（数学专业论文）带robin边值条件的特征值问题和一类含短波的新方程的研究.pdf

博士后出站报告 摘要 本报告主要研究带r o b i n 边值条件的特征值问题和一类含短波的新方程解的 存在性、正则性和爆破问题特征值问题这一古老的数学分支长期以来受到许多专 家学者的广泛关注相关的结论非常多，例如特征值的可达到性、关于区域的单调 性、多个特征值的比值等等这些结果几乎都是关于d i r i c h l e t 边值的情形，涉及 r o b i n 边值情形的精确结果较少由于r o b i n 边界条件下的未知函数在边界上不再 是定值，情况复杂，从现有的文献可以看出，原有的研究d i r i c h l e t 边值问题的许多 方法不再适用于r o b i n 边值问题，而且结果上两类问题也有不同基于此，我们考 虑带r o b i n 边值条件的特征值问题，文中我们证明了r o b i n 边值条件下p - l a p l a c e 算子d i v ( 1 v u p - 2 v u ) ( 1 p o o ) 第一特征值的f a b e r k r a h n 不等式，也就是说： 在相同体积条件下，当且仅当区域是球时p - l a p l a c e 算子的第一特征值达到最小 因为第一特征函数在边界上不恒为零，第一特征函数的水平集不能和边界分离，这 导致了常用于研究d i r i c h l e t 问题的s c h w a r t z 对称化方法不再适用，我们通过对第 一特征函数作精细分析，构造了与特征值相关的重要泛函，利用泛函的性质达到了 f a b e r - k r a h n 不等式的证明这种泛函构造的思想来源于p = 2 时r o b i n 边值问 题f a b e r - k r a h n 不等式的证明，比较于p = 2 时的结果，我们克服了算子具有退化 性以及无b e s s a l 函数可用这两个主要困难 另一方面，我们考察了一类新的含短波的方程对于描述不同水波现象的各类 方程，如著名的k o r t e w e g - d ev r i e s 方程，c a m a s s a - h o l m 方程，d e g a s p e r i s - p r o c e s i 方程等等，近年来非常受重视，并且相关的研究工作越来越精细，其结果非常多，涉 及强解、耗散解的存在性及其爆破，弱解的存在唯一性等等而短波传播是水波传 播中不可忽视的过程，以此为依据在2 0 0 7 年f a q u i r 等人从e u l e r 方程出发结合短 波动力系统的非线性理论分析，提出了一个新的包含短波的模型相比较于c - h 方程和d - p 方程，该方程的非线性项比较复杂，暂时也没有好的守恒律可用本文 研究了该方程解的存在性、正则性和爆破现象，在周期条件下首先给出了导数方 程的局部适定性，这也意味着原方程一族解的存在性，并且我们分析了解的爆破机 制，得到了在有限时间内爆破的解的存在性 关键词：特征值问题；p - l a p l a c e 算子；r o b i n 边值条件；短波方程；局部适定性； 爆破 博士后出站报告 a b s tr a c t t h i sr e p o r ti sd i v i d e di n t ot w op a r t s o n ei st h ee i g e n v a l u ep r o b l e mw i t ht h e r o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o na n dt h eo t h e ri st h ep r o p e r t yo fs o l u t i o n st oa ni n t e g r a b l e e q u a t i o ng o v e r n i n gs h o r tw a v e si nal o n g - w a v em o d e l e i g e n v a l u ep r o b l e ma sa na n - t i q u em a t h e m a t i cb r a n c hh a sb e e nl o v e db ym a n ym a t h e m a t i c i a n sa n dr e s e a r c h e r s ， m a n yr e l a 七e dr e s u l t sh a v eb e e ng o t t e ns u c h8 st h ea r r i v a lo ft h ee i g e n v a l u e m o n o - t o n i c i t yo fe i g e n v a l u ea b o u tt h ed o m a i n ，a n dr a t i ob e t w e e nt w oe i g e n v a l u e sa n ds o o n s u c hr e s u l t s & r ea l m o s tu n d e rt h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h ep r e c i s er e - s u l t sa b o u tt h er o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o na r ef e w b e c a u s et h eu n k n o w nf u n c t i o n i sn ol o n g e r8 1 2e x a c tv a l u eo nt h eb o u n d a r y , m a n ym e t h o d sw h i c ha r eg e n e r a l l y a p p l i e dt os o l v ed i r i c h l e tp r o b l e ma r en o ts u i t a b l et od e a lw i t ht h er o b i nb o u n d - a r yp r o b l e m h e r ew ec o n s i d e rt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mw i t ht h er o b i nb o u n d a r y c o n d i t i o n i nt h i sr e p o r t ，w ep r o v eaf a b e r - k r a h nt y p ei n e q u a l i t yw h i c hi sa b o u t t h ef i r s te i g e n v a h eo ft h ep - l a p l a c i a no p e r a t o rw i t ht h er o b i nb o u n d a r yc o n d i - t i o n m o r ep r e c i s e l y , i ti ss h o w nt h a ta m o n g s ta l lt h ed o m a i n so ff i x e dv o l u m e ， o n l yt h eb a l lh a st h es m a l l e s tf i r s te i g e n v a l u e s i n c et h ef i r s te i g e n f u n c t i o no ft h e r o b i np r o b l e mi n t e r s e c t sw i t ht h eb o u n d a r y , t h es c h w a r t zs y m m e t r i z a t i o no ft h e f i r s te i g e n f u n c t i o ng e n e r a l l yd o e sn o td e c r e a s ei t sd i r i c h l e ti n t e g r a la n dh e n c et h e s c h w a r t zs y m m e t r i z a t i o nm e t h o dc a nn o tb ea p p l i e dt ot h ep r o o fo ff a b e r - k r a h n i n e q u a l i t yf o rr o b i np r o b l e m w ec o n s t r u c tan e wf o r m u l af o rt h ef i r s te i g e n v a l u e b ym a k i n gu s eo fl e v e ls e t so ft h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n f u n c t i o nt op r o v et h ef a b e r - k r a h nt y p ei n e q u a l i t yf o rp - l a p l a c i a no p e r a t o rw i t hl 3 2 ) 时的局部适定性，强解的爆破和整体存在性l i 4 7 1 和b y e r s 【4 8 1 分别研究了c h 方程在低正则的空间中日s ( s 0 ，他们证明了尖峰孤立波解就是 孤立子因此，d p 也具有孤立子和波的破裂现象d u u i n 6 1 1 证明了d p 方程可以 通过对浅水波提高方程( e l e v a t i o ne q u a t i o n ) 作一个恰当的k o d a m a 变换来得到这 样，d p 方程也可以作为一个浅水波模型，并且它和c h 方程一样有相同的渐近精 度d p 方程c a u c h y 问题获得了系统的研究y i n 【6 2 ，6 3 】证明了当初值u o h s ( s 3 2 ) 时d p 方程是局部适定的，并且还给出强解的爆破机制和c h 方程类 似，d p 力程既存在在有限时问内爆破的强解 6 2 1 1 6 4 。 6 6 】，也具有关于时间整体存 在的强解 6 2 ，6 7 l e n e l l s 6 8 】给出了d p 方程所有的弱的行波解的一个分类：光 滑子，尖角子，尖峰孤立子，紧孤立子，平坡子和复合行波类似于c h 方程的情形， h e n r y 6 9 】证明了光滑解具有无限的传播速度l u n d m a r kf 7 0 】证明了d p 方程有 激波解e s c h e r ，l i u 和y i nf 7 1 发现和证明了d p 方程具有周期激波解c o c l i t e 和 k a r l s e n 7 2 】研究了d p 方程具有不连续的熵弱解e s c h e r ，l i u 和y i n 7 1 】研究了 d p 方程整体弱解的存在性和唯一性他们弱解的正则性要比熵弱解要高，但他们 提出的弱解很适合研究d p 方程p e a k o n 解值得注意的是，不管是c h 方程还是 d p 方程，不是初值的光滑性，而是初值的形状影响它们爆破现象的发生， 综上可知，尽管存在不同的浅水波模型能同时描述孤立子和波的现象，可是它 一6 博士后出站报告 们的性质却具有显著性的差异从数学和物理的角度来说，研究包含c h 方程或者 是与它们有密切联系的、具有物理背景的浅水波模型，更全面的认识浅水波方程的 孤立子和波的破裂现象，是很具有意义和创新的 1 2 2 含短波的新方程 由于浅水波的传播是长波、中间波和短波共同作用的结果，上述的k d v 方程， c h 方程和d p 方程在由e u l e r 方程推导的过程中也不能完全排除短波的影响因 此含短波的方程也应该受到我们的进一步关注，我们希望也如上述的k d v 方程， c h 方程和d p 方程一样，在解的性态、爆破以及弱解方面取得一定的研究结果 我们主要考虑如下的方程 t = u 一掀k z 一石1 缸。2 + 丢z 记 该方程是2 0 0 7 年由f a q u i r 等在文献 7 3 】中对e u l e r 方程结合短波动力系统 推导出来的。