（基础数学专业论文）抽象强阻尼波方程解的存在性正则性与渐近性.pdf

摘要 本文应用算子半群理论研究了b a n a c h 空间中半线性强阻尼波方程初值问题 r i ( t ) + a a u ( t ) + a u ( t ) = f ( t ，u ( t ) ，“似) ) ，t 0 lu ( o ) = s 0 ，u ，( 0 ) = y o 、 解的存在性，唯一性，正则性与渐近性质主要结果如下： 一在b a n a c h 空间，利用解析算子半群理论，并结合b a n a c h 不动点定理讨论了半 线性强阻尼波方程初值问题的饱和m i l d 解与整体m i l d 解的存在性与唯一性 二，利用解析算子半群理论，讨论了线性抽象强阻尼波方程初值问题整体解的正则 性；另一方面又讨论了半线性强阻尼波方程初值问题饱和m i l d 解的正则性，从而获得了 该问题古典饱和解与整体古典解的存在性 三在解析半群指数稳定的情形下，分别讨论了线性抽象强阻尼波方程初值问题与 半线性强阻尼波方程初值问题整体m i l d 解的渐近性质 最后，我们应用上面抽象结果讨论了具体的强阻尼波方程初边值问题从而获得了该 问题解的存在性，唯一性，正则性与渐近性质 关键词：b a n a c h 空间；抽象强阻尼波方程初值问题；不动点定理；解析半群；整体解； 正则性：渐近性 中图分类号：0 1 7 5 2 5 a b s t r a c t b a s e do nt h et h e o r yo fs e m i g r o u p s ) t h ep a p e rs t u d i e st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，r e g u l a r i t ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n st ot h ei n i t i a l v a l u ep r o b l e m sf o rs e m i l i n e a rs t r o n g l yd a m p e dw a v ee q u a t i o n s iu ”( t ) + a a u 7 ( t ) + a u ( t ) = ，0 ，u ( t ) ，“7 ( t ) ) ，t 0 l 钍( o ) = z o ，缸7 ( o ) = 珈 i nb a n a c hs p a c e sa n dt h em a i n sr e s u l t sa r ea nf o l l o w s ： 1 t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs a t u r a t e dm i l ds o l u t i o n sa n dg l o b a l m i l ds o l u t i o n st ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rs e m i l i n e a rs t r o n g l yd a m p e d w a v ee q u a t i o n sa r ed i s c u s s e sb yu s i n ga n a l y t i cs e m i g r o u p st h e o r ya n db a - n a c h 敝e dp o i n tt h e o r e mi nb a n a c hs p a c e s 2 b yu s i n ga n a l y t i cs e m i g r o u p st h e o r y ，w ed i s c u s st h er e g u l a r i t yo f s o l u - t i o n st ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rl i n e a ra b s t r a c ts t r o n g l yd a m p e dw a v e e q u a t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ，w ed i s c u s st h er e g u l a r i t yo fs a t u r a t e dm i l d s o l u