（应用数学专业论文）a内积及它在gabor框架中的应用.pdf

河南大学硕士学位论文 中文摘要 假设f l 2 ( r ) ，a 0 ，b 0 平移算子死和调制算子岛分别定义为 t j ( x ) = ，( z o ) ，e b f ( x ) = e i 2 7 r b x ，( 。) 给定g ( x ) l 2 ( r ) ，o 0 ，b 0 形式为 死。9 ( z ) ) m 胀z 的函数族称为l 2 ( r ) 中的 g a b o r 系，其中z 为整数集如果g a b o r 系_ 6 死n 夕( z ) ) m 艇z 构成l 2 ( r ) 的一个框架， 则称其为g a b o r 框架 自从小波分析诞生以来，g a b o r 框架的研究逐渐成为活跃方向之一，其内容十分 丰富，取得了许多有意义的结果而这些结果大多限于一维情形 本学位论文主要研究l 2 ( ) ( d 1 ) 上的括号积及它在g a b o r 框架中的应用具 体讲，我们详细阐述了括号积，即作为l 2 ( 彬) 上被赋予内积形式的l 1 函数除了它的 一些基本性质之外，我们还给出了这种内积上也有类似的b e s s e l 不等式、r i e s z 表示 定理然后把这种内积运用到g a b o r 框架上，进而得到框架算子、框架变换和准框 架算子的一种压缩表示最后，介绍了a 一框架的概念，并导出用a 内积定义的框架和 g a b o r 框架的一个等价关系 关键词：g a b o r 框架；a 内积；压缩表示 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t l e tf l 2 ( r ) a n da 0 ，b 0 t h et r a n s l a t i o no p e r a t o r 瓦a n dt h em o d u l a t i o n o p e r a t o re ba r ed e f i n e db y t o f ( z ) = f ( x n ) a n de b f ( x ) = e i 2 7 r b x f ( x ) ， r e s p e c t i v e l y l e tg ( z ) l 2 ( r ) b eaf i x e df u n c t i o na n da 0 ，b 0 af u n c t i o nf a m i l yo ft h ef o r m 互6 死口9 ( z ) ) m ，n zi sc a l l e dg a b o rs y s t e mf o rl 2 ( r ) ，w h e r ez i st h es e to fa l li n t e g e r s i fg a b o rs y s t e m 【互k 6 g 9 ( z ) ) m 艇zg e n e r a t e saf r a m ef o rl 2 ( 冗) ，t h e nw ec a l li tg a b o r f r a m e s i n c et h ee m e r g eo fw a v e l e ta n a l y s i s ，t h er e s e a r c ho fg a b o rf l a m eb e c o m e so n e o ft h em a j o ra c t i v ed i r e c t i o n sg _ r a d u a l l y i t sc o n t e n ti sv e r yr i c h ，a n dm a n ym e a n i n g f u l r e s u l t sa r eo b t a i n e d ，b u tt h e s er e s u l t sa r el i m i t e dt oo n e - d i m e n s i o n a lc a s e i nt h i st h e s i s ，o u rm a i np u r p o s ei st od e s c r i b eb r a c k e tp r o d u c ta n di t sa p p l i c a t i o n s i ng a b o rf r a m e 。