（应用数学专业论文）涉及公共值的亚纯函数的惟一性.pdf

摘要 芬兰数学家r n e v a m i i l n a 所创立的n e v a r l l i i m 理论，堪称二十世纪最重大的数学成 就之一，这不仅因此它奠定了现代亚纯函数理论的基础而且对数学的许多分支的发展， 交叉和融合产生了重大而深远的影响特别是在复域中微分方程大范围解析解的研究 中，n e v 砌i i m 理论的成功介入，为之提供了十分重要的研究工具1 9 2 9 年，r n e v a n l i i u l a 研究了决定一个亚纯函数所需的条件，得到两个著名的亚纯函数惟一性定理，它们通常 被称为n e v a l l l i i m 四值定理和n e v a n l i i l l l a 五值定理从此，亚纯函数惟一性理论，特别 是亚纯函数公共值问题的研究拉开了序幕 本文介绍了作者就涉及导数的亚纯函数分担公共值问题所做的部分研究工作全 文共分四章 第一章，简要介绍了与本文有关的亚纯函数值分布理论中的一些主要概念，基本结 果和常用记号 第二章，我们研究了整函数与其导数分担一个有穷复数的问题，得到的下面的定理， 改进了钟华梁6 1 的定理 定理2 1 设厂为非常数的整函数，刀( 2 ) 为正整数如果厂与厂分担有穷非零复数 口i m ，并且当厂( z ) = 口时，”( z ) = 厂( 肿1 ( z ) = 口，那么厂= 抛2 ，6 为非零常数 第三章，讨论了整函数与其导数分担一个多项式的问题，得到了下面两个定理，它 们分别推广了李效敏【1 2 】的相应结果 定理3 1 设q ，0 ) ( = 1 ，2 ) 为多项式，尸( z ) 为整函数，七为正整数如果厂为方程 坐二垒：p 即)_ - _ 一= e 厂一q 2 的非常数解，那么v ( 力= o ( p ，。) 定理3 2 设尸( z ) ，q ( z ) 为多项式，刀为正整数如果厂为微分方程 当垄二丛堑p 即， 一= = g 厂”( z ) 一q ( z ) 的超越解，满足v ( 厂) 不为正整数并且厂( z ) 与厂”( z ) 分担zi m 那么p p 2 暑l 并且 = 丫e 。，其中丫( o ) 为有穷复常数 在第四章中，我们研究了一类特殊的亚纯函数”与其七阶导数厂分担一个小函数 的问题，得到了下面的两个主要定理和一系列推论，它们很好的改进了张庆彩【2 1 1 等人的 相关结果 定理4 1 设厂为非常数的亚纯函数，z ，后为正整数，口( z ) ( 0 ，) 为厂的小函数 如果厂”一口和厂一口分担0i m ，并且 4 - ( ，+ 2 哪，专) + 2 丽，南) + _ 方 ( 枷( 1 ) 严) ) ， 或者厂”一口和厂七一口分担o c m ，并且 2 _ ( ，+ 帅，专) + _ 南) ( ( 1 ) ) ) ， ，。 七+ 6 一，z ， 那么厂兰厂” 关键词：亚纯函数，整函数，分担值，惟一性，小函数 t h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf h n c t i o n st h a ts h a r i n gv a l u e s z h a n gt b n g d u i ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rl nw e i 一渤 a b s t r a c t t h e 砌u ed i 嘶b u t i o n 也e o r yo fm e r o m o 叩l l i c 觚t i o 璐f o u n d e d b yr n e v a n l i i 峨a f a m o l l sm 劬e m a t i c i a 玛i ss u r e l yo n eo ft h em o s ti r i i p o r t a n ta c l l i e v e m e n t si nm a m e m a t i c si i l m e2 0 mc e n t l l 巧b e c a u s en 优o i l l yi ti st l l eb a s i so fm o d e mm e o 胍o r p m cf h i l c t i o n 血e o r y ，b u t a l s oi th a sq u i t ea ne 任e c to nt 1 1 e d e v e l o p m e n to fm a m e m a t i c a lb 瑚c h e s ，a 1 1 do nt h e i 1 1 t e r a c t i o na m o n g 血e m e s p e c i a j l y ，t h en e v a i