（应用数学专业论文）外区域上非线性椭圆方程组和hénon方程的研究.pdf

摘要 本文主要研究外区域上的一类半线性椭圆方程组解的存在性和带n e u m a n n 边 界的h 吾n o n 方程解的存在性、多解性以及解的渐近性质。 第一章中我们主要介绍半线性方程和方程组已有的研究成果，并对已有 成果在研究过程中遇到的困难以及如何克服这些困难进行一个概述。 在第二章中，我们着重研究半线性椭圆方程组 f 一t + “= i u i p - - l “+ 入t ， z q ， 一t j + t j = l v i p 一1 u + a u z q ，( 1 ) 【t = 口- - - 0 z a q 解的存在性问题。其中n 是r n 中的外区域，n 3 。我们首先证明方程组对应 的能量泛函在适当的区间内满足( 尸s ) 。条件，然后在适当的条件下证明此方程 组至有少三对非平凡解。本章的主要结果已经在e l e c t r o n i cj o u r n a lo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 第2 0 0 8 卷上发表。 在第三章中，我们研究带n e u m a n n 边界的h n o n 方程 一之矿1 刮刮p _ 印 ( 2 ) 【甏= 0 茁0 b 其中b 是r n 上的单位球，q p 以及a 0 ，并记n 为外法向量。我们首先研究方 程( 2 ) 解的存在性，再研究当。充分大时基态解的性质以及非球对称解的多解性 质。 关键词：外区域；半线性椭圆方程组；非径向解；径向对称；基态解；最小 值；临界点；解的存在性。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o ras e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m ，a n da l s o s t u d yt h ee x i s t e n c er e s u l t s ，m u l t i p l es o l u t i o n sa n dt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fs o l u t i o n so ft h e h d n o ne l l i p t i cp r o b l e mw i t hn c u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n i nc h a p t e ro n e ，w em a i n l yi n t r o d u c et h er e s u l t sf o rs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sa n ds y s t e m s ， a n dm a k ea no v e r v i e wo ft h ed i f i i c u l t i e sa n di d e a st os o l v et h e m i nc h a p t e rt w o ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h es e m i l i n e a re l l i p t i c s y s t e m i nq i nq o n 锄 ( 3 ) w h e r eqcr ，n 3 ，i sa ne x t e r i o rd o m a i n f i r s t l y , w ep r o v et h ec o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n a lo f t h ep r o b l e m ( 3 ) s a t i s f i e st h e ( p | 箩) cc o n d i t i o ni nt h ep r o p e ri n t e r v a l s e c o n d l y , w es h o wt h es y s t e m p o s s e s s e sa tl e a s tt h r e ep a i