（计算数学专业论文）基于统计特征与小波变换的医学图像插值研究.pdf

摘要 论文题目：基于统计特征和小波变换的医学图像插值研究 专业：计算数学 学位申请人：韩维维 导师及职称：关履泰教授 李小福副教授 摘要 随着医学和图像处理技术的进步，医学影像设备的不断改进，数字化医学影 像在医学诊断和治疗中起着越来越重要的作用。由于硬件设备的限制，使得图像 数据在获取时，无法满足各种应用场合所需要的分辨率，若从硬件上改进需要付 出较昂贵的代价，因而通过插值技术实现图像数据的超分辨率恢复具有很重要的 现实意义和理论价值。另外图像插值也是视频图像处理，数字电影，计算机动画， 计算机视觉中的关键技术。 本文在针对医学图像插值研究的基础上，针对c t 和m r 图像，重点研究了 静态灰度图像的“图像内插值”。基于数字图像的本身的离散化特点，将模式识 别中聚类分析的思想利用到边缘方向插值方法中，提出了基于统计特征的边缘方 向插值方法，与原算法相比，即保证了医学图像对高质量的要求，又降低了算法 的复杂度。 同时，本文探索了基于小波分析的图像插值方法，在对比原有的高频预测方 法的基础上，根据不同的小波分解后各予带系数的相关性不同的事实，提出了新 的预测高频细节的方法，并能方便的结合多小波实现任意整数倍的图像超分辨 率。实验结果表明本文提出的基于小波分析的图像插值方法能够有效的保持图像 的边缘特征，达到更好的视觉效果。 本文的所有c t 和豫图像均来自b ! ! 巳；z z i 受塑：皿鲴i = 墅：塑 关键词：医学图像、图像插值、小波变换、边缘方向插值 w h ht h ed e v e l o p m e mo fm e d i c i l l ea n dd i g i t a li m a g ep f o c e 娼j n g ，t h ea c c e l e r a t i n g d i g i t i z a t j o no fm o d e r nh o s p i t a l ，t h ed i g i t a lm e d j c a li m a g e sp h yam o f ea n dm o r e i m p o n 孤tm l ci l l t h ed j a g n o s i sa n dt h et r e a l m e n to f h u m a nd i s e a s e s b u tm e d i c a l i i 眦g e s9 0 td i r e c t l yc a nn o ts a t i s f yt h en e e do fr e v o l u t i o nu n d e ra n ys i t u a t i o n i no r d e r t oi m p r 0 v et h er e v o l u t i o na n ds h a 叩n e s s0 ft h ci i i l a g e ，w ep r e f e rt ou s es 0 f t w a r et o o l t h a l lh a r d w a r eb e c a u s eo ft h eh 培hc o s t i na d d 王t i o n ，i m a g ei n t e r p o l a t i o ni st h ek e y t e c h 1 0 9 yi 1 1v i d 洒a g cp r o c c s s 抽g ，d i g j t a lc i n e m a ，c o m p u t e fa n j m a t i o n ，c o m p u t e r v i s i o l lt h e r e f o r ei l n a g ei l l t e 单o l a t i o nm e t h o d sh a v eo c c u p i e dap e c u l i a rp o s n i o ni n m e d i c a lj m a g ep r o c e s s i f l g s oi ti sn e e dt os t u d yi i i l a g ei n t e r p o i a t 主o ni l l a p p l i c a t i o n a n d t h c o r y f j r s t ，t h ea n i c l es t u d i e st h ei i n a g ei n t e r p o l a t i o ni l lo n es t i l l 掣a yc to rm r i b e c a u s ead 远n a li r n a g ej s 掘c r e t e ，t h ea n i c l es t u d i e st h ej d e ao fc l u s t e 血ga i l a l y s i s 姐dg i v e san e wi i n p r o v e de d g e - d i r e c t e d 如t e f p o l a t i o nm e t h o do ns t a t i s