c o n c r e t e l y , w ep r o v i d ead e t a i l e dd e v e l o p m e n to ft h el 1f u n c t i o nv a l u e d i n n e rp r o d u c to nl 2 ( r a ) k n o w na sb r a c k e tp r o d u c t i na d d i t i o nt os o m eo ft h em o r e b a s i cp r o p e r t i e s ，w es h o wt h a tt h i si n n e rp r o d u c th a sab e s s e l i n e q u a l i t ya n dar i e s z r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m w et h e na p p l yt h i st og a b o rf r a m et os h o wt h a tt h e r ee x i s t s “c o m p r e s s e d v e r s i o n so ft h ef r a m eo p e r a t o r t h ef r a m et r a n s f o r ma n dt h ep r e f r a m eo p e r - a t o r f i n a l l y , w ei n t r o d u c et h e n o t i o no fa na - f r a m e ，a n ds h o wt h a tt h e r ei sa ne q u i v a l e n c e b e t w e e nt h ef r a m e so ft r a n s l a t e sf o rt h i sf u n c t i o nv a l u e di n n e rp r o d u c ta n dg a b o rf l a m e k e y w o r d s ：g a b o rf r a m e ；a i n n e rp r o d u c t ；c o m p r e s s e dv e r s i o n i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位申请。本人郑重声明：所里交酌学位论文是 本人在导师的指导下独立完戍的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 变中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包捂其他人已经发表或撰 写过番勺研究成果，也不包括其他人为荻得任何教育、科研机构妁学住或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对奉研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确酌说明并表示了谢意。 学位串请人，( 学位论文作者) 签名_ 至垫查： 鼍d l0 卑凋乙曰 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授子。硕士学位。作为学位论文韵作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留i 。靛用学位论文酋勺要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公焱捡索、奎阅。、本人棱权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等昏钓，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 釜名：至整查： 2 d i 学位论史指导教师釜名： 2 0 1 河南大学硕士学位论文 引言 小波分析是2 0 世纪8 0 年代才开始发展起来的一个数学分支它是f o u r i e r 分 析的发展和继续，也是一种信号分析方法它的应用相当广泛，例如，在数学方面已 经用于数值分析、曲线曲面的构造、微分方程求解、控制论等方面；在信息处理方 面用于图像处理、计算机识别、数据处理、边缘检测等；在通信、地质、生物医学、 自动化等方面也有许多运用 框架是小波分析形成以后才引起人们关注的另一个研究分支，它是d u f f i n 和 s c h a e f f e r 在研究非调和f o u r i e r 级数时提出的概念在信息处理中，分解一个信号后， 