（理论物理专业论文）基于stachel弦宇宙理论的均匀但各向异性bianchiⅠ型宇宙精确解.pdf

重庆大学硕七学位论文 中文摘要 摘要 在宇宙学的研究中，爱因斯坦的广义相对论理论一直都是最重要的研究工 具。另外，他提出其的宇宙均匀且各向同性的宇宙学原理也被广为应用。这一原 理被认为是对我们所处宇宙的一个很好的近似。但是此类典型的宇宙学模型却不 能解释如星系的形成等宇宙学的难题。因而随后出现了一系列特殊的宇宙学模型 如b i a n c h i 型宇宙学模型，此类模型大多是均匀但各向异性。 本文利用s t a c h e l 弦宇宙学模型对均匀但各向同性b i a n c h ii 型宇宙模型进 行了精确求解。众所周知，爱因斯坦场方程是非线性的方程，因而求解起来非常 困难。本文采用了大胆假设，小心求证的处理方法。对求得的解的能量的正定性， 膨胀条件等进行了认真的考虑，推敲，并得到了物理行为比较好的解。弦理论的 研究一直是人们关注的焦点。大尺度考虑问题广义相对论是比较准确的，但是一 旦涉及到高能小尺度范围，广义相对论就失效了，量子理论的重要性便突显出来。 现在有很多物理学家都相信应该有一个统一的理论用以解释引力和另外三种力： 强相互作用力，弱相互作用力和电磁相互作用力。而现在有此种潜力的侯选理论 有三个：圈量子引力理论，弦论，和超对称。弦论被认为是这三种理论中最有希 望的。这样做有二层含义，一方面能提供一种检验弦论的手段，另一方面也可能 让我们对所处宇宙有更深层次的了解。 通过调研，我发现有一些人曾尝试过此方面的研究，但大多人只给出了可能 的解而对解的分析并不多也不全面，在这篇论文中我将对这些解进行分类，通过 寻找一系列评判标准如能量的正定性，平均半径应为递增函数等来对它们进行筛 选。弦宇宙模型旨在解释星系的形成等传统理论不能解释的难题。通过计算我发 现了粒子的能量密度的确有一些受膨胀以外因素的波动，而这可以作为能量扰动 产生星系的一个很好的引子。通过现在对宇宙的测量，我发现这些解将是对我们 宇宙的一个很好诠释并有可能帮助我们理解更多的宇宙的性质。 关键词：均匀但各向异性，弦论，b i a n c h ii 型宇宙模型，s t a c h e l 弦宇宙学 重庆大学硕+ 学位论文 英文摘要 a b s t r a c t s i n c et h ed i s c o v e r yo fg e n e r a lr e l a t i v i t y , c o s m o l o g ys t a r t e dt oa t t r a c ts c i e n t i s t s i n t e n s i v ea t t e n t i o n n oo n ew o u l dd e n yt h a te i n s t e i nw a st h ef o u n d e ro f c o s m o l o - g y h e f i r s tp r o p o s e dt h ec o s m o l o g yp r i n c i p l e s ，t h ew h o l eu n i v e r s ei sh o m o g e n e o u sa n d i s o t o p i ca n dt h eo n l yf o r c et h a tl e a d st h ec o s m o l o g yd y n a m i c si sg r a v i t y , i ss t i l l t h o u g h tt ob et h eb e s td e s c r i p t i o no fo u ru n i v e r s e h o w e v e r , t h o s ek i n d so fc o s m o l o g y m o d e l sc a n te x p l a i np r o b l e m sl i k et h eg a l a x yf o r m a t i o n t h e r e f o r ep e o p l es t a r t e dt o s t u d yt h em o d e l sl i k eb i a n c h it y p ec o s m o l o g ym o d e l s ，w h i c ha r em o r eg e n e r a l c o s m o l o g ym o d e l s t h e ya r eh o m o g e n e o u sb u ta n i s o t r o p i cu n i v e r s e ，i n h o m o g e n e o u s a n da n i s o t r o p i cu n i v e r s e ，a n di n h o m o g e n e o u sb u ti s o t r o p i cu n i v e r s e s i n c ei ti sa l w a y s p o s s i b l ef o ru st oa s s u m e0 0 1 u n i v e r s ei sah o m o g e n e o u sb u ta n i s o t r o p i cu n i v e r s e t h e l e f tq u e s t i o ni st h a tw h i c ht h e o r ys h o u l dw eu s e ，g e n e r a lr e l a t i v i t yo rq u a n t u mf i e l d t h e o r y a sw ea l lk n o w , g e n e r a lr e l a t i v i t yh a si t sg r e a ta c h i e v e m e n tt op r e d i c t p h e n o m e n al i k er a d a rd e t e n t i o na n di t i sp r e c i s ea tl a r g es c a l e ，b u tw h e ni tc o m e st o s m a l ls c a l ea n dh i g he n e r g yi tf a i l sa n dq u a n t u mt h e o r yb e c o m ei m p o r t a n t s o m e s c i e n t i s t st l l i l l i 【t h a tt h e r em i g h tb ea nu n i f i e dt h e o r yt oe x p l a i nt h ef o u rf o r c e s ( s t r o n g f o r c e ，e l e c t r o m a g n e t i cf o r c e ，w