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abs t r a c t w e g e n e r a l i z e t h e c o n c e p t o f fi l t e r a n d u l t r a fi l t e r t o ( fi t , ju ) - fi l t e r a n d ( fi t , p ,) - u l t r a fi l e r o n a m e a s u r e s p a c e a m a ) a n d s t u d y t h e i r b a s i c p r o p e r t i e s . mo r e o v e r , w e e x t e n d t h e d e f in i t i o n o f u l t r a p o w e r o f a b a n a c h s p a c e o v e r a u lt r a fi l t e r t o u l t r a p o w e r o f a b a n a c h s p a c e o v e r a ( 叭， 川 - u l t r a fi l t e r . w e a l s o g e n e r a l i z e a t h e o r e m c o n c e r n i n g t h e n o r m o f u l t r a p o w e r s o f b a n a c h s p a c e s t o t h e ( v, p ) - f i l t e r s c a s e . k e y w o r d s : ( fi t , y ) - fi l t e r ( fi t , p ) - u l t r a fi l e r u l t r a p o w e r o v e r ( fi t , p ) - ul t r a fil t e r 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论 文的 规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印 刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版， 并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部 门或者机构送交论文 的复印件和电子版; 在不以赢利为 目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名: 词 年 期 尹斯 形 护 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 又 之 .介 学位论文作者签名: 娜 解密时间: 年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: -一群鲜一缨一:一 - 内 部5 年 ( 最 长5 年、 可少 子5 年) 秘密10年 机密 (, 年 可少于 1 (1 年) 奇 少于1 o 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导 师指导下， 进行 研究工作所取得的 成果。 除文中己经 注明 引用的内容外， 本学位论文 的研究成 果不包 含任何他人创作的 、 己公 开发表或者没有公开发表的 作品的内 容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明确方式标明 。 本学位论文原创性声明 的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名: 词 年 期 1 i n t r o duc t i on t h e u l t r a p r o d u c t c o n s t r u c t i o n , b e i n g a f u n d a m e n t a l m e t h o d o f m o d e l t h e o ry , h a s i n fl u e n c e d s e v e r a l o t h e r b r a n c h e s o f m a t h e ma t i c s s u c h a s a l g e b r a , s e t t h e o ry e t c . s i n c e t h e i n t r o d u c t i o n o f n o n s t a n d a r d a n a l y s i s 勿 a . r o b i n s o n , m o d e l - t h e o r e t i c i d e a s r e l a t e d t o t h e u l t r a p r o d u c t c o n s t r u c t i o n h a v e a l s o f o u n d v a r i o u s a p p li c a t i o n i n a n a l y s i s , e . g . i n o p e r a t o r t h e o ry . t h e s t e p i n t o b a n a c h s p a c e t h e o ry w a s p r e p a r e d 妙 t h e d e v e l o p m e n t o f t h e l o c a l t h e o ry o f b a n a c h s p a c e s w h i c h g o e s b a c k t o t h e w o r k o f j . l i n d e n n s t r a u s s , a . p e l c z y n s k i , h . p . r o s e n t h a l a n d r . c . j a m e s . t h e l o c a l t h e o ry s t u d i e s t h e s t r u o - t u r e o f t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e s o f a b a n a c h s p a c e a n d t h e p r o p e rt i e s o f t h e s p a c e w h i c h a r e a s s o c i a t e d w i t h t h i s s t r u c t u r e . a s m o r e a n d m o r e p e o p l e r e a l i z e t h e i m p o r t a n c e o f t h e u l t r a p r o d u c t , a l o t o f w o r k s c a m e o u t . f o r e x a m p l e , k h a m s i a n d s i m s d e v e l o p t h e u l t r a m e t