（应用数学专业论文）投资组合和消费选择的最优控制问题.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 二十世纪六十年代末，m e r t o n 最早开始研究最优投资和消费问题，并建立 了经典的消费一投资模型。该模型经过四十多年的发展，已经成为金融界的研 究热点。人们利用随机控制理论，不断深入地探讨和构建各种类型的最优投资 消费模型，使得模型更有针对性( 如针对投资银行、证券公司、政府机构、保 险公司、养老基金等) ，更切合现实的情况。通常，投资者的决策问题是构造由 风险资产和无风险资产组成的投资组合，在一定时间内安排投资和消费策略使 得消费和最终财富的期望效用最大。随着实际模型中财富累积过程的复杂化， 所建立的模型更加复杂化，相应的控制方程也呈现出更复杂的非线性，只有在 少数情形下才能得到问题的精确解。因此，对最优投资消费问题的数值求解也 是金融研究和应用的一个重要方面。 本文主要是针对保险公司，研究最优投资组合和消费策略的问题。本文中 考虑到保险公司总财富的积累除了稳定的保单收益外，还有投资到无风险资产 和风险资产的投资组合收益，以及保险公司无可避免地存在索赔支出和消费支 出( 即分红支出) 。在这些考虑下，本文建立了使得支出红利的效用最大化的数 学模型，研究了这些数学模型的数值计算方法，讨论了参数对最优解的影响。 我们的主要工作是： 一、在风险资产价格满足几何布朗运动的条件下，利用动态规划原理得到 模型的控制方程，基于方程的解的凹性及渐近性质，给出了最优投资消费策略 的数值计算方法和一些特例的数值解，并研究了最优策略随参数的变化规律。 二、在风险资产价格满足c e v 模型的条件下，利用动态规划原理得到模型 的控制方程。然后应用l e g e n d r e 变换加以转化，建立对偶问题。通过对偶问题 的数值求解，从而求得原问题的数值解，确定了最优投资比例和最优分红策略。 关键词保险公司；最优投资；最优分红；动态规划；数值计算；c e v 模型 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e o p t i m a li n v e s t m e n t - c o n s u m p t i o np r o b l e m a sw e l l c o r r e s p o n d i n g c l a s s i c a l c o n s o m p t i o n - i n v e s t m e n tm o d e li sa n a l y z e db ym e r t o ni nt h el a t e1 9 6 0 s t h r o u g ht h e d e v e l o p m e n to fm o r et h a n4 0y e a r s ，t h em o d e lh a sb e c o m eo n eo ft h ef o c u ss t u d i e si nf i n a n c e b yu s i n gt h et h e o r yo fs t o c h a s t i cc o n t r o l ，k i n d so fo p t i m a li n v e s t m e n t - c o n s u m p t i o nm o d e l sa r e e s t a b l i s h e da n dd e e p l ys t u d i e di no r d e rt ob em o r es u i t a b l ef o rt h er e a lw o r l ds u c ha si n v e s t m e n t b a n k s ，s t o c k j o b b e r s ，g o v e r n m e n t s ，i n s u r a n c ec o m p a n i e se n dp e n s i o nf u n d s u s u a l l y , t h e d e c i s i o n - m a k i n gp r o b l e mo ft h ei n v e s t o r si st om a k et h ep o r t f o l i ob e t w e e nr i s k l e s sa s s e ta n d r i s k ya s s e ta n dt h ec o n s u m p t i o ns t r a t e g yt om a x i m i z et h ee x p e c t e du t i l i t yo ft h e i rc o n s u m p t i o n a n dt e r m i n a lw e a l t hu n d e rd