（基础数学专业论文）cn中有界星形圆型域上的从属链方法.pdf

c ”中有界星形圆型域上的星形映照 h 一一一。”一一 弛杜，y 摘要譬3 7 4 07 5 在单复变巾，单位圆盘上的正规化单叶全纯函数有如下的增长定 班枷啪啡持旭对缎姒的雅燃照戌惴沪 般来说是不成立的。19 88 年，r w b a r n a r d c h f i tz g e r a l d 和龚 升等首先在星形映照的条件下给出了相应的增跃定理，他们讨沦的域 是c 1 中的单位球，刘太顺教授和刘浩博士分别在有界星形圆型域上给 出星形映照和a 次星形映照的增长定理。 j a p f a l t z g r a f f 在1 9 74 年研究了c 4 中的全纯映照的从属链和 单叶性，并得到了一些重要结果【6 。2 00 0 年g k o h r 用从属链的方法 研究了双全纯映射的一些子族。同一年，h h a m a d a 和g k o h r 在有界 平衡拟凸域上引进了映照族s o 心) 的概念并得到一些重要结果。本文把 这些概念推广到有界星形圆型域上，得到了类似的但更广泛的结果。 作为所得结果的推论，可以得到有界星形圆型域上一些重要的映照类， 如星形映照，a 次星形映照，凸映照的增长定理和掩盖定理。 a b s t r a c t a sw ek n o w ，t h e r ei sa ne s t i m a t e 播撤】而i z l h e h o l o m o r p h i c u n i v a l e n tf u n c t i o n o nu n i td is ci no n ec o m p l e x v a r i a b l e h o w e v e r t h isc o n c l u s i o nisn o ta l w a y st r u ei ns e v e r a l c o m p l e xv a r i a b l e s r w b a r n a r d ， c h f i tz g e r a l da n dsg o n g h a v ed r a w nt h es i m i l a rc o n c l u s i o ni nt h ec o n d i t i o no fs t a r l i k e m a p p i n g s t h ed o m a i nw h i c ht h e yc h o s ei st h eu n i tb a l l t s l i u a n dh l i ue x t e n tt h er e s u l t st os t a r l i k em a p p i n g s s t a r l i k e m a p p i n g s o fo r d e r o co nb o u n d e dc i r c u l a rs t a r l i k ed o m a i n s a c c o r d i n g l y i n l 9 7 4 j a p f a l t z g r a f f s t u d i e dt h es u b o r d i n a t i o nc h a i n s a n du n i v a l e n c eo fh 0 1 0 m o r p h i cm a p p i n g si nc 1 6 】s o m ei m p o r t a n t r e s u l t sw e r eo b t a i n e d i n2 0 0 0 g k o h ru s e dt h em e t h o do f 1 0 e w n e rc h a i n st os t u d ys o m es u b c l a s s e so fb i h 0 1 0 m o r p h i c a 1s o i n2 0 0 0 h h a m a d aa n dg k o h re x t e n dt h ec o n c e p t i o nt ob o u n d e d b a l a n c e d p s e u d o c o n v e x d o m a i n sa n do b t a i n e ds o m e i m p o r t a n t r e s u l t s w ee x t e n tt h ec o n c e p t i o nt ot h eb o u n d e dc ir c u l ar s t a r i i k ed o m a i n s s o m es i m i l a rb u tw i d e rr e s u l t