h o d s i n t o t h e m e t r i c fi x e d p o i n t t h e o ry i n 1 , a n d h e i n r i c h o b t a i n e d s o m e v e ry g o o d r e s u l t s i n b a n a c h s p a c e t h e o ry勿 u s i n g u l t r a - p r o d u c t m e t h o d ( s e e 2 ) . a ls o i n 9 , g e a n d h a d w i n s h o w e d t h a t u l t r a p r o d u c t i s v e ry u s e fi 皿 l i n t h e r e s e a r c h o f c - a l g e b r a s . i n a w o r d , u l t r a p r o d u c t g i v e s u s a n e w p e r s p e c t i v e t o d o s o m e r e s e a r c h i n a n a l y s i s . t h e p u r p o s e o f t h i s t h e s i s is t o g e n e r a li z e t h e c o n c e p t o f u l t r a p o w e r o v e r a u l t r a fi l t e r t o u l t r a p o w e r o v e r a p a , it ) - u l t r a fi l t e r o n a m e a s u r e s p a c e ( f 1 , 9 a , w ) a n d t o g i v e a b r ie f s t u d y o n t h e m . d u e t o l a c k o f t i m e a n d a b i li t y , m a n y f u rt h e r q u e s - t i o n s h a v e n o t b e e n r e s o l v e d , b u t w e a r e s u r e t h a t b a s e d o n t h e r e s u l t o f t h is t h e s i s , o n e c a n o b t a i n a l o t o f c o r r e s p o n d i n g r e s u l t s i n ( 9 r , it ) - fi l t e r a n d t h i s c o u l d p r o v i d e a n e w w a y t o l o o k a t s o me o l d ma t h e m a t i c s p r o b l e m s . i n s e c t io n 2 , w e w i ll l i s t s o m e w e l l - k n o w n r e s u l t s c o n c e r n i n g c l a s s i c a l fi l t e r s a n d v e c t o r - v a l u e d me a s u r a b l e f u n c t i o n s . o u r m a i n r e s u l t s a r e i n s e c t i o n 3 . i n t h e l a s t s e c t i o n , w e l i s t t w o q u e s - t i o n s f o r f u rth e r r e s e a r c h. f i n a l l y , w e s h o u l d m e n t i o n t h a t o u r w o r k a r e g r e a t l y i n fl u e n c e d勿 t h e w o r k i n t r o d u c t i o n o f m . a . k h a m s i , b . s i m s 1 , t h e w o r k o f s . h e i n r i c h 2 a s w e ll a s t h e w o r k o f j . d ies t e l a n d j .j . u h l , j r 1 6 b a s i c k n o wle d g e 2 ba s i c k n o wl e d g e i n t h i s s e c t i o n , w e w i ll g i v e s o m e b a s i c k n o w l e d g e o f fi l t e r s a n d v e c t o r - v a l u e d me a - s u r a b l e f u n c t io n s . m o s t o f t h e m a t e r i a l s i n t h i s s e c t i o n a r e t a k e n f r o m 1 , 2 a n d 1 6 . t h r o u g h o u t t h i s s e c t i o n , i w i l l d e n o t e a s e t ( u s u a ll y t h e n a t u r a l n u m b e r i n ) d e fi n i t i o n 2 . 1 . a f i l t e r o n i is a n o n e m p t y f a m i l y o f s u b s e t s .f c 2 1 s a t i s f y i n g ( 1 ) .f i s a c l o s e d u n d e r t a k i n g s u p e r s e t s ( i .e . a ta n d agbci = o - b 月. ( 2 ) .f i s c l o s e d u n d e r fi n i t e i n t e r s e c t i o n : a , b .f= ; an b .f e x a m p l e 2 . 2 . ( 1 ) t h e p o w e r s e t o f i , 2 1 , d e fi n e s a fi l t e r ( 2 ) t h e f r 6 c h e t f i l t e r a c i : i a i s fi n i t e ( 3 ) f o r 。 i , t h e c o ll e c t i o n 凡 := a ci : 。 