（基础数学专业论文）几类无限维李代数的表示.pdf

摘要 阶化平移t o r o i d a l 李代数l ( t 8 1 ，z s n ) 是t o r o i d a l 李代数的推广，它们以2 维环面a = c q 1 ，z 軎1 为坐标代数a 上导子李代数d e r a 可看作是李代数 l ( t 钔，t s n ) 上导子李代数的子代数考虑l ( s l ，s n ) 与d e r a 的半直积c 在 第一章，我们利用自由b o s o n ( 或f e r m i o n ) 场构造了李代数c 上一个带参数入的忠 实表示( m ，枞) ；我们还证明( m ，枞) 是李代数c 关于反对合u 的酉表示当且仅当 a = 1 2 维环面a 上导子的李代数d e r a 是w i t t 代数的自然推广s h e n - l a r s s o n 函 子f 0 是酉模到d e r a 模的函子r a o 研究了有限维不可约g l y 模在f q 下的像模 结构，找出了像模的所有不可约子模和商模他证明了有限维不可约g l 一模在函子 f q 下的像模是不可约a d e r a 模，且任何权空间维数有限的不可约a d e r a 模 都是幽的某有限维不可约模在某函子f a 下的像姜翠波和r a o 证明了m u l t i l o o p 代数作用不为0 时，全t o r o i d a l 李代数上不可约可积模可由权空间维数有限的不可 约a d e r a 模给出 由于g l 的有限维模不一定完全可约，在第二章，我们研究有限维不可分解g l 一 模在s h e n - l a r s s o n 函子p 。下所对应d e r a 模的结构利用r a o 结果，我们找出 了对应d e r a 模的所有子模，进而证明了s h e n - l a r s s o n 函子f o 保持模的不可分解 性我们的结果推广了r a o 的结果 w h i t t a k e r 模最早是a r n a l 和p i n z c o n 在研究s 1 2 ( c ) 的表示时发现的由于 这类模与w h i t t a k e r 函数和w h i t t a k e r 方程有密切联系，k o s t a n t 将它们命名为 w h i t t a k e r 模k o s t a n t 证明有限维复半单李代数9 上w h i t t a k e r 模和9 的泛包络 代数中心的理想存在一一对应特别地，单w h i t t a k e r 模与泛包络代数中心的极大理 想一一对应b l o c k 证明单s 1 2 ( c ) 模只有三类，它们是：高权( 低权) 模，w h i t t a k e r 模和由l o c a l i z a t i o n 得到的模这说明了w h i t t a k e r 模在李代数表示论中的重要地 位 第三章，我们研究二维环面a = c q 1 ，亡妻1 】上导子李代数d = d e r a 的、h i t - t a k e r 模通过d 的个三角分解d = d + 口oo 口一，对给定一个非奇异李代数同 态矽：d + _ c ，我们定义了d 的矽一型泛w h i t t a k e r 模w 易我们刻画了妒型泛 w h i t t a k e r 模v 的w h i t t a k e r 向量和子模，进而找出d 的所有妒一型单w h i t t a k e r 模 关键词：t o r o i d a l 李代数，b o s o n i c 表示，f e r m i o n i c 表示，不可分解模，w h i t t a k e r a b s t r a c t v g r a d a t i o ns h i f t i n gt o r o i d a ll i ea l g e b r al ( t 勖，t 鼽) i sag e n e r a l i z a t i o no f t o r o i d a ll i ea l g e b r ac o o r d i n a t e db y 一t o r u sa = c q 1 ，z 砉1 】d e r i v a t i o nl i e a l g e b r ad e r ao fac a nb er e g a r d e da sas u b a l g e b r ao fd e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao f l ( t 引，) l e tc b es e m i - d i r e c tp r o d u c to fl ( s l ，) b yd e r a i nc h a p t e r 1 ，b ya p p l y i n gf r e eb o s o n i c ( o rf e r m i o n i c ) f i e l d s ，w ec o n s t r u c taf a i t h f u lr e p r e s e n t a - t i o n ( m ，矽a ) f o rc