（电力系统及其自动化专业论文）山东电网无功优化的实用性研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 随着电力工业的发展、电网规模的扩大和电力市场的完善，电网的运行对电 压控制提出了越来越高的要求。电压控制的目标是保证合格的电压水平、优良的 电压动态品质和电压稳定性、经济的运行费用等。自动电压控制( a r c ) 正是基 于这种控制目标而产生的。 a v c 是目前电压无功控制中追求的高级形式，它在保证安全的基础上追求电 压优质、网络损耗低、运行维护费用小，而无功优化软件是实现a v c 的基础。 无功优化在系统无功充足的时候可以提高电压合格率、降低网损，达到安全 经济的目的；在系统无功支撑不足的情况下，可以指出电网中的薄弱环节，为电 网的建设及无功资源的优化配置提供指导性意见。 本文就无功优化的缩减梯度法、内点法实用性了探讨。对缩减梯度法，利用 试探及二次插值法确定缩减梯度法中的最优步长，并根据电力系统的特点，确定 初始步长，并使罚因子与步长相配合良好。对缩减梯度法中的控制变量支撑作用 进行了分析，并指出了控制变量受到限制时对程序的影响及处理办法。对内点法， 在算法中可采用平直启动用于初始点的选择，而不利用潮流计算的结果，防止出 现变量越限的情况；在迭代过程中，当对偶间隙出现负值时，对壁垒参数的调整， 使用补偿间隙近似的代替对偶间隙，防止出现壁垒参数为负的情况。 关键词自动电压控制缩减梯度法内点法无功优化 第1 页 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t h t h ed e v e l o p m e n to fm o d e r ne l e c t r i ci n d u s t r y ，t h ee n l a r g i n go f p o w e r g r i ds c a l ea n dt h ei m p r o v e m e n to fe l e c t r i c i t ym a r k e ti no u rc o u n t r y i nr e c e n ty e a r s ，t h eo p e r a t i o no fp o w e rs y s t e mc a l l sf o rv o l t a g ec o n t r o l m o r ea n dm o r es t r i c t l y a tp r e s e n t ，t h eg o a lo fv o l t a g ec o n t r o li st o e n s u r eg o o dv o l t a g el e v e l ，e x c e l l e n td y n a m i cv o l t a g eq u a l i t ya n dv o l t a g e s t a b i l i t y ，e c o n o m i c a lo p e r a t i o ne t c a u t o m a t i cv o l t a g ec o n t r o l ( a v c ) h a s b e e nb o r nf o rm e e t i n gt h e s er e q u i r e m e n t s a v ci st h ea d v a n c e dt y p eo fv o l t a g ea n dr e a c t i v ep o w e rc o n t r o la t p r e s e n t b a s e do nv o l t a g es e c u r i t y ，g o o dv o l t a g el e v e l ，l o wa c t i v ep o w e r l o s s ，a n dl e s sc o s to fo p e r a t i o na n dm a i n t e n a n c ea r ep u r s u e d b u ta l lo f t h e s er e l yo nt h er e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o n w h e nt h er e a c t i v ep o w e ri ss u f f i c i e n t ，r e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o n c a ne n h a n c et h eg o o dr a t i oo fv o l t a g e ，r e d u c ea c t i v ep o w e rl o s s ，s o e n s u r i n g t h e s e c u r i t y a n de c o n o m y w h e nt h er e a c t i v ep o w e ri s i n s u f f i c i e n t ，r