d m at h e o r ys u p p l i e sav e 巧p o w e m lt o o lt o m er e s e a r c ho fm eg l o b a la n a l y t i cs o l u _ t i o no fc o m p l e xd i 妇f e r e m i a le q m t i o l l s h l1 9 2 9 ， r n e v a m i i l n as t u d i e dt 1 1 ec o n d i t i o i l s 丽mw h j c ham e r o m o 印l l i c 缸l c t i o nc a nb ed e t e m l i n e d a i l do b t a i n e d 铆oc e l e b m t e du 1 1 i q u e n e s s 也e o r e m sf o rm e r o m o 叩1 1 i c 血n c t i o n s ，w t l i c ha r e u s l l l l yc a l l e dn e v a n l i n l l a sf o u r - v a l u et l l e o r e ma n dn e v 锄l i r m sf i v e v a l u et h e o r e m n l i s l a u n c h e dt h ei i e s t i g a ：t i o no fu 1 1 i 叩嘲1 e s st 1 1 e o 巧o fm e r o m o r p m c 删o n sa n di i lp a r t i c u l a r t h es h a dv a l u e so fm e r 0 i n o 印k c 如n c t i o l l s t h ep r e s e n t 也e s i si s p a r to ft 1 1 e a 删 h o r sr e s e a r c hw o r ko nm es h a r e dv a l u e so f m e r o m o 印1 1 i c 劬c t i o n st h a tc o n c e m i l l gd e r i v a t i v e s i tc o n s i s t sf 0 1 l rc h 印t e r s i nc h a m e ro n e ，w eb r i e n yi 1 1 r 仃o d u c es o m em a j nc o n c e p t s ，内n i i a m e n t mr e s u l t sa r l du s i l a l n o 谢o r l sc o n c e m e d 晰也也i st l l e s i si i lt l l ev m u ed i s t r i b u t i o nt h e o 巧o fm e r o m o 印m c 劬c t i o n s h c h a p t e rt v 旧，、es t u d yt 1 1 el m i q u e n e s sp r o b l e mf o re m i i e 如n c t i o ns h 乏血go i l e 向1 i t e n o n z e r ov a l u ew i mi t sd e r i v a t i v e sa n do b t a i l l e dt h ef o l l o w i i l gr e s l d t ，w i l i c hi sai i l l p r o v e m e n t o f 吐l en l e o r e mg i v e nb y 玉协l i a n gz h o n g 【6 1 t h e o r e m2 1l c t 厂b ean o n - c o n s t 2 m te n t 劬c t i o 玛甩( 2 ) b ea ni m e g e li f 厂a n d 厂。