e f i n i t et i m e a st h ew e a l t hp r o c e s so f t h em o d e li sm o r ec o m p l e x ，t h e c o r r e s p o n d i n gc o n t r o le q u a t i o ni sm 0 1 ec o m p l e x l yn o n l i n e a ra n dt h ep r e c i s es o l u t i o no ft h e p r o b l e mc a nb ed e r i v e do n l yu n d e raf e wc a s e s t h e r e f o r e ，n u m e r i c a lc o m p u t a t i o no f t h eo p t i m a l i n v e s t m e n t - c o n s u m p t i o np r o b l e mi sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n t t h eo p t i m a li n v e s t m e n t - c o n s u m p t i o np r o b l e mo fa ni n s u r a n c ec o m p a n yi ss t u d i e di nt h i s p a p e r t h ew e a l t hp r o c e s si sm o d e l e da ss t e a d yi n c o m e ，r e t u r nf r o mp o r t f o l i oc o m b i n e db ya r i s k ya s s e ta n dar i s k l e s sa s s e ta sw e l la sc l a i mp a y i n ga n dd i v i d e n dp a y i n g t h em a t h e m a t i c a l m o d e lo fm a x i m i z i n gt h ee x p e c t e du t i l i t yo fd i s c o u n t e dd i v i d e n dp a y m e n t si ss e ti nt h i sp a p e r , a n dt h en u m e r i c a lm e t h o d so ft h em o d e la n dt h ei n f l u e n c eo ft h eo p t i m a ls t r a t e g i e sw i t h p a r a m e t e r sa r es t u d i e d t h em a i nw o r k i sf o l l o w i n g ： 1t h ec o n t r o le q u a t i o nu n d e rt h es t a n d a r dg e o m e t r i cb r o w nm o t i o ni sd e r i v e db yt h e t h e o r yo fd y n a m i cp r o g r a m m i n g w i t ht h ec o n c a v i t ya n dt h ea p p r o x i m a t i v eb e h a v i o ro ft h e s o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ，t h en u m e r i c a lm e t h o do ft h eo p t i m a lp r o b l e mi sg i v e n b yt h i sm e t h o d ， t h en u m e r i c a ls o l u t i o no fs o m es p e c i f i ce x a m p l e sa r eo b t a i n e d ，t h er u l e so f t h ev a r i a t i o n so f t h e o p t i m a ls t r a t e g i e sw i t hp a r a m e t e r sa r ed i s c u s s e da sw e l l ht h ec o n t r o le q u a t i o nu n d e rt h ec e vm o d e li sd e r i v e db yt h et h e o r yo fd y n a m i c p r o g r a m m i n g