如何来重构它是一个重要问题在一般情况下，人们使用基( 标准正交基) 来重构它， 但是较为困难这样，就要求人们去寻找一种类似标准正交基但比标准正交基弱的 点列，这个点列就是框架框架内容十分丰富，参见 1 2 在平方可积函数空间中，有 一种特殊结构的框架一g a b o r 框架，本学位论文主要对g a b o r 框架做些有意义的探 讨 在研究平移不变系和框架时，d eb o o r ，d e v o r e ，r o n ( 3 ) 和s h e n ( 4 ) 等已经广 泛应用括号积，即 f ，g = ：，( z + 1 3 ) g ( x + p ) 1 3 e 2 7 r z d 其中，g l 2 ( ) ，( d 1 ) 这是一种特殊的内积我们将在l 2 ( ) 上讨论括号积 并将其用于g a b o r 框架 本学位论文共有五章组成第一章列出框架已有的有关基本理论及论文要用 到的预备知识；第二章定义一个新的内积，即a 内积并给出它的一些基本性质； 第三章研究a 内积的正交性，b e s s e l 不等式；第四章研究和a 一内积有关的一类算 子，并证明两个r i e s z 表示定理；最后，将a 内积运用到到g a b o r 系上，并用a 内 积定义一种框架，表明这种框架和g a b o r 框架存在等价关系 第一章预备知识弟一早耿亩大u 以 1 1一些定义和符号 本小节列出论文中使用的符号和定义 用，z ，r ，c 分别表示自然数，整数，实数和复数 定义1 1 设 厶) 竹z 为h i l b e r t 空间日上的基如果 厶) 礼z 等价于日的就范 正交基，则称 厶) n z 为h i l b e r t 空间日上的r i e s z 基 显然【厶】n z 为h i l b e r t 空间日上的r i e s z 基当且仅当存在一个日的标准正交 基【e n ) n z 和一个可逆算子t 使得v n z ， 日_ h ，t ( e 礼) = 厶 如果序列【厶】n z 是日的子空间否丽 厶) n z 上的r i e s z 基，则称其为r i e s z 点列 在1 9 5 2 年，d u f f i n 和s c h a e f f e r 介绍了h i l b e r t 空间上框架的概念 定义1 2 设 0 ，使得 v i h ， a l l f l 2 厶) 1 2sb i i i i l 2 ， ( 1 1 ) n e z 那么称 厶) n z 为日的一个框架，a ，b 称为框架 厶) n z 的下、上界如果a = b ，则称 厶】n z 为紧框架当a = b = 1 时，称之为正规紧框架如果序列 厶) 几z 是日的子空间s - - p - a n 厶) n z 上的框架，则称其为框架序列 设【e 。) 。z 是h i l b e r t 空间日上的标准正交基，厶h 若线性有界算子t 满足 t ：h _ 风t e n = 厶， 则称算子t 为 厶) 几z 的准框架算子设r 为r 的对偶算子，则 ( t 。f ，e n ) = ( f ，t e n ) = ( i ，厶) 于是 t f = ( 厶) e 佗，矿州2 = 厶) f 2 n e zn e z 因此有 定理1 3 设【e n ) 。z 是h i l b e r t 空间日上的标准正交基，【厶) n z 是h i l b e r t 空 间日上的序列，准框架算子t ：t e n = 厶则下列等价： 3 河南大学硕士学位论文 ( 1 ) 厶) n z 是日上的框架 ( 2 ) 算子t 是线性有界，到上的 ( 3 ) 算子t 是同构算子，并称之为框架变换 日空间上的可逆算子s = t p 称为框架算子，并且 s f = t t s = r ( ( ，厶) ) = ( ， f n ) t e n = ( 厶) 厶 n e zn e z n e z 由上直接计算可得 ( s ，) = l ( ，厶) 1 2 n e z 因此框架算子是日上的正定自伴可逆算子由框架不等式( 1 1 ) 可得 厶】n z 是日上 界为a ，b 的框架当且仅当a ，s b ，因此 厶】n z 是日上正规紧框架当且 仅当s = i 有关框架理论参见f 1 - 2 我们主要讨论l 2 上g a b o r 框架，所以下面给出 有关g a b o r 框架的基本事实 对于r 上的函数，定义以下算子： f o u r i e r 变换 氕) = ，( z ) e - - 2 r i d x ，f l 2 ( r ) ， - ， 平移算子 ( 死，) ( z ) = ，( z n ) ，a r ，f l 2 ( r ) ， 调制算子 ( 点6 ，) ( z ) = e 2 7 r i b x ，( z ) ，b r ，f 2 ( r ) 我们通常用昂表示指数函数昂( z ) = e 2 丌溉算子死，岛都是工2 ( r ) 中的酉算子 定义1 4 设n ，b r ，g l 2 ( r ) 称 点1 m 6 死。