e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o nc a nf i n dt h ef r a i lp a r t so f t h en e t w o r k ，s oi n s t r u c t i n gt h ec o n s t r u c t i o no ft h en e t w o r ka n dt h e d i s t r i b u t i o no ft h er e a c t i v ep o w e r t h et h e s i sd i s c u s s e st h ep r a c t i c a l i t yo fr e d u c e dg r a d ea l g o r i t h ma n d i n t e r i o rp o i n ta l g o r i t h mf o rr e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o n f o rr e d u c e d g r a d ea l g o r i t h m ，t h eq u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o nm e t h o da n dt r y i n gm e t h o d a r eu s e dt os e a r c hf o rt h eo p t i m a ls t e p a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c s o ft h ep o w e r s y s t e m ，t h ei n i t i a ls t e pi sd e c i d e d a n dt h er e l a t i o n o f p u n i s h m e n tf a c t o r a n ds t e pi sc o n f o r m e d t h es u p p o r te f f e c to fc o n t r o l v a r i a b l ei sa n a l y z e d ，a n dh o wt h ea l g o r i t h mi sa f f e c t e dw h e nt h ec o n t r o l v a r i a b l ei sr e s t r i c t e di sp o i n t e do u ta n d h o wt od e a lw i t hi t f o ri n t e r i o r p o i n ta l g o r i t h m ，f l a ts t a r tc a nb ec h o s e nf o rt h es t a r t i n gp o i n t ，n o tu s i n g 第2 页 山东大学硕士学位论文 t h ep o w e rf l o wr e s u l ts ot h a ta l1t h ev a r i a b l e sa r ei nt h e i rb o u n d s w h e n t h ed u a l i t yg a pi sn e g a t i v e ，t oa v o i dt h en e g a t i v i t yo fb a r r i e rp a r a m e t e r ， u s et h ec o m p l e m e n t a r yg a pt oa p p r o x i m a t et h e d u a lit yg a p k e y w o r d sa u t o m a t i cv o l t a g ec o n t r o l i n t e r i o rp o i n ta l g o r i t h m r e d u c e dg r a d ea l g o r it h m r e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o n 、 第3 页 山东大学硕士学位论文 第1 章引言 1 1 课题研究的目的与意义 电压是衡量电力系统运行安全性和经济性的重要指标，而影响电压水平最重 要的因素是无功功率。当一个地区无功过剩时，电压将升高无功不足时，电压将 降低。系统的运行电压主要受本地区无功平衡情况的制约，具有很强的地域性。 远距离传输无功功率将会引起有功损耗的增加，同时会在输电线路首末端引起较 大的电压差，从而引起无功损耗的大幅增加。因此无功优化实际上就是通过调节 对无功、电压调节资源的优化配置，在保证系统一定安全、质量要求的前提下达 到系统运行损耗尽可能少。 随着电力工业的发展，电力系统规模的不断扩大，电网结构日趋复杂，用户 对于电能质量的要求也日益提高。随着电力市场机制的引入，采取有效手段降低 网损、改善系统电压水平，已经成为直接关系电力企业自身经济效益的课题。实 际上电压水平的好坏不仅仅是供电质量问题，而且关系到大电力系统的安全、经 济运行，因此在全网范围内的进行统一的电压控制成为必然要求。