的统计特征上的，它将实际海面上不规则的波浪认为是由许多具有 随机相位的简单波叠加而成。用此方法可以在某一置信度内得到结构的最大应 力、位移等特征响应结果。在本研究中采用设计波法计算结构物的波浪荷载问题， 这也是海上平台规划m j 中规定的波浪力的计算方法之一。 对于海工结构物上的波浪力，一般依据结构物尺度是否对波浪运动有显著影 响，将问题分为小尺度波浪力计算和大尺度波浪力计算两类。对于大尺度物体， 它必须考虑物体的自由表面效应和相对尺度效应，被合起来称为绕射效应。 ( 1 ) 对于相对尺度较小的海工结构物，通常采用1 9 5 0 年由美国加利福尼亚 天津大学硕士学位论文第一章绪论 州伯克利大学的莫里森( m o r i s o n ) 提出的方法计算，目前通称为莫里森方程。这是 一个半经验半理论公式。尽管这个公式存在相当的局限性，但其简单的形式和明 确的物理意义，一直被研究和工程设计沿用至今。它认为当构件直径d 与波长三 相比很小( d l 0 1 5 ) 时，波浪场将基本上不受桩柱存在的影响而传播。这时其 所受波浪力可视为由两部分力组成：一部分由未扰动的波浪速度场所产生的速度 力；另一部分是由波浪加速度场所产生的加速度力( 在后面章节中将会有详细的 叙述) 。利用这种方法计算的关键在于选定一种适宜的波浪理论和相应的拖曳力 系数与惯性力系数。所以在过去的三十多年中海洋学者们进行了大量的试验研究 和原型观测工作，以确定波浪作用下各种小尺度结构物上的水动力系数。 s a r p k a y aa n di s a a c s o n 【1 5 】对此进行了很好的总结。大量的研究表明力系数c d 、c m 同雷诺数r e 、k c 数及表面粗糙度有关。因为水质点的速度和加速度与所选的波 浪理论有关，所以选用的系数应与选用的波浪理论一致。为了方便，本文选取系 数时参照了李玉成的实验和毕家驹的教材【l - q 。赵德廷1 1 8 1 还用试验的方法研究 了海底水平圆管的正向波浪力系数，并指出采用不同的统计方法将得到不同的拖 曳力系数和惯性力系数。此外由于公式中的拖曳力项含有速度二次方的非线性 项，在一定现实问题中，往往有必要将这一非线性项线性化。随着不断的应用， 已存在m o r i s o n 方程的各种修正形式，并推广应用于不同领域。 对于小尺度和中小尺度结构物上的波浪力问题，可以利用求解n s 方程进 行数值模拟。 ( 2 ) 对于相对尺度大的海工结构物上的波浪力计算，目前主要采用线性和非 线性绕射理论。它由马哥卡姆( m a cc a m y ) 和富克斯( f u c h s ) 等在1 9 5 4 年提出。它 假定流体是不可压缩的理想流体，运动是有势的。先找出在结构物边界上，结构 物对入射波的散射速度势和未受结构物扰动的入射波的速度势，两者迭加后即为 结构物边界扰动后的速度势，应用线性化的贝努利方程确定结构物边界上的波压 强分布，从而便可计算出波浪作用在结构物上的力和力矩。还有的研究采用所谓 的弗汝德一克雷洛夫( f r o u d e k r y l o v ) 假定，利用入射波压力在结构表面受压面积 上积分计算波浪力l l9 1 。对大尺度结构物的波浪力计算多集中在直立在海上的桩柱 类物体上的波浪力计算。俞聿修、张宁川1 2 0 对桩柱和群柱受到的波浪力进行了较 为详细的试验研究，窦新玉等【2 l j 对大尺度圆柱和群墩结构上的波浪力和随机波浪 力进行了详细计算，并形成了水运工程技术规范。 关于内波对结构物的载荷研究不多。蔡树群等( 2 0 0 2 ) | 2 2 首次正式将m o r i s o n 公式应用到孤立子内波对小直径圆柱形垂直桩柱的作用力的求解上，为内波波浪 力问题的研究开阔了思路；叶春生等( 2 0 0 5 ) t 2 3 】同样采用m o r i s o n 公式，理论和数 值求解了不同水深和圆频率下内波作用于小尺度圆柱体上的荷载，给出了荷载垂 天津大学硕士学位论文第一章绪论 向分布的特性，并指出了内波破坏的可能机制。