r so fn o n t r i v i a ls o l u t i o n su n d e rs o m ea p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s t h em a i n r e s u l t so ft h i sc h a p t e rh a v eb e e ni s s u e di ne l e c t r o n i cj o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt h eh 6 n o ne q u a t i o nw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n 一竺u + u p 。1 = l 叫哪。1 蚰 ( 4 ) 【舞= 0 o n0 b 一 w h e r ebi st h eu n i tb a l lo f ，口 p ，q 0a n dw ed e n o t eb yy tt h eo u t e rn o r m a lt oa b w e c o n c e n t r a t eo nt h ee x i s t e n c eo fp r o b l e m ( 4 ) ，a n ds t u d yt h ep r o p e r t i e so fg r o u n ds t a t es o l u t i o na n d t h eb e h a v i o ro fn o n - s p h e r i c a u ys y m m e t r i cs o l u t i o n sp r o v i d e dai sl a r g ee n o u g h k e y w o r d s ：e x t e r i o rd o m a i n ；s e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m ；e x i s t e n c er e s u l t ；n o n r a d i a ls o l u t i o n s ； r a d i a l l ys y m m e t r i c ；g r o u n ds t a t e s ；m i n i m i z e r ；c r i t i c a lp o i n t s 知地 + 卜 坳 m 麓圳 = 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年月 日 第一章引言 本章介绍半线性椭圆型方程组和h 6 n o n 方程有关的背景知识，发展状况以及 我们的主要工作。 1 1 研究的问题及主要背景 上个世纪以来，随着量子力学、微分几何、生命科学的发展，产生了大量 诸如薛定谔方程的偏微分方程，研究这些方程或方程组解的存在性问题成为 数学的一个重要研究领域。非线性椭圆型方程和方程组是其中重要的一类方 程，例如，虽然薛定谔方程本身是抛物形方程，但是它对应的稳态方程就是椭 圆型方程，微分几何中的m o n g e - a m p e r e 方程、y a m a b e 问题都是非线性椭圆型方 程。在这些方程中，m o n g e - a m p e r e 方程是完全非线性的，薛定谔方程和y a m a b e 问 题是半线性方程。研究这些方程解的存在性对于物理和几何问题有着重要的 意义，比如研究微分几何中的m o n g e - a m p e r e 方程解的存在性，就知道是否存在 高斯曲率为常数的曲面，研究生物学中非线性椭圆方程可以知道几类物种是 否存在共存状态。本文主要研究半线性椭圆型方程解的存在性和多解性质。 众所周知，如果方程具有变分结构，那么变分法就是研究这类方程解的存在 性的重要工具。 变分法即通过找方程对应的能量泛函的临界点来找方程的解。我们知道， 对于普通函数，最常见的临界点是最大值点和最小值点，同样，对于能量泛 函，如果它有上确界或下确界，并且上确界或下确界可达，那么达到函数就是 泛函的临界点。由于方程对应的泛函都是在无穷维空间中定义的，因此为了使 得上确界或下确界可达，通常需要一个重要的紧性条件，即( p s ) 条件。