t i c f e a t u r e e x p e r 岫e n t ss h o wt h en e wm e t h o ds a t i s f yt h ec o m m a n do f h i 曲q u a h l yo fm e d i c a l i m a g ea n dr e d u c et h ec o m p l i c a t i o nc o m p a r e dw i l ht h c o l di n c t h o d s e c o n d ，t h ea n i c l ea l s os t u d i e st b ei i i l a g en e q ，0 1 a t j o nw a v e k t b a s e d 柚df m dt h c f a c tt h a tt l l ec o e f f i c i c m sh a v ed i 疵r e n tr e l a t 押i t yt h r o u g l ld i 如f e mw a v e l c lt r a n s a c t i o n c o m p a r i i l gi h en l c f l l o d sw a v e l e t - b a s c dp r o p o s e d f h ea n i c j eg i v c san e wm e t l l o d w a v e l e t 由a s e dt of o r e c a s tt h ch i 曲丘e q u e i l c yd e t a i l s a n di lc a na c l l i e v ea n yt i i n e s s u p e f - r e v o l u t i o nw i i hm - b a n dw a v c l e t e x p c r h e m ss h o wt b a t t h en e wm e t h o dc a n r e t a i nt h ce d g ef c a t u f eo fi i i l a g ce 骶c t i v e l ya n dg i v e sab e t t e rv j s i o ne t f c d i v e n e s s a l l o f t h c i m a g e s i n t h i s a n i c l ea r e 丘o m 丛2 ；! ! 型：里! i 二l 垦二：g ! 型 k e y w o r d s ：m e d i c a l l m a g c ，l m a g ei n t e r p o l a t 叠o n ，w h v e l c tt r a 璐f 0 珊，c d g e 曲e c t e d i n t e r d 0 l a t i o n m 第一章绪论 第一章绪论 1 1 图像插值及其国内外研究现状 图像插值又称图像超分辨率恢复，是计算机图形学和图像处理的内容之 一，已有悠久的历史1 1 【2 ”。图像插值就是图像数据的再生过程，由原始具有 较低分辨率的图像数据再生出具有更高分辨率的图像数据。根据一幅较低分辨 率的图像再生出另一幅具有较高分辨率的图像的插值称为图像内插值，可以应 用于图像放大和旋转；在一图像序列之间再生出若干幅新的图像，这种插值称 为图像间插值，可应用于医学图像序列切片和视频序列之间的插值。在数字图 像处理领域，图像插值是一类经常碰到的问题，是视频图像处理、数字电影、 计算机动画、计算机视觉中的关键技术吲1 2 9 忡】。在卫星遥感图像、医学图像、 数字影像、多媒体的处理过程中，利用合适的图像插值技术实现图像的放大、 旋转，可以获得比较好的视觉效果。因而对图像插值方法的研究具有十分重要 的现实意义和理论价值。 传统的图像插值，一般是指在某假定的参数化模型的框架下，在给定的空 间范围内，从有限的采样数据复原出原始连续的图像信号。这种插值一般要满 足两个假设：a ) 待插象素点的灰度值位于二维欧氏空间中的一个连续的曲面 内；所采用的插值模型应该满足插值条件，即在原图的采样点上，插值结果 应与原图中象素的灰度值保持一致脚。近年来，基于数字图像离散化的特点， 离散插值亦已进入插值的研究领域，和连续插值相比较，离散插值是在满足上 述第二个条件的前提下，用己知像素点的灰度值直接估计未知像素点的像素的 灰度值。 目前，对于图像插值领域里的图像内插值，经典的插值算法是利用邻近象 素点灰度值的加权平均来计算待插象素点的灰度值，一般表现为离散采样值与 插值基函数之间的二维卷积。基于这一模型的插值基函数有矩形函数、多项式 函数、样条函数、加窗s j l l c 函数等多种选择，当然，选择不同的插值基函数， 中山大学硕士学位论文 会得到不同的插值效果和插值误差，也会有不同的计算复杂度，一般在计算复 杂度和插值结果之间取得平衡【l l 。但是，这些插值基函数都表现出低通滤波器 的特性，对图像数据中的高频信息具有滤除和抑制作用，在插值过程中不可避 免的会丢失一些高频信息和边缘特征，而这些边缘和纹理特征却包含了图像的 主要细节和信息，因此插值后的图像在视觉效果上会有一定的模糊和平滑效 果。