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华南师范大学硕士学位论文 题目：g r 6 b n e r s h i r s h o v 基和代数上的嵌入定理 学位申请人： 专业名称： 研究方向： 所在院系： 导师姓名及职称： 论文提交日期： 莫秋慧 基础数学 代数及其应用 数学科学学院 陈裕群教授 l a b o k u t 教授 2 0 1 0 年4 月 摘要 i i l liilli i i i l li i i l ll lq q l l l l l l l l l l 17 6 7 9 2 9 第一章，介绍了结合代数上的结合钻石引理，并应用该引理给出了以下定理的另一 种更简单的证明：任何可列生成的群( 结合代数，半群) 都能嵌入一个由两个元生成 的群( 结合代数，半群) 迸一步，我们证明了如下定理：( i ) 可列域上的任何一个可 列生成的结合代数都能嵌到一个由两个元生成的单结合代数( i i ) 任何一个可列生成的 半群都能嵌入一个由两个元生成的( 0 - ) 单半群 第二章，介绍了李代数上的结合钻石引理，并应用该引理给出了s h i r s h o v 定理的另 一种简单证明：任何可列生成的李代数都能嵌入一个由两个元生成的李代数我们证 明了可列域上的任何一个可列生成的李代数都能嵌入一个由两个元生成的单李代数 第三章，介绍了结合微分代数上的结合钻石引理，并应用该引理证明了如下定理： ( i ) 任何可列生成的结合微分代数都能嵌入一个由两个元生成的结合微分代数( i i ) 任 何一个结合微分代数都能嵌入一个单结合微分代数( i i i ) 可列域上的任何一个可列生 成的，有可列个微分算子的结合微分代数都能嵌入一个由两个元生成的单结合微分代 数 第四章，介绍了结合q 代数上的结合钻石引理，并应用该引理证明了如下定理： ( i ) 任何可列生成的结合q 代数都能嵌入一个由两个元生成的结合q 代数( i i ) 任何一 个结合似代数都能嵌入一个单结合q 代数( i i i ) 可列域上的任何一个可列生成的，有 可列个算子的结合q 一代数都能嵌入一个由两个元生成的单结合q 一代数 第五章，通过应用q 一代数上的结合钻石引理，证明了如下定理：( i ) 任何可列生 成的结合* 微分代数都能嵌入一个由两个元生成的结合入一微分代数( i i ) 任何一个结 合a 一微分代数都能嵌入一个单结合a 一微分代数( i i i ) 可列域上的任何一个可列生成的结 合入微分代数都能嵌入一个由两个元生成的单结合入一微分代数 第六章，通过应用r o t a - b a x t e r 代数上的结合钻石引理，证明了特征为0 的域上的每 一个d e n d r i f o r md i 一代数都能嵌入权为0 的泛包络r o t a - b a x t e r 代数 关键词：g r s b n e r - s h i r s h o v 基，泛包络代数，d e n d r i f o r md i - 代数，r o t a - b a x t e r 代数，群， l-r， 半群，结合代数，李代数，结合微分代数，结合q 代数，结合a 一微分代数 1 1 a b s t r a c t i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ec o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m m af o ra s s o c i a t i v ea l g e b r a sa n d b ya p p l y i n gt h i sl e m m a ，w eg i v ea n o t h e rp r o o f sf o rt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ：e v e r yc o u n t a b l yg e n e r a t e dg r o u p ( r e s p a s s o c i a t i v ea l g e b r a ，s e m i g r o u p ) c a nb ee m b e d d e di n t oa t w o - g e n e r a t e dg r o u p ( r e s p a s s o c i a t i v ea l g e b r a ，s e m i g r o u p ) e v e nm o r e ，w ep r o v e t h ef o l - l o w i n gt h e o r e m s ：( i ) e v e r yc o u n t a b l yg e n e r a t e da s s o c i a t i v ea l g e b r ao v e ra c o u n t a b l ef i e l d fc a nb ee m b e d d e di n t oas i m p l et w o - g e n e r a t e da s s o c i a t i v ea l g e b r a ( i i ) e v e r yc o u n t a b l y g e n e r a t e ds e m i g r o u pc a nb ee m b e d d e di n t oa ( o 一) s i m p l et w o - g e n e r a t e ds e m i g r o u p i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h ec o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m m af o rl i ea l g e b r a sa n db y a p p l y i n gt h i sl e m m a ，w eg i v ea n o t h e rp r o o f o ft h es h i r s h o v st h e o r e m ：e v e r ye o u n t a b l y g e n e r a t e dl i ea l g e b r ac a nb ee m b e d d e di n t oat w o - g e n e r a t e dl i ea l g e b r a w es h o wt h a t e v e r yc o u n t a b l yg e n e r a t e dl i ea l g e b r ao v e rac o u n t a b l ef i e l df c a nb ee m b e d d e di n t oa s i m p l et w o - g e