（系统分析与集成专业论文）两类风险模型的破产问题.pdf

2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 摘要 风险理论是经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论本文主 要研究了相关随机利率下双二项风险模型的破产概率和离散三项分布风险模型中 的贴现罚函数及其渐进解 第一章，介绍了风险和风险理论的内容，重点介绍破产理论中两种经典研究 方法和破产论的主要研究方向 第二章，探讨了带有相关随机利率的双二项风险模型，重点研究了这个模型 的破产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布问题，另外也分别给出了破产概率、破 产前瞬时盈余分布和破产赤字分布的积分表达式 第三章，沿用g e r b e r 和s h i u 对贴现罚函数的定义，对离散三项分布风险模 型中的贴现罚函数问题进行了研究通过对罚函数中有界函数埘和贴现因子 的 不同选择，得到了一些与破产有关的变量的性质主要得到了导致破产发生的最 后一次索赔额的分布和，( z ，可；牡) ( 即初始盈余为u ，破产前瞬间盈余为z ，破产时赤 字为y 这一事件的条件贴现概率) 的明确表达式，并用离散更新方程的极限定理 得到了，( z ，掣；乱) 这个表达式的渐近解 关键词：风险理论、破产概率、随机利率、贴现罚函数、渐近解 年上海大学硕士学位论文 i i a b s tr a c t r i s kt h e o r yi st h eg e n e r a lt h e o r yt h a to p e r a t o r so rd e c i d e r sq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s 、 q u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n dp r e d i c tr i s k 腑m a i n l ys t u d yt h er u i np r o b a b i l i t yu n d e rt h e d o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e lw i t hd e p e n d e n tr a n d o mi n t e r e s tr a t e sa n dt h ep r o b l e m so f d i s c o u n tp e n a l t yf u n c t i o na n di t sa s y m p t o t i cf o r m u l ai nd i s c r e t et r i n o m i a ld i s t r i b u t i o n r i s km o d e li nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tc h a r p t e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n t e n t so fr i s ka n dr i s kt h e o r y , a n dm a i n l y i n t r o d u c et w oc l a s s i c a lm e t h o d si ns t u d yr u i nt h e o r ya n ds o m er e p r e s e n t a t i v er e s e a c h i nt h es e c o n dc h a r p t e r ，w ee x p l o r et h ed o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e lw i t hd e p e n d e n t i n t e r e s tr a t e s ，i nw h i c ht h ep r e m i u mc o l l e c t i o np r o c e s si sac o m p o u n db i n o m i a lp r o c e s s a n dt h e nw es t u d yt h ep r o b l e m so fj o i n td i s t r i b u t i o no fs u p l u sb e f o r er u i na n dr u i nd e f i c i t i nt h i