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关于拟富足半群和可消半环的若干研究 摘要 本学位论文致力于研究特殊的拟富足半群和可消半环上的格林关系全文 共分三章： 第一章给出了具有中间幂等元的拟富足半群的结构在文章【6 】中，b l y t h 和m c f a d d e n 得到了一类具有正规中间幂等元的正则半群的结构的方法，在 5 】中l o n g a n a t h a n 也得到一类含有中间幂等元的正则半群的结构的方法，在 【1 1 】给出了含有正规幂等元的富足半群的结构我们推广了【5 】， 6 】，【1 1 】的结 果，在1 1 ，1 2 节中，我们给出一些基本的概念，符号和性质第1 3 ，1 4 节是 本章的主要结果，给出一类具有中间幂等元的拟富足半群的结构 第二章研究幂等元可连接拟富足半群，a e i q a l l a l i 和j b f o u n t a i n 在 1 】得到幂等元可连接富足半群的一些重要性质，我们对 1 】中的结果进行推 广，得到幂等元可连接拟富足半群上的一些重要结果第2 1 节给出基本的概 念，第2 2 节给出c 襻上的最大同余q ，第2 3 节给出了i c 拟富足半群上的一 个良同态 第三章是对可消半环的格林关系的研究，第3 1 节给出基本结果和定义， 第3 2 节探讨了可消半环上的格林关系，尤其是c 关系，并且研究了可消半环 兄中的正则元乘法群g ，证明了g 是冗上的幺正子半群 关键词：舞g r e e n 关系，拟富足，中间幂等元，可消半环，幺正子 半群 a b s t r a c t t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h es p e c i a l l yq u a s i a b u n d a n ts e m i - g r o u p sa n dt h eg r e e n sr e l a t i o n so nc a n c e l l a t i v es e m i r i n g s i tc o n t a i n st h r e e c h a p t e r ： i nc h a p t e rl ，w es t u d yak i n do fs e m i g r o u pw i t ham e d i a li m p o t e n t ，i n p a p e r 6 】，b l y t ha n dm c f a d d e nd e s c r i b e dam e t h o df o rc o n s t r u c t i n go fa c l a s s o fr e g u l a rs e m i g r o u p s l o g a u a t h a n 【5 】5a l s oo b t a i nad e s c r i p t i o no fr e g u l a r s e m i g r o u p sw i t ham e d i a li d e m p o t e n t 【11 】g i v ead e c r i p t i o n o fa b u n d e n t s e m i g r o u p sw i t ham e d i a li d e m p o t e n t w eg i v ead e c r i p t i o no fq u a s i a b u n d e n t s e m i g r o u p sw i t ham e d i a li d e m p o t e n t ，w h i c hg e n e r a l i z e st h ec o r r e s p o n d i n g r u s l t so b t a i n e di n 5 】【6 】【1 1 】i n1 1 ，1 2w og i v es o m ed e f i n a t i o n s ，n o t a t i o n s a n dp r o p o s i t i o n s 1 3 ，1 4i so u rm o s ti m p o r t a n tr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ei d e m p o t e n t c o n n e c t e dq u a s i a b u n d a n ts e m i g r o u p s ，a e i - q a l l a l ia n dj b f o u n t a i ng i v eu ss o m ei m p o r t a n tp r o p o s i t i o n s f o rt h ei d e m p o t e n t c o n n e c t e da b u n d a n ts e m i g r o u p si n 【1 】i n2 1 ，w eg i v