基于递推随机有限元方法的结构频率的概率密度分析.doc

武汉理工大学硕士学位论文基于递推随机有限元方法的结构频率的概率密度分析姓名：景玉婷申请学位级别：硕士专业：结构工程指导教师：黄斌201205 方 程 ， 求解出 该非正交 多 项 式 的 各 阶 扩展 系数 。 然 后 根 据所 采 用 的 随 机 参数 的 ， 瓵 ， 鎡 ： 人 类对客观存 在 事 物 的认 识 能力也 在 不 断提 高，已 经逐 步意识 到 ，客观事 物 不管 是 随 时间 的 微 小 变 化或 者是 在 空间 上 的 微 小 变 化娴 幕蚋好娴 都将 影响 到 人 们对客观存 在 事 物 的 辨 识 水 平。在 客观上 ，由 于事 物 本 身 的 复杂 性 ，对任何 一 个实 际 存 在 的问题 ，其影 响 因 素 不 会只 有 一 种 ，往 往 是 各 种 客观因 素 交 织在 一 起，使 主 体 难 以 被 客体 完 全 的 认 识 。在 主 观上 ，由 于人 的 认 识 能力和 逻 辑 思维 的 局 限性 ，使 人 类 对事 物 本 来 面 目 的 认 识 存 在 有 一 定 的 障碍，难 以 正确的 判别事 物 的 真 伪 程度，难 以 辨 别 事 物 的 真 实 状态，即 所获 得 的 与事 物 相 关的 信息 具 有 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文分 析；数学 分 析：学 与模 糊 数学 分 析。模 型不 做 进 一 步的 讨论。 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文数、非 线 性 特性 等 具有 随 机 性 。 模 拟 是 一 种 通过 设 定 随 机 过 程， 反 复 生 成 时 问 序 列， 些 参数或重要 指 标 。该 方 法 中 随 机 数的 产 生 是 采 用 的 马尔科夫 链形 式。过 程所 需 的 足 够数 量的 随 机 数。通常先产 生 均 匀分布 的 随 机 数， 然 后 生 成 服 从某一 分布 的 随 机 数， 方 可进 行 随 机 模 拟 试验 。 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文由于 这 种方 法将 随 机 变量 的 影响 量 进 行 级数展 开， 瓜 低砈 退 化为 ， 而 把 昕醋 魇 莝 艿 由于 鸬 摄 动 而摄 动 问 题可分 为正则 摄 动 和 奇 异 摄 动 两类 形 式 。 如果 令 瑀 的 表 达 式较 简 单 ， 也 易 于 处 理 。 常 月 】的 方 法有 幂 级数展 开法 话 甑 母 好荽 、参 数 算法， 并从变分 泛 函 的 建 立及误差界 估 计的 角 度进 行 了 进 一 步 的 研 究 。 基于 整个 随机 场 ： 对 高斯 随机 场 提出 如下 方法 ： 建 议 先 划 分有 限 元 ， 然 后再 根 据 随 机场的性质调 整 随机场网 格， 使 得 一个 随 机场网 格包含 一至 几个 有 限 元 。 但 也 应 注 意 ， 如果随 机场网 格取得 过 密 ， 以致 相 邻 单元 高 度 相 关， 则会 引 起数值 计 算的不 稳 定。如下 方程的一个 完 备 的正交 集 合 ：根 据 级 数的定义 ， 随 机场捎肒 展式表示如 下 ： 特 征 函数解 为 ：砥 媸 要 再丑因此 ， 协 方差 的核 为 指数型 的随 机场可 以表示为 ：足页 盘磊 砷 。 占 西 】 式中， 吒驴 侨 范牧 浚肟 瘴 首暧泄 兀 臼 均 值 正交 的高 斯随 机变 量 ，跗 蜓跻 谎跗 胍 黄蚋 昝诲楦 辏它 类 多项 式。 非 正交多 项式 展 开 的 系 数项为正 交多 项式 展 开 的 系 数项按 随 机变 量孝 的 阶趋于 无穷时 ， 非 正交多 项式 展 开 也是 均方 收 敛 级 数。 一种 新的 随 机有限元 递推 随 机有限元 法 綤 卜饥 啤啤啤苳 碾 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文 镜 翰粉獭久 摺 葈 【 恳 晃 濉 久 摺 纝 鑮【卜凡 【眠 】獭久 摺 縶 唬 吮【】【烦蟆 荆 纠鼎 苏 黼 瞄搿 ： 微 掣 彪 蛋 “巧 一岛 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文其 定义 如 下 ： 仆 叫 蹴；警 三【 縶 纵 蒥 舽 丘】 舽乃【 縶 噍 如， 牛輢警三 苫 普 。