s 1 1 a r e af i l l i t en o n z e r oc o i n p l e xm 1 i n b e r 口订，a n d ”( z ) = 厂肿1 ( z ) = 口w h e n 厂( z ) = 口，让l e n 厂= 6 p 7 ，、) l ，! h e r e 6i san o r 亿e r oc o n s t 锄t i nc h 印t e rt 1 1 r e e ，w es t u d y 也eu i l i q u e n e s sp r o b l e mf o re n t i i ef m l c t i o ns h 疵1 9a p o l ”1 0 血a 1w i 也i t sd e r i v a t i v e sa n do b t a i n e dm ef o l l o w i i l gr e s u l t s ，w m c hi i l l p r o v ea n de x t e n d t h et h e o r 锄s 西v e nb y a o m ml i 【1 2 1 t h e o r e m3 1l e tq ，( z ) ( _ ，= l ，2 ) b et w op o l y n o i i l i a l sa n d p ( z ) b ea i le 血r e 缸1 c t i o n ，七b e ap o s i t i v e 缸e g e r i f 厂i san o n c o i l s t a n ts o l u t i o no fm ed i 丘e r e m i a le q u a t i o n 型二璺：e 即， 厂一q t h e nv ( 力= 6 0 p 。) t l l e o r e m3 2l e t 尸( z ) a n dq ( z ) b et v 旧p o l y l l o m i a l s ，2b eap o s i t i v ei i 曲e g e r i f 厂i sa 仃a i l s c e n d e n t a ls o l u t i o no ft 1 1 ed i 行e r e m i a le q u a t i o n 燮! ： 厂( z ) 一q ( z ) s u c h 也a tv ( 厂) i sn o tap o s i t i v e 血e g e r ，a n d i f 厂( z ) a n d 厂”( z ) s t 磁i ezi m ，t h e n e p 2 羞1 觚d 厂= 丫e 2 ，、h e r e 丫( 0 ) i saf i i l i t ec o m p l e xm m b e r i i lc h a p t e rf - o u r ，w ec o i l s i d e rt h eu 1 1 i q u e n e s sp r o b l e mf o rm e r o r n o 印m c 缸l c t i o n 厂”s h a r i l l g as m a l lf b i l c t i o n 、析也厂。a 1 1 do b t a i n e dt h ef o l l o 咖gr e s u n s ，恤c hi i l l p r o v ea 1 1 de x t e n dt h e t h e o r e m sg i v e nb yq i l l g c 2 i iz h a n g 【2 1 1 t h e o r e m4 1 l e t 厂b ea1 1 0 n - c o n s t a n tm e r o m o 叩l l i c 缸l c t i o 玛聆，七 b et 、o p o s i t i v e i 1 1 c e g e r s ，口( z ) ( 0 ，) b eas m a l l t i o no f i f ”一口a r l d 厂一口s 妣0i ma i l d 4 融加2 2 ( ，专) + 2 丽，南) + _ 专) ( 枷( 1 ) 严) ) o r 厂玎一口a n d 厂一口s 妇o c m a n d 2 丽+ 哪，专) + _ 南) ( 枷( 1 ) 严) ) ， 厂，w h e r e 九i sac 。n s t a n ts u 吐蛳。 七+ 6 一行， ，w h e r e 九i sac o n s t a n ts u c h 恤t o 九 1 ，悯严兰厂“ k e yw o r d s ：m e r o m o 叩l l i c 劬c t i o n ，e n t i r e 如n c t i o n ，u i l i q u e n e s s ，s l 埘e dv a l u e ，s m a l l 矗m c t i o n 1 v 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：刁苗翠日期：加口岳年亏月z 石日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名： 曼篓围豳 指导教师签名： 日期：肿r 月日 日期：训牌r 月彳日 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第一章预备知识帚一早耿宫大u 以 1 1n e v a l