（基础数学专业论文）渐进非扩张半群的迭代及其收敛性.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 渐进非扩张半群的迭代及其收敛性 学科专业：应用数学研究方向：非线性泛函分析 指导教师：邓磊教授 研究生：李丽( 1 1 2 0 0 7 3 1 4 0 0 0 0 4 8 ) 摘要 本文围绕渐进非扩张半群收敛性这个方向展开研究，包括以下三个方面的内 容： 1 在自反严格凸的具有一致g h t e a u x 可微范数的b a n a c h 空间内关于广义渐 近非扩张自映射半群引入新的迭代序列在适当假设下，证明了所引入的迭代序 列 z n ) 收敛于变分不等式 ( 厂仞) 一p ，j ( u p ) ) 0vy f 的唯一解 2 在自反严格凸的具有一致g h t e a u x 可微范数的b a n a c h 空间内关于渐近非 扩张自映射半群引入逼近不动点的新的迭代序列，并证明其收敛于变分不等式的 唯一解 3 在h i l b e r t 空间中运用了数学规划中h y b r i d 方法证明关于渐近非扩张半群 的修正粘性迭代强收敛定理 关键词：粘性迭代格式；渐进非扩张半群；自反严格凸b a n a c h 空间；一致渐进 正则 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i t e r a t i v ea n dc a s y m p t o t ，i c a l l y b e m l g o n v e r g e n c et o r n n o n e ) c p a n s i v e r o u p s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl e id e n g n a m e ：y h l il i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ep r o b l e mo fc o n v e r g e n c ef o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v es e m i - g r o u pi sm a i n l yf o c u s e d ，i n c l u d i n gt h ef o l l o w i n g t h r e ea s p e c t s ： i ns e c t i o n1 ，w ei n d u c ts o m en e wi t e r a t i v es e q u e n c e sa b o u tg e n e r a l i z e da s y m p - t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v es e l f - m a p p i n g ss e m i g r o u pi nr e f l e x i b l ea n ds t r i c t l yc o n v e xb a - n a c hs p a c ew i t hau n i f o r m l yg a t e a u xd i f f e r e n t i a b l en o r m u n d e rs o m ep r o p e rh y - p o t h e s i s ，w ep r o v et h a tt h es e q u e n c e s z n ) c o n v e r g es t r o n g l yt ot h eu n i q u es o l u t i o n o ft h ef o l l o w i n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ： ( ，0 ) 一p ，j ( y p ) ) 0vy f i ns e c t i o n2 ，w eg i v es o m en e wi t e r a t i v es e q u e n c e sa b o u ta s y m p t o t i c a l l yn o n e x - p a n s i v es e l f - m a p p i n g ss e m i g r o u pi nr e f l e x i b l ea n ds t r i c t l yc o n v e xb a n a c hs p a c ew i t h au n i f o r m ， 1 yg s t e a u xd i f f e r e n t i a b l en o r m a n