eb a s i c d e f i n a t i o n s i n2 2 ，w eg i v et h el a r g e s tc o n g r u e n c eq i nc 徉i n2 3 ，w eo b t a i na g o o dh o m o m o r p h i s mo nt h ei d e m p o t e n t c o n n e c t e dq u a s i a b u n d a n ts e m i g r o u p s i nc h a p t e r3 t h ec a n c e l l a t i v es e m i r i n g sa r ei n v e s t i g a t e d i n3 1w eg i v e s o m ei m p o t a n tr e s u l t s i n3 2 ，t h eg r e e n sr e l a t i o n so nc a n c e l l a t i v es e m i r i n g s a r ei n v e s t i g a t e d e s p e c i a l l y , t h ec - r e l a t i o n t h es e tgo fa l lr e g u l a re l e m e n t s o fc a n c e l l a t i v es e m i r i n g si sp r o v e dt ob eam u l t i p l i c a t i v eg r o u p ，a n dm o r e o v e r w ec a np r o v et h a tgi sau n i t a r ys u b s e m i g r o u po fr k e y w o r d s ：券一g r e e n sr e l a t i o n s ，q u a s i a b u n d e n t ，m e d i a li d e m p o t e n t ，c a n c e l l a t i v es e m i r i n g ，u n i t a r ys u b s e m i r i n g i i 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文关于拟富足半群和可消半环的若 干研究是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研 究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的 方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 仟者签名：麦，1 刁，寸 日期：孑、9 u 。 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 关于拟富足半群和可消半环的若干研究系本人在曲阜师范大学攻读 硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜 师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了 解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大 学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分 内容 作者签名：2 ) 1 l 乱时 矿一。n 导师签名。n 崎铌 日期：沙。g 、啡7 d 日期：m 、d 乒、， 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章一类拟富足半群的结构 1 1 引言 各类g r e e n 关系和中间幂等元在研究半群中起了重要作用b l y t h 给出 了一类含有中间幂等元的正则半群的结构q a l l a l i 将b l y t h 给出的结果推广 到富足半群上，给出了一类含有中间幂等元的富足半群的结构 为便于比较，我们列出研究富足半群的 g r e e n 关系的定义p a s t i j n 在 【3 1 】中定义了宰一g r e e n 关系，而f o u n t a i n 在【2 1 】中详细研究了奉g r e e n 关系， 设s 为半群： c = ( o ，b ) sxs ：( v x ，y s 1 ) a x = a y 营b x = b y ， 7 已= ( 口，b ) s s ：( v z ，y s 1 ) x a = y a 兮x b = y b ， 7 - i = c n 冗，d + = c v 冗+ 在【3 】中，e 1 一q a l l a l i 将木- g r e e n 关系推广为 一g r e e n 关系，设s 为半 = ( o ，6 ) sxs ：( r e ，e ( s ) ) a e = m b e = 6 ) ， 宠= ( n ，b ) s s ：( v e ，e ( s ) ) e a = o e b = 6 ) ， ? - i = cn 冗刃= cv 冗 1 曲阜师范大学硕士学位论文 在【3 8 】中，孔祥智将，c g r e e n 关系推广为移g r e e n 关系，设s 为半群： c 社= ( o ，b ) s s ：( v e ，e ( s 1 ) ) o e = a f 兮b e = 6 ，) ， 7 已带= ( o ，b ) s s ：( v e ，e ( s 1 ) ) e 口= s a 铮e b = f b ， 7 4 #= c 毒n7 已徉矽襻= c 带v7 已襻 易见c 襻和冗孝是等价关系，但c 襻不是右同余，这与g r e e n 关系，奉g r e e n 关系c + 不同关于冗带有对称的结论 下面的例子说明移g r e e n 关系与木一g r e e n 关系及 - g r e e n 关系不同 例1 1 1 设半群s = 1 ，b ，c ，d ，a m ，m = 1 ，2 ，) 的c a y l e y 乘法表如下： 通过计算，s 有四个冗一类： 1 ) ， 6 ) ， 口，a 2 ，) ， c ，d ) ；三个冗社一类： 1 ) ，d ，a ，0 , 2 ，) ，( c ，d ) 及两个7 0 类： 1 ，b ，o ，0 , 2 ，) 和 c ，d ) 若半群s 为正则半群，则它的每个类至少含有一个幂等元，当然每个 冗类也是如此若s 为富足半群，则每个c 一类及冗4 类都含幂等元易 知对半群的正则元有c + = c 因此正则半群全是富足半群半群s 称为拟富 足的，若它的每个襻一类及冗群类都含幂等元拟富足半群是富足半群的推 广易知在拟富足半群中，对正则元有孝= c 2 曲阜师范大学硕士学位论文 1 2预备知识 本节我们先给出一些基本概念，没有提到的概念和记号都是标准的可参 看文献 1 2 】或者文献 1 3 】如果半群满足c 襻( 冗孝) 是右( 左) 同余，则称此半 群满足同余条件对于a s ，我们记包含元素a 的c 徉一类为l 乎或l 孝( s ) 本文我们将研究满足同余条件的拟富足半群s ，其中e 为它的幂等元集 定义1 2 1 一个拟富足半群s 称为次恰当半群，如果它的幂等元集合构 成一个半格 定义1 2 2 一个拟富足半群s 称之为拟次恰当半群，如果它的幂等元集 合构成一个带 定义1 2 3 一个拟富足半群s 的子半群u 称之为s 的左( 右) 带子半 群，如果对于v a u 存在e une 使得在s 上a e # e ( a t e # e ) u 称之为移子半群如果它既为左井一子半群又为右群- 子半群 定义1 2 4s 的幂等元u 称为中间幂等元，如果对任意的z e 都有 z = z 让z 定义1 2 5s 的中间幂等元u 称为正规的，如果子带尻为半格 定义1 2 6 如果s 包含一个中间幂等元u ，且u s u 为拟富足半群，那么 我们称u 为强正规的 引理1 2 7 设s 是拟富足半群，a s 且e 2 = e s ，那么下列条件等 价： ( 1 ) o c 孝e ( o 冗孝e ) ； ( 2 ) a e = a ( e a = a ) 且对于任意z ，y e ( 8 1 ) 由a x = a y ( x a = y a ) 可得 e z = e y ( z e = y e ) 引理1 2 8 【5 】令s 为拟富足半群如果e 为s 的一个幂等元那么e s e 为s 的一个移一子半群 3 曲阜师范大学硕士学位论文 引理1 2 9 令s 为任意的半群，e 为其幂等元集，e 为由e 生成的 子半群，r e g ( s ) 为半群s 所有的正则元构成的集合那么下面的结论等价： ( 1 ) 对任意的e ，e ，e l 为正则元； ( 2 ) e 为正则半群； ( 3 ) r e g ( s ) 为子半群 如果半群满足上面引理1 2 9 任意一条，则称此半群满足正则条件 推论1 2 1 0 如果s 包含一个中间幂等元缸，那么这个半群满足正则条 件 命题1 2 1 1 如果s 包含一个中间幂等元札，那么e 为周期的 证明对任意z 一e ，我们有x 2 = x 2 让z 2 = x z u z z = z x z = z 3 即 面为周期的 下面我们可以得到一个对于研究含有中间幂等元的拟富足半群的结构具 有重要作用的命题， 命题1 2 1 2( v s s ，e 冗爹ne ，l 爹ne ) x = e u z = z u ，= e 让x u f 证明因为e x = z ，z ，= z ，所以e u z = e u e z = e z = z ，x u f = x f u f = z ，= z ，e 让x u f = e u e z f u f = e x l = z ，= z 命题1 2 1 3s u ，u s 与u s u 为拟次恰当半群，并且e ( u s ) = u e = u e ， e ( s u ) = 一e u = e u ，e ( u s u ) = u 