（工程力学专业论文）非线性Block方程的分岔求解.pdf

兰州大学硕士研究生学位论文 摘要 1 9 4 6 年描述核磁共振现象的b l o c k 方程建立后，为了更符合实际，研究者 考虑了很多非线性因素并对方程作了相应的修正。为了说明磁化依赖，b l o c k 方 程中加入反馈项，得到了具有控制性质的非线性b l o c k 方程。这种修正后的b l o c k 方程，它的丰富的动力学特性如分岔、混沌控制等受到研究者关注。本文就是主 要对这种含有反馈项的非线性b l o c k 方程解的稳定性和余维度不大于2 的丰富分 岔行为进行分析计算研究。分岔计算中借助了分岔软件包m a t c o n t ，它是基于 m a t l a b g u i 平台有图形界面和应用数值延拓方法求解参数化非线性动力微分 方程的软件包。它可以计算平衡曲线、极限点、h o p f 分岔、极限环、折叠分岔、 极限环倍周期分岔、跳跃分岔和极限环环面分岔、平衡分支点、周期轨道和同宿 轨等等。它求解分岔图参数范围极宽，激活参数可以是一个或两个参数，所以能 得到更加复杂的分岔现象。 本文第二章对涉及非线性动力学的一些基本概念给予说明介绍，如微分动力 系统的解的存在性、唯一性和延拓性，分岔理论涉及的轨道、相图、不变集、平 衡点、极限环、余维度、流形、结构稳定性和正则范式等概念。在对非线性b l o c k 方程分岔求解前，给出了非退化和横截的有限维连续系统的余维度不大于2 局部 分岔的类型及判断依据，并在第三章简要地对求解分岔计算原理及主要求解分岔 的软件包现状作了比较介绍。 本文第四章首先推导带有反馈项的非线性b l o c k 方程并将其无量化，接着 对其进行做稳定性分析并得到解析的平衡点及稳定区域，然后对选定参数后的非 线性b l o c k 方程组进行积分，得到的结果作为后续延拓计算的状态变量初始值。 两个参数) ，和l f ，分别作为自由参数进行平衡曲线计算，得到了余维度1 上的鞍结 分岔和h o p f 分岔。将计算得到的h o p f 分岔点作为初始点进行极限环延拓计算， 找到了极限环鞍结分岔和倍周期分岔两种。两个参数) ，和妒同时作为自由参数， 利用已计算得到的鞍结分岔点作为初始点进行余维度2 上的平衡点延拓计算，找 到了余维度2 上的尖点分岔( c p ) 、f o l d h o l f 分岔( z 均、b o g d a n o v - t a k e n s ( b t ) 分 岔3 种。可见，总共找到7 种分岔形式。这些分岔的计算结果对非线性b l o c k 方 程研究及其描述的核磁共振复杂的现象有着重要实际意义。 关键词：非线性b l o c k 方程；m a t c o n t ：余维度；分岔分类；延拓算法；分岔 软件；核磁共振。 第1 页 兰州大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t a f t e rb l o c ke q u a t i o n sw h i c hd e s c r i b e dn u c l e a rm a g n e t i cr e s o n a n c e ( n m r ) w e r e f o u n di n 19 4 6 ，t h e yw e r em o d i f i e db ya d d i n gm a n yn o n l i n e a rt e r m sf o rd i f f e r e n t d e m a n d s f o re x a m p l e ，n o n l i n e a rf e e d b a c kt e r m sw e r ea d d e di n t ot h ee q u a t i o n si n o r d e rt o e x p l a i np h e n o m e n ao fm a g n e t i z a t i o n d e p e n d e n t a n dn o n l i n e a rb l o c k e q u a t i o n sw e r eo b t a i n e d t h e nd y n a m i c ss u c ha sb i f u r c a t i o na n dc h a o so ft h e s e m o d i f i e de q u a t i o n sw e r eg i v e nm o r ea t t e n t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yp r e s e n t sa s t u d yo ns t a b i l i t ya n a l y s i sa n dv a r i o u sb i f u r c a t i o n sw h i c ha r en om o r et h a nc o d i mt w o o ft h en o n l i n e a rf e e d b a c kb l o c ke