就我们所知，目前关于该方程的信息很少，几乎没有关于解的性态方 面的任何结果可以明确的是文献【7 3 】指出，该方程是可积系统，并且有l a x 对 l = 击+ 瓠f 铂+ ；坐2 筝乒王仃l ； m = 一 ( t i 一 ，y 乱：) 学- 一i v q ( u 一 7 u ：) f o a 一去争霸+ 杰学a r 2 这里o r 是p a u l i 矩阵，久是特征值，且 f 2 = 1 2 z4 - 7 砭z 另外，对于所有的实数，y ，方程有非平凡守恒律 哟一= 志a r c t a n 掣孚， 可知u 满足s i n e - g o r d o n 方程 y = 可m 蹦 t 伽：善号s i n h 而 2 伽2 万专s 1 曲 、l a 。 一7 一 卅、，缱 7 2 一u n 一 = r 换变 过 通 带r o b i n 边值条件的特征值问题和一类含短波的新方程解的研究 当，y = 0 时，上述方程可看作是带d a m p i n g 项的h u n t e r - s a x t o n 方程这类 方程常用于描述大量的液晶水晶导体中弱非线性定向波的传播【7 4 ，7 5 h u n t e r - s a x t o n 方程具有双h a m i l t o n i a n 结构 7 6 】和完全可积性 7 7 】，近年来也得到了广泛 的研究，参见 7 4 ，7 5 ，7 8 ，7 9 】关于h u n t e r - s a x t o n 方程的c a u c h y 问题在直线和周 期的情形都有研究，分别参见【7 4 ，8 0 1 和 8 l 】 至于7 0 情形的c a u c h y 问题至今没有任何结果，我们在本文中就一大类初 值给出了一族强解的局部适定性，通过分析爆破机制，证明了有在有限时间内爆破 的解存在 1 3基本术语和定义 为了对本报告中的结果进行准确的说明，下面引进一些基本术语和定义，有些 术语在偏微分方程研究中已被广泛应用，读者可以参看相关文献和书籍了解概念 的引出和相关结论的论证，如【8 2 ，8 3 ，8 4 】 设z r ”，礼n ，函数u ( x ) ：r 仙一r ，一般的二阶偏微分算子z 作用在u ( x ) 上可表示为 使得 u = 一壶毒c a d z ，老，+ 喜6 舡，是+ c c 咖 我们称z 是椭圆的，如果系数矩阵( 吼j ( z ) ) n n 是正定的，即存在正常数a 1 啦j ( z ) 毫白a l i b i 2 ，z q ，v = ( 1 ，靠) r n ， 成立；若进一步存在j 下常数人2 ，使得 a i , j ( z ) 毛白a 2 好，且f k 2 有界， 则称是一致椭圆的 我们称入为z 算子在r o b i n 边界条件下的特征值，如果入使得下列定解问 题 詈，2 坤， 距q ， ( 1 3 2 ) i 筹十肋= 0 ，z a q p 7 有非零解，同时移被称之为与a 相对应的特征函数 设k 为自然数，我们将多次用到以下集合： 萨( q ) 指的是定义在q 上的具有k 阶连续导数的函数的全体 一8 一 博士后出站报告 c 吩，口( q ) 指的是定义在q 上的具有k 阶连续导数，且第k 阶导数口一阶h s l d e r 连续的函数的全体 c 富o ( q ) 指的是定义在q 上的具有紧支集的且各阶导数都连续的函数的全体 日1 ( q ) 指的是通常的s o b o l e v 空间w 1 2 ( q ) ，其范数定义为 i l u l l 州n ) _ ( 上t 1 2 + z 陬1 2 ) 1 2 础( q ) 指的是c 铲( q ) 在h 1 ( q ) 范数意义下的闭包 记 l d 。u l o ，f j = s u ps u pi d 7 牡i s j i - f l = j ok叫a,a=2，vsunp，2掣j!掣 集合c k ( a ) 、c k , a ( q ) 在分别赋予范数 知 i l u l l o ) 一i u 1 0 i n i = o 和 i l u l l c t ，n ( n ) = i l u l l c k ( ) + 【d 七让】a ，n 后构成b a n a c h 空间 r ，r + ，s = r z 分别表示实数集，非负实数集和单位长度的圆 设x ，y 为b a n a c h 空间，yqx ，表示ycx 且为连续嵌入 岛( r ) 表示r 上全体p 次幂可积的可测函数形成的b a n a e h 空间，其范数定 义为 i = ( 丘 出) 1 p ， 1 p o o ； i l u l l l ，( r ) = 【 = e a a s u p l u l ， p = o o ；p = 1 日5 ( r ) 表示经典的s o b o l e v 空间，其范数定义为： l l u l l ( r ) = ( 1 + 胖) 8 舀2 ( f ) 必 ，r 其中也( ) 表示乱( z ) 的f o u r i e r 变换 最后需要特别指出的是，在整篇论文中，c ( 有时也用q 或q ) 表示正常数， 它们在不同的行或段落可以不同，c ( n ，p ) 则用于强调与参数n ，p 有关的正常数 一9 一 带r o b i n 边值条件的特征值问题和一类含短波的新方程解的研究 1 4结构安排 本报告的余下部分是这样组织的，在第二章中，我们研究了p - l a p l a c e 算子在 r o b i n 边值条件下的第一特征值，证明了f a b e r - k r a h n 不等式，也就是在相同体积 条件下，当且仅当区域是球时，第一特征值达到最小第三章我们研究了一个含短 波特性的波模型，在周期条件下证明了一类强解的局部适定性，解的存在时间与空 间选取的无关性，并分析了这族解的爆破机制，证明了在有限时间内爆破的解是存 在的 博士后出站报告 第2 章f a b e r k r a h ni n e q u a l i t yf o rr o b i n t p r o b l e mi n v o l v i n gp l a p l a c l a n t h ee i g e n v