瓦= u e u ，其中e ( t ) 表示t 的幂等元集 口 证明显然e 仳西se ( 让s ) ，且让西为子带如果e = 仳z e ( u s ) ，那 么e = 让z = t 正u z = u e 让e ，即e ( u s ) u e ，因此e ( u s ) = u e = 乱e 下 面证明u s 为拟次恰当半群，令x 为u s 中元素，即z = u y 其中y 8 ，而 s 为拟富足半群，则存在e 磺ne 并且，l 萨ne 使得e t 已# y 且冗书为 左同余因此让e u e ，u e t 已# x 4 曲阜师范大学硕士学位论文 而z u ，= u y u y = u y l u y = u y l = u y = z 又对任意8 ，t ( u s ) 1 ， x 8 = x t 号u y s = u y t = e u e y s = e u e y t 兮y s = y t 辛i s = i tj u f s = u f t 即u y c # x ，因此u s 为拟次恰当半群类似地，s u ，u s u 为拟次恰当半群，且 e ( s 让) = u e ，f , ( u s u ) = u e u 命题1 2 1 4 如果s 包含一个中间幂等元u ，那么对任意z - e ， u x u y ( z ) 其中v ( x ) 表示s 中z 的逆元的集合 命题1 2 1 5 ( v x s ) ( v x y ( z ) ) ，u z u y ( z ) 证明vz y ( z ) ，z z = x , x i l x x ，z 7 z = z z 牡z z ，从而z = z z i z x 兰z 也z z ， z u ，= z z ，z 乱z = z z ，因此t 正z t 正z t 正z t 正= u z x u x u = 也z z z t 正= u z t 正， x u x u z = z z u x = z z z = z ，即t 正z u y ( z ) 定理1 2 1 6 ( v x s ) ( v x y ( z ) ) ，u z u v ( u x u ) 证明由z y ( z ) ，得z z = z z t 正z z ，z z = z z u z z ，从而z = z z t 正z = z u z z ，因而让z 7 t 正缸z t 正u z u = t z 7 u z u t = 牡z z z u = t 正z u ，类似地， t 正z u u z ，u t 上z u = t 正z 牡 我们令让v ( x ) 让= z o = u u ：v x y ( z ) ) ，因为z v ( x o ) ，所以 z = u z u ，( x 0 ) = z o = ( z ) o u 为中间幂等元对于s ，r 与u f 分别定义为( z ，y ) r 当且仅当 心z = u y ，( z ，y ) uf 当且仅当z u = y u 显然凡与u f 为s 上的关系f 定 义为( z ，y ) f 当且仅当u z u = u y u 那么我们将得到以下的关系 命题1 2 1 7 凡f = f = uf r 证明v ( z ，y ) 凡缸f ，存在z 使得u x = u z ，y u = z u ，从而让z t 正= u z 牡= u y u ，即( z ，y ) f 如果( z ，y ) f ，则z = 妙，并且护= z 0 0 0 = y 咖= y o 令8 = 可可o z = y x o z 男5 么， s u5y y o z u2y u y o 让z 让2y y o u y u2y u ，u 8 = u y x o z = u y u x o u z = 乱z u z o z = 让z ，因此z ( r uf ) y 从而， r 缸f = f ，类似地， f = “f 凡 5 曲阜师范大学硕士学位论文 命题1 2 1 8 如果u 是中间幂等元，那么凡，u f 冗 证明对任意z s ，由命题1 2 1 2 ，存在e 兄爹ne ，f l 爹ne ，使得 z = e u z = z 也，即x s = x u f s x u s x s ，即x s = x u s ，得至i jx u t 之x ，因此 我们有u f 冗，同理r c 命题1 2 1 9 如果也是中间幂等元，那么下面的结论等价： ( 1 ) u 为正规的； ( 2 ) 在e 上的格林关系冗，c ，我们有冗= 缸f ，c = r 证明( 1 ) 令( 2 ) 由命题1 2 1 8 可得对v x s 有x t z x u ，x f ，u x ，且冗2 uf ， c r 假设让为正规的，对于z ，y e 且z 冗可，那么x u t 已y u ，因为x u ，y u 为幂 等元，我们有z u y u = y u ，y u x u = z 让，进而让z 让u y u = u y u ，u y u u x u = u x u 因为u e u 为半格，所以乱z u = u y u 因此，我们有z u = z u z 札= z u y u 和 y u = 可u y u = ! u z u ，即x u c y u 进一步，我们得到x u t - l y u ，又因为z 乱，y u 为幂等元，所以z u = y u ，因此冗uf 类似地，凡 ( 2 ) j ( 1 ) 假设冗= 札f ，c = 凡令z ，y 一e ，对任意t 面，有 t = t u t 且u t u y ( t ) ，因此u y u x u y ( 可u z ) ，因为乱e ，f 让，u e u 为带，所以 x u y u y u x u x u y2x u y u 。