（数量经济学专业论文）中国股票市场的波动性.pdf

攘要： 本文利用计量经济学的实证方法，比较深入地分析了中国股票市场的波动性 的估计、预测以及其与成交量的关系问题。 第一章罄先分析叙述了风险的有关概念和波动性的一些实证特点。 蕊二耄瓣中嚣毅票枣场豹波动瞧赘接嚣与豫溅遴行了实涯分撰。兔辩a r c h 族模型滋行全面的介绍后，褥使用a r c h 族模型对波动性估计和预测：发现 a p a r c h 怒a r c h 族模型中预测和估计效果最好的模型，t 分布和有偏的t 分布 能够提高波动性估计和预测效果。然后又介绍了随机波动性模型，并利用随机波 动性模型对中国股票市场的波动性进行估计并与a p a r c h 模型进行对比，发现 隧壤波动懿续鍪毙a 盎r c 珏摸藏其专更好瓣蕊谤秘鞭溺蔽票枣场戆波凌注。 第三意馒鹰实证方法分拆了中国的单个股票市场内部和两个市场之潮的波动 性持续性和传导机制。 第四章对波动性和成交量的艇相关系进行了分析，实证结果表明中图股票市 场的波动性和成交量的关系不符合混合分布假设。 关键强：溅险，波魂茬，建瓠波动模鍪，疆台分露骰没 a b s t r a c t ： t h i s p a p e ra n a l y s e st h ee s t i m a t i o na n d f o r e c a s to fc h i n as t o c km a r k e t sv o l a t i l i t y a n d 氆e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nv o l a t i l i t yi sv o l u m e w i t he c o n o m e t r i cm e t h o d 。 i nt h ef i r s t c h a p t e r , w ei n t r o d n c et h ed e f t n i t i o no fr i s ka n ds o m ee m p i r i c a l c h a r a c t e r so f v o l a t i l i t y i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c ea r c hm o d e l sa n du s et h e a r c hm o d e li nv o l a t i l i t ye s t i m a t i o na n df o r e c a s t i t sf o u n dt h a ta p ：a r c hm o d e li s v e r yf i t f o rv o l a t i l h ye s t i m a t i o na n df o r e c a s ti na r e hm o d e l s w ec o m p a r et h e p r e d i c t i v ea b i l i t i e so fs t o c h a s t i cv o l a 脚i t y ( s v ) m o d e lw i 搬a r r c hm o d e l 髓l es v m o d e lh a st h eb e t t e ra b i l i t i e so f v o l a t i l i t ym e a s a n d p r e d i c t i v e ，w ea l s oa n a l y s i st h e p e r s i s t e n c ea n d t r a n s m i to f v o l a t i l i t yi nt h ec h i n as t o c km a r k e t si nt h e 粕r d 馥a p t e r , 。 i nt h ef o r t hc h a p t e r , w eu s et h ee m p i r i c a lm e t h o d sa n a l y s i st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n v o l a t i l i t ya n dv o l u m e i t sf o u n dt h a t 廿l ee m p i r i c a lr e s u l tc a l l ts u p p o r tt h em i x t u r e d i s t r i b u t i o n sh y p o t h e s i s k e y - w o 确s i 麓建，v o l a t i l i t y , s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ( s v ) m o d e l ，m i x t u r ed i s t r i b u t i o n s h y p o t h e s i s 2 第一章风险与波动。