( p s ) 条 件是否满足在临界点理论中非常重要，如果( p s ) 条件不满足，最常用的方法 就是用局部( p s ) 条件代替全局( p s ) 条件。对于有界泛函，我们有：。 引理1 设e 为一实b a m 把h 空间，c 1 ( e ，月) 满足( 朋) 条件。如果j 有下界，那么 是珀勺临界值。 对于光滑有界区域q 上的方程 ：三：- 矿二茎： c 1 ， 如果0 p 1 ，那么它对应的泛函是 j ( u ) 2 去以l v u l 2 幽一品j 上1 如，u 础( q ) ( 1 - 2 ) 2 外区域上非线性椭圆方程组年 i h d n o n 方程的研究 这个泛函在其定义域上有下界，并且利用索伯列夫紧嵌入定理，容易知道，满 足( p s ) 条件，因此珀臼下确界是可达的，达到函数就是方程的解。此外，可以 知道珀q 下确界是一个负数，因此达到函数不会是零解。也就是说，我们找到 了方程( 1 1 ) 的一个非平凡的解。 但是，对于问题( 1 1 ) ，如果1 p 0 ，使得，i a b 。2a ； ( i i ) 存在e e 岛，使得j ( e ) 0 。那么j r 存在一个临界值c a ，c 可以由下列 极小极大值来刻画 c - - - - i n f 。m 觚a x l 】) i g e r ( u ) ，( 1 3 ) u 9 ( 1 0 ，1 】) 、。 其中 r = 9 c ( 【o ，1 】，e ) ：g ( o ) = o ，g ( 1 ) = e 这个引理为处理超线性方程提供了重要的理论工具。例如，对于问题( 1 1 ) ， 如果我们假设1 p 糙，那么虽然它对应的泛函既没有上界也没有下界，但 是它具有山路引理中的几何结构。此外，利用索伯列夫紧嵌入定理，可以验 证，满足( p s ) 条件，这样就找到了，的一个非零的临界点，即方程( 1 1 ) 的一个非 平凡的解。 在应用山路引理的时候，要求泛函的二次项是正定的，这样泛函才满足 山路引理中的第( i ) 条。如果问题( 1 1 ) 变为 j 一u 一地= m ) z f l ,( 1 4 ) 【u = 0 z a q 。、 其他条件不变，假定k o o d i c h o t o m y ：存在0 o 和序列以cr + 满足r 0 ，p n k ( z ) d x 天一 j i i h + b r 这个定理为处理无界区域上的非线性椭圆方程提供了有用的工具。通常 的做法是利用这个定理寻找局部( p s ) 条件成立的区间，e p ( p s ) 。条件中c 的范围， 将第一种情况和第二种情况排出，于是得到第三种情况。再利用方程的特点 和c 的范围，证明第三种情况中的序列 ) 有界，最终证明序列 “。) 具有收敛的 子列。关于这个定理的具体应用可参考【2 7 】。 在这些文章中，只能在“极限方程 的极小能量以下证明局部( p s ) 条件成 立，但是对于外区域上的方程，例如 i 一t 正4 - 札= i u l p 一1 u z q ， tu 。， 一q ( 1 7 ) 其中区域q 满足，存在p o 使得r qcb p ( o ) 。它对应的极限方程就是 l 一“+ t = i t l p 一1 t lz r ， ( 1 8 ) iu h 1 ( r ) b e n c i 和c e r a m i 在【4 】中证明了这两个方程的山路引理水平值( m o u n t a i n p a s s l e v e l ) 是相 等的，并且第一个方程的山路引理水平值是不可达的，那么利用集中紧致原理 就遇到了困难，因为我们此时不能再在“极限方程”的山路引理水平值以下构 造临界值了。于是b e n c i 和c e r a m i 在更高的能量范围内找方程( 1 7 ) 的解。他们利 用一个全局紧性结果，证明了方程( 1 7 ) 对应的的能量泛函在c c o o ，2 ) 时满 足( p s ) 。条件，其中c o 。是极限方程( 1 8 ) 的山路引理水平值。然后再利用重心函 数将，的某个极小极大值约束在上述区间。在证明在c ( c 0 0 ) 2 c 。) 内满足( p s ) 。条 江西师范大学硕士学位论文 5 件的时候，极限方程( 1 8 ) 正解的唯一性是最关键的，如果极限方程的正解不 是唯一的，那么找局部( p s ) 条件成立的范围就变得比较困难。