（基础数学专业论文）复分析中高阶椭圆方程和高维双曲方程的某些边值问题以及部分相关问题.pdf

四川师范大学硕士学位论文 复分析中高阶椭圆方程和高维双曲方程的某些边 值问题以及部分相关问题 基础数学专业 研究生张住全指导教师杨丕文 本文主要利用复方法考虑了一个平面上的高阶方程的边值问题和一个 四维空间上的双曲方程的一个边值问题，并对解双曲方程有重要作用的双曲 数和重复数用代数方法进行了研究，为进一步用双曲数和重复数解双曲方程 提供了更多的理论依据四元数分析对解高维椭圆方程有着重要作用，文章 的最后我们讨论了四元数分析中的t 算子的两个性质 j t 。 在【5 】中，作者已经证明了g 上的一个k - 正则函数( 即兰；= 0 的解) 能用 d z 解析函数唯一地表示出来，并讨论了它的几个函数论性质，如，c a u c h y 积分 公式，c a u c h y 型积分等在此基础上，第二章主要讨论了k 一正则函数的一个 带共轭值的边值问题，使用压缩映像原理，我们证明了该问题的解的存在和 唯一性，推广了已有的结果 第三章主要对重复数和双曲数进行了研究，使用矩阵方法表示了重复数 和双曲数，更直观地表现了重复数，重复变函数，双曲数，双曲函数的本质， 改善了已有的结果 第四章主要讨论了可换四元数代数中的一类一阶双曲方程 3j ( + ，) ( l ( zj ，z 2 ) + j ，( 毛，z 2 ) ) - 0 的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题通过 d z 】d z 2 将该边值问题转化为一个二阶齐次方程的边值问题和一个一阶非齐次方程 的边值问题，再分别求解，我们获得了r i e m a n n h i l b e r t 边值问题在指标非 负时解的般形式，以及部分指标小于零时该边值问题的相应可解条件 第五章对四元数分析中的t 算子进行了研究，考察了四元数分析中当 f o ( g ) 时，在全卒问f ：的h 6 1 d e r 连续性，和当f g c ( g ) 时，在g 四川师范大学硕l ：学位论文 上的连续性 关键词：k 一正则函数；c a u c h y 积分公式；c a u c h y 型积分：压缩映 像原理；r i e m a n n h i l b e r t 边值问题；可换四元数代数；双曲数；重复 数；c a u c h y r i e m a n n 方程；四元数分析；，算子； s t o k e s 公式 四川师范大学硕士学位论文 s o m e b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sa n dc o r r e l a t i v e p r o b l e m sf o rh i g h - o r d e ra n dh i g h - - d i m e n s i o n a l e q u a t i o n si nc o m p l e xa n a l y s i s m a j o r b a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t e z h a n gw e i q u a ns u p e r v i s o ry a n gp i w e n i nt h i sp a p e r , w em a i n l yc o n s i d e rab o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rah i g h - o r d e r e q u a t i o ni nt h ec o m p l e xp l a n ea n dab o u n d a r yp r o b l e mf o rah y p e r b o l i ce q u a t i o n i nf o u r - d i m e n s i o n a ls p a c eb yc o m p l e xa n a l y t i cm e t h o d s a tt h es a m et i m e ，w e s t u d yt h eh y p e r b o l i cn u m b e r sa n dt h eb i c o m p l e xn u m b e r sb yt h em e t h o do f a l g e b r aw h i c ha r ei m p o r t a n tf o rs o l v i n gh y p e r b o l i ce q u a t i o n s ，a n dt h i sp r e s e n t s m o r et h e o r ya r g u m e n t sf o rs o l v i n gm o r eh y p e r b o l i ce q u a t i o n sb yt h et o o lo f h y p e r b o l i cn u m b e r sa