（基础数学专业论文）banach空间中二阶volterra型积分微分方程边值问题解的存在性.pdf

独创声明 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所儆的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 瑟峙 导师签字：似万 签字日期：20 0 4 年4 - 月2 2 日签字日期：2 0 0 4 年印月2 ，日 b a n a c h 空间中二阶v o l t e r r a 型积分微分方程 边值问题解的存在性 侯婷 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 设( e ，i i h ) 是b a n a c h 空间，e + 表示目的共轭空间，a ( ，) 表示e 上的 k u r a t o w s k i 非紧性测度k 是曰中的锥，由耳导出的e 上的偏序定义为：u 兰” 当且仅当口一“置如果存在实数m 0 ，使得对于0 冬s 弘有js m l l v l l ，并 且m 不依赖于t i ， ，则称k 为正规锥令k = 西e ：西( “) 0 ，u k ) ，岛= 扣e ：圣( “) 0 ，雪k + ，如果sck + 且k = n 国：圣研，则称锥是由s 生成的令咒= 圣s ：忙| | = 1 ) 在本文中，考虑如下形式的b a n a c h 空间中含0 项的非线性v o l t e r r a 型积分 微分方程的一般边值问题( b v p ) “，( ”- h ( t o ) ，口o ) ，“) ) t 钊 ( 2 1 ) ib o “= a u ( o ) 一b u ( o ) = t o ，b 1 t = c ( 1 ) + d u ( 1 ) = “l 这里t ，= 0 ，l 】，h c p xe exe ，明， “o ，“l e ，口0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ，6 = a c + b c + a d 0 ，( t u ) ( t ) = j j k ( t ，s ) t ( s ) d s ，k ( t ，s ) c d ，r + 】，d = ( t ，s ) r 2 ：0ss ts1 ) 令岛= m a x d k ( t ，s ) b v p ( 2 1 ) 的解可表示为 1 u ( t ) = ，l ( t ) + g o ，s ) 。h ( s ，u ( 8 ) ，( t u ) ( s ) ，u ( s ) ) d s ，t i ， 其中 g ( t ，8 ) ：6 1 ( 口。+ 6 ) ( c ( 1 一。) + d ) ，o 。s 1 id 一1 ( o s + 6 ) ( c ( 1 一t ) + d ) ，0 8 t 1 h ( t ) = j 一1 ( ( c ( 1 一t ) + d ) u 0 + ( a t + 砷“1 ) ，t j 令p o = m a x 1 ，s u p ! _ l g ( t ，s ) i 2 首先列出假设条件： ( a 1 ) 存在 o 使得对于占中的有界集岛，砀，玩，有 o ( 日0 b 1xb 2 b 3 ) ) a 仃l o 卫( a ( b 1 ) ，。( b 2 ) ，n ( b 3 ) ) ( 4 2 ) 存在工 0 ，使得对于( t ，z ，z ) ，e e e ，有 l i h ( t ，z ，y ，z ) l l 上h ( a 3 ) 是由生成的锥 ( a 4 ) v o ，w o c 2 j ，司，使得v o ( t ) 如( t ) ，t i v o ( t ) 是b v p ( 2 1 ) 的下解，即 i 一 gs 日( t ，。o ，t v o ， 6 ) ，t ， 【b 1 v o ， i = 0 ，1 w 。( t ) 是b v p ( 2 1 ) 的上解，即 j - w g h ( t ， o ，t w o ，“) ，t j 【b 。帅i s i ， h 0 ，1 ( a 5 ) 对任意的西文，t o i ，如果u x ( t o ) “2 ) ，( t u l ) ( t o ) s ( t u 2 ) ( t o ) ： 圣( “i ( t o ) ) 圣( u 5 ( t o ) ) ，则 西( 日( t o ，u l ( t o ) ，( t u l ) ( o ) ，峭( t o ) ) 一h ( t o ，u d t o ) ，( t u 2 ) ( t o ) ，u ；( t o ) ) ) 0 ( a 6 ) 存在，c r + ，k 】，对t f ，v o ( t ) s 让s 咖( 站，( ? 