本文的第二章 将研究外区域上的方程组 f 一t + t = l u i p - 1 u + 入付 z q ， - a v + t ，= i v l p 一1 u + a u z q ，( 1 9 ) 【t i = u = o z a q 解的存在性，目前还没有结果表明它的极限方程 一-au+u=川luav 2 麓a u 二茎r r ： 埘 i 一 + t ，= l t j i p 一1 t ，+ 茁 、 7 的正解是唯一的。但是我们注意到当a ；o 的时候，它的最低能量解就是( 加，o ) 或 ( 0 ，埘) ，其中w 是单个方程 一u + 仳= 1 i p 一1 t - z r ( 1 1 1 ) 的极小能量解。因此我们预计，当a 充分小的时候，极限方程( 1 1 0 ) 的最低 能量解就是从( ，o ) 分歧出来的。因为方程( 1 1 1 ) 的正解是唯一的，因此预计 方程组( 1 1 0 ) 的最低能量在a 充分小的时候是孤立的，这样我们就可以在方程 组( 1 1 0 ) 的最低能量上面的一个很小的区间内证明( p s ) 。条件成立。方程组( 1 1 0 ) 的 最低能量的孤立性由a a m b r o s e t t i ，g c e r a m i 和d r u i z 在【1 】给出了详细的证明。 ( p s ) 不成立的另一类方程是临界指数的方程，我们知道无界域上的( p s ) 列 不紧完全是由于平移不变性引起的，但是对于有界区域上的临界指数方程， 其不紧的原因在于伸缩不变性。关于有界域上的临界方程的经典结果可以追 溯到h b r e z i s ，l n i r e n b e r g 的经典论文，在 s l p ，作者研究了临界方程 f a t 正= a t | - 4 - 矿一1z q ， ( 1 1 2 ) 【u = 0 ， z a q 解的存在性，作者证明了方程( 1 1 2 ) 对应的能量泛函为在c ( o ，斋s 譬) 时满足( p 回。 条件，其中s 是最佳s o b l e v 系数。这里的想法和无界区域上的想法类似，既然无 界区域是由于平移不变性引起的，并且在平移的极限方程的最低能量以下也 是不会失去紧性的。那么，同样的道理，在临界指数的情况下，在伸缩的极 限方程的最低能量下就不会失去紧性。而( 1 1 2 ) 对应的极限方程正是 f 一u = t 2 一1z r n ， ( 1 1 3 ) it i = d 1 ，2 ( r ) 6外区域上非线性椭圆方程组弄n i - 1 4 n o n 方程的研究 ：- - 全a 等u + u = m l u l p - l u + ) u v 篓 j ( “，u ) 2 壶上i v u l 2 + u 2 + i v u l 2 + 口2 出一看j 上i u i 卅1 + i 口 p - 4 - 1d x - - ) 、上u t ，如，( 1 ) 其中( 乱，u ) 础( q ) 础( q ) 。可以验证泛函，具有山路结构。但是外区域上的方程 一a u + 1 , = i t 正i p 一1 t z r ( 1 1 6 ) 正解的唯一性，证明了外区域上的方程对应的泛函在( c ，2 c ) 上满足( p s ) 。条件， 其中c 是( 1 1 6 ) 的山路引理水平值。但是我们研究的问题的“极限问题 是 - a u 加+ u = l u r 一嚣：z x 创er n,-av i v l p - i ( 1 1 7 ) i + t ，=口+ a t z r 、 7 目前还没有结果表明( 1 1 7 ) 的正解是唯一的，因此找( p s ) 。条件成立的c 的范围面 临极大的困难。a a m b r o s e t t i ，g c e r a m i 和d r u i z 在【1 】中证明了( 1 1 7 ) 的山路引理水平 集在a 充分小或接近l 的时候是孤立的，这样我们可以在极限方程的山路引理 水平值c 以上的一个小区间内证明( p s ) 。条件成立。最后利用b e n c i 和c e r a m i 在【4 】的 想法，让极小极大值落在这个区间，最终得到一个非平凡的临界点。但是，如 江西师范大学硕士学位论文 7 三兰j 2 陋j o i 矿一1 三重量 c 8 ， 期1 2 1 。后来倪维明在球对称空间中研究了方程( 1 1 8 ) 解的存在性，参考【1 4 】，他 丙2 一a ：一- 垦r - r l m d 到上。