a l u ep r o b l e mf o rt h ep - l a p l a c eo p e r a t o rw i t hr o b i nb o u n d a r yc o n - d i t i o ni sc o n s i d e r e di nt h i sc h a p t e r af a b e r - k r a h nt y p ei n e q u a l i t yi sp r o v e d m o r e p r e c i s e l y , i ti ss h o w nt h a ta m o n g s ta l lt h ed o m a i n so ff i x e dv o l u m e ，o n l yt h eb a l l h a st h es m a l l e s tf i r s te i g e n v a l u e 2 1i n t r o d u c t i o n l e tqcr ( 2 ) b ea no p e nb o u n d e ds m o o t hd o m a i n ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n g e i g e n v a h ep r o b l e m l d i v ( 1 v u l p _ 2 v u ) = 入i 缸r 2 钍i nq ， ： ( 2 1 1 ) il v u p - 2 券+ p i 牡l p - 2 u = 0 o n 施， w h e r e1 p + o o ，f i st h eo u t w a r du n i tn o r m a lo fa qa n d i san o n - n e g a t i v e c o n s t a n t 。 t h ep - l a p l a c i a nd i v ( 1 v u f - 2 v u ) a r i s e si nm a n ya p p l i c a t i o n ss u c ha sn o n - n e w t o n i a nf l u i d s ，q u a s i - r e g u l a ra n dq u a s i - c o n f o r m a lm a p p i n gt h e o r ya n df i n s l e r g e o m e t r ye t c a ni m p o r t a n ts p e c i a lc a s eo ft h ep - l a p l a c i a ni st h ew e l lk n o w n l a p l a c i a na u = d i v ( v u ) w h i c hc o r r e s p o n d st op = 2 p r o b l e m ( 2 1 1 ) i sc a l l e d d i r i c h l e tw h e np = + o 。，n e u m a n nw h e np = 0 ，a n dr o b i nw h e n0 p + o o t h em a i np u r p o s eo ft h i sc h a p t e ri st op r o v eaf a b e r - k r a h nt y p ei n e q u a l i t yf o r t h er o b i np r o b l e mo ft h ep - l a p l a c i a n t h i si n e q u a l i t ys a y st h a ta m o n g s ta l lt h e d o m a i n so ff i x e dv o l u m e ，t h eb a l la n do n l yt h eb a l lh a st h es m a l l e s tf i r s te i g e n v a l u e t h es t u d yo ft h i sk i n d so fi n e q u a l i t i e sc a nb et r a c e db a c kt o1 8 7 7 【1 6 l e tb d e n o t eab a l li nr ，a n da ) ( q ) d e n o t et h ef i r s te i g e n v a l u eo ft h ef o l l o w i n gd i r i c h l e t e i g e n v a i u ep r o b l e m i 一妒= a 砂z q ， ( 2 1 2 ) l 妒= 0 z 0 f r a y l e i g h 【1 6 】c o n j e c t u r e dt h a t x f ( f ) 入? ( b ) f o rq cr w i t hi q i = i s l ， ( 2 1 3 ) 一l l 带r o b i n 边值条件的特征值问题和一类含短波的新方程解的研究 a n dt h ee q u a l i t yh o l di fa n do n l yi fq = b t h i se o n j e c t u r ew a sp r o v e di n d e p e n - d e n t l yb yf a b e r 【1 7 a n dk r a h n 1 8 ，1 9 】i nt h e1 9 2 0 sb ym a k i n gu s eo fs c h w a r t z s y m m e t r i z a t i o n s i n c et h e n ，t h ei n e q u a l i t y ( 2 1 3 ) w a sk n o w na sf a b e r - k r a h ni n - e q u a l i t y i n1 9 9 9 ，ap r o o fo ff a b e r - k r a h nt y p ei n