陆 篇一节风险的定义 缄验跫一个院较撞象夔壤念。经滂学家哥耱会谈为鼹险是与个入熬锅好畜关 的，某个人认为有风险的东西辩茄一个人看来可麓认为是没有风险静。但是在金 融学上，我们需要一个普遍适用并与个人偏好无关的关于风险的定义。从这个意 义上来所，我们所要求的风险的定义犹如经济学家们所说的，是不确定性的测度 而不是关于“风险”的测度。 我嬲对懿险零要一个对称戆翡疑点。谔徐一个援爨组会管理者必须缀蘩基 准组合或黉与其他投资缝合篱璞者进行篦较。我翻对风险也需要一个炭活静定 义。既可以墩用于单个股票也可以应用于整个组合。对于过去可以谈论融经实现 的风险，同时对于将来则可以预测风险。同时我们也希望风险是可以精确的预测 的。所以，在金融上风险的定义必须满足这些基本准则。同时我们也发现在数学 上帮统诗上滋经有一系裂哥袋逡铎躲最验定义。 蓄先，备稃风险静定义都怒基于资产的收薤搴鼹概率分布豹萋礁上魏。穰率 分布可以描述出收益率在各个睡间取值的概率。圈1 1 显示了上证指数1 9 9 5 年1 月到2 0 0 2 年5 月周收益率的缀验分布密度。收益帮的分布描述的收擞率所有可 能取值的檄举，因此包含最详细的信息。知道了收赫率的概率分布就可以解决任 何关于收麓搴的概率有关薅爨。鼠概念上诱，收益率的摄率分毒逶塌予经簿资产： 鼗票、绩券及其它各耱资产。餐楚，竣益率匏分毒慧豹来谖太复杂、太详缀。 圈1 - 1 上证指数，1 9 9 5 年1 月一- 2 0 0 2 馨5 月扁收益率 因此，所选择的风险测度应该尽可能的用一个数值来刻画出风险的本质特性，而 不是用一个概率分布来完全的描述。正因为这种简单性，各种有关风险的定义至 少在某些方面存在不足之处。由于对所定义的风险测度的精确估计存在困难，各 种风险测度同样存在不足之处。下面将简单的介绍一系列经常用来充当风险测 度的概念。 标准差( s t a n d a r dd e v i a t i o n ) ：标准差所度量的是一个概率分布对均值的偏 离程度。通常投资者把标准差作为波动性的参考。例如，1 9 9 5 年1 月2 0 0 2 年 5 月上证指数周收益率的均值是o 2 3 ，标准差为4 4 。如果收益率是正态的， 那么将有2 3 的收益率落入均值的正负1 个标准差之间，也就是在区间 一4 1 7 ， 4 6 3 1 。实际上有8 0 的收益率落入该区间。随着标准差的减少，该区问也将减 小。标准差度量收益率的不确定性。标准差是m a r k o w i t z 对风险的定义，并且已 经成为了机构投资界的标准。标准差从统计上看，定义非常清晰并且又容易理解。 标准差( 尤其跟平均收益率和收益率分布的其它各阶矩相比) 相对比较稳定，同 时金融经济学家们已经发展了大量强大的数学统计工具用来精确的预测标准差。 半方差( s e m i v a r i a n c e ) ：其定义与方差相类似，只是仅仅使用收益率均值下 侧的收益率来定义。如果收益率的分布是对称的，那么半方差的数值则刚好是方 差的一半。跟标准差与方差的关系类似，下侧风险( d o w n s i d er i s k ) 定义为半方差 的平方根。很多投资者只把小于平均收益的收益看成是风险，半方差和下侧风险 正是出于这种考虑。1 9 9 5 年1 月2 0 0 2 年5 月上证指数周收益率的半方差为 0 1 0 8 ，是它的方差0 1 9 4 的5 5 6 从图1 1 看，左侧的尾部比右侧的尾部更 厚，因此半方差稍微超过了方差的一半。如果投资者认为他自己给定的目标收益 率下方的收益才是风险，那么可以类似半方差来定义目标半方差( t a r g e t s e m i v a r i a n e 曲，也就是用目标收益率下侧的收益率来计算而不是用均值以下的收 益率来计算。由于半方差使用了仅仅一半的样本数据来估计，这样会失去统计精 确性。在着重考虑这个问题的时候，目标半方差通常更强调收益率分布的尾部事 件。 下侧概率( s h o r t f a l lp r o b a b i l i t y ) ：下侧概率是另一个与风险的直觉概念相 联系的风险定义，它所度量的是收益率落在某个目标量下方的概率。例如：1 9 9 5 年1 月2 0 0 2 年5 月上证指数周收益率在6 以下有5 。下侧概率的优点就是 和风险的直觉定义很接近，但是它和下侧风险一样面临着同样的问题：在统计上 不直观、难于预测并且依赖于个人的偏好。预测是一个很棘手的问题，尤其当下 侧概率的下侧目标值很低的时候。从极端的情况看，对于非常低的下侧目标的下 侧概率的预测往往会受到一两个观察值的影响。 在险价值( v a l u ea tr i s k ) ：和下侧概率相反，在险价值在知道目标下侧概 率的情况下推断目标收益。1 9 9 5 年1 月2 0 0 2 年5 月上证指数周收益率，使用 4 历史模拟法计算可得：所有收益率最坏的1 的损失超过1 0 8 8 ，那么投资上证 指数组合1 0 0 0 0 万元的组合在1 置信度下1 周的在险价值为1 0 8 8 万元。