u s i n gl e g e n d r et r a n s f o r mt h ed u a lp r o b l e mi so b t a i n e d b yn u m e r i c a l l ys o l v i n g t h ed u a lp r o b l e m ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ep r i m a r yp r o b l e mi so b t a i n e da n dt h eo p t i m a l a s s e ta l l o c a t i o nb e t w e e nar i s k ya s s e ta n dar i s k l e s sa s s e ta n dt h eo p t i m a ld i v i d e n dp a y i n g s t r a t e g ya r ed e r i v e d k e yw o r d s ： i n s u r a n c ec o m p a n y ；o p t i m a la s s e ta l l o c a t i o n ；o p t i m a ld i v i d e n dp a y i n g ；d y n a m i c p r o g r a m m i n g ；n u m e r i c a ls o l v i n g ；c e vm o d e l 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：金滋e t 期：逾：占 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：金蓝导师签名：逐曰垄 日期：占啤牟甥玉p 签名：金蓝导师签名：邳里l 垄日期：占碑鑫! 瞄p 上海大学硕士学位论文 1 1 金融数学的发展 第一章绪论 金融数学又称分析金融学，是2 0 世纪8 0 年代末、9 0 年代初兴起的前沿学 科，是金融学、数学( 主要是用来描述金融的不确定性环境的那些数学，如概率 论与数理统计学、随机分析、统计分析、随机最优控制、数学规划论、非线性分 析、微分方程等) 、计算数学( 用于寻求近似值的计算方法，如数值方法等) 和 计算机方面的技术( 如：信息传递技术、仿真技术等) 相结合产生出来的现代金 融理论。它是在两次“华尔街革命”的基础上产生发展起来的，其核心问题是不 确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。所谓的“华尔街革命” 就是数学进入金融学，使金融理论与实践产生飞跃。从此人们认识到在解决金融 学的基本问题( 金融风险防范和获取利益) 中运用数学和计算机科学的理论与方 法在定量分析和信息传递研究中的巨大作用。 现代金融理论的发展起源可以追溯到1 9 0 0 年法国数学家b a c h e l i e r 的博士 论文投机的理论【1 j 。b a c h e l i e r 用布朗运动来研究股市。假设股票价格是绝 对布朗运动，单位时间方差为盯2 ，且没有漂移，其到期日买方预期价格为 ( 矧- x d p 等 枷攻等 其中s 为股票价格，j 为执行价格，t 为距离到期日的时间，圪为买方价格，o ( ) 为标准正态分布的分布函数，矿( ) 为标准正态分布的概率密度函数。但由于当时 人们普遍认为股票等金融工具是一种纯粹的投机工具，故b a c h e l i e r 的研究成果 并不受到重视，被埋没了半个世纪。 2 0 世纪5 0 年代伴随着计算机的广泛应用，金融数学的研究再度兴起，在金 融经济学频获诺贝尔经济学奖的同时，也使得金融数学越来越受到金融理论界、 实务界和应用数学、计算机数学界的青睐。 1 9 5 2 年，马柯维茨( m a r k o v i t z ) 的投资组合选择理论( t h et h e o r yo f p o r t f o l i os e l e c t i o n ) 1 2 j 引发了“第一次华尔街革命”，开拓了证券投资的定量 上海大学硕士学位论文 分析方法，提出了用方差来描述投资风险的概念。马柯维茨的理论使得金融问题 发生了从定性到定量的转变。2 0 世纪6 0 年代中期，夏普( w s h a r p e ) 提出了著 名的资本资产定价模型( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l c a p i d ) 【3 】。如今c a p m 模型已成了现代投资领域中的度量证券风险和利益关系的基本模型。该定价模型 表明证券市场中所有证券的收益和风险取决于其与证券市场最佳资产组合一市 场组合( m a r k e tp o r t f o l i o ) 的相关系数“b e t a ”，利用这个方法可以对市场中 不同证券的收益和风险之间的相互关系进行比较。