夕) m ，n z 为g a b o r 系，用( g ，n ，b ) 表示用( g ，a ) 表示序列 死口9 ) n z 9 称为窗函数 如果( g ，a ，b ) 构成l 2 ( r ) 上的框架，我们称之为g a b o r 框架称a 为平移参数， b 为调制参数当( 9 ，n ，b ) 具有上框架界时，也就是说当( g ，a ，b ) 系是一个b e s s e l 列 时，称g 为准框架函数用p f 表示这类函数 5 给出了下列结果： 命题1 5 下列等价： ( 1 ) g 尸f ( 2 ) 算子 s y = ( ，b r n 9 ) 6 。g 饥n e z 4 河南大学硕士学位论文 是l 2 ( r ) 上有定义的，并且是有界线性算子 g a b o r 框架恒等式在研究g a b o r 框架中起着重要作用给定g l 2 ( r ) ，k z ， 令 g k ( ) = g ( t 一礼n ) 9 ( 一n n 一鲁) 显然， g o ( t ) = 一n n ) 1 2 n e z 定理1 6 ( g a b o r 框架恒等式) 如果g o ( t ) bo e ，则当f l 2 ( 冗) 且有界、 具有紧支集时，有 e m 6 死n 9 ) 1 2 = e l ( f ) + f 2 ( f ) ， m n e z 其中 f l ( f ) = b _ 1 i 邢) 1 2 g o ( t ) d t ， 如( 力= 6 - 1 k ol f ( t ) f ( t 一鲁) g 以) 出 “。1 萎2 m rf ( t ) f ( 一石k ) g 觯) 砒1 7 7 七 利用g a b o r 框架恒等式很容易可得到g a b o r 框架的一个必要条件： 定理1 7 如果( g ，a ，b ) 是g a b o r 框架，且下、上界分别为a ：b 则 a 丢g 。冬b ，n e 5 河南大学硕士学位论文 1 2l 2 ( 剜) 上的g a b o r 框架 l 2 ( r d ) 上的f o u r i e 变换定义为 氕f ) = ，( z ) e - 2 r i 和d x ，( z ) l 2 ( ) ， ，r 4 其中z 表示欧氏内积 令，l 2 ( ) 和g l 2 ( ) 给定a ，b 为d 阶矩阵，且d e t ( a b ) 0 设 z = ( ：r 1 ，z 2 ，x d ) r d ，m = ( m l ，m 2 ，m d ) z d ，n = ( n 1 ，纯2 ，几d ) z d 平移算 子和调制算子分别定义如下： 平移算子 ( t n a ) ( x ) = f ( z 一佗a ) ， 调制算子 ( e m s f ) ( x ) = e 2 订i m b x ，( z ) 定义1 2 1 设g l 2 ( ) 则称 e m b t n a g m 艇z d 为l 2 ( ) 上的g a b o r 系 或g a b o r 序列若它成为三2 ( ) 上的框架，则之称为l 2 ( r d ) 上的g a b o r 框架或 w e y l h e i s e n b e r g 框架 文献f 6 讨论了l 2 ( ) 上的g a b o r 框架恒等式，主要结果之一为 命题1 2 2 设g l 2 ( ) ，l g ( x h a l 2 有上界，a ，b 为d 阶非奇异矩阵置 a o = a r ，b o = b r ( 其中a t ，j e i ? 分别表示矩阵a ，b 的转置) ，那么对于l 2 ( ) 上具 有紧支集的有界函数f ( x ) 有 b 。孔a 。9 ) 1 2 m n e z d = 上 d e t b o 加z ) 1 2p ( x - - n a 阳计 上 d e t b 0 厶。磊。， ，( z 一七( 醪) 。) g ( x n a o ) 瓦i 石j 丽如 6 第二章a 内积 本章将给出a 内积的定义和它的一些基本性质为了保证a 内积定义是有意 义，首先说明a 一内积定义中的级数是收敛的，即 命题2 1 设f ，g l 2 ( ) ，a 为d 阶矩阵，n = ( r t l ，佗2 ，n d ) r d ，q o = 0 ，1 ) d a 那么级数 i ，( t n a ) 药了丽i + o 。