大题椭圆求方程、离心率.doc

椭圆一 方程（易）（10 天津）（20）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1） 求椭圆的方程；【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分（1）解：由，得，再由，得由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1所以椭圆的方程为（10 辽宁）(20)（本小题满分12分）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I) 求椭圆C的离心率；(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.（20）解：设，由题意知0，0.（）直线l的方程为 ，其中.联立得解得因为，所以.即 得离心率 . 6分（）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为. 12分（10 山东）（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；【解析】（）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。（10 江西）21. （本小题满分12分）设椭圆，抛物线。（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；（2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由。(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有。 由点在抛物线上，解得：故，得重心坐标. 由重心在抛物线上得：，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。（10 新课标全国）（20）（本小题满分12分）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率； （2） 设点满足，求的方程解：（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中。设，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，。由，得，即得，从而故椭圆E的方程为。（10 陕西）20.（本小题满分13分）如图，椭圆C：的顶点为焦点为,. ()求椭圆C的方程； (i) 当l不垂直于x轴时，设l的方程为,由l与n垂直相交于P点且得，即. = =1+0+0-1=0，即将代入椭圆方程，得 ，由求根公式可得 将，代入上式并化简得 将代入并化简得，矛盾.即此时直线不存在.（10 北京）（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。设P点坐标为，则，由题意得，化简得：。即P点轨迹为：（10 福建）17（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为（11 重庆）（20）（本小题满分12分，（）小问4分，()小问8分.） 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为. （）求该椭圆的标准方程；（11 湖南）A. (本小题满分13分） 如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。（）求，的方程；解析：（I）由题意知，从而，又，解得。故，的方程分别为。（09 辽宁）（20）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 4分（）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 12分（09 四川）20（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。 解：（）有条件有，解得。 。 所以，所求椭圆的方程为。4分（）由（）知、。 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1. 将x=-1代入椭圆方程得。 不妨设、， . ,与题设矛盾。 直线l的斜率存在。 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。设、，联立，消y得。由根与系数的关系知，从而，又，。 。化简得解得（09 山东）（22）（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效） 设椭圆E：，O为坐标原点 （）求椭圆E的方程； （）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的方程，关求的取值范围；若不存在，说明理由。22. 解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: （09 全国2）（21）（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、粮店，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求，的值； （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。（09 宁夏）（20）（本小题满分12分） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （09 海南）（20）（本小题满分12分） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二 离心率（10 辽宁）(20)（本小题满分12分）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(III) 求椭圆C的离心率；(IV) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.（20）解：设，由题意知0，0.（）直线l的方程为 ，其中.联立得解得因为，所以.即 得离心率 . 6分（）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为. 12分（10 江西）21. （本小题满分12分）设椭圆，抛物线。（3） 若经过的两个焦点，求的离心率；（4） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由。(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有。 由点在抛物线上，解得：故，得重心坐标. 由重心在抛物线上得：，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。（10 新课标全国）（20）（本小题满分12分）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率； （2） 设点满足，求的方程解：（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中。设，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，。由，得，即得，从而故椭圆E的方程为。（10 北京）19（本小题共14分）已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为（）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.（11 天津）18（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程18本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I）解：设 由题意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得椭圆方程为直线PF2方程为A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得解得 得方程组的解不妨设设点M的坐标为，由于是由即，化简得将所以因此，点M的轨迹方程是（09 天津）（21）（本小题满分14分） 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1） 求椭圆的离心率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 求直线AB的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （3） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分（I） 解：由/且，得，从而 整理，得，故离心率 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II） 解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 联立解得，将代入中，解得.(III)解法一：由（II）可知 w.w.w.k.s.5.