马柯维茨和夏普因此获得了 1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖。1 9 7 3 年布莱克( f b l a c k ) 、斯科尔斯( m s c h o l e s ) 和 默顿( r m e r t o n ) 建立的期权定价理论是金融理论的另一次革命性成果，引发了 “第二次华尔街革命”。布莱克和斯科尔斯给出了定常无风险利率和定常波动率 情况下的欧式看涨期权的定价公式，即今天众所周知的b l a c k - - s c h o l e s 公式， 这是现代金融理论的重大突破【4 】。而默顿将b l a c k - - s c h o l e s 公式推广到无风险 利率满足随机的情形。布莱克和斯科尔斯，以及默顿等人的工作为期权等金融 工具的交易提供了可观的定价依据，使得期权等金融衍生产品的大量涌现成为可 能，促进了金融衍生工具的极大发展。默顿和斯科尔斯因此获得了1 9 9 7 年诺贝 尔经济学奖( 布莱克于1 9 9 5 年英年早逝，未能分享此项殊荣) 。 作为这两次华尔街革命的产物，金融数学磅礴发展起来，成为当前发展最快 的应用数学之一，被称为现代金融中的高技术。许多非常抽象的、深奥的现代数 学理论与方法被应用到资产组合选择、金融衍生工具的设计与定价、风险分析与 管理、套期保值决策以及敏感度分析。数学给金融经济学带来了巨大的活力，而 金融学为数学的应用提供了广阔的天地。 1 2 最优投资消费问题的简介 每个人、每个经济实体每天都面临着投资消费决策问题。投资消费决策可分 成两部分：其一是“消费一储蓄”决策，即确定现有财富多少用于消费、多少用 于投资；其二是“组合选择”决策，即分配消费剩余后的财富，确定各种证券( 如 股票、债券及其它衍生证券) 的购买量。一般说来，这两部分决策不是独立的。 最优投资消费问题就是在已有财富的条件下，投资者如何安排给定时域内的投资 2 上海大学硕士学位论文 和消费使得消费和最终财富的期望效用最大的问题。 2 0 世纪7 0 年代初，诺贝尔经济学奖获得者默顿就开始研究最优投资和消费 问题，并在一定条件下建立了经典的投资一消费模型【6 】【7 】。经典的最优投资消费 问题又称m e r t o n 问题。在金融市场为无套利、无摩擦的连续开放型市场，且投 资行为不影响各类证券的价格的假设下，m e r t o n 问题考虑投资者拥有两种可供 选择的证券：一是无风险资产( 如储蓄、债券) ，连续复利为r ，即无风险资产的 价格p 满足微分方程譬：r d t ；二是风险资产( 如股票) ，风险资产的价格过程 满足几何布朗运动，即价格s 满足微分方程孕：础+ 耐叱，其中是标准布朗 运动。投资者通过构造由这两种资产组成的证券组合使自己的财富增加，并通过 消费这些财富使自己的效用期望e lr p 币u o ，l 最大化，其中效用函数为 h a r a 型u g ) = 兰。【6 】中给出了重要的结果：投资到风险资产的资本数量与总资 g 产的比值为一个常数兰盯一：时，可达到资产最优化的目的，这一结果被称为 ( 1 一g ) “固定组合”( f i x e d - - m i x ) 。这个策略与时间、投资者的初始资产的多少无关， 随着时间的推移，投资者需要不断地调整投资到风险资产的资本数量以保持这一 比值。 而事实上，现实的金融市场往往都是非完全市场。非完全市场产生的原因很 多，比如政策的影响、制度的约束、市场的摩擦、经济的周期性、非对称信息、 价格的不连续性等等。这些众多因素都将以复杂的方式影响着金融市场的运行。 经典的最优投资消费问题要求证券的价格服从标准的几何布朗运动，而证券价格 并不真正服从标准布朗运动，即使证券价格服从标准布朗运动，也会由于在辨识 过程中对参数估计产生误差，而使模型的可靠程度大大降低。为此，许多学者在 经典的m e r t o n 问题的基础上，逐步放宽某些假设条件来研究这一问题，取得了许 多成果。 这些结果主要集中在带有交易费用的最优消费和投资问题【8 】【9 】，具有不确 定收入的最优消费和投资问题【1 0 】和风险资产价格服从带有跳跃一扩散过程的 上海大学硕士学位论文 几何布朗运动情况下的最优消费和投资问题【1 1 】【1 2 】，以及考虑一些变量或者参 数为随机的模型如随机波动率模型【1 3 】 1 4 】 1 5 】【1 6 】和随机利率模型【1 7 】【1 8 】。 近几年来，最优投资消费问题在国内也是研究的热点。 【1 9 】在股票价格过程为跳扩散过程的情形下，讨论了最优投资消费策略 问题。该文假定股票价格满足随机微分方程 警= o 一触协+ 咖+ 脚 其中为股票的预期收益率，盯2 为无跳跃发生时股票收益率的方差，w 为标准 布朗运动，g 为参数a 的泊松过程，】，为股票价格的相对跳跃高度，j = e r 】。 