q u a t i o n s t h ec a l c u l a t i o n sa l ep r i m a r i l yi nv i r t u eo f m a t c o n t w h i c hi sas o f t w a r ep a c k a g eb a s e do nm a t l a b g u if o rt h ei n t e r a c t i v e n u m e r i c a ls t u d yo fn o n l i n e a ra n dp a r a m e t r i z e dd y a m i c a ls y s t e m sb yc o n t i n u a t i o n a l g o r i t h m i tc a l lc o m p u t ec u r v e so fe q u i l i b r i a ，l i m i tp o i n t s ，h o p fp o i n t s ，l i m i tc y c l e s ， p e d o dd o u b l i n gb i f u r c a t i o np o i n t so fl i m i tc y c l e s ，f l i pa n dt o u sb i f u r c a t i o no fl i m i t c y c l e s ，p e d o d i co r b i t sa n dh o m o c l i n i co r b i t s ，e t c o n eo rt w op a r a m e t e r sc o u l db c a c t i v e da n dt h er a n g eo ft h ep a r a m e t e r si nb i f u r c a t i o ng r a p h si sw i d e l y , s om o r e c o m p l i c a t e db i f u r c a t i o n sc o u l db ef o u n d s o m eb a s i cc o n c e p t i o n so fn o n l i n e a rd y n a m i c ss u c ha se x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ， c o n t i n u a t i o no fs o l u t i o nr e f e rt od i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n do r b i t , p h a s ep r o t r a i t ， i n v a r i a n ts e t ，e q u i l i b r i u m ，l i m i tc i r c l e ，c o m d i m e n s i o n ，m a n i f o l d ，s t r u c t u r a ls t a b i l i t y , n o r m a lf o r mr e f e rt ob i f u r c a t i o nt h e o r ya r ci n t r o d u c e di n c h a p t e rt w o b e f o r e b i f u r c a t i o n so fn o n l i n e a rb l o c ke q u a t i o n ss o l v i n g ，t h ec l a s s i f i c a t i o n sa n dc r i t e r i o n so f l o c a lb i f u r c a t i o n so fn o n d e g e n e r a c ya n dt r a n s v e r s a l i t yf i n i t ec o n t i n u o u s s y s t e m s w h o s ec o d i m e n s i o n sa r en om o r et h a nt w oa r ei n t r o d u c e d t h e nt h ep r i n c i p l eo f n u m e r i c a la l g o r i t h m so fn o n l i n e a re q u a t i o n sa n dm a i nb i f u r c a t i o ns o f t w a r e sa r c i n t r o d u c e db yc o m p a r i s o nm e t h o di nc h a p t e rt h r e e a tf i r s t ，t h en o n l i n e a rd i m e n s i o n l e s sf e e d b a c kb l o c ke q u a t i