t i o n sa n do b t a i n e de x i s t e n c eo fs o l u t i o n sc l a s s i c a ls a t u r a t e ds o l u t i o n s a n dg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n st ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rs e m i l i n e a r s t r o n g l yd a m p e dw a v ee q u a t i o n s 3 u n d e ra n a l y t i cs e m i g r o u p si se x p o n e n t i a l l ys t a b l e ，w ed i s c u s sa s y m p t o t i cb e h a v i o ro fg l o b a lm i l ds o l u t i o n st ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o r l i n e a ra b s t r a c ts t r o n g l yd a m p e dw a v ee q u a t i o n sa n ds e m i l i n e a rs t r o n g l y d a m p e dw a v ee q u a t i o n sb yu s i n ga n a l y t i cs e m i g r o u p st h e o r y f i n a l l y , t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，r e g u l a r i t ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o r o fs o l u t i o n sa n do b t a i n e db ya p p l yt h ea b s t r a c tr e s u l t st od i s c u s sc o n c r e t e ； a b s t r a c t i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs t r o n g l yd a m p e dw a v ee q u a t i o n s k e y w o r d s ：b a n a c hs p a c e ；t h ei n i t i a l v a l u ep r o b l e mf o ra b s t r a c t s t r o n g l yd a m p e dw a v ee q u a t i o n s ；f i x e dp o i n tt h e o r e m ；a n a l y t i cs e m i g r o u p s t h e o r y ；g l o b a ls o l u t i o n s ；r e g u l a r i t y ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r s u b j e c tc l a s s i c a t i o n ：0 1 7 5 2 5 l v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得i l i = t 师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名：_ 碰笠盏日期：- 三竺生年月主多日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 鼢单导师签名：立j 单蹶型年上月型日 己i 吉 _ ji 嗣 设x 为b a n a c h 空间考虑x 中的半线性强阻尼波方程初值问题 j ”( o + n a “7 0 ) + a u ( 幻= ，( 。，o ) ，( 。) ) ，。 