( b ，h a 出) 中的索伯列夫临界嵌入指数，由于i x l n 的出现，它比通 方法是分别在哪( b ) 和硪 定义,tad 钆( 也) = 面f b i v 丽u f f + u 2 d 忿 ( 1 1 9 ) 然后找一个合适的检验函数，证明了当q 充分大的时候，钆( 牡) 在硪( b ) 中的最 小值l = 匕 - 1 0 , r a d 中的最小值小，进而证明了上面的结论。 喜三：l z f 。“尸一1 三重量 c ，2 。， 8外区域上非线性椭圆方程组和h d n o n 方程的研究 他们发现n e u m a n n 边值和狄利克雷边值条件的结果很不一样。更确切地说，他 们证明了 定理：当p ( 2 ，2 - ) 的时候，如果q 充分大，那么方程( 1 2 0 ) 的最低能量解不是 球对称的，其中2 。是索伯列夫迹不等式中的临界指数，即2 。= 可2 n 虿- 2 。 但是，当p 不在上述区间的时候，结论却与狄利克雷边值条件不一样，特 别地，他们证明了 定理：当p 充分靠近2 的时候，如果q 充分大，那么方程( 1 2 0 ) 的最低能量解是 球对称的。 本文的第三章将研究具有n e u m a n n n 边值条件的拟线性h d n o n 方程。 1 2 本文的工作 ：-全h等ujr u = u 川p - l uj r - a u u 的多解问题，其中qcr n ，n 3 ，并且n 是个外区域，0 a 1 ，锄o 且1 p 以及q o ，并记n 为o b 的外法向量。方程( 1 2 2 ) 的解对应泛函钆：w 1 , p ( b ) o ) 一r 州= 犍蔫箍萨， 2 3 ， 的临界点。主要结论如下 定理2 若口 0 ，q 0 ，矿+ 辑) ，则存在u 叫1 。, p d ( b ) ，使得下确界 钆( t l 卜。蒜m 仉( 口) ，口w 船( o ) o ) 可达，从而方程( 1 2 2 ) 存在一个径向解。 此外，我们还将研究方程( 1 2 2 ) 的基态解的对称性，由于方程的右边h a 关 于单调递增，因此不能用移动平面方法。我们将证明下面的结果 定理3 当q ( p 。，p ) ，o 充分大时，方程( 1 2 2 ) 的基态解都不是径向的，其中p 。是 迹不等式中的临界指数。 我们还要证明方程( 1 2 2 ) 的多解结果，即 定理4 假设n p + 2 ，q ( p ，怒) ，则n 充分大时，方程( 1 2 2 ) 至少有i n 2 一1 个 不同的非径向解。( 【2 】是数n 2 的整数部分) 定理5 如果是偶数，令矿( ) = 趔n + 2 - 2 p ，如果是奇数，令矿( ) = 畿黼。假 设n p + 2 ，q ( p ，q + ( ) ) 以及q 充分大时，方程( 1 2 2 ) 至少有一个非径向解。 第二章半线性椭圆方程组的相关定理 2 1 预备知识 在这一章里我们要研究的是半线性椭圆方程组 i - - a u q - t 上= i t i p 一1 t - i - a 可 z q ， 一a v + t ，= i v l p 一1 t ，- t - a t z q ，( 2 1 ) 【t l = 口= o z a q 解的存在性，其中qcr ，n 3 ，并且q 是个外区域，0 a 1 ，a q o 且1 p 倦。 【1 】已经证明了在0 o 使得 | d 。u a ( z ) i c k 一6 i 。i ，l d 。t ，a ( z ) i c e 一6 i 。i ( 2 2 ) 其中z r ，i n i 2 。 证明：我们已知方程( 1 1 7 ) 有基态解( u a ，t ， ) ，是正解并且径向对称。令叫 = t - t - 坝，则叫a 满足 一t t ， - i - t ，a = ( t 最- i - 暖) - i - 入t 廿a ，i n r n ( 2 3 ) 又因为w = 叫a ( r ) 是径向对称的，令( r ) = r 学t t ， ，则满足 如= 【口( r ) + 去】 ( 2 4 ) 其中g ( r ) = 坐型毪掣，6 = ( n - 1 ) 。( n - 3 ) 。因为牡 和呶是径向对称的，当例一o o 时，牡 ， 1 ， 一0 。存在r 0 0 ，当r r 0 时，使得g ( r ) 孚。