l l i i l i l a 理论概要 由于r n e v a n l i l l 【l a 所创立的值分布论是亚纯函数惟一性理论的主要研究工具，下 面将扼要叙述n e v a i l l 证唿基本理论如果没有特别说明，本文中的亚纯函数指的是开平 面c = z ：l z l ) 上的非常数的亚纯函数，并用己= z ：h u ) 表示扩充的复平 面用e 表示，的一个线性测度有穷的集合，用，表示，的一个具有无穷线性测度的集 设函数厂( z ) 在h 尺( o 尺 ) 上亚纯，对于o ， 0 ，则口为厂的亏值，称6 ( 口，厂) 为的亏量 定理1 1 ( 对数导数引理) 设厂为圆h 尺( o r ) 内的亚纯函数且厂( o ) o ，o o ， 则当0 r p r 时，有 历争圳帆g + 南捌孵吾 + 3 l 。g + ! 一+ l 。g + p + 4 l 。g + 丁( p ，厂) 当厂( o ) = o 或者厂( o ) = o 。时，适当改变上式右端前两项以及各项的系数，定理仍然成 聊争砒n 其中s ( ，厂) 是满足s ( ，厂) = d ( 丁( ，厂) ) ，( r 专，萑e ) 的量，但每次出现并不一定完全相 定理1 2 ( n e v a m i n m 第一基本定理) 设厂( z ) 于h r ( ) 内亚纯若口为任一有 m ，击) = 毗门+ l o g 卅s ( ( 木) 其中呶为7 缶在原点的l a u r e n t 展式中第一个非零系数，而i s 哆厂) i l 。g + | 口| + l 。9 2 3 第一章预备知识 通常将( 木) 式写为丁( ，击) = 丁力+ 。( 1 ) 定理1 3 设厂( z ) 为i z i r 内的非常数的亚纯函数，巳( = 1 ，2 ，g ) 为g 个判别的有 穷复数，则对于o ， r 有 所以喜去，2 扣，南删， 定理1 4 ( n e v a n j i i l i l a 第二基本定理) 设厂( z ) 为h r 内非常数亚纯函数， qu = 1 ，2 ，g ) 为g 仨2 ) 个判别的有穷复数，则对于o ， r 有 这里 m 小喜m 南) 2 附- 1 ( 卅跗以 帅) - 2 ，力_ 门+ ( ，手) ， 跗肛加以争m 骞向删 其中余项s ( ，厂) 具有如下性质： 当九( 厂) 3 ) 个判别的复数则有 ( g _ 2 龇小喜( ，者m ( ，n 这里s ( ，厂) = d ( 丁( ，厂) ) 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文 n e v a n l i n n a 曾经提出能否将第二基本定理中常数换为，( z ) 的小函数的问题在仅 考虑三个小函数的情况下，他本人证明了如下定理： 有 定理1 5 设厂0 ) 为复平面内的亚纯函数，q ，口2 ，口3 为3 个判别的厂( z ) 的小函数则 m 喜融，去w ( ，n 对于更一般的情形庄圻泰先生证明了 定理1 6 设厂为非常数的亚纯函数，吩( = 1 ，2 ，g ) 均为厂的小函数且相互判 别则有 ( g _ 1 ) z ( ，n 3 ) 个判别的小函 数，为任意给定的正数，则有 ( 卿- s 力 2 ) 为整数，口为任一有穷非零复数，满足 m ( ，_ l ) ：s ( ，) 若当厂( z ) = 口时，厂( z ) = 厂一( z ) ：口，那么厂( z ) ：6 p 伍：+ 口一旦， ，一口仅 6 ( 0 ) ，仅为常数且满足0 【= 1 ，并且有厂= 厂刖 证明：令 仅：尝， ( 2 1 ) ，一口 由题设条件知，0 【为整函数，又考虑到坍( ，_ l ) = s ( ，厂) ，故有丁( ，a ) = s ( ，厂) 将 ，一口 式( 2 1 ) 改写为 = a l 厂+ p l ， ( 2 2 ) 苴申 对式( 2 2 ) 两边求导得 0 1 = 仅，p 1 = 口( 1 一仅) ( 2 3 ) 其中0 【。，民为整函数且满足下面的递推公式 1 0 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文 ( 2 6 ) | j = 1 ，2 ，并且我们有丁( r ，仪女) = s ( ，_ ，厂) ，r ( ，p 。) = s ( ，厂) 注意到m ( ，_ l _ ) = s ( ，厂) ， ，一口 因此( ，了l ) s ( ，门现在，我们假设厂( z o ) = 口，则厂帕( z 。) = 口，由( 2 4 ) 得 ，一口 口= 仪。( 气) 口+ p 。( z o ) ，又由于( ，了l ) s ( ，力，故有 ，一口 口= 仅。口+ p 。 ( 2 7 ) 由( 2 3 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 以及数学归纳法，对任意正整数尼我们有 a t = 仅+ 丑一l 融】， p t = 一觚+ r t l 仅】， ( 2 8 ) ( 2 9 ) 其中最一，陋】，r 一。陋】以及后面出现的q 一，陋】均是0 【的常系数微分多项式，且其次数不 超过七一1 ，但每次出现时并不一定完全相同接下来，我们考察p 。“+ 觚。卅首先，由 式( 2 3 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，经过简单计算得到p 2 + 似2 = 觚，并且 p 柚+ 缎= 一缎+ r 一1 陋】+ 口( 1 一仅t + 口【缸+ 丑一1 陋 ) + o 旺k 】 = 一胁一1 仅+ ( r l 陋】) + 觚女一口旺0 【+ 触一1 仅+ 口( 最一l 陋】) + 口旺仅女 = 缎+ 叱一。陋】+ 口( 只一，陋】) + ( r 一。陋】) = 觚+ q 一1 陋】， 即 p + 1 + 口吼t “= 【+ q 一1 陋】 ( 2 1 0 ) 由式( 2 7 ) 和式( 2 一l o ) 得 诹肛1 + q 一2 阻】兰口 ( 2 一1 1 ) 显然，q 一：缸 声口，否则由式( 2 1 ) ，( 2 1 1 ) ，有厂= 口，则厂= 舷+ c ，这与题设条件 第二章i m 分担一个公共值的整函数 矛盾由式( 2 一1 1 ) 及引理2 2 ，我们可以推出0 为常数，又注意到厂不为常数，故a o 再由式( 2 5 ) ，有 又p ，= a ( 1 一仅) ，则由式( 2 2 ) ，( 2 6 ) 有 仅k 2 0 【l ， p t = 口( 1 一仅) 仅。- 1 ， ( 2 1 2 ) 由式( 2 7 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 一1 3 ) ，有口= 觚”+ 口( 1 一仪) 0 【，此即0 c ”1 = 1 另一方面，由式( 2 1 ) 可得 厂( z ) = 6 p 。2 + 口一旦， 仅 其中6 ( 0 ) 为任意常数再由式( 2 1 4 ) 并注意到仅”1 = 1 ，容易得到厂= 厂 2 3 定理2 1 的证明 设 ( 2 1 4 ) ( 2 一1 5 ) ( 2 1 6 ) 由定理2 1 的题设条件知，q ，牵为整函数且满足r ( ，叩) = s ( ，厂) ，丁( ，咖) = s ( ，厂) 下 面分两种情况讨论 情形1 叩0 ，由式( 2 1 5 ) 有 两边求导得 厂：口+ 三( 厂州) 一厂) ， p 1 + ( 土) 】厂t ：( 三) 厂一+ - + 上( 厂肿舶一厂- ) ( p p( p 1 2 ( 2 一1 7 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文 由于母为整函数，因此1 + ( 三) o ，故有 d 由式( 2 1 8 ) ，我们有 因此 另外 此即 南：熹筹+ 熹鲁， 厂一口1 + ( 三) 厂一口。1 + ( 土) 厂一口 、7 聊南郴( ，n ( 2 一1 9 ) 加击) = m 寿) 姚南) 删坝价 ( 2 - 2 。) 丁( ，力：m ( ，厂) ：所( ，口+ 土( 厂肿n 一厂t ) ) 所( ，厂) + s ( ，门 ( p = 丁( ，厂) + s ( ，门丁( ，力+ s ( ，厂) ， 丁( ，力= 丁( ，厂i ) + s ( ，力 由于厂( z ) = 口时，必然有厂”( z ) = 口，故厂的口值点的重数至多为刀一1 因此 ( 2 2 1 ) ( 2 ( ，击) 2 时，可设气为厂的重口值点，则经计算由( z o ) = 1 由引理2 3 有( ，- ，了l ) s ( ，门， ，一口 再由引理2 4 得厂事厂。) - 厂+ 口，即巾l 因此叠z ( ，l _ ) ( ，古) = s ( ，厂) ，再 1 3 第二章i m 分担一个公共值的整函数 注意到式( 2 2 2 ) ，此即( ：( 一7 b ) = s ( ，门故 ( r ，南) 娟击m ( ，n ( 2 - 2 3 ) 当珂= 2 时，的口值点郡是早阴，瓦( 2 2 3 ) 显然成豆凼此，由式( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) ，( 2 2 3 ) 并注意到厂一口的零点都是单的，我们有 11 m ( ，_ 一) = 丁( ，厂) 一( r ，_ 一) + s ( ，) ，一口，一口 = 丁( ，_ ，厂i ) 一( ，) + s ( ，厂) ，一口 - 南) 盹击) _ ( ，击m 厂) 卸击) _ 击( ，伽跗n 因此，由引理2 