sm o d e l ，w h o s ei n t e g r a le x p r e s s i o n sa r ea l s oo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，w eg e tt h e i n t e g r a le x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t y i nt h et h i r dc h a r p t e r ，w es t u d yt h ep r o b l e m so fd i s c o u n tp e n a l t yf u n c t i o ni nd i s c r e t e t r i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e lu n d e rt h ed e f i n i t i o no fd i s c o u n tp e n a l t yf u n c t i o nw a s i n t r o d u c e db yg e r b e ra n ds h i u w i t hs u i t a b l ec h o i c e so fw ( ab o u n df u n c t i o n ) a n dv ( t h e d i s c o u n tf a c t o r ) ，m ( u ) y e i l dd i f f e r e n tq u a n t i t i e so fr u i nt h e o r y i nt h i sp a p e r ，w em a i n l y g e tt h ee x p l i c i te x p r e s s i no ff ( x ，可；缸) ( t h ec o n d i t i o n a ld i s c o u n tp r o b a b i l t y0 fr u i nf o ra n i n i t i a ls u r p l u su ，t h es u r p l u sj u s tb e f o r er u i ni sza n dt h ed e f i c i ta tr u i ni sy ) a n dt h e d i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h ea m o u n to fc l a i mc a u s i n gr u i n l a s t l y , w ea l s oo b t a i nt h ea s - y m p t o t i cf o r m u l ao f ( x ，y ；t 正) b ym e a n so ft h el i m i tt h e o r yo fd i s c r e t er e n e w a lf u n c t i o n k e y w o r d s ：r i s kt h e o r y , r u i np r o b a b i l i t y , i n t e r e s tr a t e s ，d i s c o u n tp e n a l t yf u n c - t i o n ，a s y m p t o t i cs o l u t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名。e l 期： 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名；对叭。 ， l v 日期t 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 风险和风险理论 人类社会生活中经常要面对疾病、死亡、意外事故和自然灾害等方面的风险 然而到底什么是“风险”呢? “风险”一词的由来，最为普遍的一种说法是，在远 古时期，以打鱼捕捞为生的渔民们，每次出海前都要祈祷，祈求神灵保佑自已能 够平安归来，其中主要的祈祷内容就是让神灵保佑自己在出海时能够风平浪静、 满载而归他们在长期的捕捞实践中，深深的体会到“风”给他们带来的无法预测 无法确定的危险，认识到在出海捕捞打鱼的生活中“风”即意味着“险”，因此有 了“风险”一词 而另一种据说经过多位学者论证的。风险”一词的。