o n sa r ed e r i v a t e d ，t h e n t h ea n a l y t i c a le q u i l i b r i aa n ds t a b i l i t yr e g i o n so ft h ee q u a t i o n sa l eo b t a i n e d a f t e r s t a b i l i t ya n a l y s i s ，i n t e g r a lo ft h ee q u a t i o n sa r ec a l c u l a t e db yf i x i n gv a l u eo f p a r a m e t e r s ，t h er e s u l t sa si n i t i a lv a l u e sw i l lb ef o rl a t e rc o n t i n u a t i o nc o m p u t i n g t w o p a r a m e t e r s ，a n d 矽 a l es e l e c t e da sf r e ep a r a m e t e rr e s p e c t i v l y , f o l da n dh o p f 第页 b i f u r c a t i o n sa r eg o to nc o d i m e n s i o no n e t h e nt h eh o p fb i f u r c a t i o ni ss e l e c t e da s i n i t i a lp o i n tf o rc o n t i n u a t i o no fl i m i tc y c l eo nc o d i m e n s i o no n e ，f o l db i f u r c a t i o na n d f l i pb i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l ea r ef o u n d ，a n d 妒t o g e t h e r a sf r e ep a r a m e t e r sf o r c o n t i n u a t i o nc o m p u t i n go fe q u i l i b r i aa n dc o d i m e n s i o nt w ob i f u r c a t i o n ss u c ha sc u s p ， f o l d h o p f , d o u b l e z e r ob i f u r c a t i o n a r ef o u n d i ti so b v i o u st h a tt o t a l l ys e v e n b m 】r c a t i o n sa r ef o u n d t h o s er e s u l t so fn o n l i n e a rb l o c ke q u a t i o nh a v ei m p o r t a n ta n d p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e f o ru n d e r s t a n da n da p p l i c a t i o no fn m r ( n u c l e a rm a g n e t i c r e s o n a n c e ) k e y w o r d s ：n o n l i n e a rb l o c ke q u a t i o n ；m a t c o n t ；c o d i m e n s i o n ；c l a s s i f i c a t i o n o f b i f u r c a t i o n ；c o n t i n u a t i o na l g o r i t h m ；s o f e w a r e o fb i f u r c a t i o n ；n u c l e a r m a g n e t i cr e s o n a n c e ( n m r ) 第1 i i 页 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 l ，| lj 毛。旧 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：兰阜咩导师签名： 论文作者签名：竺c ! ：芝翌导师签名： 兰州大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1 1 非线性b io c k 方程历史和发展 自1 9 4 6 年e b l o c k 发现磁核共振现象并给出宏观动力学描述b l o c k 方程以 来，对其原理研究及其技术应用取得大量成果，相应动力学描述及现象特征也有 大量的研究文献，这对理解核磁共振在外磁场作用下各种动力学现象是极为重要 的。