0 ( 0 4 ) iu ( o ) = x 0 ，( o ) = y o 解的存在性，唯一性，正则性与渐近性质，其中a 为x 中的扇形算子，阻尼系数a 0 ， 非线性项，眠u ，。) ：冗+ xx x x 连续问题n 1 ) 包含了许多数学物理模型，见文 【1 , 5 7 1 等，这些数学物理模型是带有强阻尼项的双曲型方程的初边值问题在这些问题中 其解的存在性，唯一性，正则性与渐近性是人们非常关注的问题 5 , 1 0 , 1 5 1 本文讨论这些问 题的抽象模型( 0 - 1 ) 解的存在性，唯一性，正则性与渐近性质 在b a n a c h 空间中，问题他1 ) 解的存在性，唯一性，正则性与渐近性质已有一 些结果，见文【5 , 1 0 等w e f i t z g i b b o n 在文1 5 l 中假定一a 生成x 中的解析半群 t ( t ) c t o ) ，且为紧半群的情形下，a ”( o 0 ，使 1 lf ( t ，a 一”2 ，a 一”t 心) 一，( r ，a 一”t l ，a 一”叽) i i v ( r ) ( i t t 1 9 + 1 | u 2 一u l0 9 + 0v 2 一 11 1 9 ) 对，丁e 【0 ，t i ，工，( 0 ，1 ) ，p ( 0 ，l j t 上l ，u 2 ，u l ，。2 x ，0 “10 ，| | 钍2 | | sr ；f f 勘l ，lt 您0 r 利用算子半群理论与s c h a u d e r 不动点定理，获得了问题( 0 - 1 ) 局部解与饱和解的存在性， 并讨论了该问题的整体解而p m a s s a t t 在文f 9 1 中研究了b a n a c h 空间x 中二阶发展方 程 “t l + a a u t + a u = ，( t ，u ，“e )( 0 - 2 ) 解的局部存在性与渐近性最近，李永祥教授在文 1 0 l 中完善了文【9 】9 中的相关结果，记 瓦( o 。s 1 ) 为a 的分数幂a 8 的定义域d ( a 8 ) 按范数”忆= i f a 8 | f 构成的b a n a c h 空间，作者利用解析算子半群理论，在0 茎a l ，非线性项( t ，“，”) ：【0 ，刁五x x x 连续，且关于t 局部h s l d e r 连续，关于( “，口) 为局部l i p s h i t z 连续的情形下，文【1 0 】获 得了问题( o 1 ) 解的存在性与正则性作者又在文f 1 1 中研究了b a n a c h 空间x 中的 抽象强阻尼波方程“+ a a u t + a u = 0 的解析性与指数稳定性，记x 。( os 。 0 ，非线 性项l ( t ，“，口) ：r + xx xx x 连续令“7 = ，则初值问题( 1 1 ) 可以化为x x 中的一阶发展方程初值问题： * 州m 他； ：1 2 ：0 p z ， 来处理为了研究方程( 1 - 1 ) ，我们首先引入算子半群与一阶发展方程的一些结果 一一阶线性发展方程有关结果 设x 为b a n a c h 空间，a 为x 中的稠定闭线性算子，一a 生成x 中岛一半群t ( t ) 0 o ) ，由周知的算子半群知识，3 m 0 及实数j ，使 | | t ( t ) 怪m e “，y t 0 设j = 【0 ，卅，记c ( i ，x ) 为定义于j 取值于x 的全体连续函数按范数0ui i = 蹬哥0 u ( t ) 0 构成的b a n a c h 空间，x 为d ( a ) 按图象范数0 。i h = l izi i + a z0 构成的 b a n a c h 空间，由熟知的结果【1 7 l ，对v z o d ( a ) 及h c 1 ( ，x ) ，线性初值问题 p ( 。) + a “( 。) = 吼。钊 、 一， iu ( o ) = t o 存在唯一的古典解“( ) c 1 ( ( o ，t ) ，x ) ng ( ( 0 ，r ) ，五) ，且“( t ) 可由t ( t ) 表示为 t ( ) = t ( ) 。o + t o s ) 0 ) d 岛t j( 1 4 ) z x 及h g ( ，x ) 或l 1 c ( i ，x ) ，由( 1 - 4 ) 式确定的“( t ) 不一定可微，是( 1 - 3 ) 的一种 广义解，称之为m i l d 解 同样，对非线性方程 j 札o ) + a u ( 。) = ，( 2 ，“( 。) ) ， 。