dp r o v et h a tt h es e q u e n c e s convergestrongly t ot h eu n i q u es o l u t i o no fs o m ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y i ns e c t i o n3 ，w es h o w 盘t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m so fm o d i f i e dv i s c o s i t yi t e r a t i v e f o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v es e m i g r o u p si nah i l b e r ts p a c eb yt h eh y b r i dm e t h o d i nt h em a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g k e y w o r d s ：v i s c o s i t yi t e r a t i v es c h e m e ；a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v es e m i 。 g r o u p ；r e f l e x i v ea n ds t r i c t l yc o n v e xb a n a c hs p a c e ；u n i f o r m l ya s y m p t o t i c a l l yr e g u - l a x 1 1 独创性声明 学位论文题目： 渐进韭芷韭坐登的造岱及墓 收敛：隆 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：李亚丽签字日期：20 口年年月侈日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：饧不保密， 口保密期限至年月止) 。 力 学位论文作者签名：孪亚而 导师签名：影警名勃 j 签字日期： 2 田，d 年年月5 日 签字日期： 2 驴，口年+ 斗月石e t 西南大学硕士学位论文前言 a b s t r a c t i - ! 刍 刖旨 自2 0 世纪初b a n a c h 证明了b a n a c h 压缩映像原理后，特别是最近二三十年来， 由于实际需要的推动和众多学者们不断努力，不动点理论及应用的研究取得重要 的进展不动点理论与数学许多领域密切相关，特别是方程( 代数方程、微分方程、 积分方程等) 以及变分不等式解的存在性与唯一性问题的研究有力地推动着不动 点理论的发展 在非线性数学领域中，不动点存在性理论一直被看作是强有力的工具之一当 今，科学计算在科学研究中的地位日益提高，对非线性算子不动点的可计算性要求 愈来愈迫切，这种要求促使近年来不动点理论的研究也呈现出新的变化，由证明不 动点的存在性为主转向研究不动点迭代算法为主因此，非线性算子不动点迭代算 法是泛函分析和计算数学以及其它应用科学相结合的产物特别是近1 0 多年来，利 用迭代方法逼近非线性映像的不动点与非线性算子方程解的研究越来越广泛，从 空间的特征、映像的类型以及迭代序列的构造等方面，已经提出了诸多新成果 有界线性算子半群理论是2 0 世纪4 0 年代产生和发展起来的，作为泛函分析的 一个分支越来越被人们所重视，半群理论在解决抽象发展方程的c a u c h y 问题及在 对马氏过程的系统研究中都成为基本的数学工具，近年来在分布参数系统、现代 控制理论、滤波和信息处理、偏微分方程及随机过程等各个领域都得到广泛应用 b a n a c h 空间上有界线性算子半群理论，就是研究无限维空间中算子值函数方程 t ( s + t ) z = t ( s ) t ( t ) x ，t ，s 0 的解的理论 上世纪9 0 年代，s h i o j i 和t a k a h a s h i 在文f 1 】中给出了h i l b e r t 空间中非扩张 半群的隐式粘性平均迭代序列的强收敛定理在文【2 】中s h i m i z u 和t a k a h a s h i 仍在h i l b e r t 空间中证明了非扩张半群的显式粘性平均迭代序列是强收敛 的2 0 0 2 年，d o m i n y u e sb e n a v i d e s ，l b p e sa c e d o 和x u 3 在一致光滑b a n a c h 空 间中，在满足渐近正则性及相关条件下证明了非扩张半群的隐式和显式迭代序列 的强收敛性2 0 0 2 