源出说”称，风险( r i s k ) 一词是舶来品，有人认为来自阿拉伯语、有人认为来源于西班牙语或拉丁语，但 比较权威的说法是来源于意大利语的“r i s q u e ”一词在早期的运用中，也是被 理解为客观的危险，体现为自然现象或者航海遇到礁石、风暴等事件大约到了 1 9 世纪，在英文的使用中，风险一词常常用法文拼写，主要是用于与保险有关的 事情上 现代意义上的风险一词，已经大大超越了“遇到危险”的狭义含义，而是“遇 到破坏或损失的机会或危险”经过两百多年的演义，风险一词越来越被概念化， 并随着人类活动的复杂性和深刻性而逐步深化，并被赋予了从哲学、经济学、社会 学、统计学甚至文化艺术领域的更广泛更深层次的含义，且与人类的决策和行为 后果联系越来越紧密，风险一词也成为人们生活中出现频率很高的词汇无论如 何考证风险一词的由来，但其基本的核心含义是“未来结果的不确定性或损失”， 也有人进一步定义为“个人和群体在未来遇到伤害的可能性以及对这种可能性的 判断与认知”如果采取适当的措施使破坏或损失的概率不会出现，或者说智慧的 认知，理性的判断，继而采取及时而有效的防范措施，那么风险可能带来机会， 由此进一步延伸的意义，不仅仅是规避了风险，可能还会带来比例不等的收益， 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 2 有时风险越大，回报越高、机会越大因此，如何判断风险、选择风险、规避风险 继而运用风险，在风险中寻求机会创造收益，意义更加深远而重大 目前，学术界对风险的内涵还没有统一的定义，由于对风险的理解和认识程 度不同，或对风险的研究的角度不同，不同的学者对风险概念有着不同的解释， 但可以归纳为以下几种代表性观点 一、风险是事件未来可能结果发生的不确定性这种不确定的结果可能是 有利的好结果，也可能是不利的坏结果a h m o w b r a y 称风险为不确定性； c a w i l l i a m s 将风险定义为在给定的条件和某一特定的时期，未来结果的变动； m a r c h 和s h a p i r a 认为风险是事物可能结果的不确定性，可由收益分布的方差测 度；b r n m i l e y 认为风险是公司收人流的不确定性；m a r k o w i t z 和s h a r p 等将证券 投资的风险定义为该证券资产的各种可能收益率的变动程度，并用收益率的方差 来度量证券投资的风险，通过量化风险的概念改变了投资大众对风险的认识由 于方差计算的方便性，风险的这种定义在实际中得到了广泛的应用 二、风险是损失发生的不确定性这种不确定性又可分为客观的不确定性 和主观的不确定性并用这种观点又分为主观学说和客观学说两类主观学说认 为不确定性是主观的、个人的和心理上的一种观念，是个人对客观事物的主观估 计，它同个人的知识、经验、精神和心理状态等有关，不能以客观的尺度予以衡 量，不确定性的范围包括发生与否的不确定性、发生时间的不确定性、发生状况 的不确定性以及发生结果严重程度的不确定性客观学说则是以风险客观存在为 前提，以风险事故观察为基础，它可以用数学和统计学观点加以定义，认为风险 可用客观的尺度来度量例如，佩费尔将风险定义为风险是可测度的客观概率的 大艰h 奈特认为风险是可测定的不确定性 三、风险是指可能发生损失的损害程度的大小学者段开龄认为，风险可 以引申定义为预期损失的不利偏差，这里的所谓不利是指对保险公司或被保险企 业而言的例如，若实际损失率大于预期损失率，则此正偏差对保险公司而言即 为不利偏差，也就是保险公司所面临的风险m a r k o w i t z 在别人质疑的墓础上，排 除可能收益率高于期望收益率的情况，提出了下方风险( d o w n s i d e r i s k ) 的概念， 即实现的收益率低于期望收益率的风险，并用半方差( s e r n i v a v i a n c e ) 来计量下方风 险 四、风险是指损失的大小和发生的可能性风险是指在一定条件下和一定 时期内，由于各种结果发生的不确定性而导致行为主体遭受损失的大小以及这种 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 3 损失发生可能性的大小，风险是一个二位概念，风险以损失发生的大小与损失发 生的概率两个指标进行衡量 五、风险是由风险构成要素相互作用的结果风险因素、风险事件和风险 结果是风险的基本构成要素，风险因素是风险形成的必要条件，是风险产生和存 在的前提风险事件是外界环境变量发生预料未及的变动从而导致风险结果的事 件，它是风险存在的充分条件，在整个风险中占据核心地位风险事件是连接风 险因素与风险结果的桥梁是风险由可能性转化为现实性的媒介 六、利用对波动的标准统计测度方法定义风险1 9 9 3 年发表的3 0 国集团 的衍生证券的实践与原则报告中，对已知的头寸或组合的市场风险定义为：经 过某一时间间隔，具有一定工信区间的最大可能损失，并将这种方法命名为v