啪) ( t ) t u ( t w o ) ( t ) ，t e ，有l 西( 日( t ，u ，t u ，) ) ls 西( j l 壬( ) 1 ) 对所有的圣& 成立 ( a 7 ) 存在“n k ，使得对所有的垂吼，有 f ? 高蒡 。圣( 啡) ) 一m i n l m i n i 眺 厶( p ) 甄7 两 “”7 圣如j 一 如( 啦， 其中 西( p ) = r n d z i 垂( o ( o ) 一w o ( 1 ) ) l ，i 垂( o ( 1 ) 一o ( o ) ) 1 ) ( a s ) 曰o ，z ，z ) 一h ( t ，牙，口，j ) 一n l ( 。一i ) 一 r 2 0 一口) 一j 0 一牙) ，tej ， 其中v o ( t ) 牙sz u o ( t ) ，( t v o ) ( t ) 口y ( t w o ) ( t ) ，( t ) j z 6 ( t ) ，i i z l l ，旧lsn ，且n i 0 ，2 0 ，3 0 为常数，并且满足4 ( 1 + o ) p 0 ( a + 1 + 2 + 3 ) 0 ，f t n ) f 0 = 嚣a ( t ，s ) u ( s ) d s ，k ( t ，3 ) c d ，r + ，d = f ( t ，s ) 显2 ：0 s s t s l ) l e tk s = m a x d k ( t ，s ) t h es o l u t i o n so fb v p ( 2 1 ) s a t i s f y r 1 “( 。) 一6 ( 。) 一五g ( 。，s ) 日b u ( 5 ) ( t ( 。) ，乇，( s ) ) 幽= 0 ，t ， w h e r e ， g ( t ，s ) = 巧一l ( 口。+ 6 ) ( 1 粤) + d l o 2 s 1 i 巧一1 ( o 占+ 6 ) ( c ( 1 一t ) + d ) ，0 s 粤s t l h ( t ) = d 一( ( c ( 1 一t ) + d ) “o + ( a t + b ) u o ，t i l e tp 0 = m a x 1 ，s u p l x z l g c t ，s ) i ) s u p p o s et h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n sa r es a t i s f i e d ： ( a 1 ) f o ra n yb o u n d e ds e tb x ，岛，b 3 ， n ( 日( xb 1xb 2 b 3 ) ) k m a x ( 口( b 1 ) ，a ( b 2 ) ，a ( b 3 ) ) ， ( j 4 2 ) f o r ( t ，。，y ，z ) ix ex e e ， | 日( t ，z ，f ，= ) 0sl ， ( a 3 ) k i s ac o n e i n eg e n e r a t e db y 瓯 ( a 4 ) v 0 ，州o g 2 【j ，e la r et h el o w e ra n du p p e rs o l u t i o n so fb v p ( 2 1 ) a n ds a t i s f y v 0 ( t ) 撕( t ) ，t i ，t h a t i s ， j 一蚶u ( t ，v 0 ，t 如，嵋) ，t ij 一 g h ( t ， o ，t w o ，t 嵋) ，t i i b v 0 u i ，i = 0 ，1 i b 4 撕n i ，i = 0 ，1 ( a 5 ) f o re a c h 垂最，t a i ，i f “l ( t o ) t 2 ( 幻) ，( t u l ) ( t 0 ) 冬( t u 2 ) ( t o ) ， 垂( j ( t o ) ) s 圣( 必( 幻) ) a x es a t i s f i e d ，t h e n v ( h ( t o ，1 ( t o ) ，( ? 1 ) ( t o ) ，u j ( t o ) ) 一h ( t o ，u 2 ( t o ) ，( t u 2 ) ( t o ) ，t ：( t o ) ) ) 0 ( a s ) j s i r + ，k a n d f o r t i ，v o ( t ) su o ( t ) ，( t v o ) ( t ) st u ( t o ) 0 ) ，u 7 e ，w eh a v ei o ( h ( t ，“，t u ，) ) i 垂( j i 垂( u ) | ) f o ra l l 西& ( a 7 ) t h e r ee x i s tp ，n k ，s u c ht h a tf o re a c h 壬鼠， 搿丽s d s m a x l 垂( w o ) - m i n t 垂 0 0 ) ) 圣( 弘) = m n 。 