，n e ， n e z d 且它属于l 1 ( q o ) 证明 如果，g l 2 ( ) ，则f y l 1 ( ) ，从而有 i i f 虿l l l x = i f ( t ) g ( t ) d t ，r d 2 三小( t 以) 厕i 砒 。厶。三i m a ) 而珊一 其中最后一个等式是由l e v i 引理得到的因此命题得证 由l e b e s g u e 控制收敛定理，结合命题2 1 可得 推论2 2 设f ，g l 2 ( r d ) ，礼= ( n 1 ，礼2 ，n d ) r d ，a 为d 阶矩阵，q o = 0 ，1 ) d a 那么 ( 加) 2 厶。三一a ) 万确六 现在给出a 内积定义如下： 定义2 3 对于给定的d 阶矩阵a ，任意，g l 2 ( ) ，称 ( ，夕) a ( t ) = 弛一h a ) 而j 两，v t r d ， n e z d 为，g 的a 一逐点内积，简称a 一内积 显然，当f = g 时，( f ，a ) a ( t ) 0 因此，的a 范数可定义为 i l f l l a ( ) = 识死瓦两 由定义可以看出，a 内积，a 一范数是础上以z d a 为周期的函数显然，对于r d 上以z d a 为周期的函数，我们可以把它考虑成q o 区间上的函数实际上，以，内积 河南大学硕士学位论文 ( ，) a 是一个从l 2 ( ) 0l 2 ( ) 到l 1 ( q 0 ) 上的映射现在讨论a 内积的一些基本性 质 ， 定理2 4 设工g ，h l 2 ( ) ，c ，d c ，m z d ，a ，b 为d 阶矩阵，q o = 0 ，1 ) d a 则下列性质成立： ( 1 ) ( f ，g ) a 是r d 上以z d a 为周期的函数，且( ，g ) a l 1 ( r d ) ( 2 ) i i f l l 2 ( r d ) = i il l f l a ( t ) i l ，( q 。) ( 3 ) ( ，夕) = f q on e z 。，( 。一礼a ) 夕( 一礼a ) d ( 4 ) ( c ，+ d g ，h ) a = c ( f ，h ) a + d ( g ，h ) a ( 5 ) ( ， c 9 + d h ) a = 苞( ，a ) a + d 0 ，使得 i ( g ，g ) a ( t ) lsb ，a e ， 则称g 为止有界的用l 譬( ) 表示a - 有界函数类 命题3 3 如果ecl 2 ( r d ) ，b a = ，：，l ( ) ，并且，是z d a 一周期的】，则 e 上a = n ( 咖e ) 上= ( s p a n c e b 徊) 上 o e b a 证明设，e 上a 对任意g e 和任意a 一周期函数妒b a ，由命题2 6 知， ( ，9 ) a ( t ) = 石( t ) ( ，g ) a ( t ) = 0 于是，f 上a c g 贝0 ，( e ) 上 现在设，n ( e ) 上，其中取遍所有有界z d a 周期的函数设g e ，仡n ，定 义 姒牡p 掣l 仃徊黔l o ，兵。巴， 则可以看出( ) 是以z d a 为周期的函数由于 0 = ( ，( ) 夕) = ，( ) ( t ) 9 ( t ) d t 2 厶。三，( t - n a ) g ( t - h a ) ) 丽如 = 厶。( 加) 印) 瓣江名。眦炉班， 1 1 河南大学硕士学位论文 所以对任意n z ，( t ) = 0 于是，( ，g ) a ( t ) = 0 ，a e ，所以i 上a g ，即f - i - a e 命题3 4 设 g l 2 ( ) ，a 为d 阶非奇异矩阵( a ? 表示矩阵a 的转置) ，仇= ( 仇1 ，m 2 ，仇d ) ，则下列等价： ( 1 ) f - l a g ( 2 ) s p a n m e z d e r a ( a t ) 一1 f l s p a n m z d e r a ( a t ) 一l g 证明对于m ， ( ，e m f a t l 一，9 ) = f ( t ) f f ( t ) e 一2 ，r m ( a r ) - l t d t 、 f i r d = ( ，9 ) a ( ) e 以棚( ) 。