5 得厂肿1 = 厂，即叩暑o ，矛盾 情形2 中暑0 ，此即厂”一厂暑c ，c 为任意常数又由引理2 3 知口不为的例外 值，故厂”暑厂因此 聊击却寿m ( 1 ) 刮，筹m ( 1 ) = s 力 于是，由引理2 5 ，厂( z ) = 6 p 吖+ 口一兰，6 ( 0 ) ，仅为常数且满足仪”1 = 1 又因为当 0 l 7 r ( z ) 一口：o 时，州( z 1 一口= 0 ，故a ”= 1 ，从而仅：1 ，从而厂：抛：，6 为非零常数 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第三章整函数与其导数分担多项式 3 1 引言及主要结果 为叙述本章的有关结果，我们首先给出如下定义： 定义3 1 设厂为非常数的亚纯函数，厂的级o ( 厂) 定义为 。( 门：1 h s u p 墅掣 r + l o g ， 注3 1 显然，若厂为整函数，则 。( 门：l i m s u p 型掣， 7 l o g r 其中m ( ，) 2 帮) 1 定义3 2 设厂为非常数的亚纯函数，厂的超级v ( 厂) 定义为 v ( 门“m s u p 型氅蚴 r+。log厂 1 9 9 6 年，r b r n c k 【1 0 1 证明了下面的两个定理 定理a 【1 0 1 设厂为非常数的整函数满足v ( 厂) ) ( 3 6 ) 另一方面，由于厂为超越整函数，因而m ( ，厂) _ ，寸，其中m ( ，厂) 2 喁擎l 厂( z ) i m ( ，门= i 厂( 乙) i ， ( 3 7 ) 巨c ( 1 ，) ，即点孚 ，使得在圆周h = ，萑e 上满足l 厂( z ) i = m ( ，门的点，均有 错= 学九1 + d ( 1 ) ) ，- 一 8 ) 由于厂超越，q l ，q 2 为多项式，故 l i i n 幽：1 i m 堕盟：o ，n i n 幽：i i i n 丝! l ：o ( 3 9 ) ，一i 厂( z r ) i r m ( ，厂) h m i 厂( z ，) i ，一m ( r ，厂) 又因为 厂q 舒2 管， 浯埘 - - = = - ；- - - - - = - 一 、1 一li ，j 厂一q 2 1 一鱼 1 9 第三章整函数与其导数分担多项式 而 舶阶l o g 圳出陋o g 掣九t + d ( 1 ) ) 】l ， l 。gl 。g i 1 2 ) ( 1 + 。( 1 ) ) 】：l 。g j | ( 1 。g v ( ，厂) 一l 。g ，它妇) ( 1 + 。( 1 ) ) 】 故由引理3 2 ，得到 = l o g 尼+ l o g ( 1 0 9 v ( 厂，厂) 一1 0 9 ，_ 一i e ) = 。g 七+ 。g 。g v ( ，厂) ( - 一i 若主亨丢丢了弓 l o g ， 面燮+ 面! ! 垒! 竺型生：尘+ 面 ，。l o g ， ，+ m l o g ， ，+ 。 一泛l o g l o g v ( ，门 = 1 1 n 1 二l ! 二_ 二三二= v ( 门 c 卜者渤一苦b ，l o g v 【，jl o g v 妒，j = 行，故有甩v ( 厂) 又由于p ( z ) 为刀次多项式，故a p ) = 甩，因此 另一方面，我们有 v ( 厂) ：面丝掣 7 ” 1 0 9 ， v ( 门仃( p p 2 ) 一1 0 9 l 。g 业巫 = l 硫 l o g 厂 l o g ， 丽! ! 竖! 旦曼丝! ! ! 堂：2 ，棚 l o g ， 2 0 ( 3 一1 1 ) = 0 0 尸) ( 3 1 2 ) 兰 厂 州一 g j纠一 崦 塑时 一 堕 面一 中国石油大学( 华东) 硕士论文 由式( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 可得，v ( 厂) = 6 0 p ) = d e g p 0 ) = 订 情形1 2o ( 厂) 由级与超级的定义知，此时v ( 厂) = 0 另一方面，根据前面的讨 论，由引理3 1 在圆周h = ，甓互上有 尸( z ) i = | l o g p 即i = i 后l o g v ( ，厂) 一七1 0 9 彤母+ 。( 1 ) = l 后l o g v ( ，厂) 一七1 0 9 ，一向| 。+ d ( 1 ) i d ( 1 0 9 ，) ，一 ( 3 1 3 ) 由式( 3 1 3 ) 及p ( z ) 为多项式，我们知尸( z ) 为常数，故o ( e 尸) = 0 ，因此 v ( 力= 0 0 p ) = o 情形2 尸( z ) 为超越整函数，则0 0 尸) = o 。