x u y2x u y - u y u x u x u y 。u y u x u = u y u 。z z 。 t 正y u y u z t 正= u y u x u u y u x u = u y u x u ，进而u y u x u y ( z u 可) ，因此x u y 和 y u x 都有逆元，从而推出x u y d y u x 冗= uf ，c = r ，那么3 z 再，使得 u x u y2 让z ，z u2y u x u ，推出u z u u y u = u x u y u = u z u = u y u x u = u y u 札z 乱， 因此带钆凰为可交换的，即为半格 推论1 2 2 0 如果乱为一个正规幂等元，那么在万上，有口= f 证明如果x t ) y ，那么j t 一e 使得x t t t e y ，即z u - - - t u ，u t = u y ，因此 t z u = u t u = u y u ，即x f y 相反的假设x f y ，令t = y u x 那么u t = u y u x - - - u z 让z = t 正z ，t u2y u x u2y u y u5y u ，因此z 口可 命题1 2 2 1s 为拟富足半群，e 是其幂等元的集合，则有下列两结论 6 曲阜师范大学硕士学位论文 成立： ( 1 ) s 为拟次恰当半群当且仅当让为中间单位元； ( 2 ) s 为次恰当半群当且仅当让为单位元 证明( 1 ) 假如钍为中间单位元，那么z = x u x = z 2 ，比- e ，因此 一e = e ，即s 为拟次恰当半群相反地，如果s 为拟次恰当半群，那么e 是带，从而有d = y ，其中a y b y ( a ) = y ( 6 ) ，所以d 为同余，因为 x ：d u x u ，比e ，我们有u x y u d x y d u x u u y u ，比e 而由推论1 3 1 4 ，d = f 因此u x y u = u z u = u y u ，进而x y ，z u z y u y = z u z 让u y u y = x u y ，v z ，y e 所以t 为e 的中间单位元，又因为a b = a a a b b b = a a a u b b = a u b ，v a ，b s ， 因此u 也是s 的中间单位元 ( 2 ) 如果s 为次恰当半群，且e = e 2 s ，那么e = e u e = e 2 u = e u = u e ， 因此a u = a a a u = a a a = n ，u a = u a a a = a a a = a ，v a s 相反地，如果u 为s 的单位元，那么e y = 札e u u f u = u f u a e u = r e ，v e ，- e ，特别的对 e e 也成立，因此s 为次恰当半群 7 曲阜师范大学硕士学位论文 1 3 主要结果( 一) 这一部分，我们对满足同余条件且含有中间幂等元也的拟富足半群s 进 行研究，进而将获得这类半群的一个结构首先，假设西是幂等元集合e 生成 的子半群，且面包含中间幂等元牡，那么显然u 面，凰和u 凰为面的子带， 我们记u 凰为e o 设s 为拟次恰当半群，其幂等元带同构于e o ，为了方便 我们记s 的幂等元带为e o ，且用z + + ，a 分别表示冗爹和l 爹的某一个幂等 元 假设是带u e 上的格林关系，冗是带瓦上的格林关系，令- e u t 已= 见le 凰) ，u e = l fif 仳万) 我们定义w = w ( 瓦，s ) = ( r e ，z ，l f ) - e u 冗x s x u - e ci u e 冗# x f # f u ) 其中冗带，社为s 上的襻格林关系 定义w 上的乘法为( r e ，z ，l f ) ( r a ，y ，l k ) = ( r 。n ，x f h y ，l b k ) ，其中a ，b e o 并且在s 上a t 已# x f h y e # b 下面我们证明乘法是可以定义的，显然( r e n ，z ，l b k ) w ，如果f l s ，h r h ，令y + + 冗弗”ne o ，z ”c 带zne o ，我们得到u h y + + = 可+ + ，z ，t 正= z + h l y + + = h u h y + + = u h h y + + 4 - - h y + + = h y + + 并且 z ”，7 = z f u f = z f f 7 u f 7 = z f f = z f 因此u y + + = u h y + + = 可+ + ， z + u = z + f u = z ”由此x f h y = x x ”f h y + + 可= z z + f u f h u h y + + 秒= z ，札，f h h u h y = z 7 f h h 7 可= z f 川hy 因此中间部分的复合是可定义的 如果e r 。