随着对核磁共振现象深入研究，对b l o c k 方程也作了很多修j 下以更符合实际。 1 9 4 6 年eb l o c k 在文指出，一般物质的核磁矩在静磁场中会发生核子顺磁 极化以达到平衡，并以拉莫尔频率( i a r m o rf r e q u e n c y ) 旋进，且磁矩方向与静磁 场保持一定的夹角。若在此常磁场的适当角度加入射频场后，磁矩方向与静磁场 方向将增大，频率缓变的趋向射频场频率( r a d i of r e q u e n c y , r f ) ，在两场共同作 用下，核子极化在某个方向产生可观察到的电动势，最后总结出了考虑驰豫现象 ( 自旋自旋和自旋晶格驰豫阻尼) 的磁化强度矢量满足的方程即b l o c k 方程，也就 是描述核磁共振的经典方程。1 9 5 4 年n b l o e m b e r g e n 和r vp o u n d 通过用一组 耦合电路类比方法模拟核磁共振实验，发现在某些情况下( 如强外场下) 幅射阻尼 对磁化感应强度的影响比驰豫现象更为重要l 引。1 9 5 6 年h c t o r r e y 在b l o c k 方 程中加入扩散传播项，修改后的方程可以描述在不均匀场下的驰豫率或初始磁化 等现象pj 。在经典的b l o c k 方程基础上，逐渐考虑了辐射阻尼、分子扩散、化学 位移、不均匀场、远程偶极场等因素不断修正b l o c k 方程，相应的增加了b l o c k 方程的非线性项。 非线性b l o c k 方程大量的非线性现象也被实验中观测和研究，1 9 5 0 年e l h a h n 首先实验并利用b l o c k 理论研究了拉莫尔自由旋进引起的自旋回波现象【4 1 ， 并提出用于测量驰豫时间常数的简单直接方法。1 9 7 7 年m b e m i e r 和j m d e l r i e u 实验得到多次自旋回波现象【5 1 ，1 9 7 9 年gd e b i l l e 等首次通过退磁场( 偶 极场1 效应定量地对多次自旋回波现象做了解释【6 j ，随后引起了广泛的讨论和研 究。1 9 8 7 年r h o l z n e r 等利用红宝石核磁共振激光器实验验证了亚临界h o p f 分 叉的存在，并用数值方法对描述这个过程的b l o c k 方程进行了讨论【7 l 。1 9 9 9 年j j e e n e r 进一步对由退磁场效应引起群聚和不稳定做了定量讨论分析1 8 l 。1 9 9 5 年 a l o u i s j o s e p h 、d a b e r g e l 等对幅射阻尼以反馈项出现的b l o c k 方程的复杂非线 性行为做了一些研究1 9 j 。2 0 0 0 年y yu n 、n l i s i t z a 等核磁共振的瞬态时空混 沌现象进行了研究【1 。以后对考虑了各种影响如驰豫效应、幅射阻尼、不均匀 外场等的非线性修正b l o c k 方程动力学行为的研究开始多了起来，2 0 0 2 年d a n i e l 第1 页 兰州大学硕士研究生学位论文 a b e r g e l 对考虑驰豫作用及退磁场效应后的修正b l o c k 方程动力学做了数值讨论， 得到了通向混沌的一些参数剿1 1 j 。2 0 0 3 年a h m e tu c a r 等在d a n i e la b e r g e l 工作 的基础上，利用非线性控制理论使得两个不同系统参数常量和初始条件的b l o c k 系统得以同步1 1 2 l 。2 0 0 4 年a l o u i s j o s e p h ，d a b e r g e l 给出了带有反馈的非线性 b l o c k 方程新的实验证据i l 引。2 0 0 5 年j uh p a r k 应用l y a p u n o v 稳定方法并设计 特殊控制方式主从系统对非线性b l o c k 方程实施混沌同步控制【1 4 】。2 0 0 6 年f m m o u k a mk a k m e n i 等对考虑了非均匀场的非线性b l o c k 方程也进行了同步控制 1 1 5 】。2 0 0 7 年d i b a k a rg h o s h 等人对非线性b l o c k 方程部分分岔行为进行计算1 1 6 1 。 此外，对非线性b l o c k 方程动力学研究除了数值方法定量讨论研究外，还利用定 性方法也对其进行了研究。 1 2 本文研究内容及结果 本文就是主要对带有反馈项的非线性b l o c k 方程解的稳定性和余维度不大 于2 的丰富分岔行为进行分析计算研究。第一章为绪论，先对非线性b l o c k 方程 的发展历史和动力学研究现状作了简要叙述，然后对本文各章主要内容及结果作 了概要说明。第二章主要对微分动力系统的一些基本概念和本文涉及部分分岔理 论内容作了整理说明。这章先对微分动力系统解的存在性、唯一性和延拓性给予 简要说明，接着对动力系统常用到的概念如轨道、相图、不变集、平衡点( 奇点) 及其分类和极限坏等概念定义进行介绍，然后对涉及分衍理论的概念如余维度、 流形、结构稳定性和正则范式等概念进行定义说明，最后给出了非退化和横截的 有限维连续和映射系统的余维度不大于2 局部分俞的类型及判断依据。