（机械制造及其自动化专业论文）一般多体系统动力学可视化仿真研究.pdf

摘要 f 【可视化仿真是描述现实世界中物理模型运动学和动力学特性的一个重要方 向。、复杂多体系统可视化仿真的精确度主要取决于几个要素：数学建模、三维 实体几何建模、计算机图形和数字图像处理。 本文开发了一种新的方法用来对基于k a n e - h u s t o n 的开环树形和闭环拓扑结 构的多体系统进行分析和可视化仿真。通过h u s t o n 提出的低序体阵列来描述和 建立多刚体的数学模型，三维几何模型采用a u t o d e s k 公司的产品m e c h a n i c a l d e s k t o p ( m d t ) 建立：应用计算机图形学和数字图像处理相关知识，将多体系统 动力学计算结果进行了可视化仿真研究，采用a v i 数字视频压缩技术对运动过 程进行了可视化处理，作为一种数值仿真方法，它较好地描述了动力学计算结 果。 基于理论建模，采用面向对象的程序设计方法，本文开发了集成化的软件系 统m d a s ( m u l t i b o d y d y n a m i c a n a l y s i s a n ds i m u l a t i o n ) ，该软件系统可以方便地 进行多体系统动力学计算、数据处理和多刚体可视化仿真。本文对m d a s 软件 的合理性、有效性和正确性进行了分析验证，完成了带有帆板的复杂卫星动力 学展开过程和碰撞过程中人体动力学响应的可视化仿真研究，并提供了一般多 体系统的通用接口扩展模块。 关键字：可视化仿真，三维实体几何模型，a v i ，面向对象曲程序设计，软件集 成 a b s t r a c t v i s u a ls i m u l a t i o no nt h ek i n e m a t i c sa n dd y n a m i c so fp h y s i c a ls y s t e m si sa n i m p o r t a n ta s p e c to f t h ee n g i n e e r i n gd i s c i p l i n ef o ra p p r o x i m a t i n gt h ed y n a m i c so fr e a l l i f e t h ev i s u a ls i m u l a t i o no nc o m p l e xm u l t i b o d ys y s t e mt oa n a c c e p t a b l ed e g r e eo f a c c u r a c y i n v o l v e st h em a t h e m a t i c a l m o d e l i n g ，3 - de n t i t yg e o m e t r ym o d e l i n g ， c o m p u t e rg r a p h i c sa n dd i g i t a lv i d e op r o c e s s i n g i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，an e wm e t h o di s d e v e l o p e df o ro p e n t r e ea n dc l o s e d - l o o p t o p o l o g i e sa r ei m p l e m e n t e db a s e do nk a n e h u s t o nm e t h o d t h i sp a p e ru s e sl o w e r n u m b e r e da r r a yt od e s c r i b et h et o p o l o g i c a lc o n f i g u r a t i o n ，e s t a b l i s h e st h em u l t i r i g i d b o d ym a t h e m a t i c a lm o d e l ，u s e sm e c h a n i c a ld e s k t o p ( m d t , a u t o d e s kc o ) t o e s t a b l i s h3 - d g e o m e t r y m o d e l b a s e do n c o m p u t e rg r a p h i c s a n d d i g i t a l v i d e o p r o c e s s i n g ，a v iv i d e oc o m p a s sm e t h o di sa p p l i e dt o t h es i m u l a t i o no fm u l t i b o d y s y s t e m ，a n da3 - da n i m a t i o ni sc r e a t e db a s e do nd y n a m i c sc o m p u t i n gd a t a a