（基础数学专业论文）一些关于数论函数的均值及包含数论函数的特殊方程.pdf

摘要 摘要 众所周知，数论的一个重要内容就是研究数论函数的各种性质一直以 来，各个时代的数学家对于整数性质的研究都十分罩视，并且做出了重大贡献， 取得了许多数论方面的具有理论意义的研究成果随着时代的发展，一些古老 的数论问题被解决了，但是更多的新问题又会出现著名的美籍罗马尼亚数 学家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 一生中提出了许多有趣的问题和猜想1 9 9 3 年，他在 o n l yp r o b l e m s ，n o ts 0 1 u t i o n s 一书巾提出了1 0 5 个未解决的数论函数和序列 等的问题及猜想，随着这些问题的提出许多学者都对此进行了深入的研究，并获 得了不少具有重要理论价值的研究成果 本文主要研究了一些数论函数的均值估计，以及一些包含s m a r a n d a c h e 函数 的特殊方程的正整数解的问题等具体说来，本文的主要成果包括以下几方而： 1 研究了包含七次幂补数的级数得到了两个有趣的恒等式此外，我们研究 了一个新的数论函数的均值性质，并给出了两个较强的渐近公式 2 研究了包含数论函数靠( n ) 的特殊方程 势惭( 掣)i = 1 、 7 的可解性问题，并且得到了十分有趣的结果 3 s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 在初等数论的研究中具有很重要的地位本文利用 初等方法研究两个包含s m a r a n d a c h e 函数的特殊方程的解的存在性问题，并给出 了方程的所有正整数解 4 主要利用初等方法研究了一个包含伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数的方 程，并得到了十分有趣的结果 关键词：s m a r a n d a c h e 函数：伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数；渐近公式；均值； 方程：正整数解 1 西北大学硕士学位论文 s o m em e a nv a l u e so na r i t h m e t i c a lf h n c t i o n s a n de q u a t i o n si n v 0 1 v i n ga r i t h m e t i c a lf h n c t i o n s a b s t r a c t ( 英文摘要) i ti sw e uk n o w nt h a ts t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so fa r i t h m e t i c a lf h n c t i o n si sa n i m p o r t a n tp a r to fn u m b e rt h e o r y v a r i o u st i m e sm a t h e m a t i c i a n sp a i dg r e a ta t t e n t i o nt os t u d yt h ep r o p e r t i e so fi n t e g e r s ，a n dg o tt h e o r e t i c a lr e s u l t so nn u m b e r t h e o r y w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h et i m e s ，s o m eo ft h eo l dp r o b l e m sh a eb e e n s 0 1 v e d h o w e v e r ，m o r ea n dm o r en e wp r o b l e m sw i l la r i s e a r i l e r i c a n r o m a n i a n n u m b e rt h e o r i s tf 1 0 r e n t i ns m a r a n d a c h ei n t r o d u c e dh u n d r e d so fi n t e r e s t i n gs e - q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf h n c t i o n s ，a n dp r e s e n t e dm a n yp r o b l e m sa n dc o i l j e c t u r e si nh i s1 i f e i n1 9 9 3 ，h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d“o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s h ep r e s e n t e d1 0 5u 1 1 s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sa