但他们的研究是在刚盖假设条件 下进行的，未考虑自由面的波动，故不能较好的与现实海洋相符合；陈旭等( 2 0 0 6 ， 2 0 0 7 ) 1 2 4 2 5 通过相似理论与兀定理的分析，在二维内波水槽中对背景内波场作用 下r a n k i n e g g 形体垂向升力进行了实验研究，给出了升力系数与内波要素、物体 所在深度的关系，对该领域后续研究具有重要的参考价值；d ut a o 等( 2 0 0 7 ) 2 6 】指 出计算小物体的内波波浪力时，仍可使用m o f i s o n 公式，并且，海水密度的不均 匀性对波浪力计算的影响很小。c a i 等人【2 。7 1 发现内波的一阶模式是控制圆柱体受 力的主要因素，并建立了圆柱体受力的近似计算公式。国外学者大多关注振动物 体在层化流体中产生内波及相应受力问题。e r m a n y u k 和g a v r i l o v ( 2 0 0 2 ) i 邛j 研究了 圆柱体在有限深连续分层及均匀分层流中的附连质量系数和阻尼系数；l a i 和 l e e ( 1 9 8 1 ) 2 9 及e r m a n y u k ( 2 0 0 0 ) 3 0 】主要进行了振动物体兴波及其受力的实验和理 论分析，对某一确定内波场中结构物的受力没有论述：k i s t o v i c h 和c h a s h c h k i n ( 2 0 0 1 ) 【3 1 1 理论分析了二维粘性分层流体中单色内波对刚性水平面的压力，其解决 问题的思路类似于莫里森公式，同是先求流场，再求受力问题。这些研究采用的 方法相近，得到的结论却不太一致，有待进一步检验。 1 3 本文主要工作 本文的主要工作如下： ( 1 ) 系统地学习了有关波浪和内波的理论及知识，为海洋结构物的内波荷载 研究打下基础； ( 2 ) 建立二维内波水槽，抛弃传统研究的“缸盖假设 ，数值模拟了表面波 影响下的内波及其特性，研究了仿真现实海洋h o l m b o e 模式密度分布的 内波场； ( 3 ) 采用m o r i s o n 公式，对圆柱体分别存在于表面波场和内波场情况下所受 波浪力进行了计算与分析，特别是对表面波与内波联合作用下的结构物 波浪荷载问题进行了分析，得出一些有价值的结论，为近岸结构物的设 计施工提供一定的参考； ( 4 ) 通过在动量方程中添加动量源的方法，发展了黏性流数值造波和消波的 方法，建立了具有造波和消波功能的二维数值波浪水槽。数值研究了波 浪场中小尺度物体的受力情况，模拟结果与m o r i s o n 公式结果进行了对 比： ( 5 ) 系统地总结了本文成果，结合实际问题进行了分析，对后续研究做了展 望。 天津大学硕士学位论文第二章数学模型与数值方法 第二章数学模型与数值方法 本章主要对水波模拟所采用的数学模型及其求解方法进行回顾和总结，重点 阐述了n s 方程及方程离散求解方法。对数值处理技术包括自由面跟踪、造波、 消波技术和网格技术做了详细论述。 2 1 数学模型 2 1 1 控制方程 自然界中水体的水面波动问题可以视为有界面的互不相渗透的两相流动问 题。如果我们需要了解界面处的能量传递和界面附近的流动情况时，就需要用有 界面的两相流动理论求解，在大气和水体区域分别求解流体的运动控制方程，然 后在界面处由连续性条件得到耦合。由于界面处不相互渗透，因此，可以利用自 由表面跟踪方法( 本研究选v o f 法) 来处理两相流动的运动界面位置。由于自然 界中水体的波浪运动一般速度不大，可以将水体和大气都视为不可压缩流体。