e a ki n t e r a c t i o n ，a n dg r a v i t y ) i no n ef r a m e w o r ka n dd i d al o to f a m a z i n gw o r ko ni t c u r r e n t l y , t h e r ea r et h r e ep r o s p e c t i v et h e o r i e s ：l o o pq u a n t u mg r a v i t y , s t r i n gt h e o r y a n ds u p e r s y m m e t r y i ti sa l w a y sah o tt o p i ct oj u d g et h e s et h e o r i e s i nt h i st h e s i s1w i l l u s es t r i n gt h e o r y , w h i c hi st h o u g h tt ob eap r o s p e c t i v et h e o r yo fg r a v i t yt h a td o e s n t c o n t r a d i c tq u a n t u mt h e o r y i nt h i st h e s i s ，if i r s ts t u d i e dt h es u i t a b i l i t yo fu s i n gs t r i n g c o s m o l o g yt h e o r y t h e n1w i l la p p l yi ti n t ob i a n c h it y p eic o s m o l o g ym o d e l w h i c hi s t h o u g h tt ob ear e a s o n a b l ee x p l a n a t i o no fo u ru n i v e r s ea tl e a s ti nt h ee a r l ye p o c ho f e v o l u t i o n t h e nio b t a i n e dac l a s so f e x a c ts o l u t i o n s a 1l a s t ic a t e g o r i z e dt h es o l u t i o n s a c h i e v e db ys o m eo t h e rr e s e a r c h e r sa n da n a l y z e dt h e mw i t hc e r t a i nr e s t r i c t i o n sl i k et h e e n e r g yc o n d i f i o n , o b s e r v a t i o n a lp h e n o m e n a ( h u b b l er e l a t i o n ) a n ds oo n b e c a u s ei n o t i c e dt h e r ea r eal o to fe x a c ts o l u t i o n s ，w h i c ht h e ya r eb a r e l ys t u d i e d s o m eo ft h e s o l u t i o n sw i l lb ea b a n d o n e df o rs u r e t h e r ea r et w of o i dm e a n i n gt os t u d yt h i s ：f i r s t i t m i g h tb eap r o s p e c t i v ew a y t oc h e c kt h es t r i n gt h e o r yi n d i r e c t l yv i at h eo b s e r v a t i o ni n c o s m o l o g i c a le x p e r i m e n t s ；s e c o n d l y , i tm i g h ts h e ds o m el i g h to nt h eu n d e r s t a n d i n go f o u ru n i v e r s e ia n a l y z e dt h er e s u l t sa n df i n di ti sv e r ys u i t a b l et oe x p l a i no u ru n i v e r s e u 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 h o p e f u l l y , i tw i l lh e l pu st ok n o wm o r ea b o u to u r u n i v e r s e k e yw o r d s ：h o m o g e n e o u sb u ta n i s o t r o p i c , b i a n c h it y p e i c o s m o l o g ym o d e l ， s t r i n gt h e o r y , s t a c h e ls t r i n gc o s m o l o g y i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重庞太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位做储签名2 步 签字日期：刃口7 年6 月弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重庞太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重废太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“”) 一虢步融 签字日期皿7 年6 月弓日 导师签名 签字日期：6 窍日 重庆大学硕士学位论文c h a p t e r li n t r o d u c t i o n c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 1 1h i s t o r yo fg e n e r a l r e l a t i v i t ya n dc o s m o l o g y t h ea c t i o n a t - a - d i s t a n c ei m p l i c i ti nn e w t o n st h e o r yo fg r a v i t a t i o ni si n c o n s i s t e n t w i t hs p e c i a