e q u a l i t yf o rt h ed i r i c h l e tp r o b l e m o ft h ep - l a p l a c i a nw a sg i v e nb yb h a t t a c h e r y a 【2 0 r e c e n t l y , f a b e r - k r a h nt y p e i n e q u a l i t yw a sg e n e r a l i z e dt or o b i np r o b l e mo ft h el a p l a c i a nb yb o s s e l 【2 1 】f o r d i m e n s i o nn = 2 ，a n db yd a n e r s ( 6 】f o rd i m e n s i o nn 3b u tl e f tt h ee q u a l i t yc a s e o p e n al i t t l eb i tl a t e r ，d a n e r sa n dk e n n e d yc o m p l e t et h ep r o o fo fe q u a l i t yc a s e i n 【7 】n o t et h a tt h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ef a b e r - k r a h ni n e q u a l i t yf r o md i r i c h l e t p r o b l e mt or o b i np r o b l e mi sn o tt r i v i a la s ，u n l i k ei nt h ed i r i c h l e tp r o b l e m ，t h e f i r s te i g e n v a l u eo fr o b i np r o b l e mi sn o tm o n o t o n ea st h ed o m a i ne x p a n d s ( s e e 【5 】) f o rm o r ei n f o r m a t i o no ft h ef a b e r - k r a h nt y p ei n e q u a l i t yo nm a n i f o l d ，w er e f e rt o 【2 2 s i n c et h el e v e ls u r f a c eo ft h ef i r s te i g e n f u n c t i o no fr o b i np r o b l e mi n t e r s e c t s w i t ht h eb o u n d a r ya q t h es c h w a r t zs y m m e t r i z a t i o no ft h ef i r s te i g e n f u n c t i o ng e n - e r a l l yd o e sn o td e c r e a s ei t sd i r i c h l e ti n t e g r a la n dh e n c et h es c h w a r t zs y m m e t r i z a - t i o nm e t h o dd o e sn o ta p p l yt ot h ep r o o fo ff a b e r - k r a h ni n e q u a l i t yf o rr o b i np r o b - l e m t h e r e f o r e ，n e wa p p r o a c hm u s tb ee m p l o y e di nt h ep r o o fo ft h ef a b e r - k r a h n i n e q u a l i t yf o rr o b i np r o b l e m t h et w oc r u c i a lt o o l su s e db yd a n e r s 【6 】t op r o v e t h ef a b e r - k r a h ni n e q u a l i t yf o rr o b i np r o b l e mo ft h el a p l a c i a na r et h eb e s s e lf u n c - t i o n sa n dan e wf o r m u l af o rt h ef i r s te i g e n v a l u eb ym a k i n gu s eo fl e v e ls e t so ft h e c o r r e s p o n d i n ge i g e n f u n c t i o n t op r o v et h ef a b e r - k r a h nt y p ei n e q u a l i t yf o rr o b i n p r o b l e mo ft h ep - l a p l a c i a nw i t hp 2 ，w em a i n l yf a c et w od i f f i c u l t i e s o n ei st h e l a c ko fb e s s e lf u n c t i o n sa n dt h eo t h e ri st h ed e g e n e r a c yo ft h eo p e r a t o r t h et o o l s w eu s et oo v e r c o m et h e s ed i f f i c u l t i e sa r es o m en e wa b s t r a c tp r o p o s i t i o n so ft h ef i r s t e i g e n f l m c t i o na n ds o m ea p p r o x i m a t i o np r o c e d u r e