sa n u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o d ，i th a sw e l ld e s c r i b e dt h ed y n a m i c sc o m p u t i n gr e s u l to f m u r i b o d ys y s t e m o nt h eb a s i so f t h e s et h e o r y , b yo b j e c to r i e n t e dp r o g r a m m i n g ( o o v ) m e t h o d ，a n i n t e g r a t e ds o f t w a r es y s t e mm d a s ( m u l t i b o d yd y n a m i ca n a l y s i sa n ds i m u l a t i o n ) h a sb e e n d e v e l o p e d i t c a l lp r o c e s sd y n a m i c c o m p n t i n g ，d a t ap r o c e s s ，a n dm u l t i - r i g i d b o d yv i s u a ls i m u l a t i o n i t sr e s p o n s i b i l i t y , v a l i d i t ya n dc o r r e c t n e s sa t ea n a l y z e da n d t e s t e d t h i sd i s s e r t a t i o nh a sd e s c r i b e dt h ed y n a m i cr e s p o n s e so fc o m p l e xs a t e l l i t e w i t hs o l a rp a n e l sa n dh u m a nb o d yu n d e rc o n d i t i o no fi m p a c tb ya n i m a t i o n m d a s h a sa l s op r o v i d e da ni n t e r f a c em o d u l eo fg e n e r a lm u l t i b o d ys y s t e mf o ru s e rt o e n l a r g e k e y w o r d ：v i s u a ls i m u l a t i o n ，3 - de n t i t yg e o m e t r ym o d e l i n g , a v i ，o o p , i n t e g r a t e d s o f t w a r e 垂堡套堂堡圭堡塞篓三塞缝垒 第一章绪论 1 1 多体系统理论的发展状况 1 1 1 多体系统理论的发展 作为一门新兴学科，多体系统理论自6 0 年代创立以来就不断地被应用到航 天领域，它在解决某些问题时采用的方法随着计算机技术的发展显得非常优越。 在传统力学看来，自由度太多就会影响计算的准确性，因为其解析解法显得如 此庞大以至根本无从下手，但是在多体系统动力学中，就不存在这样的问题。 多体系统动力学计算主要依靠计算机来完成，计算量庞大，但是随着计算机 技术的飞速发展，硬件设备就不再是什么壁垒。7 0 年代，美国辛辛那提大学的 休斯敦教授和天津大学的刘又午教授共同创立了多体系统理论中关于体空间拓 扑结构描述的低序体阵列和求解k a n e 方程的变步长r u n g e k u t t a 数值积分方法， 它充分地利用了计算机这一强大的工具，从此多体理论就紧密的围绕计算机来 开展，并取得了巨大的进展。 9 0 年代以来，随着计算机广泛的应用于工程设计领域，多体系统的分析方 法也在逐步的向智能化和自动化方向发展，这些条件的成熟使得运用计算机进 行多体系统的分析和设计成为可能。在传统的多体系统分析中，我们通常使用 的是一种算法上的设计，算法的好坏要经过很多的验证才能被接受，而且这些 方法的说明也是一个问题，用大量的公式和算法使阅读者无法找到一个清晰的 思路。现在借助计算机进行多体系统几何模型的设计，使得多体系统的运动过 程可以直接在计算机上进行演示，一方面，人机界面交互性和直观性好，模型 具有三维立体感，人可以融入其中，使用仿真技术，可以继承现有的计算机仿 真技术的优点，具有高度的灵活性，因为它仅需要通过修改软件上视景图像有 关参数的设置，就可以模拟现实世界中物理参数的改变，这样，随着任务的变 化，不需对已有的软件再进行修改即可满足新任务的要求，所以十分灵活、方 便；另一方面，使用计算机辅助多体系统的设计可以节省大量的人力和财力， 在计算机上便可进行实际问题的分析和试验，争取了大量的时间。 当今可视化仿真技术已引起各学科研究人员的广泛重视，尤其是用三维实体 模型的显示技术来描述仿真结果，更有重要意义。仿真技术的发展使多体系统 理论的应用前景显得更加光明，不仅在传统的航天领域，现在又被运用到了汽 车碰撞、机器人等复杂系统领域，其强大的功能正在被众多的研究人员认识到。 