lr e l a t i v i t y e i n s t e i nt h e r e f o r es e to u tt od e v e l o pas u c c e s s o rt h e o r yo f g r a v i t a t i o nt h a tw o u l dn o ts u f f e rf r o mt h i sd e f e c t h eb e g a nt h i sd e v e l o p m e n tn ol a t e r t h a n1 9 0 7 a sah e u r i s t i cg u i d eh eu s e do n em a i np r i n c i p l e ，t h ep r i n c i p l eo f e q u i v a l e n c e , w h i c hs t a t e st h a tt h ed i r e c te f f e c to fm a s s ( g r a v i t a t i o n ) w a si n d i s t i n g u i s h a b l ef r o m u n i f o r ma c c e l e r a t i o n ，e x c e p tf o rt i d a le f f e c t s ：i n s i d ea n “e i n s t e i ne l e v a t o r ”t h eb e h a v i o r o fn a t u r ei st h es a l t l e , w h e t h e rt h e ( s m a l l ) e l e v a t o ri sa tr e s ti nag r a v i t a t i o n a lf i e l do ri s u n i f o r m l ya c c e l e r a t i n gi naf i e l d - f r e er e g i o n a n o t h e rg u i d ew a st h ep r i n c i p l eo fg e n e r a l e o v a r i a n c e ：t h ef o r mo ft h ef i e l de q u a t i o n sf o ran e wt h e o r yw o u l db ei n v a r i a n tu n d e r g e n e r a l ( s p a c e t i m e ) c o o r d i n a t e st r a n s f o r m a t i o n s h o w e v e r , t h i sp r i n c i p l ew a x e d a n dw a n e da sa ni n f l u e n c eo ne i n s t e i n sd e v e l o p m e n t b u te n d e du pc o n s i s t e n tw i t hh i sf i n a l1 9 1 5f o r mo f t h et h e o r y a f t e rt h em a j o rs t e po f t h ee q u i v a l e n c ep r i n c i p l ei n1 9 0 7 ，e i n s t e i np u b l i s h e dn o t h i n gf u r t h e ro ng r a v i t a t i o n u n t i l1 9 1 1 t h e nh er e a l i z e dt h a tt h eb e n d i n go f l i g h ti nag r a v i t a t i o n a lf i e l d ，w h i c hh e k n e wi n1 9 0 7w a sac o n s e q u e n c eo ft h ee q u i v a l e n c ep r i n c i p l e , c o u l db ec h e c k e dw i t h a s t r o n o m i c a lo b s e r v a t i o n s h eh a do n l yt h o u g h ti n1 9 0 7i nt e r m so ft e r r e s t r i a l o b s e r v a t i o n sw h e r et h e r es e e m e dl i t t l ec h a n c eo fe x p e r i m e n t a lv e r i f i c a t i o n a l s o d i s c u s s e da tt h i st i m ei st h eg r a v i t a t i o n a lr e ds h i f t ，l i g h tl e a v i n gam a s s i v eb o d yw i l lb e s h i f t e dt o w a r d st h e r e db yt h ee n e r g yl o s so f e s c a p i n gt h eg r a v i t a t i o n a lf i e l d e i n s t e i np u b l i s h e df u r t h e rp a p e r so ng r a v i t a t i o ni n1 9 1 2 i nt h e s ep a p e r sh er e a l i z e d t h a tt h el o r e n t zt r a n s f o r m a t i o n sw o u l dn o ta p p l yi nt h i sm o r eg e n e r a lc a s e e i n s t e i n a l s or e a l i z e dt h a tt h eg r a v i t a t i o n a lf i e l de q u a t i o n sw e r eb o u n dt ob en o n l i n e a ra n dt h e e q u i v a l e n c ep r i n c i p l ea p p e a r e dt oo n l yh o l dl o c a l l y 4 】 t h i sw o r kb ye i n s t e i np r o m p t e do t h e r st op r o d u c eg r a v i t a t i o n a lt h e o r i e s w o r kb y n o r d s t r 6 m ，a b r a h a ma