a l u e a tr i s k ，简称v a r 法并竭力推荐各国银行使用这种方法；1 9 9 6 年国际清算银行 在巴塞尔协议修正案中也已允许各国银行使用自己内部的风险估值模型去设 立对付市场风险的资本金；1 9 9 7 年p j o r i o n 在研究金融风险时，利用“在正常的 市场环境下，给定一定的时间区间和置信度水平，预期最大损失( 或最坏情况下 的损失) ”的测度方法来定义和度量金融风险，也将这种方法简称为v a r 法 七、利用不确定性的随机性特征来定义风险风险的不确定性包括棋糊性 与随机性两类模糊性的不确定性，主要取决于风险本身所固有的模糊属性，要 采用模糊数学的方法来刻画与研究；而随机性的不确定性，主要是由于风险外部 的多因性( 即各种随机因素的影响) 造成的必然反映，要采用概率论与数理统计 的方法来刻画与研究根据不确定性的随机性特征，为了衡量某一风险单位的相 对风险程度，有学者等提出了风险度的概念，即在特定的客观条件下、特定的时 间内，实际损失与预测损失之间的均方误差与预测损失的数学期望之比它表示 风险损失的相对变异程度( 即不可预测程度) 的一个无量纲( 或以百分比表示) 的量 风险理论 1 - - 3 ，4 6 是经营者或决策者对风险进行定量、定性分析和预测的一般 理论风险理论广泛应用于投资和保险等行业风险理论的发展已经历了很长的 一段时间，它伴随着人们对生命的预测对工农业生产的预测发展起来的风险理 论的主要内容有t 破产理论和效用理论及其应用；损失分布理论及损失分布的修 正理论总体风险模型( 也称为集合风险模型) 理论；信度理论和保费计算原理等 保险产品的定价、责任准备金的计提、再保险的安排、偿付能力管理、保险公 司财务分析及破产预警等都是保险精算师的主要工作，而由前所述，保险标的的 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 4 损失分布理论、保险公司的总体风险模型、破产理论和效用理论等都是进行保险 产品的合理定价、责任准备金的正确计提、再保险的适当安排、偿付能力的有效 管理和保险公司破产的准确预警等工作的理论基础因此，风险理论是保险精算 学的重要组成部分，它既涉及寿险精算，也涉及非寿险精算，它是保险精算人员 对保险业务进行风险管理的重要理论工具，也是保险公司发展业务、进行有效稳 健运营的理论保证 e d m u n dh a l l e y 和d a n i a lb e r n o u l l i 对风险理论的发展做出了重大的贡献1 6 9 3 年，e d m u n dh a l l e y 构造了世界上第一张生命表d a n i e lb e r n o u l l i 提出了以极大 效用原理作为决策法则的思想2 0 世纪9 0 年代中国人民保险( 集团) 公司组织 了大量的专家，成功地编制出中国人寿保险业经验生命表，并于1 9 9 7 年4 月 1 日起正式运用于人寿保险业务的经营核算中g e r b e r 运用现代数学理论系统的 研究了人寿保险数学，其著作l i f ei n s u r a n c em a t h e m a t i c s 是现代精算学的经典 之作目前人寿保险数学仍然是风险理论的一大研究热点 1 9 0 0 年法国学者路易斯巴谢里耶( l o u i sb a c h e l i e r ) 发表了他的博士论文投 机理论( t h e o r i ed el as p e c u l a t i o n ) ，宣告了现代风险理论的诞生，也宣告了现代金 融数学的诞生在此论文中，他第一次给予了布朗运动以严格的数学描述，这要 比爱因斯坦1 9 0 5 研究布朗运动早五年可惜的是他的研究工作在五十年后才引起 高度重视在2 0 世纪初，h a r a l dc r a m e r 和f i l i pl u n d b e r g 建立了风险理论研究与 一般随机过程研究之间的关系，把风险理论的研究工作提高到了一个新的高度 随着概率论、随机过程、经济学的发展，风险理论日新月异特别是鞅论和随机分 析的发展极大刺激了风险理论的发展 h a n sb i i h l m a n n1 9 8 7 年在国际精算协会( i n t e r e n t i o n a la c t u a r i a la s s o c i a t i o n ) 非 寿险专业刊物a s t i nb u l l e t i n 第1 7 卷第2 期上发表了一篇社论【4 】在这篇社论 中，他以精算学的历史发展为线索，区分了三类精算师t 第一类精算师一( 确定性的) 人寿精算师； 第二类精算师一将概率思维引入到非寿险：。