年，g a n gl i 和b r a i l e ys i m s 在文 4 中证明了在具有一致正规结 构的b a n a c h 空间中渐近非扩张型半群在适当条件下具有不动点2 0 0 7 年，c h e n 和s o n g 在文f 5 】中研究了具有一致g a t e a u x 可微范数的一致凸b a n a c h 空间中非扩 张半群的隐式和显式粘性平均迭代序列的收敛性问题 本文第一章在b a n a c h 空间中引入了如下隐性粘性迭代格式及显性粘性迭代格 l 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t 式 z 矗= a 矗，( z n ) + ( 1 一q n ) t ( t n ) z n 和 ， iz n = q n y n + ( 1 一q n ) 丁( t n ) z n 【蜘= 风f ( x ) + ( 1 一风) z n 一1 其中【t ( 九) ：h o 】- 是一广义渐进非扩张自映射半群，是一固定压缩映射具有压 缩系数p ( 0 ，1 ) ， c g n ) c ( 0 ，1 ) ，并证明序列 z n ) 强收敛到变分不等式 ( f ( p ) 一p ，j ( y p ) ) 0vy f 的唯一解p 在本文第二章中给出了如下隐性及显性粘性迭代格式 iz n = q n ，( z n ) + ( 1 一o l 。) t ( t n ) 3 n 【= ( 1 一阮) z n + 9 n t ( s n ) 辱n 及 ， jz n + l = a n ，( z 。) + ( 1 一o z n ) t ( n ) 3 k 【= ( 1 一风) z 。+ z t ( s 。) z n 并证明序列【z n ) 强收敛n p f ，其中 t ( 九) ：h o 】是一渐进非扩张自映射半群， ，是一固定压缩映射具有压缩系数p ( 0 ，1 ) p 是变分不等式( ，p ) - p ，j ( y - p ) ) 0vy f 的唯一解 第三章在h i l b e r t 空间中关于两个渐进非扩张半群给出如下修正粘性迭代： 任给z o k ， y n = q n f ( x n ) + ( 1 一口n ) t ( n ) ， z n = 风z n + ( 1 一风) s ( n ) z n ， c n = t ，k ：i l 一t ，i i i l z n 一秒0 + 九】， q n = ( 秽k ：( z 。一t ，z n x o ) o ) ， z n + l = p 乙n q 。( z o ) ， 其中【丁( ) ：h o ) 及 s ( ) ：h o ) 是两个渐进非扩张自映射半群，是一个非扩 张映射且当n _ o o ，瓦= 【( 1 一a n ) 0 ：一1 + ( 1 一风) 2l 2 1 ) ) + q 。】( d i 锄k ) 2 _ 0 ， 并证明了序列( z n ) 依范数收敛到p f ( ) 2 西南大学硕士学位论文第1 章b a n a c 瞳间r 瞰敛到广义渐近非扩张半群公共不动点定理 第1 章b a n a c h 空间中收敛到广义渐近非扩张半群公 共不动点定理，、。i吖j ，- ，工 1 1引言及预备知识 设c 是h i l b e r t 空间日的闭凸子集，t 是c 上一非扩张自映射用f ( t ) 表 示t 的不动点集。设f ( t ) 非空且“是c 的一个元素对每个，0 0 ，使得 对所有a m ，咖( 入) m + 入因此取i o = m a x ( m ) ，m + ) ，则对任意入0 ， ( 入) m o ( 1 + a ) ，则文【l o 】研究的完全渐近非扩张映射弱化为广义渐进非扩张映 射 广义渐进非扩张半群是k 上的一族自映射厂= 【t ( 7 1 ) ：h o ) 使得 ( i ) 对于z k ，t ( o ) x = z ； ( i i ) 对t ，。8 0 和z k ，t ( 8 + t ) x = t ( s ) t ( t ) z ； ( i i i ) 对z k ，l i m t o t ( t ) x = z ； ( i v ) 对每一h 0 ，t ( h ) 广义渐进非扩张的，即 i i t ( h ) x t ( h ) y l l ( 1 + 七：1 ) l l x 一i | + 砰，vz ，y k ， 若七孑兰0 ，则广义渐进非扩张半群弱化为渐进非扩张半群我们用f 表示厂的公 共不动点集，即， f ：= f 缸( 厂) = o 定义1 1 2 若忙l l = 蚓i = 1 且z y ，都有悭掣 l ，则b a n a u c h 空间e 称作严格 凸的 定义1 1 3 设= 【z e ：忙i | = 1 ) ，若对任一u ，l i m t oj l 苎= 掣对z u 一致存在，则e 的范数称作一致g h t e a u x 可微的 定义1 1 4 设肛是产上的连续线性泛函，设( a o ，a l ，) f 我们用p 。