投资者通过构造由这两种资产组成的证券组合使自己的财富增加，并通过消费这 些财富使自己的在【0 ，r 】时间内累积消费效用和关于期终财富的效用最大，得到 了最优投资消费策略的偏微分方程。 【2 0 】 2 1 】【2 2 】研究了金融市场上证券投资的随机模型，证券价格的波动行为 用随机微分方程加以刻画。【2 0 】在经典投资消费问题的基础上，还考虑了投资在 股票上的红利支付，探讨了投资商的最优消费与投资的一般特征，并就模型系数 为常系数情形导出反馈形式的最优消费与投资公式。 2 1 】研究了在不完备金融市 场上有红利支付和随机收入情况下的最优投资和消费问题，利用粘性解的技术， 得出值函数是对应的h j b 方程的光滑解；证明了最优策略是存在的，用反馈形式 给出了最优消费投资策略。【2 2 】综合考虑了有随机收入、红利支付、税收和交易 费用的投资决策问题的最优投资和消费问题，给出了基于值函数的最优消费投资 策略的反馈形式的解。 【2 3 】研究了在证券价格服从一个带有随机方差几何布朗运动情况下的最优 消费和投资问题，也就是证券价格s 满足 塑：础+ 咖 j 警= 巧p 一善胁+ 眺，盯( o ) = c r o 其中盯是随机变量，表示证券预期收益率波动的方差，c r 0 表示证券预期收益的 4 上海大学硕士学位论文 初始波动率，、艿、f 、卢分别表示证券的预期收益率、随机方差的预期变化 率、随机方差的波动平均值和随机方差的波动率；w 和w n 分别表示证券价格和 方差服从的标准维纳过程，它们之间的相关系数为p 。文中首先建立了最优消费 和投资问题随机最优控制的数学模型，运用随机最优控制理论，得到了最优消费 和投资随机最优控制问题的值函数所满足的偏微分方程：其次，基于最优控制问 题的值函数给出了具有反馈形式的最优消费和投资策略，并与经典m e r t o n 问题 进行了比较分析。 自从m e r t o n 的文章发表以来，大量的关于连续时间下的最优投资组合的文 章涌现出来。人们利用随机控制理论，不断深入地探讨和构建各种类型的最优投 资消费模型。使得模型更有针对性( 如针对投资银行、证券公司、政府机构、保 险公司、养老基金等) ，更切合现实的情况。 1 3 本文的研究工作 本文主要研究的是保险公司的最优投资组合和消费策略的问题。以往研究保 险公司消费策略的文章把保险公司的财富过程定义为简单的布朗运动，并考虑保 险公司的总资产由保费收益和消费支出构成。a a m u s s c n 和t a k s a r 以贴现红利的 期望值达到最大为目标，得到了最优消费策略的解析形式的解。f r i e d d s h 和w a l t e r 以贴现红利的效用期望值达到最大为目标，得到了值函数的h j b 方程。他们对 解的性质进行了一定的讨论，但并未对最优策略的解进行具体计算。 本文，我们把投资组合的概念引入保险公司的财富收益中，假设保险公司总 财富的积累除了稳定的保单收益外，还有投资到无风险资产和风险资产的随机回 报收益。另外我们还考虑到保险公司无可避免地存在索赔支出和消费支出( 即分 红支出) 。在这样的考虑下，我们来确定最优分红策略以及风险资产的最优投资 比例。 大多数关于最优投资消费问题的文章都只是对金融模型推导了值函数满足 的h j b 方程，并由h j b 方程的一阶最优条件给出了最优策略的反馈形式的解， 由于h j b 方程的复杂性，其最优策略的解析解通常是无法得到，同时在这些文 章中并未讨论数值求解的问题。本文工作的重点是对上述金融问题建立数学模 上海大学硕士学位论文 型，在得到h j b 方程的基础上，利用计算数学和计算机方面的技术，进行数值 计算，从而达到对金融问题进行数值模拟和定量研究的目的。本文的主要内容如 下： 其一是在风险资产价格满足几何布朗运动的条件下研究最优投资消费问题。 我们对金融市场作如下的假设：( 1 ) 市场无套利；( 2 ) 市场无摩擦，即资本市场 无任何交易成本、税金无卖空限制、证券可以任意分割；( 3 ) 市场中存在一个风 险资产和一个利率固定的无风险资产可供选择；( 4 ) 在保险公司风险投资和索赔 过程中存在两个相互独立的标准布朗运动。在当时总财富确定的条件下，将支出 红利的期望效用达到最大作为目标，我们利用动态规划原理得到了问题的控制方 程，它是一个非线性常微分方程。通过解的凹性和渐近性质，我们构造了一种数 值方法对方程进行了求解，从而得到了最优投资比例和最优分红策略的近似解。 其二是在风险资产价格满足c e v 模型的条件下研究最优投资消费问题。这 时，风险资产价格的波动率不再是常数，而是受到其价格本身的影响。在当时总 财富和风险资产价格确定的条件下，利用动态规划原理得到了使得支出红利的期 望效用最大的控制方程。我们应用l e g e n d r e 变换将其转化为线性偏微分方程， 建立对偶问题。