n db i - c o m p l e xn u m b e r s a tt h ee n do ft h i sp a p e r , w eg i v e o u tt w o p r o p e r t i e sf o ro p e r a t o rt i nq u a t e m i o n i ca n a l y s i sw h i c hi so f t e nu s e da sa i m p o r t a n tt o o lf o rs o l v i n ge l l i p t i ce q u a t i o n si nf o u r d i m e n s i o n a ls p a c e i n p a p e r 【5 】，t h e a u t h o rp r o v e dak - r e g u l a rf u n c t i o n ( i e t h es o l u t i o n so f i o u ：0 ) i ng c o u l db eu n i q u e l ye x p r e s s e da sa n a l y t i cf u n c t i o n s f u r t h e r m o r e ， h ew o r k e do u ts o m ef u n c t i o n a lp r o p e r t i e sf o r t h ek r e g u l a rf u n c t i o n s ，s u c ha s c a u c h yi n t e g r a lf o r m u l a ，c a u c h yt y p ei n t e g r a l ，e t c i nt h es e c o n dc h a p t e rw e d i s c u s sab o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hc o n j u g a t ev a l u ef o rk - r e g u l a rf u n c t i o n s b yt h ec o n t r a c tm a p p i n gt h e o r e m ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so f t h es o l u t i o nf o rt h i sp r o b l e m ，g e n e r a l i z es o m er e s u l t si nr e c e n ti n d e x e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h eh y p e r b o l i cn u m b e r sa n dt h eb i c o m p l e x n u m b e r s w i t ht h eg i v e nm a t r i xe x p r e s s i o n so ft h eh y p e r b o l i cn u m b e r sa n dt h e b i c o m p l e xn u m b e r s ，t h e yb e c o m em u c h e a s i e rf o ru st os t u d y i nt h ef o r t hc h a p t e ro ft h i sp a p e r , t h er i e m a n n h i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 四j l p ) 范大学硕士学位论文 f o rac l a s so f f i r s t o r d e r h y p e r b o l i ce q u a t i o n s ( + j ) ( 五瓴，z 2 ) + j a ( z l ，屯) ) 3 0 ) 出l出2 i nc o m m u t a t i v eq u a t e m i o na l g e b r ai sd i s c u s s e d b yt r a n s f o r m i n gt h i sp r o b l e m i n t oab o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ras e c o n do r d e rh o m o g e n e o u se q u a t i o na n d a n o t h e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra ni n h o m o g e n e o u sc a u c h y r i e m a n n s y s t e m s ，w e o b t a i nt h e g e n e r a l s o l u t