a n ) 代 替p ( ( 知，a l ，) ) 称p 为b a n a c h 极限如果p 满足对任意( a o ，a l ，) z 忆i i = p n ( 1 ) = 1 且p 。( n n + 1 ) = p n ( 口n ) 4 西南大学硕士学位论文 前 言 1 2 主要引理 众所周知，对于b a n a c h 极限p ，对每一口= ( a o ，a l ，) p ，都有! 瓯a n p n ( 口。) 而n - o v a n 因此，若a = ( a o ，a l ，) z ，b = ( b o ，b l ，) z 且 当n _ ，a 。一b n _ o ，就有p n ( n n ) = ( 6 n ) 定义1 1 5 设k 是b a n a c h 空间e 的非空闭凸子集，歹= t ( ) ：h o ) 是k 上连 续算子半群则歹称作k 上一致渐进正则的( 简称，u a r ) ，若对所有h 0 ，k 上 任意有界子集c ，l i m t s u p 正gi 丁( ) ( t ( t ) z ) 一t ( t ) x l l = 0 1 2主要引理 引理1 2 1 1 1 1 设e 具有一致g h t e a u x 可微范数的b a n a c h 空间，则由( 1 1 3 ) 定义 的正规对偶映射j ：e 一2 扩是单值的且在e 的任一有界子集从e 的范数拓扑 到e + 的弱+ 拓扑是一致连续的 单值正规对偶映射用歹表示 引理1 2 2 设e 是具有一致g h t e a u x 可微范数的自反严格凸的b a n a c h 空间， k 是e 的非空闭凸子集假设【z n ) 是k 上的有界序列， t ( ) ：h o 】为k 上一 连续广义渐进非扩张半群使得对所有的h 0 ，l i i _ ，0 z n t ( h ) x n l i = 0 定义集 合 。 k + = z k ：p n i i z n z 0 2 = g 碧0 z n y i l 2 ) f c 如果f o ，则k 。nf d 证明设9 ( u ) = p n l f z n 一训2 ，则g ( u ) 是一凸的连续泛函，且当i 0 0 ，g ( y ) _ o o 由 1 2 ，定理1 3 1 1 】及e 的自反性，存在z k 使得g ( x ) = i n f 分e k 夕( y ) ，即，k + 非空 显然，由g ( y ) 的凸性及连续性，k + 是闭凸的 因为l i m n l | z n t ( h ) x n 0 = 0 ，l i m b 。硝= 0 ( i = 1 ，2 ) j | - g ( y ) 是连续的， 对所有的名k 4 ，有 g ( 1 i mt ( h ) z ) = 。l i mg ( t ( h ) z ) = l i r np n o z n t ( h ) z l l 2 l i r np n i i t ( h ) x n t ( h ) z l l 2 。l i mp n ( ( 1 + 磺) l l x n z 0 + 砰) 2 = p n l i z n 一名l | 2 因此l i m b 。t ( h ) z k + 5 堕南大学硕士学位论文 1 3 广义渐进非扩张半群的强收敛定理 设p f 因为k + 是闭凸集，存在唯一的 k 使得 l l p v i i = 霍m k i n 。l l p z 因为p = l i m b - 0 0t ( h ) p 且l i m ，l 。t ( h ) v k + ， 0 p 一。l i m t ( ) 口i | = i ll i r at ( h ) p l i mt ( ) 训i n _ h - - * o o = ，l i mi i t ( h ) p t ( ) 0 ，i o o 、7” j l l 。i m 。( 1 十搿) l i p 一口i i + 一j l _ o 。、 n 。 。一 = i i p 一训i 因此，l i m b t ( h ) v = 因为对所有的z k ，t ( s + t ) x = t ( s ) t ( t ) x ，则对所有 的5 0 ，有 u = 2 罂t ( t ) = l i m t ( s + t ) v = 1 i m t ( s ) t ( t ) v = t ( s ) l i mt ( t ) v = t ( s ) v t + i t + - 一u o 因此t ，f 证毕 引理1 2 3 f 1 3 】设e 是具有一致g h t e a u x 可微范数的自反严格凸的b a n a c h 空间， k 是e 的非空闭凸子集， z n ) 是k 上的有界序列如果z o k ，则 肛n i i z n 一斫= m 掣i k n i i z n 一训2 当且仅当 p n ( 秒一z o ，j ( x n z o ) ) 0vy k 引理1 2 4 【14 】设( ) 是一非负实序列满足： a n + 1 ( 1 一入n ) n n + 6 n + 岛，v n n o ， 其中伽是一非负整数，k o ，l 】，甚lk = ( 3 0 ，l i m s u p n _ 惫oae ：= lc r i o 。