气 液两相流体运动的控制方程为n a v i e r - s t o k e s 方程，在二维情况下的微分形式为： 丝+ 堡：o 良 砂 譬+ 譬+ 豢：一土望 - g x + 上( i t a t x x + - 衍k 7 - i - - i - = = 一二l f - l - a ta x a vpp 、a ) cv y , ) 4 - o x 害i等+娑；一上望at-gy+-t- -i-4-土(冬+孥)0 一 一- f 一一= = 一 一一一- - - 一- a ta x a yp y o y p 、a x8 y 。 其中k ，为粘性应力矢量，即 k = 2 罢= = ( 考+ 瓦o v ) = 2 万o v ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 其中甜、，分别为水平方向和垂直方向的速度，& 、邑分别为水平方向和垂 天津大学硕士学位论文第二章数学模型与数值方法 直方向的重力加速度分量，p 为流体密度，p 为压力，1 ，为动力学粘性系数，其 表达式为，：丝，f 为时间变量，x 、y 分别为笛卡尔坐标系下的水平和垂直方向 p 的坐标分量。仅考虑水体的波动问题时，密度和流体的运动学粘性系数在界面处 为液相和气相的平均值。 2 1 2 定解条件 对于一个适定的数学问题，不仅要在计算区域中有正确的反映问题物理本质 的控制方程，还要在边界上有适定的边界条件和合理的初始条件。对于波动问题 或有自由表面的流动问题，在水体和水中的固体需要取固壁边界条件；在自由表 面处要有动力学边界条件和运动学边界条件；在左右边界处需要有入流边界条件 和出流边界条件。对于本研究的问题，推板造波时入流边界就是速度入口的造波 边界条件，出流边界就是水槽右端的开边界条件；而源项造波时左边界可取墙边 界或对称边界，右边界可取开边界或者仍取无滑移墙边界。 ( 1 ) 自由表面边界条件 对自由表面，需要有运动学边界条件和动力学边界条件。对于二维流动问题， 当不计算风应力时，可以忽略自由表面的粘性效应，并假定自由表面的表面应力 系数盯为常数，因此，自由表面的动力学条件可以表述为以下形式： p 。2p p 。= 傩 ( 2 - 5 ) 其中自由表面应力p 。为自由表面张力导致的在自由表面处的应力跳跃，p 。为 水体上部的空气压力，l f 为自由表面的当地曲率。 在模拟波浪与结构物的相互作用时，由于波长较长，且计算域不是太长，可 以不考虑自由表面张力问题和切向风应力问题，且自由表面的切向上的应力连 续，即： p 文等+ 卦旷p ， 睁孙铲。 ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) 自由表面运动采用v o f 方法跟踪。在波面不发生破碎时，自由表面为物质 表面，假设自由表面的曲线方程为： 天津大学硕士学位论文第二章数学模型与数值方法 刁( x ，y ，t ) = o 则运动的自由表面的运动控制方程为： 去 刁( x ，y ，t ) = 署+ u 警+ v 考= 。 ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 有关v o f 方法将在下节做详细介绍。 ( 2 ) 人流边界条件 入流边界可以在工= 处给出基于势流理论的解析解的速度分量和水面变 化，作为造波板边界的速度和水面值： 孝= 孝( ，f ) ，u = u ( x o ，f ) ，1 ，= v ( x o ，t )( 2 - 1 0 ) 例如对于有限等水深的小振幅波，坐标原点取在静水面时，造波边界可以为： 当y 孝时 当y 善时 u = 4 国鬻c o s k ( ，x s h ( k d ) 卅) = 4 国二二一甜) u， v = 4 帮s i n k ( 、x c t ) v = 以二、_ 二一) ” 砌( 趔) 、 7 u = 0 v = 0 ( 2 - 1 1 1 ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 1 ( 2 1 4 ) 其中孝= “c o s k ( x - c t ) ，4 振幅，d 为水深，c 为波速，k 为波数，c o 为圆频率， 善为波面。 ( 3 ) 出流边界条件 对于流动问题，一般位于流动已经充分发展的区域，通常可认为出口处的流 动参数在出口方向的梯度为零。即： 天津大学硕士学位论文第二章数学模型与数值方法 a _ ，o + u 罢：o 或者i a o ：0 ( 2 1 5 ) 01,(7il(7il 其中q 为速度分量u ，v ，p ，k ，占，f o 对于波动问题，则需在出口前设置人工衰减层。为了使波浪能顺利穿过开边 界而不在开边界处产生反射，许多学者对开边界问题进行了深入的研究。对于小 振幅的线性波浪问题，可以采用s o m m e r f e l d 辐射边界条件处理，即： 塑+ c 塑：0 一二+ c 二2 8 ta x ( 2 - 1 6 ) 其中q 为变量( 例如速度，波高等) ，c 为波速。在后面章节的消波理论中还会对 此做详细介绍。 ( 4 ) 固壁边界条件和初始条件 壁面边界条件用于限制流体和固体区域。在粘性流动中，壁面处默认为非滑 移边界条件，即：u ：= 0 。本模型中我们设置水槽底部为默认墙边界。 在计算初始时刻，压强取为水体的静水压，波面为静水水面，域内的初始速 度为零。 2 2 数值处理技术 2 2 1 自由表面跟踪技术 目前对自由面的解法一般是采用对自由表面进行跟踪，比较有代表性的有 p i c 法、m a c 法、l e v e l s e t 法和v o f 法 3 2 1 ：其中最常用的是m a c 法和v o f 法，下面 仅就这两种方法做一介绍： m a c 法：m a c 法的主要思想是设想流场中分布着没有体积、没有质量的小 颗粒，称为标记点，这些标记点以当地流场的速度随着流体一起运动。标记点的 外包线( 面) 就是自由表面的位置。m a c 法就是通过确定这些标记点在不同时刻的 空间位置，来确定流体自由边界的运动位置。m a c 法可以处理自由表面坐标多 值函数的问题，能生动地描述带自由表面水流的流态演化，它的主要缺点是由于 追踪整个流场的标记点需要大量的计算机内存和计算时间。 v o f 法：v o f ( v o l u m e oo f f l u i dm e t h o d ) 法最早出现在d e b a r ( 1 9 7 4 ) 的文章中， 而h i r t s 和n i c h o l s l 3 3 j 于1 9 8 l 形成了完整的理论体系和实现方法。其基本思想是通 过构造一个流体体积函数来跟踪每个单元网格内的流体量，并根据这个函数值和 其导数值构造相界面形状。在采用了流体体积函数方法后，计算运动自由表面问 天津大学硕士学位论文 第二章数学模型与数值方法 题转化为计算整个计算域内的f 值问题。 在计算域内的每一点上定义一个函数厂，厂是时间和空间的函数， f = f ( x ，j ，f ) 当该点被流体质点占据时，此点处= l ，反之f = 0 。在计算域离 散为计算网格后，令f 为一个单元内的流体面积与该单元体面积之比，即： f ( x ，y ，f ) = 五i l f ( 9 ，玎，f ) d f f d r l ( 2 - 1 7 ) 如果f = 1 ，说明该单元充满流体，如果f = 0 说明该单元不含该流体，即充 满气体，为外部单元；如果f 的值在0 与l 之间，说明该单元是含有相界面单元。 这些单元或者与自由表面相交，或者含有比单元尺度小的气泡。 f 是空间点与时间的函数，即f = f ( x ，y ，f ) ，可以理解为固结在流体质点上 并随流体质点一起运动的没有质量、没有粘性的着色点的运动，其输运方程为： 一d f ：o 即o f + 塑+ o v f ：o d to t苏却 ( 2 1 8 ) 通过求解f 的值，就可以确定自由面位于哪些单元内。 