o f l 一5 ) i “( o ) = 2 ：0 若 ( t ) g ( ，x ) 满足积分方程 “( ) = t ( ) + t ( 亡一8 ) ( t ，“( t ) ) d s ，t j( 1 - 6 ) 1 线性方程有关结果 则称u 为方程( 1 - 5 ) 在，上的m i l d 解设u 为方程( 1 - 5 ) 在区间 0 ，t ) 上的m i l d 解，若u 不能向右延拓为方程( 1 - 5 ) 在更大区间上的m i l d 解，则称u 为方程( 1 - 5 ) 的饱和m i l d 解 二解析半群及其性质 定义1 1 【1 q 若r ( = ) 乜0 ) 为b a n a c h 空间x 的线性连续算子，设a = z l 妒l 口( z ) 仇) 为复平面上的角形区域，其中一7 r 妒l 0 仇 7 r 为常数t ( z ) ：a b ( x ) 满足： ( i ) t ( z ) 在内解析 ( i i ) t ( z l 十z 2 ) = t ( z 1 ) t ( z 2 ) 觇l ，a ( i i i ) ；1 i m 0 + t ( 咖2 。比x ，2 则称t c z ) c z 0 ) 为上的解析半群 若岛一半群t ( t ) 0 0 ) 可扩充为某个上的解析半群，则称t ( ) 020 ) 为解析半 群 关于具有解析半群的线性发展方程初值问题，有如下正则性结果 引理1 ，1 【1 1 设x 为b a n a c h 空间，a 为x 中的稠定闭线性算子一a 生成x 上的解 析半群丁( ) p o ) ，j = 【o ，卅( o t 0 ， 使 0 t ( t ) 临m e 一。，t 0 称t ( t ) ( 20 ) 为x 中指数稳定的解析半群 三扇形算子与分数幂 定义1 3 1 1 设a 为b a n a c h 空间x 中的闭的稠定线性算子若3 m 0 ，当 a e o = a i r e a o ) u 0 ) 时，使得a j + a 有有界逆，且 i i ( a i + a ) l 临南 4 1 线性方程有关结果 则称a 为x 上的痢形算子 引理1 2 【8 】设4 为b a n a c h 空间x 中的扇形算子，则一a 生成x 中指数稳定的解 析半群r ( t ) 0 0 ) 设x 为b a j l a c h 空间，a ：d ( a ) c x x 为稠定闭算子 定义1 4 【1 q 设a 为x 中的扇形算子，t ( t ) 为一a 生成的解析半群a 0 ，定义a 一1 的。次幂a 1 为 a 一= 丽1 o ”t 。- i t ( 岫皇( a - 1 ) 。 按文 1 7 】，a ”b ( x ) 为单射，故可定义a 。= ( a 1 ) 一特别地，a = 0 时，有a o = ， 引理1 3 1 7 1 设a 为b a n a c h 空间x 中的扇形算子，则a 的分数幂小( q 0 ) 具有 下列性质： ( i ) 当o 0 时，a 。为稠定闭线性算子； ( i i ) 当0 o e 0 ，有| ia 咄l l sg 设a20 ，记咒，为a 的分数幂a 。的定义域d ( a 。) 按范数= i ia a - 0 构成的 b a n a c h 空间特别地，x o = x , x 1 = d ( a ) ，当o 0 四线性抽象强阻尼波方程有关结果 引理1 6 n l 设x 为b a n a c h 空间，a 为x 中的扇形算子a 0 ，a 。为局k 中的 线性算子：。e 屯，：盈+ ，五。，这里厶：f 二一：a 1 则a 。生成托也中的解析半群，其中0 o ts 卢1 + o 引理1 7l n l 设a 为b a n a c h 空问x 中的扇形算子，a 0 ，令 n o - 枷s u p 锹 这里口( a ) 为a 的谱，口( a ) = a r g a ，e 也为a 。生成的解析半群，则 ( 1 ) 当n a o 对，e “。为指数稳定； ( 2 ) 若a o 0 ，当0 0 ，则按引理1 6 ，一 生成y 中的解析半群岁( t ) 0 o ) 6 雌 子算 形扇中x r 为 一 a ；萏； 蓦| 占 i i 吼 船 m 珈h + 一一 眦 的删“计 斗 = 0 “ 一 ，c【p 一 0 ，非线性项f ( t ，u ， ) ： r + x x x 连绔在文 5 j 中，作者假定一a 生成x 中的解析半群及o ) 0 三0 ) ，且 为紧半群，非线性项f ( t ，u ，口) 是局部h s l d e r 连续的情形下，结合s c h a u d e r 不动点定理讨 论了问题( 2 - 1 ) 局部解与饱和解的存在性，并讨论了该问题整体m i l d 解的存在性受到 文f l o 】， 1 a 】的启示，若f ( t ，t ，v ) 连续，且不假定t ( t ) 为紧半群，只对f ( t ，缸 ) 附加一定的 局部l i p s c h i t z 条件下，利用b a n a c h 不动点定理并结合解析半群理论，本节讨论了半线性 抽象强阻尼波方捏扔值问题( 2 - 1 ) 在更一般的b a n a c h 空闻局x 恐( o n p 1 + 口) 中饱和m i l d 解的存在唯一性及其爆破性质进而，获得了问题( 2 - 1 ) 饱和m i l d 解与整体 m i l d 解的存在唯一性，改进了文【5 】的相关结论 二主要结果 定理2 1 设0 o p l + 口，f ：【0 ，+ o o ) x 粕xx o 一心连续，且满足假设 ( h 1 ) 对v t , r 0 ，3 l = 工( z 硒 0 ，使 f ( t ，“l ，口1 ) 一f ( t ，2 ，砚) 0 。l ( i f “l 一 2f b 十f 口l 一 u 2f f 。) 对v t o ，卅，让l ，仳2 b x 口( 0 ，r ) ， l ，v 2 台。( o ，r ) 。o x o ，y o 也，则问题( 2 1 ) 存在唯一的饱和m i l d 解u g ( o ，丑) ，x o ) n c l ( i o ，噩) ，j ) ， 且当五 0 ，则按引理1 6 ，一生成y 中的解析半群岁( t ) 0 三o ) 由( h 1 ) 知：对v t , r 0 有f ( t ，t j ) ： 0 ，t 】y _ + y 连续，且满足： jf ( t ，1 ) 一f ( t ，w 2 ) i i t - - - 三0 叫1 一挑】| y( 2 - 3 ) 对t 【0 ，丁】，1 ，地西( o ，r ) ( 1 ) 证明对 ，b 0 ，当t o 【0 ，卅， o 雪( 目，b ) 时，初值问题( 2 - 2 ) 在区间 ，= 【t 0 , t o + h 】上存在唯一的m i l d 解，其中h = h ( t ，b ) 0 只与正b 有关记 l = l ( 正r ) 为f ( t ，) 由条件( h 1 ) 中给出的在区间【0 ，t + 1 】x 雪( 日，r ) 上的l i p s c h i t z 常数，m c t ) 2 。0 紧l | 岁( t ) 恬，( t ) 2 。m 。a t x + 。| jf ( t ，o ) f l y l 0 ( t r + u 三c 三十l 取0 h l 适当小，则ic 【0 ，t + 1 】豆( 口，r ) 表示c ( z ，y ) 中的以常值函数 ”( t ) i0 为中心，以r 为半径的球，即 度p ，兄) = ( ”c ( i ，y ) i | 1 w ( t ) j j y s r ) 作映射q ：度( 口，r ) 一c u ，y ) 如下 ( ( t ) = 。少0 一t o ) w o + 岁( t s ) f ( s ，( s ) ) d s( 2 - 4 ) 由此，q ：度( 口，r ) - - - - 4c ( i ，y ) 连续，且问题( 2 - 2 ) 在i 上的m i l d 解等价于算子q 的不动 点则对v w 度( 口，r ) ，由( 2 - 3 ) ，( 2 4 ) 知 0q w ( t ) i f y - i l 穸o t o ) w o0 r + 0 。尹0 一s ) f ( s ，”( s ) ) d s0 y j t o d t f , 1 ( t ) 6 + i i ( t ) | | f ( s ，”( s ) ) 一f ( s ，0 ) i i yd s j t o ，t + 府( t ) 0 f ( s ，0 ) 忙d s j 幻 l g l ( t ) b + 府( r ) 陋( t + 1 ，n ) n + i v ( 即】0 一t o ) = ! v i ( t ) b + 朋( t ) 陋( 丁+ 1 ，n ) n + ( t ) 】 取兄= 2 砌r ( t ) b ，只需h 可再雨蹁，有 j j o w ( t ) r 因此，当h = m i n 1 ，面而面再研l _ 可丽) 垒h ( t ，b ) 时， 印：b ( 口，b ) ，b c ( 目，b ) 连续 下面应用b a n a c h 不动点定理证明q 在反( 日，r ) 中存在唯一不动点事实上，对 9 v w l ， 2 度( 口，聊，由( 2 3 ) ，( 2 4 ) 知： q w , ( t ) 一q w 2 ( t ) l i y - 1 