很陕就认识到需要利用精算技巧来 计算准备金，以保证提供这些保险业务的机构具有坚实的金融管理” 第三类精算师一“一群在保险和银行业的投资中施展他们技巧的新颖的数 学家，”运用了随机利率模型，从而弃置了经典的复利计算 数年之后，e m b r e c h t s 5 1 在强调了b i i h l m a n n 的结论t“第二类精算师的概率 背景必须实质性地扩充，以适应第三类精算师的职业需求”后指出，“第二类精算 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 5 师可以将他们大多数的计算基于大数律( 即风险的独立性) ，而对第三类精算师来 说，为了平衡相依的投资风险，精算师必须创造诸如期货、期权或更一般的衍生 证券等人为的工具”他还指出。毫无疑问，可以将经典的l u n d b e r g - c r a m 爸r 的 结果视为第二类风险论的基本定理，但第三类风险论势必涉及更多的鞅论、随机 积分和随机微分方程的知识” 1 2 破产理论 风险理论的一个非常重要的内容是破产论，破产论的研究溯源于瑞典精算师 f i l i pl u n d b e r g 不过l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准而它的严格化 是以h a r a l dc r a m 色r 为首的瑞典学派完成的与此同时，c r a m 色r 也发展了严格的 随机过程理论现已公认，l u n d b e r g 和c r a r n 爸r 是经典风险理论的奠基人 1 经典风险模型 i - 3 1 设保险公司的初始资本是u ，c 是保险公司单位时间征收的保险费，则在时刻 t 的盈余由下式给出 n ( o u ( t ) = 缸+ c t 一 k = 1 f n s ( t ) = 。甄为索赔总额过程 经典风险模型基于以下几条基本假设： ( 1 ) 索赔额 x k ：k 是具有非格点分布f 的独立同分布的非负随机变 量，期望p = e x l 有限且方差0 2 = v a r ( x 1 ) ( 2 ) 索赔发生的随机时刻满足。 0 噩 t 2 0 ，称为相对安全负载 由前面的条件知道 d s ( t ) ：t o ) 为齐次独立增量过程，这样由强大数定 律知道 lim u ( t ) = + o o ，a s t - - + o o 但这并不排除在某一瞬时，盈余有可能取负值，这时称保险公司“破产”以 下恒记t 为公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令 t = i n f t ：u ( t ) o ) ，i n f o = 0 0 称皿( u ) = p ( t l u ( o ) = 仳) 为破产概率 假定2 ( 调节系数存在唯一性假定) 首先，要求个体索赔额墨的矩母函数： m x 。p ) = e e r x l 】= e r x l d f ( z ) = 1 + e r x l 【1 - f ( z ) 】如 至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求下述方程 m x 。( r ) = 1 + 姜r 具有正解 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 7 在上述两个假定的前提下，我们有 定理1 2 1 1 1 3 】若假定1 、2 成立，则对经典风险模型有 ( 1 ) 皿( 。) = 而1 ； ( 2 ) l u n d b e r g 不等式 皿( t 正) e - - 舭，vu 0 ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m 爸r 近似s 存在正的常数c ，使得 皿( u ) 一c e m ，牡_ o o ， 即 概器_ 1 注初始盈余为0 时，破产概率皿( o ) 的确切解仅依赖于相对安全负载j d ，而和个体 索赔额分布的具体形式无关此外，( 2 ) 与( 3 ) 解释了：若初始盈余很大，保险公 司在经营“小索赔”情形的保险业务时，破产是不易发生的 2 破产论研究中两种经典方法 c r a m 爸r 所采用的证明方法虽然在数学上是严格的，但分析方法比较繁冗 f e l l e r 的更新论证 6 1 和g e r b e r i t 的鞅方法给予定理1 2 1 以简洁的证明 更新论证技巧属于w i l l i a mf e l l e r 【6 】首先介绍关于更新理论的必要的数学知 识，详见【8 】第三章 定义1 2 2 设m ，蚝，为非负、独立同分布随机变量序列，记 t k = m4 - 蚝4 - + k ， n ( t ) = s u