sa r eo b t a i n e d i n b yu s i n gt h e s a m em e t h o da s 1 s e v e r a l p r o p e r t i e s o ft h e s e m a p p in g s s u c ha ss t a r lik e m a p p i n g s s t a r l i k em a p p i n g so fo r d e r 口a n dc o n v e xm a p p i n g so n b o u n d e dc i r c u l a rs t a r l i k e d o m a i n s ，c o n c e r n i n g t h e g r o w t h ， c o v e r i n ga n dd i s t o r t i o nr e s u l t sa r ei n v e s t i g a t e d 1 引言 在多复变j l 7 函数沦的发展过程巾，一个自然的想法是将单复变 中的结果推广到多复变上，但一些非常基本而且重要的定理，比如单 位圆盘上的增长定理和掩盖定理在多复变中不一定成立。h c a r t a n 在 1933 年曾给出一个反例说明，即使口2 上的正规化双全纯映照的增长定 理也不成立。 这方面具有开创性的工作是19 8 8 年由r w b a r n a r d ，c h f i tz g e r a i d 和龚升给出的。龚升教授等首先给出了c “中的单位球上 星形映照的的增长定理，之后又有一系列重要而有意义的工作 ( 2 1 【4 】【5 】【1 4 1 ) 。 本文把具有g 参数表示的映射族的概念推广到有界星形圆型域 上，得出这个映射族的增长定理和掩盖定理。并得出有界星形圆型域 上的星形映照、a 次星形映照以及凸映照的增长定理和掩盖定理。 请允许我对三年来辛勤培育和关怀我的董道珍教授和卢克平教授 表示感谢。特别感谢刘浩副教授，术文题目足山他建议并在其具体指 导下完成的。同时我对三年来授课的郑驻军，李起升，宋鸿藻，溯：以 超等教授表示衷心的感谢。 2 预备知识 ， 设c “为复n 维空间。z = ( z i ，z 2 ，z ) ，对于z ，w ec ”，由内积 _ z 巧 t i 导出的范数为| i z 8 z z i 。记号表示向量或矩阵的转置。原点 ( o o ，o ) 记为0 。l 1 ，c “) 表示所有从c “空问到c 4 空问的连续线性算 子空间，工( c 1 ，c 8 ) 中的恒等算子记为，。设日( q ) 为从域q c c 一到c 一的 全纯映射的集合。我们称一个映射，为局部双全纯的映射，如果它的 f r e c h e t 导数。f c z ，= 。o a f j z ( 。z ) l “。；。作为( c “，c 1 ) 中的元在z q 中任 一点是非异的。设，h ( q ) ，我们称，在q 上是双全纯的，如果，。存 在。 设q c c “为有界星形圆型域，则存在一个唯一的实值连续函数 p ：c “_ r ，p 称为q 上的m i n k o w s k i 泛函，满足 ( 1 ) p ( z ) o ，v z ec ”：p ( z ) = 0 舒z = 0 ， ( 2 ) p ( f z ) = ( z l v f c ，z c 4 ， ( 3 ) q = 缸c 1 ：p ( z ) 1 ) 这个结果在【2 】中已给出。事实上，p 是一个距离函数( f3 】) 。对 o r 1 q ，= 七c “：p ( z ) r ) 。 2 我们称一个映射v h q ) 为s c h w a r z 映射，如果p ( v ( z ) ) p ( z ) 对v z q 成立。设，g 日) ，称，从属于g ( 厂 o ) ( 2 ) 对v z q ，h ( z ，f ) 是f ( o f * ) 上的可测函数， ( 3 ) 对v t o ，r e ( o ，1 l j k = 女( r ，r l 且t i | l ( z ，f 女( r ，r ) ， 其中p ( z ) r , o f t ，则对v s 0 ，z q ，初值问题 一 d ( z ，f 跏e t j v ( z ，s ) = z ( 2 1 ) 有唯一解v ( f ) = v ( z ，j ，f ) = e s - t l z + ， 而且对固定的 s和 f 丁( o 5 f l v 。= v ( z ，j ，f ) 是q 上的单叶s c h w a r z 函数。 证明：首先证明初值问题解的存在性、，为此我们先证以下结论： f i h ( w , t ) 一h ( z ，f 肛肘( r 】| w z i ( 2 3 ) 对v r e 五，和v f 成立，这里m ( r ) 仅与r 衣关。