，则当礼_ 。时，_ 0 1 3广义渐进非扩张半群的强收敛定理 定理1 3 1 设e 是实的自反严格凸b a n a c h 空间具有一致g h t e a u x 可微范数， k 是e 的一闭凸子集，歹= 丁( ) ：h o ) 是k 上u a r 广义渐进非扩张半群 6 西南大学硕士学位论文 前 言1 3 广义渐进非扩张半群的强收敛定理 具有序列( 七0 ) ， 砰) ，h o ，使得f d ，且，：k _ k 是一固定压缩映射 具有压缩系数夕( 0 ，1 ) 如果 z n ) 由( 1 1 1 ) 定义，其中l i i 。厶= ， ( 0 ，1 ) ，l i m n 。a n = 0j l l i m n 鲁= 0 ( i = l ，2 ) ，则序列 z 。) 强收敛f 的公共不 动点p 且p 是如下变分不等式的唯一解： ( ，( p ) 一p ，歹( 可一p ) ) s0vy f( 1 3 1 ) 证明：对任意固定的y f i i z n 一可0 2 = ( o t 竹( 厂( z n ) 一y ) + ( 1 一o t n ) ( t ( n ) z n 一可) ，j ( x n 一可) ) = 口。( ，( z n ) 一，( 可) ，j ( x n 一掣) ) + o t n ( ，( 可) 一y ，j ( x n y ) ) + ( 1 一q n ) ( 丁( t n ) z n t ( t n ) 可，j ( x n 一可) ) p o z n y 酽+ q n ( ， ) 一可，j ( x n 一可) ) + ( 1 一) i i z n y l l ( 1 - i - k ) ) l l x n 一引l + k ( 。2 】 = ( 1 一q 。( 1 一p ) + ( 1 一口n ) 惫) i l z 。一可i | 2 + q n ( ，( y ) 一可，j ( x 。一y ) ) + ( 1 一q 。) 尼) i l z n 一暑，叭 设馥) ：嚣k ( 0 ( i ：1 ，2 ) 为l i r a 一譬= 0 ，对所有的( o ，l p ) ，存在n 使 得对所有的佗n ，等 1 一p 0 使得0 z n y l l q ，则 i l z n 一可1 1 2 = ( o n ( ，( z 竹) 一y ) + ( 1 一q n ) ( t ( t n ) z n 一矽) ，歹( z n 一) ) = o t n ( ，( 。n ) 一，白) + p x nj ( x 住一y ) ) + o z n ( ，p ) 一p ，歹( z n y ) ) + q n ( z n 一剪，歹( z n 一暑，) ) + ( 1 一o l 。) ( t ( 如) z n t ( k ) 可，j ( z n 一可) ) q 。( 卢+ 1 ) l i z n p i q + o t n ( ，( p ) 一p ，j ( z n 一可) ) + i i z n y l l 2 + ( 1 一q n ) 碟q 2 + ( 1 一q n ) 鹾q 因此， ( ，0 ) 一p ，j ( y z n ) ) ( 卢+ 1 ) i l z n p l i q + ( 1 一q n ) 毋q 2 + ( 1 一q n ) d 窘q 1 3 3 ) 对( 1 3 3 ) 式两边取极限，由引理1 2 1 且当k _ o o 时， z n 。) _ p ，有 ( f ( p ) 一p ，j ( y p ) ) 0vy f 即，p f 是变分不等式( 1 3 1 ) 的解 如果p ，q f 满足( 1 3 1 ) ，则 厂p ) 一p ，j ( q p ) ) 0( 1 3 4 ) 西南大学硕士学位论文前言1 3 广义渐进1 1 e 扩张半群的强收敛定理 于是， ( f ( q ) 一q ，j p g ) ) 0 ( 1 一：) l i p g i j 2 ( ( p 一口) 一，( 计+ f ( q ) ，j ( p g ) ) 0 ( 1 3 5 ) 因此p = 口，即，p f 是变分不等式( 1 3 1 ) 的唯一解因此 z 竹) 的所有聚点都等 于p 即 ，h 0 ，使得f 毋，且，：k _ k 是一固定压缩映射具有压 缩系数p ( 0 ，1 ) 若 z 。) 