n e r a t e dl i ea l g e b r a i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c et h ec o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m m af o ra s s o c i a t i v ed i f f e r e n - t i a la l g e b r a sa n db ya p p l y i n gt h i sl e m m a ，w es h o wt h a t ：( i ) e v e r yc o u n t a b l yg e n e r a t e d a s s o c i a t i v ed i f f e r e n t i a la l g e b r ac a nb ee m b e d d e di n t oat w o - g e n e r a t e da s s o c i a t i v ed i f f e r - e n t i a la l g e b r a ( i i ) a n ya s s o c i a t i v ed i f f e r e n t i a la l g e b r ac a nb ee m b e d d e di n t oas i m p l e a s s o c i a t i v ed i f f e r e n t i a la l g e b r a ( i i i ) e v e r yc o u n t a b l yg e n e r a t e da s s o c i a t i v ed i f f e r e n t i a l a l g e b r aw i t hc o u n t a b l es e tdo fd i f f e r e n t i a lo p e r a t i o n so v e rac o u n t a b l ef i e l df c a nb e e m b e d d e di n t oas i m p l et w o - g e n e r a t e da s s o c i a t i v ed i f f e r e n t i a la l g e b r a i nc h a p t e r4 w ei n t r o d u c et h ec o m p o s i t i o n d i a m o n dl e m m af o ra s s o c i a t i v eq a l g e b r a s a n db ya p p l y i n gt h i sl e m m a ，w es h o wt h a t ：( i ) e v e r yc o u n t a b l yg e n e r a t e da s s o c i a t i v eq a l g e b r ac a nb ee m b e d d e di n t oat w o - g e n e r a t e da s s o c i a t i v eq a l g e b r a ( i i ) a n ya s s o c i a t i v e q a l g e b r ac a nb ee m b e d d e di n t oas i m p l ea s s o c i a t i v eq - a l g e b r a ( i i i ) e a c hc o u n t a b l y g e n e r a t e da s s o c i a t i v eq a l g e b r aw i t hc o u n t a b l em u l t i p l eo p e r a t i o n sq o v e rac o u n t a b l e f i e l dfc a r lb ee m b e d d e di n t oas i m p l et w o - g e n e r a t e da s s o c i a t i v eq a l g e b r a i nc h a p t e r5 ，b ya p p l y i n gt h ec o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m m af o ra s s o c i a t i v eq a l g e b r a s ， 1 1 1 w es h o wt h a t ：( i ) e a c hc o u n t a b l yg e n e r a t e da s s o c i a t i v ea - d i f f e r e n t i a la l g e b r ac a nb e e m b e d d e di n t oat w o - g e n e r a t e da s s o c i a t i v ea - d i f f e r e n t i a la l g e b r a ( i i ) e a c ha s s o c i a t i v e 入一d i f f e r e n t i a la l g e b r ac a r lb ee m b e d d e di n t oas i m p l ea s s o c i a t i v e ) , - d i f f e r e n t i a la l g e b r a ( i i i ) e a c hc o u n t a b l yg e n e r a t e da s s o c i a t i v ea - d i f f e r e n t i a la l g e b r ao v e rac o u n t a b l ef i e l df c a l lb ee m b e d d e di n t oas i m p l et w o - g e n e r a t e da s s o c i a t i v ea - d i f f e r e n t i a la l g e b r a i nc h a p t e r6 ，b ya p p l y i n gt h ec o m p o s i t i o n d i a m o n dl e m m af o rr o t a - b a x t e ra l g e b r a s ， w ep r o v et h a te v e r yd e n d r i f o r md i a l g e b r ao v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i c0c a nb ee m b e