b o u t t h e s ef u n c t i o n sa n ds e q u e n c e si ni t m a i l yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s es e q u e n c e sa n d f h n c t i o n sf t o mt h i sb o o k ，a n do b t a i n e di m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fs o m ei m p o r t a n ta r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，a n dp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n so fs o m es p e c i a le q u a t i o n s w h i c hi n v o l v i n gs m a r a n d a c h ef u n c t i o n t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i s d i s s e r t a t i o na r ea sf b l l o w s ： 1 t h em a i np u r p o s ei st os t u d yt h e 七一p o w e rc o m p l e m e n tn u m b e rs e r i e s ， a n dg e tt w oi n t e r e s t i n gi d e n t i t i e s w 6s t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fan e w a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n ，a n dg i 、r et 、os h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l a s 2 w es t u d i e dt h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n 势惭(i = 1 、 n ( n + 2堕) ， a n dg o ts o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s 3 s m a r a n d a c h ef u n c t i o ns ( 几) h a sv e r yi m p o r t a n tp o s i t i o ni nt h es t u d yo f n u m b e rt h e o r y w eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yt h es o l u t i o n so fs o m e e q u a t i o n si n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ef b n c t i o n ，a n dg i v ea l l i t sp o s i t i v ei n t e g e r s o l u t i o n s 4 m a i n l yu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d ya ne q u a t i o ni n v 0 1 v i n gt h e p s e u d 伊s m a r a n d a c h es q u a r e f r e ef u n c t i o n ，a n dg e ts o m ev e r yi n t e r e s t i n gr e s u l t s k e y 、o r d s ： s m a r a n d a c h ef u n c t i o n s ；p s e u d 伊s m a r a n d a c h es q l l a r e f r e ef u n c t i o n ； a s y n l p t o t i cf o r n l u l a ；a i e a nv a l u e ：e q u a t i o n ；p o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n 2 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：丞难 指导教师签名：站么! 