令妒= 护，则妒满足 壶协，= 咖；+ ( g ( t ) + 刍) 妒 ( 2 5 ) 当r r o 时，由上式可知惦( 1 一a ) 妒。令z = e - - , r ：x t p r + , v z - x , 沙l ，则当r 7 0 时有 务= e - - 蕊m ，一( 1 一入) 纠0 ( 2 6 ) 所以z 在( r 0 ，+ o o ) 上是增函数，如果存在，1 r 0 使得z ( r 1 ) 0 ，那么当r r l 时有z ( r ) z ( r 1 ) 0 ，即 1 “+ 、两妒( z ( r 1 ) ) e 、f 夏r( 2 7 ) 这表明惦+ 佣妒不可积，这与妒和惦都可积相矛盾。而当r r 0 时， ( e 、两妒) ，= e 、蕊机+ 、日e 、e 衮r 妒 ：e 2 厕z 0 ，所以有 砂( r ) c e - 乎r ( 2 1 0 ) 由，w a 的定义及u 。， a 0 ，我们可以得到 u a ，t ， o r 一半e - 早r ( 2 1 1 ) 这就证明了( 2 2 ) 中当a = o 的情况。下面，我们估计u a ，坝的导数。因为 p n - i ( u a ) ，) ，= 一r n - i ( 一u 4 - 4 - a v x ， ( 2 1 2 ) 则有 rl ( ，- j v 一1 ( t t ) ，) ， d r = ，。gr n - 1 【- - u 4 - x + a v a d r c 厂。，华e - - 罕r d r ( 2 1 3 ) c e 一年。 这说明当r o o 时，r n - i u ，有极限，并且由( 2 1 3 ) 可知此极限只能为0 。将( 2 1 3 ) 式 在( r ，o o ) 上积分，有 一r 一1 ( t a ) ，c e - z 乒r ( 2 1 4 ) 同理可得一r 一1 ( u a ) ，c e 一罕r 最后再由方程( 1 1 7 ) 知( u a ) ，和( u ) ，按指数衰减。口 现在我们考虑变分问题 m 2 ( 。舞0 讹，t ，) ， ( 2 1 5 ) 其中 厂= ( u ，u ) e ( o ，o ) ：( i l ( u ，口) ，( u ，口) ) = o ( 2 1 6 ) 是与泛函j 相关的n e h a r i 流形，而m 的最小值是( 2 1 ) 的基态解。( 2 1 ) 的基态解就 是( 2 1 ) 的一个非平凡解，而此非平凡解所具有的能量值是( 2 1 ) 所有非平凡解的 能量值中最小的。方程( 2 1 ) 的极限方程( 1 1 7 ) 的相关泛函是 k ( u ，t ，) = 三上i v t t l 2 4 - u 2 d x4 - 三上。f v 1 2 4 - v 2 如一f b 上m p + 14 - m 卅ld x - 4 上n u 出 ( 2 1 7 ) 它在h - ( r ) h ，( r ) 很好定义的，我们定义 硪2 ( 。，k ( 叩) ， ( 2 1 8 ) 江西师范大学硕士学位论文 1 3 其中 n o o = ( u ，可) 何1 ( 酞) h 1 ( r ) ( o ，o ) ) ：( i - ( t | ， ) ，( t 正，t ，) ) = o ) ( 2 1 9 ) 这是对应于k 的n e h a r i 流形。 弓i 理2 1 2 9 y 程( 2 1 ) 没有基态解。 证明：首先我们证明m = m 色。因为础c a ) c 日( r ) ，所以仇 m 釜。f 是一 个截断函数，并j l o a ) 1 。当t 1 时，如) = 0 ，当t 2 时，虱t ) = 1 以及i p ( t ) i 2 。 令f ( z ) = 虱粤) ，其中p 是使得r qc 岛( o ) 的最小正数。定义序列 ( 加，饥) ) ce 为 ( 。，谚。) = ( f ( z ) t ( z 一勘) ，毒( z ) 口 ( z 一咖) ) ， ( 2 2 0 ) 其中鲰是包含于q 的一序列点，并且i 鼽i o 。可以证明存在一序列 。，r + 使 得t 。( ( z ) 乱a 0 一鼽) ，f ( z ) 呶0 一鼽) ) 。事实上，我们选择t 。使得 t 纩1 = f n iv-ii2+丽：+鬲ye而n2万+妒丽2_一a妒妒n d x ( 2 2 1 ) 当n o 。，2 q o w j ( 乱。