w i t hp a r a m e t e r 入，a n dp r o v et h a tt h er e p r e s e n t a t i o n ( m ，妒a ) i s u n i t a r yi fa n do n l yi f a = t h ed e r i v a t i o nl i ea l g e b r ad e r ao f 一t o r u sai san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no f w i t ta l g e b r a s h e n - l a r s s o nf u n c t o rf ai saf u n c t o rm a p p i n g 幽一m o d u l e st od e r a m o d u l e s r a os t u d i e di m a g em o d u l e so ff i n i t e - d i m e n s i o n a li r r e d u c i b l eg h m o d u l e s u n d e rf a ，a n df o u n do u tt h e i ri r r e d u c i b l es u b m o d u l e sa n di r r e d u c i b l eq u o t i e n t s h ea l s op r o v e dt h a tt h e s ed e r a m o d u l e sa r ei r r e d u c i b l ea sa d e r a m o d u l e sa n d a n yi r r e d u c i b l ea d e r a m o d u l ew h i c hh a sf i n i t ed i m e n s i o n a lw e i g h ts p a c e sh a st o c o m ef r o ms h e n - l a r s s o n sc o n s t r u c t i o n s i n c ef i n i t e - d i m e n s i o n a lm o d u l e so fg l l ，a r en o ta l w a y sc o m p l e t e l yr e d u c i b l e ，i n c a p t e r2 ，w es t u d yd e r a - m o d u l e sa r i s i n gf r o mi n d e c o m p o s a b l ef i n i t e - d i m e n s i o n a l g l d m o d u l e st h r o u g hs h e n - l a r s s o nf u n c t o rf q u s i n gr a o sr e s u l t s ，w ep r o v et h a t t h ef u n c t o rf am a i n t a i n sm o d u l e si n d e c o m p o s a b i l i t yb ye x h i b i t i n gs u b m o d u l e so f t h o s ed e r a m o d u l e s o u rr e s u l t sg e n e r a l i z et h o s eo b t a i n e db yr a o t h en o t i o no fw h i t t a k e rm o d u l e si sf i r s ti n t r o d u c e db ya r n a la n dp i n c z o n i nt h ec o n s t r u c t i o no faf a m i l yo fr e p r e s e n t a t i o n sf o rs 1 2 ( c ) s i n c et h i sc l a s so f m o d u l e st i e su pw i t hw h i t t a k e rf u n c t i o n sa n dw h i t t a k e re q u a t i o n ，k o s t a n tc a l l e d t h e mw h i t t a k e rm o d u l e s k o s t a n tp r o v e dt h a tf o rag i v e nc o m p l e xs e m i s i m p l el i e a l g e b r a9t h e r ei sab i j e c t i o nb e t w e e ni t sw h i t t a k e rm o d u l e sa n dt h ei d e a l si nt h e c e n t e ro ft h eu