目前，边缘和纹理特征的保护是图像插值领域中急需解决的问题，也是制 约插值效果的瓶颈问题，保护图像边缘特征的插值方法研究已引起国内外学者 的广泛关注，已出现许多改进的算法和新方法，如将线性技术与非线性技术相 结合，空域处理方法和频域相结合，以期改进插值图像的视觉效果，典型的有： 中值插值方法，小波插值方法，分形插值方法，自适应插值方法等“2 9 1 【”l 。 1 2 医学图像插值 生物医学图像处理是图像处理的一个重要研究领域，随着医学和图像处理 技术的不断进步，医学影像设备的不断改进，医学图像在临床诊断、病理分析 和治疗中起着越来越重要的作用。 1 2 1 医学图像简介【1 3 1 【1 6 悼1 【5 3 随着医学影像技术的不断发展，医学图像已从早期的x 光图片发展为二维 数字断层图像序列。目前，医学影像技术主要有，计算机断层扫描技术( c t ： g o m p u t e dt o m o g r a p h y ) 核磁菇振成像技术( m r i ：m a g n e t i cr e s o n a n c e i 腿g i n g ) ，有时简称为m r ，数字血管减影成像技术( d s a ：d i g i t a ls u b t r a c t i o n a n g i o g r a p h y ) ，超声成像技术( u s ：u l t r a s o n o g r a p h y ) ，正电子发射断层成像技 术( p e t ：p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y ) ，单光子发射断层成像技术( s p e t ： s i g n a lp h o t o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y ) 等。它们所产生的图像各有所长，能够 分别以不同的时空分辨率提供各种解剖信息或功能信息，协助医生进行诊断和 治疗，表卜1 列出了几种医学图像的常用规格。计算机断层扫描( c t ) 图像对于 骨组织、牙齿等具有很高的分辨能力，而核磁共振( 躲i ) 图像对软组织和肿瘤 第一章绪论 成像清晰，他们也是应用最广泛的医学图像。 表卜l 图像获取技术图像的尺度象素值( b i t ) c t 2 5 6 2 5 61 2 m r i5 1 2 5 1 21 6 u s5 1 2 5 1 28 p e t1 2 8 1 2 88 计算机断层扫描( c t ) 图像是c t 影像设备产生的图像，c t 影像设备采用傅 立叶变换、卷积法或r a d o n 反演运算，从多个方向上的射线投影反算空间的某 种物理属性，经过图像重建( i 岫g er e c o n s t r u c t i o n ) 重构出断层图像。c t 图像 以不同的灰度来表示人体器官或组织对x 射线的吸收程度，黑影表示低吸收区， 也称为低密度区，如肺部：自影表示高吸收区，也称为高密度区，如骨骼。c t 图像具有较高的密度分辨率( d e n s i t yr e s 0 1 u t i o n ) ，可以显示脑、脊椎、肺、 肝、胆、胰脏、骨骼等器官，并能较好的在解剖图像背影上显示出病变的影像， 因而c t 图像在医学诊断和外科手术中应用非常广泛。 c t 图像中，c t 值的单位是h u ，反映了人体组织对x 射线吸收值，其定义 可以表示为：c r 一爿( n 一盹) ，心，其中，4 为一常数；h 表示对象( 如组织、 器官) 对x 射线的吸收系数；盹表示水对x 射线的吸收系数。人体不同组织或 器官的( t 值可以从相关医学文献资料中获得，一般情况下，我们处理的c t 图像是通过取样和量化后的灰度图像，即数字图像。 核磁共振( m r ) 图像是m r i 影像设备产生的图像，根据电子、质子、中子等 具有自旋和磁距的特性，当对象置入磁场中之后，对象的质子会被磁化，倾向 于同磁场方向一致或相反的排列方式，而磁化强度是一个可以度量的矢量。m r i 成像主要依赖下面四个因素：质子的密度，流空效应，质子在磁场中产生磁化 所需要的时间，在均匀外磁场中横向磁化所能维持的时间。 由于核磁共振( m r i ) 图像对软组织具有很高的分辩能力，在核磁共振图像 获取的过程对人体没有损害，使得m r i 在临床上的应用越来越广泛和深入，例 如对病灶的定量测量，放疗和外科手术中的精确定位，大脑功能区域的定位和 3 中山大学硕士学位论文 测量等。 1 2 2 医学图像插值 根据通过上述方法获取的医学图像，医学专家应用其专业知识进行目测等 常规操作外，还需要借助于对图片的缩放、旋转操作，从不同角度观察图片， 甚至从拍摄的图像序列中精确估计病灶的位置和大小。但是由于硬件设备和辐 射剂量的限制，获取的医学图像数据一般具有以下特点： 曲不能满足各种应用场合对图像的分辨率的要求； b ) 图像的分辨率受到提供数据的硬件设备的限制； c 1 不允许花费大量的时间去采集很高的分辨率的图像数据； d 1 图像的分辨率和数据量受存储设备的容量的限制； 曲有些采集数据的方法受到辐射剂量的限制： 因而需要从软件方面进行改进和弥补硬件的不足。