a i s a fi l t e r . f i l t e r s o f t h e f o r m 凡 f o r s o m e i o e i a r e k n o w n a s t r i v i a l , o r n o n - f r e e fi l t e r s . a fi l t e r .f i s p r o p e r i f i t i s n o t e q u a l t o 2 1 , t h e p o w e r s e t o f i . e q u i v a le n t c o n d i t i o n s a r e : 0 磷 .f , o r .f h a s t h e fi n i t e i n t e r s e c t i o n p r o p e r t y : t h a t i s , a l l fi n i t e i n t e r s e c t i o n s o f fi l t e r e l e me n t s a r e n o n e m p t y . t h r o u g h o u t t h i s p a p e r , w e w i ll t a k e fi l t e r t o m e a n p r o p e r fi l t e r de fi n i t i o n 2 . 3 . a n u l t r a f i l t e r u o n i i s a p r o p e r fi l t e r w h i c h i s ma x i ma l w i t h r e s p e c t t o o r d e r i n g o f p r o p e r fi l t e r s o n 1 场 i n c l u s i o n : t h a t i s , i f u c下a n d .f is a p r o p e r fi l t e r o n i , t h e n .f = u . n o t e t h a t z o rn s le m m a e n s u r e s t h a t e v e ry fi lt e r h a s a n e x t e n s io n to a n u lt r a fi lt e r . l e m m a 2 .4 . ( 1 , 2 . 1 3 ) a fi lt e r u c 2 1 is a n u lt r a fi lte r o n i if a n d o n ly if fo r e v e ry a c 1 p r e c i s e l y o n e o f a o r i a i s i n “ . a s a c o n s e q u e n c e o f t h is l e m m a : f o r a n u l t r a fi l t e r u o n i , i f a 1 u a 2 u . . . u a . e “ t h e n a t l e a s t o n e o f t h e s e t s a l , a 2 , ， a i s i n u . h e n c e , a n u l t r a f i l t e r i s n o n t r i v i a l b a s i c k n o w l e d g e ( fr e e ) i f a n d i f i t c o n t a in s n o fi n i t e s u b s e t s . i t w i ll h e n c e f o r t h b e a s t a n d i n g a s s u m p t io n t h a t a ll t h e fi l t e r s a n d u l t r a fi l t e r s w i t h wh i c h we d e a l a r e no n t r i v i a l . we s a y a fi l t e r “i s c o u n t a b l y c o m 川 e t e i f i t i s c l o s e d u n d e r c o u n t a b l e i n t e r s e c t i o n s . u l t r a fi l t e r s w h i c h a r e n o t c o u n t a b l y c o mp l e t e a r e p a r t i c u l a r l y u s e f u l f o r s o m e p u r - p o s e s . i t i s r e a d i l y s e e n t h a t a n u l t r a fi lt e r “i s c o u n t a b ly i n c o m p l e t e i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t e l e m e n t s 禹， a , , . . . , a , . . . i n u w i t h = a o a 1 a z a二a n d n a n = 。 i t is e a s y t o s e e t h a t e v e ry u l t r a fi l t e r “o v e r n i s n e c e s s a r i l y c o u n t a b l y i n c o m p l e t e , ( c o n s i d e r t h e c o u n t a b l e f a m i l y o f n e s t e d s e t s a : =i n , n +1 , n t 2 , - . “ ) a s i n t h e c a s e o f n e t s , w e n e e d t o li n k fi l t e r w i t h t h e c o n c e p t o f c o n v e r g e n c e i n t o p o l o g i c a l s p a c e s t o d i s c u s s o t h e r t h i n g s . d e fi n i t i o n 2 . 5 . f o r a h a u s d o r ff t o p o l o g i c a l s p a c e ( 0 , 刀， a fi l t e r u o n i , a n d ( 二 ) 。 ， c s i , w e d e n o t e t 一 妙x ; = x o i f f o r e v e ry n e i g h b o r h o o d n o f x 0 , w e h a v e i e i : x i en u . i n t h i s ， ， : 。 i s c a l l e d t h e l i m i t o f ( x i ) i e , a l o n g t h e fi l t e r u . l i m i t s a l o n g a fi l t e r “a r e u n i q u e . i f “is a fi l t e r o n n a n d( 二 。 ) i s a s e q u e n c e i nrt h e n li m u x e x is t s a n d l i m i n f x li m x 0 t h e r e e x i s t s a s u b s p a ce n c e w i t h t h e s a m e d i m e n s i o n a s m a n d a li n e a r m a p t: m * n, s u c h t h a t ( 1 一 e ) i ix jj 0 , w e h a v e 0 样 纵. ( 2 ) i f 队ve 为， t h e n , b a s e d o n t h e d e fi n i t i o n o f 为， w e k n o w t h a t p ( a u ) =0 a n d p ( a v ) =0 . s i n ce fi t i s a v - a l g e b r a , w e h a v e u f l v e 9 a a n d 0 p ( a u n v ) = p ( ( a u ) u ( a v ) ) p ( a u ) + p ( a v ) =0 . s o un v u . ( 3 ) s u p p o s e t h a t u e 1 1 a a n d e 9 a w i t h u ( u e ) =0 . s i n c e a e c ( a u ) u ( u e ) , w e h a v e 0 , ( a e ) a ( a u ) + p ( u e ) = 0 . t h u s e e场 . t h e r e f o r e u a i s a ( fi t , u ) - fi l t e r . u s i n g a s i m i l a r a r g u me n t , w e h a v e t h e f o l l o w i n g : u l t r a p o w e r s o v e r ( fi t , p ) - u l t r a fi l t e r s e x a m p le 3 .4 . s u p p o s e p a= o o a n d 1 .(f -0 e 。 9r : p (q e ) o o . t h e n u f is a ( 9 r , p ) - fi l t e r . n e x t , w e w i ll s h o w t h a t g i v e n a n a r b i t r a ry ( fi t , 川 - fi l t e r , t h e r e a l w a y s e x i s t s a ( fi t , 川 - u l t r a fi l t e r c o n t a i n i n g t h e g i v e n ( 9 9 1 , i t ) - fi l t e r . p r o p o s i t i o n 3 . 5 . i f f t i s a n a r b i t r a ry ( fi t , p ) - fi l t e r , t h e r e e x is t s a 阿 , p 卜 u l t r a fi l t e r 场 c o n t a i n i n g 从 p r o o f : l e t x b e t h e s e t o f a l l ( fi t , p ) - fi l t e r s c o n t a i n i n g ll . w e c o n s i d e r t h e p a r t i a l o r d e r in g o n x g iv e n b y in c lu s io n , (t h a t is 2 9 1 2 9 2 if 2 17 1 c 2 17 2 ) n o w l e t !v b e a c h a i n i n x a n d l e t 2 9 0 = u 2 9 . w e c l a i m t h a t wo is a n u p p e r 如 e 2j b o u n d f o r 刃in x . i t i s c l e a r t h a t 2 1 7 2 9 0 f o r a n y叨 刃. s in ce 1 1 c四 f o r a n y四 e刃 ， w e h a v e uc ( j叨=卯。 w e 公 n e x t w e w i ll p r o v e t h a t 2 9 0 i s a ( 2 9 , p ) - fi l t e r ( 1 ) f o r a n y 2 1 7 zj , * h a v e 。e 2 9 a n d 0 0 2 9 . s o , 。 u 叨 =w o a n d 四 c 刃 0 0 u =叨6 口 ve!v ( 2 ) f o r a n y u 1 , u 2 2 9 o , t h e r e e x i s t s 2 9 1 e !v a n d 2 9 2 e ! ) s u c h t h a t u 1 e 2 9 1 a n d 巩e 叽h o w e v e r , s i n c e 刃i s a c h a i n , e i t h e r 2 1 7 1 叽 o r 叽 0 , w e h a v e u f ,f e 11 . a s ii f一 f jil - ”。 ， t h e r e e x i s t s n o n s u c h t h a t ilf n 一 f ijl - 。 。 ) d e fi n e f -0 。 。 。 : ilf n p (w ) 一 f (w ) ii _ f . t h e n w (f ) =0 . f o r a n y 。 u 1 , z u 1 , , w e h a v e f o ( u) ) j i a n d 。 f . w e n o w h a v e 。 i m, 扒 u1) ju (f ) = 0 , a n d b y t h e d e fi n it io n o f ( fi t, il )- fil t e r , u 1 “ s o n u is a c l o s e d s u b s p a ce o f l ( ,u , y ) . 口 s o ( y ) u =l - ( f t , y ) / n i s a b a n a c h s p a c e e q u i p p e d w i t h t h e q u o t i e n t n o r m . w e d e n o t e e l e m e n t s i n l - ( y , y ) / n b y f =f +n u ( f e l - ( ju , y ) ) , a n d iif ii(y )。 二 恶 elf + 9 il m (,.y ) l e m m a 3 . 1 5 . f o r a n y f l w (p , y ) a n d a n y (0 , 1, )- u l tr a fi lt e r 从 li m u ll f (w ) ii e x is t s , a n d lim i t 11 f (w ) 11 ( iial - p r o o f . w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e a s s u m e t h a t jj f jj l -(1 . 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