n dm i ew a sa l lac o n s e q u e n c eo fe i n s t e i n s ，s of a rf a i l e d ， a t t e m p t st of i n das a t i s f a c t o r yt h e o r y h o w e v e re i n s t e i nr e a l i z e dh i sp r o b l e m s ：i fa l l a c c e l e r a t e ds y s t e m sa r ee q u i v a l e n t ，t h e ne u c l i d e a ng e o m e t r yc a n n o th o l di na l lo f t h e m e i n s t e i nt h e nr e m e m b e r e dt h a th eh a ds t u d i e dg a u s s st h e o r yo fs u r f a c e sa sas t u d e n t a n ds u d d e n l yr e a l i z e dt h a tt h ef o u n d a t i o n so fg e o m e t r yh a v ep h y s i c a ls i g n i f i c a n c e h e 重庆大学硕十学位论文c h a p t e r li n t r o d u c t i o n c o n s u l t e dh i sf r i e n dg r o s s m a nw h ow a sa b l et ot e l ie i n s t e i no ft h ei m p o r t a n t d e v e l o p m e n t so fr i e m a n n ，r i c c i ( r i c e i c u r b a s t r o ) a n dl e v i c i v i t a e i n s t e i nw r o t e ： “i na l lm yl i f eih a v en o tl a b o r e dn e a r l ys oh a r d a n dih a v eb e c o m ei m b u e dw i t h g r e a tr e s p e c tf o rm a t h e m a t i c s ，t h es u b t l e rp a r to f w h i c hih a di nm ys i m p l e - m i n d e d n e s s r e g a r d e da sp u r el u x u r yu n t i ln o w ” i n1 9 1 3e i n s t e i na n dg r o s s m a np u b l i s h e da j o i n tp a p e rw h e r et h et e n s o rc a l c u l u so f r i c e ia n dl e v i c i v i t ai se m p l o y e dt om a k ef u r t h e ra d v a n c e s g r o s s m a ng a v ee i n s t e i n t h er i e m a n nt e n s o r , w h i c h ，t o g e t h e rw i t ht h er i c c it e n s o r , w h i c hc a nb ed e r i v e df r o mi t , w a st ob e c o m et h em a j o r , t o o l si nt h ef u t u r et h e o r y p r o g r e s sw a sb e i n gm a d ei nt h a t g r a v i t a t i o nw a sd e s c r i b e df o rt h ef i r s tt i m eb yt h em e t r i ct e n s o rb u t s t i l lt h et h e o r yw a s n o tr i g h t w h e np l a n c kv i s i t e de i n s t e i ni n1 9 1 3a n de i n s t e i nt o l dh i mt h ep r e s e n ts t a t e o fh i st h e o r i e sp l a n c ks a i d ：“a sa no l d e rf r i e n dim u s ta d v i s ey o ua g a i n s ti tf o ri nt h e f i r s tp l a c ey o uw i l ln o ts u c c e e d a n de v e ni fy o us u c c e e dn oo n ew i l lb e l i e v ey o u p l a n c kw a sw r o n g ，b u to n l yj u s t ，f o rw h e ne i n s t e i nw a st os u c c e e dw i t hh i st h e o r yi t w a sn o tr e a d i l ya c c e p t e d i tw a st h es e c o n dh a l fo f1 9 1 5t h a ts a we i n s t e i nf i n a l l yp u t t h et h e o r yi np l a c e b e f o r et h a th o w e v e rh eh a dw r i t t e nap a p e ri no c t o b e r1 9 1 4n e a r l y h a l fo fw h i c hi sat r e a t i s eo nt e n s o ra n a l y s i sa n dd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t i l i sp a p e rl e d t oac o r r e s p o n d e n c eb e t w e e ne i n s t e i na n dl e v i - c i v i t ai nw h i c hl e v i c i v i t ap o i n t e d o u tt e c h n i c a le l t o r si ne i n s t e i n sw o r ko nt e n s o r s e i