n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r au ( 乡) b l o c kp r o v e dt h a ta n yi r r e d u c i b l e s 1 2 ( c ) 一m o d u l eb e l o n g st ot h ef o l l o w i n gt h r e ef a m i l i e so fm o d u l e s ：h i g h e s t ( o rl o w e s t ) w e i g h tm o d u l e s ，w h i t t a k e rm o d u l e s ，a n dm o d u l e so b t a i n e db yl o c a l i z a t i o n i nc h a p t e r3 w es t u d yw h i t t a k e rm o d u l e sf o rd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a 口= d e r a o v e rt o r u sa = c p 1 ，亡妻1 】w i t hau s u a lt r i a n g l ed e c o m p o s i t i o n 口= d + o 口o o 口一， w ed e f i n ean o n - s i n g u l a rl i ea l g e b r ah o m o m o r p h i s m 砂：d + _ ca n dau n i v e r s a l w h i t t a k e rd - m o d u l e 眠o ft y p e 妒w ed e s c r i b ew h i t t a k e rv e c t o r sa n ds u b m o d u l e s o f 吼，a n dt h a nd e s c r i b ea l ls i m p l ew h i t t a k e rm o d u l e so ft y p e 妒 k e y w o r d s ：t o r o i d a ll i ea l g e b r a ，b o s o n i cr e p r e s e n t a t i o n ，f e r m i o n i cr e p r e s e n t a - t i o n ，i n d e c o m p o s a b l em o d u l e ，w h i t t a k e rm o d u l e 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研 究成果，均在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦 门大学研究生学术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成 果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的资助，在 () 实验室完成。( 请在以上括号内填写课题或 课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作 特别声明。) 声明人( 签名) ： 年月 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实 施办法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指 定机构送交学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进 入厦门大学图书馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大 学将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进 行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印 或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打” ”或填上相应内容。