d d e d i n t oi t su n i v e r s a le n v e l o p i n gr o t a - b a x t e ra l g e b r ao fw e i g h t0 k e y w o r d s ：g r s b n e r - s h i r s h o vb a s i s ，u n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a ，d e n d r i f o r md i a l g e - b r a ，r o t a - b a x t e ra l g e b r a ，g r o u p ，s e m i g r o u p ，a s s o c i a t i v ea l g e b r a ，l i ea l g e b r a ，a s s o c i a t i v e d i f f e r e n t i a la l g e b r a ，a s s o c i a t i v eq a l g e b r a ，a s s o c i a t i v ea - d i f f e r e n t i a la l g e b r a 1 v 摘要 a b s t r a c t p r e f a c e c o n t e n t s 1s o m ee m b e d d i n gt h e o r e m si na s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，g r o u p sa n ds e m i - g r o u p s 1 1p r e l i m i n a r i e s ： 1 2a s s o c i a t i v ea l g e b r a s g r o u p sa n ds e m i g r o u p s 2s o m ee m b e d d i n gt h e o r e m si nl i ea l g e b r a s l l v 1 4 4 6 1 1 2 1p r e l i m i n a r i e s 1 l 2 2l i ea l g e b r a s 1 3 3s o m ee m b e d d i n gt h e o r e m si na s s o c i a t i v ed i f f e r e n t i a la l g e b r a s1 6 3 1p r e l i m i n a r i e s 1 6 3 2a s s o c i a t i v ed i f f e r e n t i a la l g e b r a s 1 8 4s o m ee m b e d d i n gt h e o r e m si na s s o c i a t i v ea l g e b r a sw i t hm u l t i p l eo p e r a - t i o n s2 2 4 1p r e l i m i n a r i e s 2 2 4 2a s s o c i a t i v ea l g e b r a sw i t hm u l t i p l eo p e r a t i o n s 2 5 5s o m ee m b e d d i n gt h e o r e m si na s s o c i a t i v ea - d i f f e r e n t i a la l g e b r a s 2 9 5 1p r e l i m i n a r i e s ，2 9 5 2a s s o c i a t i v e , 入- d i f f e r e n t i a la l g e b r a s 3 0 v 6e m b e d d i n gd e n d r i f o r md i a l g e b r ai n t oi t su n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a3 6 6 1 p r e l i m i n a r i e s 3 6 6 2d e n d r i f o r md i a l g e b r a sa n dt h eu n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a s 4 0 b i b l i o g r a p h y a c k n o w l e d g e m e n t p u b l i c a t i o n s 4 7 5 2 5 3 g r o u pi se m b e d d a b l e i n t oa2 - g e n e r a t e dg r o u p i tm e a n st h a tt h eb a s i cr a n ko fv a r i e t yo fg r o u p si se q u a lt ot w o i nc o n t r a s t ，f o re x a m p l e ，t h eb a s i cr a n k so fv a r i e t i e so fa l t e r n a t i v ea n dm a l c e va l g e b r a s a r ee q u a lt oi n f i n i t y ( i p s h e s t a k o v 【5 0 】) ：t h e r ei sn os u c h 死，t h a tac o u n t a b l y g e n e r a t e d a l t e r n a t i v e ( m a l c e v ) a l g e b r ac a nb ee m b e d d a b l ei n t on - g e n e r a t e da l t e r n a t i v e ( m a l c e v ) a l g e b r a e v e nm o r e ，f o ra n yn 1 ，t h e r ee x i s t sa na l t e r n a t i v e ( m a l c e v ) a l g e b r ag e n e r a t e d b y 礼+ 1e l e m e n t sw h i c hc a j ln o tb ee m b e d d e di n t oa n 扎一g e n e r a t e da l t e r n a t i v e ( m a l c e v ) a l g e b r a ( v t f i l i p p o v 2 9 ，3 0 1 ) f o rj o r d a na l g e b r a