由( 1 1 2 ) 定义，其中l i m n 。t n = ，q n ，风( 0 ，1 】， l i m n - + a 靠= 0 ，墨l 级= o o 且墨l 等 o o ，墨l 等 o 。，则序列 z n 强收 敛f 的公共不动点p 且p 是变分不等式( 1 3 1 ) 的唯一解 证明：对任意固定的y f l i z n 一可i l = i l a n ( 一y ) + ( 1 一o l 。) ( t ( t n ) z n y ) l i ( 1 一a n ) t i t ( t 竹) z n 一秽l | + a n l l 鲰一爹i l ( 1 一q n ) 【( 1 + 七) l l x n 一暑，0 + 七】+ a n i i 一y 设硝_ 嚣k ( o ( t 亨1 ，2 ) 因此， i i z 。一训 ( 1 一q n ) 衍) 1 一( 1 一q n ) 毋) 。1 l 一训 一( 1 一q n ) 毋 ，d 茅风l l f ( x 嚣一1 ) 一彭l l + ( 1 一风) i i z n l 一3 ，i i 二1 一d 9 ) 1 一毋) 禹+ 幽铲+ 哔拶州侧訾秽 ，( 1 一阮( 1 一p ) ) ( i i z n l y l | + 毋) ，! n ( 1 l f ( y ) 一可i j ! 垡乎) ：了= 万一- _ 诩) 一 南删x n - i - - y 忡识螋离堕 西南大学硕士学位论文 1 3 广义渐进j ! 扩张半群的强收敛定理 归纳可得， i l x n - y 雌南叫号擎埘， i i ( y ) 一训+ 艘1 i l l ( y ) 一圳+ 砰) 1 ( 1 一磷2 。) ( 1 一p ) 1 一p 正孺而m a x l t x l - y o + 娄矽，峄，警) 因为墨l 露) o 使得l i m 一( 1 一 毋) ( 1 一d i l ) = r 因此f z n ) 有界， t ( 如) z n ) ， 厂( z n ) ) 和 ) 也即有界于是 j 1 曼i | z n t ( t 。) z 。0 = ，l i m q n 0 一t ( t 。) z n 0 = 0 n n o o 因为 丁( ) ：h o 是u a r 且l i i 。o t n = o o ，则对所有的h 0 ， 恕l i t ( h ) t ( t n ) z n t ( t n ) z n i l 0 1 m 骝l i t ( ) t ( 如) z t ( k ) z l l = 0 - - p o d ， n n，- n 其中c 是k 的包含 z n ) 的任一有界集因为t ( h ) 连续，因此， l i z n t ( h ) x n 0 i i z n t ( t n ) z n 0 + i i t ( t n ) x n t ( ) ( t ( t n ) z n ) i l + l l t ( h ) ( t ( t n ) z n ) 一t ( h ) x 。l l _ 0 即，对任意的h 0 ， 1 i m0 z n t ( h ) x n 0 = 0 n - - 4 由定理1 3 1 ，存在p f 为变分不等式( 1 3 1 ) 的唯一解因为对任意的h 0 ， p = t ( ) 刀，于是， i | z n + l p i l 2 = + l ( 孙+ l p ，j ( x n + l 一彩) + ( 1 一+ 1 ) ( 丁( 气+ 1 ) z 。+ 1 一p ，j ( x n + 1 - p ) ) = q n + l ( 风+ l f ( x n ) + ( 1 一风+ 1 ) x n p ，歹( z n + l p ) ) + ( 1 一q n + 1 ) ( 丁( t n + 1 ) x n + 1 一p ，j ( x n + l p ) ) 1 0 西南大学硕士学位论文前 言1 3 广义渐进非扩张半群的强收敛定理 o l n 十l 风+ 1 ( ，( z n ) 一，0 ) ，j ( x n 十l p ) ) + o l n + l t 臼n + l ( ，p ) p ，j ( x n + l p ) ) + q n + l ( 1 一风+ 1 ) z n p ，j ( x n + l p ) ) + ( 1 一o r n + 1 ) l l x n + t p l l ( i + 碟：。) i | z n + 。一p i | + 碟：。】 + 。席+ 。堡监生! 竖芋监竺l 巡+ q n + ，( 1 一风+ 。) 业生! 坚之些趟 + ( 1 一n n + 1 ) i l z n + l p l l 2 + ( 1 一o ! n + l ，k 。1 + ) li i x 。