给 定义 的 运算 符 ， 其 定义 如 下 ： 口 算例 分 析 厂，迹唬弧口 八 曲 娌 缲 8 一曲设 贝塔 分 布 的取值区 间为 一 芄 躣 ， 将 其 代 入 式 贝 得 到 中 的函 数 ， 硎 静 鶤 行 械 木 确 植 妓 婊 密 度 痬 取 ， 设 其 抗 弯 刚 度 为 贝塔 分 布 的连 续 随 机场， 均值先 把 上 述的随 机抗 弯 刚 度 悬臂 梁 划 分 为 个单元 ， 每个单元 的长 度 均方差比 较 小， 并且 都 处于均方差图形的拐 点处。 段 的抗 弯 刚 度 分 别为 贝塔 分 布 随 机变量和 均匀 分 布 的随 机变量， 其 均值分 别随 机抗 弯 刚 度 变截 面固 支梁 、 駂 州 鰈阻 ； 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文 本章 小 结本章 首先讨 论了 随 机 场的表示和 以 小 参 数 摄 动 、 确定 性 分析和 递归方程为基 础 的摄 动 有 限 元 法 ； 然后详 细 介绍 一 种 新 的随 机 有 限 元 法 递推 随 机 有 限元 法 。 采 用 非 正 交 多项式 表达特 征 值 ，建 立 了 和 摄 动 法 类 似 的系 列 确定 的递推 方程，并 通 过 确定 性 有 限 元 方法 求 解 这 些递推 方程，得到 了 特 征 值 的均 值 和方差。 该方法 具 有 操 作简 单 、 计 算 方便 的优 点 ，在 较 宽 的随 机 涨落范 围 内都 能 递 推随 机有限元 方 法中 频 率 的 表 示结 构频 率 采用 非 正交多 项 式 混 沌展 开了 慕 紫 ：、 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文式 子 中 的 锐为 文 中 定义的 运算符 ，给 出的 定义如 下：对 应于色 乞 磊 项 的 方 程 为 ：式 子 中 的 敛为 文 巾 给 定的 运算符 ，给 出的 定义 如 下： 磊 磊 乞 磊 缶 磊 编 石式 子 中 的 铂、 虢为 文 中 给 定的 运算符 ，给 出的 定义为 ：【 嘞 腧 嘞 咏 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文 求出前 一至四 阶的 扩 展 系数 ： 算例 分 析 截而悬 臂 梁，第 二个算例 为随机 参 数 为离 散 型 随机 变 量的 变 截而两端 固 支 梁。算例 ？ 悸 且 欢 送 谋 浣囟 哿 海 蕉 纬 染 米，设 段 的 抗均值 瓦 删 。 其它材 料 物理 参 数 为：泊松 比 ，线 密 度 籭 ，刚 度变 异系数 的 关 系。 有 下 列图 形 可以得 出如 下 结论： 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文算例 嚎 悸 且 桓 隽蕉 斯 潭谋浣囟 蕉 斯 讨 海 珹 蕉 纬 染 米，设 、 段 的 抗弯 刚 度分 别 为贝塔分 布 随机 变 量和 均 匀 分 布 的 随机 变 量，随机 抗弯 刚 度变 截面 两端 固 支 梁与 直 接 的 瓹 模 拟的 结果 比 较 吻 合 。 说明该方 法的 有 效 性 。 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文 段 抗弯 刚 度变 异 系数 变 化时 一至 四 阶圆 频率的 均 方 差 误差 辧 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文 率的 概 率密 度分 布进行了 研 究。通 过 对 本文 中随 机 模 型的 分 析， 给 出 了 结 构 在 唤 譋 展 式非 问 册 随 羽 衫搞 晃 怕使 芊 鹘 故絖 为 ： 以 叫 以 】 吒。专。 劝 聪 率揭 肓四 饩 睾 #琹 阶 累到 以拟 矩函 数 作 为 系数 的 一 维 高 斯概 率密 度的 渐近展 式 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文鱡恢妻齨 襬啪岛 ，刍 专以去专风石虿 璢式 一 、 图 称 为 克 拉 姆 衲 槔 矶 盯 哪 渐 近 展式 ， 式 降 琹 ， 为 了 建立 联合 拟 矩 函 数 与 多 维埃尔 米 特多 项 式 之间 的关系， 引 入 下 列伴随埃尔 米 特多 项 式矩函 数利用 联合 拟 矩函 数与 联合 累积 量函 数之间 的关系式 中 的 衔 猭 上“， ， 厶 蛘摺 。以 。上代 苻 中 的 ， ， ， 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文式 ?