p k ：t k t ) ，s u p 咖= 0 以下称 k ：k 1 ) 为更新间隔序列，称 批：l 为更新过程，称 m ( t ) = 研( 亡) 】，v t 0 为更新函数 记g ( z ) = p ( y 1 ) ，v t 0 ，瓯( z ) ，( 孔1 ) ，为分布函数g ( z ) 的n 重卷积，即 g n ( z ) = g 木g 木木g ( z ) 、_ - _ - l - - l ，_ _ l - i _ _ 一， 厘 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文8 命题1 2 3 1 8 m ( o = 瓯( t ) o o ，v t 0 特别地，当c ( x ) = 1 一e - - h 0 ，使得 p ( y = n d ) = 1 引理1 2 5 ( 关键更新定理【8 】)设更新间隔k ，七21 ，服从非格点分布，且 e 陬1 o o 如函数n ( t ) 在【0 ，o o ) 上黎曼可积，则有 舰n 事呻) = 志0 。a ( t ) 出 l u n d b e r g o c r a m e r 近似的更新论证f 3 ，6 j ： 以下恒记 a ( u ) = 1 一矽( 缸) = p ( u ( t ) 0 ，t 0lu ( o ) = “) ， 它表示初始盈余为仳时，保险公司永不破产的概率，也称为生存概率 首先，根据首次索赔发生的时刻乃和首次索赔额蜀的大小，对生存概率运 用全概率公式，可得 r ( u ) = z o 。a e - a t z u + e tr ( u 午d z ) d f ( z ) ) d t 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 9 令z = t 工+ c t ，代人上瓦丑 j r 倚 徘) = 口f e 专 z z m 叫州拼如 这表明r ( u ) 是可微的在上式两端对变量u 求导，可得 刷( u ) = 会脚) 一害z u 脚一z ) d f ( 名) ( 1 2 2 ) 在( 1 2 2 ) 式两端自0 到t 积分，可得 r ( t ) 一r ( 。) = 害r 冗( u ) 如+ 害z j 乞0 i r ( u z ) d ( 1 - f ( 纠如 ( 1 2 3 ) 采用分部积分知 z ur ( u z ) d ( 1 一f ( z ) ) = r ( o ) 【1 一f ( u ) 】一r ( 札) + z 尼( 乱一名) 【l f ( z ) 】如 将上式代入( 1 2 3 ) 式即得 r ( t ) 一r ( 。) = 害r ( 。) z 。【1 一f ( 让) 1 砒+ 害z 。z ur ， 一2 ) 1 - f ( z ) 】如托( 1 2 4 ) 若在上式中交换积分次序，可得 z 。z u 脚叫【l - f ( 训批= 0 2 【冗( h ) 叫o ) 】【1 - f ( 列出 再将上式代入( 1 2 4 ) 式，便得 r 。) = r ( o ) + 害z 。r ( t z ) 【1 一f ( 名) 】d z ( 1 2 5 ) 由于舰r ( u ) = 1 ，在上式两端令t 一，即得 l = r ( o ) + 害z o o 【1 一f ( z ) 】d z = 冗( o ) + 害p 于是有 砂( o ) = l r ( o ) = 害p = 而1 ， 再将上式代入( 1 2 5 ) 式，可得 冗( d = 1 - 害z 1 一f ( z ) 】d z 一害z 。【l 一冗( t z ) 】【1 - f ( z ) 】d z ， 从而得 妒( = 害z 【l f ( 名) 】如+ 垒cz 妒( t z ) 【1 一f ( z ) 】d z ( 1 2 6 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 0 由于 害肿叫训址每南 1 ， 即知方程( 1 2 6 ) 为瑕疵更新方程为此在( 1 2 6 ) 两端同乘以e v a ( r 为调节系数) ， 并令 a ( t ) = e 尉妒( 班n ( t ) = 害e 威z 【1 一f ( 列出，f ( z ) = 害e 觑【1 一f ( z ) 】， 即得 a ( t ) = a ( t ) + a ( t z ) f ( z ) d z ( 1 2 7 ) j 0 从而方程( 1 2 7 ) 为适定更新方程，显然函数n ( t ) 单调递减，且可算得 f a q 、1 e ( t ) d t c 么n2 画南2 1 ， 故口( t ) 在【0 ，o o 】上黎曼直接可积这样，由关键更新定理可知 恕帅) 。舰邱) 。