事实上，刘v t i o ，一) ，闲 为，l 在q 上全纯，对v r e ( 0 ，1 ) ，存在常数七( r ) ，使得 8 ，( z 肛( r l v z 乍五， 固定z ，设= 丁2 r + l 萨孚。 设z ，w e 豆，z 一叫l ( f 晒，独。) 因为 k ( z ) _ ，l ，f ”骞等售x z ，叫) 这里 = t z + ( 1 一，p ，0 t d 每，独。) ，我们有 i i h ( z ) 一a 肛i i h ( o l + l r h ( w 】i 2 t ( r ) 煮封l z _ 巾 设川= m a x n 鹾白，煮幻朋惰。卜 事实上，( 2 3 ) 即是我们要找的l i p s c h i tz 条件。同样地，我们 娅半舻掣，定义逐步逼近函数 v 。o ) = v 。( z ，f ) = z ， ( f ) = v 。( z ，f ) = z f 。一。( z ，f ) f f ；m = 1 ，2 ，；s f 5 + a ， ( 2 4 ) 设v m - ! ( z ，f ) 五月，5 蔓f ss + a ，则 8 z 一( z ，t 】l - k ( r 】t s l m ，7 1 ) ，用逐 步逼近序列可知它的解也在b + a ，s + 缸】b + 2 c t ，j + 姒】上成立，于是 ( 2 5 ) 的解在【s ，t 】上成立。由t0 , j4 t 意性，知方程( 2 1 ) 的解在墨，怕) 上存在。下证解的唯一性。 设u ( z ，f ) 是满足方程( 2 i ) 的另外一个解，即 “( z ，0 - - “( z ，o ) - i h ( u ( z ，t 妒t ， 则知 e = 口 0 ，佃】v ( z ，f ) = “( z ，t ) o t 丁】 ：作空( 0 ee ) ，而儿为 o ，枷) 的闭子集；又山条件( 2 3 ) 知e 足开的( 11 6 1 ) ， 所以v ( z ，f ) = “( z ，f ) 。 最后我们证明d k o s ，f ) = p ”，。矩阵o k 0 ，j ，t ) i e 为，( f ) ，对固定的j 0 ，从 ( 2 5 ) 知r ( z ，s ，) 满足如下l i p s c h i t z 条件 肛( z ，s ，) 一v ( z ，s ，t 】| ( r ，r 】r - , 1 山c a u c h y 积分公式知 6 ， 。vo , s , t 胁击轧掣嵋a t ， 因此 i p ( f ) - v ( t 6 | f 一f 1 ，t l , t b ，r 】， ( 2 7 ) 其巾b 为常数，又山v ( z r ) = y ( r ) z + ，业掣= 一 o ( z ，叫) r ) 羽 d h ( o ，f ) = ，可知 v ( 0 - - 一y ( f ) a e f s ， y o ) = ， 即 v ( z ，s ，f ) = e s - t 屁+ 现在我们证明p 0 ( z ，f ) ) p ( z ) ，s t s + a 由p 在c “上是c 1 的，从而 p o ( z ，f ) ) 一p o ( z ，t ) 】c l l v ( z ，t7 ) 一v ( z ，r = c 慷n ( v ( 研) t 圳 础( r 】f 一f 1 ， 故p o ( z ，f ) ) 是关于f b ，。+ “】的绝对连续泛函，所以至煎垒趔几乎处处 存在且可积，且 f 掣r = p o ( z ，r ) ) 一p ( z ，s ) ) ：p o ( z ，) ) 一p ( z ) 又因为对固定的z e q p ) 和j 0 ，山( 1 ) 和【4 川，的结果可知 掣d t 跏倍) ) 掣d t1 ia v 、 ， j 于是p ( v ( z ，f ) ) p g ) 。 d r e 陪m 啪( z t ) ) 0 ， 3 主要结果 为，叙述井i 止咧壬蛩绢呆，衙蛩以p 儿1 、引埋 引理3 1设v ( z ) ( q ) c n ，则对v z q ，有 糍r 怯警删 0 ，又因k o ，f ) = o ，k o ，f ) = ， 贝9 有 ；啄g 暗) = 1 2 g ( o ) ，所以g 售) 日移) 其中的计算用到了p 的两个性质： 2 r e 粤( z ) z = p ( z ) 和粤沁) = 粤g ) ，a 【o ，枷) 。故 c i za za z 镧蛳邸确l + i l 舡u ， 令f ：p f z l ，有 丽1 - p ( z ) 低酬班糍， 即 硐l - p ( z ) 娘e 【( 喇2o 萨p ( 弘叫糍 下面的引理3 2 是关于初值问题( 2 1 ) 的一个估计。 