由，的定义可知，f 函数是一个步进函数，不是连续函数，因此方程不能用 通常的差分格式进行离散求解。如果用通常的差分格式就会把f 的间断性抹平， 或者在，的间断点处产生数值振荡，从而失去了f 函数的原有定义。为克服这一 困难，需要采用相界面重构的方法来处理相界面。 本模型采用精度较高的y o u n g s 方法 3 4 1 ，它采用分段线性逼近相界面，即在 每一个控制体内，用一个斜线段表示相界面。具体做法是先根据一个控制体内 的流体体积函数f 的梯度值确定相界面的方向，然后根据此控制体积内的流体 体积函数值，确定相界面在此控制体内的位置。对于在一个时间步长内的流体 通过控制体某一边的体积流量是采用类似于l a g r a n g i a n 方法确定的，而不是采 用直接差分方法求解f 的控制方程确定的，根据在一个时间步长内流过四周边 界到相邻网格中的流体体积量，修改本网格和相邻网格的流体体积函数值，从 而确定下一时刻的相界面形状。 2 2 2 造波技术 对水面进行扰动，水面就会有波浪产生。如果扰动是周期性的，则在水面上 会产生规则的、具有和扰动相同周期的波浪( 如正弦波) ；如果是非周期性的，则 产生不规则的波浪。这就是造波的基本原理。 天津大学硕士学位论文第二章数学模型与数值方法 造波方法多种多样。f u r s e l l 和r g d e a n l 3 5 j 提出了利用水平振动平板产生水 波的推板造波理论，但此方法在处理水波域内存在障碍物时遇到了困难。b r o r s e n 等【3 6 】提出了源造波方法，即在计算域内设置一个造波源，其源项等于生成波相应 的水平速度，在源两侧同时产生方向相反的两列波，源项处可透过波浪遇障碍物 形成的反射波，解决了上述困难。高学平等1 3 7 】利用同样的造波方法建立了不规则 数值波浪水槽。王永学【3 8 】基于线性造波理论应用v o f 法给出了可吸收式造波机数 值边界条件，即造波板的运动除了产生行进波外，同时还产生一个抵消反射波的 局部运动。p e t e r 等t 3 9 】通过监测计算域内反射波信息，随时调整入射波的大小， 而建立了具有消除二次反射功能的造波机数值边界。王永学和p e t e r 等的方法，也 可以有效处理波浪遇障碍物形成的反射波。下面主要介绍本文所采用的推板造波 和源项造波技术。 ( 1 ) 推板造波技术 本文中采用了f u r s e l l 和r g d e a n 提出的推板造波理论，其主要原理为： 当造波板在某点处作周期性运动，其水平位移为： x ( t 、= s o 2 xs i n g o t ( 2 1 9 ) 其中s 。为造波板的水平最大位移，国为造波板的运动频率。根据线性理论， 在水深为d 的水池中，波面方程为： 善= 一s ot 4s i i n h2 ( k d 一) c 。s ( h 一倒) + 蒯。4 s i 十nz ( t d ) 。j e - 鼻 * s i n 22 k d s i n h ( 2 k d )2 i tds i n ( 2 td ( 耐) ( 2 _ 2 。) 7 + 、 7 口l 。 十 。， 、”、。 其中 k g t a n h ( k d 、一国2 = 0 1 4 9 t a n ( 1 4 d ) + c 0 2 = 0 ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) 式( 2 2 0 ) 中第二项在离开造波板约3 倍水深后其值很快衰减，可以忽略。 