图像插值是图像处理中 图像重采样过程的重要组成部分，而重采样过程又广泛用于改善图像质量、对 图像进行压缩等，因而图像插值在医学图像处理中占据着特殊的位置【卯胴j 。 1 3 对图像插值方法的评价 在图像处理中，无论是图像插值还是图像编码，都不可避免的会使原始图 像和重建图像之间存在着差异，差异越小，原图像和重建图像就越接近，重构 方法就越好，反之，重构方法就越差。对图像进行质量评价是衡量插值方法的 重要指标，但是目前还没有一个统的好的标准。由于数字图像和人的视觉本 身的特点，使得在评判图像时产生了两种评判标准( 又称保真度准则) ：客观 评价标准；主观评价标准，这两种标准是相互依赖，相互影响的。 主观评价是通过人眼观察而对图像质量作出评价，因而受到许多主观因素 的影响，是一种定性的方法。 1 - 3 1 客观评价标准 4 第一章绪论 ( 1 ) 复杂度 复杂度是评价算法优劣的一个重要标准，算法的复杂度是指在整个运算过 程中所需要的加法和乘法次数。到目前为止，各种应用领域对图像插值方法的 选择一般根据特定的需要在算法复杂度和插值图像质量之间取得平衡，在插值 过程中根据所需的插值效果选择具有合适复杂度的插值方法。 ( 2 ) 峰值信噪比( p s n r ) 定义：觥= 2 0 4 l o g 2 5 5 ，其中j ， 是测试图像，表示插值图像。 彤脚的计算通常是将原始图像经过二次抽样生成小图像，然后将缩小的图 像在放大到原来的尺寸，比较插值后的图像和原始图像进行计算得到的，反映 了插值图像和原始图像的符合程度，它是一种比较接近人眼视觉效果的评价标 准。另外，经常用到的客观评价标准还有： 两幅图像的总体误差：【j ：o ，y ) 一o ，_ ) ，) 】； 筋铴 均方根误差：l 【嘉荟荟哺，y ) 一，1 0 榭弘等“。 1 3 2 主观标准 尽管客观标准提供了一种简单方便的评估信息损失的机理，但是大部分图 像最终还是需要人来观察的，因而使用观察者的主观评价来衡量图像的质量更 为恰当。主观评价是通过人眼观察而对图像质量作出评价，因而受到许多主观 因素的影响，特别是对视觉感知知识的缺乏妨碍了图像重建问题的一般表达。 对一幅图像进行主观评价时主要采用打分法，为了尽量减少主观因素的影 响，请多个人对图像质量进行打分( 要求参加评判的观察者包括专业人员和非 专业人员) ，然后平均；或者采用模糊数学中的模糊度和模糊熵的用法，由专 5 中山大学硕士学位论文 家经验决定模糊因子。表卜2 列出了一个可行的等级量表，给出了五级质量尺 度和其描述。 表卜2 图像质量主观评价一个等级量表 质量尺度 描述 5 非常好丝毫看不出图像质量好坏 4好 能看出图像质量变坏，但其中的干扰可以接受 3一般 能清楚的看出图像质量变坏，对观看有妨碍 2差对观看有妨碍，有明显不能接受的干扰 1 非常差非常严重的阻碍观看 1 4 本文的研究工作 本论文的第一章是绪论，概述了图像处理和医学图像处理中图像插值的特 点和地位，及其评判标准。 第二章介绍了几种常用的图像插值方法，包括线性的和非线性的方法。 第三章介绍了本文用到的小波变换的基本理论知识。 第四章详细介绍了本文的工作之一，在模式识别中聚类分析的思想的启发 下，采用局部统计的方法对图像的邻域进行划分，提出并实现了基于局部统计 特征的自适应边缘方向插值方法。 第五章是本文的第二部分工作，在对比分析原有的基于小波的图像插值方 法和小波交换原理的基础上，根据低频图像。提出一种新的方法估计图像的高 频信息，然后推广到多进制小波变换的插值方法实现图像任意倍数的放大。 第六章做了全文的总结和对将来工作的设想。 6 第二章躅像插值方法概述 2 1 前言 第二章图像插值方法概述 图像插值过程就是图像数据的再生过程，由原始具有较低分辨率的图像数据 再生出具有更高分辨率的图像数据，可分为基于一幅图像的“图像内插值”和基 于图像序列的“图像间插值”。在数字图像处理领域，图像插值是一类经常碰到 的问题，是视频图像处理，三维重建，虚拟现实，计算机视觉中的关键技术； 在视频传输、医学影像、数字电影、多媒体的处理过程中，利用合适的图像插值 技术可是实现图像视觉效果的改善，另外插值也是数值分析的重要研究课题，因 而对图像插值方法的研究具有十分重要的现实意义和理论价值。目前，图像插值 有多种分类方法，如：基于空间域的插值方法和基于频域的插值方法；基于场景 的插值方法和基于对象的插值方法；线性方法和非线性方法，本章采用第三种分 类方法。比较常用的线性方法有：最近邻插值、双线性插值、双三次插值、样条 插值、加窗或截断s i n c 函数插值“】；非线性方法有：分形插值、中值插值、小 波插值、自适应插值、向量有理插值等。 由信息论的知识可知，信号的重建是基于信号的采样模型的，只有遵守采样 定理一香农定理才能保证信号的完全重建。 2 2 图像的采样和重建嗍划 2 2 1 香农取样定理( s h a n n o ns 蛐p l et h e o r e m ) 定义一有限带宽函数( b a n dl i m i t e df u n c t i o n ) 是一类特殊的函数，函数 ， ) r 僻) 称为有限带宽函数，如果，o ) 的傅立叶变换，( 亭) 具有紧支集，即 了q ，o ，满足当吲，q 时，( 亭) t o 。