s ，i ti sk n o w nt h a tt h eb a s i cr a n k i s b i g g e rt h a n2 ，s i n c ea n y2 - g e n e r a t e dj o r d a na l g e b r ai ss p e c i a l ( a i s h i r s h o v 5 3 ，5 5 】) ，b u t t h e r ee x i s t ( e v e nf i n i t e l yd i m e n s i o n a l ) n o n - s p e c i a lj o r d a na l g e b r a s ( a a a l b e r t 1 1 ) a i m a l c e v 4 7 p r o v e dt h a ta n yc o u n t a b l yg e n e r a t e da s s o c i a t i v ea l g e b r ai se m b e d d a b l ei n t o a2 - g e n e r a t e da s s o c i a t i v ea l g e b r a a i s h i r s h o v 【5 2 ，5 5 】p r o v e dt h es a m er e s u l tf o rl i e a l g e b r a sa n dt e v a n s 【2 8 p r o v e dt h es a m er e s u l tf o rs e m i g r o u p t h ef i r s te x a m p l eo ff i n i t e l yg e n e r a t e di n f i n i t es i m p l eg r o u pw a sc o n s t r u c t e db yg h i g m a n 3 5 l a t e rp h a l l 【3 3 】p r o v e dt h a ta n yg r o u pi s e m b e d d a b l ei n t oas i m p l e g r o u pw h i c hi sg e n e r a t e db y3p r e s c r i b e ds u b g r o u p sw i t hs o m ec a r d i n a l i t yc o n d i t i o n s i n p a r t i c u l a r ，a n yc o u n t a b l y g e n e r a t e dg r o u pi se m b e d d a b l ei n t oas i m p l e3 - g e n e r a t e dg r o u p b n e u m a n np r o v e dt h a ta n yn o n - a s s o c i a t i v ea l g e b r ai se m b e d d a b l ei n t oan o n - a s s o c i a t i v e d i v i s i o na l g e b r as u c ht h a ta n ye q u a t i o na x = b ，x a = b ，a 0h a sas o l u t i o ni nt h el a t t e r a n yd i v i s i o na l g e b r ai ss i m p l e p m c o h n 2 3 】p r o v e dt h a ta n ya s s o c i a t i v er i n gw i t h - o u tz e r od i v i s o r si se m b e d d a b l ei n t oas i m p l ea s s o c i a t i v er i n gw i t h o u tz e r od i v i s o r ss u c h t h a ta n ye q u a t i o na x x a = b ，a 0 ，h a sas o l u t i o ni nt h el a t t e r l a s k o r n y a k o v 5 6 p r o v e dt h a ta n yn o n - a s s o c i a t i v ea l g e b r aw i t h o u tz e r od i v i s o r si se m b e d d a b l ei n t oa n o n - a s s o c i a t i v ed i v i s i o na l g e b r aw i t h o u tz e r od i v i s o r s i s i v a n o v 3 8 ，3 9 p r o v et h es a m e r e s u l tf o rq a l g e b r a s ( s e ea l s oa g k u r o s h 4 2 ) p m c o h n 2 3 p r o v e dt h a ta n yl i e a l g e b r ai se m b e d d a b l ei n t oad i v i s i o nl i ea l g e b r a e g s h u t o v 【5 7 】a n dl a b o k u t 1 0 】 p r o v e dt h a ta n ys e m i g r o u pi se m b e d d a b l ei n t oa s i m p l es e m i g r o u p ，a n dl a b o k u t 1 2 】 p r o v e dt h a ta n ya s s o c i a t i v ea l g e b r ai se m b e d d a b l ei n t oas i m p l ea s s o c i a t i v ea l g e b r as u c h t h a ta n ye q u a t i o nx a y = b ，a 0i ss o l v a b l ei nt h el a t t e r l a b o k u t 【8 ，9 】p r o v e d t h a ta n yl i e ( r e s p n o n - a s s o c i a t i v e ，c o m m u t a t i v e ，a n t i - c o m m u t a t i v e ) a l g e b r aa i se m - b e d d a b l ei n t oa na l g e b r a i c a l l yc l o s