在险价 值和下侧风险联系最相似，是同一问题的两个方面，因此具有相同的优点和缺点。 上面这些风险的度量方法，在不同场合可能有他们不同特点。在学术界广泛 使用的收益率的正态分布假定下，均值和方差可以完全描述收益率的分布。但是 实证中收益率在尾部的概率大于正态分布的假定，半方差、下侧概率和在险价值 在测量风险中才能发挥它们的优点。更一般的来说，选择风险的定义和选择风险 的报告方式是有区别的。不管怎样，标准差度量风险的好处就是很容易把单个资 产层面分析，扩展到组合层面的风险分析。 第二节波动性概述 股票市场中价格是各个市场中最易变化的价格之一。股票市场的波动性反映 了各种信息流动、交易制度结构和投资者的情绪变化等因素。从金融经济学的角 度来说，波动性则反映了一个市场的风险的大小。股票的波动性是指股票交易价 格经常性变化，或者说与股票票面价值经常不一致。下面简单描述一下波动性的 形成机制的各种理论、波动性的度量方式以及实证中波动性的各种特性 一、波动性的形成机制 传统的金融市场理论，如有效市场假说( e m h ) 、资本资产定价模型( c a p m ) 等都是以“行为理性人”和“市场完全”为前提假设，用利率水平、货币供应量、 公司盈利等基本面因素。然而许多学者对股票市场做了大量实证研究后发现，波 动性的产生不能完全归因于经济的基本面因素的变化。事实上，作为传统的经济 和金融分析的基础，“理性人假说”完全忽略了投资者的复杂心理和交易行为对 市场价格的影响。在现实的市场环境中，信息的流动存在着结构性障碍和投资者 的复杂多变的情绪。 l 、外部冲击机制 经济的波动机制包括外部冲击机制和内在传导机制。在股票市场中，政治更 迭、政策变动、货币供应量增减、利率涨跌等各种外部环境变量的冲击，都将通 过投资者的交易行为对股票市场的价格变动产生巨大的影响。外部冲击可以是经 济系统的，如财政政策或货币政策的冲击；也可以是经济系统以外的，如战争、 自然灾害以及虢管政策的变化。 2 、内部发生机制 由于非理性行为及自身能力所局限，投资者在信息吸收和处理上往往存在某 些缺陷，因此一些投资者经常会对新的信息产生过度反应，从而导致股票市场的 价格短期内偏离其基础价值。另一方面，由于投资者的群体情绪经常在乐观和悲 观之间摇摆不定，因而股票价格就能在一个较长的时间内过度偏离其基础价值。 然后，从长期来看，长期和短期的过度反映( o v e r r e a c t i o n ) 都会在以后的时间 内得到反向修正。因此，投资者的理性缺陷是股票市场波动性存在的某种内部发 生机制。 3 、自我实现机制 自我实现机制是指在没有外部冲击和基本面信息流动的情况下，股票价格的 波动的自我推动和自我形成，这一机制反映了股票市场波动性的内生性。在技术 分析广泛使用的市场中，如果一些技术指标显示“看涨”或“看跌”，买者或卖 者常一拥而上，引起心理共振，从而强化股票价格现有的运行走势，并导致更多 的技术指标显示同样的趋势，结果便产生了“预言自我实现”的现象 ( c u r c i o ，1 9 9 1 ) ，这就是技术信号的自我实现机制对股票市场波动性的影响。 4 、内在传导机制 内在传导机制描述股票价格波动在一定的初始条件下被启动后，波动过程将 呈现怎样的特征，反映了股票价格波动从初始状态开始后的逐渐演化过程。在数 学上讲，内在传导机制表象为分布滞后的关系，大量对股票价格行为的实证研究 结果也显示，股票市场的波动性具有一定程度上的持续性，过去的波动性将影响 未来的波动性。 图l ，2 上面的分析表明，( 图1 2 所示) 股票市场的波动性的存在是一个复杂的互 相反馈的过程。从理论上说，影响股票市场波动性的因素可以分为宏观因素、公 司基本面因素和微观因素。宏观因素包括经济总体状况、政策监管、股票市场的 供求关系等因素；基本面因素包括公司的各种财务指标或财务比率：而微观因素 则包括股票市场的微观结果的设计，以及投资者情绪和市场本身的交易行为。这 6 些因素通过外部冲击、内部发生、自我实现以及内在传导这四种机制对股票市场 的波动性产生重要影响。 二、波动性的度量方式 为了研究波动性，首先必须给出波动性的度量方式来进行定量研究。在金融 学研究中，一般将金融资产收益率的风险和价格的波动性用收益率的方差来表示 的( 其他的波动性指标还包括标准差、半方差、变异系数、在险价值等) 。收益 率的时间序列的满足一些基本的假设满足的情况下，我们可以用样本方差来估计 总体的方差，即： 1r 彦2 ：l y ( r ，一百) 2 ( 1 1 ) 。 ，0 1 莒 传统的金融计量模型往往会假定波动性是不变的，即不同时期收益的方差保 持为一个常数。随着金融研究的深入，人们发现了上面的假设不合理之处。一方 面用无条件方差来表示波动性忽略了先验信息和已知信息的作用，因此人们开始 用条件方差来表示波动性。另一方面由于波动性是随时间波动的，传统的线性模 型中独立同方差的假设和金融实证的波动性行为不一致。因此，e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出 了“条件异方差模型”( a r c h ) ，来描述方差随时间变化而变化的特殊波动形式。 