或者若称频谱空间中所有满足吲s c 的频 7 中山大学硕士学位论文 率的集合称为一个频带，则频谱位于这个频带的函数就称为有限带宽函数。 香农取样定理 由于计算机不能直接处理连续变量的函数， ) ，选取该连 续函数的一列离散点 】的值，也) ，这个过程称为取样；如果， ) 是有限带宽 函数，jq ) o ，使得s u p p ，c 【一q ，q 】，则， ) 可以表示为 m 置；，o 掣，当q = 万时，函数m 可以由离散序列，沁) 完全决定：， ) = ；，。) 背。 n y q u i s t 取样定理设s u p p ，c 卜q ，q 】，取样步长r 与q 的关系为：r 一吾， 称为n y q u i s t 取样率。 若z ，吾，则对某些一。，七z ，s u p p ， 一警) n 卜q ，q l ，妒，因而在 【一q ，q 】上，砸。，r 1 ；， 一半) 一夕( 珊) ，这导致混叠效应( a l i 弱i n g ) 。 2 2 2 图像的采样 对于理想采样的情况，采用二维无限冲激函数系列c o ，y ) 对连续图像，o ，y ) 进行均匀采样，其中c 0 ，y ) 具有表达式： c o ，y ) 一6 g 一俄。y 一，| z ，) ( 2 一1 ) 其中，小z ，l z ，l ，f ，分别表示z 轴和y 轴上的采样周期。则采样后 的数字图像厶o ，y ) 可用乘积的形式表示为 九 ，y ) 一，0 ，_ ) ，) c o ，y ) ( 2 2 ) 由傅立叶变换的性质可得； 亢( 巳，j ，) = ，o 。，s ，) + o ( 屯，s ，) ( 2 3 ) 其中五o ，5 ，) ，o 。，5 ，) ，( s ，j ，) 分别表示厶 ，y ) ，o ，y ) ，c y ) 的傅立 8 第二章 图像插值方法概述 叶变换。由傅立叶变换的性质立即有： 地一) t 去电 ) 5 妄薹爹脚旷 ( 2 _ 4 ) 其中厶，t 1 r ；，血，一1 f ，表示x 轴和y 轴的采样频率。( 2 3 ) 式又可表示成： 五( 加扣m ，州驴叫，一卢m 哪 2 去盯舳脚薹薹弛一川”，争呜m d 卢5 ) 5 去薹薹觚一 在j ；o ，s ，) 已知的情况下，可以由( 2 5 ) 计算出采样图像的频谱五( ，q ) 。 由n y q u i s t 取样定理，只要， 。，s ，) 中各相邻的于( 5 ，一m t ，s ，一栉，r ，) 不发 生混叠，就可以由低通滤波器重现出，o ；，s 。) 。而当， ，) ，) 是有限带宽图像，即 ，q ，s ，) 具有有限支撑性，s 工，s 州是其n y q u i s t 采样率，只要选择合适的取样 周期f ；和q ，满足： l ，f ， 缸“，且1 ，f ， 凇卅 ( 2 6 ) 就可以实现上述条件，o ，y ) 就可以从它的采样点完全恢复。 2 2 3 图像的重建 由前面的介绍可知，只要满足( 2 6 ) 就可以实现图像信号的完全恢复，因 此可以设计一个理想低通滤波器 0 ，y ) ，使其宽带等于n y q u i s t 采样率，使 五o ；，s ，) 通过这个理想滤波器就可以得到，o ，s ，) 。具体过程如下： ，也，s ，) 一0 q 庀o ，s ，沙0 ：，5 ，) ( 2 7 ) 其中讯，) ， 【u 9 ( 2 8 ) 州 sd拄口 埘 s 讣妇 中山大学硕士学位论文 是函数j l o ，_ ) ，) 的傅立叶变换。 对( 2 7 ) 式等号两边同时进行逆傅立叶变换得： ，o ，y ) - 厶 ，y ) 4 亿f ，) j l ，) ，) ( 2 9 ) 其中 叫州，掣掣 称为插值函数或插值核。 上式说明，对于满足采样定理的数字图像，采用s i n c 函数作为内插函数可 以恢复原始图像数据。同时s i n c ) = s i n 0 ) 工也是一维信号的理想插值函数。 因而对于线性插值方法，插值核函数越接近s i n x ) = s i n ( x ) ，x ，捅值效果一 般也较好，下面将简要介绍一些常用的插值方法。 2 3 线性插值方法【l 】【3 6 】 由上一节的结论可知，s i n c 函数是理想的插值核函数，但是由于它是无限 冲击响应函数，不适合有限响应的局部插值，而且其实现也是不可能的。因此， 人们只能用有限带宽的插值函数来逼进s i n c 函数或者直接对s i n c 加窗，但都 是基于线性卷积原理实现对s i n c 的近似。 1 ) 最近邻插值( n e a r e s tn e i g h b o ri n t e r p 0 1 a t i o n ) 最近邻插值核函数为： 一型如 该函数又称为矩形函数，图2 1 ( a ) ( b ) 分别给出了最近邻插值核函数的空域 和幅频特性。 从图2 1 可以看出该核函数是一种低通滤波器，存在很强的旁瓣，其强度达 到最大幅度的o 2 倍。