保密学位 论文应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦 门大学保密委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明 栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ： 年月 日 引言 引言 1 众所周知，c a r t a n 矩阵和有限根系在复半单李代数的结构理论中扮演着重要 角色不可分解的c a f t a n 矩阵，不可约有限根系，有限维复单李代数，这三者之 间存在一一对应k a c 和m o o d y 将c a r t a n 矩阵推广到广义c a r t a n 矩阵，按照 复单李代数的构造方法，构造了一类李代数( 见 2 9 ，4 6 】) 这类李代数后来被称为 k a c - m o o d y 代数不可分解的广义c a r t a n 矩阵分为三种类型，即；有限型，仿射 型和不定型有限型广义c a r t a n 矩阵就是c a r t a n 矩阵仿射型广义c a f t a n 矩阵 ( 简称仿射c a r t a n 矩阵) 与c a f t a n 矩阵的区别在于是它是退化的，且余秩等于1 仿 射c a r t a n 矩阵所对应的李代数称为仿射k a c - m o o d y 代数仿射k a c - m o o d y 代数 在数学和物理学界都备受关注从纯数学的角度看，仿射k a c m o o d y 代数受到关注 的主要原因是它的表示的特征标公式蕴含着一些组合等式，如m a c d o n a l d 等式( 见 3 0 】) 仿射k a c - m o o d y 代数在物理学的旋论和共形场论中起着重要的作用，旋论和 共形场论也有助于理解仿射k a c - m o o d y 代数的某些性质，例如仿射k a c - m o o d y 代 数的可积高权表示的特征可由模形式给出( 见 8 ，1 7 ，2 2 ，3 0 ，3 1 】) 仿射k a c - m o o d y 代数和有限维复单李代数都具有良好的根系理论k s a i t o ， p s l o d o w y , r h o e g h - k r o h n 和b t o r r e a n i 等最先将有限根系和仿射根系推广到 扩张仿射根系( 简称e a r s ) ，将仿射李代数推广到扩张仿射李代数( 简称e a l a ) ( 见 2 4 ，6 2 ，6 3 ) 在过去的2 0 年，扩张仿射根系和扩张仿射李代数的结构理论受到广 泛的研究a l l i s o n ，a z a m ，b e r m a n ，郜云和k r y l y u k 在文 1 】中对约化e a r s 进行 了分类，他们将约化e a r s 分成a ，b ，c ，晶，岛，玩，r ，g 2 和b c 型，并给出绝大 部分e a r s 所对应e a l a 的例子( 见 1 ) 目前每一种约化e a r s 都可以找到相应 e a l a 的例子，关于这类的文章有 2 ，3 ，4 ，7 ，2 1 ，7 0 等 设a = c q 1 ，彦1 是个变量的交换l a u r e n t 多项式环( 也称维环面) 文【4 1 】在向量空间s 0 3 ( a ) 上定义了一类的李代数，研究了它们的泛中心覆盖、导子 以及表示文 3 7 】将这一代数定义在向量空间s o ( a ) 上，其中n 3 这一类代数 及其中心覆盖也称为阶化平移的t o r o i d a l 李代数，它们可以看作是t o r o i d a l 李代数 的推广文 3 7 研究了阶化平移的李代数l ( s 1 ，s n ) 的泛中心覆盖，导子以及有 限维表示其中，当礼4 时，l ( s 1 ，s ，1 ) 的泛中心覆盖的中心等于f l a d a ，李 代数l ( s 1 ，s ，i ) 的外导子全体等于d e r a 2厦门大学理学博士学位论文 c l i f f o r d 代数和w e y l 代数分别在外代数和对称代数上存在自然表示在上世纪 8 0 年代初，f r e n k e l 、k a c 和p e t e r s o n 利用c l i f f o r d 代数中的元素构造了仿射正交 李代数g o n 的f e r m i o n i c 表示( 见 1 8 ，3 4 ) 其表示空间是c l i f f o r d 代数的高权模， 称为f e r m i o n i cf o c k 空间随后，f e i n g o l d 和f r e n k e l 利用w e y l 代数中的元素构 造了c l a s s i c a l 仿射李代数的b o s o n i c 表示( 见 1 3 】) 其表示空间是w e y l 代数的高权 模，称为b o s o n i cf 0 c k 空间这些表示和顶点代数有着密切的关系，例如仿射李代 数的基本表示的表示空间可以由w e y l 代数与群代数的张量积给出( 见 1 9 0 郜云 在2 0 0 2 年用类似于文 1 3 的方法构造了扩张仿射李代数g l n ( c q ) 的b o s o n i c 表示 和f e r m i o n i c 表示，并研究表示的酉性( 见【2 0 】) 其中，q 是两个变量的量子环面 l a u 在2 0 0 5 年将f e i n g o l d f r e n k e l 和郜云构造表示的方法推广，构造了特征为零域 上李代数的中心扩张的b o s o n i c 表示和f e r m i o n i c 表示( 见 3 8 ) 最近研究b o s o n i c 表示和f e r m i o n i c 表示的文章有 1 1 ，2 3 ，2 6 ，2 7 ，2 8 在第一章，我们考虑阶化平移t o r o i d a l 李代数l ( s l ，s n ) 与d e r a 的半直积 c 我们定义由符号集 只q ，a ii = 1 ，几，口n ) 生成的w e y l 代数w ( 或 c l i f f o r d 代数c ) ，生成关系如下： 只，n 弓，卢4 - p 弓，卢只，q = 0 = q t ，a q j ，卢4 - p o j ，p q i ，n ， q i ，咀b 。