8 0 年代以来， 电网统一的自动电压控制( a v c ) 逐渐成为学术界研究的热点，是目前电网无功 电压综合控制的最高形式。为了提高电压合格率，减少网络损耗，按照无功电压 分层分区控制的总原则，结合自身要求，山东电网提出以开发先进实用的控制系 统为目标，在全网实旅自动电压控制系统。 a v c 在时域上分级、不同电压等级下分层、层中分区分解与协调统一的过程。 它在保证安全的基础上追求电压优质、网络损耗低、运行维护费用小，而无功优 化软件是实现a v c 的基础，因此开发高效，优良的无功优化软件成为必然要求， 本文将缩减梯度法，内点法应用山东电网的实际中，在计算速度、收敛性等方面 有了明显的改善，为a v c 的实时在线闭环运行提供了条件。 无功优化在系统无功充足的时候可以提高电压合格率、降低网损，达到安全 经济的目的：在系统无功支撑不足的情况下，可以指出电网中的薄弱环节，为电 第6 页 山东大学硕士学位论文 网的建设及无功资源的优化配置提供指导性意见。 高效、优良的电力系统无功优化软件不但可以达到安全和经济的目的，而且 极大地减轻了调度运行人员的劳动强度，提高了运行的可靠性，避免了人工操作 的失误。 因此开发高质量的无功优化软件成为必然要求。这要求软件在计算速度、算 法收敛性能够满足大电网的要求，并能够解决电网中的实际问题。 1 2 国内外发展状况 无功优化研究历史较长1 9 6 2 年，法国学者l c a r p e n t i e r 提出在严格的数学 基础之上的非线性规划法的经济调度问题f l l ，其中包括电压和其他运行约束条 件，这一列式后来被称作最优潮流( o p f ) 问题。和经典的潮流计算、状态估计 一样，可以利用高压电网的物理特性对o p f 问题进行解耦处理，使之分解为两 个子问题，即有功o p f 和无功o p f ，无功o p f 就是我们所说的无功优化。 无功优化方法很多，总体上来说，可分为两类：一类是基于可解析表达的数 学优化方法，该类方法经历三个阶段，第一是仅考虑等式约束的基于拉格朗日函 数的等网损微增率准则，该准则概念清楚，简洁快速，在屯力系统运行调度和方 式制订上作用显著，尤其是凭经验进行的决策；第二是考虑不等式约束的各类优 化算法，如梯度类算法、线性规划法、二次规划法及混合整数规划法等，它们从 某个初始点出发，按照一定的轨迹不断改进当前解，最终收敛于最优解；第三是 新近兴起的障碍函数类算法，就是内点法，该类算法具有计算速度与求解问题规 模不大等特殊优点，因而目前成为优化研究领域的一个热点。另一类是无须解析 表达就能进行优化的方法，就是具有不同智能程度的一系列搜索优化算法，如遗 传法，模拟退火算法、禁忌搜索算法、进化规划算法及粒子群优化算法等，它们 以一个初始解群开始，按照概率转移原则，采用某种方式搜索最优解。此类算法 速度慢，但程序设计简单，具有寻求全局最优解的能力。 由于电力系统无功优化是典型的非线性问题，所以直接采用非线性规划优化 方法居多。其基本思想是将有约束优化问题转化为序列无约束优化问题进行求 解1 9 6 8 年，d o m m e l 和t i n n e y 最早提出用缩减梯度法( r g 方法) 进行无功优化。 缩减梯度法将控制变量的负梯度方向作为寻优方向，用惩罚函数处理不等式约束 的违界，优化仅在控制变量的子空问进行，缩小了问题的规模。其缺点是搜索步 第7 页 山东大学硕士学位论文 长选择困难，在接近最优点时会出现所谓的锯齿现象，收敛速度减慢。 无功优化虽然是一个非线性问题，但采用局部线性化的方法，将非线性的目 标函数和安全约束逐次线性化，用线性规划法于无功优化是可行的1 2 。4 1 。其优点 是模型简单，每次迭代速度比较快，因而在实时无功电压控制中得到了比较广 泛的应用。但线性规划法在处理无功优化这样的强非线性问题时，在计算精度和 收敛性上有一定的困难，尤其是系统规模较大时更为突出。另外，在线性逼近最 优解时，步长的选取对收敛性影响很大；步长取的太大，有可能引发振荡，步长 太小，又会使收敛速度太慢。 二次规划法是非线性规划中较为成熟的一种方法。将目标函数做二级泰勒展 开，非线性约束转化为一系列的线性约束，从而构成二次规划的优化模型，用一 系列的二次规划来逼近最终的最优解d - 7 1 。在线性逼近的过程中。同样会遇到跟 线性规划相同的问题。 1 9 8 4 年，台湾学者d i s u n 等人提出基于库恩一图塔( k u b _ n - t u c k e r ) 最优条 件的最优潮流算法，通常称作牛顿法【羽。其基本思想是用l a g r a n g i a n 乘子处理函 数约束，构成增广l a g r a n g i a n i 蟊数，然后求解无约束优化问题。在具体实现时， 不做人为的区分控制变量和状态变量，把各种变量与l a g r a n g i a n 乘子穿插排队， 统一求解、统一修正，大大加快了计算速度，为大系统优化提供了一条很好的途 径，它在收敛性和计算速度方面都更具优势。 在所有优化方法中，目前研究的最热门的方法是内点法。