引理3 2 设h ( z ，r ) 满足引理2 1 ，v ( z f ) 是( 2 1 ) 的解，则对 v z q ，0 s t ，有 一器如。黯0 ， 。( 1 一p o ( z ，s ，f ) 炉一。p ( z ) ) 2 证明：从引理2 1 的证明和v q 可得 鲻d 剑t 姐f 罐d vz 筹t 帆 r ) ) 1 i 。 li ，s ，j 、 所以o ( v ( z 足f ) ) 是严格的。且当c 从s 到+ o 。时，p o ( z f ) ) 从 p o ( z ，以5 ) ) = | d ( z ) 增到o ，又p ( v ( z ，s ，f ) ) s p ( z ) ，则山引理3 1 知 d p ( o p ( v x l - p ( v ) ) d t 。 1 + p ( v ) 又一粤型在区间o o z q 这里h 是q 【o ，扣) 上的函数且满足引理2 1 的假设。进一步假设存在一 个序列量。) 使得t 。_ * 而且 l i m e 。，( z ，t 。) = ，( z ) 在q 上局部一致地成立，则f ( z ，f ) 足一单叶从属链，而且对固定的s 2 0 存在极限 l i m p 。v ( z ，5 ，f ) = ，( z ，j ) 在q 上局部一致成立。这里v = v ( z ，s ，f ) 是方程( 2 1 ) 的解，因此，s ，q ) ， 这里，( z ) = ，( z ，o jz 2 证明根据前面的定义，只需证明对5 0 存在一个s c h w a r z 映照 使，( z ，s ) = ，o ( z ，矗f ) f l f j ，z q ，设v ( z ，s ，f ) 是单叶的s c h w a r z 映照，h 满 足方程( 2 1 ) ，我们定义，( z f ) = ，( z ，s ，f ) f ) ，因为由( 2 7 ) 知v ( z ，5 ，t ) 关于t 是绝对连续的，又由题设，对任意的z ，( ，f ) 关于r 也是绝对连 续的，则知，( z f ) 关于r 绝对连续，因此掣几乎处处存在，而且 ( ， 未，g ，) = 巧( z ，) ，芦掣+ 未如g 一，) ，) = 珂r ) f ( 掣m ) f ) ) = 0 ， 又由d ，( o ，f ) = e ，所以d ，o ( z ，l f ) f ) 在z = 0 的一个邻域中非异，因此在 这个邻域中，掣：o ，( 。e r ，) ，进而有在q 上望g ! ：! ) 为。即 d t o t ，q 一，) 关于，为常值，此即是 ，o ( z ，s ，r i o = f ( z ，s ，) = ，( z ，s ，s ) = ，o ( z ，s ，s l s ) = f ( z 。s ) 证毕。 这个定理也给出了一个判定，是否在s 。( q ) r i t 的力+ 法。 现在我们可得出s ，( q ) 的一些性质。 定理3 6 如果，s 。q ) ，那么 器轴c z 必揣烈q i t l j t k 町知，( q ) 三q 证明：由，s g ( q ) ，则存在一个映射h ( z ，j ) ：q 【0 ，一) _ c “满足引理 2 i 的条件，且有一个序列量。 ；f 。 o t 。_ 一使得在q 上有 ，( z ) = l i m e 。v ( z ，t 。) + o 局部一致成立。v ( z ，f ) 为方程( 2 1 ) 的解，从引理3 2 可知，对v z e q ，f 0 有 器s 畿1p ( v 端( z ( 1 + p ( z ) 旷一+ ，f ) ) 。 和 ! 1 2 q 垒：! 塑 旦延2 l p o ( z ，f ) ) 一( 1 一p ( z ) 旷 又因为p 连续，则 l i m p g v ( z 。f 。) ) = p ( 厂( z ) ) s 1 m - 且 l i m p ( v ( z 。，。) ) = l i 毋e - r mp g k v ( z ，f 。) ) = o m + om + o 在( 3 1 ) ，( 3 2 ) 中用f 。代替f ，使得m _ o o ，则有 器啪眺器 注记 3 7上面的估计是精确的。事实上，设 ，( z ) = ( 百兰三厂，南 ，z = ( z i z y q ，则，足一个q 上的正 规的双全纯映射，且- ( z ，f ) = e j l ( z ) 是一个单n | 从属链且满足引理2 1 ， 所以 ，s 。q ) 如果令 z = ( r ，o 。，0 ) ，【o ，i ) ， 则 舭) ) = 而r = 器同样，令z 嘲砒洲一 舭) ) = 南2 揣 注记3 8设f ：q - c “是局部双全纯星形映射- ，( o ) = 0 ，彤( o ) = ，则我们可用 15 】中的方法验证，( z 。