1 1 2 计算机仿真软件 计算机仿真技术就是通过计算机及其外围设备和一套相应的软件对现实世 界中某些物质的运动进行模拟仿真，使人们可以在试验条件下通过人为设置一 些输入参数，获得被仿真对象的某些特征，尤其是一些在通常条件下无法控制 或出现的特征，例如，卫星模型的仿真，如果采用试验的方法来进行，采用实 物来试验，失败是难免的，这样一来耗资巨大，而采用计算机仿真来试验，只 需要一些计算机，而且设备是可重用的，研究方法多，试验周期短，失败了可 以重新来作。可视化仿真技术是仿真技术和计算机图形学最新成果的结合，它 充分利用人的视觉特性，通过图形和动画来表达各种信息，特别是利用三维真 实感模型动态显示技术，可以实现多体系统动力学响应的的计算机图像再现， 因而成为近年来研究的热点之一。另外现在基于工作站的实时仿真处理方法发 展很快，它主要采用并行处理和流水线工作方式的体系结构，把计算机图形显 示的某些算法过程用高速处理器进行专门处理，在整个图形处理性能和速度上 有很大的提高。从目前的实验条件，包括硬件水平和软件水平上来讲，本课题 在实施实时动画上还存在一定的困难，在没有很好地解决并行计算和数据流控 制问题的情况下，采用动画后处理的方法来对多体系统动力学计算结果进行再 现是最可行最有效的一种方法。 仿真软件是计算机仿真技术的核心部分，被仿真对象需要仿真的所有特征都 是通过仿真软件按照一定的规律和算法进行仿真的。有些被仿真的特征虽然最 终是一些物理特征，但这些特征输出的控制全部是由仿真软件实现的。这就要 求在编写仿真软件时，尽可能多地考虑全面，使得系统仿真的各个部分联系更 加紧密。 1 2 计算机仿真技术在多体系统分析中的应用 1 2 1 机器人图形仿真系统 唐山工程技术学院的宋玉银教授在机器人图形仿真系统研制一篇文章中 提出了一个简便易行的建模与仿真方法，他以上海i i 工业机器人为对象进行研 究。基于a p o l l oc a d 工作站并配有s o l i d 软件和d i a d 软件对机器人进行实 体几何造型和图形仿真。仿真和计算用c 语言实现。首先对机器人进行实体几、 图1 1 机器人图形仿真系统框图 2 何造型和轨迹规划，在此基础上进行图形仿真，如图1 1 所示。 实体图形仿真 机器人图形动画设计是：( i ) 根据机器人轨迹规划出的每一个中间位置插 补，在s o l i d 中生成该位置的机器人实体图形。( 2 ) 将每一位置的机器人实体图 形传递到d i a d 中，并把每一位置的实体图形存放在同一空间的不同层中，不同 的层可设置不同的颜色。( 3 ) 根据机器人运动位置的先后顺序来显示对应位置 的实体图形。在显示下一位置的实体图形的同时要擦掉前一位置的实体图形， 这样循环往复从而产生生动的动画效果。 机器人运动性能仿真 在实体图形仿真的基础上，还对系统的运动性能进行了输出，绘制了各个关 节在不同时刻的位移、速度和加速度变化曲线。 这个系统虽然最终实现了机器人的图形仿真，但是其跨越的平台过多，各个 软件平台间也没有一个完整的接口，不利于软件本身的再利用和开发，这给软 件的发展造成了障碍，而且它是基于工作站的，所以在实施费用上又提出了一 个很高的要求。 1 2 2 变结构航天器运动控制及碰撞仿真软件m i m s m i v s 是为航天器总体设计开发的，它主要对变结构航天器运动、控制和碰 撞进行仿真，是一个面向用户、在微机上运行的计算机辅助设计和分析软件， 在软件中包含个资料后处理模块对仿真计算的数据处理为三维消隐的航天器 系统各时刻的图形资料。模块运行设计成交互式，用户可以选择观察航天器运 动的视图，图形显示的时间间隔，图形比例及在屏幕上的位置等。在图形处理 上，系统运用了大量的计算机图形学处理方法，例如，对图形进行了消隐的处 理。 1 2 3 国外计算机仿真领域的发展状况 目前国外计算机仿真也主要从计算机辅助几何造型、图像处理和数字图像传 输领域进行研究。 更为先进的几何造型系统的研究和开发，其解决问题所依据的技术手段各 异。在自由曲面造型领域，以美国m i t 的c o o n s s a 为代表的学者以c o o n s 曲面理论为依据，而法国雷诺汽车公司的b e z i e r p 则提出b e z i c r 曲面，其后 g a r d o n 和f o r t e s t 把b e z i e r 曲面中的伯恩斯坦基函数更换为b 样条基函数， 并由此得到了著名的b 样条曲面。在规则实体造型领域，目前国外主要有几 种不同的代表，一是基于结构立体几何c s g 树的英国剑桥大学的b u i l d 系 统；二是基于边界几何描述的b r e p s 的日本北海道大学的t i p s 系统；三是 以冀边数据结构为基础的美国斯坦福大学学者b g b a g m a r t ；四是i c b r a i d 和m m a n t y l a 等人提出的基于欧拉操作的几何造型方法；五是日本东京大学 千代仓等人提出的局部变形几何造型思想。 探求使用多种造型方法相结合的更为有效的几何造型方法，如把自由曲面造 3 型和规则实体造型相统一，集中运用计算机图形交互等技术，力求扩大几何 造型系统的应用范围。