i o nf o rt h ep r o b l e mi nt h ec a s eo f n o n n e g a t i v ei n d e x e sa n dt h es o l v a b l ec o n d i t i o n so ft h ep r o b l e mi n t h ec a s eo f n e g a t i v ei n d e x e se x i s t i n g i nt h ef i f t hc h a p t e r , w es t u d yt h eh 6 1 d e rc o n t i n u i t yf o rt gfo nt h ew h o l e s p a c ew h e nf o ( g ) i nq u a t e m i o n i ca n a l y s i s ，a n dt h ec o n t i n u i t yf o r ，o ng w h e nf c c ( g ) k e y w o r d s ：k - r e g u l a rf u n c t i o n ；c a u c h yi n t e g r a lf o r m u l a ； c a u c h yt y p e i n t e g r a l ； c o n t r a c tm a p p i n gt h e o r e m ； r i e m a n n h i l b e r tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ； c o m m u t a t i v e q u a t e r n i o na l g e b r a ；h y p e r b o l i c n u m b e r ； b i c o m p l e xn u m b e r ；c a u c h y r i e m a n ne q u a t i o n ； q u a t e r n i o n i ca n a l y s i s ； o p e r a t o r ，；s t o k e s f o r m u l a 四川师范大学硕二卜学位论文 第一章前言 复分析是数学中的一个重要分支，也是研究偏微分方程的有力工具如，对 解析函数和对广义解析函数边值问题的考察，实质上就是对平面上的齐次和非 齐次椭圆方程的考察迄今为止，对平面上的低阶椭圆方程的边值问题的研究已 经发展到比较完善的程度，如文 1 一 4 和 9 近年来，许多工作已逐渐集中 在了高阶方程的边值问题、多复变以及双曲方程的边值问题几方面上 一、平面高阶情形 1 9 9 5 年，赵祯在文献 6 中提出双解析函数，指出了其重要的应用背景，并 对其性质和某些边值问题进行了研究1 9 9 8 年王明华在文 1 0 中进一步研究了 双解析函数的性质，提出了一些与解析函数相似的性质如，c a u c h y 型积分，得 到了p l e m e l j 公式，并讨论了其h i i b e r t 边值问题1 9 9 7 年m a k a l 和h b e g e h r 在文 8 中继续考察了p o m p e i u 算子和石算子，并应用它讨论了复平面上的高阶 偏微分方程的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题2 0 0 1 年杨丕文在文 5 中研究了k 一 3 t 正则函数( 即芸= 0 的解) 的c a u c h y 积分公式，级数展开，c a u c h y 型积分， d z p l e m e l j 公式及d i r i c h l e t 边值问题2 0 0 5 年杨柳在文 11 中继续考察了k 一正 则函数的c a u c h y 定理，m o r e r a 定理及透弧延拓定理，并利用这些性质讨论了其 r i e m a n n 边值问题及反问题的解法 二、高维情形 对高维情形的研究大致可分为三类：多复变、c l i f f o r d 分析以及介于两者 之间的四元数，可换四元数的研究 1 、多复变情形 对多复变的边值问题的研究在近年来有了很大的发展，1 9 8 1 年，w t u t s c h k e 在文 1 3 中研究了多复变中广义解析函数的一个边值问题1 9 8 8 年，李明忠、 程晋在文 1 4 1 研究了一个超定非齐次半线性c a u c h y r i e m a n n 方程组在多圆柱的 特征边界上的广义r i e m a n n h i l b e r t 问题，并在 2 0 中进行了进一步的讨论 1 9 9 2 年文 2 1 中杨丕文研究了双圆柱区域d 上一= 元解析函数的边值问题1 9 9 4 ， 杨砸文在 2 2 中又研究了多圆柱区域上a 一方程解的积分表示式1 9 9 7 年文 2 5 第1 页共4 0 负 四川师范大学硕士学位论文 中h b e g e h r 系统介绍了多复变中一些边值问题的研究1 9 9 7 年一2 0 0 2 年，黄 