j 圣( t d ( o ) 一w o ( 1 ) ) l ，j 西( t b ( 1 ) 一w d o ) ) l ( a s ) h ( t ，。，y ，z ) 一h ( t ，i ，口，i ) 一1 ( z 一面) 一j ( 9 一口) 一j 0 一i ) ，t i ， w h e n e v e rv o ( t ) isz w o ( t ) ，( t v o ) ( t ) s 口ps ( 丁b o ) 0 ) ， 6 ( t ) si zs t 嵋( t ) ，；i f n ，j | i | | n ，w h e r e 1 0 ， b20 ，n 3 0a r ec o n s t a n ta n d8 a t i 8 f y 4 0 十) p 0 ( a + l + 2 + n 3 ) 0 ，z 孟，( t v o ) ( t ) 口( t w o ) ( t ) ，( 亡，2 ，z ) n ，0 ，牙，z ) n 结论1 1 设条件( b 1 ) 一( b 3 ) 成立，则b v p ( 1 1 ) 有解g 2 p ，捌，满足 v o ( t ) “( t ) 删o ( t ) ，并且f 0 ( ) f t ， 结论1 2 设条件( b 1 ) 一( b 4 ) 成立，则存在单调迭代序列( ( ) ， u 。( ) ，n = 0 ，1 ，2 ，使得l i m 。_ + o 。 。( t ) = p ( t ) ，l i m 。( t ) = 7 ( f ) 在，上一致成立，其中 p ( t ) 和1 ( t ) 分另是b v p ( 1 1 ) 的最小解和最大解 s b e r n f e l d 和v l a k s h m i k a n t h a m 在参考文献侧中，将上、下解法推广到b a n a c h 空间中，研究了二阶非线性微分方程的一般边值问题 ， l u ”( t ) = h ( t ，u ( t ) ，u ( t ) ) ，t i = 【0 ，1 l ib o t 上= a u ( o ) 一6 u ( o ) = t o ，b 1 t 上= c u ( 1 ) + d u ( 1 ) = “1 在由正则锥导出偏序的b a n a c h 空间中解的存在性 本文将b v p ( 1 1 ) 的解的存在性结论1 1 和结论1 2 推广到由正规锥导出偏序 的b a n a c h 空间中，降低了参考文献【2 】中的非紧性测度条件和参考文献【6 】中的单 边l i p s c h i t z 条件( 1 2 ) ，以及参考文献1 9 】对正则锥的要求作为这方面的一个理论 应用，我们还考虑了某种特殊类型的三阶微分方程的边值问题 9 2 预备知识 设( e ，| 1 ) 是b a n a c h 空间，e 1 e 是可分b a n a c h 空间，a ( ) 表示e 上 的k u r a t o w s k i 非紧性测度。卢( ) ，卢目( ) 分别表示e ，e l 上的h a u s d r o f f 非紧性测 度 引理2 1 【1 】下列关于n ( ) ，卢( ) ，卢日( 的结论成立： ( 1 ) 设s 是实数空间r 中的有界子集，q 是e 中的有界子集，则对于s q = s 口：s 只q q ) ，有n ( s 0 ) = ( s t p 炬s ) o ( 0 ) ( 2 ) 设a g 1 b l ，司，若 是有界集，则口( 川口似) ，n ( a 7 ( 川2 n ) 若是等度连续集，则a ( a ) = m a x s u p 。，h o ( a ( t ) ) ，s u p 钆b l c x ( a ( ) ) ) ( 3 ) 设口是岛中的有界集，则f l ( b ) 他( b ) o ( 日) 2 f l ( b ) 引理2 2 嘲设 z 。) 器oce 6 ，e 1 】，若存在函数口l 1 ( a ，b ) ，使得l 。( t ) i 冬 卢( t ) ，t n ，6 】，令vc t ) = 卢功( z 。( t ) ) 黯o ) ，则v ( t ) 在【a ，6 】上可积，且 巾巾 触，( $ 。( t ) d t ) 。0 0 ：o ) s ( p ( t ) d t 引理2 3 f 3 】设( 。) 是oce k6 】，捌，若 霉。) 是一致有界，等度连续集，令 p ( t ) = a ( z 。