这些分岔 有限维连续和映射系统的分岔类型并不是全部，还有本文没有涉及到的如非光滑 系统的分岔【1 7 倒、对称系统的分岔和无限连续系统的分岔等。 计算分岔解，特别对平衡点和极限环的分岔计算是主要研究方向之一，所以 第三章将将对求解分岔计算原理和方法给予介绍，另外对当前求解分岔的各类主 要软件包特性、效率和采用的算法等作出说明。牛顿算法是最基本最经典的求解 非线性方程组的解法之一，可惜其对收敛半径和初值选取有着苛刻的要求，为了 扩大收敛半径及对初值选取范围而发展了延拓算法。延拓算法现已成为数值求解 非线性问题最常用方法，大部分软件包都采用这种方法，如求解分岔软件包 a t u o 、c o n t e n t 和m a t c o n t 等，所不同的是在分岔求解步骤上如分俞点的 追踪确定和分岔方向确定方面有所不同。本章最后将对分岔求解软件包的历史发 展现状做比较介绍，特别对本文采用的计算软件包m a t c o n t 作出较为详细的 说明。 第四章是本文主要内容和结果，首先介绍b l o c k 方程的推导并对其无量化， 接着对其进行解的稳定性分析，得到了解析的平衡点和稳定区域，然后对选定参 第2 页 兰州大学硕士研究生学位论文 数后的非线性b l o c k 方程组进行积分，得到的结果作为后续延拓计算的状态变量 初始值。两个参数) ，和l f ，分别作为自由参数进行平衡曲线计算，得到了余维度1 的分岔鞍结分岔和h o p f 分岔。将计算得到的h o p f 分龠点作为初始点进行极限 环延拓计算，找到了极限坏鞍结分翁和倍周期分龠两种。两个参数，和妒同时作 为自由参数，利用已计算得到的鞍结分岔点作为初始点进行余维度2 上的平衡点 延拓计算，找到了余维度2 上的尖点分岔( c p ) 、f o l d h o l f 分岔( z h ) 、 b o g d a n o v t a k e n s ( b t ) 分岔3 种。可见，总共找到7 种分岔形式。这些分岔的计 算结果对非线性b l o c k 方程研究及其描述的核磁共振复杂的现象有着重要实际 意义，如c p 分岔的出现意味者有跳跃( h y s t e r e s i so ri u m p ) 现象的产生。 第3 页 兰州大学硕士研究生学位论文 第二章非线性动力学系统及分岔分类 2 1 微分动力系统基本概念 2 1 1 微分动力系统解的存在性和唯一性 动力系统是对确定性过程一种模型化数学表达。许多物理、化学、生物、生 态、经济甚至社会系统的过去和将来可以通过它们当前状态和活动规律在某种程 度上预知，如果这个活动规律不随时间改变，则系统行为将被其初始状态惟一决 定。可见，描述确定性过程的动力系统由一组状态和状态相应时间发展所遵循的 规律组成。这里的状态空问可以是空间也可以足空间的函数。 动力系统就是一个三元组 丁，x ，r 表示时间，x 指状态空问， 矿：( x ，丁) 一x 就是动力系统的发展规律( 算了) 。随时问变化的连续发展动力系 统最常用的数学表达方式就是微分方程组i 批2 5 1 。 微分方程组是一组包含状态变量、未知函数以及未知函数的导数的方程。含 高阶导数的微分方程组总可以写成只含一阶导数的微分方程组，以下就以含一阶 导数的一阶微分方程组来说明其相关概念。 一阶导数的一阶微分方程组的向量形式如下： 戈= 厂o ，工)( 2 1 ) 其中t e e r ，工= “，) rer “( 以维欧氏空间) ，厂一( ，无) re r “是定义在 1 1 + 1 维的( f ，x ) 空间的某个区域上的订维向量函数，即厂：q r ”1 _ r “，并在空 间中定义度量，主要指定义希尔伯特( h i l b e r t ) 空i 日j 的度量( 距离) ，即内积和范数。 如果方程( 2 1 ) 右端时问t 不出现，则称其为自治或定常微分方程组，否则称 为非自治或非定常微分方程组。如果( 2 1 ) 右端函数为线性函数，则称( 2 1 ) 为线性 微分方程组，否则称为非线性微分方程组。非线性微分动力系统有着丰富的动力 学性态，也是非线性动力学研究的重要对象。 微分方程组在什么条件下有解，皮卡( p i c a r d ) 定理，也就是常微分方程存在 性和唯一性定理指出，在一初始条件下，厂定义在某域上，满足李普希茨( l i p s c h i t z ) 条件，方程( 2 1 ) 在某区间上存在解并且是唯一的。此定理可以利用泛函中的巴拿 赫不动点定理证明。显然这个定理是局部性的，所能起作用的区间大小由厂( f ，工) 在初始点附近的局部性质所决定。但仅仅知道解的局部存在性，多数情况下不能 满足微分方程研究的需要，所以希望能将小区间上有定义的解延拓到较大区间 上，以便有可能了解的整体性结果。 第4 页 兰州大学硕士研究生学位论文 2 1 2 解的延拓 方程( 2 1 ) 在初始条件x ( f 0 ) = 下，在区间【a , b 】或( 口，b ) 上有一个解，如果该 初值问题在一个更大区间【a ，卢】或 ，卢) 上存在另一个解，且【口，6 】c 【口，卢】( 或 ( a , b ) c ，卢) ) ，且在较小区间上，两解恒等，则认为该方程在区间【a , b 】或( a , b ) 上的解是可延拓的，大区问上【a ，卢】或 ，卢) 的解就是小区间上解的一个延拓。 