( 撕a ) d t j q o = ( ，9 ) a ( t ) e 勘州a r ) - i t e 一2 概( a 丁) n a d t j q o = ( ，夕) a ( t ) e 一2 7 r m ( a t ) - i t e 一2 丌竹l ( a r ) 一1 a ? n t d t j q o = ( ，9 ) a ( ) e 砌州a r ) t d t ：瓦五( 仇( ) - 1 ) j q o 由此可知，对任意r n a d ，( f ，f a t ) - 2 9 ) = 0 当且仅当( f ，g ) a ( t ) 的所有f o u r i e r 系 数瓦矗( m ( a 丁) 1 ) 为零 命题3 5 如果9 l 2 ( ) ，i i g l i a2 1 ，a e a 为d 阶非奇异矩阵，则刁切e m ( a t ) 一z 9 ) m 是l 2 ( ) 上的标准正交列 证明对任意扎，m z d 有 t 南r ( a t ) - a g , 高( a t ) - l g ，= 南厶而r 丽) 2 网厶。 一一 l j d e t a t ij q 。 1 厂 一i d e t a t ) q ， i l g l l 2 a ( t ) e 2 丌i ( n - m ) ( a ? 1 1 t d t e 2 州( 礼一m ) ( a 丁) t d t 以。拈k 陋胁i d e t a t j ， e 2 7 r 七a r d t ： i d e t a t t e 2 霄i 血a t t d = o ( 七o ) j q oj 【o ，1 ) d 因此 ( 南b ( a r ) - l g , 高( a t ) - l g ) = 河南大学硕士学位论文 推论3 6 如果 鲰】n z 在l 2 ( ) 中是a 一标准正交列，则 ( a 丁) 一，肌) n e z , m e z a 是l 2 ( r d ) 中的标准正交列 证明 只需证明对所有的( 礼，m ) ( f ，忌) z z d ，f a t ) - l g n 上e k ( a r ) - z g z 即可 当礼z 时，这就是命题3 4 当n = z 时，就是命题3 5 推论3 6 告诉我们如何定义一个a 一标准正交基 定义3 7 设g n l 2 ( ) 如果【跏 n z 是一个小标准正交列，并且 则称 鲰) n z 是工2 ( 剧) 上的a 标准正交基 因此有 命题3 8 l 2 ( r d ) 上的序列 g n ) 。z 是一个小标准正交基当且仅当 e m ( a ? ) 一，鲰) n z ，m 是l 2 ( ) 中的一个标准正交基 下面将讨论a 标准正交列上的b e s s e l 不等式，在讨论之前首先确保当函数 g 芽( ) 时，( ，g ) a g 三2 ( ) 命题3 9 如果g ，h l 霄( ) ，则对任意f l 2 ( ) ，有( 工g ) a h l 2 ( ) 证明首先证明( ，9 ) a ( t ) l 2 ( 【o ，1 ) d a ) 设b = e s s s u p o 1 ) , a i i g l l 二( t ) ，c = e s s s u p o ，1 ) d a i i h l l 三( t ) 由小内积上的c a u c h y - s c h w a r z 不等式知， i i ( f 劫删i 至。( 【0 ，1 ) d a ) 2 厶。i ( f ，砒( 驯2 毗 乞。( ) 以) ( 舢) 以) 班 sb ( f ，f ) a ( t ) d t = b h fj 至z ( r d ) j q o 、。 从而e h 控制收敛定理得 i i ( f ，9 ) a 吣( r d ) 2 上d ( ，9 ) a ( t ) ( t ) d r 2 三小工砒 ) | 2 限( t 一舢| 2 d t g ) a ( t ) j 2 ( 九，h ) a ( t ) d t j q o b c i i f i 2 l 。( r d 、 定理3 1 0 设 鲰) n z 是l 2 ( ) 上的a 标准正交列，f l 2 ( ) ) j l j z , 河南大学硕士学位论文 ( 1 ) 级数h e n ( ，g n ) a 鼽在l 2 ( ) 收敛 ( 2 ) b e s s e l 不等式成立，即 o o i ( s ，a , 0 a 1 2 i i f l l 互= ( ，i ) a n - - - - 1 更多地，如果，s p a n e r a ( a t ) 一，g 几) m z a ，n z ，则 且设 则 l s ，g ) a 1 2 = i i s l i 刍= ( ，) a n - - - - 1 证明首先指出g n l f f ( r d ) 由命题3 8 可知，( ，跏) a 鼽l 2 ( ) 置m 1 ， 设g = ，一h ，则 m h = ( ，g , d a g , 。