沙，杨贺菊，乔玉英，谢永红利用奇异积分方程的方法和s c h a u d e r 不动点原理 得到了部分多复变解析函数在双圆柱区域上的一些非线性边值问题的结果 2 、c 1 i f f o r d 分析的情形 c l i f f o r d 分析是- f 7 很新的数学分支，是将一维复分析推广到高维，类似于 解析函数理论，c 1 i f f o r d 分析也建立了正则函数( 单演函数) 理论1 9 7 0 年以 来，由于许多学者如d e l a n g h e r 3 0 1 【3 2 1 的努力，c l i f f o r d 分析得到了较大的发 展1 9 8 2 年r d e l a n g h e ，f f 8 r a c k x ，f s o m m e n ，在 3 3 j 中系统介绍c 1 i f f o r d 分析的成果从1 9 8 7 年起，徐振远开始研究c l i f f o r d 的边值问题 9 4 1 ”j ，1 9 9 6 年，黄沙，乔玉英在文 3 6 3 7 中研究了一些非线性边值问题2 0 0 1 年张忠祥、 杜金元又在 3 8 中讨论了c 1 i f f o r d 中某些r i e m a n n 边值问题与奇异积分方程， 其他还有较多的结果，如龚亚方2 0 0 3 年研究了r ”中一类r i e m a n n 边值问题和 h i l b e r t 边值问题，这里不再一一详述 3 四元数和可换四元数分析 四元数分析在数学物理等方面都有着重要的应用，如对m a x w e l l 方程，y a n g - m i l l 场理论等问题的研究作用对四元数的研究是从上世纪三十年代开始的， 七十年代d e a v o u r sc a 在 3 9 中研究了四元数的一些分析性质1 9 7 9 年， s u d b e r ya 在 4 0 中将其与单复变相联系比较，继续得到了一些重要性质，如 c a u c h y 积分定理，c a u c h y 积分公式，正则函数，正则函数的一些性质等1 9 9 0 闻国椿在 4 1 中研究了含三个自变数的椭圆组的混合边值问题1 9 9 4 年杨丕文 在文 4 3 中对四元数空问中的正则函数与某些边值问题进行了研究1 9 9 6 2 0 0 3 年间，杨丕文在文 4 4 一 4 6 中又分别得到了四元数分析中的正则和广义正 则函数的几个重要的边值问题的解 对双曲数和可换四元数的研究，是为在复分析中研究双曲方程而产生 的1 9 8 3 1 9 8 5 濮德潜在文 1 6 的第一部分中研究了重复变数( 即可换四元数， 作者为尊重原著，故采用原文名称) ，先给出了部分代数性质，再讨论了其不同 的表示方法，定义了们的模，及重复变函数和其展开式以及相应的可展条件在 其第二部分中，作者又用重复变数考察了在二维空间中的双曲方程1 9 9 1 年濮德 潜在 2 3 中用双曲数考察了双曲方程2 0 0 2 年，闻国椿在 1 5 中用双曲数较系统 地考察了平面上的双曲和混合型方程的边值问题在2 0 0 4 2 0 0 5 年，又继续考察 了部分较为复杂的双曲方程2 0 0 5 年，在 2 6 中，杨丕文用重复数考察了在三维 第2 页共4 0 页 四川师范大学硕二 学位论文 空间中的一个双曲方程的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题 三、双曲情形 在复分析中，对双曲方程的考察，b e g e h r 等1 曾用了多复变方法去考察， 但自濮德潜【1 6 】，闻国椿等研究了双曲数和重复数以来，许多学者都以之为工具 考察双曲方程双曲数与重复数在物理中有着非常重要的应用，如 4 8 等1 9 9 1 年濮德潜，r a j a b o vn ，在文 2 3 2 4 中用双曲数考察了平面上的双曲方程的 部分边值问题，闻国椿在1 9 9 8 1 9 9 9 在 2 8 卜 2 9 中分别考察了一阶线性和拟线 性双曲方程的r i e m n n h i l b e r t 边值问题在2 0 0 2 年，闻国椿又在 1 5 中用双曲 数较系统地考察了平面上的双曲和混合型方程的边值问题2 0 0 5 年杨丕文尝试 了用重复数研究高维双曲方程的r i e m a n n - - h i l b e r t 边值问题 受以上文献的启发，本文首先在第二章讨论了k 一正则函数的一个带共轭值 的边值问题，从最后一个边界条件开始，我们对k 个条件进行逐一考察，我们 得到了组成k 正则函数的 _ 1 ， - 2 ，l ，o 的存在和唯一性，由此得到了这 个边值问题的存在和唯一性 在第三章，在基于 1 5 、 1 6 的结果下，我们对重复数和双曲数使用矩阵 进行了研究，更直观地表现了重复数，重复变函数，双曲数，双曲函数的本质， 为进一步利用重复数和双曲数研究双曲方程的边值问题提供了依据 在第四章我们利用b e g e h r 在多复变中已有的结果，讨论了可换四元数代数 中的一类一阶双曲方程( 三+ j 兰) ( l ( z 。，z ：) + j ，2 ( z 。