( # ) ) 。0 0 ：o ) ，则妒( t ) 在a ，6 上连续，且 巾巾 n ( t 。( t ) 嘲。0 0 ：o ) 2 妒( t ) 班 joj c t 考虑含有一阶导数项t ，的v o l t e r r a 型积分微分方程的边值问题( b v p ) “”o 卜川厶叫o “孔) ( 幻，o ”一刨( 2 1 ) l b o u = a u ( o ) 一b ( o ) = u o ，b 1 t = c u ( 1 ) + d u ( 1 ) = t 1 这里t j = 【0 ，1 ，日c x e e xe ，明，u o ，u l e ，d 0 ，b 0 ，c 0 ，d2 0 ，6 = a c + b c + a d 0 ，( t “) ( ) = 片k ( t ，8 ) u ( s ) d s ，k ( t ，s ) c d ，r + ，d = ( t ，8 ) r 2 ：0 ss t s l ) 令如= m a x d k ( t ，3 ) b v p ( 2 1 ) 的解可表示为 r 1 u ( t ) = h ( t ) + a ( t ，s ) u ( 8 ，( s ) ，( t h ) ( 3 ) ，“( $ ) ) 如，t ， 其中 g ( 如s ) ： 6 1 c a t + 6 ) ( c ( 1 5 ) + 回，os s 8s1 ( 2 2 ) l 占一1 ( + 6 ) ( c ( 1 一t ) 4 - d ) ，0 55 s s 1 h ( t ) = j 一1 ( ( c ( 1 一t ) + d ) u o + ( a t 十b ) u 1 ) ，t j ( 2 3 ) 1 0 有 g ：( t ，s ) = 占一1 。( c ( 1 一s ) + d ) ，o 2 s 1 【一5 - * c ( a s + 6 ) ，0 s t sl 令p o = m a x 1 ，s u p ! 。，j g ( t ，5 ) i ) ，风= s u p l 。, l o i ( t ，s ) j = l ，q o = s u p l l h ( t ) ，s o = s u p i h ( 啡 定理2 。1 【8 】设s 是e 中的有界闭凸集，若f c s ，s 】，如果存在0 0 ，使得对于( t ，z ，y ，z ) ，e e e ，有 1 1 日( t ，z ，y ，z ) l is l 成立，如果a ，西( 。0 ( t ) ) 一m i n i o ( v o ( v o ( ) ) ， 厶m 取页两 。7 西( ”o ( ) ) 一m 其中 圣( p ) = m a z l 圣( v o ( o ) 一t 如( 1 ) ) ，f q ( v o ( 1 ) 一t 如( o ) ) i 引理3 1e 中的元z 是由所有& 中的线性泛函唯一确定的 证明只需证明如果对所有圣& ，都有圣( $ ) = 0 ，则z 三0 因为对所有垂& ，有垂( z ) = 0 ，所以z 皿又因为对所有西鼠，有 圣( 一曲= 0 ，所以一z 豇而是由民生成的锥，因此n ( 一= o ，所以 z e0 证毕 1 3 弓i 理3 2 【9 】设scu = 圣e 4 ：i i 垂1 i 1 ) ， ( 1 ) 如果。( 1 ) = n ，p ( “) ：垂研，其中u c x ，明，则口( t ) 在j 上连续 ( 2 ) 如果“e ，d = 讥， 壬( “) ：垂s ，则存在田雪，使得皿( u ) = d 定理3 1 设条件( a 4 ) 、( a 6 ) 、( a 7 ) 成立，那么b v p ( 2 1 ) 的任一解u c 2 j ，司 且满足v o ( t ) “( 力蜘( t ) ，t ，对所有的圣，都有f 垂( t ，( t ) ) f s 垂( ) ，f ， 证明由中值定理知，存在 ( 0 ，1 ) ，使得垂( ( ) ) = 西( “7 ( 1 ) ) 一西( u ，( 0 ) ) ，有 i 圣( u ( ) ) is 西( 卢) 若结论不成立，则存在t l ，亡2 【0 ，l 】，使得i 圣( t ，( t 1 ) ) l = 西( 芦) ，i 面( u ( t 2 ) ) 垂( ) 下面分四种情况证明： ( 1 )垂( “( 1 ) ) = 圣( “) ，圣( 牡( 2 ) ) = 圣( ) ； ( 2 )壬( t 正7 ( f 1 ) ) = 圣( 肛) ，圣( 札0 2 ) ) 嚣一西( ) ； ( 3 )垂( “7 ( 0 1 ) ) = 一圣( p ) ，西( ( t 2 ) ) = 圣( ) ； ( 4 )垂( 2 ( 1 ) ) = 一垂( p ) ，垂( u ( t 2 ) ) = 一西( ) 只对第一种情况进行证明，其余三种情况同理可证 令8 = 中( t 7 ( t ) ) ，由( a 4 ) 、( a 6 ) 及( 1 ) 知， ，。