辈告 力谚年多月膨曰锄酽年舌月j f 夕日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：张- 矛 矽口g 年月口日 第一章绪论弗一早殖比 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 数论是数学中最纯粹最古老的一个重要分支数论的主要内容是研究数的 规律，特别是研究整数性质随着其它数学分支的发展，研究数论问题的方法和 思想也在不断地发展在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论已经不仅 仅是一门纯数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，现代数论已经深入 到数学的许多分支。比如在今天，数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电 子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用 我们知道，当自变量n 在某个整数集合中取值，囚变量取实数值或复数值的 函数秒= 。厂( n ) ，这种函数称之为数论函数或者算术函数由于许多数论或者组合 数学中的许多问题均可以化为一些数论函数来讨论，所以数论函数是一类非常重 要的函数，是数论巾的一个重要研究课题而数论研究的一个主要内容就是数论 函数的各种性质，如函数的均值问题我们知道很多重要的数论函数的取值往往 很不规则，然而它们的均值厂( 礼) 却有非常优美的渐近公式，我们研究数论函 矗z 数的性质主要是研究该函数的均值性质1 4 】【1 8 】， 数论函数的均值性质及包含数论函数的特殊方程的正整数解的问题都是数 论的重要研究课题许多未解决的数论难题都与之密切相关，这些问题的解决给 我们提供了一些进一步研究数论问题的思想和方法，冈而在这一领域取得任何实 质性进展都是十分有意义的 美籍罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 【1 】在o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中，提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题对其中的一些问题进行研究， 并给以一定程度上的解决，是有趣并有一定的理论意义的研究课题 基于以上的想法，我们应用初等数论、解析数论等知识对他提出的几个数论 中未解决的问题进行了研究，主要研究了数论中一些著名和式的均值性质，特殊 方程的正整数解以及关于解的一些重要性质等问题 1 2主要成果和内容组织 如前所述，数论函数的均值性质及包含数论函数的特殊方程的正整数解的问 题都足数论的重要研究课题研究它们的特殊性质是有一定理论意义和价值的 本文主要研究了一些数论函数的均值性质，并得到了有趣的渐近公式；通过 分析数论函数之间的关系，构造了几个包含s a r a n d a c h e 函数的方程，讨论了方 程的可解性，并给出所有正整数解这些内容分布在第三章至第六章具体说来， 本文的主要成果和内容组织如下： 1 。研究了包含老次幂补数的级数、得到了两个有趣的恒等式此外我们研究 了一个新的数论函数的均值性质，并给出了两个较强的渐近公式 西北大学硕士学位论文 2 研究了包含数论函数以( 佗) 的特殊方程 静蝴( 掣)i = 1 、 7 的解的存在性问题，并且得到了十分有趣的结果 3 s m a r a n d a c h e 函数s f n l 在初等数论的研究中具有很重要的地位本文利用 初等方法研究两个包含s m a r a n d a c h e 函数的特殊方程的解的存在性问题，并给出 了方程的所有正整数解 4 主要利用初等方法研究了一个包含伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数的方 程，并得到了十分有趣的结果 2 第二章数论发展史 2 1 数论的简况 第二章数论发展史 数论是数学中最纯粹的一个重要分支数论这门学科最初是从研究整数开始 的，所以叫做整数论后来整数论又进一步发展，就叫做数论了确切的说，数论 就是一门研究整数性质的学科 我们知道，人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的 需要，数的概念进一步扩充，正整数( 自然数) ，0 及负整数合起来叫做整数现实生 活和生产实践中的许多问题的变量是整数甚至是正整数有些问题归结为求不定 方程的整数解或正整数解，有些问题归结为求一些方程或不等式的整数解，并且 在所有的整数解中找出最佳解，等等 一直以来，数学家对于整数性质的研究都十分重视，获得了许多属于数论范 围的重要理论成果然而，数论巾的问题很多，一些古老的数学问题被解决了，但 是又有很多新的问题出现，等待人们去研究去解决众所周知，数论问题叙述简 明，很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人 解释清楚但要证明它却远非易事因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中 再也没有比数论更好的课程了任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习 题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作” 