，z ：) ) = o 的 d z l d z 2 r i e m a n n h i i b e r t 边值问题通过将该边值问题转化为两个不同的边值问题，再 分别求解，我们获得了该边值问题在指标非负时解的一般表示形式，以及在部 分指标小于零时的相应可解条件 第五章中，在杨丕文文 4 4 1 4 6 的基础上，我们继续对四元数分析中的t 算子进行了研究，考察了四元数分析中当f ，( g ) 时，nr 在全空间上h 6 1 d e r 连续性，和f e c ( g ) 时t ，在gh 的连续性推广了已有的结果 四川师范大学硕士学位论文 第二章k - t t _ 贝i j 函数的一个带共轭值的边值问题 本章主要讨论了k 一正则函数的一个带共轭值的边值问题，通过使用压缩映 像原理，我们证明了该问题的解的存在和唯一性 k 是一个自然数，g 是复平面上的一个区域，u ( z ) e c ( g ) 是g 上的一个复 函数，h 仁) 是g 上的一个k 一正则函数，如果在g 上旦罩；0 ，显然，当k = l 时， a z ( z ) 就是通常意义上的正则函数 在 5 中，作者已经证明了g 上的一个k - 正则函数能用解析函数唯一地表示 出来，并讨论了它的几个函数论性质，如，c a u c h y 积分公式，c a u c h y 型积分， 并给出了非齐次方程堕! ：，的通解等，在 8 作者对k 阶方程进行了进一步的 a i 。 讨论 本文将继续以上的工作。我们将考虑k 一正则函数币o ) 的如下一个边值问题： a q ) o + o ) + 占o ) 巾一( f ) + c ( f ) 中+ o ) + d o ) m 一( f ) = g ( f ) 爿o ) 掣d t ) + + 刚磐o t 一哪) 芦掣o t ) + + 删p 笋一哪) ， d f 一( f ) ( ! ! ：i 掣) + + 口( f ) ( j ! ：i 掣) 一+ c o ) ( ! ! ：i 掣) + + d p ) ( ! ! ；：掣) 一；g ( f ) o to to t o t 我们称它为条件r 2 1准备工作 下面，我们先给出部分k 一正则函数的部分已有结果： 引理2 1 h ( z ) 是区域g 内的k - 正则函数的充要条件是“( z ) 可表示成 心) 2 薹“撕) z 第4 “共4 0 “ 四川师范大学硕二卜学位论文 其中，“，( z ) ，r a = o ，l ，k1 是g 内的解析函数，且“0 ) 在g 内如上式的表 达式是唯一的 引理2 1 2 “1g 是复平面上的一个有界区域，其边界a g 分段光滑，如果 u ( z ) 是k 一正则的，且“( z ) e c “1 ( g ) 那么 杈篓筹嵩带啦p z g 汜， 现在我们可以定义c a u c h y 型积分了，设l 是复平面上的一条光滑的j o r d a n 曲 线，f i ( t ) e c 。犯) ，0 c a 1 ，j = 0 , 1 ，k 一1 _ 我们定义c a u c h y 型积分如下： 喇= 等厶篓筹装静巾n c z - z ， 显然中( z ) 在l 外k - 正则 引理2 1 3 哪( p l e m e i j 公式) l 是一条光滑的7 u r d a n 闭曲线，d + ，d 一分别 是d 的内部和外部区域，m ( z ) 是( 2 2 ) 式所示函数，当z 分别从d + ，d 一趋近于 t ( e l l 时，极限为： c 警卜等j = 薯1 拦蔫妒三删， c z 。， 譬卜等正。薯1 拦臻“妒三2 删 ( 2 a ) 、d ；一拥儿向一，一一1 ) ! ( 亭一z ) 。 。 还可写成 ( 坚) + 一( 垡) 一：，( r ) a t “ a r 第5 页共4 0 页 四川师范大学硕士学位论文 c 等o t 卜c 尝o t ，一= 竽正薯1 # j 謦m 翁十艏腊 “” m 。，：6 一一 一1 j ：l # 一z ， 这里，m = o ，1 ，k - 1 2 2 问题的提出和转化 设a ( t ) ，b ( t ) ，c ( t ) ，d ( t ) h 。( l ) 是边界l 上的已知函数，我们寻求这 样一个函数m ，使它在l 上满足条件r ，在l 外k - 正则 显然由( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，条件r 中的第m + 1 个式子可转变为： 似+ 功以厶+ j 厶) + ( 1 一印，埘+ ( c + d ) ( 己厶+ j 厶) 一。万一g = ，历 ( 2 5 ) 这里 u = 等正薯1 占哿镐“d 芋眩。， 我们继续简化它为既( l ) = l ，这里 = 口+ 曰) ( 己，m + ：l ) + ( 1 一功l + ( c + d ) 限l + 1 l ) 一顽一g ( 2 7 ) 在以下部分，我们将利用压缩映像原理讨论问题r 的解 2 3 建立几个重要的不等式 设l 七以口为h o l d e r 指数的h o l d e r 连续函数的集合为h 。但) ，对任意的 中h 。( 工) ，定义中的范数为 中li 。