+ 1 一p l l 2 十( 1 一o r n + 1 ) 兰，i i x n + l v i i + o t n + l l b n + li f ( v ) 一p ，j ( x n + l p ) ) = 竺芋i l x n + 1 - - v i i 2 + ( 1 二1 ) 1 一p i | 2 + 芋( 1 - t - 8 2 风+ - 一风圳z n p i l 2 + ( 1 一q n + 1 ) 碟：。i + t p f f 2 + ( 1 一a n + ，) 七：。l l x n + 。一v i i + q n + l 风+ x ( f ( p ) 一p ，j ( z 竹+ 1 一p ) ) 因此 i l z n + 1 一v l l 2 ( 1 一( 1 一卢2 ) 风+ 1 ) l l x n v l l 2 + 2 风+ l ( ，( p ) 一p ，歹( z n + 1 一p ) ) + 2 ( 1 一q n + 1 ) ( d 辫l l l x n + l p f | + 匆聋1 ) i | z n + l p l i 即 0 z n + 1 一v l l 2 ( 1 一, x ) l l x n v l l 2 + 厶n + c n( 1 3 6 ) 其中入n = ( 1 一p 2 ) 风+ 1 ，k = 2 风+ 1 ( ，( p ) 一p ，j ( x 。+ l p ) ) 且c n = 2 ( 1 一a n + 1 ) ( d 辫l i i x 舛l p i i + d 罂1 ) i l z n + l v i i 因为甚1a n = o o ，墨l 硝) n ，则对所有的n ， ( ，p ) 一p ，j ( x n + l p ) ) 0 ，r r i a e 0 ，存在，7 0 及n n + ，使得对任一歹n 及k 上的自映射t ，满足，对任 意z ，y k ，s u p l l t ”x l i ：m n ，z c r i b , r 且l l p z p 训( i + 叼) x - y l l ， 则对所有的仃 歹及z cn 耳，都有 l i 击砉mp c 击喜删g 引理2 2 1 设k 是一致凸b a n a c h 空间e 的闭凸子集且芦= ( t ( ) ：h o ) 为k 上 一渐进非扩张半群使得f i x ( y ) 非空则对任意r o 及九 0 ， 恕z 器，l 弓z 。邢) x d s - t ( 砂1 o t ( 咖酬i = 。 证明对任意7 0 ，s 0 ，设r = s u p l l t ( s ) x l i z cnb r ，8 o ，因 为 t ( ) ：h o ) 是k 上的渐进非扩张半群，则对t ( h ) ，h 0 ，存在满足性 质2 2 1 的叩 0 及n 1 w + 对所有的j n 成立固定h 0 ，则存在t h 0 使 得对所有的t t ，i h 矗n 。警= 由性质 ，对任 意z n 耳，礼n ， ， n _ r l i mh2 2 1ctt 于是 再1 壹。t t i ) 叫等) ( 熹喜t ( 釉陋 嘶聃幽一 0 ) 是一u a r 渐进非扩张半群 事实上，显然( 巩： o ) 是渐进非扩张半群对任一固定的h 0 ，有 慨( z ) 一帆知) i i = i 唛z ( 嘶) 一t ( s ) 嘶) ) d s j i 万1z 慨( z ) 一t ( 咖如) i i d s 因此，由引理2 2 1 ， h l i m 。z s c u n p 珥i i 几扛) 一吼 ) i i ：1 o 扣l i m 。s c u n p b ri i 吼扛) 一t ( s ) 吼p ) 1 1 d s = 。 其他关于u 8 r 算子半群的例子可参见文献 17 】 2 3渐进非扩张半群的强收敛定理 定理2 3 1 设e 是实的自反严格凸巴拿赫空间且具有一致g h t e a u x 可微范数， k 是e 的一闭凸子集，厂= 丁( ) ：h o ) 是k 上u a r 渐进非扩张半群具有序 列( h ) ，h 0 ，使得f 毋，且f ：k k 是一具有压缩系数p ( 0 ，1 ) 的固定压缩 映射如果( z n ) 由( 2 1 1 ) 定义，其中l i m n 。t n = o 。，q 。，风f 0 ，1 ) ，l i n l t l - + o o q n = o ，l i m n - + 风= 0 ，l i i 。鲁= 0 且l i m n 。