如果不存在这样的解，就认为小区间上解是饱和解。 2 1 3 动力系统的基本概念 动力系统常讨论和遇到的是自治常微分方程组，其一阶问题向量形式如下： r出 j 肛面2 ，( 工( 2 2 ) 【x ( o ) = 由解的存在性和唯一性知，对任意，( 2 2 ) 都存在并惟一的解矿( ) 。如果厂能 k 可微，即厂e c ( r “，r 。) ，贝j x o e r “存在邻域cr ”，对每个x e u o 在t = 0 附 近丌区间_ 口丁找到解矿x ) 。每个时i 日j t ，其解 ) 相当于x 映射： 驴：xi - - - 驴o ) ，u o r ”( 2 3 ) 所以又将称为( 2 2 ) 的流( 2 5 l ( f l o w ) ，显然它满足如下性质： 驴o ( x ) = z ，驴( 石) = 妒。( 9 5x ) )( 2 4 ) 满足这些性质的映射族，称其为连续动力系统( c o n t i n u o u s t i m ed y n a m i c a ls y s t e m ) 。 随时问的变化，矿o ) 所经过的曲线就称为( 2 2 ) 的轨道( o r b i t ) ，如果这个轨道只有 一个点，称其为平 , ( t r i v i a l ) 轨道，否则称为非平p l ( n o n t r i v i a l ) 轨道。易见( 2 2 ) 式 右端向量厂 ) 在x 处相切于非平凡轨道，非平凡轨道不相交。所有轨道的集合称 为相图( p h a s ep o r t r a i t ) ，实际应用中相图仅作出主要的轨道。相图是定性研究动 力系统( 2 2 ) 的重要手段，而它所包含的特殊轨道又是考察的重点。不变集 ( i n v a r i a n ts e t s ) 就是一类特殊轨道，最简单不变集就是平衡点( e q u i l i b r i u m ) 和周期 轨道( p e r i o d i co r b i to rc y c l e ) 。对任意t ，存在矿( z o ) 一工o ，即在时间过程中，系统 的状态始终停留在点，这时相空间的轨道退化为一个点，这就是平衡点；对 毛 0 ，存在非平凡轨道矿+ 毛( x o ) ；矿o o ) ，则称其为周期轨道，显然周期解所对 应的轨线为一条闭轨，孤立的周期轨道称为极限环( 1 i m i tc y c l e x 见图2 1 ) 。 平衡点对应微分动力系统( 2 2 ) 的平衡解，即： ，o ) = 0 ( 2 5 ) 的解，也就是流的不动点，不动点常常表示映射系统的平衡解，它也称为向量场 f ( x ) 的奇点，在应用科学中又称平衡点，对于向量场不为零的点称为正则点。 平衡点和闭轨都是非常简单的轨道，但它们是动力系统拓扑结构的最基本形 第5 页 兰州大学硕士研究生学位论文 态，也是不变集的关键组成部分。 图2 1 平衡点干| i 极限环 若为，为切向量场的连续动力系统= 驴( f ，x o ) 的平衡点，即( ) = x o ， 令： o f ) 一a ( x o )( 2 6 ) 表示，在的微分，再令i = z 一矗，则线性微分系统方程： i 一戈- x o = ，( x ) 一( x o ) 一f ( x + ) 一，( 】) 一d f ( x o ) i = 彳o ，0 ) i ( 2 7 ) 称为非线性系统的线性化系统或一阶变分系统。 a ( x o ) 称为动力系统矿一伊( f ，) 在平衡态j c 0 处的线性化矩阵，按照线性化矩 阵4 。的特征值九，k = 1 2o - 9 拧对分类【2 6 l ： 平衡点称为双曲型( h y p e r b o l i c ) 的，若r e & 番o ，k = 1 , 2 ，n ： 称为中，c , ( c e n t e r ) ，若r e 人一0 , k = 1 , 2 ，咒； 称为汇( s i n k ) ，若r e 疋 o , k 一1 , 2 ，聆； 称为鞍点( s a d d l ep o i n t ) ，若为非源非汇的双曲平衡点； 而称为结点( n o d e ) ，若x o 是汇，且九，k 一1 ，2 ，n 是实数； 称为焦点( f o c u s ) ，若是汇，且存在九是非实数； 若是汇，则称其为稳定的或为吸引的平衡点；若是源，则称其为排斥 的平衡点，或为不稳定的平衡点。 还有重要的不变集称为不变流形( i n v a r i a n tm a n i f o l d ) ，通常光滑不变流形 第6 页 兰州大学硕士研究生学位论文 肘cr “满足： ，似) = 0 其中f ：r ”呻r ，k 0 ，以( 0 ，0 ，0 ) o ，m 。( 0 ，0 ) 0 ( 2 1 4 ) 和恒等式： s o ，0 ) = 1 ，x o ，0 ) = x ，彳( 0 ) = 0( 2 1 5 ) 使得： 日o ，卢) = s ( 工，肛，卢) g ( z ( x ，卢) ，m ( t ，卢) ，彳( 卢) )( 2 1 6 ) 则称h 由g 代理。