b4 - p g 。b q t 口= 6 a b 6 韬 其中p = - 1 ( 或1 ) 只，q ii = 1 ，n ，q r ) 生成一个子代数，记为m 我们 利用上述自由b o s o n ( 或f e r m i o n ) 场构造了李代数c 上一个带参数入的忠实表示 ( m ，枞) ；我们还证明( m ，枞) 是李代数c 关于反对合u 的酉表示当且仅当入= 主要结果见定理1 2 5 和定理1 3 3 w i t t 代数和v i r a s o r o 代数是两个重要的无限维李代数从纯数学的角度看， w i t t 代数是单变量l a u r e n t 多项式环上导子李代数，v i r o s o r o 代数是w i t t 代数的 泛中心覆盖它们在物理学的许多领域中扮演着重要角色( 见 6 0 ) 通过s u g a w a r a 算子，v i r a s o r o 代数可以作用在仿射李代数的任何l e v e l 不等于对偶c o x e t e r 数相 反数的高权模上v i r a s o r o 代数与仿射李代数有相同的中心，它们的半直积是数学 和物理中的一类重要李代数这类李代数在共形场理论中扮演重要角色( 见 1 2 】) 文 【17 详细解释了物理学与v i r a s o r o 代数和仿射k a y - m o o d y 代数表示理论之间的关 系利用顶点算子，f o c k 空间可以作为仿射李代数l e v e l 为1 的可积高权表示空 间所以可在仿射李代数的顶点表示中找到v i r a s o r o 代数的顶点表示，而且v i r a s o r o 代数的这类表示在构造仿射李代数的表示和分析表示的结构时起着重要的作用( 见 1 5 ，1 6 】) 文 4 0 说明了v i r o s o r o 代数在顶点算子代数中的地位和作用文 3 5 】详 细阐述了v i r a s o r o 的高权表示理论，研究了不可约高权酉表示m a t h i e u 在文 3 6 】 的基础上给出了h a r i s h - c h a n d r a 模的分类( 见 4 4 ) ，证明了v i r a s o r o 代数上权空间 维数有限的不可约模只有三类：高权模，低权模和中间序列模m a r t i n 和p i a r d 研 究了v i r a s o r o 代数上权空间一致有界的不可分解模( 见 4 7 ，4 8 ) m a z o r c h u k 和赵 开明在2 0 0 7 年对v i r a s o r o 代数上有一个权空间维数有限( 0 ) 的单模进行研究， 证明了这类模的每个权空间维数都是有限的( 见【5 1 ) 最近，o n d r u s 和w i e s n e r 研 究了v i r a s o r o 代数上一类非权模一w h i t t a k e r 模 由于v i r a s o r o 代数的重要性，与v i r a s o r o 代数相近的代数都得到发展例如： 文 4 3 】利用文 67 的结果，对高秩v i r a s o r o 代数上不可约权模进行了分类；文 6 8 对扭h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数上权空间维数有限的不可约模进行了分类；文 1 4 对 扭广义v i r a s o r o - t o r o i d a l 代数上可积模进行研究等 v 维环面a 上导子的李代数d e r a 是w i t t 代数的自然推广文 6 1 指出单 1 时，d e r a 没有非平凡的中心扩张r a o 和m o o d y 在研究t o r o i d a l 李代数时 构造了d e r a 的一个a b e l 扩张，其中a b e l 扩张部分就是t o r o i d a l 李代数的中心， 进而构造了全t o r o i d a l 李代数( 见 5 9 ) 在文 5 8 】中，姜翠波和r a o 对全t o r o i d a l 李代数的不可约可积模进行分类当m u l t i - l o o p 代数的作用不为0 时，全t o r o i d a l 李代数的不可约可积模可由权空间有限维的不可约a 4d e r a 一模给出因此，对于 导子李代数d e r a 上模的构造和分类问题的研究具有重要意义 上世纪八十年代，沈光宇构造了交换结合代数上导子李代数的一类模，他把这 种构造方法称为模的混合积利用模的混合积，他解决了c a r t a n 型李代数的一类模 的分类问题( 见 6 4 ，6 5 ，6 6 ) 在文【3 9 