实对称矩阵的特征值的求法.docx

【标题】实对称矩阵的特征值的求法 【作者】郭 筱 【关键词】实对称矩阵，特征值，特征向量 【指导老师】焦 合 华 【专业】数学与应用数学 【正文】一、 引言对于实对称矩阵的特征值、特征向量的求法，在过去都是由特征方程求出特征根，也就是先直接将行列式展开，再分解因式求特征方程的根，但是在求特征根的时候，由于数字过大，或其它种种原因无法求出，结果导致特征向量也求不出，从而矩阵无法对角化。这个问题至今没有得到较好的解决办法，有待我们去进一步研究。二、预备知识1.设A、B是同阶方阵，如果有可逆方阵P，使，则称矩阵B与矩阵A相似。2.设A、B是同阶方阵，如果有可逆方阵P，使，则称矩阵B与矩阵A合同。3.相似矩阵具有相同的特征值。4.实对称矩阵一定可对角化.5.可逆矩阵一定可化为一系列初等矩阵之积.6.设A为对称矩阵,则总可以找到一个正交阵T,使得,其中I为单位矩阵； B,为对角阵，且B的主对角线上的元素全为A的特征值；T的列向量均为对应特征值的单位特征向量.7.若A为对称矩阵，则总可以经一系列对称的初等变换化为对角阵8.若A为对称矩阵，则总可以经一系列可逆的初等变换化为对角阵9.设A为对称矩阵若经一系列对称的初等变换化为对角阵，且每次对称变换的倍乘系数均不含，即T为不含的初等矩阵之积，则B的主对角线上的元素必为A的全部特征值，T必为正交阵。10.设A为n阶实对称阵，对于任一非零向量x，称为关于向量x的瑞雷商。111.设A为阶实对称阵，为A的特征值，则有：，。112.设为n维列向量，且，则n阶矩阵称为Householder矩阵。113.Householder矩阵具有如下性质：（1），（2）(H是正交阵)14.设，则存在Householder矩阵H，使Hx=y。其中。15.设A是实对称矩阵，是 A的一个特征值和相应的特征向量，则存在 P为一个正交阵,使，且的第一行和第一列的第一个元素为,其余元素均为零.16.设矩阵A为 nn实对称矩阵，矩阵(其中，为实数,I为nn单位矩阵)都是对称矩阵,且有相同的特征向量，各矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交。三、重要方法介绍（一）直接算出特征值1.改进的Lanczos方法原理说明：利用增广子空间技术向Krylov子空间加入少量绝对值最小的特征值所对应的特征向量进行收缩，给出求解对称矩阵特征值的新方法具体步骤：1向Krylov子空间加入近似特征向量。2设是Lanczos过程产生的Lanczos向量，是A的k个近似特征向量。令l=m+k后，将与正交化得到向量组，记是lx l的上Hvessenberg阵，其前m阶顺序主子矩阵是Lvanczos过程产生的对称三对角阵，则有2已知k个近似特征向量；3选取非零单位向量，并记；4生成Lanczos向量：对于j=1，2，m，做5增加近似特征向量：对于j=m+1，l，做6计算的特征对令则Ritz对为所求的近似特征对2.数值计算法34原理说明：利用幂法，反幂法和原点平移法的方法和原理的一种新的数值计算方法，提高运算精度和计算精度。具体步骤：1用幂法和原点平移法确定矩阵A的近似特征值和特征向量设已求得矩阵A的前i个特征值( iN ) 以及前I个特征值所对应的特征向量，它们是两两正交的单位特征向量 a：从近似特征向量中剔除已知特征向量的分量。随机给出第i+1个初始特征向量，并从中减去前i个特征向量的成分，即其中，表示两向量的内积.接着将单位化。本步可求出重特征值对应的不同的相互正交的特征向量。b:用矩阵对做幂法迭代，并对特征值情况做初步判断。用下面公式：循环对做幂法迭代，其中表示向量的模。由于使用了，所以在每次迭代中，可以求出重特征值对应的不同的相互正交的特征向量。在迭代中，若的值很小，接近于0，取平移矩阵A，使,转入第c步(这样做可较精确地计算出零特征值对应的特征向量)，否则继续迭代。如果当前后两次迭代所得特征值的差值小于给定阈值，结束用矩阵对做幂法迭代，并记所得特征值的平方根为，对应特征向量为。接着，用矩阵A对做一次幂法迭代，若所得特征值的绝对值与的差值小于给定阈值，取矩阵A的第i+1个近似特征根为，本阶段迭代结束，转入下一阶段；若所得特征值的绝对值与的差值大于给定阈值，矩阵A可能有两个特征根符号相异，绝对值接近，平移矩阵A，使，转入第c步。c：用矩阵B对做幂法迭代，给出矩阵A的近似特征值和特征向量。迭代方法同第b步，不同处是将公式的矩阵换为矩阵B。当前后两次迭代所得特征值的差值小于给定阈值，结束迭代，并记所得特征值，那么矩阵A的第i+1个近似特征值为,对应特征向量为.从而，求出矩阵A的第 i+1个近似特征值和特征向量。2用反幂法修正特征值和特征向量。已求得矩阵A的第i+1个近似特征值为，对应特征向量为。现在对矩阵A进行平移，得矩阵,它的逆矩阵为.