通过对偶问题的数值求解，从而求得原问题的数值解，确定了最 优投资比例和最优分红策略。 6 上海大学硕士学位论文 第二章投资消费问题的理论研究 2 1 随机控制理论 2 1 1 随机最优控制的概述 设心，f ，p ) 是一概率空间，嘶) ，t 2 0 是概率空间( q ，f ，p ) 上的后维w i n n e r 过程；e = 口) ，s f 】是由w i n n e r 过程比) 产生的盯一域族把) ，每个盯一域e 都是完备化的；设u 是m 维欧氏空间尺中的一个子集。 考虑下面的随机最优控制问题，假设受控对象用下面的随机微分方程来描述 f d x ，= b o ) ，”o 凇t + 盯b o ) ”( f ) 1 毗 l 如) = ( 2 1 - 1 ) 其中，撕) 是七维状态向量，“o ) 是m 维控制向量，s 伍) 是七七矩阵的全体的集 合，盯( ，) ：r x u j s 伍) ，( ，) ：r u r 2 。 目标泛函为，0 ) = e f 胁g p ) ) 】 ( 2 1 2 ) 其中， ( ) ：r 哼r 为连续可微函数，( ) ：r 1 一r 1 为效用函数，e 表示期望 算子。随机最优控制问题是寻求“+ ( ) u ，使得 j u + ( ) 】= s u p 以“( 为 “e u “( ) 称为控制问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的最优控制，相应于“( ) 的随机 微分方程( 2 1 1 ) 的解x e ) 称为最优轨道。 定义1 i 发f ( x ) ：【o ，+ m ) 一r ，是二阶连续可微函数，且，g ) 0 ，则称f g ) 为效用函数。 定义2 若，g ) 为效用函数，则称 y g ，t ) = s u p j ( u ) - - s u p 职陋) ) 】 “e ( ，“e u ( 2 1 3 ) 为由随机微分方程( 2 1 1 ) 和目标泛函( 2 1 2 ) 构成的随机最优控制问题的值 7 上海大学硕士学位论文 函数。 2 1 2 动态规划原理 动态规划是解决随机最优控制问题的重要方法。连续系统的动态规划，是在 经典的哈密顿一雅可比( h a m i l t o n - j a c o b i ) 理论的基础上发展起来的。变分学中 的经典哈密顿一雅可比理论，研究的是关于寻找满足最优效益函数( 即性能指标) 的偏微分方程，以及同时存在着的满足最优控制函数的向量偏微分方程的问题。 贝尔曼根据最优性原理，发展了哈密顿一雅可比理论，形成了“动态规划”。 设连续时间受控系统的状态方程为下列微分方程组： 妄= 瓜州) ( 2 1 4 ) 其中善为k 维状态向量，“为m 维控制向量，为k 维向量，初始状态向量 面。) = 工o ，求最优控制向量“o ) 使目标泛函 ，= j ：五仁u , t ) d t + g k o 。l t l 】 ( 2 1 5 ) 取最小值。 令矿g 。，f o ) ；初始时刻气系统处于状态妒，在k ，f 。】时间区间内使用最优控制 后，目标泛函( 2 1 5 ) 的最小值。 于是，由最优性原理，对任一状态工和f 【f o ，t 。】有 v ( x ( a r ) = 哪n l 厶g “g l s 如+ g g 。) = 卿n f 二g g ) s 协+ 。兀。如) ，“s 协+ 譬g o 。) ，r 。) = 归岛n f “石。和l “g l s 炳+ 。厶g “s + g g “h 又有矿g ( f + 出) ，f + f ) = 归j ! i a t 矗g g ) “g ) s 协+ g g “) ，f ，) 所以得到 矿g ，f ) = 唧n lf 五g g l “o l s ) 出+ y + f ) f + 址) i ( 2 1 6 ) 其中a t 0 是充分小的时间增量。 由 托+ e 0 = x o ) + d ，x 。a t + d 阻) 上海大学硕士学位论文 = 砖) + ，( x ，u ，f 冷+ o ( a t j 假定矿k f ) 对工和f 的偏导数存在，则有 矿+ 出l ，+ 】= 矿晰) ，) + 掣 t ，g ，彬玲 lc 锑i + a v ( x 。( t lt ) a t + 。( f ) 又因 f + “五b g ) ，“g ) ，s 扭= f o x ( t ) u ( t ) , t a t + d ( 出) 将( 2 1 7 ) 式和( 2 1 8 ) 式代入( 2 1 6 ) 式，得到 y g ，, ) - - m 2 n 饥) ，“o ) ，f 】t + y g o ) f ) + ( 爿椭班h 詈阻) ( 2 1 8 ) 右边的矿b f ) 与“无关，n - 移至m 。i n z p b ，两边再除以缸，并令缸一0 ， 便得： 卿n 卜) + ( 豢) 1 胍小斗。 