，口7 e o ，使得a 馄# x f h y ，则在s 中。冗孝o ，从而伊中 n 冗o 进一步得到在至丸中e a t t e a 显然e l a t = e t 仳e a = e u e e a = e l e a i = e a ， 故在凰中e a r e a 因此第一部分的复合可以定义 同理，第三部分是可以定义的 8 曲阜师范大学硕士学位论文 因此上面的乘法也可以如下定义： ( r e ，z ，l i ) ( r h ，y ，l k ) = ( r 。( z l h 可) + + ，x f h y ，l ( $ i h 可) 毗) 定理1 3 1w 是一个半群 证明令( 兄，z ，l i ) ，( r h ，y ，l k ) ，( 凰，z ，l ) w ，那么 【( 冗。，z ，l f ) ( r a ，y ，k ) 】( 风，名，k ) = ( r e 口，x f h y ，玩七) ( 也，z ，l 伽) 【n ，b e o ，a t 已# x f h y # b = ( r e ，x ：f h y k v z ，l d w ) 【c ，d e o ，c r # x f h y k v z c # d 】 ( r e ，z ，l f ) ( r h ，秒，三七) ( 尼，z ，l 叫) 】 = ( r 。，z ，l i ) ( r h ，y k v z ，l c 硼) 【s ，t e o ，s 7 己孝y k v z e 群t 】 = ( r e 9 ，x f h y k v z ，l l 埘) 【g ，f e o ，夕冗带x f h y k v z c 带f 】 注意到c t 已# x f h y k v z 和a t 已# x f h y ，我们得到口c 冗社z ，九后u z 冗舞9 因此 e a c t 已# e g ，即e a c t t e g ，由此推出r 。= r 。9 类似地，l d w = l t 。加而中间部 分的复合显然是相等的因此 【( r e ，z ，l i ) ( r h ，y ，k ) 】( r t ，z ，l 叫) = ( r e ，z ，l i ) ( r h ，y ，“) ( r ，z ，l 叫) 1 从而结合律成立，因此为半群 定理1 3 2w 的幂等元集合是e ( w ) = ( r 。，z ，l f ) wz 2 = z ，z = x f e x 证明假设( r 。，z ，l f ) w ，并且z 2 = z ，z = x f e x 则有 ( r 。，z ，l f ) ( r 。z ，l f ) = ( r 。z ，z ，l z ，) 9 曲阜师范大学硕士学位论文 因为u e t 已# x ，所以u e t z x 由此可以得到e t 已e x ，即r 。= r 。2 类似地，我们可 以得到l f = l ，因此( r 。，z ，l i ) 2 = ( 也，z ，l f ) e ( w ) 另一方面，假设( r e ，z ，l i ) e ( w ) 那么x f e x = z 兄e 9 ( s ) ，这里 r e g ( s ) 纯正半群显然f e x f e e o 并且z v ( f e x f e ) 因此，我们得到 z 2 = z z = x f e x 定理1 3 3 是拟富足半群 证明令( r 。，z ，l f ) w ，显然( r 。，z + + ，l z + + ) w z + + z + + e x + + = z + + e z + + = z + + z + + = z + + 由引理1 3 2 可以得到( r e ，z + + ，l z + + ) 为的一个幂等元，又因为e t 已e x + + ， ，c z “， 所以我们得到 下面证明 ( r e ，z + + ，l z + + ) ( j 乙，z ，l i ) = ( r 。z + + ，z + + ，l z ”，) ( r e ，z + + ，l z + + ) ( r 。，z ，l f ) = ( r 。，z ，l i ) ( j k ，z + + ，l 霉+ + ) 7 已孝( 忌，z ，l i ) ，令 因此我们有 ( r 9 ，y ，l h ) ，( r k ，z ，l t ) w ，使得 ( r 9 ，y ，l h ) ( r 。，z ，己，) = ( r k ，z ，l t ) ( r 。