当与A的第i+1个特征值的真实值最接近时，的最大特征值为。对矩阵应用幂法。若求得的特征值为，特征向量为，则矩阵A的第i+1个特征值及其所对应的单位特征向量应为特征向量与前i个特征向量仍然是两两正交的。（二）利用相似或合同矩阵得出特征值原理说明：变换出实对称阵的相似或合同矩阵，从而可以看出特征值即为对角线上对应的元素的值。1.对角化的合同变换法模型具体步骤：,其中对称变换即合同变换,即每对施行一次初等行变换,同时对列施行一次相同的初等列变换,I随作同步列变换2.对角化的相似变换法模型具体步骤：，其中可逆变换即相似变换,即每对施行一次初等行变换,同时对列施行一次可逆的初等列变换,I随作同步列变换注：变换的步骤：1首先将所在行和列的其它元素化为0；2依次将所在行和列的其它元素化为0；3将主对角线元素的系数化为 13.运用Matlab56具体步骤：运用Matlab 4.x版扩充软件。调用其中的ConmatA,P函数或是SimmatA,P函数求得。（三）把矩阵对角化1.直接对角化原理说明：利用瑞雷商和 Householder矩阵，通过实对称阵的分块降阶和Householder矩阵的加边扩充，在有限步内得到了将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵P，实现了实对称阵的对角化，并可借此求出实对称矩阵的全部特征值和特征向量。具体步骤：设A是实对称矩阵，为A的特征值。根据预备知识11，利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法，可求得及相应的特征向量。不妨假设，由预备知识14，存在为一个正交阵，使，且的第一行和第一列的第一个元素为,其余元素均为零。设，由于为对称阵，故也为对称阵，设为最大特征值及相应的规范化特征向量，则根据预备知识14，存在为一个正交阵，使.且的第一行和第一列除外其余元素均为零.令,容易验证亦为正交阵，满足：依此类推,存在正交阵，其中 D为对角阵.令.P即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵.2.对角化的初等变换模型原理说明：设有对称矩阵A和可逆矩阵P、对角阵B,使得.若在A的下方和右边同时并上同阶单位阵I,随A作同步列和行初等变换,则每对A施行一次列变换，同时对A施行一次可逆的行变换，当A成为对角阵B时,所并的I即成为相似变换矩阵P和,且对角阵B的对角线上元素即为A的特征值.具体步骤：1建立初等变换法模型：，其中可逆变换是指每对A施行一次列变换之后，随之对A施行一次可逆的行变换。2化简模型：a：将及其下方元素变为零；b：由右向左、从上至下将A变为下三角矩阵；c：从左向右、由下至上将A变为对角矩阵。3.运用Matlab7原理说明：合同变换化实对称矩阵为对角矩阵的算法是通过有限步完成的，运用递归的思想考虑上一步完成后下一步应该做什么，即有第 k步完成后第k+1步的算法关系。具体步骤：1建立函数关系的程序： functionP,d=juzheng(a)m，n=size(a);a=a cyc(n);for k=1:n if a(k,k)=0 for r=(k+1):n if a(k,r)=0 for i=k:n a(k,i)=a(k,i)+a(i,r); end break end endendfor i=k+1:n l=a(i,k)/a(k,k); for j=k:n a(i,j)=a(i,j)-l*a(k,j); end for j=k:2*n a(j,i)=a(j,i)-l*a(k,j); endendendp=a(n+1:2*n,l:n);d=a(1:n,1:n);return2只需在MATLAB命令窗口中输入需要对角化的矩阵A，然后输入p,d=juzheng(a)回车，很快可得到所求对角矩阵D以及变换矩阵P，从而可得出特征值。（四）实对称矩阵化为二次型的形式理论说明：把实对称阵看成二次型的形式，再把二次型通过配方法化为标准型，其中标准型的各项系数即为所对应的特征值。具体步骤：1把实对称阵写成二次型的一般表达式2逐步配方得出标准型注：可结合把二次型初等变换或正交变换法化为标准型。四、应用举例例18设，求它的特征值。运用求一个正交矩阵T，使为对角阵的方法。解：套入相应模型，得：于是有，使得从而可知特征值为2，6，4，4.例29设矩阵为A的特征值，求出相应的的值解：利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法，可求得相应的特征向量为计算得正交阵，满足.从而特征值为18，-9，9.例39，分别利用MATLAB求A的相似矩阵和合同矩阵，并得出特征值解：In1:=a= Simmata,p/MatrixForm Out3/MatrixForm= In4:=Conmata,p/Matri