图2 2 给出了用此方法进行放大的具体例子，由图中可以 看出，边缘锯齿和方块效应都很明显，这是最近邻插值在插值过程中仅进行灰度 值的简单复制的必然结果，但是该方法具有设计简单、快速实现的特点，对图像 1 0 第二章图像插值方法概述 质量要求不高的情况下可以采用这个方法。 1 0 8 d6 0 4 0 2 0 02 ( a ) 图2 1 最近邻插值核函数的空域特性和频域特性 ( a ) 原图像( b ) 用最近邻方法放大三倍的图像 图2 2 最近邻插值的放大图像 ( 2 ) 双线性插值( b i l i n e a ri n t e r p o l a t i o n ) 图2 3 显示了双线性插值模型，如图所示，已知位于单位正方形顶点的四个 象素点的灰度值为：厂( 0 ，0 ) 、，( 1 ，0 ) 、，( o ，1 ) 、，q 1 ) ，根据这四个点的灰度值， 由双线性方程： ，o ，y ) ic l 工+ c 2 y + c 3 j 叮+ c 4 ( 2 1 1 ) 中山大学硕士学位论文 可以求出该正方形内任意点的灰度值， ，_ ) ，) 。其具体过程为：将，( o ，0 ) 、，g 0 ) 、 厂( 0 ，1 ) 、，( 1 ，1 ) 分别代入( 2 - 1 1 ) 得方程组： ，( o ，o ) 一c 。 ：! ：0 ) 邮1 + c 4 ( 2 - 1 2 ) ，( o ，1 ) 等c 2 + c 4 、 ，( 1 1 ) ic 1 + c 2 + c 3 + c 4 通过解方程组，求得插值系数c 。、c ：、c ，、c 4 ，代入式( 2 1 1 ) 得双线性插值公式： ，o ，y ) 目【，q o ) 一i ( o ，o ) h + ，【，( o ，1 ) 一，( o ，o ) l y( 2 1 3 ) + 【，( o ，0 9 + ，n 1 ) 一，( 1 ，o ) 一厂( o ，1 ) 1 砂+ ，( o ，o ) 、 舅晓哪 l 瓴m 图2 3 双线性插值模型 线性插值又称一阶插值，其插值核函数又称为三角形函数，可以描述为： 忡紫 m 图2 4 ( a ) ，( b ) 分别显示了一阶插值核函数的空域和幅频特性。 第二章图像插值方法概述 图2 4 最近邻插值核函数的空域特性和频域特性 ( a ) 原图( b ) 用双线性方法放大三倍图像 圈2 5 最近邻插值的放大图像 与最近邻方法相比，线性方法虽然也表现出低通滤波器的特性，但是其旁瓣 的幅度也由明显的降低，约为最高振幅的o 1 倍，因而低通滤波的效果有所改善。 图2 5 显示了了用此方法放大三倍的c t 图像，由图中可以看出，结果图像被平 滑了，没有了图2 2 ( b ) 中那么明显的边缘锯齿，但是图像轮廓在变的模糊了。 m i c h 雠l 等人在【7 1 一文中，提出了一种改进的一阶线性插值方法：在给定最 优判别的前提下，对一定数目的取样点进行变换，然后对变换后的节点进行分段 线性插值，并将得到的插值函数用于图像放大，结果显示改进的方法克服了传统 中山大学硕士学位论文 的线性插值方法使图像模糊的缺点，这也为其他线性方法的改进提出新的思路。 h w a n g 等在【2 7 卜一文中，提出了自适应的线性方法。 ( 3 ) b 样条插值法 b 样条是分段三次多项式曲线拼接而成的曲线，具有二次连续性，因而具有 良好的光滑性【2 1 】。样条插值的思想是，对原始图像的行和列分别构造三次样条 函数，然后对样条函数取样，对拼接点的灰度值取两周围象素点灰度值的平均值。 样条插值对边缘灰度变换大的区域具有光滑的过渡处理能力，较好的保持了图像 的纹理特征，改善了由于灰度剧烈变化的区域导致的边缘锯齿等不光滑的视觉效 果1 4 9 】。 其他常用的线性插值方法如双三次插值及其时频域特性可参照 1 【2 6 1 。 2 4 非线性插值方法 上一节介绍的线性方法本质上都是低通滤波器，在插值的过程中，不同程度 的抑制了高频成分，造成细节信息的损失。在放大的倍数较高时，在图像边缘出 现模糊或方块效应。而图像的边缘等细节正是图像的重要特征，对图像质量有着 重要的影响，对医学图像中病灶定位起决定作用。因此，以改善图像视觉效果为 目的的保持图像边缘特征的插值方法的研究已引起国内外学者的广泛关注，并提 出了很多非线性插值方法，如基于训练的方法( 由于利用特定训练样本集时甸代 价过大) 【1 0 1 ，基于边缘提取的边缘指导插值( 边缘检测问题的病态性) ，基于统 计的边缘指导插值( 仅基于阶跃模型) 吲，基于小波的插值算法【1 1 l ，基于模极 值理论或隐m a r k o v 树( 难以利用边缘的平滑性约束) 【2 l 【”1 【“，基于分形的插值 方法m 1 ，基于扩散的算法1 3 1 1 ；或者线性和线性时变技术或非线性技术相结合的 改进方法6 l 【9 1 【2 7 】【”1 【”】，如小波双线性插值等：下面就几种有代表性的非线性插 值方法做一下简要介绍： ( 1 ) 基于边缘的插值方法 基于边缘的插值方法是一种自适应的插值方法，主要分为两类，一类是通过 1 4 第二章图像插值方法概述 提取图像的边缘信息，然后对边缘和非边缘区域进行不同的插值处理：此类方法 的原理是：首先从源图像中检测边缘，然后生成一个边缘模型，最后根据建立的 边缘模型自适应的进行插值。