内点法是由 k a r m a r k a r 在1 9 8 4 年提出一种解决线性规划问题的新算法。它以初始内点出发， 沿着最速下降方向，从可行域内部直接走向最优解，内点法也因此而得名【9 】内 点法的显著特点是其迭代次数与系统规模大小的关系不大，因此对于大规模线性 规划问题，当约束条件和变量数目增加时，内点法的迭代次数变化很小。随着研 究的深入，内点法相继衍生出了三类变形算法：影射尺度类内点算法、仿射尺度 类内点算法、原一对偶仿射尺度内点算法【l 。 以上方法都被成功地应用于无功优化计算，但它们都不能很好地处理诸如变 压器变比、电容器组这样的离散变量。通常只能先把它们当作连续变量，优化结 束后再近似或者归整处理到最近的离散点上，但是采用简单归整的方法可能会使 发电机无功或者节点电压发生越界；也有文章中为处理离散变量而引入罚函数， 该方法在解决了简单归整法存在越界的问题，但这会使迭代次数有所增加，如果 罚函数处理不当还会引起不必要的振荡现象。目前看来，在常规优化方法中，除 第8 页 山东大学硕士学位论文 了采用各种近似处理，尚没有非常有效的方法解决离散变量的问题。 另一类方法，如遗传算法，模拟退火算法、t a b u 搜索法、进化规划法、粒子 群法等等，都曾被用于电力系统无功电压优化控制的研究。它们以一个初始解群 开始，按照概率转移原则，采用某种方式搜索最优解，由于它们对问题适应性强、 特别适合处理整数变量的组合优化、从理论上可以得到全局最优解、程序设计简 单等特点，因此很自然被用于无功优化计算。但是仍有一些问题，主要是计算速 度慢，局部收敛性差，很难将其应用于实时控制。 由于第一类算法在计算速度方面具有优势，而第二类算法则在收敛性、离散 变量处理方面具有优势，所以在线的实时控制一般用第一类方法，而第二类方法 目前则主要用于对速度要求不高的离线计算，或者是与第一类方法相结合而使 用。 1 3 本文的研究内容 本文着重于无功优化软件的实用性研究，对缩减梯度法与内点法进行了探 讨，研究的主要内容如下： ( 1 ) 探讨了缩减梯度法的原理，根据电力系统的特点，确定初始迭代步长，并 利用插值和试探对步长的选取进行了简单实用化处理，探讨了罚因子与步长的关 系，使罚因子的选择与步长相匹配，对控制变量与状态变量之间支撑与依赖的关 系进行了探讨，对梯度法中的控制变量支撑作用进行了分析，并指出了控制变量 受到限制时对程序的影响及处理办法； ( 2 ) 探讨了内点法的原理、初始点的选择、壁垒参数的调整、迭代步长的确 定迭代及迭代停止的准则： ( 3 ) 将缩减梯度法及内点法应用于从i e e e3 0 节点系统及山东省4 0 4 节点电 网，经验证具有较好的收敛性和收敛速度，满足实际大电网在线运算的需求，也 为a v c 的实现提供了条件。 第9 页 山东大学硕士学位论文 2 1目标函数 第2 章无功优化数学模型 因此无功优化的目标函数可以有多种，大都是从安全性和经济性的角度进 行考虑的，例如以电压水平最好为目标、以无功备用在系统中均匀分布从而应付 系统可能的扰动为目标等，也可以是多目标的优化；但是最为流行的是从经济上 考虑，以系统输电网络有功损耗最小为目标。 选取哪种目标函数进行无功优化应根据系统的运行条件来确定，但总的来说 当系统的结线方式或运行条件可能发生电压稳定性问题时，应从安全性的角度选 取目标函数：而当系统的无功容量充裕运行的安全有保证时，应从经济性的角度 选取目标函数。为便于讨论方便，本文以有功网损最小作为目标函数进行讨论。 求有功网损可以有两种方式： ( 1 ) 通过求所有节点注入有功之各求得，这样实际上网损最小就与平衡节 点的有功注入最小是等价的，即可以将目标函数定写成： 厂( 力= 兄 ( 2 一1 ) p 。为平衡节点有功注入，而平衡节点的有功注入与各控制变量和状态变量通 过潮流方程约束的，因此以平衡节点有功注入最小为目标在表达上简单，但在与 各变量关系上复杂； ( 2 ) 以各个输电元件的有功损耗之和求得，即： ， ，( x ) = ( “：+ u 2 a 一2 u n “j 2c o s o l 2 培， ( 2 2 ) j = l 或 弛，= 喜黼圳， ( 2 3 ) 很多文献在无功优化潮流计算时沿用p q 解耦潮流的做法，把母线相角认作 常数，但是无功优化的目标在所有母线电压相角保持不变的前提下，将随着整个 系统电压水平降低而减小，这样优化过程有使电压降低的趋势，而实际上在相同 第1 0 页 山东大学硕士学位论文 的负荷条件下，系统电压升高才会导致网损降低。可见把电压相角作为常数进行 无功优化并不恰当【9 1 在实际中为了克服上述缺点，就应当将母线电压相角看作是变量来处理，但 是这样就会使状态空间的维数增长一倍，增加了计算量，为了能够利用解耦的思 想来保持问题的简化，在实际处理时呵以假定输电元件上的有功潮流p i 保持不 变，这种假设在配电网( 树状结构) 中结果是准确的，在环网中可能会产生一些 小的误差，但如果对结果要求比较高可以通过再次起动潮流及优化程序来修正， 般来说通过再次的修正即可达到满意的效果。本文以式( 2 2 ) 作为目标函数， 并取全变量进行计算。 