，并且厂也为超越整函数，且式( 3 1 2 ) 仍然成立另一方面，令p ：r l = m ( ，p m ) ，则由前面的讨论，在圆周h = ，诺巨上有 p 鹏) _ 掣) t ( 1 + 。( 1 ) ) 2 掣) t ( 1 + 。( 1 ) ) ，一 因此 l o g l o g p p 耳l 0 9 1 0 9 2 + l o g 后+ l 0 9 1 0 9 v ( ， ) + l 。g ( 1 一夏一五忑) + 。( 1 ) ，一 故 面! 旦曼! 竺曼丝唑竺2 面! ! 曼! 竺坚+ 面燮+ 面! ! 曼! ! 型g ：旦 7 + 。l o g ， 7 + 。 l o g ，。l o g r 7 。 l o g ， + 面竺二盎二壶! ，+ 面 ! 竺型! 生z2 坦型竺：z 2 ，一 7 蜘 l o g ， 此即o 户) v ( 厂) ，由此及式( 3 1 2 ) 我们有v ( 厂) = 6 p ) 成立定理3 1 证完 2 1 3 2 2 定理3 2 的证明 首先，由引理3 3 及r ( r ，厂t ) r ( r ，厂) + s ( r ，门，我们有v ( 厂) = v ( 厂 ) ，同理 v ( 厂) ：v ( 月) 记g = d e gq ( z ) 由于v ( 厂) 不为正整数，故由式( 3 2 ) 及推论3 2 知，存在 一个有穷非零常数d 满足 望! 二g 型：毫d ( 3 - 1 4 ) v ( z ) 一g ( z ) 令g ( 加烈z ) ，则爱刮棚g f _ q “( g - q ) ，对此式两边求导g + l 况有 g g + 2 ) = 由q + n ， ( 3 一1 5 ) 对应特征方程为九9 “一d 九9 “= 0 ，因此( 3 一1 4 ) 的通解可表示为 厂h ( z ) = g ( z ) = 丫e 出+ 6 9 2 4 + 6 碍- 1 2 9 1 + + 6 l z + 6 0 ， ( 3 1 6 ) 其中丫为非零常数，6 l ，为有穷复数由式( 3 1 6 ) 可得 其中口o ，q 一。为有穷复数 m ，= 等+ 姜龋营， 忉 若d u z ) 一( 厂伽) 一z ) = d ”厂一厂月+ ( 1 一d ”) z 宣0 ，贝0 由式( 3 1 6 ) ， ( 3 一1 7 ) 可得 6 b ：6 l = 一乞- 0 ，：色= 垆一- 0 ，q = 等，蝴加等+ 等z ，从 而厂n ( z ) = 丫铲，厂h + 1 ( z ) = 丫如出由此以及式( 3 1 4 ) ，可得丫如出一q = d o 铲一q ) ，从 而d = p 尸= 1 ，因此厂( z ) = 丫p 。 下设( 厂一z ) 一u 刖一z ) 孝o 显然，( 一z ) 一( 厂刖一z ) 为一非零多项式，由条件 厂与厂月i m 分担z 可推知，厂一z 与厂刖一z 的公共零点一定是扩( 厂一z ) 一( 厂刖一z ) 的零 点，也就是厂一厂月+ ( 1 一d ”) z 的零点，从而一z 与厂刖一z 的公共零点仅有有限个， 因而存在一个非常数的有理函数尺( z ) 和一个非零复数4 满足 2 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文 祟：r ( z ) p 出 厂( z ) 一z 、。7 将式( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 代入式( 3 1 8 ) 可得 等圳删：一( 骞叫擀止 一委篇一耖 下面我们分两种情形讨论 情形1 假设彳= d ，则由式( 3 1 9 ) 易得丁( ，p 出) = d ( 1 0 9 ，) ，矛盾 情形2 假设彳d ，再区分下面四种情形 情形2 1 假设么= 卅，则式( 3 1 9 ) 可改写为 等+ 嘻骺+ 耖川叫舡c 扣叫肥瑚， 此时，我们同样有丁( 7 ，p 出) = d ( 1 0 9 ，) ，矛盾 情形2 2 假设么句，么0 ，则引理3 4 可得丫= 0 ，矛盾 情形2 3 假设彳= 0 且刀= 1 ，此时式( 3 1 9 ) 变为 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) c 扣肥m 出c 妒叫肥，一嘉蒜吩 伊2 。， 比较式( 3 2 0 ) 两边的增长性，有 因此 脚) = 吉，包一一= o ，6 0 = 一吉，口o = 吉c 一吉， 弛，= 等州一扣扣争 2 3 第三章整函数与其导数分担多项式 故 厂t ( z ) ：丫p 出+ 1 一三， 厂”( z ) ：丫如出 d 由式( 3 1 4 ) 并注意到刀= 1 ，我们有 黑：j 牛：d ， 一q y 铲+ 1 一土一p d 。 