n s t e i nw a sd e l i g h t e dt ob ea b l et o e x c h a n g ei d e a sw i t l ll e v i - c i v i t aw h o mh ef o u n dm u c hm o r es y m p a t h e t i ct oh i si d e a s o nr e l a t i v i t yt h a nh i so t h e rc o l l e a g u e s 【5 】 a tt h ee n do f j u n e1 9 1 5e i n s t e i ns p e n taw e e ka tg 6 t t i n g e nw h e r eh el e c t u r e df o rs i x 2 - h o u rs e s s i o n so nh i s ( i n c o r r e c t ) o c t o b e r1 9 1 4v e r s i o no fg e n e r a lr e l a t i v i t y h i l b e r t a n dk l e i na t t e n d e dh i sl e c t u r e sa n de i n s t e i nc o m m e n t e da f t e rl e a v i n gg 6 t t i n g e n ：t o m yg r e a tj o y is u c c e e d e di nc o n v i n c i n gh i l b e r ta n dk l e i nc o m p l e t e l y ”e i n s t e i na n d h i l b e r tt o o kt h ef i n a ls t e p st ot h et h e o r yo fg e n e r a lr e l a t i v i t ya ta l m o s tt h es a m et i m e b o t hh a dr e c o g n i z e df l a w si ne i n s t e i n so c t o b e r1 9 1 4w o r ka n dac o r r e s p o n d e n c e b e t w e e nt h et w om e nt o o kp l a c ei nn o v e m b e r1 9 1 5 h o wm u c ht h e yl e a r n tf r o me a c h o t h e ri sh a r dt om e a s u r eb u tt h ef a c tt h a tt h e yb o t hd i s c o v e r e dt h es a u l ef i n a lf o r mo f t h eg r a v i t a t i o n a lf i e l de q u a t i o n sw i t h i nd a y so fe a c ho t h e rm u s ti n d i c a t et h a tt h e i r e x c h a n g eo f i d e a sw a sh e l p f u l t h er e a s o nw h y p e o p l ea r es op a s s i o n a t ea b o u tg e n e r a lr e l a t i v i t yi sb e c a u s eo ft h e f o l l o w i n ge x p e r i m e n t s ：乱t h ep e r i h e l i o ns h i f to fm e r c u r y b ml i g h t sc u r v a t u r ei n t h eg r a v i t a t i o n a lf i e l d c t h es p e c t r al i n e s r e ds h i f t d d e l a yo fr a d a r se c h o a f t e r 2 重庆大学硕士学位论文c h a p t e r li n t r o d u c t i o n e i n s t e i na c c o m p l i s h e dh i ss p l e n d i dt h e o r yo fg e n e r a lr e l a t i v i t y , h ed i dn o ts t o p a s t h e r ew e r eo n l yt w ob a s i cf o r c e s ，i e ，e l e c t r o m a g n e t i cf o r c ea n dg r a v i t y , h et r i c dt o u n i f yt h et w of o r c e si n t oo n e ，h i si d e as h o wu sag o o dd i r e c t i o nt os t r i v e f r o mt h e no n , a st h es t r o n ga n dw e a ki n t e r a c t i o n sd i s e o v e r e d t h ef o u re l e m e n t a r yi n t e r a c t i o n sp u t t h i sd i r e c t i o nt oah 1 1 9 em i s s i o nt oa c c o m p l i s hf o ras i n g l em a n a st h ee l e c t r o m a g n e t i c a n dw e a ki n t e r a c t i o n s u n i f i c a t i o np r o p o s e db yw e i n b e r g - s a l a m ，p r o v e db yv e l t m a n a n dh i ss t u d e n th o o f l ，i ts t i m u l a t e ss c i e n t i s t st oa c h i e v et h es u p e rg r a n du n i f i c a t i o n 【6 】 c o s m o l o g yi st h es t u d yo ft h eo r i g i na n de v o l u t i o no ft h eu n i v e r s e t h ei n i t i a lp o i n t o fm o d e mc o s m o l o g ym a yb et a k e nt ob