，z ，l i ) ， ( r g ( 1 l e z ) + + ，y h e x ，l ( l l e 霉) ，) = ( r k 口，z l e x ，l b f ) 其中a ，b e o ，并且a t i # z l e x f # b 我们注意到因为y h e x = z l e x ，所以 y h e x + + = z l e x + + ，a t z # ( y h e x ) + + ，b f - , # ( y h e x ) ”不失一般性，令a t 己( y h e x ) + + ， 从而r 9 ( | _ i e z ) + + = r 9 d = r k 口= r k ( z l e z + + ) + + 因此 ( r 9 ，y ，l ，1 ) ( 见，z + + ，l z + + ) = ( r g ( 胁+ + ) + + ，y h e x + + ，l ( p 胁+ + ) + + ) = ( r k ( 础+ + ) + + ，z l e x + + ，l ( z l e z + + ) * * g - t - + ) = ( r k ，z ，l e ) ( r 。，。+ + ，l x + + ) 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由引理1 2 7 ，可以得到( r 。，z + + ，l + + ) 亿带( 冗。，z ，l f ) 类似地，( r ，z ”，l l ) e ( ) ，并且( 兄 z ”，l i ) f - # ( r 。，x ，l i ) 因此定理证明完成 定理1 3 4 设丽为w 的幂等元集合e ( w ) 生成的子半群，那么 可两= ( 见，z ，l i ) wiz e o ) 证明因为s 是次拟恰当半群，且e ( w ) 的元素是w 的幂等元的乘积， 从而推出e ( w ) ( 见，z ，l ，) wlx e o ) 对于z e o ，令( r 。，z ，l i ) 那么，显然( 尼，z ，l i ) 和( r 。，x ，l z ) 为的幂等元，并且( r 。，x ，l f ) = ( r e ，x ，l z ) ( 忍，x ，l s ) 定理1 3 5 ( 吼，u ，l u ) 为w 的中间幂等元 证明对于任意( r 。，x ，l f ) e ( ) ， ( r 。，z ，l ，) ( 兄，札，l u ) ( 忍，x ，l ，) = ( 见，z ，l i ) ( r u ( u 。功+ + ，u e x ，l ( u ) ) = ( r e ，z ，l ，) ( 只乞z + + ，z ，l 矿让) = ( r 。z + + ，z ，l z ”) = ( r 。，x ，l i ) 定理1 3 6e ( w ) 同构于e 证明定义妒：ehe ( w ) - _ 一- _ _ - _ 。_ - _ 一 zh z 妒= ( r 0 t | ，t 正z u ，l u 。) ，( v z e ) 下面我们证明矽为一个同构 ( 1 ) 妒为单射设( 冗。，z ，l i ) 丽令y = e z s 那么y 一e 并且 u y u = u e z ，u - - - z ，y u = e x f u = e z ，u y = u e x f = z ，因此e x r e 与z s l f ，显 然鲫= ( 岛u ，u y u ，l u ) = ( r e 2 ，u x u ，三。，) = ( 亿，z ，l i ) 因此妒为单射 ( 2 ) 矽为满射设z ，y 一e ，且z 矽- - - - 秒矽，那么 ( r u t , a ，l u z ) = ( 马u ，u y u ，l u v ) 曲阜师范大学硕士学位论文 即u z u = u y u ，x u r y u 并且u x l u y 即得到 z2z u z2x u x u x2z u u x u 札z = z u u y u u x 2 z u y u y u z = x u 。y u u y u x 2y u u y2y u y2 y 因此砂为满射 ( 3 ) 矽为同态令z ，y 再，那么 由此可得 z 移=( r x u ，缸z u ，l u 工) ，3 ，妒=( 吼缸，u y u ，l u 耖) ( z 秒) 妒= ( 尼舯u x y u ，l 哪) z 矽y 砂= ( r z u ，u x u ，l 缸。) ( 吼u ，u y u ，l u 掣) - - - - ( r z u ( 札z 札缸u 掣u ) + + ，让z u t 正z ，l ( t $ t 茁可u 暑，让毫，) u 掣) = ( r z f ，u x y u ，l z 掣) ( z 可) 故矽为同态因此丽同构于一e 定理1 3 7 ( 兄，u ，l u ) ( 风，u ，l u ) 同构于s 证明容易看到 ( 也，让，l u ) w ( 吼，u ，l ) = ( 冗。，z ，l ) wle ，e o ) 我们定义妒：s _ 并且 ( 风，u ，l u ) w ( r t ，u ，l 缸) 与矽：( 吼，u ，l 札) ( 兄，u ，l u ) - s z 妒= ( j 乙+ + ，z ，l z + + ) ；( r z + + ，z ，l z + + ) 妒= z 显然妒是可以定义的，并且妒与妒互为同态逆映射因此( 兄，u ，l u ) ( 凡，u ，l u ) 同构于s 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 综上所述我们可以得到以下的结论， 定理1 3 8 令e 为幂等元生成的正则半群，并且包含一个中间幂等元 u ，令s 为满足同余条件的拟次恰当半群，并且幂等元带为e o = 让玩，那么 w = ( e ，s ) 为拟富足半群，并且满足以下的条件： ( 1 ) e ( w ) = ( r 。