2 2 约束条件 所谓无功优化，就是在满足各种设备约束和电气约束的前提下，在系统有功 分配基本确定的情况下，通过改变发电机无功出力、投切无功补偿装置( 电容器、 电抗器等) 、调整有载可调变压器变比分接头等控制量，使无功潮流的不断得到 调整，达到系统优化运行( 提高电压质量，降低系统运行损耗等) 的目的。因此 无功优化必须考虑一定的约束条件，一般来说有以下几个方面因素： ( 1 ) 潮流方程约束。潮流方程是电力系统必须满足的最基本的等式约束， 采用极坐标形式的潮流方程是： 对每个p q 节点及p v 节点有： 邶= 只一u ( ，( g pc o s 巴+ 巳s i n o , ，) = o ( 2 - 4 ) j 对每个p q 节点有： qj = q 。一u ，u ( g ps i n 口f + 口口c o s 口f ) 暑0 ( 2 - 5 ) e f ( 2 ) 支路电流约束；由于电网输送的主要是有功，所以支路中的电流主要 是有电网输送的有功大小决定的，而无功优化是在电网有功基本确定的情况下进 行的，所以如果支路电流在优化前还没有特别接近限制值，可以不考虑去路电流 约束。 3 ) 发电机发电出力约束。同步发电机不仅是有功功率电源，又是最基本的 无功功率电源。它所发出的有功、无功和视在功率可运用发电机的运行极限分析 第l i 面 山东大学硕。士学位论文 如下： p 阁2 - 1 骨审栩绸_ i 云行糨隔 从图2 - i 中可知，首先发电机输出功率要受到原动机功率限制：同时发电机 定子绕组温升取决于发电机的视在功率，从而输出功率将低于额定值s n ；励磁 绕组温升主要取决于励磁绕组电流，也就取决于发电机空载电势，即空载电势不 得大于额定值；当发电机以超前功率因数运行时，主要受定子端部温升、并列运 行稳定性等约束。 ( 4 ) 节点电压限制。 ( 5 ) 可调变压器变比的限制。 ( 6 ) 并联电容器电抗器的容量限制。其中电容器只能向系统提供无功功率， 并联电抗器则只能吸收无功，它们提供吸收的无功与其端电压u 的平方成正比： q = u 2 i x 1 1 i c o c电容器电抗 lc o l电抗器电抗 电容器电抗器的调节是阶梯形的，其可调容量限制由电容器电抗器的组数 及每组的容量决定。 第1 2 页 山东大学硕士学位论文 2 3 模型分析 根据上面的约束条件，以有功网损最小作为目标函数无功优化的数学模型可 以写成如下形式： 1 r a i n f ( u ，护) = ( “j + “二- 2 u i ，2c o s o , 2 ) g j a l j ，只= 只一u ，u ，( g fc o s o , j + 岛s i n t g , u ) ；0 沩p v 、p q 点 j e i q = q 。一玑【，( g ，s i n 吃十岛c o s 岛) 。0 沩p q 节点 j j q g q gs q o t t t 线q c 绞 ( 2 5 ) 其中，f ( x ) 是目标函数，即有功网损；u 是由节点电压模值，0 为节点电压 相角；q o 为发电机无功出力列向量；t 为变压器变比列向量；q c 为并联电容器、 电抗器容量列向量。 为讨论方便将式( 2 5 ) 所表示的模型简化为式( 2 6 ) r a i n ( x )l j j g ( x ) = o ( 2 6 ) ( x ) 0j 其中，x 是由节点电压( u 和0 ) 和变压器变比( d 构成的状态变量和控制变 量向量；g ( x ) 是等式约束条件，即潮流方程；h ( x ) 不等式约束，包括节点电压上下 限约束、有载调压变压器变比约束、发电机的无功出力和可投切电容器组投入的 容量约束等。 2 4 小结 无功优化是等式约束与不等式约束、连续量与离散量并存的高度的非线性的 优化，因此无功优化的难点主要是：( 1 ) 高度的非线性；( 2 ) 不等式约束的处理： ( 3 ) 离散量的处理；另外算法的收敛性、计算速度、内存占用量、及稀疏技术的 第1 3 页 山东大学硕士学位论文 采用也是无功优化的必须考虑的重要内容。 第1 4 页 山东大学硕士学位论文 第3 章缩减梯度法及其实用性处理 3 1缩减梯度法的原理 由d o m m e l 和t i n n e y ”1 最早提出的缩减梯度法，在最优潮流领域内具有重要 的地位，它是最优潮流问题被提出后，能够成功求解较大规模最优潮流问题的第 一个算法，尽管此算法还有诸多问题没有完善，但直到现在仍然被看成是种优 秀的算法。 缩减梯度法是以电力系统潮流为基础的，当用于无功优化时，通常以网损最 小作为目标函数，同时满足潮流方程及其它相关约束。在具体应用中，将所求变 量划分为控制变量和状态变量，当然还包括其它不变的参量。这样，缩减梯度法 的数学模型可以表达如下： r a i n f ( u ，x )l s j g ( “，x ) = o ( 3 1 ) h ( u ，x ) 0 i 其中“为控制变量列向量，工状态变量列向量，g 为系统的潮流方程列向量， h 为不等式约束列向量。 将不等式约束通过惩罚函数引入目标函数中，构成如下扩展目标函数： m i n f ( u ，x ) = j r ( 甜，x ) + 乏：q i 嗽【o ，曩( 材，x ) 】 2 = ，( “，x ) + w ( u ，x ) ( 3 - 2 ) s 为不等式约束数，啦是罚因子，罚因子总为正数。