b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 提出了“广义条件异方差模型”( g a r c h ) 更好地描述了波动性 变化的动态结构。此外，国外的好多学者根据收益率分布特点和股票市场信息反 映的特点，提出了一系列g a r c h 模型扩展而来的模型。g a r c h 模型类现在已 经成为了研究股票市场波动性主要工具。 三、股票市场波动性的实证特点 1 、波动性的聚类性 m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) 在他的一篇论文中写到：“股票价格大幅度的波动紧随着 一般也是大幅度的波动，同样，股票价格小幅度的波动紧随着一般也是小幅度的 波动”。波动性的聚类可以通过收益率的时间序列图很容易得到发现。图1 - 3 是1 9 9 5 年1 月开始到2 0 0 2 年8 月底上证指数日对数收益率的时间序列图。在图 上明显的看出，或可以借助一些统计检验，上海股票市场的收益率不是独立同分 布的，例如，1 9 9 8 年之前上海股票市场的波动性高于1 9 9 8 年后上海股票市场的 波动性。 1 9 9 5 1 11 9 9 6 1 1 1 9 9 7 1 11 9 9 8 1 11 9 9 9 1 12 0 0 0 一i i 2 0 0 11 12 0 0 2 1 1 图1 3 上证指数收益率 2 、非交易周期 股票市场闭市的时候信息的累积一般会在股票时常下次开市的时候的价格 中得到反映。例如，如果信息累积速度在日历时间上是一个常数，那么周五收盘 价到下一周一的收盘价之间的收益率的方差应该是周- - 至r j 周二的收盘价之间收 益率的方差的三倍。f a m a ( 1 9 6 5 ) 、f r e n c h 和r o l l ( 1 9 8 6 ) 研究发现，当股票市场关 闭的时候信息累积的速度慢于股票市场开市的期间的信息累积速度。虽然，周五 到下周一的收盘价格收益率方差高于连续交易日的收盘价格的收益率的方差，但 是，远不到假定信息的累积速度是常数的情况下预期的那么高。例如上证指数在 1 9 9 5 年1 月到2 0 0 2 年8 月期间，周五和周一收盘价所形成的收益率的方差为 o 0 0 0 4 8 ，而周和周二收盘价所形成的收益率的方差为o 0 0 0 3 9 。 3 、杠杆效应 杠杆效应是b l a c k ( 1 9 7 6 ) 首先提出的，指的是股票的价格和股票的波动性变 动成负相关关系。公司的财务成本和运行杠杆对这种现象可以提供部分解释。通 常一个发债的上市公司在股票的价格下跌的时候，它的财务杠杆将增加。在这种 情况下，如果公司的利润率做为整体是不变的，那么股票收益率的波动性将会增 加。然而，杠杆效应不能完全解释股票的波动性和股票价格之间的负相关性。 c h r i s t i e ( 1 9 8 2 ) 和s e h w e r t ( 1 9 8 外的实证研究结果支持了这一结论。 4 、宏观经济变量和波动性 股票市场与经济运行的关系非常紧密，很自然的就会想到宏观经济变量，如 工业生产值、利率、货币供应的增长率等都有助于解释股票市场的波动性。 s c h w e r t ( 1 9 8 9 ) 发现整个股票市场的波动性在经济衰退和金融危机时候显著上升 而在经济扩张的时候显著下降，但是宏观紧急的不确定性和股票市场波动性的联 系还是相当弱的。另外，g l o s t e n ，j a g a n n a t h a n 和r u n k l e ( 1 9 9 3 ) 揭示了股票收益率 的波动性和利率之间存在正相关关系。 鲫龉0 0m惦拍 第二章波动性模型及其实证 第一节基于a r c h 族模型的波动性估计与预测 股票市场的波动性具有聚类性、杠杆效应并且股票市场收益率具有瘦峰厚尾 的特性。考虑到股票市场和其他金融市场收益率的这些的特性，e n g l e ( 1 9 8 2 ) 首先 提出了具有时变条件方差的“自回归条件异方差”( a r c h ) 过程，用来刻画金融 时间序列的收益率的波动性的变化过程。b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 在a r c h 模型的基础上 提出了“广义自回归条件异方差”( g a r c h ) 过程。a r c h 模型和g a r c h 模型都 考虑了波动性的聚类性和收益率分布的瘦峰厚尾性，但是没有考虑到杠杆效应。 因此用很多学者对g a r c h 模型进行了非线性的扩展，使用最广泛的有： n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 年提出的指数g a r c h 模型( 目p e g a r c h ) ，g l o s t e n 、j a g a n n a t h a n 和 r u n k l e ( 1 9 9 3 ) 提出的g j r - g r a c h 模型，以及d i n g 、g r a n g e r f f f l e n g l e ( 1 9 9 3 ) 提出的 非对称幂a r c h 模型( a p a r c h ) 。 