死 芬 徊 槔 矶 故剑 则 为 埃 德沃 斯 渐 近展诿嫫纷铄檗返 群鹭 等，薏 况 ：矩 生成 函数为 骫 筟 工 】 藅 颍琞 二 妻 去 瓻 籡对 上式代 入式 ， 并对 冢 郑 韵 挛 G叭 桌奂 屏 亢 ：一 掣篍莩 ， 琁 而 击 饔铱谕蚮面 而 而 高 阶联 合累 计 量 函 数 的结果 疚 闹 杏 玫降 ： 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文 阰 一 籈 而 屯 武 汉 ：学 位 论文利 川 第 章 巾方 法 、 焓 侥 阥 瑃 接 的 狢 模拟 三 种 方 法 对。 暧 蒻， 簧荆 簁 籮 甶 甀 、囊 一 尘 猨卜 夕 甀图 随 机 抗 弯刚度 变截面 两端 固 支 粱先 将 随 机 抗 蛮刚度 变截而 两端 闱支 梁 划 分为 个 # 珹 误晡 武 汉 緗 一 喝 耍 甀 ：学 位 论义本 文 追椒 軲 獾 慕 狒 衹 吐 吻 合。 年对 与本 文 方 法 和 瓹 模拟 两种 数 优模拟 的 结果， 礁 鴠 的 概率 密 度 图 更 为光 滑 。图 变截面 固 支 粱 第 一 阶四 频率 的 一 维 概率 密 度 函数 图 武 汉 簂 喝 搜 籰：学 位 论文“ 瘆 簕 甀。 ，； 。 图 随 机 抗 弯刚度 变截面 悬 臂 梁 茎差茎主主图 变截面 悬 臂 梁 第 一 阶圆频率 的 一 维 概率 密 度 函数 随 变异 系 数 的 变化 茎墨量图 变截面 悬 臂 梁 第 三 阶圆频率 的 一 维 概率 密 度 函数 随 变异 系 数 的 变化 图 变截面 悬 臂 梁 第 一 阶圆频率 的 一 维 概率 密 度 函数 随 变异 系 数 的 变化 茎主图 变截面 悬 臂 粱 第 三 阶圆频率 的 一 维 概率 密 度 函数 随 变异 系 数 的 变化 之减小， 区间 范 围 则随之增大。 二维 概 率密度 的 算例 与结论泊 松 比 ，线 密度 历 ，如图 所 示 ： 武 汉 圳 恕 銂： 一 笋 他 论义 ，一 一 一 一 、 武 汉 州 捍笱 耍 甪 ： 学 似 论义 一 瞳 。 羍一，口 五 卜 上 一 图 第二、三 阶圆 频率的 联 合 概 率密度 函数 图 及其等 高 线 图 慰 雇 涓 斩 缺 湟 煜凳 直 鹞 算例 嚎 悸 且 桓 鏊 婊 雇 涓 斩 缺 浣 孛 媪 海 珹 娇绯 染 米，设 、 跨 的 抗弯刚 度 均 为 均 匀分 布 随机 变 量 ， 跨 抗弯刚 度 的 均 值 为如图 所 示 ：图 随机 抗弯刚 度 变 截 面 连 续 梁单 元， 每个 单 元的 结点 处 含 有两 个 方向的 自 由度 ， 分 别 为 竖向的 挠 度 和 扭转 。在本 算例 中 跨 抗弯刚度 变 异 系 数 取 为 固 定 值 ， 跨 抗弯刚度 变 异 系 数分 别 取 、 利用 第三 章 所 提到 算法 和 直 接 的 瓹 模 拟 对 该随机 抗弯刚 度 变 截 面 连 续 梁 的 圆 频率的 二维 概 率密度 函数 进 行求解 ， 验 证本 文 算法 的 有效性 。 武 汉 痡 ： 人学 硕 貉 眭 论义圣弓曹舌， 婧蘸 柏 缎 瞹 一一、 郷 ； 萎萼妻罩善耋葛皂善， 图 第二、二阶圆 频率的 联 合 概 率密度 函数 图 及其等 高 线 图 缈雇 涓 斩 缺 湟 煜凳 直 鹞 武 汉 理 工 大学 硕 士 学 位 论文 现 实中 的 工 程结构往 往 存 在 一定 数 量 的 不 确 定 性 ，为了尽可 能 的 反 映 结构的真实动 力 特 性 ，目 前 的 研究大多 是在 考虑 参 数 随机性 的 基 础 上 对 结构动 力 特 性 话阄 L卣 髦 的 分析。 在 结构动 力 学 的 背 景 下 ，为了考 虑 到 这 些 不 确 定 因素，有 必 要对 结构频率 的 联合概 率 分布进 行分析。 本文 则 是对 典型的 梁 结构算例进 行分析， 取 梁 结构的 抗 弯刚 度为随机参 数 ，求解 结构圆 频率 的 一维 概 率 密度函 数 和 二 维 概 率 密度函 数 。 一维 概 率 密度函 数 说 明 结构单 个圆 频率 的 分布，掌握其 全概 率 信息 ，以便于 进 行基 于概 率 的 损伤 识 别、结构优化等 。 二维 概 率密度函 数 则 给 出了任意 俩 个圆 频率 之间的 相关 关 系，以便于 更全面的 了解 结构的 基 本动 力 特 性 。 【 縁 縎 甋 琂 華 琹， ： 硕 士 学 位 论文 。 【 】 李 杰 随 机 结 构 分 析 的 扩阶 系 统方法 紫 低撤匠题幔