，z ，己，) w l = 2 = z ，z = z 厂e z ) ； ( 2 ) e ( w ) ( 也，z ，l i ) w i z e o ) ； ( 3 ) ( 见，u ，l u ) 为的中间幂等元； ( 4 ) e ( w ) 同构于e ，并且( 风，让，l u ) ( 风，u ，l 缸) 同构于s 1 3 曲阜师范大学硕士学位论文 1 4 主要结果( 二) 这一部分，我们主要证明任意满足同余条件并且拥有一个中间幂等元的拟 富足半群s 可以按照前面方式构造由命题1 2 1 3 ，u s u 是以“凰为幂等元 集合的拟次恰当半群，即e o = 缸瓦z 下面我们得到一些基本的事实 命题1 4 1 令z s ，e 磁ne 并且，l 爹ne ，那么有下列事实： ( 1 ) e u r # x u ，u f c # u x ； ( 2 ) ( v e r 爹ne ，l 爹ne ) e u t 己e u ，u ：f c u l 证明只需要证明( 1 ) ，( 2 ) 易证下面我们证明( 1 ) ，由格林冗社一关系的定 义，e t 4 # e u ，x r # x u ，又x r # e 从而e u t c # x u 类似地，u l z , # u z 推论1 4 2 设乱为s 的正规中间幂等元，e ，如上，那么下面的结论 成立： ( 1 ) ( u x u ) + + = u e u ，( u x u ) ”= u l u ； ( 2 ) ( v e r xne ，l zne ) e u = e u ，u f = u ，7 证明( 1 ) 由命题1 4 1 ，可以得到e u 佗# x u ，又由冗毒满足左同余，那么 u e u n # ( u x u ) + + ，而由命题1 2 1 3 可以得到u s u 为拟恰当半群，且幂等元带为 u e u 因此( u x u ) + + = u e u 类似的我们有( u x u ) ”= u l u ( 2 ) 通过命题1 4 1 ( 1 ) ，我们得到e u t i # x u r e u ，那么e u r e u 又结合命题 1 2 1 8 可得 e t u c u e e = ( u x u ) + + = 让e u c e t 上 因此，我们得到e u t - l e u ，又咒= 冗n ，那么e l u = e “，类似地，我们得到 u j = u f l 由上面命题( 1 ) 可以得到对于任意z s ，l ( 磁n e ) u l = 1 ，i 乱( l 爹ne ) i = 1 我们记( 磁ne ) u 的唯一的元素为e 2 ，记i u ( l 爹ne ) i 中的唯一元素为厶 另外我们由上面的( 1 ) 很容易的到对于任意的z 冗e 夕( s ) ，z 7 y ( z ) ，从而 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 z f 跨ne ，z z l 爹ne ，故( u x u ) + + = u x x u = ( u z 让) 因此 t 上z 仳t 正z 让u z u = 让z z 7 t 正牡z 钍= ( u x u ) + + ( u x u ) = u z u t 正z t 牡z u u z t 正= u z 7 t 正u x ：r , u = ( t 正z u ) ( 乱z 7 乱) = u x u 一般的情况，对于e 磁ne 我们标记瓦中元素e u 的兄一类为既，并 且对于，l fne 我们标记u e 中的元素u e 类l 一类为疋由命题1 4 1 我 们很容易得到b 和b 是可以定义的，并且如果u 为正规幂等元，那么u s u 变成次恰当半群且- e u n = 面，u e c = 让面在这种情况下我们标记忍，咒 为e z ，j 。 命题1 4 3设x s ，e r 爹ne 并且，l 爹ne ，那么以下结论是正 确的： ( 1 ) e u t 已# x ，u ，c 弗z ； ( 2 ) e u a 玩y ，v a 兄鑫! ，牡； ( 3 ) b u y 疋掣，v b l 鑫! ，“n e 证明( 1 ) 由命题1 4 1 和命题1 2 1 8 ，e u t 已# x u r x 因此e u 冗# x 类似地我 们得到u y c # x ( 2 ) 由于a t z # u x y u ，那么e u a t 已# e u u x y u - - - e u x y u = x y u 又由命题 1 4 1 ，对于任意h 兄芜得到h u t 己# x y u ( 3 ) 同理可以证明 推论1 4 4如果让为正规中间幂等元，那么下面的结论成立： ( 1