= c ( 中，l ) 十h ( 中，l ，a ) 笫6 贞共4 0 页 妇j 玎师范人学硕上学位论文 这驯) 2 警t ) | ，( 叭咖) = 。s u ：。p 背，易矾啪 hr l ，一，i “ ” l l ，f 2 成b a n a c h 空间 和 定理2 3 1 1 2 如果丘， 一。日。) ，那么 只一。 一，一只一，一，ii 。s j ，ii 一，一，一| i 。 ( 2 8 ) ( 只一， 一，+ i 1 一，) 一( 只一。一一，+ 三丘一。) i 1 。s ，：ji ，七一，丘。ii 。， ( 2 9 ) 这里，l ，j ：是常数 那么 证明由( 2 。6 ) ，丑一， 一。可写为： 显然， 几2 去j = 鲁亭， ( 2 1 0 ) w 。一2 知警宇 池 知导排c ( 詹矗，l ) 勺南船凇( 小允，l ) ，( 2 1 2 ) 且， 只一。 一，( f 。) 一只一。f 。“( f 。) 一 只一! 一，0 ：) 一只一。f 一( | ：) 四川师范大学硕士学位论文 白号 铲c 知譬挚勤 设妒= 一。一丘_ 1 ，如 7 中定理1 证明的第二个步骤，并取n 2 2 ，我们有 即 勃奇铲咖奇驯叫“( , 0 , l , a ) i 只一。 一，( f 。) 一只。，一o 。) 一 只一， 一。( f ：) 一最一，t o ：) sj ：h ( 一，一一一，l ，口) ! t l t ：f 。 由( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ，并取 j 1 = m a x ( j ：，j ：) ， 不等式( 2 8 ) 即可得证，对于( 2 9 ) ( 2 1 3 ) 一，厶+ 互1 如) 一假。+ ：。) 忆2 ii ( 只一。 r e 。，t 。) + i 1 ( 一，一i i 。 sl 1 只。 一，一最一，。一ii 。+ j ：i | 一。一兵一。ii 。 由( 8 ) ，取j 2 = ，。+ ，：不等式( 2 9 ) 成立 那么 推论2 3 1 1 2 设 。 ， + ，h 。( l ) 被取定，且丘，l h 。( l ) ， 巴厶一ef 。ll 。s j 。l fl f il 。 第8 页共4 0 姐 ( 2 1 4 ) 叫川师范大学硕士学位论文 且 ( p m ，卅+ 三l ) 一( p 卅，二+ 三丘) i 。 j 2 i 厶一，mfi 。，( 2 1 5 ) 这里m = 0 ，1 ，k - 2 证明由( 2 6 ) 只厶= 譬正喜1 去箬端九h d 亭 由于 + 。，卅+ ，取定，只，卅，只厂的右边积分号中的和式在当 j ：0 ，1 ，k - m 一2 时的那部分加项应全部相同，故 p m 厶一“小f 知譬砖 显然，如( 2 8 ) ，( 2 9 ) 的证明，推论成立 推论2 3 2 1 2 在推论2 3 1 的条件下，以下两个不等式成立 甄一己，+ 。li 。s j ，il f 。忆， ( 2 1 6 ) ( 已l + 三，爪) 一( p 爪，二+ 三，二) ji 。s ，：i jl 一，mfi 。， ( 2 1 7 ) 这里m = o ，1 ，k - 2 证明事实j 第9 页共加页 四川师范大学硕l 学位论文 己厶一只，。i = i 圪l 一尸m ，。 ( 巴l + j 1l ) 一( p o f ：+ 丢厶) i io = i 由推论2 3 1 直接可知定理成立 2 4 主要结果 i 假l + 三 ) 一( 只，二+ 三正) ii 。 定理2 4 1 1 2 若a ，b ，c ，d eh 。( l ) ，且r 2 j 2ji a + b ii 。+ ii 卜b ii 。+ j ： c + d fi 。+ iid 。，那么，当r 1 ，问题r 中的第k 个方程有且只有唯一解 证明由厶。，一一，h 。( l ) ，有 q t 一1 f t 4 一q t 一1 f t 一1 | i 。 ( a + b ) ( 只一。 一，+ ：1 一。) 一( 只一，丘一。 + 三一- 1 ) + ( 1 + b ) ( 一z 一丘一。) + ( c + d ) ( 而+ i 1 一。) 一( 丽+ 扛。) + ( 1 一b ) ( _ 1 _ 川一d ( i 一一f k - i ) i i 。 si | a + b ii 。il ( 最一。 一。+ i 1 一。) 一( 只一。丘一。+ ：一。) j o + 1i t - b ti 。 i 一，一矗一。ii 。 + ii c + d ii 。ii ( 瓦+ 弘1 ) 一( 丽+ 知) j 1o + ii o li 。fi 石一石| i 。 si a + b if 。j ：ff 一。一，一f 。+ 一。ij 一，一丘一。 。+ j ! c + d if 。 j ：f 兵一。一，。一jj 。+ i 。 ，一，1 一。 蚺l o 页其4 0 贝 到川师范人学硕上学位论文 ( j ：f a + b t 。+ 一叫。+ j ：ii c + d ti 。+ li d il 。) j 一。一一。1l 。 = r j 一。一。ii 。 即 l 一，f 。一q 。