( 2 1 4 ) 式表明接触等价性，( 2 1 5 ) 式表明g o ，0 ) 和h o ，p ，0 ) 都 等价于g ( x ，) ，从而满足开折定义。( 2 1 6 ) 式表明开折h 与开折g 接触等价，因 此在接触等价意义上开折g 包含了有开折h 给出的一切扰动。若g 是函数g 的 某个开折，且g 的任意开折都可以由g 代理，则称g 是g 的一个普用开折。g 的 普用开折可以有无穷多个，普用开折中所含附加参数最少的开折称为普适开折， 其开折参数的个数就称为函数的余维数，则函数g 的余维数记为c o d i mg 。没有 普用开折的函数余维数称为无限大。余维数的引入有利于分岔分类。简单的讲， 余维数就是确定分岔所需参数的最小个数。 2 2 4 向量场的正则范式 。 正则范式( n o r m a lf o r m s ) ，即微分方程在保持分佾特性的前提下尽可能转化为 第9 页 兰州大学硕士研究生学位论文 简单和规范的形式，一般通过坐标变换来实现，让方程右端函数的幂级数展开式 中消去尽可能多的高阶项【矧。正则范式中系数在分俞分类中有重要意义。 考虑向量场： 戈；，( x ) ，x er 。，e c 7 ( ， 4 )( 2 1 7 ) 设存在平衡点x ；x o ，可以通过以下几个变换步骤来实现其j 下则范式。 ( i ) 将平衡点平移到原点，通过变换： h = 工一x o ，u r “ ( 2 1 8 ) 则( 2 1 7 ) 变成： l i = f ( u + ) = g ( u ) ( 2 1 9 ) 显然这时0 是( 2 1 9 ) 的平衡点。 ( 1 1 ) 将( 2 1 9 ) 在平衡点处展开成线性部分和高阶项： 1 2 一d 孥( 0 ) h + 雪( “) ( 2 2 0 ) d g ( o ) 表示g ) 在平衡点的导算子，雪m ) = o ( u2 ) 高阶项。 ( 1 1 1 ) 然后通过矩阵变换： h = t w ( 2 2 1 ) 代入( 2 2 0 ) 将其线性部分变换为约当正则形式( j o r d a nc a n o n i c a lf o r m ) ： 谛= t 。1 d g ( o ) r w + t 。雪( 7 w )( 2 2 2 ) 令，= t o g ( o ) r ，f ( w ) = t 1 雪( m ) ，这时( 2 2 2 ) 变为： 咖t m + f ( w ) ( 2 2 3 ) 这时线性部分已经简化为最简单形式，接着对非线性部分f ( w ) 进行简化。将 f ( w ) 泰勒展开后，( 2 2 3 ) 的形式变为： 谛一j w + e ( w ) + e ( 曲+ + e 一。( w ) + c ( 1 w ) ( 2 2 4 ) 其中e ( w ) 表示f ( w ) 的展开式的第f 次项。 ( i v ) 对高阶项f ( w ) 进行简化，作变换： w = y + j i l 2 ( y ) ( 2 2 5 ) h 2 ( y ) 表示关于y 的二次项，将( 2 2 5 ) 代入( 2 2 4 ) q b ，得： 谛= ( ，+ d h ：( y ) ) 乡一j y + j 如( y ) + f 2 ( y + ：( ) ，) ) + + e 一。( y + j l ：( y ) ) + o ( i y i ) ( 2 2 6 ) 其中，表示n ，l 单位阵，f k ( y + j i l 2 ( y ) ) ，2s 七5 ，一1 可表示成： f k ( y ) + o ( i y l “1 ) + + d 叫2 ) ( 2 2 7 ) 所以( 2 2 6 ) n - i 写成： ( ，+ d h ：( y ) ) 夕_ - j y + 砌：( y ) + e ( y ) + 丘( y ) + + 霉一。( y ) + d q y l ，) ( 2 2 8 ) 其中丘( y ) 表示o ( 1 y l ) ，对于充分小的y ( 即在平衡点局部区域内) ，有： ( i + 口( y ) ) 1 一i d 嗍：( y ) + d 0 y 1 2 ) ( 2 2 9 ) 将( 2 2 9 ) 代入( 2 2 8 ) ，则有： 第1 0 页 兰州大学硕士研究生学位论文 夕一j y + ，办：( y ) 一d h 2 ( y ) j y + e ( y ) + e ( y ) + + f 一。( y ) + d ( i y f ) ( 2 3 0 ) 最理想的情形就是： 朋2 ( y ) 一d h ：( y ) j y + e ( y ) ；0 ( 2 3 1 ) 则( 2 3 0 ) 中的二次项就消失了，问题归结为求解( 2 3 1 ) 。即使( 2 3 1 ) 不成立，也可 将( 2 3 中二次项简化，如果定义适当的线性向量空i 日j 算子，则映射： 也( y ) i - - - d h 2 ( y ) j y 一朋：( y ) ( 2 3 2 ) 为线性的，最后在这个空间下简化。