然而，g a r c h 模型常常不能抓住高频金融时间序列数据的厚尾特性，因此 很多学者就设法使用非正态分布来刻画金融时间序列的厚尾特性。b o l l e r s l e v ( 1 9 8 7 ) ，b a i l l i e 和b o l l e r s l e v ( 1 9 8 9 ) ，k a i s e r ( 1 9 9 6 ) 和b e i n e ，l a u r e n t a n dl e c o u r t ( 2 0 0 0 ) 等使用t 分布来描述收益率的厚尾特性；而n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 丰1 k a i s e r ( 1 9 9 6 ) 则建议使用广义误差分布( g e d ) 来描述收益率的厚尾特性。为了进一步的刻画 出收益率的偏度，f e r n a n d e z 和s t e e l ( 1 9 9 8 ) 提出了有偏的t 分布来同时刻画收益率 的俏度和偏度，l a m b e r t ：f 1 l a u r e n t ( 2 0 0 0 ，2 0 0 1 ) 使用有偏的t 分布进一步扩展了 g a r c h 模型的框架。 在使用非对称g a r c h 模型来预测条件方差方面，国外很多学者做了这方面 的研究( 这方面的研究可以参看：p a g a n 和s c h w e r t ，1 9 9 0 ，b r a i l s f o r d 和 f a 茂1 9 9 6 ，f r a n s e s 、n e e l e 和v a l ld i j k l 9 9 8 以及l o u d o n 、w a t t 和y a d a v ，2 0 0 0 ) 。 另一方面国外的学者从很多角度做了许多关于正态分布和非正态分布的比较性 研究( 这方面的研究可以参看：h s i e h ，1 9 8 9 ；b a i l l i e 并1 b o l l e r s l e v ，1 9 8 9 ；p e t e r s 2 0 0 0 以及l a m b e r t 和l a u r e n t 2 0 0 1 ) 。本节主要结合这两方面的研究方法方法： 研究g a r c h 、e g a r c h 、g j r 和a p a r c h 等模型对波动性的预测效果，同时在 模型中使用几种不同的分布( 正态分布，t 分布，有偏t 分布等) 。主要针对中国 股票市场的几个典型的股票指数进行估计和预测。本节的结构安排如下：第一部 分，介绍叙述了a r c h 族模型类：第二部分，说明模型中使用的各种分布的密度； 第三部分，中国股票市场的实证分析。 9 一、a r c h 族模型 首先来考虑一个单变量的时间数列y t ，用一表示t 一1 时刻的信息集合( 也 即t - 1 时刻所有可获得的信息) ，我们用以下的形式定义它的函数形式： 弘= e y ，l 吵h + s ， ( 1 ) 其中：e 【小】表示条件期望算子，8 t 为随机扰动项也就是不可的预测部分，同时 还假定e e ， _ 0 ，并且对于v t s e e ，占，】_ 0 。 对式( 1 ) 中，冲击扰动了过程儿的变化。e n g l e ( 1 9 8 2 ) 所提出的自回归条件异 方差( a r c h ) 过程，要求s ，具有如下形式： 占，= 2 ，q ( 2 ) 其中：z ，为一个独立同分布( i i d ) 过程，同时要求e ( z ，) = 0 、v a r ( z ，) = l ；q 为 t 1 的信息集下的一个正的可测函数。根据定义f ，是一个均值为o 、序列不相关的 过程，但它的条件方差盯? 是一个可以随时间变化的过程，这和o l s 的对误差项 的假定不一样。对与a r c h ( q ) 模型有： o - ? = + 占己 ( 3 ) i = l a r c h 族中各种不同的模型只是盯? 的函数形式不一样，但其基本逻辑与( 3 ) 是一 致的。 1 、g a r c h 模型 早期的实证研究发现，阶数比较高的a r c h 模型可以更好地抓住条件方差的 动态结构。但高阶的a r c h 模型需要估计很多参数，给模型精确估计带来困难。 b 0 1 l e r s l c v ( 1 9 8 6 ) 年所提出的广义a r c h 模型( g a r c h ) 很好的解决了这个问题。 g a r c h ( p ，q ) 模型可以表示为1 ： 口p 仃? = 口。+ s 王，+ 所盯三， ( 4 ) 方差平稳性条件为：窆+ p 岛 0 ，占0 ，卢，0 ( j = 0 ，1 ，2 p ) ，口，0 ，1 n o 并且吼e ( i ：卜，。