f 。ii 。s r ij 一。一丘。ii 。 ( 2 1 8 ) r 1 由压缩映像原理知，方程有且只有唯一解，我们记之为 一， 推论2 4 “1 2 在定理2 4 1 的条件下，且 。 。，丘+ ，是取定函数， 那么，问题r 中第m + 1 个方程的解存在且唯一 证明由( 2 7 ) ，我们有 q 。f 。一q 。f 。il 。 ( a + b ) ( 只，爪+ 1 l ) 一( p m 厶+ 丢，二) + ( 1 + b ) ( ，爪一，二) + ( c + d ) ( 瓦+ 丢，爪) 一( 玩+ 丢一) + ( 1 - b ) ( ，爪一t ) - d ( 百一，二川 si a + b ii 。ii 限厶+ 扣一吧丘+ 扣iio + l1 - b i ；aj 厶一忖li c + d 忆 ( 瓦+ 扣一( 丽+ 扣io + t 呲| i l 一万i i 。 si a + b | i 。j ：| | 厶一，_ l 。+ li b li 。i l 一，：il 。 + c + d i ! 。j ! i 丘一，- il 。+ lf d ii 。ijl 一厶l 。 第1 1 页批4 0 瓤 四川师范大学硕士学位论文 ( j ：j1 a + b i 。+ | i 圳。+ ，。| | c + d fl 。+ ll d if 。) | | ，m 一厶ii 。 = r ll 一丘 l 。 如定理2 4 1 的证明，命题成立 定理2 4 2 1 2 若a ，b ，c ，d h 。 r = j ：i | a + b lf 。+ ii 卜b | | 。+ j ：ji c + d fj 。+ | | d ii 。，那么，n r l ，问题r 的解存在 且唯一 证明由定理2 4 1 ，问题r 中第k 个等式所确定的边值问题的解存在且唯 一，设为 。而在 一，确定的情况下，由推论2 4 1 ，第k 一1 个等式所确定的边 值问题的解存在且唯一，设为 以此类推，依次得到 _ 1 ， _ 2 ， ，0 ， 这样我们找到了 - l ， _ 2 ，1 ，0 ，代入( 2 2 ) ，我们得到了唯一的m ( z ) ， 定理得证 第1 2 页共4 0 页 四川师范大学硕士学位论文 第三章双曲数和重复数的另一种表示法 本章将讨论用矩阵方法表示双曲数和重复变数，以及相应的双曲函数和重 复变函数 3 1双曲数和双曲函数 在 1 5 中，作者讨论了双曲数的表示和性质等，在 2 6 中作者进一步讨论 了双曲函数的性质和一部分边值问题等本节将引进矩阵表示双曲数，若x ，y e r ， 我们称z = x + i y 为双曲数，其中j 为双曲单位，j2 = l ，记 1 一f e 一2 = 2 我们引进矩阵来表示双曲数中的单位1 ，j 为方便起见，又不致引起混淆的情况 下，我们直接相应用e 。，j 表示 e 0 2 显然e 。，j 线性无关，且由矩阵乘法，有 取 - 2 e t 2 t e o + j2 却1 ) ，e ：孚2 * 寸 显然，e 。，e ：线性无关，且由矩阵乘法，有 旃1 3 页共4 0 页 州川师范大学硕士学位论文 e l ”= e l ，e2 4 = e 2 ， e 1 e 2=o，el+e2=e 0 这里。是o 矩阵这样，这里的矩阵e 。，j ，e ，e ：具有与双曲数中的1 ，j ，e ， e ：有相应的性质于是双曲数z = x + i y 可等价于矩阵 x e 。+ ，2 ( ：) + ( ；) 2 ( ；：) 2 三k f x 。+ + y y ：；) 十三( ：；z x 一- y y ) 因此，在下面的讨论的中，我们将直接记双曲数为矩阵形式，我们定义共轭 赫o - y j = 一2 ( 0 了) 简单验证可知，z 对乘法可换，又由jz l = x2 + y2 知道，当x = y 或x = 一y 时，z 有零因 子，我们将所有零因子的集合记为 显然，z e 一iz l = o 由矩阵知识，当 z 岳o ，z 存在逆元，令u = x + y ，v = x y ，则 ；2 7 ( j ? ) 2 寿2 丢z2 三q + j 由乘法可换，设z 。= x i e o + y f j = u i e l + v i p 2 ，i = 1 ，2 定义除法 下面定义双曲函数 鱼：三电：生巳+ 旦e ： z 2 z 2 2 2 2v 2 f ( z ) = f ，x ，y ) e o + j x ，y ) 第1 4 负其4 0 页 四川师范大学硕：e 学位论文 由e 。和j 相互独立，我们可将f ( z ) 直接记为 盹，2 暖跚 其中 ，y ) ，2 ，y ) 都是实值函数，z 是双曲数，我们定义 a1 o z2 a o x a a y a o y a o x 则双曲正则函数满足以下条件： 等价于： 兰f ：0 o z a f la r a xa v 这和双曲数中的c a u c h y r i e m a n n 方程 d1 o z 2 a 缸 d 却 d 幔 a x却 3 2 重复变数数和重复变数函数 a 妙 a 缸 在 1 6 中作者取单位1 ，i ，j ，k 将实数域上的四维向量空间的向量 ( x 。