鲁= 0 则序列 z n ) 强收敛f 的公共 不动点p 且p 是如下变分不等式的唯一解： ( f ( p ) 一p ，j ( u p ) ) 0vy f ( 2 3 1 ) 1 5 西南大学硕士学位论文2 3 渐进非扩张半群的强收敛定理 证明对任意固定的y f ， 蜘一v l i = l i ( 1 一风) z n + 届n t ( s n ) z n v l l ( 1 一风) l l x 一引j + 风( 1 + 。) l l x n v l l = ( 1 + 风七。) l i z n v l i i i x n 一训2 = ( 0 2 n ( ，( z n ) 一y ) + ( 1 一) ( t ( n ) 一可) ，j ( x n 一掣) ) o t n ( ，( 茁n ) 一，( 可) ，j ( x n 一秒) ) + q n ( ，( 秒) 一y ，j ( x n 一) ) + ( 1 一) ( 丁( ) 鲰一t ( t n ) y ，歹( 一) ) a n p o z n 一可1 1 2 + o t n ( ，( 可) 一可，歹( 一可) ) + ( 1 一q n ) ( 1 + 。) ( 1 + 尻。) l l x n y i l 2 因为l i i - + 鲁= 0j | 1 i m n 鲁= 0 ，存在n 使得对所有的n n ，鲁 1 - a k 生尘 6nn、 6 因此，对7 1 , n ， i i x - y i l 2 而等釜蛰 堂峙掣 ( 2 3 2 ) 即，对所有的n n ，i i x n 一训2 1 1 s l ( 一v ) 口- u l l - 因此 z 。) 有界， t ( s n ) z n ) ， t ( t n ) ) 和 f 厂( z n ) 乜即有界于是 因此， l i m i i z n t ( t n ) 3 h 0 = l i ma n i i t ( t 。) 可h l ( x n ) i i = 0 ， n + n l i ml i x n 一i i = l i m 风i i t ( s 。) z n x n i | = 0 n + o on + o o z n t ( t n ) z n 0 i i x n t ( k ) h0 + i i t ( 。) 3 k t ( t n ) z n i i 0 z n t ( k ) 鲰0 + ( 1 + k t 。) i i 一z n 0 _ 0 因为 t ( 危) ) u a r 且l i m n o o t n = 0 0 ，则对h 0 ， n l - i m i | 丁( ) 丁( 如) z n 一丁( ) x i i 。l ，i r as 茁u g pl l 丁( ) t ( ) z t ( t 0 0 n ) z | | = o ， n n m ，1 1 6 西南大学硕士学位论文前言 2 3 渐进非扩张半群的强收敛定理 其中c 是k 的包含 z n 的任一有界集因为 t ( 九) ) 连续，则 z n t ( h ) x ni i 0z n t i t n ) z n | l + l i t ( t n ) z n r ( ) ( 丁( n ) z n ) + | i 丁( ) ( 丁( t n ) z n ) 一t ( h ) x ni l 0 因此，对所有的h 0 ，l i m n 一+ i i z n t ( h ) x n 0 = 0 我们推断【z n ) 是序列紧的事实上，定义 k = z k ：p n 慨一z 肛滋p n 慨一y i | 2 ) 由引理1 2 2 ，p k + n f 又由引理1 2 3 ，有 p n ( 可一p ，j ( x n p ) ) 0vy k 于是由( 2 3 2 ) 式知 p n i i x - p l f 2 塑号掣 0 使得i i z n 一圳q ，且 i i 一秒j | 2 = ( ( ，( z n ) 一y ) + ( 1 一) ( t ( 如) 一y ) ，j ( x n 一) ) = a n ，( z 。) 一，) + p z n ，j ( x 。一) ) + q n ( ，0 ) 一p ，j ( x n y ) ) + a n ( z n y ，j ( x n 一可) ) + ( 1 一n n ) ( t ( k ) 一t ( t n ) 可，j ( x n y ) ) q n 十1 ) l l x 。一p i | q + q 。( 厂仞) 一鼽j ( 一可) ) + i | z n 一矽1 1 2 + ( 1 一q 。) ( 。+ 风。+ 风。k t 。) q 2 因此， ( ，( p ) 一p ，歹( ! ，一z n ) ) ( p + 1 ) i | z , , - p h q + ( 1 - a n ) 垒l 旦堑鼍学q 2 ( 2 3 3 ) 对( 2 3 3 ) 式两边取极限，由引理1 2 1 且当k o o ， z 。) _ p 有 ( ，0 ) 一p ，j ( y p ) ) 0vy f 1 7 西南大学硕士学位论文2 3 渐进非扩张半群的强收敛定理 即，p f 是变分不等式( 2 3 1 ) 的解 如果p ，q f 满足( 2 3 1 ) 式，则 ( ，( p ) 一p ，j ( q p ) ) 0 ( f ( q ) 一q ，歹0