此即d = 1 ，故有厂( z ) = 丫e 2 情形2 4 假设彳= o 且刀2 ，此时式( 3 1 9 ) 变为 丫c 专川砌如州妒_ 肿喜筹一弦， 比较上式两端的增长性，我们有 r ( z ) = 专，= 6 1 = = = o ，口o = 口：= = q 一。= o ，q = 1 一专， 因此厂( z ) = 等+ ( 1 一专) z ，从而厂( z ) = 丫p 出，厂( 。( z ) = 丫如出 由式( 3 1 4 ) ，我们有 掣：螋：d ， 厂一q丫p 出一q 此即d = 1 ，故有厂( z ) = 丫p 2 2 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第四章亚纯函数与其导数分担一个小函数 4 1 引言及王要结果 本章中，我们采用的有关记号的含义请参看第一章b m c k 【1 1 首先考察了整函数与其 导数分担一个公共值的惟一性问题，证明了下面的结果 定理a 【1 0 1 设厂为非常数的整函数如果厂与厂分担1 c m 并且( ，专) = s ( ，门， 那么筹暑c ，c 为某啡零常数 杨连中【1 7 】，张庆彩推广了定理a ，得到了如下结果 定理b 【18 1 设厂为非常数的亚纯函数，尼为正整数如果厂与分担1c m 并且 2 而胁_ ( 厂，抄肿，专) 1 9 + 2 后， 那么厂暑 在文章1 9 1 中，y u 提出了四个开问题l a l l i r i 【2 0 】，张庆彩叫采用权分担的思想对这个 2 5 第四章亚纯函数与其导数分担一个小函数 问题作了进一步的研究，得到了下面的定理，回答的y u 提出的开问题 定理e 【2 1 1 设厂为非常数的亚纯函数，忌为正整数，口( z ) ( 0 ，) 为厂的小函数如 果厂一口和厂) 一口分担o i m ，并且 4 丽肿3 2 ( ，专) + 2 - ( ，南) ( 枷( 1 ) 广) ) ， r ，o 九 1 为常数，那么：兰兰c ，c 为某一非零常数 ，一口 本章中，我们研究了厂”与厂分担一个小函数的问题，得到了一系列结果，这些结 果改进并推广了上述几个相关的定理 定理4 1 设厂为非常数的亚纯函数，刀，后为正整数，口( z ) ( o ，) 为厂的小函数 如果厂”一口和厂。一口分担0i m ，并且 4 _ ( ，厂) + 2 2 ( 厂，如+ 2 _ ( ，南) + _ ( ，专) ( ( 1 ) 严) ) ， ( 4 - 1 ) 或者厂”一a 和厂一口分担o c m ，并且 2 而+ 哪，专) + _ ( ，南) ( n d ( 1 黼) ， ( 4 - 2 ) ，。 九 l 为常数，那么兰詈暑c ，c 为某一非零常数 一“ 显然，定理4 1 改进并推广了定理b 和定理e 由定理4 1 ，容易得到下面的推论 推论4 1 设厂为非常数的亚纯函数，z ，七为正整数，口( z ) ( 0 ，) 为的小函数 如果厂”一a 和厂一口分担0i m ，并且 6 矾+ 3 哪，专) + 4 丽，扣 ( n d ( 1 黼) ， ( 4 - 3 ) 或者厂”一口和一口分担o c m ，并且 3 ( ，+ 哪，专) + 2 融，扣 ( m ( 1 ) n ， ( 4 - 4 ) 2 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文 ，j ，o 七+ 6 一刀， ( 4 6 ) 由定理4 2 ，我们容易得到下面的推论 推论4 3 设为非常数的整函数，后为正整数，口( z ) ( o ，) 为厂的小函数如果 厂一口和厂似) 一口分担。c m 并且6 ：“( o ，力 ；，那么厂暑厂似) 显然，推论4 3 改进了定理c 4 2 主要引理 引理4 1 【2 1 2 2 】设厂为非常数的亚纯函数，七为正整数，那么 ( ，击) 洲厂，抄厨( r ，m 跗， ( ，争翊抄丽删价 引理4 2 口o 2 1 1 设厂为非常数的亚纯函数，七，p 为正整数，那么 ( ，专) m + ，( ，多+ 七丙( ，- ，门+ s ( ，门jj 2 7 第四章亚纯函数与其导数分担_ 个小函数 ( 七+ p ) 丙( 厂， ) + 尼丙( r ，力+ s ( ，d 1 引理4 3 翻设厂为非常数的亚纯函数，刀为正整数，p ( 门= q 厂，其中口，为亚 纯函数且满足丁( ，口) = s ( ，力( f _ 1 ，2 ，刀) ，口。0 ，那么 丁( ，尸( 厂) ) = ，z 丁( ，厂) + s ( ，厂) 4 3 定理4 1 及其推论的证明 4 3 1 定理4 1 的证明 定义 ，一，( 七) 设f = l ，g = l ，那么 口口 f 一1 ：竺，g 一1 ：塑 口 日= c 筹一篙h 罟一子、，f 一1、g g 一1 7 下面我们分两种情形讨论 情形1 日0 由式( 4 8 ) ，m ( ，日) = s ( ，- ，厂)