e1 9 0 5w i t ht h ea d v e n to fe i n s t e i n sr e l a t i v i t y t h e o r y , e x t e n d e dt og e n e r a lr e l a t i v i t yi n 1 9 1 5 t h ef i r s ts o l u t i o n st oe i n s t e i n s e q u a t i o nf o rah o m o g e n e o u sa n di s o t r o p i cb u tt i m ee v o l v i n gu n i v e r s ew e r ef o u n db y f r i e d m a ni n1 9 2 9a n di n1 9 3 5 1 9 3 6r o b e r t s o na n dw a l k e rs h o w e dt h a tf r i e d m a n s m e t r i cc o u l db ed e r i v e df r o mh o m o g e n e i t ya n di s o t r o p ya l o n e , i n d e p e n d e n t l yo f g e n e r a lr e l a t i v i t y f r i e d m a n se q u a t i o n ss h o wt h a tau n i v e r s ec o n t a i n i n gm a t t e ra n d r a d i a t i o ni se x p a n d i n g ( o rc o n t r a c t i n g ) 【1 】m o s to fo u rp r e s e n tu n d e r s t a n d i n go ft h e u n i v e r s ei sc o n c i s e l ya n db e a u t i f u l l ys u m m a r i z e di nt h eh o tb i gb a n ge o s m o l o g i i c a l m o d e l ，w h i c he s t a b l i s h e st h a tt h eu n i v e r s ei sh o m o g e n e o u s ，i s o t r o p i c ( t h u s ，i ti sa f r i e d m a n n r o b e r t s o n w a l k e ru n i v e r s e ) a n de x p a n d i n gf r o mas t a t eo fe x t r e m e l yh i g l l t e m p e r a t u r ea n dd e n s i t y 2 】t h u st h ee a r l yu n i v e r s ec a n b ed e s c r i b e da sa na d i a b a t i c a l l y e x p a n d i n gc l a s s i c a lg a so fr e l a t i v i s t i cp a r t i c l e s ，n a m e l yr a d i a t i o n , i nl o c a l t h e r m a l e q u i l i b r i u ma t at e m p e r a t u r et ，t h a tc h a n g e sw i t ht i m e ，r ( f ) t h el i f e t i m eo ft h e u n i v e r s eti sc o u n t e df r o mt h em o m e n tt h ee x p a n s i o ns t a r t e d ，t a k e nt ob e t = 0 t h i s m o d e li sb a s e do ng e n e r a lr e l a t i v i t y , t h ec o s m o l o g i c a lp r i n c i p l ea n dt h r e em a j o r e m p i r i c a lp i e c e so fe v i d e n c e ，n a m e l yt h eh u b b l ee x p a n s i o n ，t h ec o s m i cb l a c k b o d y m i c r o w a v eb a c k g r o u n dr a d i a t i o n ( c m b r la n dt h er e l a t i v ec o s m i ca b u n d a n c eo ft h e l i g h te l e m e n t s ( u pt o7 l i ) b e c a u s et h em o d e li sb a s e do ng e n e r a lr e l a t i v i t y , i ti sf o r s u r en o tv a l i di nt h er e a l mo fq u a n t u m g r a v i t y , t m p m = 1 2 2 x1 0 1 9 g e v a n d t o r ( t o ) 0 ， ( 2 1 7 ) r ( t 0 ) 0 i f t h ee a r l i e ru n i v e r s ea l s os a t i s f i e dt h ec o n d i t i o n ( 2 1 7 ) i nt h ew h o l ep e r i o d ，t h ee n e r g y d e n s i t yc a nb ec a l c u l a t e da s p ：型塑掣寸。 ( 2 1 8 ) 8 z c g r 2 ( f ) t h i si st h ew e l l - k n o w ns i n g u l a r i t ya tt h eb e g i n n i n go ft h eu n i v e r s e a st h e r ea l et o o m a n ya s s u m p t i o n s ，t h es o l u t i o n sf o ro u ru n i v e r s ew o u l db ev e r yp r o d u c t i v e i n d e e d t h e r ea r e ! d i f f e r e n te n e r g yd e n s i t yw o u l db ea c h i e v e