：，) 5 + 岛 1 的条件下，d i n g 、g r a n g e r 矛l l e n g l e l ；1 j - i ( 1 9 9 3 ) 证明t ( 1 2 ) 式的平稳解的存在，同时给出了一个平稳解，即： e ( 一) = 了l 丁 ( 1 3 ) 1 一( - y z ) 6 一岛 j = t i = 1 a p a r c h 模型对非对称系数( 用来考虑杠杆效应) 表示成可变动的指数形式， 这使的这个模型变得非常灵活。a p a r c h 模型包括了几个a r c h 模型的扩展，这 些a r c h 模型的扩展可以看承a p a r c h 模型的特殊形式： 当占= 2 ，九= 0 ( i = l ，q ) 且，= 0 ( j = l ，p ) 时，即为e n g i e 提出的a r c h 模 型： 当占= 2 ， = 0 ( i = l ，q ) 时，即为b o l l e r s l e v 提出的g a r c h 模型； 当占= 1 ，h = 0 ( i = l ，q ) 时，即为t a y l o ( 1 9 8 6 ) s c h w e r t ( 1 9 9 0 ) 一- - - g a r c h 模 型； 当6 = 2 时，即为g j r 模型 当占= 1 时，即为z a k o i a n ( 1 9 9 4 ) 提出的t a r c h 模型 ：g j r 模型方差的平稳性条件：主q ( 1 + 叮? ) + p 屏 1 i = l j - 1 当7 = 0 ( i 。 的n a r c h 模型； 当占一0 时 l ，q ) 且尼= 0 ( j 2 1 ，p ) 时，即为h i g g i n s 和b e r a ( 1 9 9 2 ) 提出 即为g e w e k e ( 1 9 9 6 ) 和p e n t u l a ( 1 9 8 6 ) 提出的l o g a r c h 模型。 二、分布密度 通常，g a r c h 模型的估计都采用用极大似然估计( m l ) 来估计模型的参数。 极大似然估计的基本原理是把密度函数看成是参数集的函数，这个函数称为似然 函数。能够使得样本的似然函数的取值达到最大的参数值就是参数的极大似然估 计值。在本节的第一部分里我们已经提到金融时间序列的分布往往不是正态的形 式，表现出超额的俏度和偏度。b o l l e r s l e v 乘l w o o l d r i d g e ( 1 9 9 2 ) 提出了准极大似然 估计( q u s a im a x i m u ml i k e l i h o o d ) 方法。q m l 方法对于偏离正态的时候更具有 稳健性。实际上w e i s s ( 1 9 8 6 、b o l l e r s l e v 和w o o l d r i d g e ( 1 9 9 2 ) 已经证明，在正态性 的假定下，只要条件均值和条件方差设定正确，q m l 估计是一致估计量。然而， q m l 不是一个有效估计量，非有效程度随着与正态性偏离的程度的增加而增加 ( e n g l e 年1 o o n z a l e z r i v e r a ，1 9 9 1 ) 。 考虑到收益率分布的超额俏度和偏度，我们在对条件异方差建模型的时候要 求时考虑使用一些更合适的分布密度。这里我们将考虑三种分布：正态分布，t 分布( 包含一个“尾部”参数) ，有偏的t 分布( 包含一个“尾部”参数和非对 称参数) 。 1 、正态分布 对g a r c h 模型估计和预测方面，正态分布是最广泛使用的一种分布。如果 均值方程如( 1 ) 式并且占，= z t ( 7 t ，那么标准正态分布函数下的对数似然函数由下式 给出： l r 一去【l n ( 2 万) + 1 n ( 砰) + z 孙 ( 1 4 ) 其中t 为观察值的个数。 2 、t 分布 对于t 分布，如果均值方程如( 1 ) 式并且占，= z t o t ，对数似然函数为： 扣丁舾( 半n 【r ( - 0 5i n x ( v - 2 ) 】 瓣c 枷州埘+ 刍 “4 其中：v 是t 分布的自由度，2 y 0 ，s 而的取值依赖于的概率分布的选择， 如果z ，是对称分布( 正态分布，t 分布等) 那么s , i 。= 0 5 ，如果z ，为非对称的分布 ( 有偏的t 分布那么s 而。五孑。 ( 3 ) 对于a p a r c h ( p ，q ) 模型，条件方差的领先h 步的外推性最优预测为： 毋_ ：m = e ( 仃之 l q ，) ：e k + 妻讯旧。卜加。o 。+ 一f l f i r , + 4 旧l ( 2 4 ) l - 1 j ；l ：& 。+ 妻应，e 占，+ 。l 一尹，+ 。一，) 。iq ，】+ 杰向盯：。 ，= l j ；l 其中：当七 0 时，日( i t 舶1 吨乞+ 扣，) 5 i q = 岛并且屯：e ( iz | - n z ) 。 k 具体取值与z 的分布有关，d i n g 、g r a n g e r 和e n g l e ( 1 9 9 3 ) 证明并求得了正 态分布情况下k 。