，) 一c i e ， 展开得 c 一j ( “n ，) c + f ， 即有 p 一丢上i v 仳n 1 2 + u ：d x + 三zl v 训2 + v 三d x 一寡j 上j t 。i p + 1 + i v & + l a = 一入上n d r o ，则有一序列 以) c 舻使得 厶出j 露l 卅1 垒2 ，b l ( 1 ，暑) 下面考虑序列( 露 + 破) ，姊1 。1 一1 ) ) ，假设( 矗知+ 珐) ，以p + 如) ) 一( 牡l ，口1 ) ，则( “，秒1 ) 是 方程( 1 1 7 ) 的非平凡解。因为矗一0 ，可知i 如l o o 。令 露( z ) = 矗( z ) 一u 1 ( 。一破) ，加三( 。) = 叫。1 ( z ) 一, 0 1 ( z 一旌) ， 1 6 外区域上非线性椭圆方程组和h 6 n o n 方程的研究 重复上述过程，最终会得到一序列点破r ，当佗一( 3 0 时，i 醒l 一+ 。o ，且t j 时 有i 城一娩j 一( 3 0 ，并且有函数列 ( 砭( z ) ，以( z ) ) = ( ( 兹以( z ) 一_ 1 一以q ) ，访1 ( z ) 一以( z 一识q ) ) 使得 ( 靠0 + 城) ，讲0 + 以) ) 一( z ) ，( z ) ) ， 其中歹2 ，并且( ，) 是方程( 1 1 7 ) 的非平凡解。对于任意的j ，由于j ( ，) m a 可 知经过重复过程后得到类似于( 2 - 3 0 ) 式的步骤为有限步，由此引理得证。 口 由【l 】中的引理7 8 和引理7 9 知，存在0 入ls 沁 m 釜：q 是k 的临界值 ，r h = m i n m o ，2 m ，则 有下述结论 推论2 2 2 当c ( m a ，晓) 时，泛函，满足( p s ) 。条件。 证明：令序列 ( “。，) ) ce 使得( 也。，) 一c ，( 乱。，) 一0 ，其中c ( m ，伉) 。因 为 ( t 。，) ) 有界，假设u 。一“，一t ，由引理2 2 1 知 ( u 。，口。) 一( 一以) ，扛一霸) ) 一( 缸，u ) ， j f f i , 其中( t ，t ，) 是方程( 2 1 ) 的解，( ，) 是方程( 1 1 0 ) 的解， 以) ( 1 j i k ) 是r n 中k 列点。 而且 k ，( 。， 。) = j ( t i ，u ) + k ( ，) + o ( 1 ) j = 1 为了证明在础( q ) 上有u 。一乱，”。一t j ，仅需证明k = 0 。因为c 2 m ，有k 2 。如 果k = 1 ，有( u ，t ，) ( o ，o ) 或者( 缸，口) = ( o ，o ) 。若( t ，t j ) ( o ，o ) ，则，( u 。，) 2 m + o ( 1 ) ， 这与c 0 ，郇( ) 关于可是连续的。 ( i i ) 当p o 时，在h 1 ( r ) h 1 ( r ) 上，圣，( g ，) 关于可一致收敛到( t a 扛一3 ，) ，姒 一) ) a ( i i i ) 当一o q 时，对任意p 一0 ，( 啡( 箩) ) 一致收敛到m a 。 江西师范大学硕士学位论文 1 7 证明：圣。( ) 是由连续函数构成的，( i ) 显然成互，( i i i ) l o j 让i ! j j 辽程与弓i 埋2 1 2 一 样，所以只需证明( i i ) 。当p o 时，有 眶( 粤) 州z 一可) 1 1 - - - i i 州z ) 1 1 mk ( 詈h ( z 一耖) 1 1 肼- - - i i 州z ) 1 1 l p + t ， 胀( 粤) u 施一可) 1 1 - - i i 让小) 1 1 ，i i ( 詈h ( z 一3 ) 1 1 - - i i “础) 1 1 和 上。f ( 等) u ( z y ) ( 詈) a 一可) d z - - * f 卫t t a ( z 一! ，) 坝 一可) 如 这是因为 幢( 訾) 札a 。一可) 一u a 一驯p + + l 2 r + lf b 2 ，i u a 。一训外1 如 ( 2 3 3 ) 2 p + 1im a xu a l p + 1r a e a s ( b 2 p ) _ 0 同样的，有 憾( 訾) 吣z 一掣) 一州z 一! ，) 1 1 腑- 一o ( 2 和 忙( 譬) u 如刊一缸施一甜) 1 1 2 = f r ni 石1 v ( 訾) 乱 。