或 一署呻k 州，+ ( 警 7 肌川 汜， 边界条件显然为v ( x ( t 1 f ) = g ( x ( t 。) ，) ( 2 1 9 ) 式表示任一时刻t ，最优控制“o ) 和相应的最优轨道x o ) ( 即 ( 2 1 4 ) 的“用“o ) 时方程的解) 与y b n f ) 间的关系，可以写成 一划o t = 五协r 】+ 删7 枷“协r ) 亿。， 方辉( 2 1 9 ) 或( 2 1 1 0 ) 就称为哈密顿一稚可e b 一贝尔基：h - 程( h i b 方程) 。 2 2 最优投资消费问题的数学描述 设投资者在时间f 具有财富价值形( f ) ，这些财富用来投资、银行储蓄或目前 消费。设投资者的财富表现为证券资产或银行储蓄，其拥有数量分别为n l ( f ) 和 9 上海大学硕士学位论文 ：( f ) ，价格分别为s ( o 、p ( f ) ，则f 时财富为 矿o ) = i o 声o ) + m o ) p o ) ( 2 2 1 ) 微分得d w = 1 d s + s d n i + “棚+ n 2 d p + p d n 2 + d n 2 d p ( 2 2 2 ) 如果记投资者在【f ，h 出】时段增加的收益为咖o ) ，消费支出为啦，这里 c ( f ) 为t 时单位时间内的消费数量。则有 沁+ d n y 一c i 碡t = e + 鳓一m ( f 凇0 + 神+ k o + 动一2 0 ) + 棚 = o + 韵一m ( f ) 】+ 却一砘) 】+ 【2 0 + 神一n ：( 0 i 【币+ d o 一所) 】2 忍3 + 【l o + 神一l o o ) + 【2 0 + 砌一2 0 慨) 在连续时间情形即为：d y c d t = d n i d s + 毗护+ 跗l + p d n 2 ( 2 2 4 ) 由( 2 2 2 ) 式和( 2 2 4 ) 式得d w = 1 d s + 2 卯+ 方一c d t 于是得到投资者的财富方程为 a w q ) = w ( t x a d s ( t ) s ( t ) + ( 1 一口础) e ( 0 ) + a y c ( t ) a t ( 2 2 5 ) 其中口= u h ) s ( t ) w ( o ，即证券资产占总资产的比例。 最优投资消费问题是投资者根据f 时所获得的经济信息，寻求最优策略c o ) 和口( f ) ，使得【o ，r 】时间内累积消费效用与关于期终财富的效用之和的数学期望 最大，即 m 。训a x e l r 旬( u ( c r + g 缈叫 ( 2 2 6 ) 其中f 【，p o l f 表示 0 ，r 】内累积消费效用，g ( 缈p l r ) 表示投资者关于期终财 富的效用。 2 3l e g e n d r e 变换 l e g e n d r e 变换多应用于微分方程的数值求解，它最早是用于物理学中，此 后在金融数学中也得到了广泛的应用。对最优投资消费问题建立金融模型，得到 的关于值函数的h j b 方程通常都是非线性偏微分方程，其解析解通常是无法直接 1 0 上海大学硕士学位论文 得到的，对其进行数值计算也是比较复杂的，这种情况下有时借助l e g e n d r e 变 换，将问题转化为对偶问题，可以将复杂的非线性微分方程转化为线性的微分方 程，从而达到数值求解的目的。l e g e n d r e 变换的过程是： 定义值函数矿( f ，x ) 的对偶函数： 矿o ，z ) = , u p v ( t ，x ) 一z x ( 2 3 1 ) g o ，力= i n f k 0 | 矿( f ，o 硝+ 矿g ，z ) ( 2 3 2 ) 其中z 0 表示x 的对偶变量。 由矿：v 一荔 对z 求导，可得 圪= z 对z 求导，得到 吃= 一工 又因为 g = 工，g = 一吃= 巧1 则得到y 与对偶函数g 的如下关系： v 。= g t k 2 考；一量 在最终时刻，记 0 ( 0 = s u p u 一一 g g ) ：i n f 0 叫【，g ) z x + d ( z ) ； 先对原问题的h j b 方程关于石求偏导数，再将对偶函数g 与值函数v 的关系 式代入，即可得到线性偏微分方程，通过对线性偏微分方程的数值求解确定最优 策略的近似解。 ：e 2 6 d o x v b l a c k - s c h o l e s m e r t o n 模型，考虑了无风险利率为零的特殊情 况，得到h j b 方程 k 一丢毒= 。 ( 2 3 3 ) 上海大学硕士学位论文 以及最优投资比例万：一兰生 t l r 2 吃 对方程( 2 3 3 ) 应用l e g e n d r e 对偶变换，将原h j b 方程转化为 g ，+ 等2 如。+ 告2 召：= 。 最优策略石= 一p - - t z g ：( f ，z ) 此时， g ( f ，z ) - - x 如果效用函数为幂效用函数 u b ) ：生，o ， m a x 1 3 l l 。