的解析解，l a m b e r t 和l a n r e n t ( 2 0 0 1 ) i j ea 韭j 并求得了g e d 分布、t 分布和有偏t 分布情况下的解析解。 为了评价各模型对波动性的预测效果，首先必须确定出“真实”的波动性。 a n d e r s e n 和b o l l e r s l e v ( 1 9 9 7 ) 认为把当日的目的收益率的平方作为“真实”的波 动率是不合理的，他们给出了度量“真实”的波动性的另一个方法，即把“真实” 的波动性表示为： 一= 协2 ( 2 5 ) 其中：咋。为在t 日的第k 个交易时间段内的收益。 在本文中，取的交易时间段为5 分钟，那么叶。表示在t 日内第k 个5 分钟区间 内的收益率，中国的股票市场一天交易4 个小时，因此k = 4 8 。 为了区分各个模型对波动性的预测效果，本文计算了以下6 个预测效果的 评价指标：均方误差( m s e ) 中位数平方误差( b l e d s e ) 均值绝对误差( m a e ) 调准的均值绝对百分误差( a m a p e ) 泰勒不一致系数( t i c ) m i n c e r - z a r n o w i t zr 2 ( r 2 ) 前三个指标都是非常熟悉的评价预测效果的指标。对于 后三个指标在这里我要作一些解释和说明。 ，s + i 三22 i 调准的均值绝对百分误差( a m a p e ) = 去e 岛i ，其中h 为领先的步数， 竹+ l 面i d i + 町i 1 9 s 为用于估计的模型样本长度，拜和盯? 为t 时刻的预测方差和“真实”方差。 泰勒不一致系数( t i c ) 的数值恒在0 到1 之间，泰勒不一致系数越小说明 预测效果越好。 泰勒不一致系数( t i c ) = 一个检验a r c h 族模型的预测能力的很流行的方法是进行所谓的 m i n c e r z a m o w i t z 回归，其回归方程为： 盯? = a + 卢子? + u ( 2 6 ) m i n c e r z a m o w i t z 回归模型所得到的r 2 反映了“真实”的方差被预测的方差的解 释程度。r 2 越高说明方差的预测效果越好。 表2 5 和表2 - 6 分别给出了上证指数和深圳综指的一评价指标的数值。为了 能够综合评价模型的预测效果的好坏，采用按每个指标对各个模型排序打分的方 法。表2 7 和2 8 分别给出了上证指数和深圳综指的各个模型的得分表。从表2 7 和表2 - 8 的结果来看，对上证指数和深圳综指的波动性预测效果最好的是 a p a r c h 模型，其次是g a r c h 模型，最差的是g j r 模型。从所用分布密度的 角度看，总体上讲，正态分布对波动性外推性预测的效果要优于t 分布和有偏的 t 分布( s k e w t ) 。但是从最优的模型a p a r c h 看，a p a r c h 模型使用t 分布和有 偏的t 分布在波动性外推性预测方面优于a p a r c h 模型使用正态分布的情形。 表2 - 5 上证指数的波动性预测的评价指标 g a r c h g j r a p a r c h n o r m a lts k e w tn o r m a lts k e w - tn o m a lts k e w t m s e8 7 5 5 0 51 0 0 0 0 21 0 1 2 0 68 8 41 0 7 4 1 81 3 9 6 2 68 1 6 7 16 1 9 6 86 6 8 3 5 m e d s e3 7 0 4 84 7 8 94 7 0 8 83 7 8 3 15 3 9 6 17 9 1 2 23 3 8 1 29 4 2 1 21 6 9 4 7 5 m a e6 5 1 3 67 3 8 0 37 4 1 4 46 5 7 5 37 8 5 3 29 3 8 26 0 7 2 73 5 3 4 14 5 1 3 3 m 恤p e0 7 0 0 50 7 1 8 10 7 1 6 70 7 0 1 50 7 2 7 80 7 4 50 6 9 0 70 5 9 6 50 6 4 7 l t i c0 6 0 5 30 6 0 6 10 6 0 7 40 6 0 5 20 6 0 7 90 6 2 30 6 0 5 40 6 6 5 80 6 2 8 3 r 20 0 0 1 50 0 0 1 90 0 0 2 20 0 0 1 40 0 0 2 20 0 0 3 70 0 0 0 40 0 0 0 l1 1 9 e 0 5 表2 - 5 深圳综指的波动性预测的评价指标 g a r c hg j ra p a r c 】i n o r m a lts k e w tn o r m a lts k e w tn o r m a lts k e w t m s e6 8 5 7 81 4 8 0 9 93 1 1 2 66 9 1 0 6 11 5 6 3 1 44 9 3 7 0 86 9 6 7 6 86 1 0 8 5 27 7 2 5 4 9 m