人们在对整数性质的研究中逐步熟悉了整数的特性，正是这些特性的魅 力吸引了古今中外许多数学家不断探索和创新这样，关丁数论的基本理论知识 也逐步完善了十八世纪末，德国数学家高斯集前人之大成，写了一本算术探 讨数论最基本的特有的研究方法就是高斯在这一天才著作中所创立的同余理 论这部书开始了现代数论的新纪元，是数论作为一门独立学科诞生的标志 2 2 数论的基本内容 随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展如果按照研究方 法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和儿何数论四个部分 初等数论是数论中以算术方法为主要研究方法，不求助于其他数学学科的帮 助来研究整数最基本的性质，是数论中最古老的分支它的主要内容有整数的整 除理论、不定方程、同余式等在各个文明古国的古代文化中都有着若干初等数 论的内容，古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱他与他的学派致力丁一些特殊 整数( 如亲和数、完全数、多边形数) 及特殊不定方程的研究公元前4 世纪，欧 几里德的几何原本通过1 0 2 个命题，初步建立了整数的整除理论他关于“素 数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范公元3 世纪，丢番图研究了若 干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程1 7 世纪以 来，费马、欧拉、高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容中国古代 对初等数论的研究有着光辉的成就，周髀算经、孙子算经、张邱建算 3 西北大学硕士学位论文 经、 数书九章等古文献上都有记载孙子定理比欧洲早5 0 0 年，西方常称此 定理为中国剩余定理秦九韶的大衍求术也驰名世界初等数论不仅是研究纯 数学的基础，也是许多学科的重要工具它的应用是多方面的，如计算机科学、 组合数学、密码学、信息论等 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的一个分支分析方法 在数论中的应用可以追溯到1 8 世纪欧拉的时代欧拉恒等式是数论中最重要的定 理之一，是算术基本定理的解析等价形式，揭示了素数p 和自然数n 之间的积性关 系他还提出了母函数法，利用幂级数来研究整数分拆，这导致圆法和指数和方 法的产生其后狄利克雷应用分析方法于1 8 3 7 年解决了首项与公差互素的算术 级数中有无限多个素数的问题，又于1 8 3 9 年推证出二次域的类数公式他创立了 研究数论的两个重要工具，即狄利克雷( 剩余) 特征标与狄利克雷l 函数，奠定了解 析数论的基础1 8 5 9 年黎曼发表了一篇关于不大于z 的素数个数丌( z ) 的著名论文 论不大于一个给定值的素数个数，这是他在数论方面公开发表的惟一的文 章他认为素数性质可以通过复变函数( ( s ) 来探讨，并对复变函数( ( s ) 做了深刻的 研究，得到许多重要结果特别是他建立了一个与( ( s ) 的零点有关的表示丌( z ) 的 公式因此研究素数分布的关键在于研究复变函数( ( s ) 的性质，特别是( ( s ) 的零 点性质这一杰出的工作，是复变函数论的思想和方法应用于数论研究的结果 黎曼开创了解析数论的新时期也推动了单复变函数论的发展1 8 9 6 年，阿达马 与瓦莱一普桑用解析方法同时并且相互独立地证明了素数定理即当z _ 时， 7 r ( z ) 一z l nz ，从此解析数论丌始得到迅速发展1 9 4 9 年，塞尔伯格与爱尔特希分 别给出了对于素数定理的一个十分初等的分析证明，当然它是很复杂的解析数 论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究，解析数论的 方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的个分支数学家把整数概念推 广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念不少整数问题 的解决要借助于或者归结为代数整数的研究代数数论主要起源于对费马猜想的 研究费马猜想( 不定方程扩+ 圹= z n ( 扎 2 ) 没有z 可z 0 的整数解) 的证明 可归结为n = 4 及n 为奇素数情形的证明高斯关于二次域的研究是代数数论的另 一个重要起源1 8 0 1 年，高斯发表的著名著作算术研究，展示了他的一个杰 出的思想：把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环 上来研究，这也导致了代数数论的歼端代数数论也是活跃的数学前沿理论，一 方面是对一些古典问题得出新的结果另一方面就是不断开辟新的研究领域，如 数域的阿贝尔扩张理论代数数论的一大特点是，不仅由它可解决一系列整数规 律问题，而且它的成果几乎可以用到每一个数学领域中总之，代数数论也是整 数研究的一个自然的发展，代数数论的发展也推动了代数学的发展， 几何数沦是应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支，是研究丢番图 逼近、代数数论的重要工具1 7 1 8 世纪间，拉格朗u 和高斯等就已开始以几何 观点研究二次型的算术性质1 8 9 1 年，德酬数学家、物理学家闵可夫斯基发表了 数的几何第一篇论文，并于1 8 9 6 年出版了数的几何学一书从此，数的几何成 4 第二章数论发展史 为数论的一个独立分支几何数论研究的基本对象是“空间格网”什么是空间 格网呢? 