在距离造波板较远处，波面方程简化为： 孝：粤 害盟c o s ( k x c o t ) ：了h c o s ( 肤侧( 2 - 2 3 ) 7 2 、2 材- i - s i n h ( 2 k d ) 2 、 天津大学硕士学位论文第二章数学模型与数值方法 因此，造波板水平位移的最大值同距离造波板3 倍水深以外的小振幅波波高之比 为： h4 s i n h 2k d 一= = 一 s o 2 k d + s i n h ( 2 k d ) ( 2 - 2 4 ) 为了保证计算稳定性，避免开始时产生大波，在造波机边界条件中( 即入流 速度和相应的波面值中) 加入了一个双曲正切函数t a n h ( t ) ，使入射波在前三个 周期内缓慢增大。 ( 2 ) 源项造波技术 当建立数值波浪水槽来对水波与结构物相互作用的问题进行数值仿真实验 时，即在计算模型中加入结构物，u r s e l l 和d e a n 提出的推板造波理论没有考虑从 结构物处反射至造波板形成的二次反射问题，故不适用于该模拟；于是出现了通 过把源项添加到连续性方程或动量方程中的源造波方法。对于在连续性方程中加 入源项的情况，是一种在连续性方程中加入周期性变化的源与汇来规律性地增加 和减少流场中流体的量从而达到数值造波效果的方法【4 0 1 ，是一种质量源的造波方 法；对于在动量方程中加入源项的情况，基本思想是根据控制方程推导出源函数， 其中源函数的作用可视为对造波区内的流体增加随时间进行周期性变化的动量 来进行数值造波的模拟【4 1 1 。 对数值波浪水槽，其端部的波浪反射，尤其是造波端的二次反射是必须解 决的问题。通常的做法是加大水槽长度，在二次反射波与结构物接触前停止计算， 但这样的处理不仅会增加计算机的负荷，而且效率很低。因此，如何有效地消除 入射波和结构物相互作用后产生的二次反射波，从而不影响入射波的产生，同时 能在数值水槽的末端消除透射波，一直是国内外学者关注的问题。数值波浪水槽 消波功能的实现主要利用辐射边界条件( 开边界) 方法和海绵层消波方法实现，辐 射边界条件可以让波浪无反射地流出计算域，从而起到很好的消波效果，海绵层 消波是利用数值阻尼的方法在海绵层中使波浪的速度和压力逐渐减小，来达到消 波的目的【4 2 州】。 本文的源造波方法采用在动量方程中添加源项实现。通过多组的试验，发现 仅在v 方向上造波效果较好，无需在u 方向上添加造波项即可实现造波功能。数 值波浪水池不仅需要具有造波功能，而且还需要具有消波功能。考虑水波与结构 物的作用问题时，除了需要对水槽的尾端进行消波外，还需要对入射波与结构物 作用后的二次反射波进行消波。本文分别在水槽前端和尾端进行消波，消波机理 与推板造波时的消波相同。成功的实现了数值消波。 天津大学硕士学位论文 第二章数学模型与数值方法 2 2 3 消波技术 为了使波浪能顺利穿过开边界而不在开边界处产生反射，许多学者对开边界 问题进行了深入的研究。r o m a t e 4 5 】对表面波的能量吸收方法进行了较为全面的 总结。刘应中等1 4 6 】通过在出口边界前设置阻尼耗散区的方法消除波能。其基本思 想为让垂向速度在耗散区内受到阻尼，该阻尼沿波浪传播方向从零开始按二次曲 线关系增大，而在垂直方向从海底的零向上线性增加。为了消除残余波，在出口 边界使用s o m m e r f e l d 辐射条件。刘长根【4 7 】采用了海绵层吸收处理，即在海绵层内 对速度和波面进行消减，而对压强没有进行消减。其消减方法为： 甜= u u ( x ) ，= v u ( x ) ，7 = 刀( 功，k = k u ( x ) ，s = 6 u ( x ) ，p = p ( 2 - 2 5 ) 其中l ( x ) 消波系数，k 和s 分别为湍动动能和湍动耗散率。同时，需要指出 的是单独使用上节中提到的s o m m e r f e l d 辐射边界条件在很多时候不能完全实现 边界无反射。对于小幅值不规则波浪，由于其波速不好确定，s o m m e r f e l d 辐射 边界条件也不好应用。 本研究开边界采用无滑移墙壁，为了防止波浪的反射，在墙壁前