】中，l a r s s o n 构造了g b 模到d e r a 模的一 类函子，这类函子是文 6 4 的特例，因此也称为s h e n - l a r s s o n 函子r a o 在文 5 6 】 中研究了有限维不可约g b 模在s h e n - l a r s s o n 函子f q 下的像模结构，找出了像模 的所有不可约子模和商模在文 5 7 】中，他证明了有限维不可约9 0 一模在函子f a 下的像模是不可约的a 日d e r a 一模，且任何权空间维数有限的不可约a d e r a 一模 都是夕0 的某维数有限的不可约模在某函子f a 下的像文 4 2 将s h e n - l a r s s o n 函 子f q 推广，定义了从g k 模到量子环面上导子李代数的d e r c 口模的一类函子碍， 4厦门大学理学博士学位论文 并研究了有限维不可约g l ，模在碍下的像模结构，讨论子像模的性质 由于g l 的有限维模不一定完全可约，在第二章，我们研究有限维不可分解画一 模在s h e n - l a r s s o n 函子p ：下所对应d e r a 一模的结构利用r a o 结果，我们找出 了对应d e r a 一模的所有子模，进而证明了s h e n - l a r s s o n 函子p 保持模的不可分 解性主要结果见定理2 2 4 ，定理2 2 5 和定理2 3 6 我们的结果推广了r a o 的结 果 w h i t t a k e r 模最早是a r n a l 和p i n z c o n 在研究s 1 2 ( c ) 的表示时发现的( 见 5 】) 设9 是有限维复半单李代数k o s t a n t 在1 9 7 8 年研究了9 的一类模由于这类模与 w h i t t a k e r 函数和w h i t t a k e r 方程有密切联系，k o s t a n t 将它们命名为w h i t t a k e r 模( 见 3 2 ) 设z ( u ( 夕) ) 是李代数乡的泛包络代数的中心理想 k o s t a n t 证明这 类模在同构意义上和z ( u ( 够) ) 的理想存在一一对应特别地，单w h i t t a k e r 模与 z ( u ( 9 ) ) 的极大理想一一对应设9 = n + ob o n 一是9 的标准三角分解其中b 是 c a r t a n 子代数，n + 是正根空间的和，n 一是负根空间的和文 4 5 研究u ( n + ) 作 用局部幂零的不可约v ( ( g ) ) 模这类不可约模或者是v e r m a 模的商模，或者是单 w h i t t a k e r 模，或者是由抛物子代数通过w h i t t a k e r 模诱导得到的模的商b l o c k 在 文 6 】中证明s z 2 ( c ) 的单模分三类：高权( 低权) 模，w h i t t a k e r 模和由l o c a l i z a t i o n 得到的模这说明了w h i t t a k e r 模在李代数表示论中的重要地位m o n d r u s 在文 5 2 中对量子包络代数( s 1 2 ) 上w h i t t a k e r 模作了分类，在文 5 3 】中研究( s 1 2 ) 上w h i t t a k e r 模与有限维模的张量积此外，文 9 ，1 0 ，5 4 ，6 9 ，7 1 分别研究v i r a s o r o 代数，h e i s e n b e r g 代数与仿射李代数，广义w e y l 代数，s c h r o d i n g e r - v i r a s o r o 代 数和、- 代数w ( 2 ，2 ) 上的w h i t t a k e r 模 第三章，我们研究二维环面a = c q 1 ，z 妻1 】上导子李代数d = d e r a 的、v h m t a k e r 模我们在口上定义一个分解口= 口+ o 口oo 口一虽然d + 不是有限生成 的，但是v + p + ，d + 】是有限维令e 2 = ( 0 ，1 ) 设妒：口+ 一c 是李代数同态则 妒由妒( d 1 ( 2 ) ) ，妒( d 2 p 2 ) ) 和妒( d 2 ( 2 2 ) ) 唯一决定如果矽( d 1 2 ) ) ，妒( d 2 2 ) ) 和 妒( d 2 ( 2 e 2 ) ) 都不为零，那么称矽是非奇异的；否则，称妒是奇异的给定一个非奇 异李代数同态妒：d + _ c ，可定义妒一型泛w h i t t a k e rd 模我们刻画了妒一型泛 w h i t t a k e r 刃模的w h i t t a k e r 向量和子模，进而刻画了妒型单w h i t t a k e rd 模 主要结果见定理3 2 1 1 和定理3 3 2 第一章阶化平移t o r o i d a l 李代数的表示 5 第一章阶化平移t o r o i d a l 李代数的表示 近2 0 年来，t o r o i d a l 李代数和量子环面李代数的表示受到广泛的研究有许 多表示在构造上使用了b o s o n ( 或f e r m i o