采用o p e n g l 的方法是当今计算机图形处理的一个重 要发展方向，o p e n g l 是一个图形库，现在以被工业界定为标准来使用，它 具有建模、变换、移动、复杂帧缓冲区操作以及光线、色彩、明暗和纹理表 面处理等图形功能。它是一个子例程库，包含几百个子函数，可用c 语言程 序调用，通过调用o p e n g l 子程序，生成绘图命令和数据，然后交付硬件去 执行，从而生成色彩逼真的图像。 开发专用图像数据格式，并使之成为图像传输、存储以及交流过程中的公共 标准。如美国的a u t o d e s k 公司开发的d x f 图形数据格式，z s o f t 公司开发 的p c x 图像格式，m i c r o s o f t 公司开发的b m p 图像格式等等，这些专业研 究机构都致力于使自己所开发的几何造型系统生成的图像画丽或扫描输入 的数字图像能以一种可识别的固定图像格式压缩存储，数字传输、解压缩再 现，这样本属于不同种类图像格式的图像间的信息交流过程实际上就是不同 种类图像格式的互译或转换的过程，从而最大限度地减少了图像信息在交流 中因生成与存储的不同源性和随意性而带来的麻烦。 1 2 4 国外多体系统动力学分析软件系统 国外尤其是美国在计算机硬件和软件系统的开发上始终位于世界前列，8 0 年代以来，随着碰撞技术的迅速发展，开发出了许多著名的多体系统软件包， 例如a d a m s 、m a d y m o 、d a d s 等。 a d a m s 是世界上应用最广泛的机械系统仿真软件。它能使用户进行虚拟原 形设计，并在计算机上模拟出该机械系统的整个运动过程，快速地分析参数数 据，在其中进行优化，并且得到最佳的结果。它大大地节省了制造物理原形的 花消，提高了设计的质量，节省了设计时间。现在，a d a m s 提供了从建模、分 析和可视化一整套的解决方案，堪称当今最优秀的多体系统辅助分析软件系统。 但是，作为一个大型的软件环境，它也有自身的缺陷。首先，它的分析范围主 要是机械系统，不能很好地解决人体这样的生物系统涉及到的问题，其次，它 对计算机硬件的要求很高，主要运行在u n i x 环境下，虽然在微机上也有版本 可以运行，但是效果不好，最后也是最关键的，它没有提供软件的二次开发环 境，对于搞科研来说这是很关键的，因为实际运用中会遇到许多软件系统本身 没有考虑的问题，而用户在这样的问题面前就会显得无所适从，这些都给该软 件系统与多体系统动力学分析的更好结合带来了麻烦。 m a d y m o ( m a t h e m a t i c a ld y n a m i em o d e l ) 软件是由荷兰t n 0 公路汽车研 究所开发的，现在已经普遍应用于汽车碰撞中乘员约束系统的设计和优化工作。 它是图形界面操作的软件包，能够以很高的精度来模拟碰撞过程，从而减小碰 撞发生时乘员所受伤害。尽管它是针对汽车碰撞环境开发的，但是它也同样适 用于像火车、飞机、摩托车，甚至是自行车的碰撞过程分析；它还可以应用在 对座椅安全带和气囊这些制动设备可靠性的评估上面。现在m a d y m o 软件有 4 2 d 和3 d 版本，分别适用于对模型的2 d 和3 d 仿真。m a d y m o 将多体系统的 体和有限元技术有机的结合在一起，形成了一个统一的仿真程序，在进行仿真 分析期间，选择的模型可以是包含两者，也可以只包含其中一种类型。多体系 统主要用于模型整体响应( 如碰撞假人、汽车悬架、机械系统等) ，有限元用于 模拟结构大变形( 如气囊、安全带、碰撞假人局部结构、汽车车身结构部件等) 。 用户事件 加速度场 气囊载荷 图1 2m a d y m o3 d 结构示意图 1 3 软件集成技术的发展 随着计算机技术及软件技术的发展，应用程序也逐渐从单个程序独立运行发 展到程序集成系统。多体系统的分析和仿真是一个很复杂的过程，动力学计算 和仿真又是两个相对独立的程序模块，这样分割有一定的好处，程序集成不但 可以大大提高工作效率，而且在程序维护、数据跟踪、系统管理等方面都上一 个新台阶。程序由单个运行到集成系统是个量到质的变化。 程序集成主要要考虑三个要素：程序结构集成、数据流组织及系统管理。程 序结构集成主要针对自行开发的新程序，程序结构越紧凑，公用部分越大，程 序越容易集成。在集成中要考虑公用子程序库建立、通用处理程序的开发、相 同处理功能使用统一的支撑程序、相同的处理功能使用统一的数据结构、以主 体程序为中心程序的结构集成等问题。众多问题的提出都是为了在进行系统集 成时，使得各个部分之间的结合更加紧密。数据流的组织指在一个集成系统内， 程序间共享数据必须能自然、通畅地流通，而不需要额外的人工干预，这里的 人工干预是指同样数据重复录入或格式修改等。数据畅通是集成的必要条件。 对新开发的程序，同样注意程序结构集成，数据流组织也就容易。数据流组织 的方式有以下三种： 1 、点对点强行集成 在发生数据传递的程序间，开发数据传递程序，从一个程序中取来所需数据， 进行格式转换等工作，形成另一个程序的输入数据，这种方法对老程序集成较 有效，但是这样做接口数量过多。