在给定的直角坐标系卜坐标全是整数的点叫做整点；全部整点构成的 组就叫做空间格网空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义由于几何数论 涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究 2 3 数论的地位 数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支，在数学中的地位是独特 的素有”数学王子”之称的1 9 世纪德国数学大师高斯就曾说过“数学是科学的皇 后，数论是数学中的皇冠”数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题， 叫做“皇冠上的明珠”以鼓励人们去“摘取” 数论是数学不可分割的一部分，甚至是拉动数学发展的重要内部动力在研 究数论问题的过程中，人们往往先根据一些感性知识，小心地提出猜想，也就是问 题，这些问题通常是描述整数性质的某种规律然后，数论工作者要用严格的数学 推理来证明它们被证明了的猜想就变成了定理，但也有不少猜想被否定了例 如：黎曼( r i e m a n n ) 猜想，它不仅是数论而且也是数学中最重要的问题，这是因为 众多有用问题的解决需要依赖于黎曼猜想的解决哥德巴赫( g o l d b a c h ) 猜想与费 马( f e r m a t ) 猜想也是非常重要的这两个问题本身都没有什么意思，但对它们的 研究导致了非常重要的数学发展这些世界难题对我们现实牛活有什么作用，就 是证明了，像”哥德巴赫猜想”，在证明他的过程中数学家发现了很多新的：i ：具，新 的方法，这些方法为数学的发展起到了很大的促进作用! 大多数人都认为，数论是一门高度抽象的数学学科，研究数论是枯燥的，没 有意义的然而，事实卜并非如此众所周知，在计算机科学与电子技术深入发展 的今天，数论得到了广泛的应用数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电 子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用当前利用大素数作为密钥 的密码体系安全级别都非常高目前与普通人生活密切相关的银行、通讯等领域 使用的密码体系也是基于数论的数论还可以提高人的心智水平数论中难题的 解决或部分解决，这些优美的证明，对思维起到了训练作用研究数论问题，还激 发了人们的好奇心，提高了人们创新精神由此可见，数论与数学密切相关，与人 们的生活的各个方面也密切相关数论的地位是举足轻重的 5 西北大学硕士学位论文 第三章关于一些数论函数的均值 3 1关于忌次幂补数的恒等式 3 1 1引言 对任意给定的自然数七2 及任意正整数n ，若钆( 钆) 是能够使n o 七( n ) 为完 全七次幂的最小正整数，则称。惫( 礼) 是n 的后次幂补数特别对七= 2 、3 、4 ，我们 称0 2 ( n ) 为n 的平方补数，n 3 ( 扎) 为n 的立方补数，n 4 ( 礼) 为佗的四次补数在文献【l 】的 第2 7 个问题中，美籍罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教授建议我们研究忍次 幂补数。七( n ) 的性质关于这个问题，许多学者进行过研究获得了不少具有重要 理论意义的研究成果例如：张文鹏教授在文献【2 j 中运用初等方法研究了级数 的计算问题，其中s 为任意满足r e ( s ) 1 的复数，并得到了几个有趣的恒等式 乐茂华教授在文献 3 j 中研究了级数 = 薹锚 的敛散性，其中m21 是正整数，并且证明了这两组级数是发散的 但是，关于七次幂补数的性质，我们目前仍知道得很少在这一部分，我们将 利用初等方法给出 # 婴 鲁凡虬n 譬( n ) 的计算公式即就是证明了下面的结论： 定理3 1 ： 对任意复数q ，p 且r e ( q ) 1 ，冗e ( p ) 1 ，我们有恒等式 薹南划9 ( 1 + 需) 其中( ( a ) 是冗沈仇口n 佗z e o 一函数表示对所有素挪求积 p 定理3 2 ： 对任意复数q ? 且r e ( q ) 17 兄e ( p ) 17 我们有恒等式 = ( 1 一筹杀辫) 泓q ，珥( ，+ 需) 一n 1 一“ 一nn 脚 高 佃嘲 = 吼 n 一型 (一q 一诧 佃嘲 第三章关于一些数论函数的均值 注意到( ( 2 ) ：萼，( ( 4 ) ：磊及( ( 8 ) = 妾未根据定理我们可以立即得到下 面两个推论： 推论3 1 ：在上述定理中取q = p ，= 2 ，我们有 + 几= 1 2 t n + 竹= l( 佗n 2 ( n ) ) o ( n 0 2 ( n ) ) q e 2 ( 2 q ) ( ( 4 q ) 一幽竺兰 一( ( 4 0 ) 4 a + 1 # ( 一1 ) n rl 二尘： 刍( n n 2 ( 几) ) 。