，z l ，j 2 ，x 3 ) 记为z = + i x l + 豇2 + h 3 ，且满足： i 2 = ，2 = 一1 ，玎= = 七，k2 = 1 下面我们引进矩阵来表示这四个单位，并在不致引起混淆的情况f 用e 。，i ，j ，k 第1 5 页共4 d 页 四川师范大学硕士学位论文 来表示 e o = e x e j = e x e = 1000 、 o1o 0 1 i ：e e 0 01 0 l 。 0001j o010 0o01 100 0 01 00 这里是矩阵的k r o n e c k e r 乘积 k = ex e e 2 ( j ；) ，e + 3 ( ：苫) 如此，e 。，i ，j ，k 对乘法可换且互不相关，并且显然有： i 2 = j j = 一e o ，站= j i = l , k 2 = e o 01 10 0o 0o o0 00 o一1 0o 矧 到 即e 。，i ，j ，k 与重复变数中1 ，i ，j ，k 有相对应的性质，这样，每个重复数就和一个 这样的矩阵相对应： z = 耳o + 打1 + 豇2 + k x 3 营a x 0一z 1一x 2x 3 x 1z 0一x 3一x 2 x 2 一x 3x ox 1 z 3x 2上1x a 简单验证可知，e 。i 的性质和单复变中的l ，i 性质一致，故单复变中的z = x + iy 也 第1 6 页共4 0 页 、， 四川师范大学硕士学位论文 可用矩阵表示为z = x e 。+ y i 我们如 1 6 中同样取 。：! 止兰：三 1 22 1o 01 01 10 o一1 lo 1o o1 这样e 。，e ：互不相关，且 。：兰进：三 22 1o01 0110 011o 10o1 e | “2 e 1 ，e24 。e2 ，e le220，e1+e 22eo 这里。是零矩阵设，x l ，x ：，x ，为实数，我们讨论a 的性质： 又可写成： a = 工o e o + 扛1 + 豇2 + h 3 = o oz 1一0 2南 工。一x 3一x 2 z 2一：3x 0一x 1 也j 2z 1x o a = ( 一工3 ) 十i ( 工l + 石2 ) e l + ( 工o + 工3 ) + i ( 一x 2 ) e2 = t l e i + v e2 这里u ，v 是单复变中的一般复数，且 u = ( 戈。一z 3 ) + i ( z l + x 2 ) ，v = ( x o + x 3 ) 十i ( z 1 一工2 ) 由e 。，i ，j ，k 对乘法和加法可换知，z 对乘法和加法都可换 显然 f a f = o 。一x 3 ) 2 + 0 ，+ z ：) 2 】【o 。+ z ，) 2 + 。一z ：) 2 j 当：a i = o ，等价于 ( 3 1 ) 四川师范大学硕二 学位论文 p 。州，。，p 一 卜l5 一x 2 t x l2 工2 此时，a 无逆矩阵，e p z 无逆元，为零因子，我们将z 中所有的零因子的集合记 为0 则 我们定义 z 硭 f a l 0 h 。= x o e o + 缸1 一。陋2 一舡， x 0一z 1x 2一x 3 x 1x d工3j 2 一工2z ，石0一工l x 3 一j 2 工1z 0 a ”= 茗o p o 一x 1 + x 2 一k x 3 ， a ”= z o 已。一x 1 一扛2 + k x 3 分别与重复数中的z ，z ”，z ”相对应在下面的讨论中我们都直接用矩阵来表示 重复变数z ，z ，z ，z 我们将定义重复变函数 设f ( z ) 为重复数空问到重复数空间的单值函数，即 f ( z ) = u 。0 ) + u l ( z y + u ：( z ) ，+ u ，( z 弦 【。( z ) 一u ，0 ) ) + j 口。( z ) + u ：( z ) ) k + 【眠g ) + u 3 ( z ) ) + f 姒一( z ) ) k ，l e l4 - f 2 e 2 这里u 。，u ，u ：，u ，是实值函数 规定 第1 8 页共4 0 页 ( 3 2 ) 婴业! 里蔓查堂堡圭兰垡堡塞 a o z 1 4 da 缸。缸l aa 缸1越o da 打2缸3 aa 缸3船2 d 缸 a 越3 d 缸o a 曲l 三c 去”r 毒+ ，亡“寺百面”面+ 面诎一 a 缸3 a o x ， d 缸1 a o x o 争睦圣+ r 毒+ r 互1 o + r 毒m + 呸1 a + r 毒h 三1 ( _ 0 + r 毒粉 争茜+ z 去h + 噎一寿吲 aa 巳面 2 面 其中z 1 = x 。+ 拓l ，z 2 ；z 2 + i x 3 ，虽篁z l + 拓2 ，亭2 = z 1 一i z 2 ，规定 兰：三+ f 兰， 唱o z l o z 2 尘：兰一f 兰 d 亭2o z lo z 2 定理3 2 “17 设f = ( u o , u 。, u 2 , u 3 ) 7 ，则篓o z = 。，当且仅当矿o f o 证明由 f ( z ) = u o ( z ) p o + u l ( z ) f + u 2 ( z ) ，