f ) = e t ，( z ) 足单叶从 属链，且 ( z ，f ) = ( d ，( z ) ) _ ，( z ) ；z e q 。t 2 0 满足引理2 1 的假设，所以 i , es 。 ) 。则我们可以得到如下结果 推论3 9设f ：q _ c 4 是, - f 规化双全纯星形映射。p 是其 m i n k o w s k i 泛函，它在q 上除去一个低维流形上是连续的，则有 百 警2 矿sp ( 厂( z ) ) 百! 警2 矿 这结果已被证明( 【2 】) ，这也是【1 1 】， 1 2 】中重要结果的推广，事 实上，我们可以得出比推论3 9 更广泛的结果。 定理3 1 0 设，s 。( q ) ，g ：u _ c 是全纯的单叶函数， g ( o ) - - i g 俘) = 虱臻【，g ( u ) c 1 7 ，且g 对o r j i l l 足 霉塞黑：搿弃舞 。， 嚣譬g 传) = m a 妇( r l g 卜r ) ) “。 则对v z q 腓x p “司矗页研一 p u ( z ) ) 玑蛔p m i n g ( x 1 ) g ( - x ) 。1 卢 为此首先证明 引理 3 1 1设 啊( z ) = 向( z ，f ) ：q x 【o ，一) _ c “ 是满足引理2 1 的映射，g 满足定理3 1 0 中条件。v = v ( z ，j ，t ) 是( 2 1 ) 的解，则对z e q ，0 s t 一有 即蜘，殿。) ) 蕊i 缶弼一- 愕纠舭，蹦) ) “p 己) e x ，艨。) ) 蔬志硒一- 悻 证明：设v q 一) 。固定j 0 ，则作c ：u - c 其中v 。= 去 。 p p j ：垮軎“) l l 眠蜘。 ll ：考= 0 ，则只h ( u 一如) ) ，因为h ( 0 ，f ) = o ，o h ( o ，r ) = f ，所以 e l i 。m c g ) = 1 2 c ( o ) ，i e 只日 ) 。又c ( o ) 2 g ( 0 ) = 1 ，c ) cg 移) ( 参 见【1 l 】，p 7 2 ) ，则p g，在单位圆盘上运用从属链原理，有 c ，) cg ( u ，) ，对0 r o , t 。_ 一使得 ，( z ) = l i r a p 。v ( z ，f 。) 在n _ e 局部一致成立。这里y = v ( z ，t 。) 是方程【2 1 ) 的解。由引理3 1 0 得 p ( z ) 唧聪棚l 磊矗而利妄妒1 舭 r ) ) 吼) e x 一艨厶) ) 面矗而一- 拿， 又 里罂p g k v ( z ，k ) ) = p ( 厂( z ) ) ”；z q ， 所以 1 i m p 0 ( z ，f ，) ) = l j r n e - t i n p g | _ v ( z ，f 。) ) = 0 对( 3 7 ) 取极限即得所要的结果。 由定理3 10 证明推论3 9 。 因为由【5 】类似的证明知，是q 上双全纯正规化星形映照，当且仅 当，( z ，t ) = e ，( z ) 是单叶从属链。 令g 售) = 警善， u ， ( z ，f ) = ( d ，( z ) ) 1 ，( z ) ；z q 显然，h ( z ，f ) 满足引理2 1 ，令工是从0 到p ( z ) 的正实数。则 m i n 白g l g ( - 讲= 五l + x ， 定理3 10 右端变为 斛x p 州鲁一- 恪斛川邮一z 渺黯 同理可得左端。 在【4 】中有如下结果( 【4 】，定理1 3 2 ) 设q 为c ”中有界星形 圆型域，它的m i n k o w s k i 泛函除去一个低维流形外是c 函数。若，( z ) 足 q 上正规化双全纯口次星形映照，则 + 器p u 跳貉 作为一个推论，可以导出，( q ) b q 。 我们指出，这可由定理3 10 得出，事实上，如果f ：q - 一是正规 化双全纯口次星形映照q ( 0 ，1 ) ) 。令 ( z ，f ) = ( o f ( z ) ) _ 1 ，q ) ，z 6q ，则 ( z ，) 满足引理 2 1 的条件。 又设s 售) = 蕊，善【，则有 g ( 0 ) = l 。暑辱) = 蕊d 暑移) c n 即f es 。( q ) 。考虑到函数兰坚，一l f l 足关 1 - l t x 于x 增函数，故m i n g ( x ) g ( - 蔗汁= g ( - x ) 则定理3 i0 右端为 p u ( z ) ) p ( z ) 。