如图1 3 所示，n 个程序模块需要n + ( n 一1 ) 幽1 3 点对点数据集成 个接口，因此开发工作量大，系统管理困难。 2 、建立全局数据库 把系统内各类数据综合形成一个全局数据库，然后利用数据库的多重映射功 能，开发应用程序与全局数据库之间交换数据的接口程序。这种方法的问题是 全局数据库的建立，通过多重映射存取数据运行效率太低。 3 、中心数据库或中心文件 这是目前广泛采用的一种方法，它对公用数据根据其专业性质及应用中的工 作阶段进行划分，建立多个中心数据库或中心文件。各应用程序与中心数据交 换数据。 1 4 本文研究的主要内容 本章简要介绍了多体系统理论发展的现状、国内外多体系统研究的软件开发 情况、计算机图形学上的进展情况以及软件集成技术在软件设计中的重要地位， 多体系统的可视化研究现在正处在发展阶段。从传统意义上将把多体系统理论 和计算机图形学联系起来，构建一个集成化的软件环境，从而达到计算和仿真 同步的目的，这一直就是许多研究人员梦寐以求的事，本课题正是出于这个目 的，实现多体系统动力学可视化仿真集成软件的开发。 具体来讲，本课题的任务就是探索把经典的多体系统理论与新兴的数字图像 处理、图像信息传输、软件集成技术和计算机图形学的最新成果相结合的理论 和方法，并摸索出一条切实可行的道路，再进一步用分析的结果开发一个实用 的多体系统三维实体参数化造型和计算机视觉仿真软件包，该软件将具有以下 的功能： 1 、三维参数化实体造型方法具有通用性，能满足绝大多数目标多体系统动力学 仿真过程中的真实感要求 2 、能对目标多体进行参数化的尺寸修改，以便进行参数可变模型的多体系统分 6 析，满足用户对模型几何参数可变的要求 3 、具有很强的数据处理能力，可以将多体系统动力学计算结果通过适当变换转 化为仿真驱动数据 4 、可视化仿真过程的可调整性，即仿真动画的比例、视角、速度是可以调整的， 从而使用户可以选择观看角度和速度 5 、能够对图像数据进行压缩，使得生成的动画文件在磁盘上占用的空间较小， 以达到节省磁盘空间和加快运行速度的目的 6 、具有强大的适用性和开放性，即仿真的目标多体系统的基本体数、体间连接 方式以及分支体链数不受限制 7 、软件集成和优化，使多体系统动力学计算和仿真这两个模块，以及与应用程 序开发过程中涉及到的支撑环境紧密的结合在一起，达到系统间的无缝和可 靠连接 在本课题的研究后期对以上的方法开发的软件系统进行了整体测试，使用的 参考系统是带有太阳能帆板的卫星柔性多体系统展开过程以及汽车碰撞中人体 动力学模型的响应过程，结果很好地反映了动力学计算的结果，从而验证了该 系统的有效性、准确性和先进性。 第二章多体系统基础理论 2 1 引言 多体系统是指由若干独立的活动体组成，它们之间按照一定的空间拓扑结 构，有机地联系在一起，彼此间能够进行大范围相对运动且具有特定的功能。 多体系统理论具有广泛的内涵和外延，一般来讲，可以将其划分为广义多体系 统和狭义多体系统。所谓广义多体系统即从哲学上世界普遍联系的观点来考察， 把多体系统视为在世界普遍联系网上由局部的若干相关节点组成的局域网，生 物环境、宇宙等都属于该范畴；所谓狭义多体系统是指多体系统这一概念在创 立之初，主要专指复杂的由若干零部件有机地组织在一起并能像一个有机整体 那样协调工作以完成某特定功能的航天系统，如带有太阳能帆板的人造卫星和 宇宙空间站等。多体系统动力学是近十年来发展起来的力学新分支，在航天、 机器人和生物力学领域得到了应用，取得的效果十分显著。多体系统是对一般 机械系统的完整抽象和有效描述，是分析和研究机械系统的最优模型形式。 本文研究的出发点是把多体系统看作是一个复杂的机械系统，而对这样一个 典型的多体系统进行动力学分析计算、运动学仿真建模、三维实体机构图像捕 捉、数字视频压缩处理以及计算机动画播放等仿真前后处理工作。 2 2 多体系统运动学基本理论 2 2 1 多体系统空间拓扑结构 多体系统的空间拓扑结构是多体系统研究的基本问题，合理的拓扑结构可以 简化计算过程，达到事半功倍的作用。现在我们通常使用的是由休斯敦创立的 较低序号物体阵列( 简称低序体阵列) 模型的方法，这种方法是多体系统应用 图2 1 一般多体系统示意图 计算机强大功能的基础。对于图2 1 所示的一般多体系统，休斯敦提出的低序体 阵列的标定原则是这样的：从多体系统的任一分支出发，顺着该分支路径，沿 着远离惯性参考系r 的方向依次标定每个物体的序号，然后从系统的一个分支 到另一个分支，直到全部物体标定完毕为止，该方法简洁方便，是推算系统运 动学计算机算法的基础。图2 1 所示是一个开环多体系统的低序体阵列的标定结 果，对于闭环多体系统，可以将其转化为带有特定约束的开环多体系统来处理， 故以下仅以开环多体系统为例说明低序体阵列的建立方法。 对于两个相邻典型体来说，我们把较低序号的物体称为低序体，而把较高序 号的物体称为高序体。再将各典型体的相邻低序体的序号按典型体的顺序排成 一列，用工) 阵列表示，同时还要定义r ( o ) = 0 0 0 ) ，这样对于图2 1 所示的 典型多体系统。