n ) 场在这一章，我们利用自由b o s o n ( 或 f e r m i o n ) 场构造阶化平移t o r o i d a l 李代数c 的表示 第一节，我们给出阶化平移全t o r o i d a l 李代数l 的定义，叙述它与全t o r o i d a l 李代数的关系 第二节，我们利用自由b o s o n ( 或f e r m i o n ) 场构造c 的个带参数a 的忠实表 示( m ，枞) 第三节，我们定义李代数c 上的一个共轭线性反对合u ；证明( m ，枞) 是c 关 于反对合u 的酉表示当且仅当入= 丢 1 1 阶化平移的t o r o i d a l 李代数 设a = a ：- - - - = c t l 士1 ，t 軎1 是复数域c 上的个变量的交换罗朗多项式环，钆 是大于等于3 的整数，眠( a ) 为a 上的n 阶矩阵全体地( a ) 关于括积运算 【 】：降，y 】- x y y x 构成一个李代数，称此李代数为一般a 一线性李代数，记为 g l n ( a ) 设嘞为( i ，j ) 元是1 ，其余元是。的n 阶矩阵对任意的o l = ( ( 2 1 ，q t ，) z y ，记t a ：- - - - z 芋1 z 孑”任意取定e 1 ，既a ，令u = d i a g ( e 1 ，鼠) 定义 l ( e 1 ，鼠) ：= x m n ( a ) ix u + u x f = o ) 则l ( 毋，既) 是一般a 一线性李代数夕k ( a ) 的子代数假定e 1 ，风都是可 逆元，并记砀：= 易e , j e j e j i ( 1 i ，j n ) ，则有 l ( e 1 ，风) = oa 勤 l i j n 注意到= 一x j i ，故l ( e 1 ，鼠) 的李关系可由下面两个等式4 一线性给出s 阢，x j k = e j x 七，阢，凰司= 0 = 阢，】，蕾，歹，k ，f 互不相同 此时，l ( 置，风) 就是文【4 1 ( n = 3 ) 和 3 7 】 4 ) 所定义的阶化平移的 t o r o i d a l 李代数，且 l ( e 1 ，既) 兰l ( t 勘，t 眈) ， 6厦门大学理学博士学位论文 其中s i ( 1 i n ) 都是z p 中的每个分量为。或1 的元素为了方便，将l ( t8 1 ，t 鼽) 简记为l ( s l ，) 或l 记k ) ：= a 如，岛 ) ：= t 口于是，l = s p a n c 如( a ) i1 i 歹礼，q z p ) ，且l 的李运算可由下列等式线性给出： p 嘞( q ) ，x j k ( f 1 ) = x i k ( o r + + 彤) ， 阢( a ) ，x k z ( f 1 ) 】= 0 ， x q ( a ) ，( p ) = 0 ， 其中，i ，j ，k ，l 互不相同，q ，p 刀 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 设d e r a 为交换罗朗多项式代数a 的导子全体构成的李代数，则有 d e r a - - - - 8 p a n c 优( a ) - 严( t o 杀) l 蜒掣，盯- - - - 1 ，吐 d e r a 的李运算如下： d 盯( q ) ，d 丁( ) 】= 尾研( q + p ) 一q 丁d 盯( a + f 1 ) ( 4 ) 对任意的o r 1 ，) ，o l z ，定义d 矿 ) 在李代数l 上的作用如下； d 0 ( q ) a z ( ) ：( 尾+ 8 k a _ - _ 卜一8 1 a ) x 觚( 及+ p ) ， ( 5 ) 则d 盯( q ) 是李代数l 的导子，而且当礼4 时，李代数l 的导子全体为d e r a a d l ( 见 3 7 】) 引理1 1 1 d e r a 中的元素做为李代数l 的导子也满足等式“) 证明：设仃，丁= 1 ，王，k ，z = 1 ，佗，o l ，卢，7 z 由于 ( 眈( a ) d r ( f 1 ) 一d r ( p ) 坊( a ) ) 。x 舰( 7 ) = d 盯( 0 1 ) 。( 7 r + 芈) z ( p + 7 ) 一d r ( f 1 ) ( + 芈) x k z ( a + ，y ) = ( + 半) ( 尾+ + 半) x k z ( a + p + 7 ) 一( + 兰墨业2) ( a r + 竹+ 芈) z ( q + p + 7 ) = 防( 竹+ 半) x k l ( a + 卢+ 一y ) 一q 丁( + 半) x k z ( a + p + 7 ) = ( 尾d r ( q + ) 一q 下d 盯( q + f 1 ) ) 。凰z ( ，y ) ， 所以，做为李代数l 的导子，我们有 d 口( q ) ，d r ( p ) 】= 尾d 下( q + p ) 一q r d 盯( q + p ) 口 第一章阶化平移t o r o i d a l 李代数的表示 一 7 一二二_ - 二_ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ - i _ l _ - _ 。