先对这个空间定义，设r ”的基为 e l ，e ：，e n ，y ，( y l , ) ，2 ，y 。) 为坐标，现定义满足： ( ) ，p _ y ；2 y ：1 4 ) q ， ：朋j = k ，m f e z 苫0 ( 2 3 3 ) 即将r “的基和坐标齐次多项式的乘积构成一个新的向量集，称为k 维向量值齐 次多项式，将其看作为此空问的基，这个空间记为h 。例如h ：，r 2 的基为： ，( 0 ) ( 2 3 4 ) 相应坐标为x ，y ，则构成的： h z 2 印口以 ( 丢2 ) ，( 孑) ，( 舌2 ) ，( ：) ，( ) ，( ；：) ) c 2 3 5 ， 显然映射( 3 3 2 ) 可以看作是h ，到日，的线性映射，同理： h k ( y ) hd h k ( y ) j y 一帆( y ) ( 2 3 6 ) 也是h t 到h i 的线性映射，根据李代数( l i e a l g e b r a t h e o r y ) 习惯，通常记为： 磷魄( y ) ) l - ( d h k ( y ) j y 一以( y ) ) ( 2 3 7 ) 有线性代数知识可知，h ，可惟一分解为： h ：= 巧似：) og 2( 2 3 8 ) 其中g 2 表示砰( 日2 ) 的补空间( c o m p l e m e n ts p a c e ) ，对f 2 ( y ) e h 2 可分解为： e ( y ) = p ：( y ) + g ：( y ) ( 2 3 9 ) 其中p 2 ( y ) 巧( h ：) ，9 2 ( y ) g 2 ，则( 2 3 0 ) j l 侑j 成： 夕- j y + g ：( y ) + e ( y ) + + e 一。( y ) + o ( 1 y l ) ( 2 4 0 ) 对于更高阶的化简，将( 2 2 3 ) 改为： w = y + h i ( y x i 3 )( 2 4 1 ) 用类似的步骤进行，不再赘述。另外，若( 2 3 1 ) 成立，则意味g 2 一 吣，这时二次 项就会消失。最后( 2 3 0 ) 可化简成如下形式： 夕= j y + g ：( y ) + + g ，( y ) + o ( 1 y l ) ( 2 4 2 ) 称为r 阶截断正则范式。 值得说明的是，通常遇到的都是含有参数的微分方程，将前面结果推广含参 第1 1 页 兰州大学硕士研究生学位论文 数微分方程，只需j f 则范式中各项系数看作含有相应参数的即可。 2 2 5 分岔分类 本节讨论非退化和横截的动力系统的分岔类型及判断依据，着重讨论非退化 和横截的有限维连续系统的余维度不大于2 局部分岔的类型及判断依据。总体来 讲，动力系统的分岔可以分为平衡点( e q u i l i b r i u m ) 分岔、闭轨或极限环( l i m i t c y c l e ) 分、同宿( h o m o c l i n i c ) 异宿( h y p e r b o l i c ) 分岔和其它分纠2 5 j 1 川。 ( i ) 平衡点分岔 设当- - j u 。时系统( 2 1 1 ) 有非双曲平衡点，即f ( x o ，) = 0 ，且对z 的导算 子皿厂，) 有实部为0 的特征值( e i g e n v a l u e ) ，则向量场f ( x ，j c l ) 是结构不稳定 的，是一个分岔值。这时对向量场f ( x ，。) 作一适当小扰动，可以使点附近 的轨线拓扑结构发生变化，例如平衡点的产生或消失、时变状态如周期轨线、同 宿异宿轨线等的出现。这类分分称为平衡点分翁。属于局部分岔范畴。 非双曲平衡点意味着导算子的特征值有a = 0 或者 ：一i w o ( t o o 0 ) 。当仅 有一个a 一0 且没有其它r e ( a ) = 0 时，则称这类分佾为折叠( f l o d ) ( 切，t a n g e n t ) 分岔或极限点( l i m i tp o i n t ) 分岔或鞍结( s a d d l e n o d e ) 分岔，根据分佾点的稳定性 还可进一步说明鞍结分岔的超临界性( s u p e r c r i t i c a l ) 和亚临界性( s u b c r i t i c a l ) 。这时 在平衡点附近相空间存在光滑维不变流形w 称为极限点分岔的临界中心流形 ( c r i t i c a lc e n t e rm a n i f o l d ) ，由约化定理知，可以将( 2 1 1 ) 伽= 1 ) 在吩上通过参数 u r 在小l u i 参数化成形式如： 正一a n 2 + d ( 1 比l 。) ( 2 4 3 ) 也就是正则范式，a 称为极限点分岔的二次正则系数( q u a d r a t i cn o r m a lf o r m c o e f f i c i e n t ) 。 如果出现 2 一i w o ( t o o 0 ) 情形，则称h o p f ( 或a n d r o n o v h o p f ) 分俞或通用 h o p f 分岔，详细分类还应包括超临界h o p f 分岔( s u p e r c r i t i c a l