人教版高二数学推理与证明解读.ppt

推理与证明解读 内容结构 考试大纲 2 能力要求 1 思维能力 会对问题或资料进行观察 比较 分析 综合 抽象与概括 会用类比 归纳和演绎进行推理 能合乎逻辑地 准确地进行表述 数学是一门思维的科学 思维能力是数学学科能力的核心 数学思维能力是以数学知识为素材 通过空间想象 直觉猜想 归纳抽象 符号表示 运算求解 演绎证明和模式构建诸方面 对客观事物中的空间形式 数量关系和数学模式进行思考和判断 形成和发展理性思维 构成数学能力的主体 5 创新意识 它是理性思维的最高层次表现 对数学问题的 观察 猜测 抽象 概括 证明 是发现问题和解决问题的重要途径 推理与证明贯穿于高中数学的整个体系 它的学习是新课标教材的一个亮点 是对以前所学知识与方法的总结 归纳 并对后继学习起到引领的作用 地位与作用 合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论 包括定义 公理 定理等 实验和实践的结果 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程 归纳 类比是合情推理常用的思维方法 推理过程为 从具体问题出发 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 提出猜想 类比 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类也具有这些特征的推理 归纳 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 归纳是部分到整体 个别到一般的推理 类比是特殊到特殊的推理 例 类比实数的加法和乘法 列出它们相似的运算性质 演绎推理演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 包括定义 公理 定理等 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程 例大前提 马有四条腿 小前提 白马是马 结论 白马有四条腿 它是从一般到特殊的推理 演绎推理的主要形式就是由大前提 小前提 推出结论的三段论式推理 用三段论证明 三段论证明中需注意事项 1 证明过程应表述清楚 防止随心所欲 2 避免大前提 小前提或推理形式之一错误 而导致结论错误 例 因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形 大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形 小前提所以菱形是正多边形 结论 1 上面的推理形式正确吗 2 推理的结论正确吗 为什么 合情推理与演绎推理的作用合情推理具有猜测和发现新结论 探索和提供解决问题的思路和方法的作用 演绎推理则具有证明结论 整理和建构知识体系的作用 是公理体系中的基本推理方法 合情推理与演绎推理的关系合情推理和演绎推理之间联系紧密 相辅相成 数学中数学结论 证明思路等的发现 主要靠合情推理 而证明数学结论 建立数学体系主要通过演绎推理 数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证 即在前提正确的基础上 通过正确使用推理规则得出结论 课标要求 1 合情推理与演绎推理 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 体会并认识合情推理在数学发现中的作用 体会演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本方法和一般方法 并能运用它们进行一些简单的推理 了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别 二 省教学指导意见解读 2 直接证明与间接证明 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法与综合法的思考过程与特点 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程与特点 3 数学归纳法 选修2 2 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 4 数学文化 通过对实例的介绍 如欧几里得 几何原本 马克思 资本论 杰弗逊 独立宣言 牛顿三定律 体会公理化思想 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用 省教学指导意见解读 合情推理与演绎推理 直接证明与间接证明 2 3数学归纳法 选修2 2 通过对已学知识的回顾 进一步体会合情推理 演绎推理以及二者之间的联系与差异 体会数学证明的特点 了解数学证明的基本方法 包括直接证明的方法 如分析法 综合法 数学归纳法 和间接证明的方法 如反证法 感受逻辑证明在数学以及生活中的作用 养成严谨习惯 三 教学定位 四 课时分配 13课时 选修1 2 课时分配 8课时 选修2 2 2 重难点确立 2 1节重点是了解合情推理的含义 能利用归纳和类比进行简单的推理 了解演绎推理的含义 能利用 三段论 进行简单的推理 难点是用归纳和类比进行推理 作出猜想 用三段论作出简单的推理 2 2节重点是结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法 综合法 分析法 了解间接证明的一种方法 反证法 了解综合法 分析法和反证法的思考过程 特点 难点是根据问题特点 结合综合法 分析法和反证法的思考过程 特点 选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用 归纳推理 归纳推理是针对一类事物s而言的 如图所示 s的部分事物a和b共同具有的某种特性 是否可以推广到整个s 这就是一个从局部到整体的推理过程 3 对几个重要知识板块教学思考 平面几何中归纳法 代数中的归纳法 4 如图 在圆内画1条线段 将圆分割成两部分 画2条相交线段 彼此分割成4条线段 将圆分割成4部分 画3条线段 彼此最多分割成9条线段 将圆最多分割成7部分 画4条线段 彼此最多分割成16条线段 将圆最多分割成11部分 那么 1 在圆内画5条线段 它们彼此最多分割成多少条线段 将圆最多分割成多少部分 2 猜想 圆内两两相交的n条线段 它们彼此最多分割成多少条线段 将圆最多分割成多少部分 类比推理 类比推理是针对的两类事物 如图所示 在a和b两类事物中 a类中有性质p成立 b类中也有性质p成立 a类中还有性质q成立 那么b类中是否也具有性质q成立呢 通过两类事物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解 并且可以帮助进行逻辑推理 实轴 虚轴 长轴长2a 短轴长2b 类比的风险 类比 平面内 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平面内 同时垂直于一条直线的两条直线互相平行 得到猜想 空间中 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 空间中 同时垂直于一条直线的两条直线互相平行 类比的风险 直接证明 综合法 从已知条件和某些数学定义 定理 公理等出发 通过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论 框图表示 直接证明 综合法 所证结论 直接证明 分析法 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定义 定理 公理等 框图表示 得到一个明显成立的条件 直接证明 分析法 间接证明 反证法 直接证明 数学归纳法 4 整体把握 演绎推理与合情推理并重以实际问题与已学问题为主要素材开展教学长期渗透 控制难度 1 推理教学的重点在于