l 罗0 3 ) ( f 0 ，w l ( s ) ) 一f ( s 伽2 ( s ) ) ) d s 【| y j t o r t m f 0 ，w 1 ( s ) ) 一f ( s ，t 晚( s ) ) 0 yd s j t o s 府( ? ) l ( ? + l ，2 j 】f j l ( t ) b ) | | 1 0 ) 一2 如( s ) j j yd s j l o = m ( t ) l ( t + l ，2 m ( t ) b ) ( t t o ) j 1 w l 一毗0 y 归纳可知 i lq 叫? ( 亡) 一q w ；0 ) 8 y 府( t ) l ( t + 1 ，2 瓜( t ) b ) 1 iq ? 一1 ( s ) 一q ”；一1 ( s ) 8 yd s 累次使用上述不等式，得 撇) 一q n w 。帅) i i s 避巡等堡型”洲”训y ，【i v i ( t ) l ( t + 1 ，2 _ f v i ( t ) b ) h “ ” 当n 充分大时，存在0 0 ， 问题( 2 - 2 ) 在区问【0 ，t 1 】上存在唯一的m i l d 解哂l ( ) 再以t o = t l ，z o = w ( h ) 为初始条 件，类似于( 1 ) 的证明问题( 2 - 2 ) 在区间p l ，t 2 】上存在唯一的m i l d 解喝( ) 。将晒i 与峨 连接起来记为( ) ，则w 为问题( 2 - 2 ) 在更长区间f o ，2 j 上唯一的m i l d 解，事实上，当 t p 1 ，翻时， 奶( ) = 罗p 一1 ) 奶( “) + 少( 一s ) f ( s ，奶( s ) ) d s j t l rc 1 = 。罗( 一t t ) 罗( t 1 ) z o + f 矿( t l s ) f ( s ，面1 ( s ) ) 出) j 0 ，t + 。少( t s ) f ( s ，t 如( s ) ) d s 1 0 2 半线性强阻尼波方程解的存在性 = 9 ( t ) z o + 岁( f s ) f ( s ，哂( s ) ) 幽+ 矿( 一s ) f ( s ，奶( 8 ) ) 出 j 0j 一 = 岁( t ) z o - i - 矿( t s ) f ( s ， ( s ) ) 出 j 0 即 为问题( 2 - 2 j 在区问f o ，2 上唯一的m i l d 解这样，问题( 2 - 2 ) 的解可以一段一段地 延拓下去，直到再不能延拓为止，便得nt 问题( 2 - 2 ) 的饱和m i l d 解 最后，讨论问题( 2 - 2 ) 饱和m i l d 解w ( ) 的爆破性质设( t ) g ( 【0 ，五) y ) 为问题 ( 2 - 2 ) 的饱和m i l d 解对0 蜀 由局部解的唯一性，在 0 ，丑) 上面( t ) = ( t ) ，这与西( t ) 为 ( t ) 的延拓相矛盾因此， 当正 + 时，。粤”( t ) = + o 。即问题( 2 1 ) 的饱和m i l d 解e ( 【o ，矗) ，b ) n g 1 ( o ，正) ，k ) ，且当丑 0 ，使 | j ，( t ，u l ， 1 ) 一f ( t ，2 ，u 2 ) 0 l ( i iu l 一“20 + 0 口l u 2i i ) 对v t o ，t 】，“l ，“2 。日x ( o ，月) ， 1 ， 2 b x ( 0 ，r ) ，y o x ，则问题( 2 - 1 ) 存在唯一的饱和m i l d 解“g ( 【o ，丑) ，x ) n c l ( 【o ，丑) ，x ) ，且当 正 + o 。时，有l i m ( i l “( t ) | | + i lu ( t ) ) = + o 。 ! ! 丝丝塑里星鲨立垒竖丝查垄些 定理2 2 假设定理2 1 的条件成立，且存在非负连续函数c 1 ，岛：r + 一r + 使 i i ，( t ，u ，”) i i o c l ( t ) ( i lu i i 口+ l | i i 。) + 凸( t ) x 0 昂加瓦，则问题( 2 1 ) 存在唯一的整体m i l d 解u g ( f o ，+ ) ，硒) n g 1 ( 【o ，+ 0 0 ) ，五) 证明 将问题( 2 - 1 ) 化为b a n a c h 空间y = 而k 中的问题( 2 - 2 ) ，且f c t ，) 满 足条件 | if ( t ，w ) | l y 0 1 ( t ) 0wl i y + c 2 ( t ) ( 2 - 6 ) 下面只需考虑问题( 2 2 ) 在y 中的整体m i l d 解根据定理2 ，1 的证明，在 0 ，丑) ( o 丑 o ( 3 1 ) iu ( o ) = x 0 ，u ，( o ) = y o 解的正则性，其中a 为x 中扇形算子，阻尼系数a 0 ，非齐次项h ：r + + x 连续文 【1 0 在非齐次项h 为h s l d e r 连续的条件下讨论了问题( 3 - 1 ) 解的正则性本节在相同 条件下，讨论了问题( 3 - 1 ) 在更一般的b a n a c h 空间琊托( o d s p 1 + 口) 中解的 正则性，改进了文献 1 0 l 的相关结论而对b a n a c h 空间x 中的半线性强阻尼波方程初 值问题( 2 - 1 ) 解的正则性，文【1 0 】利用解析算子半群理论，讨论了问题( 2 - 1 ) 解的正则性， 得到了该问题古典解的存在性在相对较弱的条件下，本节讨论了问题( 2 1 ) 在b a n a c h 空间x p 墨( 0 a p 1 + q ) 中饱和m i l d 解的h s l d e r 正则性，获得了半线性强阻 尼波方程初值问题( 2 一1 ) 古典饱和解与整体古典解的存在唯一性，改进和推广了文献【l o 】 的工作 二主要结果 定理3 1 设0 o 卢s1 + 口，非齐次项h c ”( 【0 + ) ，托) ( o v o(3-2) 1w ( o ) = w 0 其中h 0 ) = ( 0 ， ( t ) ) 7 ，w 0 = ( z o ，y 0 ) 7 ，且 h ( t ) c ”( i o ，+ o 。) ，y ) ( o p 0 ，有 h ( t ) c “( ，了 ，y ) ( o 0 及p ( 0 ，1 1 ，使 | ii ( t 2 ， u 2 ，t k ) 一y ( t l ，l ， 1 ) l l 。5l ( i t 2 一l i ”+ | 1 仳2 一u l | | 口+ 0v 2 一口l0 。) 对t l ，t 2 【0 ，t 】，u l ，妣砀，i 】u l 忆，l l 啦怕r ；口l ，啦墨，0 l 忆，| i 啦忆r z o 蜀，y o 托，则问题( 2 1 ) 存在唯的古典饱和解u 0 ( 【o ，五) ，砀) n c 1 ( 【o ，r 1 ) ，溉) n c l ( ( o ，丑) ，d ( a ) ) n c 2 ( ( o ，丑) ，。k ) 证明 按2 中的定理2 1 ，当条件( h 3 ) 成立时，问题( 2 - 1 ) 存在唯一的饱和m i l d 解 “g ( 【0 f 丑) ，杨) n g l ( o ，丑) ，k ) ，当冗 + o 。时，有。罂( 1 1 u ( 。) 怕+ i io ( 。) 忆) = + 0 0 因此，下证m i l d 解u ( t ) 为古典解， 在b a n a c h 空间y 中，由( h 3 ) 知：对v t , r 0 及( 0 ，1 】，有f ( t ，u ) ：【o ，t x y y 连续且满足 | | f ( t 2 ，u b ) 一f ( t x ， 1 ) 0 y l ( i t 2 一t l l 。+ i | t 如一 li i y ) ( 3 _ 3 ) 对t l ，t 2 【0 ，t i ， l ，叻西( o ，r ) 由定理2l 的证明，问题( 2 - 2 ) 存在唯一的饱和m i l d 解w ( t ) g ( o ，丑) ，y ) 且满足 积分方程 ( t ) = 岁( t ) m + 。少( 一s ) f ( 5 ，w ( s ) ) d 8 ，0 t 丑 i o 下面讨论问题( 2 - 2 ) 饱和m i l d 解 ( t ) 在区间，= 【0 ，丑) 上的h 6 1 d e r 正则性记 m = s u p0y ( t ) 1 i y ，n = s u p | jf ( t ， ( ) ) i i y 1 5 ：一：坠些堡些丝垫丝些型竺一 设y o 曼t t + fs 正，有 | | w ( t + ) 一 ( ) 1 1 y - 0 ，有 i ，( ) 恬墨甄t 一，( o t 7 1 ) 另一方面按文献【t 7 1 ，对v o 7 1 0 为常数 故 = 0 ( f ( f ) 一j ) 罗( t ) w oi l y - i i ( 少( f ) 一，) 1 1 扩( ) 咖 剑一，i m i ( 矿( ) 一，) 1 矿( t ) w o 恬 s i |