而毙面2 a 这表明 舰器- - - - 1 从而l u n d b e r g - c r a m e r 近似式得证 下面我们将给出l u n d b e r g 不等式的鞅方法证明，它是属于h a n sg e r b e r 7 的 首先介绍一些鞅的概念和知识，详见 9 1 定义1 2 6 称随机过程 x ( t ) ：t o ) 为一鞅，若有 ( 1 ) e l ix ( t ) i 】 0 ，恒有 吲x ( t ) 】= e e x ( t ) | x ( o ) 】= e 【x ( o ) 】 定义1 2 7 称非负随机变量r 是关于随机过程 x c t ) ) 的随机时间，若对一切 t 0 ， r t ) 盯 x ( s ) ：s t ) ， 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 l 其中仃 x ( s ) ：s t ) 表示包含一切形如 x ( s ) ：s z ) ( s ，z r 1 ) 的事件的最小 口一代数特别的，称随机时间t 是关于随机过程 x ( s ) ) 的停时，若 p ( r o o ) = 1 不难验证，若丁是关于随机过程 x ( t ) ：t o ) 的随机时间，则对任意固定的时 刻t ， 丁at = m i n r ，) 是关于随机过程的有界停时 引理1 2 8 可选抽样定理假设r 是关于鞅 x ( t ) ：t o ) 的有界停时，则有 e 【x ( 丁) 】= e 【x ( o ) 】 引理1 2 9 鞅收敛定理设 x ( ) ：t o ) 是一非负鞅，则存在几乎处处收敛的 有限极限，即有 1 i mx ( t ) = x ( o 。) t ) ( 1 2 8 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 2 注意到，当t t 时，u ( t ) 0 ，从而 x ( t ) = e - r u ( 。) 1 ， 这样，在( 1 2 8 ) 式两端令t _ o o ，由单调收敛定理和l e b e s g u e 控制收敛定理，即得 e - 胁= e x ( t ) it o o p ( t o o ) + e x ( o o ) lt = o o l p ( t = o o ) 再因 t n ，m 。u ( t ) = + d s ， 故知x ( 0 0 ) = 0 口s ，从而有 e - r u = e x ( t ) it o o p ( t o 。) ， 由此即知 妒( “) 。砾孤嘉丽。 再注意到u ( t ) 1 ，由上式得 妒( u ) e - 肌， 从而l u n d b e r g 不等式得证 f e l l e r 和g e r b e r 引入的更新论证技巧和鞅证明技巧已成为研究经典破产论的 主要数学工具近期大量研究的模型虽较经典的破产模型有不同程度的推广，但 所使用的方法却基本上不外乎这两种 3 当代风险理论的研究状况 随着社会文明的不断进步，人们的物质生活也越来越丰富，风险也趋于多样 化、复杂化这样，破产理论的研究变得越来越重要 当代破产论的研究主要主要集中在以下几个方面t ( 1 ) 索赔到达计数过程的推广 1 0 - 1 2 ：如c o x 风险模型即将经典风险模型中的 点过程【n ( t ) ：t 0 ) 推广为c o x 过程，也即。( t ) = ( a ( t ) ) ：t o ， ( t ) ：t o ) 的强度不再是常量a 这样的推广有良好的实际背景和意义。在实际经营中由于经 济形势、生活环境、天气及其它因素的影响，例如在机动车辆保险中，车辆事故受 突发的恶劣天气因素的影响，所以索赔次数的强度是随机改变的，因而用强度恒 定不变的齐次p o i s s o n 过程描述索赔次数存在很大的局限性，用c o x 模型研究索赔 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 3 次数及考虑相对于保费的影响，更符合实际经营的情况，其结果也更有实际的指 导意义 ( 2 ) 完全离散的经典风险模型 1 3 - 1 9 ：考虑到实际中，保险公司对于一些重要 的业务是按某个时间段来收取保费和支付索赔的这样，离散模型的重要性就显 现出来了在完全离散的经典风险模型中，盈余过程由下式给出： ( n ) u c n ) = t i + n 一墨，竹0 ， = 1 其中，初始盈余u 为非负整数，保险公司每一单位时间区间的始端收取1 个货币单 位的保险费个体索赔额是仅取正整数值的随机变量，假定 ：n 1 是相 互独立同分布的随机变量序列 ( 几) ：礼o ) 表示至时刻1 1 为止所发生的索赔 次数，是以p 为参数的二项序列，且与 ：n 