其各体的各阶低序体可排成表2 1 所示阵列，系统中每个物体的 表2 1 较低序号物体阵列列表 r 任) l234567891 01 l r 取) 01233l677l1 0 上2 伍) 0ol220166o1 f o00ll00ll00 ) o0000000000 低序体序号，用三 ) 表示，l 表示求低序体的算子，k 表示该物体的序号，它满 足：f g ) = 工p 一1 ) )g ，七为正整数) ( 2 1 ) 且补充定义l o ) = 七，三( o ) = o ，则多体系统的任何一个物体都可以通过低序体阵 列追溯到它与惯性参考系的关系，这是十分重要的，因为在对系统进行动画仿 真处理时，需要各个体相对于惯性参考系的运动学参数，例如，坐标位置、方 位角度、速度、角速度等。 低序体阵列工 ) 描述了开环多体系统的拓扑结构特点，在f g ) 这一行中未出 现序号的对应系统中的末端体，如9 4b ，b 8 ，岛，b l ，体。在f g 勋1 ) 中重复出 现的序号为分支体，如蜀体，对典型体风，低序体阵列给出了它极其所在分支 的所有低序体体号。 2 2 2 刚体有限转动的描述 在现代力学体系应用中，描述刚体有限转动的数学工具有变换矩阵、张量、 欧拉角、旋量和四元数等，这些数学工具之间有着本质的内在联系，都源于欧 9 拉有限转动定理，但都有不可克服的弊端。当用欧拉角描述一个物体的方位时， 该物体的角速度是欧拉角的非线性函数：当用加速度分量求解方位角导数时， 可能会出现奇点，这种空间奇异点的出现将严重影响多体系统的数值计算。 采用欧拉参数来描述刚体的有限转动，欧拉参数定义如下： 髀b 4 瑚 泸啦渤， 虽然欧拉参数有4 个，但是独立的只有3 个，因为存在下面的等式： 毛+ s 2 + 占3 - t - 占4 = 1( 2 3 ) 所以系统中各体的角速度可用欧拉参数表示为： l 国2 国3 l 1 l 一毛s 2一占l i i 占l 占。叫。吖：峙 占-s 一占，l i 毫 2s 38 4 l ： l 6 4 ：2 陋蚪 lj ( 2 4 ) 其中的系数矩阵陋】是正交矩阵，( - 0 1 , m ：，q 为刚体角速度的三个标分量，而吼= o ， 因此又有： s l 占2 占3 占d 1 ：= 2 挑 l = 2 3 0 i 一2 一曲2 一 0 一3 l 2 一国3 0 ( 2 5 ) 由式( 2 5 ) 可知，当已知刚体的角速度向量国时，对积分不会存在奇点问题， 这是因为这里用四维空间的单位超球面来描述刚体的有限运动，而单位超球面 是光滑和各向同性的，所以不会产生奇点。 2 2 3 多体系统中典型体的几何和运动求解 一、多体系统典型体的几何描述 多体系统运动学研究分析多体系统中各个典型体的运动，而不需要考虑产生 运动的原因，它是研究动力学的基础。本文研究的重点也主要集中在这里，对 于多体系统中典型体的运动过程分析是在多体系统理论的指导下，采用矩阵变 换的方法，得到典型体的空间状态。 休斯敦在对多体系统运动学进行分析时，针对运动学参量采用了相对参考 系、相对位移、相对速度和相对加速度，这样对于多体系统中任何一个典型体 风的局部运动学特性的描述都是基于与其相邻的唯一低序体而言的，这也暗示， 1 0 颤q 憎毛 rlll1il = 奎垒垒釜兰坠圭垒塞一 董三童 童堡垂箕董奎垄鎏 要想知道典型体的运动学特性就必须知道该典型体的低序体相关运动学特性。 设空间上有图2 2 所示的典型相邻体毋和风，( ，= 上阳) 。弓为低序体毋的局 部坐标系，r k 为低序够b k 够局部坐标琴。现醛二。表示；f ，得： 二= 6 ；。n “乒+ 6 ；五。2 乒时6 ；一1 1 n e 幻( 其中i ：1 ，2 ，3 )( 2 6 ) 眺珊s 1 2l t - 卦 ， ：s 一1 呻 n j l r l j 2 一 h j 3 = 墨r ( 2 8 ) 也即每小s - - 仁。海仁。 ：s r 仁，( z 9 ) 同警：对于如图2 1 所示的典型多体系统，由式( 2 5 ) 可以建立相邻体间的局 势半臻蚕关系，沿着多体系统某一分支由惯性参考系r 出发一直递推到该分支 的末端体，即有如下的关系成立： s o i = s 0 1 s 0 2 = s 0 $ 1 2 s 0 3 = s o ls | 2 s 2 3 s 0 4 = s o i s l 2 s 2 3 s 3 4 s 0 5 = s 0 1 s 1 2 $ 2 3 s 3 5 s 0 6 = s 0 1 s 1 6 s 0 7 = s o l s l 6 s 6 7 s 0 8 = s 0 1 s 1 6 s 6 7 s 7 8 s 0 9 = s 0 1 s 1 6 s 6 7 s 7 9 n n n 一玎一”t|玎 r训unl s 0 1 0 = s o i s l l o s 0 1 12 s 0 1 s 1 1 0 s 1 0 1 1 ( 2 10 ) 上式描述出了图2 1 所示的多体系统各典型体相对于惯性参考系的变换矩 阵，在求解过程中只要知道其相邻低序体相对于惯性参考系的变换矩阵和其相 对于该低序体的变换矩阵，就可以得到最终的结果，可见低序体阵列在多体系 统运动学求解中起到了决定的作用。 