惩罚函数法实际上是外 点法，也就是当约束条件被破坏( 变量在可行域以外) 时实施的一种惩罚，通过 这种惩罚，最终使约束条件得到满足，罚因子出越大，惩罚作用越明显。 m a x o ，囊 ，】取值为 m a x n 忡，圳= 0 胁，鹜葚嚣慧嚣 再将等式约束通过拉格朗日乘子，上式继续扩展为： 第1 5 页 山东大学硕士学位论文 上0 ，力= ，( 盯，x ) + x g ( u ，力( 3 - 3 ) 由式( 3 3 ) 可得最优条件如下： 丝：一o f + f 堡1 1 五+ 塑：0 ( 3 - 4 ) 苏血l 出西 丝：善+ f 孥1 。a + 婴：0 ( 3 - 5 ) 抛融l 抛，砌 i o l = g j ) = 0 ( 3 ，6 ) 如何根据上述三式的条件直接求解问题是梯度法的基础，其核心是采用下降 算法，即从一个初始点开始，确定一个搜索方向( 梯度的负方向) ，沿着这个方向 移动一步使目标函数有所下降，然后由这个新的点开始，再重复上述步骤，直到 满足收敛判据为止。 然而，当控制变量已知，潮流是可解的，由此演义如下缩减梯度法，即将式 ( 3 - 4 ) 与( 3 5 ) 联立可得： 扣黼雕+ 尝) ， 再将a 代入式( 3 - 5 ) 中得到缩减的梯度方向 v f ：丝：一o f + f 塑1 a + 竺 ( 3 8 ) 抛抛k 加，抛 当w _ 当= o ，则说明这组解就是最优解，计算结束，否则按照能使目标下 降的方向对甜进行修正，直到满足收敛条件为止。 i t ( “1 ) = 甜( ”+ “耻) ， ( 3 9 ) a u = - a v f ( 3 1 0 ) 其中口为步长因子 上述缩减梯度法，充分利用潮流的概念，将目标函数对状态变量的梯度通过 潮流替代，转而其梯度只与控制变量相关，使计算格式显著简化。 3 2 缩减梯度法的计算流程 缩减梯度法的算法流程如下： 第1 6 页 山东大学硕士学位论文 ( 1 ) 记迭代次数k ：o ； ( 2 ) 给定一组控制变量7 , “； ( 3 ) 由式( 3 6 ) 即潮流方程通过给定的控制变量“求得相应的状态变量x 冲； ( 4 ) 根据式( 3 7 ) 求a ； ( 5 ) 根据式( 3 - 8 ) 求得梯度 v ，：竺 ”，嗍时 ，若甜，耻+ 1 + 缸， “。懈时 ( 3 - 1 1 ) 甜，“+ a u j ”，若不越界时 在缩减梯度算法中，在迭代过程中，当修正后的控制变量发生了越界，则该 越界的控制变量就被强制在相应的边界上。这种方法使得缩减梯度法在算法上更 加简单易行，但是将控制变量强制在边界上实际上是改变了迭代的方向，该方向 已经不是使目标函数下降最快的方向，这就使算法的收敛速度变慢，甚至破坏了 算法的收敛性。 从理论上讲，梯度法是可以以梯度大小作为其收敛标准的，当梯度减小到规 定值以后，可以认为找到了要求的最优解，算法结束。但在实际迭代过程中，梯 度一开始是逐渐变小的，但是由于控制变量不等式约束的存在，当发生了控制变 量不等式越界时，就会使梯度在小到一定程度时不再变小，而此时的梯度可能仍 然很大，这样算法的收敛就由于发生了控制变量的越界而变慢，甚至不能继续下 去。当发生控制变量越界时，梯度就有了一个最小值，不再下降，因此不能以梯 度的大小作为算法收敛的标准。 区分控制变量与状态变量是缩减梯度法的一个特点，这种区分使得优化只在 控制变量子空间求解，降低了优化问题的维数，而控制变量和状态变量之间通过 潮流联系在一起，可以利用雅可比矩阵的稀疏性。 控制变量于状态变量之间实际上是支撑与被支撑的关系，控制变量是主动 第1 9 页 山东大学硕士学位论文 的，而状态变量则是被动的，状态变量的值依赖于控制变量，因此控制变量应当 是自由的，是不受约束的，当控制变量受到了约束，则它本身已不再具有控制变 量的功能，然而其它的状态变量或者目标函数仍然会向该控制变量寻求支撑，这 是算法产生两个方面的影响： 1 ) 这对这使得梯度在该控制变量所在的元素比较大，而该控制变量却受到 了限制，不能按要求的方向前进，因此算法的收敛速度变慢。 2 ) 控制变量如果限制在边界上，就会使某些状态量的约束得不到满足，甚 至导致优化不能收敛。 要解决这两方面的问题，使算法更快更好的收敛，一般可以在迭代过程中将 控制变量进行转化，使该变量由以前的主动的支撑点变为被动的受支撑点。即将 控制变量转化为状态变量。 由此看来，虽然控制变量越界在处理上简单易行，但在实际上对控制变量的 约束是缩减梯度法求解的难点所在，对无功优化而言，当各无功补偿设备所在的 节点电压不受约束且各无功补偿设备的无功出力及有载调压变压器分接头不越 界时，用梯度法一般可以较快的收敛，此时可以利用梯度小到某一允许值作为算 法收敛的依据，从而得到最优解。当控制变量出现越界时，一般来说越界的情况 越严重，收敛速度越慢，当因为控制变量受到限制而不能保证状态变量约束时， 就必须将控制变量转换为状态变量。 但是在实际迭代求解过程中，不能认为控制变量越界就说明该控制变量就不 再具有支撑能力，这有可能是由于步长太大或者罚因子不匹配引起的，所以对控 制变量支撑能力的判断是个难点所在，一般来说步长较小时连续两次迭代过程 中越界就可以认为该控制变量不再具有支撑能力，可以作为状态变量来处理。 