o 。一 设q = s p a n c g ( a ) ：= t a ( 坛1 d t 盯) lo t 刀，6 r = 1 ，) 为a 的微分形式 d ：a _ q 4 为满足：d ( f 1 厶) = f , d ( f 2 ) + ( d s l ) 1 2 的微分映射记一：q a f l a d a 为典范线性映射于是q a d a = s p a n c 雨ld 刀，主= 1 ，) ，而且对任意 的q = ( 0 1 1 ，a ) 刀， 王， q ；万两= 0 ( 6 ) 吾 则：loq a i d a 是李代数l 的中心覆盖【3 7 】，其李运算如下： 【q a d a ，l 】= 0 ， ( 7 ) 阢( a ) ，如( ) 】_ ：，( q 仃+ 芈) 万万而阜芎) ， ( 8 ) p ( 乜) ，码血( 卢) = x i k ( o l + 卢+ 呦) ， ( 9 ) 阢( q ) ，凰z ( ) - 0 ， ( 1 0 ) 其中，荟，歹，七，l 互不相同当礼4 时，是泛覆盖设d e r a ：= d e r a 。q a d a 是a 的导子李代数d e r a 的交换扩张，其李运算如下【5 9 】： d 盯( a ) ，巧网= 肪瓦丽+ 以r ：。a p 觋( a + ) ， d 口( 口) ，d r ( p ) = 尾d 丁( q + p ) 一q r d 盯( q + p ) 一q r 房：1o 弘q ( a + p ) ， 【q a d a ，q d a 】= 0 令l ：= lod e r aof 2 m d a 定义 ( 1 1 ) ( 1 2 ) p 盯( a ) ，七( p ) 】= ( 尾+ 半) 玛七( q + ) ( 1 3 ) 命题1 1 2 z 关于括积运算f ，仁j 砂构成一个 z p - 阶化的李代数称李代数l 为 阶化平移的全t o r o i d a l 李代数 证明：要证z 关于【1 构成一个李代数，只需要验证j a c o b i 等式 ， ，y ，名) ：= 2 7 ，陟，z + 矽，p ，z 】+ p ，p ，秒 】= 0 ，妇，y ，z l 由括积运算的定义可知，d e r aoq a d a 和loq a d a 都是l 的子李代数因此 我们只需考虑三种情况：i ) z d e r a ，y l ，名f 2 m d a ；i i ) z ，y d e r a ，z l ； i i i ) z d e r a ，y ，名l 由括积运算的定义，等式( 5 ) 和引理1 1 1 可知：对于情况i ) 和i i ) ，都有j ( x ，y ，z ) = o ；对于情况i i i ) ，我们只需验证 j ( 优( a ) ，拖z ( ) ，虬z ( ，y ) ) = 0 8厦门大学理学博士学位论文 由于 【见( q ) ， z ( 卢) ，z ( 7 ) 】 = d 盯( q ) ，：1 慨+ 芈) g ( 4 - ，y4 - 鼠4 - 勖) = ( 尾+ a - s 七仃a - 8 l 盯) ：1 慨4 - 芈) g ( a4 - pa - 7 - 4 - s k4 - s 1 ) + ( 尻+ 半) 二：1a p q ( a4 - + ，y4 - 龇+ 勖) ， 埘( 7 ) ， d 盯( a ) ，托z ( ) = p 吒z ( ，y ) ，( 尾4 - 芈) 凰z ( o + p ) 】 = ( 尾+ 半) ：1 m4 - 芈) g ( q + + ，y4 - s k4 - 蹴) ， p 氓z ( p ) ，p 气z ( ，y ) ，眈( q ) 】 = p 如z ( p ) ，一( a - 半) x k l ( a + ，y ) = 一( + s k _ a - t 广- s l o ) ：1 ( 厨- t - 芈) g ( a + p4 - 7 + s k - 4 - s 2 ) ， 利用( 5 ) 式，我们有 j ( d 0 ( q ) ，x k , ( f 1 ) ，j 气z ( 7 ) ) = ( 尾+ + s 七盯+ s l 仃) ：1 ( 屏- 4 - 芈) g ( q4 - p4 - 7 + s ka - s 1 ) + ( 肪a - 8 k a + 一s l a ) 二：1a p ( q + p + ，y + s k - t - s f ) + ( 尾- t - 下s k 口+ s t a ) ：= ：1 m + 芈) g ( a + p + 7 + s 知+ 蹴) 一( - t - 8 k a 一 - 8 1 d ) ! ：1 ( 屏+ 半) 西 + 卢+ 74 - s 七4 - s 2 ) = ( 尾a - t s k a - b s l a ) ：1 ( q r + 屏+ 竹4 - s 七 + 8 1 丁) g ( q + p + 7 + 鼠4 - 蹴) = 0 所以，j a c o b i 等式在情况i ) 下成立因此，l 构成一个李代数 最后，对任意的1 仃, ，1 k z n ，q ，定义： d e g x k z ( q ) = 口+ 半，d e g g ( q ) = d