二、多体系统典型体的运动求解 本小节将对多体系统的运动学理论极其数值解的解算步骤进行论述。因为如 果多体系统中包含3 个以上的物体，不用数值解法，几乎无法求出其基本方程 的解，下面首先推导多体系统的四个基本运动学阵歹l j c o k l m 、吼、v k r n 、a 。 r? 多体系统中任意典型体的角速度脚t = 。= ( - o k l m y 。n 。，式中g = 胪k ) ，r 为序号且有r 暇) = 1 ，y 。为广义速度，n 。为固定在惯性参考系r 中的正交单位 向量，k 为1 ，n 。n 为系统中的物体数，n 为整个多体系统的自由度数， 对于无约束的多体系统n = 6 n 。 在多体系统运动学中通常如下定义广义速率： r ”：j ( = 3 - 1 ) 堋1 姚3 ) ( 2 1 1 ) 1”= 【2 1 ) 【( = 3 ( k 一1 ) + m + 3 n ；3 n + i ，6 ) 有了上述广义速度的定义，就可以推导出多体系统运动学的四个基本阵列和 角速度、角加速度、质心速度、质心加速度等运动学参数。 典型体b k 的角速度：国i = m h m y t n 。 f 2 1 2 ) 其中偏角速度为 f 国脚( f = 1 , 2 ，3 一l l ，= 三 ) ) ( - d k l m = s o j , , , e ( f = 3 k 一2 , 3 k 一1 , 3 k ；m = 1 , 2 ，3 ；p = 1 3 g 1 ) ) ( 2 1 3 ) 1 0 0 k + l ，6 n ) 典型体玩的角加速度为： 品t = 言t = 0 。y ，二一l = ( 珊。j = ，+ 珊二”) ；一 ( z 4 ) 上式中偏角速度分量的导数二鼬又可以表示为为 k m = 0 3 j m( f = 1 2 ，3 ( k - 1 ) ；j = 三 ) ) 勘”r-2-1-,3k-31；”3k；m1)=1,2,p3 ；= l j 婶一l j， 0 1 3 k + 1 ，6 n ) 典型体峨的质心速度为：孔= v n m y ，n 。 而其偏速度分量v 。为 v 2 o ) k ( t 一3 u ) ” 窆k s o s ( q 。+ ) t = o + e 西m | s o k h r h 0 典型体吼的质心加速度二。为 ( 2 1 5 ) r 2 1 6 ) g + 1 z 6 n ) 1 7 s , k 3 竺k ，：r o ) ，r ) ：1 ) z - ，)g = ，v = r o ) ，r ) = ) ”“ ( 3 k + l l 3 n 1 。q k = b ；一m 。* o 乃卜 ( 2 1 8 ) 而其偏速度分量的导数 ( 2 1 9 ) 以上是多体系统运动学的四个基本阵列，由此可以引出基本运动学方程凯恩方 v i 抽= 卜咖s o s ( q 。+ s 。) l t = 0lj “广1 + le 咖。s o s ( q 。+ ) i t = olj o 厂 + l8 咖g s o ss 。l + e 咖( 乩s s o k 。地。s b x h ) 0 ( 3 七十1 l 3 n ) 0 0 k 0 * 3 n ) i l l 程。设有n 个物体的开环无约束多体系统， 0 n + i ，6 n 1 其自由度数为n ，则该系统对应的凯 1 3 小川l l l ， 伍 r r 加一! - 警 = 一 + “哪小嘶睁* l p r p 垂堡奎堂堡圭墼至篁三童童丝垂丝董奎堡垒 恩方程为： e + e = 0( f = 1 , 2 ，n ；n = 6 )( 2 2 0 ) 其中e 和e 分别为广义主动力和广义惯性力，该系统的动力学方程的转化形式 为： y ，= z( ，p = 1 , 2 ，6 ) ( 2 2 1 ) 其中： = v 踟v 枷+ 胁踟枷 = e 一m k v k l m v 嘶y p 七i h 。( 1 ) k l m 啊yp 七e 。i b ( o k l m ( i ) k p r ( o k q n yp y q 其中n 为系统的物体数，m k 为典型体风的质量，为典型体风对惯性系尺中 单位矢量的中心惯性并矢的分量，e r s r a 为排列阵列的元素。 这样就形成了一组6 n 个关于广义速度y p ( 1 2 ，6 n ) 的一阶非线性常微 分方程。 再引入4 n 个欧拉参数方程： e k l = 1t 7 e 1 4 y 3 t k l 卜l + c k 3 y 3 ( k l 卜2 6 k 2 y 3 ( k l 卜3 ) = 一l 卜l +一l 卜2 一一l 卜3j 1 ，、 6 k 22 i 卜6 k 3 y a ( k l 卜i + e k 4 y 3 ( t l 卜2 + c k l y 3 ( f l 卜3j = 丢7廿i 一 廿2 + 6 k 4 y 3 ( k _ 1 ) + 3 ) 6 k 3 【, 6 k 2 y 3 ( t l y 3 ( *6 k 4 y 3 ( t2 il 卜i 一一l h 2 ；“= 丢( - s 。j ，耻一。卜，一占。：y ，任卜：一占。