另外k w a np y oh 0 n g 等根据离散余弦变换的系数判 断边缘方向，然后再沿边缘方向进行插值：h o u c h u nt i n g 等提出了利用模糊推 理和区域加权的方法判断边缘方向进行自适应插值印】；r y s z a r ds t a s in s k i 等 提出了基于凸集投影( p 0 c s ) 的插值方法，该方法通过迭代的方式估计超分辨率 图像的边缘信息，然后根据得到的边缘的方向的位置信息进行插值。第二类方法 是以l i 3 为代表的自适应插值方法，取而代之的是将边缘信息包含到算法内 部，避免了边缘检测。 ( 2 ) 基于小波的插值方法2 】【3 4 】f 3 9 1 小波分析是近些年来迅速崛起的数学理论，由于其良好的时频局部化特征， 为其赢得了“数学的显微镜”之称，并广泛应用于各个科学领域，在图像压缩， 图像插值方面也取得了一定的成果。 m s c r o u s ，r d n o w a k ，r g b a r a n i u k 1 9 9 8 中利用二进制小波变换的方法对图像进行2 + 倍的放大，以2 倍为例，这类 方法的基本思想是，以原图像作为高分辩论图像的低频近似，然后根据高频细节 的特征，采用某种方法来构造3 个高频图像，最后进行二进制小波逆变换得到高 分辩论图像( 图2 6 显示了一幅全小波方法放大两倍的图像) 。随着多小波和多进 制小波理论的发展，提出了采用类似的方法通过m 进制小波实现任意整数肘倍 的放大。基于小波的插值方法的关键是高分辨率图像的高频信息的预测，目前， 已出现了多种高频预测的方法，如线性方法、分析方法，但都是采用一种统一的 方法进行预测，而忽略了高频细节与采用的小波函数的相关性1 3 8 l 。在【2 5 】等文献 中，利用小波变换的低频近似的特性，提出了基于小波变换的下采样方法，在降 采样的同时保持图像的整体结构信息。在本文的第五章，在对小波分析理论和已 有的小波插值方法探讨的基础上，提出了基于小波的一种新的高频预测方法，它 充分考虑了所采用的小波函数自身的特征，因而具有更好的适应性。 ( 3 ) 基于分形的插值方法 分形插值是基于这样的假设：图像的局部在一定尺度范围内满足统计自相似 性，而且这个尺度足够小，图像块在各方向的分数维相同，这种自相似性表现在 中山大学硕士学位论文 局部和局部，局部和整体在形态、功能、时空等方面具有统计意义的相似性。对 于分形特征明显的一些自然图像，这类插值方法效果很好u 4 】【l ”。 ( a ) 原图( b ) 两倍图 图2 - 6 全小波方法放大两倍 由于理想的插值核函数s i n c 的非线性性，在时空域上的无限延展性，使得 常用的插值核函数只能是对其在有限区域上的不同程度的近似，因而表现为低通 滤波器的特性，在文 9 和 2 9 中提出并实现了基于频率域的图像插值，实现了 插值图像视觉效果的改进和算法复杂度降低的目的。随着成像设备的不断改进， 对图像质量要求的不断提高，对人类的视觉特性了解的不断深入，促使人们不断 的探索新的图像插值方法，出现了基于小波、边缘方向插值等非线性方法，达到 了改善图像视觉效果的目的，这也为非线性方法在数字图像处理领域的应用提供 了发展空间，引导非线性方法在图像插值领域进一步的探索m 瑚1 。 1 6 第三章本文用到的小波分析知识 第三章本文用到的小波分析知识 3 1 小波变换的基本概念和原理i ”4 5 l 3 1 1 连续小波交换 i 1 2 抄( ) l 小n 才如“， ( 3 _ 1 ) ( 町) o ，6 ) - ( ，妒， ) 。南矿c 。2 。訇，( m ) 厕( s 咖 其中妒( 甜) 为妒o ) 的傅立叶( f o u r i c r ) 变换，并且对vs 烈 o ) ，f r ， 1 7 中山大学硕士学位论文 定义 蝴) 。者妒等) ， ( 3 - 3 ) s 称为尺度参数，6 为位置参数，在驴( 飒) 中修，j l l = 眵由( 3 1 ) 知妒( 0 ) = o ， 即妒( o ) = c 妒。渺一o 。 在l 2 意义下，有小波反变换： m 1 酽如帆脚等 ( 3 1 4 ) 啊o ” 由于z 、6 、f 是连续变量，故上述的小波变换又称为连续小波变换，和( 3 2 ) 式共 同组成了连续小波变换对。 消失矩是刻画函数的一个概念，对于小波函数妒o ) ，定义它的第阶矩( 原 点矩) 坍 ) 为： 小( 七) 一p 妒。渺 ( 3 - 5 ) 若妒0 ) 满足：m ) ；0 ，七一0 ，1 ，一1 ，且州( + 1 ) _ 0 ，则称小波函数妒( x ) 满 足阶消失矩。o 阶矩影响小波函数和尺度函数的平滑性以及多项式表示他们的 能力。若一个对称小波有阶消失矩，则通常越大，相应的小波函数妒( x ) 的 傅立叶变换l ，( ) 在频域上的局域性能就越好。n 阶d a u b e c h i e s 小波及样条小波 具有 阶消失矩。 从小波变换的定义可知，母小波妒o ) 的选取具有很大的灵活性，只要它满 足式( 3 - 1 ) 的容许性条件即可，但实际上往往要求更高些，希望它具有尽可能高的 消失矩，因为多阶的消失矩对计算是非常重要的，可以大大降低计算量。