， n = l ( ， ) a = ( ( ，g n ) a g n ，e n ) 晶= q o r ， 瓦= u ( 晶+ m a ) ， m e z , i 瓦= u ( r + m a ) m z d x 磊细一幻嵫2 。( = 上。f x 赢( 咖( 圳2 出 ；名。阪酬2 ( 舢) 觯) 班 因为c g l 2 ( ) ，熙a ( 晶) = 0 ，h n = ：) ( 磊细在l 2 ( ) 中收敛到幻又l 是线性 有界算子，所以l ( h n ) 收敛到l ( 幻) 而 因此 l ( h n ) = x 赢纰( 夕) ， l ( h n ) | | i i l l | i i ( h 竹) l j i i l i i i l g i = i i l l | i i f l l 1 7 河南大学硕士学位论文 由l e b e s g u e 控制收敛定理得，c l ( g ) l 2 ( ) ，l ( h n ) _ e l ( g ) 由极限的唯一性知， 三( 细) = e l ( g ) 推论4 3 算子l - l 2 ( ) _ l p ( e ) 是a 可因子分解算子当且仅当l ( f a r ) - l g ) = ( a t ) 一，l ( 9 ) ，m = ( m l ，m 2 ，m d ) z d 也就是说，l 是a 可因子分解算子当且仅 当l 是关于( a r l 一- 可交换的 为了给出a 可因子分解算子的第一个r i e s z 表示定理，首先给出下列引理 引理4 4 设a 可因子分解算子l 1 ，l 2 ：l 2 ( ) 一l 1 ( q o ) ，则l 1 = l 2 当且仅 当 l i ( ，) ( t ) 出= l 2 ( f ) ( t ) d t 证明设，l 2 ( ) ，贝j j v m z d ， q ol 1 ( ( a t ) - 1 ，) ( ) 班。f q o l 1 ( f ) e m ( a t ) - 1 ( t ) 砒 2 f(l2(f)em(jqo a t ) 一1 ( ) 班2d q ol 2 ( ( a t ) 一1 ，) ( 。) 砒 由此可知，对任意f l 2 ( ) ，l l ( ，) ，l 2 ( f ) 具有相同的f o u r i e r 系数，因此l 1 = l 2 定理4 5 ( r i e s z 表示定理1 ) 算子l ：l 2 ( ) 一l 1 ( q o ) 是有界a 一可因子分解算 子当且仅当存在g l 2 ( ) ，使得l ( f ) = ( ， 9 ) a ( t ) ，v f l 2 ( ) 更多地，i i l l l = i i g l l 证明( 仁) 设g l 2 ( ) ，且l ( ，) = ( ，夕) a ( t ) ，则l 是l 2 ( 剧) 到l 1 ( q o ) 的有界 a 可因子分解算子对任意f l 2 ( ) 有 l i l ( f ) l l = i i ( ，g ) a ( t ) l l l , ( e 。) 。厶。i 三m a ) 矿丽i 如 厶。驴庐 键垆i f ( 卜以孵( 厶。三叭卜以孵 = i i f i l l 。( r a ) 1 1 9 i l l 。( 凡a ) 设g = f ，则i i l ( g ) l l = i i g l l ；，从而得i i l l | = i i g l l ( 辛) 假定l ：l 2 ( ) _ l 1 ( 铂) 是有界a 可因子分解算子在l 2 ( ) 上定义线 性泛函虫： 皿( ，) = l ( f ) ( t ) d t 河南大学硕士学位论文 由标准的r i e s z 表示定理知，存在函数g l 2 ( ) 使得m ( 厂) = ( 9 ) ，v f 2 ( ) 定 义算子：岛( ，) = ，9 ) 4 ( t ) ，则 皿( ，) = ( ，夕) 2z ( 六9 ) a ( t ) 矗= z c 孽( ，) ( ) d r = f q ol ( ，) ( ) d t q oq oj q ， j j 因为算子岛，三：l 2 ( ) _ l 1 ( q o ) 是小可因子分解算子，所以由引理4 4 知，c 口，l 等价 命题4 6 。