3 3 2 步长的选择 缩减梯度法在求极值时，引入了迭代的思想，即确定一个搜索方向，沿着这 个方向移动使目标函数下降，再在这个新的点上继续下步迭代，直到满足收敛条 件，因此迭代步长的选择成为缩减梯度法的一个重要方面 步长的选择是梯度法的一个难点。步长太大，容易产生振荡现象，甚至使优 化所依赖的潮流算法不能收敛；步长太小，会使算法的收敛速度变慢。在所有步 长中，必然存在一个步长使目标函数得到最大程度的降低，通常称之为最优步长 第2 0 页 山东大学硕士学位论文 口。最优步长可以通过下面的两种方法求得：， ( 1 ) 插值法： 对矿 ) = f ( u “一a v f ( u ) ) 求最小值。插值法一般是构造一个口的低次多项 式来逼近 ) ，用这个多项式函数的极小点作为妒纽) 极小点的近似值，这种方 法也称为函数逼近法。根据所用多项式的次数不同，有二次插值法，三次插值法 等。在求解最优步长时最常用的是二次插值法，它幂用口的二次多项式函数 妒( 口) = 口口2 + 6 口+ c ( 3 1 2 ) 来逼近幢) 。具体做法是适当取三个不同的步长q 、口2 、口，( 0 q a 2 a 3 ) ， 使这三个口值下的函数妒幢) 与妒 ) 的取值分别相等，从而决定妒位) 中的系数a 、 b 、c 。这就是，对于、口：、，首先计算出庐( 嘶) 、妒( 口：) 、矿( ) ，然后列 出等式 t ( c t i ) = a c t l + 6 d 1 + c = 9 ( 口1 ) ( 3 - 1 3 ) 妒( 口2 ) = t l c t 2 2 + b a 2 + c = 妒( 口2 ) ( 3 1 4 ) _ i t ( c t ，) = 口a 3 2 + b a ，+ c = 妒( a 3 ) ( 3 1 5 ) 最后联立方程组，求得a 、b 、c 。 求得a 、b 、c 后，妒( 口) 的极小值点即近似最优步长便很容易求得为 口。：一旦 口“2 a ( 3 - 1 6 ) 口。、口：、的先取对于结果的准确度有很密切的关系一般应使q 、口2 、 口3 尽是与最优步长值相接近，并满足( ) ( 口：) 妒( 毛) ，使最优步长位于 与口，之间，这样得出的插值结果比较准确l i 。 ( 2 ) 海森矩阵法： 对于式妒 ) = f ( u “a v f ( u ( ) ) 在1 , 1 点附近展开成泰勒级数并略去高阶项 得： f ( u 耻- a v f ( u 耻) ) 厂( “) 一口【w ( ”) 】7 可( ”) + 妄口2 【v 厂( 甜”) 】7 h ( u c k ) ) 可( “) ( 3 1 7 ) 将它对口求导并令其等于零后解得近似最优步长 口搿：熙等墼熙( 3 - 1 8 ) “” v f ( u 1 7 爿( “( ) v f ( u c ) 用这种方法来决定步长可以避免用插值法决定最优步长时带来的试探或迭 山东大学硕士学位论文 代麻烦，但它需要计算海森矩阵h ( u ( k ) ，因此在很多情况下工作量要比插值法 大。 应用梯度法进行无功优化计算时，也有人采用试探的方法求步长，即先取某 一个口值进行计算，如果它满足不等式 f ( u 一a v f ( u ) ) f ( u ) ( 3 1 9 ) 那就取它为步长，然后进行下一次迭代，否则按一定规律( 例如按比例) 逐步减 小口值，直到上列不等式满足为止 在实际的计算中，一般来说利用二次插值的办法进行一维搜索是合适的，但 是按初始步长走一步之后，可能发生控制变量( 发电机节点电压幅值) 越界的情 况，而当越界时如果按照式( 3 1 1 ) 进行修正，那么修正以后的搜索方向实际上 已发生了改变，而改变后的方向并不能求得，这样二次插值公式就失去了本来的 意义，公式不再能使用。为了尽可能避免在搜索上花多余的计算量，可以采用二 次插值与试探相结合的方法，过程如下： ( 1 ) 选择初始步长，初始步长的选择是缩减梯度法中的重要内容，初始步长 太大，会导致算法开始就出现振荡现象，甚至导致梯度法所依赖的潮 流不收敛，初始步长太小。又使收敛速度变慢。为避免初始步长太大或 太小，可以在迭代中将搜索方向矢量规格化1 1 4 l ，并在第一次迭代时试选 一个初始步长口o ，由于电力系统电压( 标么值) 的取值范围一般在o 1 左右，所以初始的口。一般可以选择比o 1 小一个数量级，比如取口o = 0 0 2 ， 这样选择可以避免出现初始步长太大、导致牛顿潮流不收敛的问题，而 且也不致使初始步长太小。 ( 2 ) 然后按选定步长走一步之后，检查增广目标函数是否下降，如果是下降 的，则不再进行插值即以初始步长作为搜索步长进行下一步迭代，直到 增广目标函数上升为止。 ( 3 ) 如果目标函数是上升的，假如已发生发电机节点电压越界的情况，说明 二次插值公式已经不能使用，此时可用试探的方法，将初始步长减小( 比 如减半) 作为新的步长；假如未发生发电机节点电压幅值越界的情况， 说明满足二次插值公式使用条件，即用插值法求最优步长此时可以取， 吼；o 、吒= 口。