，y 3 ( k - 1 ) + 3 ) ( 2 2 2 ) 和3 n 个广义速率方程： j h = y ，( f = 3 ( k 1 ) + n + 3 n ，k = 1 , 2 ，n ；n = l ，2 ，3 )( 2 2 3 ) 由此可以求出1 3 n 个未知运动变量，包括6 n 个广义速率y ，( f = l 2 ，6 ) 和4 n 个欧拉参数g = 1 , 2 ，n ；i = 1 , 2 ，3 ，4 ) 及3 n 个位移变量似= 1 , 2 ，n ；n = 1 , 2 ，3 ) 以上多体系统运动学方程组是基于无约束的凯恩方程组，但一般多体系统的运 动学分析中都会碰到某些特定的运动约束，这些运动约束通常可表达为如下的 形式： 1 4 b y p = g 。0 = 1 , 2 ，m ；p = 1 , 2 ，n ；m ) 上式写成矩阵的形式为： b y = g 其中占为运动约束矩阵，而由此运动约束引起的广义约束力为： f 。：b 7 旯 由此可得到带有运动学约束的非完整多体系统的动力学方程： a y = ，+ b 7 旯 设矩阵c 为运动约束矩阵b 的正交补矩阵，则有： b c = 0 或c 7 8 7 = 0 式( 2 2 7 ) 两边同乘以正交补矩阵c 的转置矩阵c r , 可得 c t a y = v 1f r 2 2 4 ) r 2 2 5 ) f 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 该方程消去了运动约束的影响，联立式( 2 2 5 ) 和( 2 2 9 ) 可得运动约束多体系统的完 整方程组： 嘲站匕纠 亿，。， 由上式所述方程组可以解出n 个广义速率y 。0 = 1 , 2 ，卅) ，并进而求出带有运动 约束的非完整多体系统的各运动力学及运动学相关参数。 2 3 应用示例 2 3 1 卫星运动学模型 多体系统动力学现在广泛的应用在航天科技中，它对于解决空间问题有着不 可替代的优势。对带有太阳能帆板的卫星模型，采用上述的方法进行解算，可 以得到很好的效果。 采用单边4 块太阳能帆板的卫星模型如图2 3 所示，由图中可以看出，卫星 模型是对称结构，在进行计算时，假定卫星本体不发生自旋运动，即认为其在 整个运动过程中静止，这样就可以将模型简化为由中心刚体、摇臂架和4 块太 阳能帆板共6 个体组成了单分支多体系统，各铰均为同方位的柱型铰链，如图 2 4 所示。该系统属于自由形式( 无限) 树形多体系统，由于铰链间采用c c l 同步机构，使得卫星帆板在展开过程中存在运动约束。令r 为惯性参考系，系 图2 3 带4 块太阳能帆板的卫星结构图 图2 4 带有太阳能帆板的卫星多体典型体链式结构 统包括6 个体，共3 6 个自由度。设g 为b k 的质心，以矢量瓦给定g k k 耐7 ： 仇的位置；g 为鼠在马上的参考点，因为它们以柱型铰链相连接，所以针对本 例，g 与仇重合；q 。给定g 相对于c ! ，的位置。现在用广义坐标y t 描述，则该 系统相对于惯性参考系r 的质心速度和角速度分别是： 质心速度：v k = v 蜘m i 1 m 角速度：；t = 砌y ，二。 ( f = 1 ，3 6 ) o = l ”，1 8 ) 式中，v 。、。分别为偏角速度和偏速度在；。上的标分量。 v m 2 e e 舳c o n s o s u , ( q 。+ s 。) 】+ e n 。s o k h , r k , ，s 3 k k = l ，6 0 v j t m s o j 。 o 3 k ，1 8 1 8 f 1 8 + 3 ( k 一1 1 1 8 + 3 ( k 1 1 ，1 8 + 3 k 1 8 + 3 后 ，s 3 2 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 1 6 奏堡查堂堡圭丝塞董三童垂篁圣堑垂奎堡垒 f s o j 。，= 3 ( k 一1 ) + h ，= 三 ) o ) k l m = 国，0 ，3 ( k - 1 ) ，= j ( 2 3 4 ) 【0 3 k ，1 8 对上面两式求导数，可得在r 中的角加速度和质心加速度： 角加速度：一：f 枷。， ( f ：1 ，1 8 ) a k y l 1 - ( 1 1 k l m y( 2 3 5 ) 角加速度： = l 枷，l ( f = 1 ，( 2 3 5 ) 质心加速度：a k = ( v 。；，+ ；“。y ， ( f = 1 9 ，3 2 ) ( 2 3 6 ) 质心加速度： = iv y ，+ v mf l ( f = 1 9 ，3 2 ) ( 2 式中v 。和刃。分别是偏加速度和偏角加速度分量，它们可以用下式描述： v i d m = lo l ns o s h ( q 。+ ) + m 删h ( g 。+ ) t = ol s o s h s 小e 。( 。”溉饥s 3 k “ t 03 k ，1 8 v f l m1 8 ，1 8 + 3 ( k 一1 1 s o j 。 1 8 + 3 ( k 1 1 ，1 8 + 3 k 01 8 + 3 七 ，3 2 1 鼍脚 o ，3 0 一1 ) ，= ， ( d k m = 跏。，= 3 ( k 1 ) + 玎j = g )( 2 3