设算子l ：己2 ( ) 一2 ( q o ) 是线性小可因子分解算子，则是有界 的当且仅当存在常数b 0 ( b = i i l i i ) 使得对v f l 2 ( r d ) 有 i 己( ，) ( ) i b i i f l l a ( t ) ，a e t q o 更多地，l 是同构算子当且仅当存在常数a ，b 0 ( a = il l 一1 1 1 ，b = 1 1 5 1 1 ) 使得 v f l 2 ( ) 有 a i i f l l a ( t ) i 三( ，) ) i b f f 厂i | a ( ) ，a e t q o 证明对上任意有界z d a 一周期函数西和v f l 2 ( r d ) 有 1(t)12il(f)(t)12dt=l(多，)(t)12dt=lll(咖f)112l。(q。)q - ，o j q o 、。7 o ( b = i i l i i ) 使得对v f l 2 ( ) 有 i j l ( f ) l l a ( t ) b i i f l l a ( t ) ，n e t q o 更多地，l 是同构的当且仅当存在常数a ，b 0 ( a = i i l 一1 ) 1 1 ，b = i i l l i 使得对 v ，l 2 ( ) 有 a i i f l l a ( t ) i i l ( f ) l l a ( t ) b i i f l i a ( t ) ，o e t r d 证明对任意，l 2 ( ) 和任意的z d 小周期函数，有 砌删i 芝。( 2j r d 瞰州( 圳2 出2 厶。阳，) ) ( 驯2 班 2 小( 驯2 三陋盯) 叩删烨小( 酮 工( f ) 1 1 2 ( 伽t i i l i l 2 i l c fn l 至z ( 副) = 2 j i 咖( ) 1 2 i f ( t ) 1 2 d t 、7 r d = 恻1 2 i ( t ) 2 1 1 $ 1 t 2 a ( t ) d t ，o 。 由上可得 i i l ( y ) l l 刍( t ) j i l i l 2i l f l l 弓( t ) ，n e 余下部分类似可证 命题4 8 表明，a 有界可因子分解算子必须是把a 有界函数映到小有界函 数最后，我们给出小可因子分解算子l 的对偶算子五的性质 2 0 河南大学硕士学位论文 命题4 9 如果算子工：l 2 ( ) _ l 2 ( ) 是4 可因子分解算子，则对任意的 ，g l 2 ( ) 有 ( l ( ，) ，g ) a ( t ) = ( f ，l + ( 9 ) ) a ( t ) 证明考虑算子l ( i ) = ( l ( ，) ，夕) a ( ) ，c + ，= ( i ，l + ( 9 ) ) a ( t ) ，它们都是l 2 ( ) _ 工1 ( q o ) a 可因子分解算子且 c ( ，) ( ) d t = ( l ( ，) ，g ) = ( ，l ( 9 ) ) = c ( ，) d t j c 2 0 j q o 所以由引理4 4 可得结论 2 1 第五章a 内积和g a b o r 框架 本章将把a 一内积理论应用到g a b o r 框架我们知道，g a b o r 框架恒等式要求 函数，是有界且具有紧支集的若用a 一内积表示g a b o r 框架恒等式，这一条件可以 保留下来但是若用b 一1 内积表示时，可以把条件扩展到任意f l 2 ( ) 下面 是用a 内积表示的结果 定理5 1 设g l 霄( 冗d ) ，a ，b 是d 阶非奇异矩阵，则对l 2 ( ) 上有晃且具有 紧支集函数的，有 。附如丁驯2 。南三k a t ( 轴l ，砒吨丑胪砒t 以 m n e z dk e z d 。l ”1 ，一 证明由l 2 ( ) 上的g a b o r 框架恒等式及( 9 ，b - 1 9 ) a 丁是z d a t 一周期的知， e m b t l a r g ) 1 2 m n e z d = 南d e t b 三j 厂r 。= 一o l ，幺a 而f ( t k b 。) g ( t n a 丁) 雨习词丁碲t = 南三三0 a t 矿两，( t - - k b - 1 - - j a t ) ( 9 而棚k 巩 = 南邑珏1 ，m 而而哪k 以 下面我们关注b 一1 一内积和g o b o r 框架恒等式的关系用b 内积表示g o b o r 框架恒等式时，可以把条件扩展到任意，l 2 ( ) 定理5 2 设g l 芽( ) ，a ，b 是d 阶非奇异矩阵，则对于任意f l 2 ( )