一 1 ， n2 p 1 p 呈2 壤是几的标准分解式时，( n ) 2 罡鉴面i ) 厂( n ) 的前几个 值是! 厂( 1 ) = 1 ，厂( 2 ) = 三，( 3 ) = 三，厂( 4 ) = 吾，( 5 ) = 丢，厂( 6 ) = 三，( 7 ) = 三， ，( 8 ) = 三，( 9 ) = 吾，( 1 0 ) = 丢，( 1 1 ) = 三， 一般地，对任意素数p 和任意正整数口，我们有厂( 矿) = _ 壬关于函数厂( n ) l 十q 的性质，似乎还没有人研究过本小节的主要目的是使用初等及解析的方法来研 究函数t 厂( 几) 的均值性质，并给出了较强的渐近公式即就是，我们将证明下面的： 定理3 3 ：对任意实数z 1 我们有渐近公式 砌) = 吉z + o ( z ) 定理3 4 ：对任意实数z 1 ，我们同样有渐近公式 三( 砌，一努去器山。( z ；) ， 其中( ( s ) 是尼e 仇。彻，z e o 函数 3 2 2定理的证明 在本小节，我们将使用初等及解析的方法来证明我们的定理首先，我们给 出两个简单的引理： 引理3 1 【4 】： 对任意实数z 1 ，令a 表示所有s g 乱。他如f l 数的集合，我们有 渐近公式 三1 = 器。+ 器。+ 。( z ；) ， 其中c ( s ) 是r i e m n 彻：z e n 一函数 引理3 2 【4 】：对任意实数z 1 ，令c 表示所有的c 乱跣c 咖f f 数的集合，我们有 渐近公式 1 = z + o ( z j ) ，z j、， 礼z 。 其中是可计算函数 现在我们用这两个引理来完成定理的证明事实上，对任意正整数n 1 ，我 们可以把它写成n = p ? 1 p 呈2 p 芸。是n 的标准分解式，那么根据函数厂( n ) 的定义， 我们有 ，( 礼) n 1 ，且竹= p 1 p 詈2 p 嚣，其 中q 1 ，口2 ，q | 南2 b 表示不属于a 的所有正整数的集合很显然，( n ) 1 ， 根据集合a 的定义及引理3 1 ，我们有 结合【3 1 ) 、( 3 2 ) 曲式，找们且b j 得剑 ，( n ) = 1 + ，( 佗) + ，( n ) n z礼 zn z 竹n b =1 + d ( z j ) + 三z + o ( z ；) = 三z + o ( z ) ( 3 1 ) 这就完成了定理3 3 的证明 现在我们来证明定理3 4 根据函数，( n ) 的定义及s q u a r e - f u l l 数的性质，我们 有 ( 砌) 一三) 2 n 如( 竺：) i = 1 、7 1 2 第四章一个关于靠( ，z ) 函数的方程 证明：根据数论函数以( n ) 的定义，我们可知： ( 1 ) 当n = 4 m 时，则有 4 m 6 2 ( i ) i = 1 z + 1 = 型掣+ 2 m z 4 mf 4 m 2 2 忙 ：4 m 2 + 2 m 但是另一方面 如( 掣) m c 4 m + 1 ，= 4 m 2 + m 6 2 ( ，掣 、( 1 石m 石f 鼍竺坠兰! ! ! 厶“r ，7 、9 l = l ( 2 ) 当几= 4 m + 3 时，此时有 但是 掣南f i l ff + f1 ：( 兰竺! ! ! ( ! 竺璺2 ! ! + 2 m + 1 如( i ) 2 f + 1 = 塑芏型号坚旦型+ 2 m + 1 i = 1 l 4 7 凡+ 3f 4 m + 3 2 2 = 4 m 2 + 8 m + 3 ， 6 2 ( 尘堑! 主半) ( 4 m + 3 ) ( ，n + 1 ) = 4 m 2 + 7 m + 3 如( 堕掣笋业) 结合上面( 1 ) 、( 2 ) ，我们就完成了引理4 1 的证明 引理4 2 ：若七= p ( 奇素数) ，当n = 印或者n = 切一1 ( = 1 ，2 ，) ，我 们有不等式 厶 以( 掣) 证明：( 3 ) 当n = 印时，我们有 z = z 一z = 掣一掣 f t pf p2 s p ( f ，p ) = 1p i f 七 r o 妒斟 西北大学硕士学位论文 但是 但是 2 p 2 一2 p 一 2 以( 掣) 掣f d 澍 注觏在和式中，至少存在一项使得删 ( 例如：如( 4 m ) m p 一2 时，那么对任意正整数f ( t ：1 ，2 ，) ，我们有： ( c ) 若n = 印+ r ( 1sr p 一2 是正整数) ，则有 。 萋卜 = 佗汹 力蜮 n 汹 西北大学硕士学位论文 以( 掣) = 掣 注意到，在和式以( ) 中至少存在一项使得以( i ) i ( 例如：以( t p ) t z = l 印) ，于是有 壹晰) p 一2 时，方程无解 综上( i i i ) 及( i i i i ) ，方程此时有且仅有p 一2 个正整数解，它们分别是礼= 1 ，2 ，p 一2 这就完成了定理4 2 的证明 未解决的问题当尼= 硝1 理2 p 芋8 ( q i = 1 ，2 ，3 ，f = 1 ，2 ，s ) 时， 令p = m i n p 1 ，p 2 ，p 。) 