( 。) ! ! ! 巳一一r 。皇( 竺! f 生! ! ! 垡：f 生2 坐 如( 圣g ( s ) ) 一 ，垂“( 圣融( 亡) ) ) ) 西( “( t ) ) d 亡 j t i 垂( ( t 2 ) ) 一圣( “0 1 ) ) 西( o ( t ) ) 时， 西( 豆( t ，u ，t u ，u ) ) = 西( j 了+ ( ，面，u ) ) ，西( 如( t ) ) s 蛋) s 西( 硼o ( t ) ) 时 【西( 日+ ( t ，面，2 ，u ) ) + 型唔j ! ； 蠢严，西( u ) 0 充分小，使得4 ( 1 + k o ) p o ( a + q ) 西( o ( t ) ) 时， 圣( 面) = 西( u ( t ) ) ，西( ”o o ) ) s 西( t ) 由( 叫0 0 ) ) 时， l 圣( o ( ) ) ，垂( “) 圣( 咖( ) ) 时 显然，曰有定义并且在，x ex ex e 上有界，且对于e 中有界集b 1 ，b 2 ，b 3 ， o ( 豆( 亡b 1xb 2 x b s ) ) s ( a + 叩) m o 卫( a ( 口1 ) ，口( b 2 ) ，a ( 岛) ) ， 而且 i 西( 面，) i 西( d ) ， v o ( t ) s 面( t ) t 咖( ) ， ( t 如) ( f ) ( t 豇) ( t ) s ( t w o ) ( t ) 因此，由定理2 2 知，边值问题 l t 上”= 曰( t ，t 正，t u ，u ) ，t f 【b = 江0 ，i 有解u 伊l f ，耳 下面证明v o ( t ) “( t ) s 蛳( t ) ，t 1 若v o ( t ) t ( ) 在j 上不成立，则由引理3 2 知，存在皿鼠，t o ，使得 r e ( t o ) = m i n t m ( t ) 0 ，使得m ( t o ) + = 0 ，若t o ( 0 ，1 ) ，则有m ( t o ) = 0 ，m ”( t o ) 20 ，即雪( 如) 一, j o ( t o ) ) 0 ，雪( “( t o ) 一v 6 ( t o ) ) = 0 ，雪( “”( o o ) 一锘( 如) ) 0 ， 1 5 并且i 皿( t ，( t o ) ) i = l 皿( 6 ( t o ) ) l n o 知，对壬鼠，i 垂( u 他) ) is i 由( 0 ) l ，t j 所以 h ( t ，“，t u ，t ，) 一h ( t ，u ，t u ，u ) ， 因此，“( 0 是a v p ( 2 1 ) 的解证毕 1 6 4 单调迭代技巧 首先给出两个比较定理 定理4 1 设p ( t ) c 2 【，捌，满足 i p ”一1 尸一吧t 尸一3 p ，t i 1 b 巾o ， 江o ，l 其中1 0 ，2 0 ，3 0 是常数，如果 l + 2 k o 1 ， 则p ( t ) 0 ，t i 证明任给圣k + ，令m ( t ) = 西( p ( t ) ) ，则仇g 2 ，r 1 】，且m ( t ) = 垂( p ，( t ) ) ，m ”( t ) = 西( p ”( t ) ) ，( t m ) ( t ) = 西( ( t p ) ( t ) ) ，显然有 l 一，n ”一l m n 2 t m n 3 m ，i 1 b t 。o ， 江。， 下面证明m ( t ) 0 ， 若不然，贝存在t o 【0 ，1 】，使得r e ( t o ) = r n a x l m ( t ) 0 若t o ( 0 ，1 ) ，则m 7 ( t o ) = 0 ，m ”( t o ) s0 如果m i n o ，t 0 1 m ( t ) 0 ，则 0 一m “( t o ) 一1 r e ( t o ) 一2 ( t m ) ( t o ) 一9 3 m ( t o ) 0 ，t 【t 2 ，t 3 ) 再利用中值定理， 存在t 4 ( 2 2 ，t 3 ) ，使得 枷t ) = 华皇盥一若黥尚 0 ，所以 一m ”( t 4 ) s n l m ( t 4 ) 一n 2 ( t i n ) ( t 4 ) 一3 m 7 ( t 4 ) 一1 m ( t 4 ) 一v 2 k ( t 4 ，s ) m ( s ) 出 ， j 0 l a + n z k o ) ， 1 7 因此 r n ( t o ) + a ( l + l v 2 如) a ， 所以 m ( t o ) ( 1 + 