e d ( i np a r t i c u l a rs i m p l e ) l i e ( r e s p n o n - a s s o c i a t i v e ， c o m m u t a t i v e ，a n t i - c o m m u t a t i v e ) a l g e b r ab s u c ht h a ta n ye q u a t i o nf ( z l ，z n ) = 0w i t h c o e f f i c i e n ti nbh a sas o l u t i o ni na ( a ne q u a t i o no v e rbi sa l le l e m e n to faf r e ep r o d u c t o fbw i t hac o r r e s p o n d i n gf r e ea l g e b r af ( x ) ) l a b o k u t 1 2 ，1 3 ，1 7 p r o v e dt h a ta n y a s s o c i a t i v e ( l i e ) a l g e b r ai se m b e d d a b l ei n t oas i m p l ea s s o c i a t i v e ( a l g e b r a i c a l l yc l o s e dl i e ) a l g e b r aw h i c hi sa s u mo f4p r e s c r i b e d ( l i e ) s u b a l g e b r a sw i t hs o m ec a r d i n a l i t yc o n d i t i o n s i np a r t i c u l a ra n yc o u n t a b l ea s s o c i a t i v e ( l i e ) a l g e b r ai se m b e d d a b l ei n t oas i m p l ef i n i t e l y g e n e r a t e da s s o c i a t i v e ( l i e ) a l g e b r a a p g o r y u s h k i n 3 1 】p r o v e dt h a ta n y c o u n t a b l eg r o u p i se m b e d d a b l ei n t oas i m p l e2 - g e n e r a t e dg r o u p t h er o t a - b a x t e ra l g e b r a sw e r ei n v e n t e db yg b a x t e r 【5 】a n ds t u d i e db yg 一c r o t a 4 9 1 ，f v a t k i n s o n 2 】a n dp c a r t i e r 2 0 1 。s i n c et h e n ，i th a sb e e nr e l a t e dt om a n y t o p i c s i nm a t h e m a t i c sa n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，s e e ，f o re x a m p l e ，【2 5 ，2 7 】 t h ed e n d r i f o r md i a l g e b r aw a si n t r o d u c e db yj - l l o d a y 4 3 】i n1 9 9 5w i t hm o t i v a t i o n f r o ma l g e b r a i ck t h e o r y , a n dw a sf u r t h e rs t u d i e di nc o n n e c t i o nw i t hs e v e r a la r e a si n m a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，i n c l u d i n go p e r a c l s ，h o m o l o g y , h o p fa l g e b r a s ，l i ea n dl e i b n i z a l g e b r a s ，c o m b i n a t o r i c s ，a r i t h m e t i ca n dq u a n t u m f i e l dt h e o r y , s e e 【4 4 ，2 6 】 i nt h et h e o r yo fl i ea l g e b r a s ，t h ep o i n c a r e - b i r k h o f f - w i t tt h e o r e m ( p o i n c a r e 【4 s ， b i r k h o f f 【7 】，w i t t 【5 9 】；f r e q u e n t l yc o n t r a c t e dt op b wt h e o r e m ) i sa f u n d a m e n t a lr e s u l t g i v i n ga l le x p l i c i td e s c r i p t i o no ft h eu n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r ao fal i ea l g e b r a t h e t e r m p b wt y p et h e o r e m ”o re v e n “p b wt h e o r e m ”m a ya l s or e f e rt ov a r i o u sa n a l o g u e s o ft h eo r i g i n a lt h e o r e m ，s e e ，f o re x a m p l e ，【2 4 ，3 4 i p s h e s t a k o vf 5 1 1p r o v e dt h a ta l la k i v i sa l g e b r ac a nb ee m b e d d e di n t oi t su n i v e r s a l e n v e l o p i n gn o n a s s o c i a t i v ea l g e b r a m a y m o na n dp 一p g r i v e l 3 】p r o v e dt h a ta l e i b n i z a l g e b r av a i lb ee m b e d d e di n t oi t su