e d s e1 9 ，5 0 69 1 9 7 6 11 6 2 6 72 0 1 5 8 89 8 7 5 8 62 2 8 1 6 32 2 2 6 38 4 6 2 93 4 2 4 6 1 m a e4 8 6 6 49 9 6 2 81 4 5 9 74 9 3 8 61 0 3 2 7 41 8 ，2 1 85 0 6 1 83 5 3 5 75 9 4 5 l a m a p e0 6 5 1 60 7 5 0 50 7 7 60 6 5 4 60 7 5 5 60 7 9 1 60 6 6 0 90 5 9 2 60 6 8 9 9 t i co 6 1 7 606 1 9 70 6 8 3 70 6 1 60 6 2 3 l0 7 2 4 70 6 1 1 50 6 6 8 50 5 9 7 2 r 20 0 0 1 9o 0 0 4 10 0 0 8 50 0 0 2 10 0 0 4 40 0 1 0 20 0 0 0 60 0 0 0 70 0 0 0 1 表2 - 7 上证指数的波动性各模型预测效果的得分 g a r c h g j r a p a r c h n o r m a lts k e w - tn o r m a lts k e w t n o r m a lts k e w t m s e467589312 m e d s e476589312 m a e4675893 12 a 驵a p e47658 9312 t i c245l67 398 r 2542631789 合计2 33 43 32 74 14 42 22 l2 5 总计 9 01 1 2 6 8 表2 - 8 深圳综指的波动性各模型预测效果的得分 g a r c h 6 j ra p a r c h n o r m a lts k e w t n o r m a lts k e w - tn o r m a lts k e w - t m s e2683794 l5 m e d s e2683794 l5 m a e2683794 l5 a m a p e26837 94l5 t i c45836927l r 264253l8 79 合计1 83 34 22 03 74 62 61 83 0 总计9 31 0 3 7 4 2 1 第二节随机波动性模型 、蓬攮波动愁搂型赍绥 随机波动性模型最早是幽c l a r k ( 1 9 7 3 ) 罐出的一个描述资产价格变化的模型， 其中假定信息流的随机过稔服从对数正淼分布。随后e p p s ( 1 9 7 6 ) 、t a u c h e n 和 p i t t s ( 1 9 8 3 ) 、d a n i e l s s o n ( 1 9 9 1 ) 等桷继提出了对随机波动悭模型豹改进方法，使碍 隐聿凡波动侄模灏在估计资产价格翡滚动穗方嚣 ! 莓笺了广泛静应曩。 资产价格的变化的方差随时间而变化，其价格的分布近似于对数正态分布。 般文献中通常假定资产价格的变化服从稳态分布，并且在许多文献中通常直接 表示出方差浆澎式。强暴t 对裁资产份格为r 。，赠资产终穆豹对数收盏率 o2 t n ( e , ，置，t ) 通常可以表示为：i ( 瓴) 。国外的举者们很早就发现在玎；过 程中存在着序列相关性，但是对于or 的飙体形式则没有统一的观点。在e n g l e 秘b o l l e r s l e v 等人提出的a r c h 族模型中，。t 是资产价格过去蕊察值的非线性 添数( 我们在裁节已经详缁分绍了a r c h 族模鍪) 。舅一类模螫骰定o t 是一个 单独的随机过程，可能包含过资产价格的信息，但存档个不同的、独立的误差 缩构。 c l a r k ( 1 9 7 3 ) 介绥了蓬辊波凌缝模型寒浚示o t 豹交纯避程。睫瓿滚动蛙模型也 被认为是混含分布模型。在c l a r k 撼出的模型和以后各种改进模型中 ( e p p s ( 1 9 7 6 ) ，t a u c h e n 和p i t t s ( 1 9 8 3 ) ，d a n i e l s s o n ( 1 9 9 1 ) ) ，都假定金融市场处于以 下嚣个状态之一：瓦尔拉颠均衡和向均鬻转换的过程。当金融市场受到瓤信息到 遮酶冲击，审场翡均衡状态发生交徒。当信息至l 这枣绣辩，不同的帮场参与者会 臌新调整各自对市场的预期，并通过交易赢到他们达到一种新的均衡状态。因此， 市场会经历一系列的瓦尔挝斯均衡，新信息的到达会促使市场由一种均衡状态向 受秘鹭饔状态转换。在遂糠波动经模爨孛，波动热怒信惑到这熬瓣数。囊瑷在 的理论界还无法用一种特定的函数形式来表示信息的捌达。c l a r k 把。r 表示为具 有独立同分布的正态过程，并发现这种分布比其它的分布具有鼹好的表现。 t a u c h e n 和p i t t s ( 1 9 8 3 ) 也得劐了类议懿结论。g a l l a n t 、h s i e h 和t a u e h e n ( 1 9 9 1 ) 使 用半参数方法发现信患流的分布类戗予对数正态分布