2 k o 一1 ) a 0 ， 与m ( t c ) 0 矛盾 若t o = 0 ，即m ( o ) = r n a x l m ( t ) 0 ，则m ( o ) 0 b m ( o ) 0 ，与b o m ( o ) 0 矛盾 若t o = 1 ，即m ( 1 ) = m a x l m ( t ) 0 ，则m 7 ( 1 ) 0 d m ( 1 ) 0 ，与b 1 m ( 1 j 0 矛盾 因此m ( t ) 0 ，t i 因此b o m ( 0 ) = a m ( o ) 一 因此b 1 m ( 1 ) = c r a ( 1 ) + 由西的任意性知p ( t ) 0 ，t j 证毕 定理4 2 f 4 j 设p ( t ) g 【f ，司，p ( t ) 在 o i1 】上绝对连续，p ( 0 ) s0 ，且满足 p ( t ) a 1 p ( t ) + a 2 p ( s ) d s ，于 o ，1 ， 其中a 120 ，a 220 ，则p ( t ) s0 ，t 0 ，l 】 下面给出条件( 8 ) 和本节的主要定理 ( a s ) z ( t ，z ，y ，z ) 一h ( t ，i ，口，i ) 一l 扫一面) 一n 2 ( v 一口) 一3 ( 2 一1 ) ，t j ， 其中v o ( t ) sis $ t 啪( ) ，( t v o ) ( ) s 口ys ( t o ) c t ) ， 6 ( t ) 茎j z 叫6 ( t ) ，0 z | | ，恻js n ，且1 0 ，2 0 ，3 三0 为常数，并且满足4 ( 1 + 知) p o ( a + 1 + 2 + n 3 ) mn茁，咖-minrvo(i(jsl n 1 味 厶) +7 1 + j 能+ 3 铂，1 r 7 即0 ( t ，t l ，t u ，“7 ) 满足关于v o ，1 1 ) 0 的n a g u m o 条件证毕 1 9 引理4 4 设引理4 1 、4 3 的条件和( a 1 ) 成立，并且4 ( 1 + k o ) p o ( a + l 十2 + n a ) 1 ，则b v p ( 4 1 ) 有唯一解t l ( t ) ，使得“( ) ec 2 【j ，明，并且满足v o ( t ) u ( t ) o ( t ) ，l u ( t ) i n o ，t ， 证明由前面的引理及条件4 ( z + k o ) p o ( k + g l + 2 + 3 ) 1 知，g 满足定理3 2 的条件，因此，b v p ( 4 1 ) 有解u g 2 【，明，并且v o ( t ) u ( t ) 埘o ( t ) ，i ( t ) i 0 下面证明解的唯一性 如果存在面( t ) c 2 p ，e 也是b v p ( 4 1 ) 的解，且v o ( t ) a ( t ) o ( t ) ，旧( t ) ls n o ，t i 令0 ) = 0 ) 一面( t ) ，员4 一母”( 力= 一乱”( f ) + 面”( ) = h ( t ，q ，t r l ，矿) 一n z ( u 目) 一n 2 ( t u t q ) 一3 ( u 一 ) 一h 4 0 ，q ，t q ，矿) + l ( 面一1 ) + n 2 ( t 面一t q ) + 3 ( 面7 一，7 ) = 一l 皿一n 2 t 皿一b 皿7 ， 口2 雪= 0 ，i = 0 ，1 因此，由比较定理4 1 知，皿( t ) s0 ，即“s 矗( t ) 同理可证a ( t ) u ( t ) ，f ， 所以( t ) ；豇( t ) ，t j ，即b v p ( 4 1 ) 的解存在唯一证毕 定义算子a ：勘= “， 其中刁， o 】，u 是b v p ( 4 】) 相对于笮的唯一解，# ，w o ，并且j 似) js n o t i 引理4 5 算子以具有下面的性质： ( 1 ) 蛳兰a v o ，a w o w o ； ( 2 ) a 是h ，w o 上的单调不减算子 证明( 1 ) 令“= a v o ，皿( 1 ) = v o ( t ) 一u ( t ) ，则由( a 4 ) 知 一皿”0 ) = 一 g ( 亡) + 牡”( 亡) h ( t ，t t 0 ，t v o ，砧) 一h ( t ，咖，t v o ，”6 ) + l ( “一v o ) + n 2 ( t u t v o ) + n 3 ( u 一诺) = h ( t ，1 ) 0 ，t v o ，嵋) 一h ( t ，咖，t v o ，v o ) + l ( t 一t ) 0 ) + 2 ( t u t v o ) + 3 ( t 7 一 ：) = 一i 皿2 r 雪一吒雪7 ，