一可) 一( 等) v 扎 。一可) - v u x ( z 一训2 如+ 娩m e 口s ( 玩p ) 2 z 外i 2 pl v ( 詈) “ 一训2 如+ 2z 蛳i 2 pm 警) v 牡a 。一们- v u x ( z 一酬2 如( 2 。鄙 + k 2 仃, e 4 f l , 8 ( b 2 p ) 冬k 3 p 一2 + k 4 p _ 0 以殛 上毒( 等) 州z 刊f ( 等) 吣z 刊咱( z 刊州z 刊如i 上双訾) “z 刊( 詈h ( z 刊咱( z 刊州z 一可) l a z ( 2 3 6 ) k 6 p _ 0 成立。所以由如的定义，当p o 时候，推出如一1 ，再结合( 2 3 5 ) 可得出( i i ) 。 1 7 因为埝( u ( 茁一可) ，v x ( z 一) ) = 仇 ，由引理2 2 3 中的c i i ) 可得出如下结论 推论2 2 4 对任意的0 a a l 或者a 2 a l ，则存在声= 芦( a ) 使得当p 卢时，有 s u p ( 圣p ( 剪) ) _ m 成立，存在凰 p 使得 ( a ) 女口果i l r o ，贝l j ，( 西p ( 可) ) ( m a ，i 生 i 匦) 。 ( b ) 如果川= r o ，则。只。币，( 可) ，坊 o 或者( 3 0 1 2 0 0 p ( 3 ，) ，秒) 0 ，其r 扣p i ( u ，t ，) 是( t t ，御) 在 第1 个坐标系上的投影。 证明：显然c o m ，现假设c o = m ，则存在一列( 让。，) ，p ( 乱。) = o 或 者p ) = o 使得j ( u 。，) 一仇a 。我们假设p ( t t 。) = 0 ，由引理2 2 1 知，当i 鲰i o o 时，t 。( z ) = t 正0 ( z 一3 ，。) + d ( 1 ) ，u 。= v o ( x y n ) + d ( 1 ) 。记( t ) 嘉= = z r ：( z ，：h ) o ) ，( 酞) = = r n ( r ) ：，则当 充分大时，对于某一个固定的庐 0 ，有研( ) ：= z ： 陋一i 0 ，v o ( x 一鲰) 6 0 0 ，其中z 辟) ，6 0 0 。 由引理2 1 1 知，当z 廓( ) 时，有下列不等式 咖。一铷) 面= = 磊每，郇o ( x - - ) s 萄= 再呸k 二殍 成立，所以有 ( u 0 0 一铷) ) ，y n ) = u o ( x 一弧) x ( ) ( z ，鲰) 如+ t | 0 白一鼽) x ( ) ( z ，铷) d x ，( r ) ：- ，( r ) ： k ，& o x 淝i ) ( 蚴) 如一k 丽踟- , j - 出( 2 3 8 )，口p ( 所)，( r ) 二e 叫山一f 川l z 一三h i ”。赢) o ， 其中q o 是个常数。因为卢是连续的，所以卢( ) 0 。这与卢( 牡竹) = o 相矛盾。( a ) 的 证明方法与引理2 1 2 的证明方法相同，( b ) 可由( 2 3 8 ) 推出。 口 考虑给定的集合：= 饵啡( ! ，) ：i v l r o ，其中t p 可使得t p 圣p ( ) 。定义 日： c ( 、厂， 厂) ：，l ( t i ，t ，) = ( t i ，u ) ，对v ( 乱，t ，) 上王，( t l ， ) 旦l 妻_ 1 2 以及 i = ac a = ( e ) 江趟师范大学硕士学位论文1 9 引理2 2 6 如果a r ，贝, i j a f l n o 0 。 证明：这个引理的证明等价于要证：对任意的 h ，有雪r - v ( 1 # l _ r 0 ) 使 得卢。hop 1o 圣p ( ! ，) = o 或者poh 。p 2 。圣p ( ) = 0 。由引理2 2 5 知，当m = 凰时，( pop l 。 圣p ( 可) ，”) o 或者归。b o 郇( 可) ，y ) 0 。不失一般性，假i 殳( f l op 1 。圣p ( ! ，) ，耖) 0 ，并定义 f c y ) = 卢0ho1 10 郇( 妙) 和 f ( t ，y ) = t l ( y ) + ( 1 一t ) i d 引理2 2 5 中的