t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r c a nb es t a t e da st h ef o l l o w i n g t h e o r e m2 1 1l e t1 p + a n da 1 ( q ) b et h ef i r s te i g e n v a l u eo y p r o b l e m 偿j f ，) w i t h0 p + 玎bi sa no p e nb a l ls u c ht h a tl b l = i q i ，t h e na i ( b ) a l ( q ) r e m a r k t h e o r e m2 1 1i sp r o v e du n d e rt h ea s s m n p t i o nt h a tqi ss m o o t h h o w e v e r ，b ya na p p r o x i m a t i o nm e t h o ds i m i l a rt ot h a tu s e di n 【6 】，w ec a dp r o v e t h a tt h e o r e m2 1 1i ss t i l lt r u ef o rt h ed o m a i n so fl i p s c h i t zt y p e 一1 2 博士后出站报告 t h e o r e m2 1 2 l e t1 p 2a n dp n ( s e eh o w e v e r 9 0 】f o rt h ec a s ep = ) f o r t u n a t e l y , w ec a l l p r o v eas y m m e t r yr e s u l tn e e d e di nt h ep r o o fo ft h e o r e m2 1 2i nt h es p e c i a lc a s e o fe i g e n v a l u ep r o b l e m ，t h o u g hw ec a nn o tp r o v em o r eg e n e r a ls y m m e t r yr e s u l ta , s i n 【8 9 】 t h ec o n t e n t so ft h er e s to f t h i sc h a p t e ra r ea sf o l l o w s ：2 2t h ef i r s te i g e n v a l u e a n de i g e n f u n c t i o n 2 3l e v e ls e t sf o r m u l ao fa l ( q ) 2 4t h el o w e rb o u n do f x l ( n ) 2 5p r o o fo ft h e o r e m2 1 1 2 6p r o o f o ft h e o r e m2 1 2 2 2t h ef i r s te i g e n v a l u ea n de i g e n f u n c t i o n i nt h i ss e c t i o n ，w eg i v ed e f i n i t i o na n ds o m ep r o p e r t i e so ft h ef i r s te i g e n v a l u ea n di t s c o r r e s p o n d i n ge i g e n f u n c t i o no fp r o b l e m ( 2 1 1 ) w ef o c u so nt h e c a s e0 0a n d 妒2 0a r et w oe i g e n f u n c t i o n s c o r r e s p o n d i n gt oa 1 ( q ) ，t h e n 讥= 6 矽1a n dc i sac o n s t a n t p r o o f is u p p o s et h a t 妒1a n d 讥a r et w oe i g e n f u n e t i o n sc o r r e s p o n d i n gt oa 1 ( q ) ， a n d 妒1 ，如 0 t h e n 纸，i = l ，2s a t i s f y i nq o na q 7 7 l 柏一删叩= 铲，仡= 仍卅疗p - 谬一钟 锘- 1 ( 2 2 2 ) m u l t i p l y i n ge q u a t i o n ( 2 2 2 ) b y 班( i = 1 ，2 ) a n di n t e g r a t i n gb yp a r t s ，w eo b t a i n l y e i i p 一2 v 妒i v r i + p 孵一1 哺一a 1 孵一1 碾= o ，( i = l ，2 ) ，n，a 2j q i tf o l l o w s f n ( 1 + ( p 一1 ) ( 舞) p ) 1 v 妒1 1 p + f n ( 1 + ( p 一1 ) ( 象) p ) 1 v 妒2 1 p 一如( p ( 鲁) p 。1 i v 矽1 1 p 以+ p ( 象) p 。i v 也i p 以) v 妒l v 矽2 = 0 n o t i c i n gt h a tv ( 1 n 矽i ) = 警，( 2 2 3 ) c a nb er e w r i t t e na s 一1 4 一 ( 2 2 3 ) 娜 驴 o 蚓 = 刈 么 = 卿 如 仇 v 剧 之 + 势 v 以 “ p 出 瞅 、-，ll 博士后出站报告 h e n c e 矗( 钟+ ( p 1 ) 媚) l v l n 矽1 l p + ( 铭+ 一1 ) 钟) i v l n 妒2 i p = p 厶( 媚l v l n , h l p - 2 + 钟i v l n 妒2 i p ) v i n 妒1 v i n 妒2 矗( 纠一蠼) ( i v h 妒f l p l v i