1 ) 相互独立 s h i u 、g e r b e r 、 成世学等对完全离散的经典风险模型的破产概率及其相关的风险量展开了研究 ( 3 ) 具有复合资产的破产论【2 0 ，2 1 l ：经典破产论的研究不计利率；保费收入一成 不变即既不随时间的变化而变化也不随瞬时盈余的多寡而有所调整；同时也不涉 及投资收益近来，一些学者，如p a u l s e nj 2 0 l ，d i e h s o n 和w a t e r s 2 1 1 等研究了具有 投资收益的破产论这方面的研究工作需要随机分析等方面的知识，难度较大， 且不易得到经典破产论中那样漂亮的结果例如将经典风险模型推广为带随机干 扰和随机利率的风险模型，即 r tr tt 纱( 。) = t l + 上弛) d s + 以夕( s ) d w ( s ) 一j o 九( 5 ) 扰( s ) ， 其中，g ，h 均是满足一定条件的随机过程，w = ( t ) ：t o ) 是布朗运动第 一积分项表示带有随机利率的保费收入；第二积分项表示随机干扰产生的收入或 赔偿；最后一项是索赔 ( 4 ) 关于其它一些风险量的研究 1 7 , 2 2 - - 2 4 ：记 又：au ( t 一) y = g - - l u ( t ) l = - u ( t ) 2 全戈+ p + 1 其中，贾表示保险公司破产前一时刻的盈余，矿表示破产时刻的赤字，2 表示 导致保险公司破产发生的索赔量g e r b e r 、成世学、吴荣等【1 7 , 2 2 - 2 4 1 研究了与上 述随机变量相关的风险量的概率分布等问题 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 4 ( 5 ) 多险种风险模型：经典风险模型有一个缺陷就是只考虑一类同质风险，也 就是说模型只考虑经营一种险种时的生存概率但随着保险公司经营规模的日益 扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，这些单一险种的风险模型对于研究整 个公司的生存概率就无能为力了文献【1 2 ，2 5 ，2 6 】建立了多险种风险模型，并在调 节系数存在的条件下研究了该模型的破产概率等问题 ( 6 ) 破产概率的算法研究：破产概率霍( 札) 的一些精确分析表达式、近似估计、上 下界等大都是从理论上对保险公司的破产概率以及相关的一些风险量进行研究 这对保险公司来说，在资产预算、风险评估等精算实务的实际操作中比较困难 不少学者 2 0 ，2 7 - 2 9 】研究了经典风险模型以及一些推广了的风险模型的破产概率计 算的算法实现这样为保险公司的实际操作提供的较为有意义的参考 ( 7 ) 大索赔的破产论：经典破产论研究的是关于“小索赔”情形的破产论，一 个很强的约束条件就是要求调节系数r 存在大量的历史数据表明，在金融保险 业中，小概率事件( e x t r e m a le v e n t s ) ，就是那些发生概率小却能对金融和保险业产 生巨大影响甚至毁灭性打击的事件一旦发生，产生的后果可能会超过单个保险公 司的承保能力或给它的金融资本带来严重的冲击例如在保险业中，统计数字表 明。占索赔总数2 0 的那些索赔的索赔金额之和超过了整个索赔金额的8 0 ! ” 。占索赔总数2 0 的那些索赔”即是所谓的大索赔，由此我们可以看出大索赔条 件下的破产概率的估计显得十分重要这种，大索赔”情形的破产论调节系数不 存在，更新技巧和鞅方法都无法奏效 e m b r e c h t sp ，k l i i p p e l b e r yc ，m i k o s c ht 等 m 2 】运用重尾分布类的理论及其它一些相关理论对大索赔情形的破产论展开了 系统的研究王汉兴等【1 0 1 推广了更新技巧，运用更新不等式对此情况下的破产概 率的收敛速度做了估计，并通过例子说明这种方法是适合大额索赔的 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 5 第二章相关随机利率下双二项风险模型的破产问题 在经典的复合二项风险模型中，保险公司按照单位时间常数速率取得保单( 假 定每张报单的保险费相等) 但在实际中，不同单位时间所收取的保单数常常不一 样，是一个随机变量，可能服从某一离散分布根据这一实际情况，文献【3 3 】将经 典的复合二项风险模型进行推广，将保单收入过程推广为一个与索赔过程独立的 二项过程这样，盈余过程包含两个二项过程本章研究文献【3 3 】提出的双二项 风险模型，在此基础上研究相关随机利率下双二项风险模型的破产问题 2 1 双二项风险模型 文献 3 3 】将经典的复合二项风险模型进行推广，将保单收入过程推广为一个 与索赔过程