x p 9 f ( 掣- 1 ) 生 p u ( z ) ) f ( 上掣一1 ) 坐 乞 l 一工x ：p ( z ) e x p 9 f 丝出 2 _ p ( z ) e x p 等出0 j = p ( z ) c x p ( ( 2 f f 一2 ) i n ( 1 一_ d ( z ) ) ) =旦垒) ( 1 一p ( z 盱一2 “ 同可证左端。 可以根据定义验证q 上的正规凸映射是i 1 次星形映射 ( 1 4 】 1 3 】 4 】) ，则由以上定理可知 推论3 1 1设f 是q 上还正规化凸映照，则有 百 警芝矿sp ( 厂( z ) ) 百! 警毫矿( 1 + p ( z ) ) 一vp ，一( 1 一p ( z ) ) 结果是最好的，作为一个推论有f ( 必3j q 1 9 参考文献 【1 】g k o h r ，t h em e t h o do f1 0 w e rc h a i n su s e dt oi n t r o d u c es o m e s u b c l a s s e so fb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g si n c 4 ，t oa p p e a r ，2 0 0 0 【2 】t ，s ，l i u ，g b r e n ，t h e g r o w t h t h e o r e mf o rs t a r l i k e m a p p i n g s o nb o u n d e ds t a r l i k ec i r c u l a rd o m a i n s ，c h i n a n n o f m a t h ，19 9 3 ，4 ( 19 9 8 ) ，4 0 1 40 8 【3 】s g k r a n t z ，f u n c t i o nt h e o r yi ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e j o h nw i l e y ，n e wy o r k ，19 8 2 ( 4 】刘浩， 多复变数的星形映照族及其扩充与子族，中国科技大 学博士学位论文，1 9 9 9 15 】g k o h r ，u n i v a l e n tm a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s c l u ju n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 8 f6 】j a p f a tz g r a f f s u b o r d i n a t i o nc h a i n sa n du n i v a l e n c eo f h o l o m o r p h i cm a p p i n g si n c “，m a t h a n n 2 10 19 7 4 ) 5 5 6 8 17 】h h a m a d a ，g k o h r ，s u b o r d i n a t i o nc h a i n sa n du n i v a l e n to f h o l o m o r p h i c 唧a p p i n g so nb o u n d e db a l a n c e dp s e u d o c o n v e xd o m a i n ( t oa p p e a r ) f8 】t p o r e d a ，o nt h eu n i v a l e n c eh o l o m o r p h i c m a p so ft h eu n i t p o l y d i s ci n c lw h i c hh a v et h ep a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n i t h e g e o m e t r i c a lp r o p e r t i e s a n n ，u n i v m a r i a e c u r i es k l o d o w s k a 6 1 ( 19 8 7 ) 1 0 5 1 1 3 【9 】t p o r e d a o nt h eu n i v a l e n c eh o l o m o r p h i cm a p so ft h eu n i t p o l y d i s c i n c ”w h i c hh a v et h ep a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n j l n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s a n n m a r i a