n i v e r s a le n v e l o p i n gd i a l g e b r a p s k o l e s n i k o v 4 0 p r o v e dt h a te v e r y ( f i n i t ed i m e n s i o n a l ) l e i b n i za l g e b r ac a nb ee m b e d d e di n t oc u r r e n t c o n f o r m a la l g e b r ao v e rt h ea l g e b r ao fl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so fa ( f i n i t ed i m e n s i o n a l ) l i n e a rs p a c e a sac o r o l l a r y , an e wp r o o fo ft h et h e o r e mo ni n j e c t i v ee m b e d d i n go fa l e i b n i za l g e b r ai n t oa na s s o c i a t i v ed i a l g e b r ai so b t a i n e da n d ，m o r ee x p l i c i t l y , a na n a l o g u e o ft h ep b wt h e o r e mf o rl e i b n i za l g e b r a si n 4 3 1 aw e l l - k n o w np r o b l e mi sw h e t h e ri se v e r yd e n d r i f o r md i a l g e b r ao v e raf i e l de m b e d d e d 2 i n t oi t su n i v e r s a le n v e l o p i n gr o t a - b a x t e ra l g e b r a ? i nt h i st h e s i s ，b yu s i n gg r 6 b n e r - s h i r s h o vb a s e sf o rr o t a - b a x t e ra l g e b r a s ，w ep r o v et h a te v e r yd e n d r i f o r md i a l g e b r ao v e ra f i e l do fc h a r a c t e r i s t i c0c a nb ee m b e d d e di n t oi t su n i v e r s a le n v e l o p i n gr o t a - b a x t e ra l g e b r a o fw e i g h t0 t h i sg i v e sap a r t i a lp o s i t i v ea n s w e ro ft h ea b o v ep r o b l e m y u b a h t u r i na n da o l s h a n s k i i 4 p r o v et h a te a c hf i n i t e l yg e n e r a t e da s s o c i a t i v e ( l i e ) a l g e b r ac a nb ee m b e d d e di n t oas i m p l e2 - g e n e r a t e da l g e b r aw i t h o u td i s t o r t i o n i n t h i st h e s i s ，w ep r o v et h a te a c hc o u n t a b l yg e n e r a t e da s s o c i a t i v e ( l i e ) a l g e b r ab o v e ra c o u n t a b l ef i e l dc 8 2 1b ee m b e d d e di n t oas i m p l e2 - g e n e r a t e da l g e b r aa m o r e o v e r ，bc a l l b ee m b e d d e di n t oaw i t h o u td i s t o r t i o ni fbi sf i n i t e l yg e n e r a t e d i nt h i st h e s i s ，b yu s i n gg r s b n e r s h i r s h o vb a s e sf o rs o m er e l a t e da l g e b r a s ，w ep r o v e t h a ti nt h ef o l l o w i n gc l a s s e s ，e a c h ( r e s p c o u n t a b l yg e n e r a t e d ) a l g e b r ac a nb ee m b e d d e d i n t oas i m p l e ( r e s p t w o - g e n e r a t e d ) a l g e b r a ：a s s o c i a t i v ed i f f e r e n t i a la l g e b r a s ，a s s o c i a t i v e q a l g e b r a s a s s o c i a t i v ea - d i f f e r e n t i a la l g e b r a s w es h o wt h a ti nt h ef o l l o w i n gc l a s s e s ，e a c h c o u n t a b l yg e n e r a t e dm g e b r ao v e rac o u n t a b l ef i e l df c a l lb ee m b e d d e di n t oas i m p l e t w o - g e n e r a t e da l g e b r a ：a s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，s e m i g r o u p s ，l i ea l g e b r a s ，a s s o c i a t i v ed i f f e r - e n t i a la l g e b r a s ，a s s o c i a t i v eq a l g e b r a s ，a s s o c i a t i