实际上，如果幂效用函 数u ( c ) ：霎的口取为l ，则得到的是与 2 9 】相同的问题。f r i e d r i s h 和w a l t e r 口 在 3 1 】中对值函数的解的存在唯一性进行了论证，对解的性质进行了分析，得出 口_ 1 时，解是唯一的并且收敛到 2 9 】中问题对应的解。 上海大学硕士学位论文 我们看到【2 9 】和【3 l 】中考虑的财富过程为简单的布朗运动d r = ，础+ 耐m ， 这只是考虑到了保费的稳定收益和波动收益。在本章中，我们引入投资组合的理 念，投资组合这部分的随机收益实际上就相当于前两者中保费的波动收益。另外 我们还考虑到保险公司无可避免地存在索赔。在这样的模型下，我们来确定最优 分红策略以及风险资产的最优投资比例。 3 2 金融模型 3 2 1 主要假设 在不考虑分红的情形下，保险公司的总财富定义为冠，公司的投资组合分为 风险资产s 。= 口，r i 和无风险资产s 。= ( 1 一q k ，其中哆表示投资到风险资产的 财富比例，足和q 都是关于时间t 的函数，剩余部分1 一a ，投资到收益率为常数， 的无风险资产，并且假定风险资产的平均收益率n 高于，。风险资产的价格s 在 时刻t 满足如下微分方程： 了d s = f i 出+ 盯。批 ( 3 2 1 ) 其中w 是标准布朗运动，盯。均为常数，_ 表示风险资产的期望收益。 无风险资产的价格p 在时刻t 满足的微分方程为： 一d p ：r d t r d t ( 3 2 2 ) = 【3 z z j 尸 其中r 为常数，表示无风险资产的期望收益。 另外我们还假设保险公司面临索赔，到时刻f 为止总的索赔量记为e ，i 的 发展满足方程： d r = 屹出+ c r 2 f 州 ( 3 2 3 ) 其中吒，盯：也都是常数，w ，是和w 相互独立的标准布朗运动。 1 4 上海大学硕士学位论文 3 2 2 最优问题 保险公司的财富过程表示为r t ，分红策略表示为过程c f ，c f 表示累积到时 刻t 的所有红利，记在( f ，h - f ) 时间中，分取的红利为c , a t ，则对v t 0 有 g = f e , d s 。 保险公司在时刻f 的总资产记为置，则置= r t - c ,( t 0 ) 显然总资产价值满足微分方程 2 矾一崛 ( 3 2 4 ) = 脚f + d s o + d s l 一d l d c f 即 瓯= 础+ ( 1 一q 比砌十口。x 。d 置s , 一犯一c ，出 ( 3 2 5 ) 其中，第一项表示保险公司的固定保单收益，第二项表示无风险资产收益， 第三项表示风险资产收益，第四项表示索赔支出，最后一项表示分红支出。 将风险资产模型与索赔模型代入方程( 3 2 5 ) ，得到 d x , = i m t + 0 一口，) x t r d t + a t t x t r l d t + a f x t c x l 西q r 2 d t 一盯2 毋一一c , d t 简记为： d x , = 缸+ 置r + 口，置“一r ) 一r 2 一c t x 打+ o r t x t o 1 d w f 一盯2 d 叫 ( 3 2 6 ) 本章讨论的最优化问题是：确定风险投资比例o t 和分红策略c ，使红利贴现 效用期望最大，o pe f f e - 辟u ( c ， 卜争m a x 。其中u ( c ，) 表示红利的效用， 【，g ) ：生，g o ) ，g ( o ，1 ) 3 2 3h j b 方程 定义值函数嘶，j ) = n 黔 e r e 一辟u ( c ，k i 置= 0 c s z ， 根据动态规划原理，有m b ，t ) = s u p e e 一肛【，( c f ) 出+ b + d 一，f + 出) 】 上海大学硕士学位论文 展开以+ 越，t + d t ) b + 扔，f + 出) = w ( x ，t ) + w , d t + w d x , + 去v 。( c 幻1 ) 2 ( 3 2 8 ) + 丢w j f 曲) 2 + w ，, d x , d t + 口 ) 由确公式：e ) = e ) = 0 e 融) 2 = e d t d w ， = e d t d w ； = 0 ， e ) 2 = e ) 2 = d t ， 注意到v 和w f 是相互独立的标准布朗运动，有量融d ) = 0 从而可以得到值函数嘶，x ) 的h j b7 y 程- w ，+ 勰 。+ 胛+ 砘一r ) - r 2 - c ) w x + 吾仁2 盯_ 2 + 司k + u ( 寝巾 = 。( s z 。) 此外，我们有显然的边值条件：以，o ) = 0 这是一个非线性的偏微分方程，假设值函数具有形式础，x ) - - e 一肛v ( x ) ( 3 2 1 0 ) ，其中v 表示取决于当前财富工的过程，有w o ，x ) = 一膨一辟如) 因此将(