通常可 以根据所要讨论的具体问题选择最合适的母小波，如h a 盯小波，具有紧支撑特 性的d a u b e c h i c s 规范正交小波基和双正交小波基。 通过数学工具进行分析：( 1 ) 、由( h r ) ( 5 ，b ) ；，p ) 虻 ( f ) 出可知，在时域上 所利用的，r 俾) 的信息集中在时刻6 ，并随着参数6 的改变而作平移。当尺度 第三章本文用到的小波分析知识 参数s 变小时，时域宽度也变小，妒，。的分辨率增强，( 眄) b ，占) 提取的局部细 节越来越强，而整体细节越来越弱；当尺度参数s 变大时，情况正好相反。( 2 ) 、 又由( 眄) ( s ，6 ) 一寺，( 却i s 眵( s 珊弦“d 吐，可知，在频域上，的频率宽度与尺 “。1 度参数s 成反比，当5 变小时，小波变换的频域分辨率变差，而当s 变大时，得 到增强。大尺度参数s ，对应于小波变换的低频，有较好的分辨率，这是以牺牲 在时域的分辨率为代价的；小尺度的j 对应小波变换的高频，有较差的分辨率。 小波分析在时域和频域均具有良好的局部化性质，使其可以聚焦对象的任意细 节，从而使小波分析享有“数学显微镜”之称。在插值过程中，有目的的增强感 兴趣区域的细节，使其在插值过程中尽量的保存下来。 3 1 2 离散小波变换 类似离散傅立叶( f o u r i c r ) 变换，在连续小波变换( 3 2 ) 式中，对尺度参数5 和位置参数6 作离散化处理，令5 2 ，6 一七2 ，其中，j z ，记 妒j ( f ) z 妒。 ( f ) = 妒2 一，七2 ，o ) 一2 2 妒( 27 f 一七) ) ， 此时( 3 2 ) 变为 ，( 2 ，k 2 7 ) - 2 j ，o 渺( 2 f 一七净 ( 3 - 6 ) r 又记k ( j ，) - k ，( 2 ，七2 一) 。 进一步离散函数，r ( r ) ，设其采样值为以) ，f o ，1 ”m 一1 ) ，( 3 6 ) 用求和 符号表示为： k ，( 2 ，_ 2 莩，n ) l f ，( 2 ( 3 7 ) _ ( ，妒， ) 即得到函数，r 僻) 在采样序列矗；k f n 下的离散小波变换。 为了实现( 3 4 ) 式所描述的信号，( f ) 的重构，要求妒( x ) 满足条件 删n ( ；f ， l 七z ) 在r ( r ) 中稠密，且拍，口，满足o t _ s 口c m ，使得 1 9 中山大学硕士学位论文 能挑s 峪肌卜北m 酣。 即劬j 土l ，慨构成空间r ( r ) 的一组r i e s z 基。 这时在r 僻) 中存在唯一一个函数矿( x ) 称为妒o ) 的对偶，满足对 v ，o ) r 僻) 在，( 妒卅，矿，。) ；d 仲瓯，七，p ，目z 意义下，有 ，o ) 2 弘，( 2 ，垃如 f f ) 魁，( 3 8 ) 特别地，当与妒。) 相对应的序列移，女 m z 构成h i l b 。r t 空间r 职) 的一个 规范正交基时有妒( x ) = 矿 ) ，重构公式( 3 - 8 ) 变为 ，o ) _ ，弘，( 2 ，肱渺肚t 匕 ( 3 - 9 ) 3 2 多分辨率分析与m a l l a t 算法【叫 3 2 1 多分辨率分析 多分辨率分析m r a ( m u l t i r e s o l u i i o na n a l y s i s ) 是s m a l l a t 与y m e y e r 于1 9 8 6 年左右共同引入的，是构造小波基的有效方法。 定义： 设e 是空间工2 ) 的闭子空间族，如果满足条件： i ) t 2c k lc c kc c ， i i ) 呖- 三2 僻) ，n ，_ 一 0 ) ， j i i ) ，o ) ，( h ) 一 i v ) ， ) k静，0 一f ) ，vz z ， v ) 存在妒 ) k ，使得函数序列知o f ) ) 垃构成的一组标准正交基。 第三章本文用到的小渡分析知识 则称e 是空间工2 俾) 的多分辨率分析( m 心。伊( x ) 称为尺度函数( ”a l i n g f i l n c t i o n ) ，由条件i i i ) 可得存在一组系数 o ) ) ，满足： 妒( x ) ， ，o ) 2 妒m h ) ( 3 - 1 0 ) 其中 ，o ) 】称为尺度函数系数，或者与妒( x ) 对应的低通滤波器，k 称为尺度向 量。把妒( x ) 的面具定义为( 亭) 2 击差e “5 ，其中 k2 。) ) 称为面具系数。 如果尺度序列 丸) ，蚪z 满足： 1 ) 正交条件：一瓦+ 一6 雌； 晟 2 ) 正规条件：罗丸。2 ，则称该尺度序列满足完全重构条件，并可以构造 忍 一组有限脉冲响应滤波器慨) 、 晶) ，其中已一( 一1 ) “i l ：。，协) 是低通滤波器， 晶】是高通滤波器，用它可以分解并完全重构序列信号。若取一1 即得下面的 正交多分辨率分析的小波函数。 正交多分辨率分析的小波函数：通过正交多分辨率分析得到的小波函数。设 妒 ) 是正交 删的尺度函数， k 一o ) ) 是它的低通滤波器，由邑一