那么很显然，当p 是奇素数时，n = 1 ，2 ，p 一2 是 方程( 4 1 ) 的正整数解；当p = 2 时，方程( 4 1 ) 有且仅有一个正整数解n = 1 该方 程是否还存在其它的正整数解是我们需要进一步研究的问题 1 6 第五章包含s m a r a n d a c h e 函数的方程 第五章包含s m a r a n d a c h e 函数的方程 5 1一个包含s ( n ) 和s 三( 仃) 函数的方程 5 1 1引言 对任意正整数n ，著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 定义为最小的正整数m 使 得n i m ! ，即s ( n ) = m i n m ：死i m ! ，m ) s ( 几) 的前几个值为：s ( 1 ) = 1 ， s ( 2 ) = 2 ，s ( 3 ) = 3 ，s ( 4 ) = 4 ，s ( 5 ) = 5 ，s ( 6 ) = 3 ，s ( 7 ) = 7 ，s ( 8 ) = 4 ， 类似地，对任意正整数n ，著名的s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( 佗) 定义为最小的正 整数后使得佗i 【1 ，2 ，翻，其中【1 ，2 ，纠表示1 ，2 ，七的最小公倍数 例如，s ( 1 ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，s l ( 3 ) = 3 ，s l ( 4 ) = 4 ，s ( 5 ) = 5 ，s l ( 6 ) = 3 ， s l ( 7 ) = 7 ，s l ( 8 ) = 8 ，若佗= p 宇1 建2 p 暑是n 的标准分解式，那么根据函 数s ( n ) 和s l ( 礼) 的定义有 s ( n ) = m a x s ( 衍1 ) ，s ( p 呈2 ) ，s ( 壤) ) ， s l ( 佗) = m a x p 1 ，p ；2 ，p ：2 ) 在本节中，我们将使用初等方法来研究方程 s ( d ) = s l ( d ) ( 5 1 ) d l 佗d l 佗 的正整数解，并给出关于该方程解的渐近公式即就是，我们将证明： 定理5 1 ：方程( 5 1 ) 有有限个解，它们是n = 1 ，2 。p 1 优m ，其中尼是任 意正整数，口= 0 ，1 或者2 ，且2 p 1 1 ，n = p 芋1 劣2 醭。( p 1 p 2 1 ，无妨设他= 2 。群1 p 呈2 壤( 2 p 1 1 分为以下三种情 况来讨论： ( 1 ) 当a = 0 ，1 ，我们有 ( a ) 如果q l = 0 2 = = q 七= 1 也就是说，扎= p l p 2 m 或n = 劲l p 2 矶，则对礼的任意因子d ，我们有s ( d ) = s l ( d ) ，此时方程( 5 1 ) 成立 ( b ) 如果至少有一项q i ( i 2 ) ，则我们有 s f ) 冬0 1 i p i ，s l ( p ) = 露 很显然方程( 5 1 ) 此时不成立 ( 2 ) 对于q = 2 ，q 1 = q 2 = = q 詹= 1 ，我们有 ( c ) 如果p 1 = 3 ，即就是n = 4 3 n l ( 1 2tn 1 ) ，则有 s ( d ) = d i nd l 札】 d l 几l s ( d ) + s ( 2 d ) + s ( 4 d ) + s ( 3 d ) + s ( 6 d ) + d l 几1d i n ld i n ld i n l s ( 1 2 d ) 1 8 、ilj， s + 艺帆 、l一、 1 一 s 4 p 帆厂弋 +、一、 1 n ：、 一 0 s f 1 毗 2 口， 此时方程( 5 1 ) 不成立 综上所述，方程( 5 1 ) 有有限个解，礼= 1 ，2 q p l p 2 m ( q = o ，l 或者2 ) ，其 中2 p 1 m 是各不相同的素数这就完成了定理5 1 的证明 现在我们来证明定理5 2 由e u l e r 乘积公式( 参阅文献【9 】定理1 1 7 ) 及m 抽i u s 函数的性质，我们有 薹掣+ 去薹掣：吣辨掣 ( 1 + 赤) 珂( 1 + 专) = 怒等 这就完成了定理5 2 的证明 我们最后来证明定理5 3 由m 孙i u s 函数弘( 礼) 的性质，我们有 f 1 ： ：j n z n a i 弘( n ) l + i p ( n ) i = p ( d ) + p ( d ) 礼s z n 吾 几s 。d 2 1 7 l n 吾d 2 i n 2 t n2 协 p ( d ) + p ( d ) = p ( d ) + p ( d ) d 2 f z d 2 f 吾 d 2 s 。1 z 毒d 2 吾1 s f s 赤 2 t d 2 z2 t d2 t f = “( f z ) 1 + p ( d ) d 2 s z 1 s f 毒 d 2 詈 2 t d 1 f 赤 2 t f 回“ c 0 帆 = 回双 帆 有们我以所 1 矛 剃 西北大学硕士学位论文 注意到 和 则有 = p ( d