然后再找一个相对于口3 较小的口2 、只要口：足够小，就 可以满足( ) 妒( 口：) o 时 i o当吩2 ( “佧) ，j “) o 时 例如：如果修正某不等式曩 “，x ) 修正前越界，而修正后啊( “”，x “) 不 越界，这样在修正后的增广目标函数中该项仍然出现，即修正后增广目标函数中 增广项是否存在应当以修正前的越界情况为依据。 3 4 算例及其分析 以i e e e 3 0 节点标准系统( 如图3 2 ) 为例对梯度法进行分析计算： 第2 4 页 山东大学硕士学位论文 g 1 4 1 5f 7 i 8 g ， ： 一 62 一一一2 7 ， 1 0 f 和一空。 | 、 儿 8 v1 9 伊、2 。 一一一- 一一一 2 3 ，2 4 ， 2 5 8 2 9 - 、 3 0 一 2 6 ， 其中有6 台发电机，2 个无功点，4 台可调变压器，无功可调设备的具体参数见 表3 一l ： 发电机无功( m w )变压器变比 安装地点 l2581 11 39 6l o 61 2 42 7 ，2 8 上限 5 05 04 04 02 42 41 0 51 0 51 0 51 0 5 下限 4 0- 4 04 01 066o 9 5o 9 5o 9 50 9 5 表3 一l 对电压限制取o 9 7 1 0 7 ，则此时初始损耗为0 0 4 7 3 ，使用梯度法优化后的损 耗为o 0 4 2 9 ，在算法收敛处梯度中的最大向量为o 0 4 8 ：当对控制变量第2 节点 最高电压限制为1 0 3 时，优化后的网损为0 0 4 4 ，此时在算法收敛处梯度中的最 大向量为0 0 8 ，可见，对变量要求的范围越严格，优化的结果( 即网损) 就会越差。 当控制变量受到约束时迭代过程中梯度减小到一定程度就不再减小，且控制变量 第2 5 页 g 一 5 。 一 、 t ， ， 4 0丁 2 。 g r ， l 3 山东大学硕士学位论文 受限制的程度越严重，迭代过程中的最小梯度也就越大，在电压范围是o 9 7 一1 0 7 时，实际上在第1 和第l l 节点控制变量就已经受到限制，所以梯度的最大向量 减d , n0 0 4 8 时就不再减小，因此如果缩减梯度法在迭代过程中控制变量受到限 制，就不能以梯度 2 0 0 时，如果按照减半的原则，步 长实际已经下降了8 次，在迭代中到下一次目标函数增大( 即步长减小) 一般需 要3 5 次，这样到国 2 0 0 时( 接近收敛时) 大约迭代了3 0 - 5 0 次。 3 5 小结 梯度法是求解非线性规划的一种重要方法，并被成功的引入到电力系统无功 优化。缩减梯度法以潮流算法为基础，通过迭代的办法实现了无功潮流的优化。 它概念清晰，编程简单，内存占用量小，成为一种被广泛接受的算法。 缩减梯度法区分控制变量与状态变量，缩小了搜索空间的维数，使算法更加 简单。 梯度法引入了惩罚函数处理不等式约束，这是一种软约束，在系统无功支撑 不足( 在可行域内无解) 的情况下，也仍然根据迭代过程中的潮流情况确定系统 中的薄弱环节，从而为电力系统运行提供一定的指导。 通过选择合适的步长与罚因子，梯度方法可以快的收敛。 第2 6 页 山东大学硕士学位论文 第4 章内点法及其实用性处理 4 1 算法原理 内点法是与外点法相对应的，内点法的整个计算过程均在可行域内进行，即 保证每次的解点都在可行域内，直至得出极小点为止。它的基本思想是，通过引 入制约函数对企图从可行域内穿越边界的点设置障碍，而且边界点愈近障碍越 大，在边界上则给予无穷大的障碍。 自1 9 8 4 年k a r m a r k a r 提出一种求解线性规划模型的多项式时间算法以来， 内点法的研究取得了很大进展，已形成3 类内点算法，即投影尺度法、仿射尺度 法和路径跟踪法。其中，原对偶路径跟踪内点法以其良好的鲁棒性和收敛性，在 众多数学规划方法中显示出巨大的优势。它的计算速度和处理不等式约束条件的 能力超过了求解非线性规划问题的牛顿算法，且其迭代次数与系统规模关系不 大，因此可应用于处理大规模系统的优化问题。 为方便后面的分析，将变量约束与不等式约束分开写，于是以有功网损为目 标函数的无功优化的非线性规划模型为： m i nf ( x ) s t g ( x ) ：o ( 4 1 ) h l o ，取 y o = p ，y o = y 0 = 0 ，) ，三= ) ，品= 1 5 e 【4 3 2 壁垒参数的调整 在原对偶算法中，应保证对数壁垒参数i i 在迭代中逐渐减小，并随着迭代的 进行趋向于零。对于线性规划问题，对偶间隙，即原目标函数和对偶目标函数的 差值，在迭代过程中总是正值，对数壁垒参数| i 与对偶间隙成正比。非线性问题 ( 2 ) 的对偶间隙定义为 g a p = y r g ( x ) + y 二【吃一j i l ( x ) 】+ 圯( 吃一吩) + ，毛( - x ) + 圯( 一而) ， 当原变量和对偶变量满足全部约束条件时，这是一个正数，且在最优解处为零。 但是，由于在迭代过程中并不总是满足等式约束条件，对偶间隙可能出现负值。 因此，我们使用补偿间隙近似的代替对偶间隙，即 g a p = ( y 栅+ ， ，) r s 抽+ y r